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Apuntes Cálculo Vectorial Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS 𝒊𝑪𝝅𝒓 Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 1 La asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico-matemático al perfil del ingeniero y aporta las herramientas básicas para introducirse al estudio del cálculo vectorial y su aplicación, así como las bases para el modelado matemático. Además proporciona herramientas que permiten modelar fenómenos de contexto. La importancia del estudio del Cálculo Vectorial radica principalmente en que en diversas aplicaciones de la ingeniería, la concurrencia de variables espaciales y temporales, hace necesario el análisis de fenómenos naturales cuyos modelos utilizan funciones vectoriales o escalares de varias variables. La asignatura está diseñada de manera que el estudiante pueda representar conceptos, que aparecen en el campo de la ingeniería por medio de vectores; resolver problemas en los que intervienen variaciones continuas; resolver problemas geométricos en forma vectorial; graficar funciones de varias variables; calcular derivadas parciales; representar campos vectoriales que provengan del gradiente de un campo escalar, así como su divergencia y rotacional; resolver integrales dobles y triples; aplicar las integrales en el cálculo de áreas y volúmenes. Con esta asignatura se espera desarrollar la capacidad de análisis y síntesis en actividades de modelación matemática; adquirir estrategias para resolver problemas; elaborar desarrollos analíticos para la adquisición de un concepto; pensar conceptualmente, desarrollar actitudes para la integración a grupos interdisciplinarios; aplicar los conocimientos adquiridos a la práctica y aprovechar los recursos que la tecnología ofrece, como el uso de TIC’s. Esta asignatura sirve como base para otras asignaturas de las diferentes especialidades tales como: estática, dinámica y mecanismos, con la representación geométrica y álgebra de vectores; electromagnetismo y teoría electromagnética con el cálculo del gradiente, divergencia y rotacional de un campo vectorial; en termodinámica con el cálculo de derivadas parciales en las diferentes formas de la segunda ley; en fenómenos de transporte, transferencia de masa y transferencia de calor, con el cálculo de derivadas parciales y las ecuaciones que modelan estos fenómenos. Se pueden diseñar proyectos integradores con cualquiera de ellas. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 2 La asignatura de Cálculo Vectorial se organiza en cinco temas. En el primer tema de la asignatura se inicia con la comprensión, manejo algebraico y representación geométrica de los vectores, utilizando el producto escalar para la obtención del trabajo realizado por una fuerza y el producto vectorial para el cálculo del momento de la misma, entre otras aplicaciones. Se estudia el triple producto escalar como parte de las propiedades de los productos de vectores para calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular y el momento de una fuerza con respecto a un eje, entre otras aplicaciones. Terminando el tema con la obtención de ecuaciones de rectas y planos en el espacio. En el segundo tema se estudian diferentes tipos de curvas en el plano para su aplicación en el estudio y representación del movimiento de un cuerpo, su posición, velocidad y aceleración. Se trabaja en coordenadas rectangulares y coordenadas polares, de acuerdo a la geometría de las trayectorias propuestas y aprovechando en cada caso, la facilidad en el manejo algebraico de las ecuaciones utilizadas. Se obtiene las tangentes horizontal y vertical a una curva y la longitud de arco, así como el área de una superficie. En el tercer tema se inicia con el estudio de diferentes tipos de curvas en el espacio en forma paramétrica. Analiza el límite de las funciones y su continuidad. Se obtiene la derivada de una función vectorial y sus propiedades, y las integrales correspondientes. Del mismo modo se analizan los vectores tangente, normal y binormal que caracterizan una curva en el espacio, así como la longitud de arco y su curvatura. Se estudian las aplicaciones de funciones vectoriales para representar modelos físicos como: escaleras de caracol, hélices cónicas, etc. En el cuarto tema se grafican funciones de dos variables y se utilizan los mapas de contorno y las curvas de nivel para comprender la definición de función de dos variables. Analiza el límite de las funciones de varias variables y su continuidad. Se obtienen las derivadas parciales de una función y se estudian sus propiedades. Se calculan las derivadas parciales de las funciones de dos variables y se muestra la interpretación geométrica de las mismas. Se estudia el concepto de diferencial y la linealización de una función. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 3 Se complementa el tema de derivación con la regla de la cadena, la derivación implícita y derivadas parciales de orden superior. Se introduce la definición de gradiente para el cálculo de derivadas direccionales. Se termina el tema calculando los valores extremos de funciones de varias variables. En el último tema se estudian las integrales dobles y triples en diferentes sistemas de coordenadas como una herramienta para el cálculo de áreas y volúmenes principalmente, donde el uso de regiones tipo I y tipo II permite utilizar la integral múltiple para este fin. La integral múltiple se considera como tema fundamental. Se introducen la definición de campo vectorial, resaltando la importancia geométrica y física, tomando ejemplos prácticos como el flujo de calor, flujo de energía, el campo gravitatorio o el asociado a cargas eléctricas, entre otros; análisis que servirá para dar significado a la representación geométrica del gradiente, la divergencia y el rotacional de un campo vectorial. Se finaliza el tema con la integral de línea y los teoremas clásicos de integrales: de Green, de Stokes y de la divergencia de Gauss. El estudiante debe desarrollar la habilidad para modelar situaciones cotidianas en su entorno. Es importante que el estudiante valore las actividades que realiza, que desarrolle hábitos de estudio y de trabajo para que adquiera características tales como: la curiosidad, la puntualidad, el entusiasmo, el interés, la tenacidad, la flexibilidad y la autonomía. El Cálculo Vectorial contribuye principalmente para el desarrollo de las siguientes competencias genéricas: de capacidad de abstracción, análisis y síntesis, capacidad para identificar, plantear y resolver problemas, habilidad para trabajar en forma autónoma, habilidades en el uso de las TIC’s, capacidad crítica y autocrítica y la capacidad de trabajo en equipo. El docente de Cálculo Vectorial debe mostrar y objetivar su conocimiento y experiencia en el área para construir escenarios de aprendizaje significativo en los estudiantes que inician su formación profesional. El docente enfatiza el desarrollo de las actividades de aprendizaje de esta asignatura a fin de que ellas refuercen los aspectos formativos: incentivar la curiosidad, el entusiasmo, la puntualidad, la constancia, el interés por mejorar, el respeto y la tolerancia hacia sus compañeros y docentes, a sus ideas y enfoques y considerar también la responsabilidad social y el respeto al medio ambiente. