Fisica_del_movimiento

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Física del movimiento. Semestre 01-2013 
 
orlando cárdenas estrada 
 
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1 
 
En todo momento la velocidad de una 
partícula es tangente a la trayectoria 
seguida por dicha partícula aunque, su 
aceleración en general no lo es. En 
algunos casos resulta conveniente 
descomponer la aceleración en dos 
componentes, una en la dirección de la 
tangente y otra en la normal –
perpendicular- a la trayectoria seguida 
por la partícula en un determinado 
punto P (vea la figura). 
Matemáticamente se puede demostrar que: 
 
Donde, 
 
 
 se llama la componente tangencial de la aceleración, y 
 
 
, es la 
normal de la misma. La el término , es llamado el radio de curvatura de la 
trayectoria en ese punto. 
Componentes radial y transversa: 
 
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En algunos problemas resulta conveniente utilizar las coordenadas polares , en lugar de las 
componentes rectangulares o cartesianas por tal razón es necesario escribir la velocidad y la 
aceleración en esas coordenadas. Se puede demostrar que: 
 
 
En las anteriores ecuaciones tienen la siguiente notación: ̇ 
 
 
, ̈ 
 
 
, ̇ 
 
 
, y ̈ 
 
 
. 
Es decir, la velocidad en coordenadas polares es: ⃗
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
La aceleración en coordenadas polares es: ⃗ [
 
 
 (
 
 
)
 
] ̂ 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) ̂ 
O sea que, sus componentes escalares son: 
 
Cuando la trayectoria seguida por la partícula sea una circunferencia, hablamos del movimiento 
circular (vea la figura siguiente), y en tal caso las componentes de la velocidad y la aceleración 
son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗� 
𝑟 
𝜃 
�⃗� 
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Donde: es el radio de la circunferencia, el cual es constante. 
 ̇ 
 
 
 Es llamada la velocidad angular de la partícula y sus unidades son ⁄ . 
 ̈ 
 
 
 Se llama la aceleración angular y se expresa en ⁄ . 
 
Además, cuando la aceleración angular sea igual a cero entonces, la velocidad angular es 
una constante y se dice que el movimiento es circular uniforme – M.C.U.- 
PROBLEMA 1-13: Proyectiles – Tiro parabólico 
Una partícula es lanzada con una velocidad inicial hacia un objetivo B, ubicado a pies por 
encima de cañón A y a una distancia horizontal de pies del mismo. Despreciando la resistencia 
del aire, calcule el ángulo de tiro para poder dar en dicho blanco. Resuelva el problema cuando 
 .
1 
 
SOLUCIÓN. 
El tiro parabólico es un movimiento curvilíneo en el cual, cuando la gravedad es constante y se 
desprecia la resistencia del aire entonces, dicho movimiento ocurre en un sólo plano, es decir, en 
dos dimensiones. Por esta razón es más sencillo trabajar en coordenadas rectangulares (x, y) -o 
cartesianas-. 
Como se trata pues, de un movimiento parabólico, en el cual la gravedad permanece constante y 
despreciamos la resistencia del aire, dicho movimiento ocurre en un solo plano. Ese plano lo 
hacemos coincidir con el plano cartesiano –vea la figura siguiente-. 
 
1 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas = 0.9144 m, 1 pulgada= 0.0254 m., 1 pie = 12 pulgadas = 0.3048 m, 
 1 milla = 1760 yardas = 5280 pies = 63360 pulgadas = 1609.344 m. 
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Estos hechos nos permiten descomponer el movimiento del proyectil en dos movimientos 
independientes. Un M.R.U. horizontal lo largo del eje X, y un M.R.U.A. en la dirección vertical a lo 
largo del eje Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, el movimiento del proyectil sigue una trayectoria parabólica que resuresulta de la 
superposición de dos movimientos rectilíneos simultaneos y mutuamente perpendiculares, un 
M.R.U en el eje X, y un M.R.U.A. el eje Y. 
Consideremos pues, los movimiento horizontal y vertical separadamente: 
MOVIMIENTO HORIZONTAL (M.R.U.) 
Descomponemos el vector velocidad inicial ⃗ en sus componentes rectangulares: 
 ( ) 
 . 
Como el movimiento es rectilíneo y uniforme se tiene: 
 
 
 
 ……………(1). 
MOVIMIENTO VETICAL (M.R.U.A.) 
En este caso las ecuaciones del movmiento son: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 …………….(2). 
𝑣 ⃗ 
 �⃗� 
 𝑌 
 𝑋 
𝛼 
B 
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Reemplazando la ecuación (1) en la (2), se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
De la trigonometría sabemos que: 
 
 
 , 
Reemplazando y simplificando: 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 ……….(3) 
La ecuación (3) corresponde efectivamente a una parábola. 
Cuando el proyectil alcance el punto B(X,Y), se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Como en este problema se nos pregunta por el ángulo de tiro , esta última ecuación se pueden 
escribir así: 
 
