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www.freelibros.org www.freelibros.org www.freelibros.org www.freelibros.org Cálculo integral para cursos con enfoque por competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Felicitas Morales Álvarez Doctora en Matemática Educativa Centro de Investigación y de Estudios Avanzados-IPN (CINVESTAV-IPN) Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzcalll Htescセ@ Revisión técnica María del consuelo Macias González Academia de Ciencias Básicas Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzca/R (TESCIJ Enrique Martínez Negrete DlviSlón de Ingeniería en Sistemas Computacionales Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán tzca/O (TESCI) Gabrlela lópez Ballesteros Maestra en Matemática Educativa PEARSON www.freelibros.org / Duosdecatalog:aciónbibliogdfica MOllALl!S ÁLVAllEZ, FEÚCJTAS Oi/"1Jllo •urr-J JltllTI ntl'WICOlf oif'.-1'0' "'*'JfdmdCI Airo.era cdki6o PBARSON IIDUCAOON, M6xico, 2014 ISBN: YQXセQᄋjmRaRM@ イセN。Z@ ti.útmláticu Rirm4to: 2 t x 27 cm Dirooción Ocncral: Oim:ción Eclucocióo Superior: Edit0<a Spoosor: Editor de D<sanollo: &lp<TYisor de Producción: Gerencia Ediiorial P.ljjj...,: 212 Pbilip de la Vega Mario Contreras Glbriela López Ballesteros e-mail: ga!Jriela.lopezballesteros@pe.uson.com Fdipe Hemindez Carruco Juan Silverio Amandi Zárate F.dueación Superior l。セイゥ」。NZ@ Marisa de Anta PRIMERA l!DICIÓN, 2014 D.R.02014 por Peanonl!ducación de Mérico, S.A. de C.V. Adacomulco soo. s• piso Industrial Atoro SJS 19 Naucalpan de Juárcz, Estodo de Mé>:ico Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Re¡. Núm. 1031 11.es<rvados IDdos Jos deteehos. Ni la ro!Alidad ni pane de esta publicación pueden reproduciise, regjstrane o transmitine, por un sistema de recuperu:ióo de información, en ninguna torma ni por ningún medio. sea electrclnico, mecánico, !Oroqulmico, magnético o 」ャ・」エイッーセ@ por fotocopia, grabación o cualquier otro1 sin pemúso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier oua forma de cesión de uso de este ejemplar requerilá t>mbién Ja autOrización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-ó07·32-2242-6 ISBN E-BOOK: ISBN E-CHAPTllR: 978-ó07-32-2243-3 978-ó07-32-2244--0 [mprcso c:n México. Mntl!IÍ in MaiaJ. 1234567890- 17 161514 PEARSON www.pearsonenespaftolcom www.freelibros.org Prólogo El contenido de este libro me hace recordar el pasado, cuando la autora era una sencilla estudiante de ingeniería física, quien dedicaba gran parte de su tiempo disponíble a prepararse para obtener lo mejor de cada clase y aprender de la experiencia académica de sus profesores y compaJ\eros. Esto era cvi· dente no solo en la disciplina que eUa mostraba para estudiar, sino en la ''OCación con la cual impartfa asesorías. La aplicación del conocimiento en su etapa de ingeniero y la experiencia en un posgrado de docencia se ven plasmadas en este libro por la peculiar manera de plantear, explicar, resolver y aplicar d conocimiento del cálculo integral. El objetivo de los temas expuestos en las dos primeras unidades es que el alumno con conocimien· tos básicos de matemáticas pueda comenzar la asimilación de te0rcmas elementales, definiciones y propiedades del cálculo integral. Más adelante, en la tercera unidad, este material aterriza los conoci- mientos expuestos para motivar y guiar al lector en la aplicación de las herramientas matemáticas a la solución de problemas reales de ingeniería, algo que eo muchos cursos de educación superior se olvida. La última urúdad complementa los temas de la parle integral para representar funciones matemáticas, las cuales constituyen la base para la solución de problemas complejos . . De esta manera, el esfuea.o y el compromiso manifestados en este trabajo definen un camino en d proceso de ・ョウ・セ。ョコ。M。ーイ・ョ、ゥコ。ェ・L@ con el ánimo de promover el interés de los estudiantes por las matemáticas, particularmente en el estigmatizado tema del cálculo. Doctor Ernesto Rodrigo Vá74uez Cerón Coordinador de la Licenciatura en Ingeniería Física Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco www.freelibros.org www.freelibros.org Presentación La integración de nuevas propuestas y enfoques educativos en Jos programas de esrudío del nivel su- perior, como es el caso del enfoque por competencias, implica un reto importante para los profesores: díscllar estrategias que ayuden a los estudíantes a obtener conocimientos, habilidades, aptitudes y acti- tudes que fortalezcan sus procesos de aprendizaje. Ese díscfto de estrategias tiene el objetivo de ayudar a los alumnos para que, al tenninar sus estudios, puedan incorporarse en forma más eficiente al sector iroductivo, contando con un nivel de desempeño que corresponda con las alias demandas competitivas de las organizaciones actuales. Para apoyar la practica docente y provocar la reflexión de los esrudíantes en los cursos de cálculo integral, cuyos programas adoptan el enfoque por competencias, hemos creado este libro, el cual cuenta con las herramientas requeridas por los planes de estudío actuales. Por sus características, el libro puede utili1.arse como texto en un curso de cálculo integral basa· do en este enfoque, porque cuenta con los siguientes elementos: actividades de trabajo; actividades integradoras para la práctica constante y la integración de los conocimientos; referencias al uso de la tecnología, cuyo propósito es lograr la comprensión de los conceptos matemáticos; ejercicios resueltos y problemas de aplicación en contextos reales. Asimismo, ofrece una secuencia apropiada de ejercicios para la conformación de un portafolio que integrará las evidencias generadas durante el desarrollo de las competencias y permitirá determinar el grado de avance de los esrudíantes. También presenta cues· tionamieotos metacognitivos con los que el alumno podrá Uevar pleno control de la forma en que está logrando el aprendizaje. Características del enfoque por competencias incorporadas en este libro La competencia profesional es un saber hacercomplejo que exige conocimientos, habilidades, aptitu- des y actitudes que garanticen un ejercicio profesional y responsable que se aproxime a la excelencia. Esta competencia, que se moviliza y desarrolla co.ntinuarnente, se encuentra en la estructura mental de cada indíviduo; es parte de su acervo y de su capital como ser humano. Pero lo importante no es la posesión de una competencia, sino el uso que se haga de ella, ya que el estudíante debe saber integrar, movili7.ar y transferir un conjunto de recursos en un contexto con la finalidad de realizar detenninada tarea o enfrentar problemas especfficos. Por