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 4 1.1Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica. 1.2 Álgebra vectorial y su geometría. 1.3 Producto escalar y vectorial. 1.4 Ecuación de la recta. 1.5 Ecuación del plano. 1.6 Aplicaciones. 2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. 2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. 2.3 Tangentes a una curva. 2.4 Área y longitud de arco. 2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. 2.6 Cálculo en coordenadas polares. 3.1 Definición de función vectorial de una variable real. 3.2 Límites y continuidad de una función vectorial. 3.3 Derivada de una función vectorial. 3.4 Integración de funciones vectoriales. 3.5 Longitud de arco. 3.6 Vectores tangente, normal y binormal. 3.7 Curvatura. 3.8 Aplicaciones. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 5 4.1 Definición de una función de varias variables. 4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. 4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables. 4.4 Derivadas parciales. 4.5 Incrementos y diferenciales. 4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. 4.7 Derivadas parciales de orden superior. 4.8 Derivada direccional y gradiente. 4.9 Valores extremos de funciones de varias variables. 5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. 5.2 Integrales iteradas. 5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. 5.4 Integral doble en coordenadas polares. 5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. 5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. 5.7 Campos vectoriales. 5.8 La Integral de línea. 5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. 5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 6 1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica. ¿Qué es un vector? El vector es una herramienta matemático que nos permite representar un fenómeno físico, para poder indicar; su magnitud, su dirección y su sentido. La representación de estos vectores puede ser posible en (plano; dos coordenadas) y en (espacio; tres coordenadas). La nomenclatura más usual, es la siguiente; ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ( ) Gráficamente se representan como la diagonal, desde el origen, hasta un punto determinado, ya sea en el plano o en el espacio; Se representa al vector ⃗⃗ ⃗( ) que se representa con la diagonal que va desde el origen hasta el punto ( ). Las coordenadas, del punto, en el lenguaje vectorial, se convierten en las componentes horizontal y vertical del vector. El símbolo representa el ángulo de inclinación, o dirección, de la recta infinita sobre la cual se representa el vector. Y El sentido del vector lo indica la cabeza de flecha, de donde; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 7 Para determinar la dirección, en , es un poco más complejo, dado que existen tres ejes contra los que se tendrá que referir dicha dirección de nuestro vector. Al conjunto de ángulos se les denomina “ángulos directores” y la dirección quedará definida por los “cosenos directores” de dichos ángulos, como; | ⃗⃗ ⃗| | ⃗⃗ ⃗| | ⃗⃗ ⃗| La notación | ⃗⃗ ⃗| representa la magnitud, o norma, del vector y para determinar dicha magnitud del vector, es decir la distancia que hay desde la cola hasta la cabeza del vector, podemos apoyarnos en el Teorema de Pitágoras: Es decir que la magnitud de nuestro vector la obtenemos a partir de sus componentes rectangulares u ortogonales, utilizando las siguientes expresiones de Pitágoras; | ⃗⃗ ⃗| √ | ⃗⃗ ⃗| √ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 8 Ahora, bien, debemos tener muy claro que si bien es cierto, nos resultará muy conveniente la representación de los vectores, cuyo inicio coincida con el origen del sistema de coordenadas de que se trate, la verdad es que un vector puede ser representado como un ente libre y continurá siendo el mismo vector; esto sucede tanto en el plano , como en el espacio . Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 9 1.2 Álgebra vectorial y su geometría. Suma vectorial. La suma vectorial posee propiedad conmutativa, es decir; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) Por ejemplo; ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) La representación gráfica de la suma vectorial la podemos obtener a partir de las dos concepciones siguientes; 1) Método de la “cabeza con cola” (o de extremo con origen). Este método consiste en colocar un vector inicial y trasladar un segundo vector y colocar la cola de este en la cabeza o terminación del anterior y así sucesivamente, hasta terminar de colocar los todos los vectores sumandos. Como podemos observar en el gráfico, los vectores; ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗ ⃗ se han ido colocando en orden sucesivo “cabeza con cola” y esto significa suma vectorial, obteniendo como resultado, de dicha suma, al vector ⃗⃗ , que se indica con una línea punteada que indica el inicio y final del acomodo vectorial, es decir, la suma de todos los vectores acomodados sucesivamente. Al realizar el acomodo de los vectores pudieran llegar a cruzarse, sin embargo, esto no altera, en ningún momento, la suma entre ellos. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 10 2) Método o regla del paralelogramo. Este procedimiento consiste en colocar un vector inicial y trasladar un segundo vector hasta colocar la cola de este, en la cabeza o terminación del anterior. Este método se realiza por parejas de vectores y se obtiene la suma o resultante, que es la diagonal de dicho paralelogramo, y que va desde el origen hasta la cabeza o punta del segundo vector; esta resultante se suma con el vector siguiente formando paralelogramos, y así sucesivamente, hasta terminar de colocar los todos los vectores sumandos. Lo descrito anteriormente se puede observar en el gráfico, donde tenemos un par de vectores; ⃗⃗ ⃗ y ⃗⃗ ⃗ y ambos son trasladados, paralelamente, hasta ocupar con sus colas, la punta del otro, formando de esta manera un paralelogramo y quedando así, determinada la suma de ambos vectores, representada por el vector ⃗⃗ ⃗ que cruza en diagonal al paralelogramo. Si existieran más vectores por sumar, el siguientevector formaría paralelogramo con la resultante (diagonal ⃗⃗ ⃗) obtenida, y así sucesivamente hasta sumar todos los vectores que se deseen sumar, cuya resultante o suma final, sería la última diagonal obtenida. