ÁLGEBRA CEPREUNMSM

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
CENTRO PREUNIVERSITARIO 
Álgebra 
SEMANA Nº 1 
 
Expresiones algebraicas. Potenciación y Radicación. 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
Una expresión algebraica es una combinación de constantes y potencias de variables que 
están ligadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, 
potenciación y radicación, sin variables en los exponentes. 
 
Ejemplos: 
3x5y – 2
x
y
, 4xy – 1 – 
1
23x y . 
Las expresiones algebraicas se clasifican en : 
 
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Son aquellas expresiones en las que sus variables no están afectadas por la radicación ni 
su exponente es fraccionario. 
 
Ejemplos: 
5 x3yz – 1 ; x3 + 5x2 y – 5 ; 7x3 + 5y9 – 7z6 
 
Las expresiones algebraicas racionales pueden ser a su vez de dos tipos : 
 
RACIONALES ENTERAS: Cuando los exponentes de las variables son números enteros 
no negativos. 
 
Ejemplos: 
3 x3yz2; x3 + 5x2 y 4 ; x3 + 2y4 – 7z6 
 
RACIONALES FRACCIONARIAS: Cuando por lo menos hay una variable en el 
denominador o las variables del numerador están afectadas al menos de un exponente 
entero negativo. 
 
Ejemplos: 
3 x3yz – 1 ; 
3x
y
 + 5x2 y – 4 ; 9x3 + 5y – 7. 
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2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES 
 
Es aquella expresión en la que al menos una de sus variables está afectada por la 
radicación o la variable tiene exponente fraccionario. 
Ejemplos: 
4
x
y
2
 + 3x7 y – 4 ; 5x2y + 3
x
y
, – 
1
23x y . 
Potenciación 
 an = b, donde an : potenciación 
 a : base 
 n : exponente 
 b : potencia 
 
 
Definición: an = 
n veces
a . a ... a , si n  , a . 
 
Observación: la potencia 00 no está definida. 
 
Propiedades 
1. a a am n m+n. = 7. 
m
n
a
a
 = m na  , a  0 
2. 0a 1 , a  0 8. n
n
1
a
a
  , a  0 
3.  
n n nab = a .b 9.  
n
m mna a 
4. 
n
a
b
 
 
 
= 
n
n
a
b
, b  0 10. 
 nn mma a
   , a  0 
5. 
n
a
b

 
 
 
= 
n
b
a
 
 
 
, a  0, b  0 11.   mnpq  
q
pn
m(a ) = a 
6. 
I
q
tp t ln
n m um ma a a a




   
 
Radicación en 
Sea  n 1  tal que n es par; a > 0 ó n es impar, se cumple: 
n
na b a b   
 
 
n
a b 
 
 
índice 
radical 
raíz 
par
impar
impar
Recuerda que:
+ = +
+ = +
 =  
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Propiedades: 
 
Si los radicales de ambos miembros existen, se cumple que: 
1. 
m
n m na a ; n  2, n  . 
 
2. 
n
n
n
a a
b b
 , b  0 
 
3. 
n nn m p m pa . a a . a 
 
4. 
nm m
n
p n p
a a
b b
 , b  0 
 
5. 
n n n n
abc a . b . c 
 
6.    
p mpn n nm mpa a a  
 
7. 
pqrs na = 
p q r s na 
 
8. 
(xn+y )p+ z
m pnx y z mnpa a a = a 
 
Ejemplo 1: 
Si       
0.6
1
5 22 43
3N 27 27 2 3
  
 
     
 
 
determine el valor de 1+ 3 N . 
 
Solución: 
       
0.6
2 5
3 3 43 3N 3 3 2 3
 

 
     
 
 
 
     
 
 
0.6
2 5 4
0.6
2 5
4
0.6
4
3 3 2 3
1 1
2 3
3 3
1 1
2 3
9 243
  


     
 
    
        
     
 
   
 
 
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3
51 1 1
2
9 243 81
 
 
   
    
   
 
3
532
243
 
 
  
  
 
 
3
5 52
3
 
 
   
   
   
 
3
2
3
8
27
 
  
 

 
 
Luego 
3 3
8 2 5
1 N 1 1
27 3 3
      . 
 
Ejemplo 2: 
 
 
x
x 1
Si x ,
2
 halle el menor valor de x. 
 
Solución: 
 
1
1x 2
41 1 1 1
x x x
2 4 2 4
1 1
x x
4 16
1
el menor valor de x es .
16
   
        
   
   

 
 
Ejemplo 3: 
 
 
1
x 1
x
x 2
3x 2 x
40
Si 5
2 8 36






, halle el valor de x. 
 
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Solución: 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
x 1
x
x 2
3x 2 3x
x 1
x
x 2
x x
x
x
x 2
x
x
xx 2
x
x 2 x x
x
xx 2
2
40
5
2 2 2 36
40
5
8 4 8 36
40 40
5
8 40
40
5
8
5 5
5 5
x 1
x 2 x
x x 2 0
x 2
x 1
x 2
























  


 
 
 
 
 
 
 
 
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Álgebra 
 
SEMANA Nº 2 
 
NÚMEROS REALES, RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN 
 
LOS NÚMEROS REALES 
 
Antes de mencionar a los números reales, veamos los siguientes conjuntos: 
 
 Los números naturales  ...,3,2,1,0N 
 Los números enteros  ...,2,1,0,1,2,... Z 
 Los números racionales  






 0n;n,m/
n
m
ZQ 
 Los números irracionales  fracciónunacomoexpresadoserpuedenop/pI 
 
Es decir, los números irracionales son aquellos que se escriben mediante una expresión 
decimal con infinitas cifras y no periódicas. 
 
Ejemplos: 
 
 ...77320508075,13  
 ...654921514,3 
 
Definición: el conjunto R de los números reales es definido como IQR  . 
 
 
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Observaciones: 
 
1. De las definiciones anteriores, se tiene el siguiente esquema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. El conjunto R de los números reales está provisto de dos operaciones: adición y 
multiplicación, y una relación de orden "< " que se lee "menor que", esta relación de 
orden tiene las siguientes propiedades: 
 
 
 
 
.yzxz0zyxSi)iii
z,y,x;zyzxyxSi)ii
z,y,x;zxzyyxSi)i



.
.
R
R
 
 
RECTA REAL 
 
Los números reales se representan gráficamente por una recta, llamada “recta real”. 
Nota: a < b significa que sobre la recta real, “a” se encuentra a la izquierda de “b”. 
 
DESIGUALDAD 
 
Es una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro. 
 
Definiciones: 
 
I. )baba(ba  
II. )baba(ba  
 
Propiedades: 
 
1. ab = 0  [a = 0  b = 0] 
2. Si ac = bc y c  0  a = b 
3. a < b < c  a < b  b < c 
4. a < b  c < d  a + c < b + d 
5. a < b  – a > – b 
6. a > b  c < 0  ac < bc 
7. a  0  a2 > 0 
8. Si 0  a < b  0  c < d  ac < bd 
9. Si a y b tienen el mismo signo, entonces: a < b  a–1 > b–1 
R 
N 
Z 
Q I 
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10. ab > 0  [(a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0)] 
11. ab < 0  [(a < 0  b > 0)  (a > 0  b < 0)] 
12.  a  R + , a + 
a
1
  2 
13.  a  R – , a + 
a
1
  – 2 
14. Sean {a, b, c, d}  R + / 
b
a
 < 
d
c
  
b
a
 < 
db
ca


 < 
d
c
 
15. a2 + b2 = 0  a = 0  b = 0 
16. Si bababaentonces,0b
2  
17. Si babbaentonces,0b
2  
18. I) Si a < x < b  ab > 0  }b,a{máxx}b,a{mín 22222  
 II) Si a < x < b  ab < 0  }b,a{máxx0 222  
 III) Si 0 < a < b  0 < c < d  
c
b
d
a
0  
INECUACIÓN 
 
Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que 
solo se verifican para determinados valores de la incógnita ó incógnitas. 
 
Observación: 
 
La media geométrica (MG) de dos números positivos no es mayor que la media aritmética 
(MA) de los mismos números positivos. 
Simbólicamente: MAMG  . 
 
INTERVALOS 
 
Son subconjuntos de los números reales que gráficamente
son segmentos de recta o 
semirrectas y cuyos elementos satisfacen cierta desigualdad. Los intervalos sirven para 
expresar el conjunto solución de las inecuaciones. 
 
INTERVALOS DE EXTREMOS FINITOS 
i) Intervalo abierto 
  a,b x / a x b   R 
 
 
 
ii) Intervalo cerrado 
    bxa/xb,a  R 
 
 
 
a b 

 

 
a b 
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iii) Intervalo semiabierto por la izquierda 
   a,b x / a x b   R 
 
 
 
iv) Intervalo semiabierto por la derecha 
  a,b x / a x b     R 
 
 
 
Si a = b entonces  }a{]a,a[pero,Øa,aa,aa,a  
 
Ejemplo 1 
 
Determine el conjunto   xJ R 7x41x9x2/  
 
Solución: 
 
2x 9 x 1 x 1 4x 7
x 8 2 x
A 2; 8
      
  
 
 
 
 
 
 
INTERVALOS DE EXTREMOS INFINITOS 
 
a,  = { x  R : a < x } 
 [ a,+ = { x  R : a  x } 
, b  = { x  R : x < b } 
 , b ] = { x  R : x  b } 
 , + = R 
 
 
Propiedad. 
Si x, z  J (intervalo) y si w  R, tal que x < w < z, entonces w  J. 
 

 

 
a b 

 

 
a b 
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Definición: 
 
Si I es un intervalo de extremos a y b, con a < b, la longitud del intervalo I es b – a. 
 
OPERACIONES CON INTERVALOS 
 
Con los intervalos se puede realizar las mismas operaciones entre conjuntos, como son 
unión, intersección, diferencia, complemento. 
 
Siendo I, J intervalos, se tiene que 
I  J = {x  R / x  I  x  J} ; I  J = {x  R / x  I  x  J} 
I – J = {x  R / x  I  x  J} ; I' = {x  R / x  I} 
   JIJIJI  
 
Ejemplo 2 
 
Si   xI R 7x 1x/    xJ R 5x3x/  .IJhalle,  
 
Solución: 
'IJIJ  
 I ; 1 7 ;     luego  7 ; 1'I  
 J ; 3 5 ;     
   7 ; 53 ; 1IJIJ '  
 
Ejemplo 3 
 
1. Si 
2x 1 1 9
; 
x 3 3 2
  
   
, halle el menor número real M; tal que M2x  . 
 