eso, en cada unidad se proponen dífercotes ejercicios y actividades que permiten al alumno optimiz.ar sus recursos. Aunado a lo anterior, es necesario que el aprendízaje sea relevante, signillcativo, aplicable y que los medios que se utilicen para lograrlo sean atractivos. Por eso se proponen actividades destacadas y significativas que el estudiante podrá aplicar tanto en su proceso de formación cscolari1.ada como en la vida real. El enfoque por competencias pretende que el alumno transite desde los niveles receptivos hasta los autónomos, para crear una metodología personal que le pennita alcan:rar el éxito en su formación. Por ello, se abordan los aspectos propios del cálculo integral con una visión que permite al usuario incorpo· rar los saberes a través de la práctica constante. La finalidad es que, ante cualquier problema, sea capaz. de identificar, comprender y explicar su contexto para resolverlo con los conocimientos adquiridos. De esta forma, el estudíante estará en condíciones de proponer y enfrentar nuevos problemas. www.freelibros.org .tll Presentación En el enfoque por competencias se destaca la capacidad de aprender a aprender, lo cual se en- tiende como la capacidadpam reconocer los propios procesos de aprendizaje, •'aloror Ja necesidad de inlegrar permamm1emen1e con<>cimienios y habilidades, y asf lograr auJonomfa en el desarrollo de nuevas compe1encias. Gracias a la capacidad de aprender a aprender, es posible actuali1.ar de manera continua los conocimientos y las habilidades. Por ello, en este libro se promueve el aprender a aprender con secuencias de ejercicios donde se integran los conocimientos previos; llegará el momento en que d alumno logre resolverlos de forma autónoma. Secciones del libro Este texto está estructurado CQn secciones que ofrecen elementos para el aprendimje tanto desde el punto de visra disciplinario del cálculo integral como desde el enfoque por competencias. A continua- ción describiremos las más sobresalientes. Competencias. Al inicio de cada unidad se dcscnl>co tanto las competencias por desarrollar como las actividades de aprendimje, las habilidades y las actitudes que pennitirán al estudiante incorpo- rarlas a su acervo. Se listan también las competencias con las que deberá contar el estudiante antes del estudio de los temas de cada unidad. Organizador grifico. Es un diagrama donde se expresan las relaciones entre los conceptos que se tratarán en la unidad, de tal manera que se adquiera una visión global de los conceptos que se revisarán, para una mejor comprensión del contenido. Antecedentes. Al inicio de cada unidad se ofrecen algunos ejemplos reales de la aplicación de los conceptos que se presentarán y que ponen de manifiesto la relevancia social, económica o cientí- fica del estudio de los temas. Desarrollo teórico. En seguida se presenta el desarrollo de los ternas apoyados por una selección de ejemplos resueltos, gráficas y otros recursos visuales; todos se seleccionaron con gran cuidado para lograr una mejor comprensión de los CQnceptos. Portafolio de evidencias. Consiste en una secuencia adecuada de ejercicios para la conformación de un portafolio donde se integrarán las evidencias de los logros alcan1.ados durante el desarrollo de las competencias. Preguntas de reflexión. A lo largo del texto se incluyen interrogatorios mctaCQgnitivos (es decir, preguntas rcfcrcntcS al dominio y la regulación que tiene el sujeto de sus propios procesos cognos- citivos), con la finalidad de que el usuario reconotta la forma como está logrando el aprendizaje. Actividades de aprendizaje. Son actividades desarrolladas con el objetivo de señalar alguna no- ción importante y necesaria para el desarrollo de los subsecuentes conceptos. Actividades de trabajo. En cada sección se solicita la realización de actividades que refuerzan la incorporación de los saberes con base en una práctica conslante. Actividades integradoras. Al final de cada unidad se presentan actividades de trabajo relaciona- dos CQn todas las secciones, con el propósito de que el alumno retome los conceptos estudiados y continúe con la práctica de integración de los conocimientos para reforzar lo aprendido. lijemplos de aplicación. Es un conjunto de ejemplos que plantean situaciones reales de diferentes campos del conocimiento, cuya solución requiere del dominio de las competencias por desarrollar. www.freelibros.org Presentaci6n lx Autoevaluación. Esui sección se encuentra al final de cada unidad. Ofrece al estudiante la OpOr· tunidad de identificar los aspectos qoe resuelve con facilidad y aquellos que requieren mayor atención y estudio. Recursos en linea En la página web de este libro están disp0nibles para descarga el Manual tú soluciones para el profesor y las Sugerencias didácticas, ambos desarrollados por la autora para el uso exclusivo de profesores que adop1en el libro como texto en sus cursos de cálculo integral. También encontrará las respuesUIS de las actividades de trabajo e integradoras, y de las auroevalua- cioncs, del libro. Para tener acceso a estos recursos, visite la página: www.pearsonenespanol.com/morales www.freelibros.org Agradecimientos Oran parte de es1e libro fue escrita de manera paralela a mi labor como doccmc e investigadora del De- partamenlo de Investigación y Desarrollo Tecnológico, adscrila a la división de lngenieria en Sislemas Compuiacionales del Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán lzcalli; por eso, deseo agrade- cera la inslitución por proporcioruume el ambien1e adecuado de trabajo y la fueme de inspiración que hi7.o posible el desarrollo del presente libro. 