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 11 Resta vectorial. Esta operación vectorial no posee propiedad conmutativa, es decir; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) Por ejemplo; ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) La representación gráfica de la resta nos coloca en una posición de privilegio para la interpretación cabal del concepto. Por un lado, podríamos referirla como la otra diagonal en el paralelogramo o bien, sólo como el vector que une “punta a punta, los vectores que se están restando. También pudiéramos considerar a la resta, como el vector que resulta de unir dos puntos. Pero aquí hay que tener el debido cuidado, ya que la representación aritmética de esta operación, coloca en el primer lugar de la resta, el vector, o el punto, hacia donde viaja el vector resta que resultara. ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ En este caso, el vector resta viajará de ⃗⃗⃗ hacia el vector ⃗⃗ ⃗. ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ y en este caso, el vector resta viaja de ⃗⃗ ⃗ hacia el vector ⃗⃗⃗ . Y esto es lo que nos lleva a confirmar el por qué la resta vectorial no es conmutativa. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 12 Producto de un escalar por un vector. Esta operación la podemos imaginar como una suma abreviada un mismo vector. Es decir que si tenemos el producto ⃗⃗ ⃗ en realidad lo que tenemos es la suma del vector ⃗⃗ ⃗ , sumándose veces. Ahora bien, Veamos su representación gráfica; El vector ⃗⃗ ⃗ se está multiplicando por una constante . Entonces el vector resultante es tres veces mayor. El vector ⃗⃗ ⃗ ahora se está multiplicando por una constante negativa . Entonces el vector resultante es tres veces mayor, pero ha cambiado de sentido. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 13 1.3 Producto escalar y vectorial. Antes de definir las operaciones del producto entre vectores, definamos el concepto de vector unitario. Empezaremos por decir que un vector unitario es aquel que tiene una magnitud, o norma, igual a la unidad, es decir; ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| Por ejemplo; ⃗⃗ ⃗ ( ) | ⃗⃗ ⃗| √( ) ( ) √ √ √ Sin embargo, un concepto mucho más interesante que esta simple definición es, cómo obtener un vector unitario a partir de otro vector, que no lo es. Es decir, pudiera ser que nos interese obtener un vector unitario con la misma dirección de ese otro vector, que no lo es. Entonces vamos a establecer la definición de vector unitario, a partir de lo anterior; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| Debemos entender el cociente anterior, no como una división entre vectores, dado que esta operación no existe. Pero si partimos de que la norma de un vector es un escalar, entonces podemos reescribir la expresión anterior como un producto de un escalar por un vector; ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| | ⃗⃗ ⃗| ⃗⃗ ⃗ Y si observamos detenidamente esta última expresión veremos el producto de un escalar menor que uno por un vector, por lo que el vector no unitario al ser multiplicado por el inverso de su norma, este adquirirá la dimensión o característica d vector unitario, con la misma dirección que el vector que lo genera. Veamos un ejemplo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 14 Ejemplo; ⃗⃗ ⃗( ) | ⃗⃗ ⃗| √( ) ( ) √ √ Por lo tanto, el vector unitario, con la misma dirección que su vector original, es; ⃗⃗ ⃗ ( √ √ ) Esto también se cumple para . Veamos su representación gráfica. Podemos observar cómo nuestro vector ⃗⃗ ⃗( ) ha generado al vector unitario ⃗⃗⃗ . √ √ / y que tiene su misma dirección, representado en la gráfica por una aproximación como ⃗⃗⃗ ( ). Para comprobar la magnitud unitaria, veamos lo siguiente; | ⃗⃗⃗ | √( ) ( ) | ⃗⃗⃗ | √ | ⃗⃗⃗ | √ | ⃗⃗⃗ | Por otra parte, podemos corroborar lo dicho con anterioridad, respecto a que el vector unitario es una contracción del vector original, como el resultado del producto de un escalar por un vector. Analicemos ahora el concepto del vector unitario, en su base canónica y cuya nomenclatura es la siguiente; ̂ ̂ ̂ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 15 Veamos que significan estos vectores; Todo vector se puede expresar como una suma de vectores, pero esto implica un infinito de formas de hacerlo, sin embargo ocasionalmente será conveniente trasladar, esa suma, hasta los vectores unitarios expresados en su base canónica; veamos; ( ) ( ) ( ) Ahora podemos expresar esa suma de vectores, como la suma de producto de un escalar por un vector; ( ) ( ) ( ) Y en general podemos definir; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Podemos observar entonces que estos vectores cuyas combinaciones son la unidad y el cero, son los vectores especiales denominados unitarios en base canónica, así pues tendremos que; ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) Por otra parte. Podemos demostrar y/o verificar que estos vectores unitarios, expresados en su base canónica, son vectores ortogonales o perpendiculares entre sí. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 16 Producto escalar. A esta operación vectorial también se le reconoce como producto punto o producto interno, y su resultado no es un vector, sino un escalar y de aquí su nombre. Veamos; si tenemos un par de vectores; ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) Obtendremos su producto escalar, o producto punto, al multiplicar las coordenadas correspondientes, y finalmente sumando sus productos, es decir; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Esta operación se realiza de igual manera para vectores en , que en .⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ahora bien, si tenemos a nuestros vectores, relacionados con los vectores unitarios; ⃗ ⃗⃗ ⃗ el producto punto puede realizarse de dos maneras; Primero; tal y como se indicó anteriormente, es decir, realizando los productos de sus coordenadas correspondientes, sin considerar la presencia de los vectores unitarios. Segundo; multiplicando las coordenadas correspondientes, pero ahora considerando los productos de los vectores unitarios, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 17 Y con esta última consideración tenemos la ventaja de que si nuestros vectores se encuentran expresados como polinomios, podemos realizar esta operación exactamente igual, que la de un polinomio; Ejemplo. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Otra alternativa para realizar esta operación, es convertir nuestra notación de vectorial canónica, en notación vectorial o de punto, veamos esto con la operación resuelta anteriormente; ( ) ( ) ( ) ( ) Aquí solo operamos los productos correspondientes a cada coordenada, realizando finalmente la suma o resta entre ellas, sin operar los vectores canónicos. Veamos; ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y como podemos observar, hemos obtenido el mismo resultado escalar que en el ejemplo anterior. