19264199 2013 vigas

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7.1.3. Vigas de gran peralte
Con este tercer grupo de modelos, se pretende investigar el efecto en la optimi-
zación topológica cuando una carga cambia de posición. Para ello se consideraron
las siguientes posiciones de una carga puntual:
- a.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibra superior,
- b.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibre media y
- c.) Carga puntual vertical, aplicada en el centro de la luz, fibra inferior, tal como
se indica en la Figura 7.12
Figura 7.12: Vigas aperaltadas simplemente apoyadas y solicitadas por una carga
puntual en el centro de la luz: a.) fibra superior, b.) fibra media y c.) fibra inferior.
El dominio de los esquemas indicados en la Figura anterior se modeló mediante
dos tipos de mallas estructuradas de dimensiones 300 y 1.200 elementos rectangulares
como se muestra a continuación:
Figura 7.13: Discretización del modelo de viga aperaltada simplemente apoyada: a.)
Malla de 30 x10 elementos y b.) Malla de 60 x 20 elementos.
Para modelar las vigas se estableció un dominio rectangular de dimensiones L x
H, donde L = 3H. El sistema está simplemente apoyado, solicitado por una carga
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vertical tal como se indica en la Figura (7.12) (a), (b) y (c).
Con el objeto de establecer la incidencia del tamaño de la malla sobre el proceso
de optimización, se elaboraron dos modelos, uno con una malla de regular precisión
30 x 10 elementos y otro con una malla más fina de 60 x 20 elementos. Como frac-
ción de volumen ̺ se tomó un valor de 50%. Los demás parámetros de optimización
corresponden a los indicados al inicio del Caṕıtulo.
El primer grupo de modelos presentado en las Figuras 7.14, 7.15 y 7.16 muestra
muy poca definición en las zonas a retirar o en las que están solicitadas. Sin embargo
se puede apreciar, que para los tres casos el resultado de la optimización topológica
hace uso de toda la altura de las vigas para reducir los esfuerzos y con ello economi-
zar material. Otra particularidad que se puede apreciar es la conformación de una
estructura utilizando forma de arco para transmitir las cargas a los apoyos.
Buscando mayor definición en el resultado de la optimización se utiliza la segun-
da malla más fina. Se aprecia en las Figuras 7.17, 7.18 y 7.19, que los contornos
de las zonas retiradas y solicitadas aparecen mejor definidos.Con elementos más pe-
queños es posible asignar en forma más precisa la cantidad necesaria de material
para conformar y/o rigidizar elementos.
La enerǵıa de deformación U es comparable en todos los modelos, bien sea con
los dos tipos de mallas o con la carga aplicada en las diferentes fibras. Argumento
que tiene su explicación debido a que los desplazamientos no cambian radicalmente
y las propiedades del sistema permanecen constantes para los tres casos de carga.
Un comportamiento, tal vez inadvertido, corresponde al debido a la carga apli-
cada sobre la fibra media Figura (7.18) (l). Se aprecia, que se hace uso de toda la
altura para reducir esfuezos. En este caso particular los elementos que conforman
la ”cruceta” del centro se comportan en forma mixta; de la mitad hacia arriba es-
tan solicitados a tensión y de la mitad hacia abajo a compresión. De esta forma se
optimza el trabajo al distribuir la acción de la fuerza hacia arriba y hacia abajo.
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(a) i= 1 , U= 101J (b) i= 2, U= 64J
(c) i= 3, U= 47J (d) i= 4, U= 38J
(e) i= 5, U= 34J (f) i= 6, U= 31J
(g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 28J
(i) i= 9, U= 27J (j) i= 10, U= 26J
(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J
Figura 7.14: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada
y cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 30 x 10. ̺= 50%.
110
(a) i= 1 , U= 97J (b) i= 2, U= 63J
(c) i= 3, U= 47J (d) i= 4, U= 39J
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J
(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J
(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J
Figura 7.15: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada,
cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 30 x 10. ̺= 50%.
111
(a) i= 1 , U= 101J (b) i= 2, U= 64J
(c) i= 3, U= 48J (d) i= 4, U= 40J
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 29J (h) i= 8, U= 26J
(i) i= 9, U= 25J (j) i= 10, U= 25J
(k) i= 28, U= 24J (l) i= 29, U= 24J
Figura 7.16: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada,
cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 30 x 10. ̺= 50%.
112
(a) i= 1 , U= 115J (b) i= 2, U= 67J
(c) i= 3, U= 49J (d) i= 4, U= 39J
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J
(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J
(k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J
Figura 7.17: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada,
cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 20. ̺= 50%.
113
(a) i= 1 , U= 105J (b) i= 2, U= 65J
(c) i= 3, U= 48J (d) i= 4, U= 39J
(e) i= 5, U= 35J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 29J
(i) i= 9, U= 28J (j) i= 10, U= 27J
(k) i= 28, U= 22J (l) i= 29, U= 22J
Figura 7.18: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada,
cargada en el centro de la luz de la fibra media. Malla 60 x 20. ̺= 50%.
114
(a) i= 1 , U= 111J (b) i= 2, U= 68J
(c) i= 3, U= 50J (d) i= 4, U= 41J
(e) i= 5, U= 36J (f) i= 6, U= 32J
(g) i= 7, U= 30J (h) i= 8, U= 28J
(i) i= 9, U= 26J (j) i= 10, U= 25J
(k) i= 28, U= 23J (l) i= 29, U= 23J
Figura 7.19: Optimización topológica de una viga aperaltada simplemente apoyada,
cargada en el centro de la luz de la fibra inferior. Malla 60 x 20. ̺= 50%.