 Solución: 
 
 

2x 1 9 5 9
3 3 2
x 3 2 x 3 2
5 5
 1
x 3 2
1 1 1
 
5 x 3 2
 5 x 3 2
x 2 3 M 3,
M 3

     
 
  

  

    
       
  
 
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RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN 
 
1. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES 
 
Si a  0, b  0 se cumple: 
i. a b 2 ab  = a + b 
ii. a b 2 ab  = a – b (si a  b) 
iii. Fórmula: 
 a b = 
a c
2

  
a c
2

, siendo c = 
2a b 
 
Ejemplo 1. 
Transformar a radicales simples 11 2 30 
 
Solución: 
11 2 30 = (6 5) 2 (6)(5)  = 6 5 
 = 6 5 
Ejemplo 2 
Transformar a radicales simples 8 48 
 
Solución: 
Usamos la formula (iii), vemos que a = 8, b = 48 → =
2c 8 48 4   , luego 
8 4 8 4
8 48
2 2
 
   
 6 2  
 
Ejemplo 3. 
Simplifique: R 12 2 15 4 5 4 3    
 
Solución: 
R 12 2 15 4 5 4 3
R 5 3 4 2 5 3 2 5 4 2 4 3
R 5 3 4
R 5 3 2
   
      
  
  
 
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2. RACIONALIZACIÓN 
Racionalizar una expresión es reemplazar por una equivalente que no contenga 
radical en el denominador. Esto se consigue multiplicando al numerador y 
denominador por un factor racionalizante (FR). 
 
Ejemplo 4. 
Racionalice el denominador de 
1
3 2 2
 
 
Solución: 
1
3 2 2
 = 
1
2 1
( 2 1)
( 2 1)


 = 
2 1
1

; en este caso FR = 2 1 
 
Observación. 
Para encontrar el factor racionalizante es conveniente tener en cuenta las identidades: 
I. a2 – b2 = (a + b) (a – b) 
ii. a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) 
iii. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) 
 
Ejemplo 5. 
Al racionalizar y simplificar: 
6 6 
1
4 2 1 
, indique el denominador. 
 
 Solución: 
6 6 
1
4 2 1 
 = 
6 
6 6 6 
1 2 1
4 2 1 2 1


  
 =
6 6 6 
3 6 
2 1 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1)
12 1 2 12 1
    
  
 
 
El denominador luego de simplificar es 1. 
 
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SEMANA Nº 3 
 
Ecuaciones Lineales y de Segundo Grado con una variable e 
Inecuaciones Lineales y de Segundo Grado con una variable 
 
1. Ecuaciones Lineales con una incógnita 
 
 Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma: 
 
 
 
 
 … (I) 
 
 donde a y b son constantes y “x” se denomina variable, incógnita ó indeterminada. 
 
 1.1 Conjunto Solución: El conjunto formado por todos los valores de “x” que 
verifican (I) es llamado el conjunto solución (C.S.) de (I). 
 
Observación: Teniendo en cuenta la ecuación (I) se presentan los siguientes casos: 
 
Casos C.S. 
i)  a 0, b 
b
C.S.
a
 
  
 
 (I) presenta solución única. 
ii) a 0,b 0  C.S. (I) presenta infinitas soluciones. 
iii) a 0, b 0  C.S.  (I) no existe solución. 
 
 Ejemplo 1: 
 
 Halle el conjunto solución de 
x 5x 2x 1
3
3 2 5

   
 Solución: 
 
 Multiplicando a ambos lados de la ecuación por 30 = mcm (3,2,5) 
 Tenemos: 10x – 75x + 90 = 12x – 6 
 96 = 77x 
 
96 77x
96
x
77
96
CS
77


 
   
 
 
 
ax b 0  
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 Ejemplo 2: Si la ecuación 2nx m 4 5 8x    tiene infinitas halle el menor valor de 
m+n. 
 
 Solución: 
 
 De la ecuación resulta   2n 8 x m 9 0    
 
 Para tener infinitas soluciones se cumple n + 8 = 0 ; m2 – 9 = 0 
 
 
n 8 (m 3 m 3)
m n 5 m n 11
La respuesta es 11
       
       

 
 
 
2. Ecuaciones de Segundo Grado 
 
 Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma: 
 
 
 
 
 donde 2b 4ac   es llamado discriminante de la ecuación de segundo grado. 
 
 Esta ecuación tiene dos soluciones: 
 
1 2
 b b
x y x
2a 2a
     
  
 
 
2.1 Naturaleza de las soluciones 
 
Casos Tipos de soluciones 
0  reales y distintas 
0  reales e iguales 
0  no reales y conjugadas 
 Además se cumple que: 1 2 1 2
b c
x x , x x
a a
    
 
Observación : Se puede construir una ecuación cuadrática mónica donde m y n 
sean soluciones, dicha ecuación es: 
2x (m n)x mn 0    
 
 Ejemplo 3: 
 
 Forme una ecuación donde 3 y –7 sean las soluciones. 
     2ax bx c 0; a 0 , a,b,c 
 
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 Solución: 
 
 La ecuación es: 
 
2
2x (3 7)x (3)( 7) 0
x 4x 21 0
     
  
 
 
3. Desigualdades e Inecuaciones 
 
 3.1 Desigualdades: Son aquellas expresiones de la forma: 
 
a < b , a  b, a >b, a b . 
 
 3.1.1 Propiedades 
 
 i. Si a < b y b < c  a < c. 
 ii. Si a < b      a c b c ; c . 
 iii. Si a < b y c > 0  ac < bc. 
 iv. Si a < b y c < 0  ac > bc. 
 3.2 Inecuaciones Lineales con una variable 
 
Son aquellas desigualdades que presentan una incógnita o variable y que 
pueden reducirse a la forma: 
 
 
 
 
Ejemplo 4: Si x > –4, halle la suma de los cuadrados de las soluciones enteras 
del conjunto solución de 
x 3 2x 1
4 3
 
 
 Solución: 
 Multiplicamos a ambos lados de la inecuación por 12 = mcm(3,4): 
 
 
2 2
3x 9 8x 4
5 5x
1 x
pero x 4
4 x 1 CS 4, 1
así ( 3) ( 2) 13
  
 
 
 
       
   

 
 
ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; a 0         
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4. Inecuaciones
de Segundo Grado 
 
 
 
 
 
Para resolver (*) se presentan los siguientes casos: 
 
CASO I. Si 2b 4ac 0,    
resolveremos la inecuación aplicando puntos críticos 
 
  2 1 2 1 2
1 2
I.1) Si ax bx c 0 a x r x r 0 donde r y r son llamados puntos críticos;
 supongamos que r r ; luego en la recta real se colocará los puntos y entre los puntos
 los signos (+) , (-) y (+) 
      

alternadamente comenzando por la derecha y siempre 
 con el signo (+) 
 
 
 
 
Luego el conjunto solución de la inecuación I.1) será los intervalos con signos positivos 
 
 1 2C.S. ,r r ,    
   2I.2) Si ax bx c 0 1 2C.S. ,r r ,     
   2I.3) Si ax bx c 0  1 2C.S. r ,r  (intervalo negativo) 
   2I.4)Si ax bx c 0 1 2C.S. r ,r  
 
Ejemplo 5: Resuelva la inecuación: 
 
a)   2x 5x 24 0 
 
Solución: 
 
  
  
2a) 5 4 1 24 121 0
Factorizando por aspa simple x 8 x 3 0 
luego los puntos críticos son : 8 y 3.
     
  

 
 
Gráficamente 
 
C.S. , 8 3,      
+ + 
r1 r2 
– 
+ + – 
–8 3 
 
2ax bx c 0 ; ( 0 , 0 , 0) a 0,a > 0, a,b,c         ; (*) 
 
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CASO II. Si 2b 4ac 0    
 
2
2
2
2
II.1) ax bx c 0 C.S.= 
II.2) ax bx c 0 C.S.=
II.3) ax bx c 0 C.S.= 
II.4) ax bx c 0 C.S.= 
   
   
    
    
 
 
Ejemplo 6: Resuelva la inecuación 23x x 5 0   
 
Solución: 
 
    
2
1 4 3 5 59 0 C.S.        
 
CASO III. Si 2b 4ac 0,    
 
   
   
 
22
22
22
22
III.1) ax bx c 0 a x r 0 C.S.= 
III.2) ax bx c 0 a x r 0 C.S.= r
III.3) ax bx c 0 a x r 0 C.S.= r
III.4) ax bx c 0 a x r 0 C.S.= 
      
       
      
       
 
 
Ejemplo 7: Resuelva la inecuación   24x 12x 9 0 
 
 
Solución: 
 
     
2
12 4 4 9 0 C.S.       
 
 
4.1. Teorema ( Trinomio Positivo ) 
 
Sea  a,b,c  , se cumple que: 
          2ax bx c 0 , x a 0 0 . 
 
Ejemplo: 2x 2x 7 0   su conjunto solución es puesto que 
 2(2) 4(1)(7) 0    y su coeficiente principal 1 es positivo . 
 
 
 
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Álgebra 
 
SEMANA Nº 4 
 
1. VALOR ABSOLUTO 
 
1.1 Definición. 
 
Sea a  ℝ , el valor absoluto de a , denotado por a , se define por: 
 a , si a 0
a
a , si a 0

 
 
 
 
Propiedades: 
 
Sea a, b  ℝ , se tiene las siguientes propiedades 
 
i. a 0
ii. a 0 a 0
iii. ab a b
iv. a a
aa
v. , si b 0
b b

  

 
 
 
 
Observaciones 
 
i. 
n na = a si n  Z y n es par. 
ii. 
n na = a, si n   1 Z y n es impar. 
iii. 
22 2a a a  . 
 
1.2 Ecuaciones con valor absoluto 
 
i. a = b  b  0  ( a = b  a = – b ) 
ii. a = b  a = b  a = – b 
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iii. λa =  a ,  
 
 
Ejemplo 1 
 
 Si a, b ( a > b) son soluciones de la ecuación  2x 2 x 3 6 x 1    , halle el valor de 
a – 3b. 
 
 
Solución: 
 
  
 
2
2
2
x 2 x 3 6x 6
x 6x 9 9 2 x 3 6 0
x 3 2 x 3 15 0
x 3 5 x 3 3 0
Como x 3 3 0 , x x 3 5
x 3 5 x 3 5
x 8 x 2
a 8 y b 2
luego a 3b 8 3 2 14
   
      
    
    
       
      
   
   
    
 
 
1.3 Inecuaciones con valor absoluto 
 
i. a  b  b  0  ( – a  b  a ) 
ii. a  b  a  b  a  – b 
iii   a b a b a b 0     
 
Ejemplo 2 
 
 Resolver 
 
 
2
x 5 3 x 5 4    
 
 Solución: 
 
 
2
x 5 3 x 5 4 0     
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   x 5 4 x 5 1 0
Como x 5 1 0 , x
x 5 4 4 x 5 4
1 x 9
x 1, 9
    
    
       
  
 
 
 
 
2. NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 El conjunto de los números complejos se denota por: 
 
 ℂ = { a + b i / a, b  ℝ  i2 = –1 } 
 
 Notación: z = a + b i, donde a = Re(z) y b = Im(z). 
 