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 18 Ahora bien, una de las grandes utilidades de conocer el producto punto entre vectores, es que a través de él podemos determinar el ángulo que hay entre ellos, a partir de la siguiente definición; ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| | | ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| | | ( ) Por otro lado, esta expresión nos lleva a determinar también, cuándo dos vectores son ortogonales entre sí, es decir, en este caso tendremos lo siguiente; ( ) De donde se sobreentiende que; ⃗⃗ ⃗ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 19 Propiedades del producto punto; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 20 Producto vectorial. A esta operación vectorial también se le reconoce como producto cruz y su resultado si es otro vector, cuya característica principal es que será ortogonal a los dos vectores que se multiplican. Esta operación sólo es posible realizarla en ya que en sería imposible encontrar un tercer vector que sea ortogonal al par de vectores que se multiplican y que pertenezcan, todos, al mismo plano. Veamos; si tenemos un par de vectores ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ de tres dimensiones, que pertenecen a un plano, y además son diferentes de cero, tendremos como el resultado de su producto cruz, a otro vector que será ortogonal a ambos. Así pues, si tenemos los vectores; ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) Para resolver esta operación nos apoyaremos en los determinantes, haciendo de nuestros vectores el arreglo matricial siguiente, y resolviéndolo; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | | | | | | | | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) Nótese la importancia de la alternancia de los signos en para cada elemento, para operar el determinante. El resultado final de cada uno de las componentes dependerá de sus operaciones internas, por supuesto. Por otro lado, es muy importante determinar la dirección y el sentido que tendrá el vector obtenido como resultado del producto cruz. Esto lo haremos aplicando la regla de la mano derecha que consiste en colocar el canto de nuestra mano derecha, con el pulgar indicando hacia arriba o hacia abajo (sentido del vector cruz) y luego se cierra la mano, recorriendo desde el primer vector, hacia el segundo que se está multiplicando; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 21 Veamos un ejemplo; ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | | | | | | | | ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (( )( ) ( )( )) (( )( ) ( )( )) (( )( ) ( )( )) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) Recordemos que el vector resultante es perpendicular (ortogonal) a ambos vectores que se están multiplicando. Veamos su gráfico. Recordemos la regla derecha. El producto nos indica al vector ⃗⃗ ⃗ , que aparece punteado por encontrarse detrás del plano, como el primer factor. Y al vector ⃗⃗ ⃗, que aparece en negro, como el segundo factor. Ahora colocamos el canto de la mano derecha sobre el vector ⃗⃗ ⃗ y la cerramos hacia el vector ⃗⃗ ⃗. Al Final tendremos nuestro pulgar, indicando el sentido del vector cruz. Recordemos que esto es sumamente importante, ya que el producto cruz carece de propiedad conmutativa y esta regla es muy útil para determinar su dirección y sentido. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 22 Propiedades del producto cruz; ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗⃗ ⃗|| ⃗⃗⃗⃗ | ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ Instituto Nacionalde México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 23 1.4 Ecuación de la recta. Una de las aplicaciones del álgebra vectorial, es la geometría. Y por ello, veremos a continuación la ecuación vectorial de la recta. Esta se puede obtener, aquí, de dos maneras; 1).- Con dos puntos conocidos; ( ) ( ) ( ) ( ) 2).- Con un punto conocido y su vector director; ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗ ( ) Finalmente la ecuación vectorial de la recta queda expresada como; ( ) ( ⃗⃗ ) ( ) ( ⃗⃗ ) Donde ⃗⃗ ⃗ es denominado vector director y es aquel que determina el sentido de la recta y dependerá si vamos del punto a o viceversa, donde podemos notar que este coincidirá, en ambos casos, con la dirección de la recta. Por ejemplo; Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos; ( ) ( ) Para una mejor interpretación geométrica podemos imaginar a estos puntos como un par de vectores anclados al origen ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), donde su resta nos indicará la dimensión del vector director y su sentido dependerá de dónde, a dónde, vayamos. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 24 Veamos el primer caso, que es en el que el vector director viaja de P a Q. ( ) ( ) ( ) Ahora veamos el otro caso, en el que el vector director viaja de Q a P. ( ) ( ) ( ) Ambas expresiones significan lo mismo, es decir, representan al mismo lugar geométrico, que en este caso es la recta vectorial. Si analizamos esto mismo, pero para el espacio, es decir; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 25 1.5 Ecuación del plano. Ahora veremos la ecuación vectorial del plano. Un plano está definido por dos vectores, y un vector normal al plano. Y será precisamente ese vector normal a dicho plano, el que se obtendrá, por definición, del producto cruz de los vectores conocidos y que forman al plano. La ecuación vectorial del plano queda definida por la siguiente expresión; ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Veamos un ejemplo: Encuentre la ecuación vectorial del plano que contiene al punto ( ) y tiene como vector normal ⃗⃗⃗ ( ). Tenemos lo siguiente; ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,( ) ( ) ( )- ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ [( ) ( ( )) ( )] ( ) ,( ) ( ) ( )- ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 26 Ahora, si queremos encontrar la ecuación general del plano, realizamos el producto punto indicado. ( ) ( ) ( ) Observemos la representación gráfica; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 27 1.6 Aplicaciones. 1).- Demostrar que los tres puntos; ( ) ( ) ( ) se encuentran sobre la misma recta, es decir; son colineales. Tracemos, con los tres puntos que tenemos, un par de vectores. Y por supuesto que estos deberán tener la misma dirección, si estamos hablando de puntos colineales. ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) Una manera de demostrar si un par de vectores pertenecen a la misma recta, es que uno sea igual al otro multiplicado por un escalar. Recordemos que los vectores crecen, se contraen o se invierten, pero siempre manteniendo la misma dirección. Por simple inspección podemos verificar que lo anterior se cumple, es decir; ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 28 2.