SEMANA 6 CIRCUNFERENCIA

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Tema: Circunferencia
GEOMETRIA
OBJETIVOS Conocer a la circunferencia y sus 
elementos.
Aprender sobre los ángulos y
teoremas asociados a una
circunferencia.
Aplicar lo aprendido en la 
resolución de problemas. 
Plaza circular de
la ciudadela de
Caral. (expresa el
poder teocrático).
Engranajes superpuestos y
relacionados que permiten el
perfecto funcionamiento de
relojes.
Moray: sistema de
aclimatación para plantas,
construida en el incanato. (se
muestran circunferencias
concéntricas)
https://www.takarawatches.com/wp-content/uploads/2014/12/inside_clock.jpg
DEFINICIÓN
Figura geométrica formada por un conjunto de puntos 
de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo 
plano.
Fuente: craftingeek.me
Fuente: metro951.com
𝑂𝑂
𝑅𝑅: 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
Donde:
𝑂𝑂: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟
• Medida angular de 
la circunferencia:
𝑚𝑚⊙= 360°
• Longitud de la 
circunferencia:
𝐿𝐿 ⊙= 2𝜋𝜋𝑅𝑅
NOTA:
𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝑟𝑟
CIRCUNFERENCIA
𝑅𝑅
CUERDAS Y ARCOS
ELEMENTOS ASOCIADOS
Punto de 
tangencia
𝑇𝑇
𝜃𝜃𝐴𝐴
𝐵𝐵
DIÁMETROS
RECTAS TANGENTES
𝑂𝑂
𝑅𝑅
𝑀𝑀
𝑁𝑁
𝑅𝑅
𝑅𝑅 𝑅𝑅
𝑅𝑅
RECTAS SECANTES
𝑃𝑃
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝑁𝑁
𝑀𝑀
𝐴𝐴𝐵𝐵: arco AB
𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵: medida del arco AB
𝐴𝐴𝐵𝐵: cuerda AB.
𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝜃𝜃
𝐸𝐸𝐸𝐸: diámetro
𝐸𝐸𝐸𝐸= 2R
Punto de 
tangencia
𝐸𝐸
𝐸𝐸
ÁNGULOS 
ASOCIADOS A LA 
CIRCUNFERENCIA
ÁNGULOS ASOCIADOS
𝑂𝑂
∢ INSCRITO∢ CENTRAL
∢ SEMI- INSCRITO
𝛼𝛼
𝑥𝑥 𝑥𝑥
Se cumple: 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥
𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝑆𝑆
𝛽𝛽
𝑇𝑇
𝑄𝑄
𝜃𝜃
𝑥𝑥
Se cumple: 𝛽𝛽 = 2𝑥𝑥
T: punto de tangencia
Se cumple:
𝜃𝜃 = 2𝑥𝑥
𝑂𝑂
140°
𝑥𝑥
 Calcule x.  Calcule y.
104°
𝑦𝑦
 Calcule x.
𝑇𝑇
200°
𝑥𝑥
 Calcule y.
𝑇𝑇
110°
𝑦𝑦𝑥𝑥 = 140° 𝑦𝑦 = 52°
𝑦𝑦 = 55°
𝑥𝑥 = 100°
∢ EXTERIOR
𝑥𝑥 =
𝜃𝜃 − 𝛼𝛼
2
𝑥𝑥 𝜃𝜃𝛼𝛼
∢ INTERIOR
𝑥𝑥 =
𝜃𝜃 + 𝛼𝛼
2
𝛼𝛼𝜃𝜃 𝑥𝑥Se cumple:
Se cumple:
 Calcule x.
120°
𝑥𝑥
40°
 Calcule y.
100°
𝑦𝑦
30°
𝑥𝑥 =
120° + 40°
2
𝑥𝑥 = 80°
𝑦𝑦 =
100° − 30°
2
𝑦𝑦 = 35°
TEOREMAS 
ASOCIADOS A LA 
CIRCUNFERENCIA
TEOREMAS ASOCIADOS
Podemos clasificar a los 
teoremas en dos grupos: 
para rectas tangentes y 
para cuerdas.
TEOREMAS PARA RECTAS TANGENTES
Se cumple:
𝑂𝑂
Teorema II
𝑄𝑄
𝑇𝑇
(Sean T y Q puntos de tangencia)
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
𝑟𝑟
𝑏𝑏
Teorema I
𝑂𝑂
𝑇𝑇
Se cumple:
𝜶𝜶 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝛼𝛼
𝜽𝜽 = 𝜶𝜶
Se cumple:
𝜃𝜃
𝛼𝛼
𝑂𝑂
Teorema III
𝑄𝑄
𝑇𝑇
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 180°
𝑥𝑥𝑦𝑦
Además:
𝜔𝜔𝛽𝛽
𝜷𝜷 = 𝝎𝝎
Se cumple:
Teorema VI
𝑃𝑃 𝑄𝑄
𝑆𝑆𝑅𝑅
Si 𝑃𝑃𝑄𝑄 // 𝑅𝑅𝑆𝑆
𝜽𝜽 = 𝜶𝜶
Si 𝑟𝑟 = 𝑏𝑏
𝑏𝑏𝑟𝑟
Teorema IV
𝛼𝛼𝜃𝜃
Se cumple:
TEOREMAS PARA CUERDAS
AHORA ANALICEMOS A 
LAS CUERDAS Y SUS 
TEOREMAS…
𝑥𝑥𝑦𝑦
𝑆𝑆𝑅𝑅
¿ Qué sucede cuando 𝑷𝑷𝑷𝑷 es 
tangente a la circunferencia?
𝒙𝒙 = 𝒚𝒚
Se cumple:
𝑃𝑃 𝑄𝑄
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11
	Número de diapositiva 12
	Número de diapositiva 13
	Número de diapositiva 14
	Número de diapositiva 15
	Número de diapositiva 16
	Número de diapositiva 17
	Número de diapositiva 18
	Número de diapositiva 19
	Número de diapositiva 20
	Número de diapositiva 21
	Número de diapositiva 22