8 polencial de este trabajo dependerá en mucho de la efectividad en la prcscoiación de sus 1emas y el desarrollo de sus ejercicios. La exposición de muchos de ellos, y en especial el lema de sólidos de revolución, fue posible gracias a la discusión colaborativa y acertada verificación de los ejercicios de aplicación, reali2ada por J. Alfredo Lópcz Badillo. E'n esia obra se quiso hacer especial énfasis en la importancia de la visualización, es decir, en el papel que los aspectos gráfico y geoméll'ico desempeñan en la interiori1.ación de conceptos, teoremas y demosll'aciones; para lograrlo, usamos diversas 1tcnicas y software de graficación que nos permitiera presentar la información adecuada y pnecisa por es1udiar. Ello fue posible gracias a la colaboración permanente de Eric Y. Chavarrfa Rojas. Agradezco iambién a aquellas personas que, de manera incondicional, estuvieron al pendien1e de la elaboración y evolución de mi trabajo. P. Morales Álvarez Cuautitlán 17.calli, Esiado de México \l::rano, 2013. www.freelibros.org Contenido UNIDAD 1 Teorema fundamental del cálculo 1 Antecedentes 4 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 5 1.2 Notación sumatoria 8 1.3 Sumas de Riemann 13 1.4 Definición de integral definida 17 1.5 Teorema de existencia 24 1.6 Propiedades de la integral definida 25 1.7 Función primitiva 29 1.8 Teorema fundamental del cálculo 30 1.9 Cálculo de integrales definidas 35 1.10 Integrales impropias 39 Actividad integradora de la unidad t 47 Contexto histórico: Isaac Newton y Gottfried Leibniz 48 Autoevaluaci6n de la unidad 1 49 UNIDAD 2 Integral indefinida y métodos de integración 51 Antecedentes 54 2.1 Definición de integrales indefinidas 55 2.2 Propiedades de la integral indefinida 59 2.3 Cálculo de integrales indefinidas o técnicas de integración 61 2.3.1 Directas (integrales directas) 61 2.3.2 Integrales con cambio de variable 65 2.3.3 Integración indefinida por partes 72 2.3.4 Integrales de funciones trigonométricas 76 2.3.S Jntegraci6n por sustitución trigonométrica 85 2.3.6 Integración de funciones racionales por el método de fracciones parciales 92 Actividad integradora de la unidad 2 104 Contexto histórico: Isaac Newton y la serie del binomio io7 Autoevaluación de la unidad 2 io8 www.freelibros.org xll Contenido UNIDAD 3 licaciones de la intefil:_al ____ 1-'-o _,,9_ Antecedentes 3.1 Áreas 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función 3.1.2 Teorema del valor medio para integrales 3.1.3 Área entre gráficas de funciones 3.2 Longitud de curvas 3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución 3.3.1 Método de discos 3.3 .2 Método de anillos 3.4 Cálculo de centroides de regiones planas 3.5 Otras aplicaciones 3.5.1 Integración numérica 3.5.2 Circuitos electromagnéticos 3.5.3 Decaimiento radiactivo 3.5.4 Crecimiento poblacional Actividad integradora de la urudad 3 Contexto histórico: Cálculo de Newton del número ?T Autoevaluación de la urudad 3 112 u3 113 117 124 135 143 143 147 153 161 161 164 166 168 171 175 176 UNIDAD 4 Series 177 MMMMMMMMMMMMMMセ@ Antecedentes 4.1 Definición de serie 4.1 .1 Serie infinita 4.2 Serie numérica y convergencia 4.2.1 Prueba de la ra7.Óll o criterio de D'Alembert 4.2 .2 Prueba de la raíz o criterio de Cauchy 4.3 Series de potencias 4.4 Radio de convergencia 4.5 Serie de Taylor 180 181 184 186 187 188 191 193 196 4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor 198 4.7 Cálculo de integrales de funcionesexpresadas como series de potencia 202 Actividad integradora de la urudad 4 205 Contexto histórico: El cálculo de Leibniz 207 Autoevaluación de la unidad 4 208 Apéndices 209 Respuestas de las actividades de trabajo e integradoras 225 indice anal!tico 253 www.freelibros.org 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 flundamental cálculo E 1 problema esencial del cálculo integral consiste en estimar, de mane-ra sencil la, áreas de superficies debajo de la gráfica de funciones. una gran variedad de conceptos se describen como el producto de dos variables, por ejemplo: trabajo como fuerza por distancia; fuel78 como el producto de la presión por el área; masa como densidad por unidad de volumen. Si cada uno de los factores que componen el concepto se asocia con cada uno de los ejes coordenados, el producto se define en el plano como un área susceptible de calcularse a través de una inte- gral, y esto es posible gracias al estudio del teorema fundamental del cálculo. Contenido Medición aproximada de figuras amorfas 1.6 Propiedades de la Integral definida Notación sumatoria 1.7 Función primitiva Sumas de Rlemann 1.8 Teorema fundamental del cálculo Definición de integral definida 1.9 Cálculo de Integrales definidas Teorema de existencia 1..10 Integrales Impropias www.freelibros.org COMPETENCIAS POR DESARROLLAR COMPETENCIAS ESPECÍFICAS • Contextualizar el concepto de integral definida. • Visualizar la relación entre cálculo diferencial y cálculo integral. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE • Se propone realizar las prácticas sugeridas en cada Inciso. • Para una colección de funciones simples, construir la primitiva a partir de la definición. • calcular integrales definidas diversas y asociar cada integral con su interpretación geométrica. • Verificar el teorema fundamental del cálculo con pares de funciones e igualdades. • Realizar algunas de las lecturas recomendadas. HABILIDADES Y ACTITUDES • Refuerzo de habilidades para graficar diferentes tipos de funciones. • Desarrollo de habilidades para Interpretar g¡áficas en términos de áreas. • Desarrollo de habilidades para modelar problemas de ingenieña a través del cálculo integral. COMPETENCIAS PREVIAS Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante cuente con las siguientes competencias: • Uso eficiente de ta calculadora, respetando la jerarquía de operaciones. • Evaluar funciones trascendentes. • Despejar el argumento de una función. • Dominar el álgebra de funciones racionales, así como de expresiones con potencias y radicales. • Identificar, graficar y derivar funciones y sus Inversas. • Manejar identidades trigonométricas. • Identificar, graficar y derivar funciones exponenciales y logañtmicas. • Uso de software para construir g¡áficas de funciones (Winplot, Derive, Padoman, Grap, Origin, Mapte, etcétera). www.freelibros.org Teorema fundamental del セャ」オ ャッ@ ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 1 Medición 1 aproxlmada de figuras amorfas (áreas) Definición de Integral definida Propiedades de la integral definida Teorema fundamental del cálculo Integrales impropias Cálculo de áreas limitadas por el plano Notación sumatoria Teorema de existencia Función primitiva Cálculo de la Integral definida www.freelibros.org Antecedentes A decir ''crdad, Leibniz y Newton, padres del cálculo iofioitesimal, no fueron los primeros que aborda- ron los problemas que vamos a analizar, ya que veinte siglos antes los griegos. como Eudoxo y Arquí- medes, usaron métodos muy parecidos a Jos actuales para el cálculo de tangentes y s11perjicie,s. Incluso hay quienes piensan que no llegaron al descubrimiento del cálculo debido a dos razones: su temor al infinito y a que no contaban con un lenguaje propio para el efecto, como Jo es el álgebra. No fue sino hasta el siglo xvo que se abordaron estos dos pro- blemas: por un lado se desarrolló el método general para obtener la derivada de cualquier función, y, por otro, se dio importancia a la relación entre la derivada y la integral. A esta relación hoy la cono- cemos como teorema fi1náamenJol del cálculo. Este teorema dice que derivar o calcular