2.1 Igualdad de números complejos. 
 
 a + b i = c + d i  [ a = c  b = d ] 
 
2.2 Operaciones con números complejos. 
 
Si z a bi, w c di entonces    
z w (a c) (b d)i     
z. w (ac bd) (bc ad)i    
 
2.3 Definiciones: Sea z = a + bi. 
 
z = a – b i se llama conjugado de z. 
| z | = 2 2a b se llama módulo de z. 
 
 Observación: 
 (1 + i)2 = 2 i; (1 – i)2 = – 2 i; 
1 i
1 i


 = i; 
1 i
1 i


 = – i 
 
2.4 Propiedades: 
 
 Sean z, w  ℂ se tiene las siguientes propiedades. 
 
 1. z z = | z |2 6. z w = z + w 
 
 2. z + z = 2 Re(z); z – z = 2 i Im(z) 7. z w = z –w 
 
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 3. | z | = | z | = | –z | 8. zw = z w 
 
 4. | zw | = | z | | w | 9. z = z 
 
 5. 
z
w
=
z
w
 ; w  0 10. 
nnz z , n   Z 
 
 
2.5 Potencias de la unidad imaginaria i. 
 
 4i = 1, 4 1i  = i, 4 2i  = – 1, 4 3i  = – i 
 
 Ejemplo 3 
 
 Si z es un número complejo que verifica la ecuación 
6 4i 2i
3i
5 i z 1

 
  
, halle z . 
 Solución: 
 
 
  
  
 
  
2 2
6 4i 5 i 2i
3i
5 i 5 i z 1
26 26i 2i
3i
26 z 1
2i
1 i 3i
z 1
2i
1 2i
z 1
2i 1 2i 4 2i
z 1
1 2i 1 2i 5 5
9 2i
z
5 5
9 2 85
luego z
5 5 5
  
 
    
 
 

   

  

 
   
   
 
   
      
    
 
 
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Álgebra 
 
SEMANA Nº5 
 
POLINOMIOS 
 
 
DEFINICIÓN 
 
Llamaremos polinomio de grado n en la variable x a la expresión algebraica de la forma 
n n 1 n 2
n n 1 n 2 1 0p(x) a x a x a x ... a x a
 
       
donde n

0 y 0 1 2 na ,a ,a ,...,a son números en un conjunto numérico , llamados 
coeficientes del polinomio. El coeficiente na 0 es llamado coeficiente principal 
mientras que al coeficiente 0a se le llama término independiente. 
Con respecto al conjunto , este puede ser el conjunto de los , , o . 
 
EJEMPLOS 
 
Polinomio Grado Coeficiente 
Principal 
Término 
Independiente 
 
p(x) = 4x9 +9x12 + 4 – x 12 9 4 
 
q(x) = – 6 + x4 – 2x + x2 4 1 – 6 
 
TEOREMA: Dado un polinomio p(x) se cumple: 
 
1) La suma de coeficientes de p(x) es igual a p(1) 
2) El término independiente de p(x) es igual a p(0) 
 
POLINOMIO MÓNICO 
 
Un polinomio p(x) se dice mónico si su coeficiente principal es uno. 
 
 
EJEMPLO 
  5 2p x 4x 7 1x 2x    es un polinomio Mónico. 
POLINOMIOS IDÉNTICOS 
 
Dos polinomios en una variable y del mismo grado de las formas 
 
 n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0p(x) a x a x a x ... a x a
 
       y 
 n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0q(x) b x b x b x ... b x b
 
       
 
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son idénticos si y sólo si: 
n na b , ... , 2 2a b , 1 1a b , 0 0a b . 
 
OBSERVACIÓN: 
También decimos que los polinomios p(x) y q(x) son idénticos si p(α) = q(α); α ℝ . 
 
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO 
 
Un polinomio       
n n 1
n n 1 1 0p x a x a x ... a x a es idénticamente nulo si 
    n n 1 1 0a a . . . a a 0 . 
 
EJEMPLO 
 
Dado el polinomio idénticamente nulo        2 2p x x 4 ax bx c 2bx , calcule el 
valor de (a+ b+ c). 
 
solución 
 
 
 
2 2
2
0 00
p x x 4 ax bx c 2bx
p x (1 b)x (a 2b)x ( c 4)
b 1; a 2 ; c 4
a b c 7
 
     
 
    
     
   
 
 
OBSERVACIÓN 
El polinomio p(x) es también idénticamente nulo si y solo si p() = 0 ; α ℝ. 
 
POLINOMIO ORDENADO 
 
Diremos que un polinomio es ordenado en forma creciente (o decreciente) respecto a una 
de sus variables, cuando los exponentes de la variable mencionada solo aumentan (o 
disminuyen). 
 
 
EJEMPLOS 
 
1) En p(x) = x5 – 3x4 + x3 – x2 +2x – 4, los exponentes de la variable x son 5 ,4, 3, 2, 1,0; 
en ese orden entonces p(x) está ordenado en forma decreciente. 
 
2) En   5 16q z 4z 2 z 8z   , los exponentes de la variable z son 1, 5, 16; en ese 
orden entonces q(z) está ordenado en forma creciente. 
 
3) En 4 6 8 4 10 3p( x,y) 3x x y 7x y 9x y x y     solo los exponentes de la variable x están 
aumentando entonces  p x,y está ordenado en forma creciente respecto a la 
variable x. 
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GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO RESPECTO A UNA VARIABLE (G R) 
 
Es el mayor exponente de la variable en referencia que aparece en el polinomio. 
EJEMPLO 
7 4 4 8 5 3p( x,y) 5x y 7x y 11x y    GRx [p(x,y)] = 7  GRy [p(x,y)] = 8 
 
GRADO ABSOLUTO (G A) 
 
A) Para un monomio: El grado absoluto de un monomio se obtiene sumando los 
exponentes de las variables que aparecen. 
 
EJEMPLO 
2 7 3 5m( x,y,z) a x y z  GA [m(x, y, z)] = 15 
 
B) Para un polinomio: El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados 
absolutos de los monomios que lo conforman. 
 
EJEMPLO 
2 3 9 7 2 3 11 43bq( x,y) 2a x y x y c x y
2
    GA [q(x, y)] = 11 + 4 = 15 
 
 
POLINOMIO COMPLETO 
 
Diremos que un polinomio de varias variables es completo respecto a una de sus 
variables si en cada término del polinomio está la variable elevada a un exponente 
diferente en otro término que lo contiene, desde cero hasta el grado relativo del polinomio 
respecto de esa variable. 
 
EJEMPLOS 
 
1) En 2 3 4p(x) 6x 9x 3 8x 5x     
 0 1 2 3 4vemos que aparecen los términos x , x , x , x , x entonces p x es un 
polinomio completo de grado 4. 
 
2) En   2 3 3 4 2 5 4r x,y 6x 2x y 5x y 3x y 2x y     aparecen 
0 1 2 3 4y ; y ; y ; y ; y . 
Entonces el polinomio es completo respecto a la variable y. 
3) En el ejemplo 2 anterior: 
x
GR r(x,y) 5   pero no está 
0x luego  r x,y no es 
completo respecto de x. 
 
POLINOMIO HOMOGÉNEO 
 
Un polinomio es homogéneo si cada término del polinomio tiene el mismo grado 
absoluto. Al grado absoluto común se le denomina grado de homogeneidad o 
simplemente grado del polinomio. 
 
EJEMPLO 
 
3 4 2 5 6 7p( x,y) 3x y 2x y 9x y y    
 
 GA 7 GA 7 GA 7 GA 7 
el polinomio es homogéneo y su grado de homogeneidad es 7. 
 
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SEMANA Nº6 
 
Productos Notables 
 
 Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede 
recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación. 
 
1. Binomio al cuadrado 
 
 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
 
 Ejemplo: Efectuar (5x – 2y)2 
 
 Solución: 
 
 (5x – 2y)2 = (5x)2 – 2 (5x) (2y) + (2y)2 
 = 25x2 – 20xy + 4y2. 
 
2. Identidades de Legendre 
 
 (a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2) 
 (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 
 
3. Diferencia de cuadrados 
 
 (am + bn) (am – bn) = a2m – b2n 
 (a + b) (a – b) = a2 – b2 
 
4. Binomio al cubo 
 
 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 
 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) 
 
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 Ejemplo: 
 Si se cumple 
1 x y 1 4
x y x y
 
 

, determine el valor de y xA x y 1   . 
 
 Solución: 
 
 
 
2
2 2
2
x x
x y 4
xy x y
x y 4xy
x 2xy y 0
x y 0
x y
A x x 1
A 1.



 
  
 

  

 
 
 Ejemplo: 
 
 Si 2x 2x 1 0   , halle el valor de 44T x x  . 
 
 Solución: 
 Del dato se tiene: 
2x 1 2x
x x

  
 
1
x 2
x
   
 Elevando al cuadrado:  
2
21
x 2
x
 
   
 
 
 
2
2
2
2
1 1
x 2x 4
xx
1
x 6
x
  
 
 
 Elevando al cuadrado: 
 
 
2
22
2
4 2
4 2
4
4
1
x 6
x
1 1
x 2x 36
x x
1
x 34.
x
 
  
 
  
 
 
 
5. Suma y diferencia de cubos 
 
 a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) 
 a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) 
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 Ejemplo: Si 6 6 2 2x y x y 0    , calcule el valor de 4 4 2 2R x y x y   . 
 
 Solución: 
 
 
   
  
3 3
6 6 2 2
2 2 4 2 2 4
1) Por diferencia de cubos
x y x y
x y x x y y
  
   
 
 
6 6 2 2
2) De la condición:
x y x y   
 
  2 2 2 2 4 2 2 4
4 2 2 4
3) igualando
x y x y x x y y
R x x y y 1.
    
   
 
 
6. Multiplicación de binomios con un término común 
 
 (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 
 (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 
 
 Ejemplo: Si (x + 2) (x – 5) = x2 + 3m x + n + 1, determine el valor de m + n. 
 
 Solución: 
 (x + 2) (x – 5) = x2 + (2 + (–5)) x + 2 (–5) = x2 – 3 x –10 
 Luego: 
 3m = – 3 y n + 1 = –10 
 Entonces m = – 1 y n = –11 
 Por lo tanto, m + n = –12. 
 
