Semana 9 1_Autovalores y Autovectores

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SEMANA 13: AUTOVALORES Y 
AUTOVECTORES PROPIOS
ESPACIOS PROPIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ
Sea A una matriz de n x n. El escalar λ se denomina eigenvalor (valor propio)
de A si existe un vector x diferente de cero tal que: Ax = λx
El vector x se llama eigenvector (vector propio) de A correspondiente a λ.
Una matriz puede tener más de un eigenvalor.
Interpretación geométrica en R²
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Highlight
Sea A una matriz de n x n
1. Un eigenvalor de A es un escalar λ tal que det (λI – A) = 0.
2. Los eigenvectores de A correspondientes a λ son las soluciones diferentes de
cero de (λI – A)x = 0.
La ecuación det (λI – A) = 0 se llama ecuación característica de A. Además,
cuando se desarrolla en forma de polinomio, éste
se llama polinomio característico de A. 
Esta definición establece que los eigenvalores de una matriz de n x n
corresponden a las raíces del polinomio característico de A.
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Highlight
Highlight
Highlight
Determinación de eigenvalores y eigenvectores
Sea A una matriz de n x n.
1. Forme la ecuación característica |λI – A| = 0. Será una ecuación polinomial
de grado n en la variable λ.
2. Determine las raíces reales de la ecuación característica. Éstas son los
eigenvalores de A.
3. Para todo eigenvalor λi, determine los eigenvectores correspondientes a λi
al resolver el sistema homogéneo: (λi I – A)x = 0
Para llevar a cabo lo anterior se requiere reducir por renglones una matriz de n
x n. La forma resultante escalonada reducida por renglones debe contener
por lo menos un renglón de ceros.
Ejemplo 01:
Halle los autovalores y los autovectores de la matriz: 




 

53
64
A
El polinomio característico de A es:




















 




53
64
10
01
53
64
2IA
218)5)(4( 2
2  IA
Donde la ecuación característica de A es:
Los autovalores de A son 2 y –1.
Los correspondientes autovectores se hallan usando los autovalores  en la
ecuación (A – I2)x = 0.
1 o 2
0)1)(2(022




Solución
• Para  = 2
Resolvemos: (A – 2I2)x = 0 para x.
0










 
2
1
33
66
x
x
Resolviendo el sistema:
Obtenemos: x1 = –x2. Las soluciones del sistema son x1 = –r, x2 = r, 
donde r es un escalar. El autovector de A correspondiente a  = 2 es:
033
066
21
21


xx
xx
1
1 2
2
1 1
v
1 1
x
x r
x
      
       
    
• Para  = –1
Resolvemos: (A + 1I2)x = 0 para x. 
0










 
2
1
63
63
x
x
Resolviendo el sistema: 
Obtenemos: x1 = –2x2. Las soluciones del sistema son x1 = –2s y x2 = s, donde s
es un escalar. El autovector de A correspondiente a  = –1 es:
063
063
21
21


xx
xx
1
2 2
2
2 2
v
1 1
x
x s
x
      
       
    
Encuentre los eigenvalores y los correspondientes eigenvectores de
con lo que se obtienen
La ecuación característica de A es
EJEMPLO 2
y
Hallando los eigenvectores: (λI – A)x = 0:
Para  = –1
Resolvemos: (A + 1I2)x = 0 para x. 
La matriz de coeficientes es
Solución
Que se reduce por renglones a
Con lo que se prueba que
Si x₂ = t, usted puede concluir que todo eigenvector de λ1 es de la forma
Para se tiene
TEOREMA
Los eigenvectores de λ forman un subespacio
Si A es una matriz de n x n con un eigenvalor λ, entonces el conjunto de
todos los eigenvectores de λ, junto con el vector cero,
{x: x es un eigenvector de λ} ∪ {0}
es un subespacio de Rn . Este subespacio se llama eigenespacio de λ.
Determinar los eigenvalores y los eigenespacios correspondientes de una
matriz puede ser difícil. Sin embargo, algunas veces se pueden determinar
eigenvalores y eigenespacios por simple inspección.
NOTA:
Para que  sea valor propio de la matriz cuadrada A, el sistema
homogéneo () ha de tener soluciones no triviales, luego el
determinante de la matriz cuadrada A  · I ha de ser cero.
Polinomio característico de A
Ecuación característica de A
Los valores propios de
una matriz cuadrada
son las raíces de su
polinomio característico
SUBESPACIOS PROPIOS
Todo vector propio de A está asociado a un único valor
propio de A.
1.-
2.-
es un subespacio vectorial de
y se denomina subespacio propio asociado a .
3.-
4.- Si son valores propios distintos de A y
, entonces:
es un sistema libre
¿Cómo calcular los valores propios 
de una matriz cuadrada?
Los valores propios de una matriz cuadrada A son las raíces de
su polinomio característico.
El orden del valor propio  es la multiplicidad k de  como
raíz del polinomio característico.
Si k = 1,  es un valor propio simple.
La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en
cuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matriz
Observación
14
-EJEMPLO.- Calcular los valores propios de A, indicando su
orden o multiplicidad:
Solución
Espectro de A
Atención
¿Cómo calcular los subespacios 
propios de una matriz cuadrada?
Para calcular los subespacios propios de una matriz cuadrada A debemos
resolver un sistema homogéneo compatible indeterminado.
Si  es un valor propio de orden k de una matriz A y d = dim V(), entonces:
1  d = dim V()  k
16
-EJEMPLO.- Calcular los subespacios propios de A, indicando su
dimensión:
Solución

17

18
OBSERVACIONES.-
1.- Sea tal que:
valores propios distintos de A: 1 , 2 ,  , r
órdenes respectivos: k1 , k2 ,  , kr
dimensión de los subespacios propios asociados:
di = V(i) d1 , d2 ,  , dr
se cumple que:
nro. valores propios distintos
orden de la matriz