tangentes e integrar o calcular supcdicies son operaciones inversas una de la Gira. Newton se dio cuenta de esto utili7.ando una de las invenciones de Pierre de Fermat, quien habla desarrollado una fórmula de solu- ción para el cálculo de superficies de toda una familia uniparamé- lrica de curvas. En concreto, lo que vio es que el área bajo las curvas de la forma y=)(' desdex = Ohastax= a viene dada por la expresión: ,,....., . En la figura se puede apreciar un ejemplo. n + l El área de la superficie sombreada es, según la fórmula obte· nida por Fermat, a' / 3. Newton, en sus investigaciones acerca de cómo es el univel$0, concluyó que es dinillnico, esto es, algo en constante cambio. Su pensamiento especuló con variables que cambiaban con el tiempo. A las variables las llamó ftuenies; a sus velocidades de cambio, fluxiones. Lo que Newton quena saber era el ritmo en el que cam- bian las variables físicas a medida que pasa el tiempo. E'sta forma de pensar en cómo cambia el mundo le llevó a 1 y=r a y s abordar los problemas desde dos puntos de vista distintos: desde el enfoque matemático, vefa las curvas como relaciones entre las variables de una función; en cambio, desde el punto de vista físico, observaba las curvas como expresiones de movímicntos. A través de esias perspectivas descubrió que el problema de la tangente y el problema de la velocidad eran en realidad uno mismo. Newton no solo abordó el problema de la velocidad de cambio de una variable respecto de otra o, lo que es lo mismo, la derivada, sino que エ。ュ「ゥセョ@ resolvió el problema inverso, pues calculó fluentes de fiwciones; es decir, calculó el comportamiento de una variable cuando se conoce su velocidad de cambio, lo que es equivalente a obtener una función primitiva. Newton consiguió antidcdvar la familia de funciones y = X'. Averiguó que las primitivas corrcs- x .. + 1 pondientes son las funciones de la forma y = --. n+I www.freelibros.org 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 5 Newton, al obtenerlas, las relacionó inmediatamente con la solución de Fermar para el cálculo de superficies de curvas de la forma y = x". Al encontrar esta conexión y, aunque nunca dio una demostra- ción formal, se convenció de que calcular primitivas y superficies eran en realidad operaciones idénti- cas. Y dado que calcular una primitiva es lo inverso a obtener una función derivada, determinó que el cálculo de tangentes y superficies son problemas inversos. Esto fue muy importante para la época, ya que Newton habla desarrolJado métodos para derivar casi cualquier cosa; entonces, el problema de la superficie se pod!a resolver mediante cálculos de pri- mitiva y no solo de un tipo en particular, sino de una inimaginable colección de ellas. La verdadera importancia del trabajo de Newton radica en el hecho de que se estableció una nueva conexión entre conceptos hasta entonces separados: la tangeme y la superficie. Conceptos previos En muchos problemas de cálculo aplicados a la ingeniería, primero debemos encon- trar, a partir de algunos datos, las expresiones matemáticas de las funciones cuyos valores óptimos se quieren conocer. Imagine la siguiente situación bipotétiea: desea construir una caja cuadrada abierta por arriba, del mayor volumen posible; para ello cuenta con una hoja cuadrada de metal a la cual deben cortarse cuadrados iguales de las esquinas y doblar hacia arriba el metal para formar las caras laterales. La pregunta es: ¿cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? (Véase figura l.l) l u 1 Observando la figura 1.1, vemos que a es cl valor de un lado del cuadrado y que x es la distancia que se debe calcular, por ello, la función que rep=ta al volumen en términos de la distancia por encontrar será:V(x) =(a -2r)2x Ecuación ( l) o bien, V(x) = a2x - 4a.t2 + 4x3 Sabemos que una función encontrará su punto crítico, ya sea máximo o mínimo, cuando el valor de su primera derivada sea nulo, lo cual nos dicta la condición de máximo volumen. As!, el valor crítico de V(x) se encontrará cuando V'(x) = O; es decir. V'(x) = a2 -Sax + 12r' www.freelibros.org 6 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Preguntas de reflexión Entonces: al-8ax+J2x2 = 0 o bien (a - 6x)(a - 2x) = 0, locualsigni6caque:(a - 6x)=0 o (a - 2.r)=O; 1 rf . a a p0r tanto, os puntos e neos son: x = ;¡ y x = 2. En este punto la pregunta es: ¿qué valor debemos elegir para encontrar el volu- men máximo? Para rcsolveda, observamos que de V(x) =(a - 2x)2x, si ク]セ]_@ カHセ}]H。 M RセヲHセ}]ッ@ x = セ]ス@ カHセ}@ ]{。MRセヲ@ {セ}]@ R セ。 G@ :. El valor que estamos buscando será x = セᄋ@ Es decir, la caja construida tendrá un volumen máximo cuando las esquinas se corten a un sexto del lado del cuadrado y dicho \'O lumen será igual a: v ]セ。^@ 27 Conteste y debata con sus compañeros las siguientes preguntas y entreguen una con- dusión por escrito. Activ idad de a prend i zaje 1 .1 l. ¿Cuál es el significado fi'sico de elegir el valor dex como la mitad de la longitud del lado del cuadrado? 2. ¿Cuál esel papel que juega el cálculo de la primera derivada en la solución del problema? La actividad de aprendizaje 1.1 tiene como objetivo ser una prueba de diag- nóstico que le permita al estudiante contestar los siguientes cuestionamientos: • ¿Soy capaz de ''traducir" un problema matemático al lenguaje cotidiano? ¿Soy capaz de reflexionar un problema con sllficieote profundidad para transformado en un modelo matemático? • ¿Comprendo el concep10 de variables dependientes e independientes? ¿Comprendo claramente Ja interpretación geométrica de Ja primera derivada de una función? ¿Comprendo el concepto de optimización de una función? www.freelibros.org 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 7 Actividad de aprendizaje 1.2 Mediante el método que estime conveniente, calcule el área aproximada de las figuras amoñas, en a) cm2 y b) mm2. FP•1.2b O!Mervaclón: Copie las figuras I.2a y l.2b y dibujclas en una superficie indepen- diente. Después, realice lo siguiente: e) Por equipos debatan y expliquen de manera exhaustiva los procedimientos usados en el cálculo de las áreas correspondientes. d) Proponga una cota superior y una inferior para las áreas de ambas figuras. Estrategias para calcular el área aproximada defiguras amorfas Las diferentes "técnicas" usadas por los estudiantes para calcular el área aproximada de uoa figura amorfa dan cuenta de sus concepciones y conocimientos previos. Oc esta manera, por experiencia observamos que en la solución de la actividad de apren- dizaje 1.2 aparecen dos constantes: • La figura l.2aevoca en el estudiante la necesidad de un marco