7. Cuadrado de un trinomio 
 
 (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) 
 
8. Cubo de un trinomio 
 
 (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b)(b + c)(a + c) 
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc 
 (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)( ab + bc + ac) – 3 abc 
 
 
9. Identidades de Lagrange 
 
 (ax + by)2 + (bx – ay)2 = (x2 + y2) (a2 + b2) 
 (ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) 
 
 
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10. Identidades condicionales 
 
 Si a + b + c = 0, entonces 
 
 I)  2 2 2a b c 2 ab bc ac      
 II) 3 3 3a b c 3abc   
 III)  
 
2
2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c 2 a b a c b c
2
 
      
 IV)  5 5 5a b c 5abc ab ac bc      
 
11. Otras identidades 
 
 
  
  
        
3 3 3 2 2 2
2 23 3 3 2
4 2 2 2
a b c – 3 abc a b c a b 
a a 1
c – ab – ac – bc
1
a b c – 3 abc a b c 
a a 1 a a
2
1
a b b c c a
      
  
      
     
 
 
 Ejemplo: 
 
 
  2 2 3Si a b a ab b 6 c
a b b c 6
    
   
, simplifique 
3(2 abc)
N .
a b c


  
 
 Solución: 
 
 
 
 
        
 
2 223 3 3 1 a b c a b b c c aa b c 3abc 
M
a b c a b c
2
      
 
  



 
 
 
     
2 2 2
y desde que : a b 6 y b c 6
entonces: a c 2 6
1
M 6 6 2 6 18.
2
   
 
 
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Álgebra 
 
SEMANA Nº 7 
 
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
 
1. DEFINICIÓN: Es la operación cuya finalidad es obtener las expresiones algebraicas 
llamadas cociente q(x) y resto r(x) dadas otras dos expresiones denominadas 
dividendo D(x) y divisor d(x). 
 
 Esquema: 
 
 
 
 
 
2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN: Dados D(x), d(x)  [x]; d(x)  0, existen 
polinomios q(x) y r(x) únicos, tales que: 
 
 
 D(x) = d(x) q(x) + r(x) … (1) 
 
donde r(x) = 0 ó grad [r(x)] < grad [d(x)] . Los polinomios q(x) y r(x), se denominan 
cociente y residuo, respectivamente. 
 
 Ejemplo 1:
x3 – 7x + 4 = (x – 2) ( x2 + 2 x – 3 ) – 2 
 
 D(x) d(x) q(x) r(x) 
 
 Propiedades 
 
 i. grad [D(x)]  grad [d(x)] 
 
 ii. grad [q(x)] = grad [D(x)] – grad [d(x)] 
 
 iii. grad [r(x)]max = grad [d(x)] – 1 
 
 CLASES DE DIVISIÓN 
 
EXACTA: Si r(x) = 0 INEXACTA: Si r(x)  0 
De (1): D(x) = d(x) q(x) 
 
i) D(x) es divisible por d(x). 
 
ii) d(x) es un divisor ó es un factor 
 de D(x). 
De (1): D(x) = d(x) q(x) + r(x) 
 
donde: 0  grad [r(x)] < grad [d(x)] 
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2.1. Criterios para dividir polinomios: 
 
 2.1.1. Métodos de división de polinomios: 
 
 Dos de los métodos de división son: 
 
 A) Método de Horner: Aplicable a polinomios de cualquier grado. 
 
i) El dividendo y el divisor deben ser polinomios ordenados generalmente 
ordenados en forma decreciente y completos, respecto a una misma variable. 
ii) Se completará con ceros los términos faltantes en el dividendo y divisor. 
iii) La línea vertical que separa el cociente del residuo se obtiene contando de 
derecha a izquierda tantas columnas como nos indica el grado del divisor. 
iv) El resultado de cada columna se divide por el coeficiente principal del d(x), y este 
nuevo resultado se multiplica por los demás coeficientes del d(x), colocándose 
los resultados en la siguiente columna y hacia la derecha. 
 
 Ejemplo 2: Dividir D(x) = 25x5 – x2 + 4x3 – 5x4 + 8 por d(x) = 5x2 –3 + 2x 
 
 Solución: 
 Ordenando y completando los términos del dividendo y divisor: 
 
 D(x) = 25x5 – 5x4 + 4x3 – x2 + 0x + 8, d(x) = 5x2 + 2 x – 3 
 
 Coeficiente 
 principal del d(x) Coeficientes del D(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B) Método de Ruffini: Es un caso particular del método de Horner aplicable sólo a 
divisores binómicos de la forma (x  b), o transformables a binomios. 
El esquema de Ruffini consiste en dos líneas, una horizontal y la otra vertical, tal 
como se muestra en la figura. 
5 25 –5 4 –1 0 8 
–2 –10 15 
3 
–15 
6 
 
25 
–9 
–10 
 
–20 
 
15 
8 
 
 
–12 
 
 
 5 –3 5 –4 
 
23 –4 
 
coeficientes del 
cociente q(x) 
 
coeficientes 
del resto 
 
Demás coeficientes 
del 
d(x) con signo 
cambiado 
 
q(x) = 5 x3 – 3 x2 + 5 x – 4 
r(x) = 23x – 4 
 
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 Ejemplo 3: Dividir 
5 3 22x 17x 3x 12x 6
x 3
   

 
 Solución: 
 
 
x–3=0 2 0 –17 3 –12 –6 
x =3  6 18 3 18 18 
 2 6 1 6 6 12 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo 4: Dividir 
4 3 26x x –10x 15x 9
3x 1
  

 
 
 Igualamos el divisor a cero 
1
3x 1 0 entonces x
3
   
 
 Resolviendo, tenemos el siguiente esquema 
 
 
 
Para encontrar el cociente correcto se divide a todos los coeficientes del cociente por 
el denominador de la fracción que se obtuvo para x, al igualar el divisor a cero. 
 Así 3 2q(x) 2x x 3x 4 y r 5      . 
 El siguiente teorema nos permite encontrar el resto sin efectuar la división. 
 
3. TEOREMA DEL RESTO El resto r de dividir un polinomio p(x) por un binomio de la 
forma ax  b, es igual al valor numérico que se obtiene al reemplazar en el dividendo 
x =  
a
b
. 
6 -101 -915
1
3
6 3
2
-9
1 -3
-5
4
12
-31 42
3
q(x) = 2x4 +6x3 +x2+6x+6 
 
r = 12 
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 En conclusión: Si p(x)  (ax – b)  r = p 





a
b
. 
 
 Regla práctica: 
 
  El divisor se iguala a cero. 
  Se despeja la variable. 
  La variable obtenida en el paso anterior se reemplaza en el dividendo, obteniéndose 
así el resto. 
 
 Ejemplo 5: Halle el resto al dividir 
17 16 2x 3x – 5x 14x 8
x 3
  

. 
 Solución: 
 
 1º d(x) = 0  x + 3 = 0 
 2º Despeje conveniente: x = – 3 
 3º        
16 17 2
r 3 3 3 – 5 3 14 3 8 5         
  resto = 5 
 
 Ejemplo 6: Determine el resto de la siguiente división 
3 6 3 5 3
3
(x 4) (x 2) (x x 1)
x 3
    

. 
 
 Solución: 
 
 Aplicando el Teorema del resto 3 3x 3 0 x 3    
 Si reemplazamos en el dividendo 
 
6 5 6 5r(x) (3 4) (3 2) (3 x 1) ( 1) (1) 2 x
r(x) x 3
         
   
 
 
4. DEFINICIÓN: Diremos que r es raíz o cero de p(x), si p(r) = 0. 
 
 Ejemplo 7: Para el polinomio 3 2p(x) 2x 3x 11x 6    
 
 Vemos que x 3 es una raíz de p(x) pues se tiene que 
 3 2p(3) 2(3) 3(3) 11(3) 6 54 27 33 6 60 60 0           . 
 También vemos que x 1 no es una raíz de p(x) pues 
 
3 2p(1) 2(1) 3(1) 11(1) 6 2 3 11 6 8 14 6
es decir, p(1) 0.
           

 
 
5. TEOREMA DEL FACTOR: Si “a” es un cero de p(x), entonces (x – a) es un factor de 
p(x). 
 
p(x) = (x – a) q(x) 
 
 5.1. Propiedades 
 
 1º p(x) es divisible separadamente por (x – a), (x – b) y (x – c)  p(x) es divisible 
por (x – a) (x – b) (x – c). 
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Álgebra 
SEMANA Nº 8 
 
Binomio de Newton 
 
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de una 
potencia n-ésima de un binomio; es decir se trata de expandir el desarrollo de  
n
a b . 
 
El teorema de Newton establece el desarrollo de  
n
a b como: 
 
(a + b)n = n n 1 n 2 2 n 1 n
n n n n n
a a b a b ... ab b
0 1 2 n 1 n
                        
         
 
Es decir: (a + b)n = 
n
n k k
k 0
n
a b
k


 
 
 
 ; n   , k 0
 . 
 
Cálculo de un término cualquiera: k 1T  , en el desarrollo del binomio ( a + b)
n es 
 
 
n k k
k 1
n
T a b
k


 
 
 
 
 
 0  k  n, k  
 
 
 
Ejemplo: 
Halle el término independiente en el desarrollo del binomio 
9
1
2x
x
 
 
 
. 
 
Solución: En este caso 
1
a 2x b
x
    
 
       
k
9 k
2
k
2
k
9 k
k 1
9 k
9 k k 9 k k
k 1
9 1
T 2x
k x
9 9x
T 2 1 2 1 x
k k
x
 



 

   
     
  
   
       
   
 
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El término independiente (t.i) se obtiene cuando: 
k
9 k 0
2
   
3k
9 0
2
k 6
  
 
 
 
 El ( t.i) es :    7
3 69 9! 7x8x9
T 2 1 .8 x8 672.
6 6!.3! 6
 
     
 
 
Observaciones: 
 
1. El desarrollo del binomio tiene ( n+1) términos. 
 
2. Si a = b = 1  (1 + 1)n = 
n
k 0
n
k
 
 
 
 = 2n, además se tiene: 
 
 i. n 1
Suma de términos de lugar impar
n n n n n
2
0 2 4 6 8
                       
         
 
 ii. n 1
Suma de términos de lugar par
n n n n n
2
1 3 5 7 9
                       
         
. 
 
 
3. TC: término central 
 
 a) Si n es par, se tiene un único término central  TC = n
1
2
T

 
 b) Si n impar, se tiene dos términos centrales  TC = n 1
2
T  y TC = n 1
1
2
T 

 
 
 
 
COCIENTES NOTABLES 
 
Son aquellos cocientes que provienen de divisiones exactas entre binomios que adoptan 
la forma general: 
n nx a
x a


 . 
 