- ¿Qué restricciones deben tener; para que el punto ( ) se encuentre; a).- Sobre el eje b).- Sobre el eje c).- Sobre el plano d).- Sobre el plano a).- Sobre el eje Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) b).- Sobre el eje Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) c).- Sobre el eje Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) d).- Sobre el eje Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 29 3.- Encontrar un vector que tenga la misma dirección que ⃗⃗ ⃗ ( ) pero de una longitud determinada. Por ejemplo, si deseamos encontrar ese vector cuya dirección sea la misma que el vector ⃗⃗ ⃗, pero deseamos que este vector tenga una magnitud igual a 6. Entonces nuestro problema se centra en encontrar un vector unitario con dirección igual al vector ⃗⃗ ⃗ y escalarlo a 6. -Para encontrar el vector unitario, obtenemos primero, la norma del vector ⃗⃗ ⃗; | ⃗⃗ ⃗| √( ) ( ) ( ) | ⃗⃗ ⃗| √ | ⃗⃗ ⃗| √ Ahora, bien, el vector unitario puede ser expresado, como el cociente de sus componentes entre su norma, es decir; ⃗⃗ ⃗ ( √ √ √ ) Y para obtener el vector de magnitud 6 y misma dirección tendríamos que multiplicar por 6 cada componente vectorial. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( √ √ √ ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( √ ) ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ √ ( ) Y podemos concluir que se trata de un vector que tiene la misma dirección, porque si observamos, tenemos como resultado el producto de un escalar, por el vector de referencia. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 30 4.- Encontrar el área del paralelogramo definido por los vectores; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ sabiendo que el área esta definida por el producto cruz; | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) Obtenemos primero el vector cruz; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | | ,( )( ) ( )( )- ,( )( ) ( )( )- ,( )( ) ( )( )- ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | | , - , - , - ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | | Enseguida obtenemos la norma del vector cruz obtenido; | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | | | | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | √( ) ( ) ( ) | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | √ | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | √ | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 31 5.- Encontrar el volumendel paralelepípedo definido por los vectores; ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ sabiendo que el volumen esta definida por el valor absoluto del producto escalar triple; | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) Aquí tenemos dos opciones; Primera; realizar primero el producto cruz y después el producto punto. Segunda;resolver el determinante de . Utilizaremos la segunda opción: | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| | | Utilizando la regla de Sarrus o regla d Cramer; para resolver este tipo de determinantes, de 3x3, se sugiere repetir los dos primeros vectores, por debajo del tercero, para facilitar la obtención de los producto diagonales. | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| | | | | ,( ) ( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- , - , )- | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| | | | | Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 32 2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. La parametrización de una curva, en el plano o en el espacio, es la representación geométrica de la posición de una partícula en el plano o el espacio, en función de una tercera o cuarta variable que es imposible de graficar junto con las variables cartesianas y que esta tercera o cuarta variable se le denomina, parámetro. Una interpretación física habitual de la parametrización es pensar que el parámetro ( ) representa al tiempo y que ( ) indica en qué posición del plano o del espacio se encuentra una partícula en el instante ( ). Así, pues, tendremos que; { ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) Parametrización de la recta; Para parametrizar a la recta, partiremos de su ecuación vectorial; Si tenemos un punto conocido ( ) ( ) y un vector director ( ) ( ), tendremos que; las ecuaciones parametrizadas de la recta quedaría expresadas de la siguiente manera; ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) { Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 33 Ejemplo 1: Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y parametrice la ecuación vectorial obtenida; ( ) ( ) Para una mejor interpretación geométrica podemos imaginar a estos puntos como un par de vectores anclados al origen ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), donde su resta nos indicará la dimensión del vector director y su sentido dependerá de dónde, a dónde, vayamos. Veamos el primer caso, que es en el que el vector director viaja de P a Q. ( ) ( ) ( ) Ahora veamos el otro caso, en el que el vector director viaja de Q a P. ( ) ( ) ( ) Ambas expresiones significan lo mismo, es decir, representan al mismo lugar geométrico, que en este caso es la recta vectorial. Tomemos ambos casos para parametrizar los resultados; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 34 Primer caso: ( ) ( ) ( ) Desarrollamos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ahora parametrizamos; ( ) { Segundo caso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ahora parametrizamos; ( ) { Como podemos constatar en el gráfico, ambas ecuaciones paramétricas corresponden a la misma recta. Aquí debemos solo tener cuidado con el sentido de recorrido de la misma, ya que una desplaza hacia la derecha ( ) ; la otra hacia la izquierda ( ). Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 35 Parametrización de la circunferencia; Para parametrizar la circunferencia, partiremos de las componentes rectangulares de uno de los puntos que la componen, expresadas en función de su ángulo, respecto de la horizontal, donde el ángulo referido se convertirá en el parámetro de la ecuación paramétrica del círculo y su dominio será con el completa un giro, o ciclo, completo, alrededor de su punto central. Circunferencia con centro en el origen; ( ) { ( ) ( ) Circunferencia con centro fuera del origen; ( ) { ( ) ( ) Ejemplo 1: Parametrice la siguiente circunferencia cuyo centro se encuentra en el origen; ( ) { ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 36 Ejemplo 2: Parametrice la siguiente circunferencia cuyo centro se encuentra en; ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 37 Parametrización de la parábola; Recordemos primero que la parábola nos puede aparecer en posición vertical (hacia arriba o hacia abajo) u horizontal (a la derecha o a la izquierda). 