referencial, ya que en general se tiende a dividir la superficie en figuras ya conocidas, tales como los cuadrados. Para ello, se usa, como punto de partida, la hoja de papel sobre la cual se dibuja la imagen, es decir, el alumno empica medios ffsicos para abstraer el concepto intangible que le ocupa. La figura l. 2b, cuyos bordes son a prop6siro líneas recias, induce constantemente en el estudiante la práctica de dividirla en la figura geomécóca por excelencia: el triángulo. A partir de él, calcula el área aproximada deseada. Eilta actividad permite al estudiante la heurística, que lo induce a usar sus cono- cimientos intuitivos del cálculo de áreas y superficies, lo que a la postre lo estimula a reOexionar sobre los siguientes puntos: www.freelibros.org 8 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Preguntas de reflexión • ¿ Coaozco el concepto de .irca y sus unidades de medida? ¿Recuerdo las fórmulas básícas de cálculo de .ircas, como cuadrados. trián· gulos, rectángulos y circunfercocias7 • ¿Reconozco los elementos geom6trlcos que caracterizan una figura geomé- trica, como son perímetro, apotema, bases, alturas, vénices. aristas y caras? • ¿Reconozco las relaciones algebraicas entre los diferentes elementos geomé- tricos? セ ッエ。」 ャ ョ@ sumatoria Act i vidad de aprendizaje 1.3 Calcule, por el método que estime conveniente, el llrea de la siguiente figura limitada por el plano canesiaoo. y y R ... 1.3o Fl!Pn 1.3b Deba111 con sus compailcros cuál fue el método más adecuado para calcular el valor de las áreas indicadas. Expliquen por qué fue el más adecuado. Si intentamos definir el área de regiones especiales, tales como las que se repre- sentan en las figuras l.3a y l.3b necesitaríamos establecer algunas consideraciones de forma. Así, dibujando nuevamente la 6gura l.3a, obtenemos la figura 1.4. J(x) (a,O) (b,0) • Observarnos que está limitada por el eje x horizontal; las verticales por (a, O) y (b, 0) y por la gráfica de una fuociónf(x) tal que: f(x) セ o@ \lx E ¡a, b) www.freelibros.org 1.2 Notación sumatoria 9 Conviene denotar esta región como R(f, a, b ). Observemos también que esta región contiene dentro de s( diferentes figuras geomélricas (como lriángulos, rectángulos y otras figuras amorfas) o puede dividirse en esas figuras; sin embargo, por simplicidad dividiremos el intervalo [a, b] en algu- nos subintervalos. l'Qr ejemplo, si dividimos [a, b] en cuatro subintervalos, tendríamos que definir- los (l'éase figura 1.5) " Jtr) Si quisiéramos calcular IBs áreas de estos cuatro rectángulos formados por la divi- sión, también tendrlamos necesariamente que obsen'llr que, sobre los subintervalos, Ja función presenta un valor máximo M y un valor mínimo m. M f',;x) m セ Q NX@ Si m1 es el valor mínimo del primer subintervalo y M1 el valor máximo del mismo (en consecuencia, m2 será el valor mínimo del segundo subintcrvalo y M2 el máxin10, etcétera) y si S1, s,. S:i y S4 representan las áreas de los cuatro subinter- valos respectivos, existirán dos maneras de calcular el área aproximada de R(f, a, b) mediante la fórmula de área ya conocida: usando el valor mínimo m o el valor máximo M. Así, SM = m1(x1-x0)+ 111z(x2 -x1) +m3(x3 -x,)+ m.(x, -x3) www.freelibros.org 10 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Definición 1. Definición 2. represeora el área de los rectángulos que están dcnlJO de R(¡, a ,b), en ranto que: Reprcscnra el llrca de los rectángulos que quedan fuera de R(f, a, b) Observemos que: S.,< RyR <S,, Esta conclusión se cumplirá independientemente del número de subintervalos que se hayan elegido y, además, si /(x) está definida en [a, b], aboca podemos establecer la siguiente: Toda colección finita de puntos que se encuentran contenidos den1ro del inter- valo [a, b). donde a < b, recibe el nombre de partición del intervalo. Podemos fácilmente numerar o nombrar los elementos de la partición como lo hici- mos en el desarrollo anterior; así a=x., <x, < x2 .. . < x_ , <x, =b, donde los elementos serán X<>, x, , ... x,_, , x, y donde m1 =Valor inferior de la función M1 = Valor superior de la función si si Usando esto podemos reescribir Sm y S¡,¡. Xr-1 $ x $ X; X t-1 $ X $ X;. La suma inferior de /para una partición cualquiera p = [:to. x1 .... x. I del inter- valo [a, bJ es S,,. = 'tm1(x1 -x;_1) ,_, E.cuación (2) La suma superior de la/para una partición cualquiera p (x0, x1, ••• x,) del ín· tervalo [a, b] es S,, = tM,(;c1 - x1_ 1) ,_, Ecuación (3) A la forma de cscn1>ir una expresión que contiene sumas se le denomina notación sumatoria, y esa es la razón de usar la letra griega sigma. Lecra griega sigma www.freelibros.org U Notac.ión sumatoria U Por tafo lio de ev i de nci as 1 Discuta con sus compalleros y concluya por escrito sobre los siguientes aspectos: a) ¿Qué significado tiene para el cálculo del valor del área de la región R(J, a, b) el hecho de quefesté acotada en [a, b]? b) ¿Si P1 y P, son dos particiones cualesquiera de [a, b] es posible que: sBセsLN_@ Estime sセ@y S., para el área de la región R(f, O, 5) con: a) cinco rectángulos de aproxímacióo, si f(x) = 25- x2 b) diez. rectángulos de aproxímación y Según la definición 2: M1 = /(0)=25 M2 = /(1) =24 M, =/(2)=21 M, = /(3)= 16 M, = /(4) = 9 rn1 = /(1) = 24 "'2 = /(2) = 21 m3 = /(3)= 16 m, = /(4) = 9 m, = /(5)= o s • a) /(0) = 25 f(I)= 25 - 1=24 f(2) = 25-4 = 21 /(3) = 25-9 = 16 !(4)=25- 16=9 f(5) =0 Partición de f para cinco subintcrvalos P = ( I, 2,3,4, 5) [O, I] [1, 2] [2, 3] ('3, 4) [4, 5] V(x; - x1_1) = 1 s., = 25 + 24 + 21 + 16 + 9 = 95 V(x1 - x1_1) = 1 s .. =24 +21+ 16 +9 = 70 www.freelibros.org 12 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo b) Para IOsubintervalos R(f, 0,S)con /(x) = 25-x1 1 /(¡<) X 10 p = {Xo,··· X10 } los subintervalos ャ P ᄋ セ ャ ᄋhᄋ@ 1 l· l1·%l·I% ·2l·f 2·il· 1%· 3J.l3• ゥャᄋiセᄋ@ T jNャ T ᄋセ ャ ᄋ ャ ゥᄋ@ 51 Así ' M1 = /(0) M• = 1(%) Mi =1H) M1 = /(3) M, = /{I) M, ]OH セI@ M. =/(%) M9 = f(4) M, = /(2) Mlo = A {セI@ Su = Í:M1(x;- X;- l), coox,=x1 . • . x 10 i • l s., = Mf(O) + Q{セIK@ /(1) + 1(%)+ /(2)+ 1[%)+ /(3)+ Q{セIK@ /(4)+ 1(i)J = セ{QWXNWU}@ = 89.375 10 Ahora s"' = Lm;(x¡ - X¡- 1) con.t;=Xl•"'l, ... .t,o i • I ""' = /(3) ,,,,, = /(1) m, = 1ff l ,. m, = 1(%) m, = f(4) m, = / (2) ,,., = 1rnJ '"• = 1(f) ln10 = /(5) como \l(x1 - x1_1) Cl esta partición = 112 1 Sm = 2(153.75] = 76.875 www.freelibros.org 1.3 Somas de Rlemann 13 Obserwcióo: P.n el ejacido para d caso a), oonsidcramos S., < S"' lo mismo que para clcasob);sioanb:ugo,paraelcasoa),S" - s.