El desarrollo de un cociente notable es: 
 
n nx a
x a


 = xn – 1  xn – 2 a + xn – 3 a2  xn – 4 a3 + . . .  an – 1 , con n 
 
 
Observación: En el desarrollo anterior se tiene n términos. 
 
 
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Propiedad.
Si 
p r
q s
x y
x y


 es un cociente notable, entonces el número de términos del cociente notable 
es 
p
q
=
r
s
, q  0, s  0. 
 
Caso División 
Indicada 
Cociente Notable Residuo: R 
1 
ax
ax nn


 
xn – 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 + . . .  an – 1 R = 0, n Z+ 
2 
ax
ax nn


 
xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . - an – 1 R = 0, 
n Z+, par 
3 
ax
ax nn


 
xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . + an – 1 R = 0, 
nZ+, impar 
4 
ax
ax nn


 
No es cociente notable R ≠ 0, 
nZ+ 
 
Cálculo de un término cualquiera: KT , de un cociente notable. 
 
1. Para el caso 1 : 
Tk = xn – k ak – 1 ; 1  k  n 
 
 
2. Para los casos 2 y 3 : 
 Tk = (-1)
k-1xn – k ak – 1 ; 1  k  n 
 
El término central (TC) : 
 
a) Si n es impar, se tiene un único término central  TC = n 1
2
T  
b) Si n es par, se tiene dos términos centrales  TC = n
2
T y T’C = n
1
2
T

 
 
Ejemplo: 
 
En el desarrollo del cociente notable 
 5 2m 14 15m 45
m 2 m 7
3 2
x y
x y
 
 


, halle el término de lugar veinte. 
Solución: 
 
En este caso por ser Cociente Notable: 
 
 5 2m 14 15m 45
i)
m 2 m 7
3 2
 

 
 
 
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     
     
15 2 m 7 15 2 m 3
m 2 m 7
m 7 m 7 m 2 m 3
m 11.
 
 
 
     
 
 
 
   
180 120
3 2
60 20 19
3 2 120 38
20
x y
ii)
x y
t x y x y .



  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA Nº 9 
 
RAÍCES DE UN POLINOMIO 
 
1. Definición: Un polinomio de grado n en la variable x, es una expresión algebraica de 
la forma: 
2 n 1 n
0 1 2 n 1 n np(x) a a x a x a x a x ; a 0; n
 
        , 
 
donde los coeficientes n1n210 a,a,,a,a,a  son constantes (reales o complejas). 
 
1.1 Observación: 
 
Si p(x)K[x]; diremos que los coeficientes del polinomio p(x) son constantes que 
pertenecen al conjunto K; donde K puede ser Z, Q, R, ó C. 
 
 Ejemplo 1: 
 1) ]x[1x
3
2
x2.0x5)x(p 24 Q 
 2) ]x[x27x1.4x)x(p 32 R 
 3) 2 3p(x) 2x 6x ( i 3)x [x]    C 
 
2. Definición:  es una raíz de p(x) ϵ K ];x[ si p() = 0. 
 
 Ejemplo 2: 
 1) 
4
1
 es raíz de 1x2x8)x(p 2  ; dado que 0
4
1
p 





. 
 2) i 32 es raíz de 13x4x)x(p 2  ; dado que   0i 32p  . 
3. Definición:  es una raíz de multiplicidad mZ+ de p(x) si 
);x(q)x()x(p m donde 0)(q  . 
Ejemplo 3: 
 Si )1x()2x()4x()x(p 23  
 
Raíces  de p(x) Multiplicidad m 
 = – 4 m = 3 
 = – 2 m = 2 
 = 1 m = 1 (raíz simple) 
 
3.1 Observación: La multiplicidad indica el número de veces que se repite una raíz. 
 
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4. Raíces de un polinomio cuadrático: 
 
 
 
 Las raíces de p(x) son: 
2 2
1 2
b b 4ac b b 4ac
x y x
2a 2a
     
  
 
 4.1 Observación: ac4b2  es llamado el discriminante de p(x). 
 
 4.2 Para conocer la naturaleza de las raíces de p(x) ]x[R , estudiamos al 
discriminante: 
 
 Si  > 0, p(x) tiene raíces reales y diferentes. 
 Si  = 0, p(x) tiene raíces reales e iguales. 
 Si  < 0, p(x) tiene raíces complejas y conjugadas. 
 
 Ejemplo 4: 
Si el polinomio cuadrático 2
m
p(x) 11 18 x mx 1
2
 
    
  
tiene raíces no reales, 
halle la suma de valores enteros que toma m. 
 
 Solución: 
  p(x) tiene soluciones no reales   < 0. 
     
2 m
m 4 11 18 1 0
2
 
      
  
 
 
2m 22m 72 0
(m 4)(m 18) 0
4 m 18 m 5,6,...,17
Rpta 5 6 ... 17 143.
  
  
    
      
5. Relación entre raíces y coeficientes de un polinomio 
 
 5.1 Para el polinomio 
0a ;cbxax)x(p 2  
 Con raíces 21 x y x , se cumple: 
 i) 1 2
b
x x
a
   
 ii) 1 2
c
x x
a
 
 
 5.2 Para el polinomio 
3 2p(x) ax bx cx d ; a 0     
 
 Con raíces 321 x y x ,x , se cumple: 
 i) 1 2 3
b
x x x
a
    
0a];x[cbxax)x(p 2  R 
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 ii) 
1 2 1 3 2 3
c
x x x x x x
a
   
 iii) 
1 2 3
d
x x x
a
 
 
Ejemplo 5: El polinomio cúbico 3 2p(x) 2x x 7x 6    tiene 3 raíces, supongamos que 
sean 
1 2 3x , x y x sus raíces, así se cumple que 
 
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
1
i) x x x
2
7
ii) x .x x .x x .x
2
iiI) x x x 3
  
   
   
 
 
Hallando las raíces explícitamente por el método de los Divisores binómicos 
obtenemos que las raíces son 1 2 3
3
x , x 2 y x 1
2
    , para lo cual verificaremos la 
propiedad de Cardano: 
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
3 3 1
i) x x x ( 2) (1) 1
2 2 2
3 3 3 3 7
ii) x .x x .x x .x .( 2) .(1) ( 2).(1) 3 2 5
2 2 2 2 2
3
iiI) x .x .x .( 2).(1) 3
2
 
         
 
   
                  
   
 
    
 
 
 
6. Teorema de paridad de raíces 
 
 i) Si ]x[)x(p R y bia es una raíz de p(x), donde 
 a y b 0b y R entonces a bi   es otra raíz de p(x). 
 ii) Si ]x[)x(p Q y a b r es una raíz de p(x), donde a y b II , r y r  Q Q 
entonces a b r es otra raíz de p(x). 
 Ejemplo 6: 
a) Si p(x) [x]Q y tiene raíces a 3 y 2 5  entonces, 2 5  también es su 
raíz. 
b) Si p(x) [x]R y tiene raíces a 2i y 1 3  entonces, 2i y 1 3   también 
son sus raíces. 
 
 
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Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
CENTRO PREUNIVERSITARIO 
 
Álgebra 
SEMANA Nº 10 
 
Factorización de Polinomios 
 
POLINOMIO SOBRE UN CONJUNTO 
 
Los polinomios con coeficientes en ( , , , ó ) forman un conjunto denotado por 
 x ;es decir       x p x / p x es un polinomio con coeficientes en . 
 
Por ejemplo, el polinomio 2p( x ) 3x 4x 2    [x] pues sus coeficientes 3, 4 y –2 
pertenecen a . 
 
DEFINICIÓN 
 
Sean        f x , g x en x , g x 0. Decimos que g(x) es un divisor de f(x) en  x (o g(x) 
divide a f(x) en  x ) si existe h(x)  x tal que 
 
f(x) = h(x) . g(x) 
 
 
 
DEFINICIÓN 
 
Sean        f x , g x , h x en x tal que   GA f x 1 . Decimos que f(x) es un polinomio 
irreducible o primo sobre  x si      f x h x .g x implica que h(x) o g(x) es un polinomio 
constante. 
 
Si f(x) no es irreducible sobre  x decimos que es reducible o factorizable sobre  x . 
 
Como consecuencia se puede deducir que todo polinomio de grado 1 es irreducible. 
 
Ejemplos 
 
1)   2p x x 7x 12   es reducible en  x , pues      p x x 4 x 3   ; además los 
coeficientes  1, 7,12  
 
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2)   2p x x 3  es reducible en  x , pues      p x x 3 x 3   ; además los 
coeficientes  1, 3, 3  
3)   2p x x 3  es irreducible en  x . 
 
4)   2q x x 5 
 
es irreducible en  x y  x , pero es reducible en  x , porque 
     q x x 5 i x 5 i   , donde los coeficientes 1, 5 i, 5 i pertenecen a 
FACTOR PRIMO DE UN POLINOMIO 
 
Decimos que g(x) es un factor primo de un polinomio p(x), si g(x) es un divisor irreducible 
de p(x) en  x . 
 
Ejemplos 
 
 1) Los factores primos del polinomio      
3 62q x 7x x – 1 x 5  son : x , (x – 1) 
y (x – 5) en  x . 
 2) El factor  
3
x + 1 en  x , no es primo porque      3 2x + 1 x + 1 x + 1 . 
 
DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN 
 
La factorización, es el proceso algebraico mediante el cual un polinomio
se puede expresar 
como la multiplicación indicada de sus factores, sobre un conjunto 𝕂[𝑥]. 
 
TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ÚNICA 
 
Sea = ó , entonces todo polinomio      f x x 0  puede ser escrito en la forma 
 
     1 mf x a.p x . . . p x 
 
donde a        1 2 m0 y p x , p x , . . . ,p x son todos polinomios irreducibles sobre  x
. Más aún, tal expresión es única salvo la constante a y el orden de los polinomios 
     1 2 mp x , p x , . . . , p x . 
 
Ejemplo 
 
El polinomio   2p x x 5x – 14  en  x , admite la siguiente factorización única 
    p x x – 2 x 7 .  Excepto: 
 
 En otro orden:      p x x 7 x – 2   
 Factores afectados por constantes no nulas:     p x 2 – x – x – 7  
 
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NÚMERO DE FACTORES Y FACTORES PRIMOS DE UN POLINOMIO 
 
Supongamos que 
a b c m
1 2 3 np(x) p (x). p (x). p (x) ... p (x); a, b,...,m 
+ 
 
donde 1 2 3 np (x), p (x), p (x),..., p (x) son factores primos y primos entre si dos a dos, en un 
conjunto entonces 
 
 
a) El número de factores primos de p(x) es n. 
b) El número de factores (o divisores) de p(x) está dado por: 
 
 
 Nº de factores =  (a 1)(b 1)(c 1)...(m 1) 1     
 
Ejemplo 
 
Sea el polinomio 7 4p(x) ( x 4) ( x 2) ( x 5)    , tenemos que: 
 
 El número de factores primos de p(x ) es 3. ( No se cuenta el número de veces que 
aparece el factor ) 
 Número de factores de p( x ) es (7 + 1)(4 + 1)(1 + 1) – 1 = 79 
 
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 
 
1. Factor Común por agrupación de términos: Consiste en observar si el polinomio 
tiene uno o más factores comunes, que pueden ser monomios o polinomios. 
 