115
7.1.4. Vigas de peralte moderado
Con este grupo de modelos se pretende identificar, el efecto del cambio de los
apoyos sobre el proceso de optimización topológica. Para ello se consideraron tres
modelos de vigas de peralte moderado con una relación largo alto de 6:1. Las con-
diciones de apoyo son las siguientes:
- a.) Viga simplemente apoyada con carga en el centro de la luz, fibra superior,
Figura (7.20) (a)
- b.) Viga doblemente apoyada con carga en el centro de la luz, fibra superior Figura
(7.20) (b)y
- c.) Viga enpotrada en los dos costados con carga en el centro de la luz, fibra supe-
rior Figura (7.20) (c).
El esquema adoptado para este grupo de modelos corresponde a una viga de
dimensiones L x H donde L = 6H. Los apoyos como se muestra en la Figura (7.20)
(a), (b) y (c) son cada vez más ŕıgidos.
Figura 7.20: Esquema del modelo para una viga de peralte moderado solicitada
por una carga puntual en centro de la fibra superior con la siguiente condición de
apoyo: a.) simplemente apoyada, b.) doblemente apoyada y c.) empotrada en sus
dos extremos.
El dominio de las vigas de peralte moderado indicado en la Figura anterior se
discretizó mediante una malla de 60 x 10 elementos, tal como se muestra en la Fi-
gura (7.21).
Los parámetros de optimización utilizados, además de los indicados al inicio del
caṕıtulo corresponden a una fracción de volumen ̺ del 50% para los tres casos.
Se aprecia en la Figura (7.22), Figura (7.23) y Figura (7.24) que el cambio de
apoyos genera un comportamiento totalmente diferente en el mismo dominio.
116
Figura 7.21: Discretización del modelo para una viga de peralte moderado solicitada
por una carga puntual en centro de la fibra superior.
Para el caso del apoyo simple indicado en la Figura (7.20) el comportamiento se
puede deducir facilmente a partir de la analoǵıa de la cercha.
Para el caso doblemente apoyado indicado en la Figura (7.23), el comportamien-
to no es tan evidente, pues resulta una combinación del principio del arco con un
aprovechamiento de la altura de la viga.
Para el caso del empotramiento en los dos costados indicado en la Figura (7.24),
la distribución del material luego de la optimización permite deducir las trayectorias
de esfuerzos en este tipo de estructuras. En los costados laterales se observa que no
se hace uso de toda la altura, sino que el material se concentra enlos extremos.
La convergencia hacia la estructura optimizada, en los tres casos, es relativamen-
te rápida. Entre la 5.a y la 8.a iteración ya se define la forma optimizada, la cual se
mantiene hasta el final de las iteraciones.
Respecto a la enerǵıa U, se observa que en la medida que se aumentan las res-
tricciones de los apoyos, la enerǵıa interna de deformación disminuye. Debido a que
los desplazamientos se encuentran cada vez más restringidos. Lo siguientes valores
iniciales de enerǵıa se toman como referencia para hacer una comparación de su com-
portamiento: caso simplemente apoyado Figura (7.22) (a) 492 J, caso doblemente
apoyado Figura (7.23) (a) 275 J y caso empotrado en los dos costados Figura (7.24)
(a) 152 J.
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(a) i= 1 , U= 492J (b) i= 2, U= 286J
(c) i= 3, U= 204J (d) i= 4, U= 171J
(e) i= 5, U= 161J (f) i= 6, U= 154J
(g) i= 7, U= 149J (h) i= 8, U= 144J
(i) i= 9, U= 140J (j) i= 10, U= 136J
(k) i= 11, U= 133J (l) i= 12, U= 128J
(m) i= 13, U= 123J (n) i= 14, U= 119J
(o) i= 28, U= 107J (p) i= 29, U= 107J
Figura 7.22: Optimización topológica de una viga de peralte moderado simplemente
apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. ̺= 50%.
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(a) i= 1 , U= 275J (b) i= 2, U= 148J
(c) i= 3, U= 95J (d) i= 4, U= 69J
(e) i= 5, U= 60J (f) i= 6, U= 56J
(g) i= 7, U= 54J (h) i= 8, U= 53J
(i) i= 9, U= 52J (j) i= 10, U= 51J
(k) i= 11, U= 51J (l) i= 12, U= 50J
(m) i= 13, U= 50J (n) i= 14, U= 50J
(o) i= 28, U= 49J (p) i= 29, U= 49J
Figura 7.23: Optimización topológica de una viga de peralte moderado doblemente
apoyada, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x 10. ̺= 50%.
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(a) i= 1 , U= 152J (b) i= 2, U= 108J
(c) i= 3, U= 86J (d) i= 4, U= 76J
(e) i= 5, U= 71J (f) i= 6, U= 65J
(g) i= 7, U= 60J (h) i= 8, U= 55J
(i) i= 9, U= 51J (j) i= 10, U= 48J
(k) i= 11, U= 46J (l) i= 12, U= 45J
(m) i= 13, U= 43J (n) i= 14, U= 43J
(o) i= 28, U= 41J (p) i= 29, U= 41J
Figura 7.24: Optimización topológica de una viga de peralte moderado empotrada
en sus dos extremos, cargada en el centro de la luz de la fibra superior. Malla 60 x
10. ̺= 50%.
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