= 2.'iypu:aelcasob) s,, -s. = 12.5. Portafolio de evidencias 2 Debata con sus compa5eros la siguiente pregunta: ¿qué sucederá con la dife- rencia (S., -s. ) si se aumenta el mlmero de subintervalos? セ@ Sumas de Rlemann a) Entreguen su argumentación y conclusión por escrito. b) Busquen y propongan una función y calculen s" -s,. para cinco y diez subintervalos. De las actividades anteriores observamos que tenernos una partición cualquiera P de n elementos p = {xo ... x. ) del intervalo (a , bJ y que para cada i elegimos un punto localizado entre [x,_, , x, J. • s. 5 Lf(x, Xx, - x,_,) 5 S,v l • I Ecuación { 4) La suma • L:1<..,>«· - x,_,) Ecuación (5) ,_, recibe el nombre de suma de Riemman de una función/por una partición P. La re- presentación geométrica de la ecuación (4) puede verse en la figura 1.9. y セ I@ .., ... 1.9 La suma de Riernman (ecuación 4} representaría el ID-ca tO!al de los n rectángulos correspondientes a la partición P, que se encuentran contenidos por encima y por debajo de f (x). Otra conclusión que se deriva de la ecuación (4) consiste en que, cuantos más sean los elementos de la P, las bases de los rectángulos serán lo sufi- cientemente estrechas para que s. :::: S" y, a su vez, el valortotal de la ecuación (4) arrojará el valor del área de la región R. www.freelibros.org 14 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo La figura l.10 muestra la gráfica de una funciónf, cuyos valores pueden ser dados a partir de la imagen. Utilice cinco rectángulos para encontrar un valor aproximado del área debajo de f(.x) en el intervalo [0, 15]. SOLUCIÓN Los subintervalos serán: [O, 3], (3, 6], [6, 9], (9, 12], (12. 15]. ' x, = 1.5 Si se elige: x2 = 4.5 X)= 7.5 x, = 10.5 x, = 13.5 Área de la región = L:J(x1 )(x1 - x,_,) ... \f(x, - x,_,) = 3 A= 3(J(l.5) + !(4.5) + J(7.S)+ f(IO.S) + !(13.5)) A = 3(47.S] = 142.5 CONCLUSIÓN X¡, x,_, E (0, 15] Suponiendo que una función f sea continua o esté definida en todo punto de un inter- valo [a. b) dividido en n subi.ntervalos de la forma (x, - x1_,) F.cuación (6) será el área de la región limitada por dicha función J, sus correspondientes verticales co [a, b) y el eje horizontal. www.freelibros.org セ・ューャッ@ 3 1.3 Somas de Rlemann 15 Derennine la suma de Riemann definida en el intervalo [-2, 2] para.f(x) =x'- - 4 para 11 muy grande (n - oo} • SOLUCIÓN • Se sabe que: lím l:JC<1}Ax1 •-OO i-1 donde tu1 ]セケ@ x1 = -2+i!u1 = MRKセゥ@ n n Recuérdese también que 't,; = n(n+ l} _ 112 +!!.. ,_, 2 2 2 t¡> = n(n + IX2n + I} _ n3 + n1 + !!. l•l 6 326 y • 4 • ([ 4 ) 2 l 4( • ( 16 16 ) • l ¿¡cx,}lu,= - E -2+-i - 4 =- L:4--i+ 2 ;1 - E4 ;.1 n ,_, n n 1• 1 n 11 ;.1 = セエT M セエ ャ V@ ゥ K セエャセ@ ェR M セエT@ ] M セエセゥ Kセ エャセゥG@ n ;.1 n ;-1 n n i•I n n ,_, n i• l n n r-1 " 64 • 64 • 64("2 "} 64(113 112 "} =-,L:;+,¿;2=-2 -+- +, - + -+-11 1.., n ,_, n 2 2 n 3 2 6 Uevando el límite cuando n - oo; se obtiene t ( 32 64 32 64 ) 64 2 lún f(x1}Ax1 = llm - 32 - -+-+-+- = - 32+-= - 10.6u •-oo i•I !f-<iO n 3 n 6n2 3 Portafolio de evidencias 3 Debatan, comcntco y propongan una nomenclatura o simbología que permi- ta definir a partir de la ecuación (4), cuando n tienda a un valor muy grande (n -+ oo} . Debatan grupalmente para responder lo siguiente: a) セ←@ tipode funciones ticncla propiedad deque todas,. es igual a s,,1 b} ¿Qué tipo de funciones tiene la propiedad de que rodas las sumas infe- riores sean iguales1 www.freelibros.org 18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Preguntas de reflexión Act iv i dad de trabajo 1 . 1 1. Evalúe la suma de Ricmann paraf(x) = 3 - x2cn (0, 2] con cinco intervalos tomando los puntos de la derecha como puntos muestro y explique geomé- tricamente su resultado. 2. En la siguiente tabla se proporcionan los valores de una función obtenida por medíos experimentales; utilícelos para estimar el valor del área de la función f en [O, 6] tomando los puntos medios y teniendo como dato que la función es decreciente. X fl.x) o 9.3 l 9.0 2 8,3 3 6.5 4 2.3 5 -7.6 6 - I0.5 3. Utilice un software para graficar la función f (x) = e,>, y: a) Estime el valor del área debajo de esta gráfica en [-2, 2] con cuatro rectángulos de aproximación, y b) oon ocho rectángulos y romando los puntos medios. c) Esquematice la curva usando el software y los rectángulos de aproxi- macíón. • ¿Comprendo el concepto de partición de un intervalo? • ¿Soy capaz de calcular a partir de partlciones de un subintcrvalo el área bajo la curva de alguna función? • ¿Entiendo el significado geométrico de que P. -+ oo? www.freelibros.org 1.4 Definici6n de integral definida 17 Definición de Integral _de_fl_n_ld_a _____________ _ Si definimos llx1 = (x1 - x,_1}, la ecuación (4) puede cxpn:sarsc como: cuya interpretación geométrica será Ja de la suma de las medidas de las áreas de Jos rectángulos que están sobre el eje x y contenidas en la curva/(x). Notemos, en este caso, que dicha definición no se restringe a UD valor necesaria- mente positivo de/(x). Asl,/(x) podría tener llllllbién valores negativos en la función. En este caso. la región total debajo de la curva/(x) será: 11-t R = s,+ s,+ s, Observamos, sin embargo, que f(x) toma valores positivos en S2• Es decir, se conside· ra queS1 y S3 son regiones negativas que deben sustraerse debido a que no están bajo la curva, sino sobre la curva de la función f(x}. En general si existe UD número infinito de particiones para UD intervalo cualquicr:a [a, b] y si/está definida en dicho intervalo, podemos definir a la ecuación (6) como: Ecuación (7) A la ecuación (7) se le conoce como integral definida de la función en el intervalo [a, b ], donde el límite del lado derecho existe y /es continúa en el intervalo definido. www.freelibros.org 18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Ejemplo 4 E.o la ecuación (7) a f (x)dx se le conoce como integrando o argumento de la in- tegral, mientras que a y b son el límite superior y el límite inferior, respectivamente, y al símbolo "f" se le conoce como el símbolo de integración, el cual es scmcjanl.e a una "s" muy alargada que mantiene presente el origen del concepto observado en las ecuaciones (1) y (2). Si / (x) es integrable, 11• scgán la definición de la ecuación (6) Sm :$ f.• f(¡c)dx :$ s,, V P E (a.,b] y entonces J.• f (x)dx será una propiedad y tendrá unvalor único. Suponga que f(x) = C V x E' (a,b) ,. Si P = {x0 ,x1, ... x. ) es una partición cualquiera de [a,b] de manera que: m1 = M 1 = C • ウ セ@ = E C(x, - .. ,_,) = C(b - a) ,... s,. = tc"°, - x,_,)= C(b - a) ,_, F.cuación (8) Para este caso particular, !odas las sumas inferiores y superiores son iguales s,. = s., = C(b - a) Usando la ecuación (7) podemos decir que: si f(x) = C 11111t /es integrable sobre [a, b) y que J.