Ejemplo 
 
  4 3Factorizar p x x – 3x – 8x 24 en    x . 
 
Solución: 
 
 
        
   
   
     
4 3
3 3 3
2
2 2
p x x 3x 8x 24
p x x x 3 8 x 3 x 3 x 2
x 3 x 2 x 2x 4
x 3 (x 2) ( x 1) ( 3 i )
p x x 3 (x 2) x 1 3 i ( x 1 3 i)
   
      
    
    
       
 
 
2. Por Adición o Sustracción (QUITA y PON): Consiste en convertir binomios ó 
trinomios a trinomios cuadrados perfecto (T.C.P). El procedimiento a seguir lo 
presentamos en los siguientes ejemplos. 
 
 Ejemplos 
 i)   4Factorizar p x x 1  en  x . 
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Solución: 
 p(x) = x4 + 1 
 
 
 
 x2 1 
 
 
 
  2 22(x ) 1 2x  
Luego de extraer la raíz cuadrada a ambos términos, pasamos a considerar 
siempre el doble del producto de dichos resultados, obteniendo el término que 
deberemos sumar y restar. 
 
Entonces sumamos 2x2 (PON) y restamos 2x2 (QUITA) para completar un trinomio 
cuadrado perfecto y además obtener una diferencia de cuadrados. 
 
 
  4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
p x x 1 2x – 2x (x 1 2x ) – 2x
 (x 1) – 2x (x 1) – ( 2x)
 (x 1 – 2 x) (x 1 2 x)
     
   
   
 
 
 por lo tanto   2 2 p x (x – 2x 1) (x 2x 1)    
 
 ii) Factorizar   4 2 2 4p x,y x x y y   en  x ,y . 
 Solución: 
   4 4 2 2p x,y x y x y   
 
 
 
 x2 y2 
 
 
 
 2(x2)(y2) = 2x2y2 
 
Observemos que p(x,y) no es un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.), para que 
p(x,y) sea T.C.P., análogamente al ejemplo anterior, el segundo término debe ser 
2x2y2, lo cual se consigue sumando x2y2 (PON) y para que no se altere la igualdad se 
resta x2y2 (QUITA), así tenemos 
 
 
 
 
4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
p x,y x y x y x y – x y (x y 2x y ) – x y
 (x y ) – x y (x y ) – xy
 (x y – xy) (x y xy)
      
   
   
 
Entonces 
  2 2 2 2p x,y (x – xy y ) (x xy y )    
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3. Aspa Simple: Se emplea para factorizar trinomios de la forma: 
 
 
2n np(x) = Ax +Bx +C ó 
2n n m 2mp(x,y)=Ax +Bx y +Cy ; m, n  +. 
 
 Para factorizarlo descomponemos el primer y tercer término. 
 
 Ejemplo 
  2 2Al factorizar p x,y 12x 17xy 6y   en [x, y], halle la suma de factores 
primos. 
 Solución: 
   2 2 p x,y 12x 17xy 6y   
 
 4x 3y 4x( 2y) = 8xy 
 3x 2y 3x(3y) = 9xy + 
 
 17xy 
 Entonces 
    p x,y 4x 3y 3x 2y , asi la suma de factores primos es
4x 3y 3x 2y 7x 5y.
  
    
 
 
4. Cambio de Variable: Consiste en ubicar expresiones algebraicas iguales en el 
polinomio a factorizar, para luego hacer un cambio de variable, que nos permita 
transformar una expresión complicada en otra más sencilla. 
 
 Ejemplo 
 
 Halle el número de factores primos, al factorizar 
    
2
p( x ) [ x 3 2][ x x 6 5] 28      en  x . 
 
 Solución: 
 
   2 2p( x ) x 6x 7 x 6x 5 28      
 
 Observamos que 
2x 6x es una expresión común, entonces hacemos el cambio de 
variable 2y x 6x  , por lo tanto obtenemos 
 q y y 7 y 5 28   ( ) ( )( ) 
 Entonces q y y 2y 63  2( ) 
 aplicamos aspa simple, entonces      q y y 9 y 7   
 
 Finalmente recuperamos la variable x, 
 
 2 2p( x ) x 6x 9 x 6x 7    ( )( ) 
    
2p( x ) x 3 x 7 x 1( ) ( )( ) en  x . 
 Asi se tiene 3 factores primos. 
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5. Divisores Binómicos: Se utiliza para factorizar polinomios de una sola variable, de 
cualquier grado y es útil para encontrar divisores lineales (es decir de primer grado). 
 
 TEOREMA 
 Sea el polinomio en  x 
 
 
n n 1
n n 1 0 n
C.P. T.I
p(x) a x a x ..... a , a 0     . 
 Entonces las posibles raíces racionales de p(x) son de la forma 
c
b
 , con b y c primos 
entre sí, donde, b es un divisor del término independiente 0a y c es un divisor del 
coeficiente principal na . 
 
 En particular, si p(x) es mónico (es decir 1na  ), entonces las posibles raíces de p(x) 
son de la forma b (raíces enteras), donde b es un divisor del término independiente. 
 
 Ejemplo 
 Dado el polinomio   3 2p x x 3x 10x 8    , halle el número de factores de p( x ) 
en  x 
 
 Solución: 
 
 Observamos que p(x) es un polinomio mónico, las posibles raíces enteras son los 
divisores del término independiente 8, es decir {1, 2, 4, 8}. Utilizando el método 
de división por Ruffini, probamos que x= 1 es raíz de p(x) y por tanto 
 (x + 1) es un factor primo de p(x) en  x 
 
 En efecto: 
 
 1 3 10 8 
 
 – 1 –1 –2 –8 
 
 1 2 8 0 
 
 x2 + 2x + 8 
 Factor Primo en  x 
 
 Entonces 
     2p x x 1 ( x 2x 8)    
 
 Por lo tanto, el número de factores es (1+1) (1 + 1) – 1 = 3. 
 
 
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6. Aspa Doble: Se utiliza en la factorización de polinomios de la forma: 
 
 
2n n m 2m n mp(x,y)=Ax +Bx y +Cy +Dx +Ey +F; ,m n  . 
 
 En particular si m = n = 1, tenemos 
 
 
2 2p(x,y)=Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F . 
 
Para factorizarlo ordenamos el
polinomio en la forma general, si faltara algún término 
se completa con términos de coeficiente cero y luego se aplican tres aspas simples. 
 
 Ejemplo 
Factorizar   2 2p x,y 21x 5xy 4y 5x 11y 6      , en  x ,y . 
 
 Solución: 
 p(x,y) =
3er1er 2do 4to 5to 6to
2 221x 5xy 4y + 5 x 11y 6    
 
 
 7x – 4y – 3 
 
 
 3x y +2 
 
 (I) (II) 
 
Observamos las siguientes aspas simples: 
 
 Primera aspa simple (I), se obtiene de los términos: 1er , 2do y 3
er
. 
 
 Segunda aspa simple (II), se obtiene de los términos: 3
er
, 5to y 6to . 
 Tercera aspa simple, se obtiene del 1er , 4to y 6
to
 término, esta aspa nos permite 
 verificar todo el proceso. 
 
Por lo tanto p( x,y ) ( 7x 4y 3)( 3x y 2)     
 
7. Aspa Doble Especial: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: 
 
 
4n 3n 2n np(x)=Ax +Bx +Cx +Dx +E; n  . 
 
 En particular, si n = 1 tenemos: 
 
 
4 3 2p(x)=Ax +Bx +Cx +Dx+E . 
 
Para factorizarlo ordenamos el polinomio en forma decreciente completando los 
términos faltantes con términos de coeficiente cero. Descomponemos los términos 
extremos, tratando de que el aspa simple entre ellos se aproxime al término central. 
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 Ejemplo 
 Factorizar p(x) =
4 3 22x 3x 3x 34x 24    en  x . 
 
 Solución: 
 
 p(x) =
4 3 22x 3x 3x 34x 24    
 22x 4 = 24x + 
 2x 6 = 212x 
 
28x 
 
Observa que a 8x2 le falta –5x2 para ser 3x2, luego 
 
 p(x) = 4 3 22 x 3 x +3 x 34 x 24   
 –5x2 
 
 22x 5x 4 
 2x 1 x 6 
 
 Luego obtenemos: 
 
 
2 2
 fp fp
p(x)=(2x -5x-4)( x +x+6) en  x . 
 
 Ejemplo 
Al factorizar p(x) = 4 3 2x 3x 2 x 3x 1    en  x , halle la suma de los 
factores primos lineales. 
 
 Solución: 
 p(x) = 4 3 2x 3x 2 x 3x 1    
 
 2x 1 = x2 
 2x 1 = x2 
 2x2 
 
Observación que a 2x2 le falta – 4x2 para ser –2x2, luego 
 
 p(x) = 4 3 2x 3 x 2 x 3 x 1    
 –4x2 
 
 2x 4x 1 
 2x 1 x 1 
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 Luego obtenemos: 
 
 
0 0
p( x ) x 4x 1 x x 1
 
    2 2
 
( )( ) en  x . 
 
 
22
f pf p f p
p( x ) ((x 2) 3 )( x x 1)
p( x ) ( x 2 3 )( x 2 3 )( x x 1), luego la suma de los factores
primos lineales esta dado por x 2 3 x 2 3 2x 4.
    
      
      
2
2
 
 
 
OBSERVACIÓN 
 
Podemos usar el método de adición y sustracción (Quita y Pon) y el método de factorización 
del aspa simple para factorizar algunos polinomios de grado impar, el objetivo es buscar 
la presencia de diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, etc. 
 
 
 
 
 Ejemplos 
 
i) Factorizar   6 3 2p x x 4x 4x 4    en  x . 
 
 Solución: 
 
 
6 3 2p(x) x 4 x 4( x 1 )    , 
 3x 2( x 1)  
 3x 2( x 1)  
 
 Entonces 3 3p(x) ( x 2x 2)( x 2x 2)     . 
 
ii) Factorizar 5 4 2p(x) x x 2x 2x 1     en  x . 
 