 
 
 
 
 
 ………..(4) 
La ecuación (4) es una ecuación de segundo grado, en la cual: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Su solución es: 
 √ 
 
. 
En particular, si , tendremos: 
 
 
 
 
 
Luego: 
 √ 
 
 {
 
 
 . Vea la figura 
siguiente. 
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EL USO DE LAS TIC EN EL APRENDIZAJE DE LA FÍSICA 
Actividad: Simulaciones + hoja de cálculo –Excel-. 
1. Resuelva el problema anterior utilizando la hoja de cálculo. 
2. Consulte las páginas PhET de la universidad de Colorado y, Física con ordenador de la 
Universidad del País Vasco, utilice estas simulaciones para verificar que dicho problema está 
bien resuelto. 
 http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html 
 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm 
 
PROBLEMA 1-14 
Un carro viaja a a lo largo de una 
sección curva cuyo radio es de . Se 
aplican los frenos y el carro disminuye su 
velocidad a razón constante, sabiendo 
que .más tarde la velocidad es de 
 , determine la aceleración del 
carro justo en el momento en el cual se 
aplicaron los frenos. 
 
 
http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm
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La dirección de la aceleración se calcula así: 
 
 
 
 
 
 
 . Vea la figura . 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 1-15 
Se lanza un proyectil desde el borde de un acantilado de 150 metros de profundidad con una 
velocidad inicial de 180 m/s, formando un ángulo de con la horizontal, despreciando la 
resistencia del aire calcule: (a) el alcanca, (b) la altura máxima alcanzada por el proyectil. 
 
Como se ilustra en la figura siguiente, en este 
tipo de problemas consideraremos los 
movimiento horizonta(eje X) y vertical (eje 
Y) por separado. 
 
 
 
 
MOVIMIENTO VERTICAL 
 
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MOVIMIENTO HORIZONTAL 
 
 
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Demostrar que la altura máxima se calcula así: 
 
 
 
. 
PROBLEMA 1-16 
Cuando la jugadora hace el lanzamiento se 
encuentra a 16 ft del t 
 
blero. Sabiendo que el balón sale con una 
velocidad inicial , formando un ángulo de 
 como se muestra en la figura, calcule la 
rapidez inicial del balón cuando: (a) 
 , . 
 
 
SOLUCIÓN 
No olvide la estrategia con los problemas de movimiento parabólico: 
Nuevamente estudiamos por separado las 
movimientos horizontal y vertical. 
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𝐶𝑜𝑠 
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PROBLEMA 1-17 
 
Determine la velocidad máxima de los 
carros de la montaña rusa al pasar por el 
tramo circular AB de la pista, sabiendo 
que la aceleración normal no puede ser 
mayor que tres veces la gravedad. 
 
 
SOLUCIÓN 
Sabemos que: …………………… 
 
 
. 
Para el arco de circunferencia AB se tiene que: 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 1-18 
Una pista de atletismo tiene un diámetro de 420 ft. Un corredor aumenta su velocidad a ritmo constante 
desde los hasta los recorriendo una distancia de 95 ft. Hallar (a) la aceleración del corredor 2 
seg. después de haber comenzado a aumentar su velocidad, (b) aceleración angular, velocidad angular y 
posición angular 2 seg después de haber comenzado a aumentar su velocidad. 
SOLUCIÓN. 
(a) La aceleración del corredor es: 
 
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(b) Aceleración angular, velocidad angular y posición angular: 
 
 
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U.2 Dinámica de la partícula: Las leyes del movimiento de 
Newton. 
Sir Issac Newton (Woolsthorpe, 
Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727). Físico 
inglés, hijo póstumo y prematuro, su 
madre preparó para él un destino de 
granjero; pero finalmente se convenció del 
talento del muchacho y le envió a la 
Universidad de Cambridge, en donde hubo 
de trabajar para pagarse los estudios. Allí 
Newton no destacó especialmente, pero 
asimiló los conocimientos y los principios 
científicos de mediados del siglo XVII, con 
las innovaciones introducidas 
por Galileo, Bacon, 
Descartes, Kepler y otros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.biografiasyvidas.com/monografia/galileo/
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/bacon_filosofo.htm
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/descartes.htm
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kepler.htm
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PROBLEMAS RESUELTOS. 
PROBLEM 2.1 
Para el sistema mostrado en la figura, utilice la 
segunda ley del movimiento para determinar: 
(a) la aceleración de los bloques, (b) la tensión 
en la cuerda. Considere que la polea y la cuerda 
son ideales. (c) Resuelva el problema 
suponiendo que, y 
 
 
SOLUCIÓN 
 
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Marzo de 2013 
SEMANA 7. 
CLASE 14. 
 
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PROBLEM 2.2 
Los bloques mostrados en la figura parten del 
reposo. La superficie horizontal es muy pulida 
y, tanto la cuerda como polea son ideales. 
Determinar: (a) la aceleración de los bloques, 
(b) la tensión en la cuerda. 
 