2 { Para cada expresión anterior, la parábola abrirá hacia abajo o hacia a la izquierda, cuando el signo del cuadrado del parámetro, sea negativo ( ) 2 { Ejemplo 1: parametrice la ecuación de la siguiente parábola cuyo vértice está en el origen. ( ) 2 Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 38 Ejemplo 2: parametrice la ecuación de la siguiente parábola cuyo vértice está en ( ). ( ) ( ) 2 ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 39 Parametrización de la elipse; Si partimos de la ecuación de la elipse con centro en el origen; ( ) ( ) { ( ) ( ) Ahora veamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen; ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 40 Ejemplo 1: parametrice la ecuación de la siguiente elipse cuyo vértice está en el origen. ( ) { ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 41 Ejemplo 2: parametrice la ecuación de la siguiente elipse cuyo vértice está en ( ). ( ) ( )( ) { ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 42 Parametrización de la hipérbola; Si partimos de la ecuación de la elipse con centro en el origen; Sólo que ahora partiremos de la expresión que nos relaciona a la diferencia de las funciones hiperbólicas; ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Ahora veamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen; ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Para identificar si una hipérbola es horizontal o vertical, dependerá de si el eje focal ( ) se relaciona con el eje horizontal o con el vertical; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 43 Ejemplo 1: parametrice la ecuación de la siguiente elipse cuyo vértice está en el origen. ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 44 2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. Para obtener la derivada de una función parametrizada, se tiene que utilizar la regla de la cadena. Tal como se indica; ( ) { ( ) ( ) Ahora bien; Ejemplo 1 Determine la derivada de la siguiente función; ( ) { Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 45 Ejemplo 2 Determine la derivada de la siguiente función; ( ) { Ejemplo 3 Determine la derivada de la siguiente función; ( ) { √ √ √ √ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 46 2.3 Tangentes a una curva. Como ya sabemos de antemano, el concepto o definición geométrica de la derivada, es la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto dado. Y de aquí que podamos utilizar dicho concepto de derivada para determinar la ecuación de la recta tangente a cualquier curva, conociendo la derivada de dicha curva y las coordenadas del punto de tangencia. Debemos tener en cuenta, para determinar si la curva es, o no, regular que su vector derivada o vector director debe cumplir con lo siguiente; ( ( ) ( )) ( ) Ejemplo 1 Determine la ecuación de la recta tangente a la curva, para cuando ; ( ) { Determinamos primero la regularidad de la curva; ( ) ( ) ( ) ( ) Como vemos que no existe un parámetro para esta curva que genere un vector director nulo, concluimos que nuestra curva, es regular. Enseguida determinamos las coordenadas correspondientes al punto de tangencia en . ( ) ( ) ( ) Por lo que el punto de tangencia es; . / Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 47 A continuación evaluamos las coordenadas derivadas para para obtener el vector director o vector derivada de la recta tangente; ( ) ( ) ( ) ( ) Ahora encontraremos la ecuación de la recta tangente a nuestra curva, que pasa por el punto . / y tiene como vector director ( ). { Expresamos en la ecuación de la recta a como su parámetro, para no confundir este con el parámetro de la curva. Ahora bien, supongamos que necesitamos encontrar la ecuación cartesiana de la recta tangente encontrada; desparametricemos; ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 48 2.4 Área y longitud de arco. 2.4.1. Áreas; Para el cálculo de áreas bajo curvas paramétricas, tendremos lo siguiente. Si sabemos que una curva viene dada por ( ), no negativa, en el intervalo , -, entonces el área delimitada por ( ) y el eje de las , viene dada por la siguiente integral; ∫ ( ) Ahora supongamos que la curva viene dada por las curvas paramétricas; ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Sin embargo, antes de continuar con nuestro cálculo de áreas, debemos tener en cuenta un par de observaciones; 1).-Al igual que ( ) no debe ser negativa en el intervalo , -, tampoco ( ) debe ser negativa en dicho intervalo. 2).- Además, cuando nos integramos con respecto al parámetro debemos trazar la curva, siempre, de izquierda a derecha. Es decir, que si a lo largo de nuestro intervalo, la curva cambia de dirección, debemos integrar por secciones, o sea, en dos o tres intervalos, según sea necesario. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 49 Ejemplo 1 Determine el área bajo la curva paramétrica dada por el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas en el intervalo . { Comencemos por determinar las coordenadas de los puntos donde y . ( ) ( ) Es decir, que si nuestra función estuviera expresada en términos de , entonces integraríamos el intervalo , - , pero como esta expresada en función de entonces integramos en el intervalo , - ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) + * ( )+ * ( )+ * ( )+ Ahora bien, si expresamos la función en términos de , tendriamos: Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 50 √ √ ( ) ( ) ( ) Por lo tanto, el área bajo esta curva, que es la misma parametrizada, sería; ∫ ( ( ) )Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 51 Ejemplo 2 Determine el área bajo la curva paramétrica dada por el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas. { √ Comencemos por determinar los valores correspondientes a la , para . ( ) ( ) { Por lo que el intervalo de integración, respecto de , es , -. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) + * ( ) ( ) + , - * √ √ + Ahora bien, si expresamos la función en términos de , tendriamos: √ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 52 Por lo tanto, el área bajo esta curva, que es la misma parametrizada, sería; ∫ ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 53 2.4.2. Longitud de arco; si tenemos ( ) y ( ) y estas no se cruzan en el intervalo , -, entonces la longitud del arco viene dada por la expresión; ∫ √,( ( )- , ( )- Ejemplo 1 Determine la longitud del arco en la curva paramétrica dada por el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas en el intervalo . { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ √,( - , - ∫ √ ∫ √ ( ) ∫ √ ( ) ∫ ∫ , - , ( )- , ( )- Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 54 Ahora bien, si nuestra función estuviera expresada en función de , entonces tendríamos que; √ ( ) √ , - ∫ √ , ( )- ∫ √ 0 √ 1 ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 55 2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. Un breve repaso al