• f = C(b - a) Observación: Esta integral asigna al rectángulo el valor del área ya conocida tal y como se observa en la figura 1.12. www.freelibros.org Criterio y o =xo .. , ., 1.4 Definici6n de integral definida 19 ,._, Jlx) s e i : b= X X. Esta observación nos permite Cllpresar el siguiente criterio de integrabilidad. Si f esro aeotada sobre [a, b ], entonces f es integrable sobre (a, b] - 'h >O otisteuna partición Pde [a,b]tal que s,.. - Sm <c. Scaj(x) = xcncl intervalo [0,b]eon b >0. Si P = lx.,x,, ... x. lcn la prutición do [0,b] 1• m1 =x1. , y M1 =x1 • Sm = ¿x,_,(x; - .t;.1) ·-· • S,, = 2:x1(x1 - x1• 1) ¡,.¡ = x1(r1-xo)+x2(Xi-X1)+ +x.(x. -x-1) .f.x) o •1-1 JC¡ b Para particiones P. = fx0 ,x1, ... x.J en n subintervalos iguales, la longitud de cada intervalo (x, - x1• 1) será siempre É-, de manera que: n www.freelibros.org 20 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Xo = 0 b x1= - n 2b ib x2 = - ... en general,x1 = - n n • $"" = L:xi-1 (X¡ - X;-1) ,_, • (i - l)b b b2 • = I:--·- =2I:(i - l) ;.1 n n n ;.1 Sabemos que ta sumatoria tj = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n: I) se puede rccsctlbir J•I como S,. si hacemos (i - 1) = j S,. = b2 (n - IXn) _ b2 • n - 1 n2 2 2 n Tambi6n • • ib b n(fl + 1) b2 n + J b2 s., = I:x1G>-1 -x1_ 1)= I:- ·- = ·-;= - ·- 1. 1 '-' n n 2 n n 2 b2 2 b2 Observación: Sin es muy grande (n -+ oo), S,. = Su -- y S,,-S,. - · - b' 2 n 2 = - , lo cual significa que cuanio mayor sea n, más pequeña será In diferencia; o " bien, S,, = S,. puede ser tan pequeña como se quiera, pero siempre existirá soto un ,aJor por cada propiedad. Asl, 'In: bl s_ < - <s .. - - 2 - m 111• Usando la ecuación (7) tenemos que: J: JG<)dx en estos casos: J.• b' ! =-• 2 Observamos también que esta forma asigna el valor b 2 al ttiángulo rectángulo cuya base es by nltura b. 2 Si a =Oyb = b i• se cumple que: f • f = b2 - ª 2 • 2 2 www.freelibros.org y o b ¡; A=- 2 Rgon1.1A 1.4 Definici6n de integral definida 2j. Por tatollo de evidencias 4 Debatan en equipos la comprobación de la expresión anterior J: f = li' a' --- para a,. O. 2 2 Ejemplo 6 Analicemos un tercer caso aumentando el grado de la variable. Sea /(,r) = x2 y sea P = {x0 ,x1 ... x,)unapa11icióndel intervalo [O,b). Bセ@ = f(x, _,) = C>-1-1)2 y y M1 = /(r1) = x'f Eligiendo una partición P (n pa11es igua- les), de forma tal que: j ·b X;= - n CalculandoSm = :t(x,_,)2(x, -x,_,) l•I "" b' b b 3 ..... = ¿_,(i-1)2 2·- = 3 ¿_,(i-I)' 1_. nnn ;,..1 Haciendo (i - IJ' = j2 y recordando que 12 + · · · + k2 = .!. k(k + IX2k + 1) 6 www.freelibros.org 22 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Calculamos: • • t>2b IJ'• b3 1 s.,= ¿;x,2 (x1 - .r,_1)= ¿;;2 2 . - =-, ¿;;• =··- n(n + 1)(2n+ 1) i•I l'-.t tJ n n ,·. 1 n 6 Observemos que sin tiende a un valor muy grande (n -+ oo) 1• b3 s'" =- 3 Usando nuevamente la ecuación (7) tenemos que: J. • b3 0 1 = 3.donde [0, b]esel intervalo [a,b]cona = O. J.• b' .1=3. I!ll>I!! .. 1. ............ ....... .... ................. .... ........... ............... ...... .... ........... ......... .. ...• Rxlemos resumir los resultados de los tres ejemplos anteriores como sigue: J.•1 = C(b-a) sí 1(x)=C'Vx f •1 -- b' - a' si' • 2 2 1(x) = x'lx f •1 -- b' - a' si· • 3 3 1(x) = x' 'Vx Notamos o concluimos a partir de la tabla resullante que Así, Es decir, tiene el mismo significado de esta forma también: Además, sí 1 = 1(x), puede utili;mrsc cual· quier letra para denotar a la variable x, ya que el símbolodxcarece de significado por sí solo. J.• 1(x)dx = J: 1(y)dy =J.• 1(w) dw P.cuación (9) www.freelibros.org Preguntas de reflex ión 1.4 Definici6n de integral definida 23 Lo anterior señala que la manera de simbolizar la variable dentro de la función es simplemente una ooiación o una manera de decir quef(x) tomará ese valor Vx. 1 Ejemplo de apllcac lón U11a empresa a111omotriz. después de observar 400 unidades tk prod11cció11, de1em1i· ro que el tiempo de mano de obro req11erido después de ensamblar la unidad (x + 1) es de: f(x) = 500x- •1'2 Con base en esa información, calcule las horas requeridas para producir 500 unidades adicionales. SOLUCIÓN Como la ecuación fl,r) = 5oox-"1 determina el tiempo de mano de obra de ensam- ble de la unidad (x + 1), se tcndrá que resolver Ja integral de f(x) y definirla de 400 hasta 900 unidades, ya que se solicitan las horas para producir 500 unidades adicio- nales. Por ello: J:: 5oox-"2dx = 500 J:: 500 ... -•ndx Aplicamos la antiderivada y tenemos ·HJ+• 500 T = UPPHRサᅪクIiセ@ 2 = 1000(;/900)- ;/400 = 10000 horas Portafolio de evidencias 5 a) Ilscutan grupalmente para encolllrar una expresión equivalente a: J.., f(x -c)dx •+< b) Por equipos de trabajo, demuestren que J.• x' dx = b' 14 consideran· don particiones del intervalo [O, b) 0 c) De la misma manera demuestren que J 0 • x• dx = b5 15 • ¿Soy ca¡>ll de generalizar un resuliado a partir de las observaciones? • ¿Soy ca¡>ll de inducir un resultado una vez que he entendido el comporta· miento y las características del mismo? • ¿Soy ca¡>ll de concluir matemáticamente a panir de la observación y el registro de datos alfanuméricos y de definiciones y teoremas? www.freelibros.org 24 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo mll.!_eorema de existencia Teorema En la exposición previa a esta sección pudimos observar que para el cálculo de las áreas correspondientes bajo la curva necesitamos conocer, primero, la función que genera dicha curva, esto es, un determinado intervalo [a, b] que se trabaja sobre una partición P = (4 ... x.}. y que cuanto mayor sea la partidón (n .... oo) podemos aproximamos más a un número común. Dicho número recibe el nombre de integral de la función f. EstaS condiciones permiten establecer el siguiente: Si fes acotada sobre [a, b]-> fes integrable sobre [a<-+ b] Ve> O 3 una par- tición P de [a, b] tal que: S.,(f,P)-S.(f, P) <E Más aün, nos podemos preguntar entonces: si una función continua en [a,!>], ¿será también integrable en el intervalo? Para que esto sucediera, necesitaría existir una partición P de [a, b] V E > O tal que s.,(/, P)-Sm(f, P) < e; también como suponemos que/es continua en [a,b], existe un mímero 6 > O tal que Vx ,yE [a, b], si lx- y1<6 セ@ 1 f(,x)-J(y) I< e 2(b - a) En cuyo caso tendríamos que elegir una partición P = (x0 , .•• x,}, donde se cumplirá que el valor absoluto de la partición! X¡ - x,_, 1 < 6 para cualquier i de la partición. E's decir, 1 f(x) - f(y) 1 < E 2(b - a) VxE [x,_1, x1) M--m1 < e < - E- Vi ' - 2(b-a) b-a セ イ@ tanto, S,,(f, P)-S.