Solución: 
 
5 4 3 3 2 2
5 4 3 3 2 2
3 2 2 2
2 3
p(x) x x x x x x x x 1
x x x x x x x x 1
x ( x x 1 ) x( x x 1 ) 1( x x 1 )
( x x 1 )( x x 1 )
        
        
        
    
 
 
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Álgebra 
 
SEMANA Nº11 
 
Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común 
Múltiplo (MCM) de dos o más polinomios 
 
Sean p(x) y q(x) dos polinomios no nulos. 
 
DEFINICIÓN 
 
Decimos que el polinomio d(x) es el máximo común divisor de p(x) y q(x) si se cumple las 
dos condiciones siguientes: 
 
I) d(x) divide a p(x) y d(x) divide a q(x); es decir, d(x) es divisor común de p(x) y q(x). 
 
II) Si D(x) divide a p(x) y D(x) divide a q(x), entonces, D(x) divide a d(x). 
 
En este caso denotamos d(x) = MCD [p(x),q(x)] 
 
OBSERVACIÓN 
 
d(x) = MCD [p(x),q(x)] es mónico, existe y es único en K [x], donde K = Q, R, C. 
 
DEFINICIÓN 
 
Decimos que el polinomio m(x) es el mínimo común múltiplo de p(x) y q(x) si se cumple 
las dos condiciones siguientes: 
 
I) p(x) divide a m(x) y q(x) divide a m(x); es decir, m(x) es múltiplo común de p(x) y 
q(x). 
 
II) Si p(x) divide a M(x) y q(x) divide a M(x), entonces, m(x) divide a M(x). 
 
En este caso denotamos m(x) = MCM [p(x), q(x)] 
 
 
PASOS PARA HALLAR EL MCD Y EL MCM DE DOS O MÁS POLINOMIOS 
 
1. Factorizamos los polinomios en sus factores primos en el conjunto K[x] especificado. 
 
2. Para el MCD, multiplicamos solo los factores primos comunes elevados a su menor 
exponente. 
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3. Para el MCM, multiplicamos los factores primos comunes y no comunes elevados a 
su mayor exponente. 
 
Ejemplo: Dados los polinomios 
 p(x) = (x2 – 16)3 (x – 2) (x – 4)5 (x + 7) y q(x) = (x2 – 6x + 8)2 (x + 4)2 (x 2+ 7), halle: 
 
a) La suma de factores primos del MCD [p(x),q(x)] en   x . 
b) El término independiente del MCM [p(x),q(x)] en   x . 
Solución: 
               
      
            
       
     
3 52
8
2 2
2
2 2
2 22 2
2 2
3 5
3
2
2
i) p(x) x – 16 x – 2 x – 4 x 7 x 4 x 4 x 2 x 4 x 7
p(x) x 4 x 4 x 2 x 7
ii) q(x) x – 6x 8 x 4 x 7 x 4 x 2 x 4 x 7
q(x) x 4 x 4 x 2 x 7
a) MCD [p(x),q(x)] = x 4 x 4 x 2
Los factores primos
         
     
          
     
   
      
        
3 8 2 2
12 2
del MCD[p(x),q(x)] son : x 4 , x 4 y x 2
fact. Primos es 3x 2.
b) MCM [p(x),q(x)] = x 4 x 4 x 2 x 7 x 7 ...(*)
El término independiente del MCM [p(x),q(x)] lo obtendremos haciendo x 0 en(*)
Rpta 4 .7
  
  
    
 
 

 
 
PROPIEDAD 
    MCD p(x),q(x) . MCM p(x),q(x) p(x).q(x) 
 
 
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Álgebra 
 
SEMANA Nº 12 
 
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR 
 
 Forma general 
 
n n 1
n n 1 1 0 na x a x ... a x a 0 con a 0, n y n 3

        (I) 
 
 n n 1 1 0a , a , ...,a , a K ; donde K , , o   
 
 TEOREMA DE CARDANO Y VIETTE 
 
 Sea la ecuación (I), con n soluciones 1 2 nx , x , ...,x entonces se cumple: 
 
n 1
1 2 n
n
n 2
1 2 1 3 n 1 n
n
n 0
1 2 3 n
n
a
x x ... x
a
a
x .x x .x ... x .x
a
a
x .x .x ...x ( 1)
a



    
   
 
 
 Observaciones 
 1. Si la ecuación (I) tiene coeficientes reales, las soluciones complejas se presentan 
por pares conjugados. 
 2. Si la ecuación (I) tiene coeficientes racionales, las soluciones irracionales se 
presentan por pares conjugados. 
 3. Para resolver la ecuación (I), generalmente se utiliza el método de factorización. 
 
 Ejemplo 1 
Si 2i es solución de la ecuación
x4 – 3x3 + 6x2– 12x +8 = 0, halle las otras soluciones. 
 
 Solución 
La ecuación tiene coeficientes reales y dos de las soluciones son 2i y –2i, entonces 
(x + 2i) (x – 2i) = x2 + 4 es factor de x4 – 3x3 + 6x2– 12x + 8. 
 
Efectuando la división 
 
4x
8x12x6x3x
2
234


 
se obtiene el cociente: 
 
q(x) = x2 – 3x +2 = (x – 2) (x – 1) = 0  x – 2 = 0, x – 1 = 0. 
 Las otras soluciones son 2 y 1. 
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ECUACIONES BICUADRÁTICAS 
 
 Forma general 
 
4 2ax bx c 0, a 0    . . . (II) 
 
Esta ecuación tiene soluciones de la forma: , , y    ; y se resuelve en forma 
similar a una ecuación de segundo grado. 
 
 Por el teorema de Cardano y Viette se obtiene 
 2 2
2 2
1. ( ) ( ) 0
b
2.
a
c
3. .
a
      
   
  
 
 
 Ejemplo 2 
 Resuelva la ecuación 4x4 – 5x2 + 1 = 0 
 
 Solución 
4x4 – 5x2 + 1 = 0 
Factorizando por aspa simple 
(4x2 – 1) (x2 – 1) = 0 
(2x + 1) (2x – 1) (x + 1) (x – 1) = 0 
 C.S. = 






 1,1,
2
1
,
2
1
 
ECUACIONES BINÓMICAS 
 
 Son aquellas ecuaciones enteras que solamente tienen dos términos. 
 
 Forma general 
nax b 0 , a 0   
 
 Ejemplos 
 1) 01x6  
 2) 04x4  
 
ECUACIONES CON RADICALES 
 
 Son aquellas ecuaciones que tienen la variable dentro de algún radical. 
 
 Ejemplo: 3xx42x,91x2  . 
 
 
 
 
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Propiedades 
 
 1. p(x) 0 , p(x) 0   . 
 2. p(x) 0 p(x) 0   . 
 Veamos la siguiente ecuación 
 
 n p(x) q(x) .... ( ) ; n par   
 
 Procedimiento para resolver 
 
 1º Resolvemos: * p(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U1 
 * q(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U2 
 
 2º Resolvemos la ecuación   np(x) q(x) y se obtiene el conjunto solución 3U 
 
 Luego el conjunto solución de ( ) es 1 2 3U U U . 
 
 Observaciones 
 
 1) De manera análoga al procedimiento anterior se resuelve una ecuación en la que 
aparecen varios radicales de índice par. 
 
 2) Para resolver la ecuación n p(x) q(x) ...( ) ; n impar   , se procede como en 
2º, obteniéndose el conjunto U3 y los elementos del conjunto solución serán 
aquellos elementos de U3 que verifiquen ( ) . 
 
 Ejemplo 
Halle el conjunto solución de la ecuación 2x42x  . 
 
 Solución 
 2x42x  
 1º  4,2UU0x4:U02x:U 2121  
 :U3 0x42x    ,3U3 
 
 2º Elevando al cuadrado la ecuación 
 2x42x2x42x  
 
 Cancelando se tiene 0x42x2  
 
 Entonces 0x402x  
 Luego x42x  
 Es decir  4¨;2:U4 
  4UUUUCS 4321
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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 
 
 Recordando la definición de valor absoluto para x  R 
 
x, x 0
x
x, x 0

 
 
 
 
 Propiedades 
 
  
 
 0b0a0 b a .6
baba b a .5
baba0bb a .4
 b a ab .3
a a y a a .2
0a0 a .1
22






 
 
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Álgebra 
SEMANA Nº 13 
 
DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 
 
Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas. 
 
Ejemplos: 
 
 
 2x2
6 -3
A =
4 0
, 
1 2 5
B 5 3 0
1 4 7
 
 
  
 
 3x3
 , 
 
 
 
 
 3x2
3 1
C = 4 6
7 9
, 
 
 
 
 
  
 4x1
-2
4
D =
1
5
. 
 
Para el caso de matrices cuadradas como lo son las matrices A y B de los ejemplos 
anteriores, podemos calcular su determinante, el cual tiene como una de sus aplicaciones 
dar información, tanto cualitativa como cuantitativa de un sistema lineal. 
 
 
Determinantes de orden 2 
 
Definición.- Dada la matriz A=
a b
c d
 
 
 
 el determinante de A denotado por A , se define 
A =
a b
= ad - bc.
c d
 
 
Ejemplos: 
 
1) .

 
6 3
= 6(5)4( 3)= 30+12 = 42
4 5
 
 
2) 2
x 3 2 x
(x 3)(x 1) (2 x)x 2x 4x 3
x x 1
 
       

 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicación de los determinantes a los sistemas de dos ecuaciones lineales en dos 
variables 
 
Sea el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas “x” e “y” 
 



ax +by = m
cx + dy = n
 (1) 
 
Definición: Se llama solución del sistema (1) al par ordenado  0 0x ,y que verifica las dos 
ecuaciones en el sistema (1). 
 
 
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Asociado al sistema (1), tenemos los determinantes: 
 
s
a b
Δ =
c d
, determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema (1), además 
x
m b
Δ =
n d
, 
y
a m
Δ =
c n
 
 
Regla de Cramer.- La solución  x,y del sistema (1) viene dado por 
 
 
 
 
 
Clasificación de los Sistemas Lineales 
 
I). El sistema (1) es compatible determinado si sΔ ≠ 0 . 
 En este caso el sistema (1) tiene una única solución dada por 
 
(x, y) = 
 
 
 
 
ΔΔ yx ,
Δ Δs s
. 
 
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) es compatible 
determinado es considerar: 
 
0cdsi,
d
b
c
a
 . 
 
 
II). El sistema (1) es compatible indeterminado si 0
yxs
 . 
 En este caso (1) tiene infinitas soluciones. 
 
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) tiene infinitas 
soluciones es considerar: 
 
0cdnsi,
n
m
d
b
c
a
 . 
 