 
 
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PROBLEMA 2.3 
El péndulo de la figura tiene una longitud de 
y describe un arco de circunferencia en un 
plano vertical. Si la tensión en la cuerda es 
 veces el peso del cuerpo, para la posición 
mostrada en la figura encuentre la velocidad y 
la aceleración. 
 
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SOLUCIÓN. 
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PROBLEMA 2.4 
Determine la velocidad máxima a la que puede 
viajar un carro a lo largo de una curva 
peraltada a , sabiendo que el radio de 
curvatura es . 
 
Nota: la velocidad máxima en una curva 
peraltada es aquella velocidad a la cual el carro 
puede circular sin que se presente fricción 
lateral entre la vía y los neumáticos. 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
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NOTA: El valor de ángulo para tener un peralte óptimo en un vía bien 
diseñada es: 
 
 
. 
PROBLEM 2.5 
 
Un bloque de 200 lbs se encuentra en reposo 
sobre un plano horizontal. Encuentre la 
magnitud de la fuerza ⃗ necesaria para 
imprimirle una aceleración de sabiendo 
que el coeficiente de fricción cinético entre el 
bloque y el plano es de . 
 
 
SOLUCIÓN 
OJO CON LAS UNIDADES 
SI (M-K-S) US (ft-lb-s) 
Long: 0.3048 m 1ft 
Masa: 14.59 kg 
 
 
 
 
Fuerza: 4.448 N 1 lb 
 
La masa del bloque es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
La fuerza de fricción o de rozamiento se define como: ⃗ ⃗ , donde ⃗ es la fuerza normal entre el 
plano y el bloque. 
El diagrama de cuerpo libre para el bloque es: 
 
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Las ecuaciones del movimiento -aplicamos la segunda ley de Newton en coordenadas cartesianas- son: 
+ ∑ : 
 
 
 . 
O sea: (1) 
 ∑ . (2) 
 
Remplazando (2) en (1) : 
Despejando se obtiene que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 2.6 
 
Los bloques mostrados en la figura se 
encuentran inicialmente en reposo. Suponiendo 
que no hay fricción y que la cuerda y las poleas 
son ideales, calcule: (a) las aceleraciones de los 
bloques, (b) la tensión en la cuerda. 
 
 
 
 
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PROBLEMA 2.7 Resuelva el problema anterior suponiendo que hay fricción entre el bloque A y el plano, 
y que sus coeficientes son:. 
 
 
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PROBLEMA 2.8 
 
El bloque de la figura tiene 20 Kg y se encuentra 
en reposo sobre un plano inclinado, cuando se le 
aplica una fuerza ⃗ . Determine la magnitud de 
dicha fuerza si se requieren 10 seg para que 
avance 5 m hacia arriba y, los coeficientes de 
fricción estático y cinético son ambos iguales a 
0.3 
 
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Marzo de 2013 
PROBLEMA 2-9 
 
 
 
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MARZO DE 2013-SEMANA 8-CLASE 16 ¡ ! 
PROBLEMA 2-10 (Marzo-2013). 
 
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PROBLEM 2-11 (Sept. 27-2012) 
 
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PROBLEMA 2-12 (Sept. 27 – 2012) 
 
Usted está bajando dos cajas, una encima de la 
otra, por la rampa que se muestra en la figura, 
tirando de una cuerda paralela a la superficie de la 
rampa. Ambas cajas se mueven juntas a rapidez 
constante de 15.0 cm/s. El coeficiente de fricción 
cinético entre la rampa y la caja inferior es 0.444, 
en tanto que el coeficiente de fricción estático entre 
ambas cajas es de 0.800. a) ¿Qué fuerza deberá 
ejercer para lograr esto? b) ¿Cuáles son la 
magnitud y la dirección de la fuerza de fricción 
sobre la caja superior? 
 
 
SOLUCIÓN 
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PROBLEMA 2-12 (Sept. 27-2012) 
Los bloques A, B y C se colocan como en la 
figura y se conectan con cuerdas ideales. 
Tanto A como B pesan 25.0 N cada uno, y 
el coeficiente de fricción cinética entre cada 
bloque y la superficie es de 0.35. El bloque 
C desciende con velocidad constante. a) 
Dibuje un diagrama de cuerpo libre que 
muestre las fuerzas que actúan sobre A, y 
otro para B. b) Calcule la tensión en la 
cuerda que une los bloques A y B. c) 
¿Cuánto pesa el bloque C? d) Si se cortara 
la cuerda que une A y B, ¿qué aceleración 
tendría C? 
 
 
OJO…..Vea la parte A en la página 37, para la parte B regrese a la página 36. 
 
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Despejando la aceleración de esta última ecuación se obtiene: 
 
 
 
. 
Remplazando los valores se obtiene: 
 
Les agradezco las sugerencias y correcciones. 
orlandocardenas@elpoli.edu.co 
1. 
 
mailto:orlandocardenas@elpoli.edu.co