concepto de coordenadas polares, sería recordar que son otra alternativa para la representación de un punto en el plano, estas, las polares se expresan en función de la distancia que el punto está separado desde el origen, o polo, y el ángulo formado con la horizontal, o eje polar para el radio vector (esa distancia referida que va desde el origen al punto). Es decir, si partimos de que un punto tiene coordenadas cartesianas, podemos trasladar sus equivalentes a coordenadas polares; ( ) ( ) { Para determinar las coordenadas polares de un punto que esta expresado en coordenadas cartesianas, tenemos, por un lado, al teorema de pitágoras y además, a la tangente del ángulo. √ Y finalmente, lo que tenemos aquí, es que podemos ir de coordenadas rectangulares o cartesianas a coordenadas polares, y viceversa. Ahora bien, veamos cómo graficar una expresión o curva en coordenadas polares; Ejemplo 1 Grafique la siguiente expresión; Lo primero que habría que hacer es generar una tabla que contenga distintos valores de para calcular, a partir de la expresión dada, los valores de para esos distintos valores de . √ 3 √ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 56 Algo que hay que hacer notar, de manera enfática, es que en el cálculo diferencial e integral, cuando trabajamos con ángulos, utilizaremos siempre la unidad de radianes y estos, serán invariablemente referidos a la unidad . ( ) . / Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 57 2.5.2. La recta; Si partimos de la ecuación de la recta; { ( ) Y esta última expresión es la ecuación general de la recta. Y una manera más general de identificar cuando tenemos una expresión, como la anterior, verificamos que tengamos en el denominador la combinación seno-coseno, es decir; Por ejemplo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 58 Veamos otro ejemplo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 59 2.5.2. La circunferencia; El primer caso a analizar es cuando y se trata de una circunferencia con centro en el origen de radio , Los otros dos casos son; En el primero tenemos una circunferencia tangente al polo y radio cuyo eje coincide con el eje vertical; para el caso positivo la circunferencia se graficará sobre el eje horizontal, y cuando es negativo se graficará por debajo de dicho eje. En la segunda tenemos también tenemos una circunferencia tangente al polo, con radio y cuyo eje coincide con el eje horizontal; para el caso positivo la circunferencia se graficará a la derecha del eje vertical y hacia la izquierda, en el caso contrario. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 60 2.5.3.-Cardioides, Rosas, Lemniscatas, Espirales y Astroides. -Cardioides (Corazones). Estas expresiones son muy parecidas al círculo, hasta podríamos decir que se trata de un círculo deformado. Y estarán lo mismo que el círculo, hacia arriba o abaja con seno y hacia la derecha o a la izquierda con coseno. Las hay de tres tipos: Sin rizo, Origen, y Con rizo. | | | | ( ) | | | | ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 61 | | | | ( ) -Rosas. Son figuras que trazan pétalos; ( ) ( ) Para trazar este tipo de gráficas, debemos conocer; 1.- El número de pétalos; { 2.- El ángulo entre pétalos; 3.- Ubicación del primer pétalo; , 4.- Longitud del pétalo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 62 Ejemplo 1; Trace la gráfica de la siguiente función polar. ( ) 1.- El número de pétalos; {( ) 2.- El ángulo entre pétalos; 3.- Ubicación del primer pétalo; , 4.- Longitud del pétalo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 63 Ejemplo 2; Trace la gráfica de la siguiente función polar. ( ) 1.- El número de pétalos; { 2.- El ángulo entre pétalos; 3.- Ubicación del primer pétalo; , 4.- Longitud del pétalo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 64 -Lemniscata. Esta figura es similar al símbolo del infinito ( ) y su expresión tiene una gran semejanza con las rosas, excepto que el radio vector y el coeficiente de la trigonométrica son elevados al cuadrado, y su particular expresión es. ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) Podemos imaginarnos a la primera expresión, con coseno, como una rosa con n par por lo que tendría 4 pétalos. Pero la expresión cuadrática elimina a un par de sus pétalos, lo cual nos dejaría una figura igual al símbolo del infinito ( ) y como contiene al coseno, su primer pétalo, de longitud inicia en el eje . Ahora bien, la región positiva o negativa de la trigonométrica define cuál de los dos pétalos se grafican; ( ) √ ( ) , ( )- √ ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 65 Para la segunda expresión, con seno, podríamos imaginarnos una rosa con n par y por lo tanto la ubicación del primer pétalo, d longitud está en; ( ) √ ( ) Y de la misma manera que en la consideración anterior, el signo de la trigonométrica define cuál pareja de pétalos se graficará. , ( )- √ ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 66 Espirales. De Arquímides; son espirales que crecen indefinidamente e inician siempre en el origen. Su crecimiento depende de los valores del coeficiente del ángulo. Logarítmicas; Crecen más rápido que las de Arquímides, dada su característica exponencial e inician en relación al coeficiente del ángulo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 67 Cicloides; Este tipo de gráficas resultan de rodar una circunferencia sobre distintas superficies, planas o circulares. Cicloide; Se logran al hacer girar una circunferencia sobre una superficie plana. { Hipocicloide o Astroide; Se logran al hacer girar una circunferencia por dentro de otra circunferencia. Este tipo de gráficos dependen de la relación de los diámetros de las circunferencias. { Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 68 Epicicloide; Se logran al hacer girar una circunferencia por fuera de otra circunferencia y por supuesto que su forma depende de la relación de diámetros entre las circunferencias. Existen además, una variación enorme de figuras, y estas dependerán de las relaciones que existan entre sus diámetros, ya mencionadas. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 69 2.6 Cálculo en coordenadas polares. Ejemplo 1.