III). El sistema (1) es incompatible o inconsistente si 
]00[0
yxs
 . 
 En este caso el sistema (1) no tiene solución. 
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) no tiene 
solución es considerar: 
0cdnsi,
n
m
d
b
c
a
 . 
 
 
s
y
s
x
Δ
Δ
y,
Δ
Δ
x  
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Interpretación Geométrica del Sistema (1) 
 
El sistema (1) representa la ecuación de dos rectas en el plano, lo cual implica solo una 
de las posiciones siguientes. 
 
 
 
 
Sistema Homogéneo 
 



ax +by = 0
cx + dy = 0
 
 
 
Si en el sistema (1) hacemos m = n = 0 diremos que (1) es un sistema lineal homogéneo, 
se presentan dos casos: 
 
1). Solución única: Si sΔ ≠ 0 , entonces (0, 0) es la única solución llamada solución 
trivial. 
2). Infinitas soluciones: Si sΔ ≠ 0 , entonces obtenemos un número infinito de soluciones 
llamadas soluciones no triviales, además de la solución trivial. 
 
 
Sistema no lineal 
 
Definición.- Un sistema no lineal es una colección de dos o más ecuaciones, donde por 
lo menos una de ellas es no lineal. 
 
Ejemplos: 
1). 
2
x + y 2(z +1) = 6
2xy = 9 + z



 2). 
3
3
3
x 2y + z = 1
y z + x = 2
2y x + z = 1
 

 


 
Para el caso de sistemas no lineales no disponemos de una herramienta algebraica 
estándar que nos permita resolver dichos sistemas. 
Geométricamente una ecuación no lineal c)y,x(f  representa una curva en el plano, 
pensemos por ejemplo en la trayectoria de un insecto, la pregunta hecha en un sistema 
no lineal es como se cortan 2 curvas, lo cual no es fácil responder. 
Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden resolver por métodos algebraicos 
como: un cambio de variable adecuado, productos notables, etc. 
 
 
L1 L2 L1 //L2 L1 //L2 
L1 L2 
L2 
L1 
L2 
L1 L2 
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Determinantes de Orden 3 
 
Regla de Sarrus 
 
 
  = 
333
222
111
cba
cba
cba
 
 
 
 
 
 
 
N
abc
abc
abc
213
132
321
 
M
cba
cba
cba



 
 
 
1 2 3 2 3 1 3 1 2=a b c +a b c +a b cM 
1 2 3 2 3 1 3 1 2=c b a +c b a +c b aN 
 
 
 
 Determinante de Vandermonde: Es de la forma 
 
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
= (b – a) (c – a) (c – b). 
 
 
Nos ubicamos en la 2da fila y hacemos los productos de acuerdo a la forma 
indicada. 
 
 Ejemplo: 
 
2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 5 7 = 3 5 7
9 25 49 3 5 7
 = (5 – 3) (7 – 3) ( 7– 5 ) = 16. 
 
 
 Propiedades de los Determinantes 
 
 
1. Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor 
común, este puede salir como factor fuera del determinante. 
 
 
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
cba
cba
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Ejemplo: 
3 10 4 3 5(2) 4 3 2 4
5 15 1 = 5 5(3) 1 = 5 5 3 1
2 20 0 2 5(4) 0 2 4 0
. 
 
 5 es factor común en la columna 2 
 
2. Si dos filas o dos columnas son iguales o proporcionales, entonces el determinante 
es igual a cero. 
 
 Ejemplo: 
 Prop 1 
 
 
3 5 2 3 5 2
6(3) 6(5) 6(2) 6 3 5 2 0
1 3 9 1 3 9
 
3 5 2
18 30 12 =
1 3 9
 
 
3. Si se intercambian dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo. 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
579
412
234
975
214
432
 . 
 
 
975
214
432
 =
975
432
214
 . 
4. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante son la suma algebraica 
de varias cantidades, el determinante se descompone en tantos determinantes como 
términos tiene la suma. 
 
 
 
a +m b c a b c m b c
d +n e f = d e f + n e f
q +p h k q h k p h k
. 
 
5. Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por “m” y este 
resultado se le suma a otra fila o columna, el determinante no se altera. 
 
 Ejemplo: 
 
 1) 
2 3 5
4 7 3
1 2 4
 = 10 
 
a) 
b) 
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 2) 
70 1
1514
11 12
4 0 1
3 14
5 12
421
374
532




 = 10 
 
 donde ci es la columna i, para i = 1, 2, 3. 
 
6) Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, su valor no se 
altera, es decir, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante vale cero. 
 
a b c m 0 q
0 0 0 = n 0 r = 0
c d e p 0 s
 
 
 Sistema de ecuaciones lineales con tres variables 
 
 Sea el sistema 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x +b y + c z = d
a x +b y + c z = d
a x +b y + c z = d





 . . . (  ) 
Definición: Se llama solución del sistema (  ) a la terna (x0, y0, z0) que verifica las tres 
ecuaciones. 
 
 = 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
 es el determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema 
(  ). 
 
Además, 
 
 
x = 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
d b c
d b c
d b c
 , y = 
333
222
111
cda
cda
cda
 , z = 
333
222
111
dba
dba
dba
. 
 
a b c a d h
d f g = b f i
h i j c g j
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Se presentan los siguientes casos: 
 
 I. Solución Única: (Sistema compatible determinado) 
 
 El Sistema (  ) tiene solución única si   0. Además, se puede usar la regla de 
Cramer para hallar las componentes de la solución: 
 
 ; luego la solución es . 
 
 
 
 
 Ejemplo: 
 Resolver el siguiente sistema 
x y z 9
2x y z 5
x y z 5
  

  
    
 
 Solución: 
 
 El determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema es: 
 
  = 
1 1 1
2 1 1
1 1 1

 
 = 4  0  el sistema tiene solución única. 
 
 Ahora, calculamos la solución del sistema utilizando la Regla de Cramer.: 
 
x
 = 
9 1 1
5 1 1
5 1 1

  
 = 8 , 
y
 =
1 9 1
2 5 1 12 ,
1 5 1

 
 
z
 =
1 1 9
2 1 5 16.
1 1 5
 
 
 
 
 x
8
x 2 ,
4

  

 
y 12
y 3 ,
4

  

 z
16
z 4
4

  

 (x,y,z) (2,3,4) . 
 
 
 II. Infinitas Soluciones: (Sistema compatible indeterminado) 
 
 Si el sistema (  ) tiene infinitas soluciones 
 entonces (  = 0 )  ( x = 0 y y = 0 y z = 0 ). 
 
 Ejemplo: 
 En el sistema 
x 2y z 4
2x 2y z 5
3x 6y 3z 12
  

  
   
 ... (2) 
 
 se tiene  = 
1 2 1
2 2 1
3 6 3



 = 0 . 








 z
yx z,y,x 
 ... (3) 
 ... (1) 
x y z
, ,
   
 
   
 
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 Simplifico en (3) 
 
x 2y z 4
2x 2y z 5
x 2y z 4
  

  
   
  
x 2y z 4
2x 2y z 5
  

  
 x 3 , 2y z 1   , . 
 
 Por consiguiente, las infinitas soluciones son de la forma 
   x,y,z 3, t , 1 2t ,  para todo t  . 
 
 III. Sistema sin solución: (Sistema inconsistente o incompatible) 
 
 Si en el sistema (  ) (  = 0 )  ( x  0 ó y  0 ó z  0 ) 
 entonces el sistema (  ) no tiene solución. 
 
 
 Ejemplo: 
 En el sistema 





3x + y + 2z = 8
3x + y + 2z = 7
3x + y + 2z = 6
   = 
3 1 2
3 1 2
3 1 2
 = 0 
 
 además 8 = 7 = 6 ¡absurdo!  El sistema no tiene solución. 
 
 Observación: 
 
 Para resolver los casos de sistemas de infinitas soluciones y sistemas sin 
solución, comience calculando  = 0, luego simplifique las ecuaciones para 
obtener una conclusión. 
 
Sistema Homogéneo 
 
Si en el sistema (  ) hacemos d1 = d2 = d3 = 0 entonces el sistema se denomina 
homogéneo, es decir 
 








0zcybxa
0zcybxa
0zcybxa
333
222
111
 ( II ) 
 
I. Solución única: Si   0 entonces existe una única solución, llamada solución 
trivial, la cual es (x, y, z) = (0, 0, 0). 
 
 
ALGEBRA CEPREUNMSM 063 (RECOPILACION DE CEPRE UNO)
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Ejemplo: 
 
 En el sistema 
 
 
 
x 3y 4z 0 1 3 4
2x y 3z 0 2 1 3 15 0
4x y 2z 0 4 1 2
  

       
   
 
 
 
 la solución única es (x, y, z) = (0, 0, 0). 
 
II. Soluciones no triviales: Si  = 0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones no 
triviales, además de la solución trivial. 
 
 Ejemplo: 
 
 En el sistema 
 
 



 
5x 5y + z = 0
3x + 3y 3z = 0
2x 3y + z = 0
  
132
333
155



= 0 . 
 
 El sistema tiene infinitas soluciones no triviales además de la trivial. 
 
 
 
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
CENTRO PREUNIVERSITARIO 
 
Álgebra 
 
SEMANA Nº 14 
 
I. INECUACIONES EN UNA VARIABLE 
 
 Una inecuación en una variable x, es toda expresión matemática H(x) dada por 
 
 
 
 Al conjunto de los valores de x que hace a la desigualdad verdadera, se le denomina 
conjunto solución (c.s.) de la inecuación. 
 
I.1 Inecuaciones polinomiales de grado superior 
 
 Es aquella inecuación que tiene la siguiente forma 
 
 
 
 
 Considerando la inecuación: 
 
 n n 1
n n 1 1 0 n
p(x) a x a x ... a x a 0 ;a 0

        
 
 Y suponiendo que p(x) se puede factorizar en la forma 
 
 
 
 
 entonces la inecuación (*) se resuelve aplicando el Método de Puntos Críticos, el cual 
consiste en: 
 
 1º Hallar todos los puntos críticos ó raíces de cada factor (x – ri) en este caso se 
tiene: 
 
 Puntos críticos =  
1 2 n
r ,r ,...,r . 
 
 2º Ordenar los puntos críticos en la recta real: Supongamos que los puntos son 
ordenados en la forma 
1 2 n 2 n 1 n
r r ... r r r
 
     , luego en la recta real se 
tendría: 
 
 r1 r2 …... rn-2 rn-1 rn 
 
 
 
 
H(x) 0;( 0, 0, 0)    
 p(x) 0;( 0, 0, 0); grad p(x) n 2      
n 1 2 n 1 2 n
p(x) a (x r )(x r )...(x r ); donde r r ... r 