- Calcular el área que se encuentra dentro de y por fuera de . Como podemos ver en la gráfica, el área que se encuentra dentro del círculo (que por ser seno positivo abre hacia arriba) y fuera del cardioide (que por ser seno negativo abre hacia abajo), es la que se haya resaltada y es el área que nos interesa encontrar. Para ello, veamos lo siguiente; ∫ Como podemos observar se trata d área entre gráficas o entre funciones, la cual queda definida por la diferencia entre ellas, restando a la más alejada, la más cercana al polo, así, tenemos lo siguiente. ∫ *, - , -+ Ahora nos falta determinar los ángulos que definen el recorrido del radio vector. Para ello, igualamos ambas funciones y despejamos el ángulo; Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 70 Ahora, para determinar el ángulo final del recorrido, utilizamos la simetría de las figuras. Por lo que, si el primero es de respecto de la horizontal, el otro será también de , pero en el sentido contrario, así que se trata del ángulo; Finalmente podemos expresar los límites donde integraremos para encontrar el área d nuestro interés; ∫ *, - , -+ Es muy conveniente, antes de integrar, revisar la simetría de la figura, sobre todo para determinar los valores seno y coseno donde este valga cero o uno. En este caso, podemos ver que la simetría se da alrededor del eje y, es decir cuando el ángulo final sería de y en este ángulo se marca la mitad del recorrido, por lo que hasta ahí, tendríamos la mitad del área de nuestro interés. Así que replanteando nuestra integral, tomando este ángulo como el final, nuestra integral quedaría de la siguiente manera; ∫ *, - , -+ ∫ *, - , -+ Ahora integramos, pero antes hagamos algunas simplificaciones; ∫ , - Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 71 ∫ , - ( ) ∫ [ ( ( ) ) ] ∫ , ( ) - ∫ , ( )- Para integrar ∫ ( ) ( ) Ahora sí, integramos; [ ( ) ] Aplicamos teorema fundamental del cálculo; * 0 1 0 . /1 + * 0 1 0 . /1 + * 0 1 , -+ * 0 1 0 . /1+ Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 72 . / ( ) . / √ . / √ Sustituimos estas equivalencias y tenemos; , - * * √ + * √ ++ [ √ √ ] [ √ ] Finalmente, el área buscada es; √ Instituto Nacional de México InstitutoTecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 73 Ejemplo 2.- Calcular el área que genera el rizo del cardiode . En la gráfica se nos muestra el área por la que estamos interesados. Para ello, debemos revisar los ángulos que la limitan, y poder plantear así, nuestra integral. ∫ Si observamos el recorrido que realiza el radio vector para formar nuestro cardioide, podemos observar que inicia en un valor . ( ) ( ) Luego empieza el giro, hasta que el radio vector es . Continúa su giro hasta volver alcanzar el valor , que completa al rizo. Este es el ángulo final que buscamos y que corresponde a; Si expresamos ahora, la integral para el área que buscamos, tendremos que; ∫ ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 74 Ahora, si aprovechamos la simetría de nuestra figura, podemos observar que la mitad del rizo se logra cuando Entonces podemos reescribir nuestra integral de área como; ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) Ahora sí, integramos y tomamos la primera expresión; ∫ , - ( ) ∫ [ ( ( ) )] ∫ , ( )- Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 75 ∫ , ( ) - Para integrar ( ) ∫ ( ) ( ) , ( ) - Aplicamos el Teorema fundamental del cálculo; [ ( ) [ ( )] ( )] , ( ) ( ) - , ( ) - , ( ) ( ) - , - , ( ) ( ) - , - , - Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 76 Ejemplo 3.- Obtener el área dentro de ( ) y por fuera de . El área de nuestro interés se encuentra señalada en el gráfico y se trata d una región entre gráficas o funciones y su área queda expresada por la siguiente integral; ∫ *, - + Ahora, podemos ver que el área se genera en el intervalo , - pero esto generaría la inclusión de áreas que no son de nuestro interés. Para evitar lo anterior, utilizaremos el beneficio de la simetría. Si observamos con mayor detenimiento, observamos que el área de interés es de cuatro pétalos truncos que son exactamente iguales, y además, cada pétalo es también simétrico, en dos partes iguales. Y si tomamos la parte superior del primer pétalo, integraríamos desde cero hasta el primer punto de intersección entre las dos gráficas. Entonces igualamos ambas funciones; ( ) ( ) ( ) Por lo que nuestra integral quedaría de la siguiente manera; ∫ *, - + Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 77 ∫ , ( ) - ∫ , ( ) - Integramos (Geogebra); [ ( ( ) ) ] Aplicamos Teorema fundamental del cálculo; * ( 0 . /1 . /) . /+ * ( , ( )- ( )) ( )+ * ( 0 . /1 . /) . /+ * ( ( ) . /) . /+ * ( ( ) . /) . /+ *( ( ) . /) . /+ ,( )- ( ) Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 78 3.1 Definición de función vectorial de una variable real. Una función vectorial de una variable real es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores o puntos en . Esto es, que esta función vectorial va a transformar un conjunto de números reales en un conjunto de vectores. Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial ( ) es un vector dependiente de la variable escalar y definida en el espacio ( ), de tal manera que; ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo que todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales, haciendo a cada una de las componentes del vector, una función vectorial de una variable. Veamos ahora; si consideramos la base canónica para los vectores en ; ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) Y la función vectorial; ( ) ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ Tendremos; ( ) ( ( ) ( ) ( )) Donde ( ), ( ) y ( ) son funciones reales de la variable real y se dice finalmente que ( ) es una función vectorial en . Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 79 Ejemplo 1; Tenemos la ecuación vectorial de la siguiente recta, en ; ( ) ( ) ( ) Ahora realizamos las operaciones indicadas; vector por escalar, y luego la suma vectorial, y así obtenemos la función vectorial con sus respectivas componentes vectoriales, que se indica enseguida, y que nos representa a una función vectorial en una variable real, cuyo rango o dominio es una recta en . ( ) ( ) Si representamos nuestra función en sus componentes, tendremos lo siguiente; ( ) , ( ) ( ) ( ) Lo que hemos obtenido, finalmente, es una correspondencia o transformación sobre la recta real en a puntos sobre la recta que pasa por el punto ( ) y que es paralela al vector ( ). Examinemos otras transformaciones; ( ) , ( )- ( ) ( ) , )- ( ) Ahora bien, la expresión o notación de una función vectorial en sus componentes vectoriales, nos permitirá aplicar, en ellas, todos los métodos del cálculo diferencial e integral, que hemos ensayado, con anterioridad, en las funciones reales de una variable real. Instituto Nacional de México Instituto Tecnológico de La Paz, BCS. Ing. Carlos Padilla Ramos Page 80 Ejemplo 2; Determine las funciones componentes de la siguiente función vectorial y determine su dominio. ( ) ( ( ) √ ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) √ Para determinar el dominio de la función, lo haremos primeramente por encontrar el dominio de cada componente; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ , ) Ahora buscamos la intersección entre estos tres dominios y con ello estaremos definiendo el dominio de la función vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) , ) , ) Por lo que este último, es el dominio de nuestra función vectorial. Instituto Nacional
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