(f, P) = t (Mr - ョセ IHZ」L@ -x,_,) ... E • =- ¿:c., - x,_,) b-a l • I e = --·b - a =E (b-a) La demostración anterior garantiza la interpretación necesaria para saber que: Si fes continua en [a, b ], y si fes integrable sobre [a, b] entonces existe una funciónFdefinídasobre [a. b]dela fonna F(,x) = J: f. A la conclusión anterior se le conoce como teorema de existencia. www.freelibros.org 1.6 Propiedades de la integral definida 25 Portafolio de evidencias 6 IXsarrolle adecuadamente las siguientes actividades e intégrelas a su portafo- lio de evidencias. l. ReaHce un mapa cognitivo que muestre los elementos geométricos y alge- braicos que permitieron establecer la definición de integral definida como: J . . t<x>dx = lím L:tcx,.>a•, a 11-co;.1 2. Bo la definición anterior se usa J.' f(x) en lugar de N セGAエNヲHク Q I@ y se usa dxen lugar de t.x1• Organice en un mapa comparativo las caroctedsticas e implicaciones de esta nueva notación. 3. Por dltimo, organice y relacione en una matriz de i.nducción los siguientes elementos: Método de cálculo de una figura sin forma definída • Cálculo de áreas con forma definida • Cálculo del área bajo la curva de una función cualquiera • Swna de áreas rectangulares • SwnasdcRicmann • Definición de integral Propiedades de la Integral definida Considerando la notación usada en el teorema de existencia y el resumen de nuestros hallazgos concentrados en la tabla 1, podemos concluir algunos aspectos o propieda- des de la integral, como son los siguienres: a) J.' f = C(b - o) si IV:>= e V x E [a, bJ, es decir, J.' e dx = C(b-a) Esto nos dice que la integral de una función constante f(x) = e es igual a la cons- tante multiplicada por la longitud del intervalo, esta interpretación geométrica se puede ver en la figura 1.12. Con C > O y a< b obtenemos Ja fórmula para el cálcu- lo del área de un rectángulo. b) La integral de/está definida como límtf(x,Xx,-x,_,) , J'¡+g se escriblrá como: .. -oo t•t 0 J.'t +g www.freelibros.org 28 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo =J.. [f(x) + g(,r)]dx " 11 b b = lím [Lf(x, )(.K, -x,_,)+ LK<x1Xxi -x1.1ll = J f(x)dx+ J g(x)dx 11-00 ;.a ;.i a o Esta propiedad indica que la integral de una suma es la suma de las integrales si la observamos en términos de área donde/y gson positivos. La interpretación geométrica sería el área debajo de/más el área bajo la función g (véase figura l.16). y セOKァ@ g Fflpra1i6 e) Usando a) y b), tenemos que J• Cf(x')dx = lím [tct(,r1)(,r1 -x1• 1) ] a 11-00 /•I =e J: t(x')dx La integral de una función multiplicada por una constante es la constante multiplicada por la integral de la función. d) De la misma manera J f - g se escnl>e como: J :lf<.xl-g(x)]dx = J.•[/(xl]dx+[-g(x)]dx Usando b) y e) J.• f(x)dx-J: g(K)d:c Esto también puede interpretarse como una suma de áreas en cuyo caso -J: g(x)d:c rt-O debe interpretarSecomo un área negativa sino como una que debe restarse al área debajo de f (x) • www.freelibros.org 1.6 Propiedades de la integral definida 21 e) Sea b E [a,c] de la forma a < b <e, y sea f imegrable sobre [a, b] y [b,c];fes int-:grable en [a, el deaquf se siguequesifes integrable sobre [a,c] J.' f(x)dx =J.• f(x)dx+ J.' f(x')dx Geométricamente: y Q b e Flgloft1.17 f) Finalmente también podemos observar que si f(x) es una función positi- カ。Hセ@ 0) en [a, b] セjN @ f(x)dx ;<: O. Sif(x) セ@ g(x), para una x E [a, b] セ@ J: f(x)dx :<: J.• g(x)dx. Si f(x) se encuentra contenido entre dos valores tal que m s; f(x) :5 M Vx E [a, b] "* m(b-a) :5 J.' Jf.x)dx :5 M(b - a) Tabla resumen de tas prop iedades de la Integral defin ida J: f(x)dx = - J." f(x)dx Si a= b f.' J(x')dx =O J: Cdx = C(b - a) "* con e cualquier constante J: ff(x)+ g(x)ldx = J: f{.x)dx +J.• g(x)dx f.' e Jl;c)dx =e f.' J(x)dx ve constante f."IJ(x)-g(.r)]dx= J: f(x)dx-J." g(x)dx Además: J.' f{.x)dx= J.• f(x)dx+ J.' f(x)dx sibE[a,c) www.freelibros.org 28 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo También: Si ヲHクIセ@ Oen [a,b) *J.• f(x')dx セo@ Si J(;r) セァHクI@ en [a,b] * J.' J(;<)dx セjNG@ g(x')dx Si m5f(x)5M lfxE[a,b] * m(b-a)5 J.' f(x')dx 5M(b-a) Ejemplo llust.rallvo 1 Si f(x ) = x es una función continua e integrable en el intervalo !e, d] y g(x) = k es una función constante continua e integrable en k, obtenga la composición SOLUCIÓN J)J' (f(x)+ g(x)')dx)dx J.'[k(d-c)+(d; _ セャャ、ク@ kJ.'cd-c)dx+ jN G H、ZMセj、ク@ [ di -e'} R = k(d - cXc - a) + 2 (e- o) Portafo l io de evidencias 7 Debatan primero en equipos y después de manera grupal la solución de la si- g1.1iente expresión y su posible interpretación geométrica. Deben entregar por escrito su argumentación. J: <J: f(x)g(y)dy)dx Actividad de trabajo 1.2 1. Uúlicc la definición y las propiedades de la Integral definida para evaluar: a) J.' (1 + 2x)dx d) J.'o + 3x+ 5x')dx b) J.2(3-x2)dx e) J:' (5 + 2x2 )dx c) J,' :c'dx t) J:, (1 + (9 - x')')dx www.freelibros.org Preguntas de reflexión 1.7 fUnclón prlmltlva 29 2. Pruebe que J.• xdx = (bl - a l)/2. 3. Pruebe que J: x 2dx = (b3 - a3)/3. 4. SJ sabemos que J.' x'312>dx = 843., ¿cuánto vale r• y 312dy? • 5 J. 5, Si J 2 8 f(x)dx = 1.7 y ,l• f(x)dx = 2.5, encuentre J.' f(x)dx. 6. Verifique las siguientes desigualdades sin evaluar las incegrales (explique y justifique su respuesta): J.•" J.'" a) 0 sen' x dx 5 0 sen2 x dx • ¿Entiendo las propiedades de la integral definida de una función, corno aquellas que me permitirán las manipulaciones algebraicas de la integral? • ¿Reconozco la integral definida como un operador lineal? • ¿Conozco el significado de operador lineal? - Función prfmltlva Teorema' Por las conclusiones dadas en los apartados anteriores y el debate de la práctica, sa- bemos que si f(x)dx es integrable, entonces la función continua F(x) =J.• f (x)dx representa el valor de dicha integral en el intervalo [a. b] y aderM.s F (x) será deriva- ble. Dicho de otra forma: Si/es continua en [a, b1 la función F(x) definida como: F(x) = J.' f(x)dx V x E (a, b] es continua y derivable en (a, b) y además F'(x) = f(x). www.freelibros.org 30 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Definición 3 . Este rcsulmdo se conoce como el primer teorema fundamcnUll del cálculo. o bien, como Ja primer parte del teorema fundamenUll del cálculo.2 En general, no es sencillo expresar cuándo una función es derivada de otra expre- sión; sin embargo, cuando fes continua.fes la derivada de alguna función. F(x) =J.' f Como corolario a este problema, y atendiendo a la tabla 1 de resulmdos, si fes continua en [a ,b]yf = g1,para alguna función g :!> J.• f = g(b)-g(a). De la primera parte del teorema fundamental del cálculo, tenemos que: F(x) = J: f F' = f = g' sobre [a, b] En general, cuando una función/satisface que F' =¡,recibe el nombre de pri- mitiva dc/; cn estc caso F(x) =J.' f. mD_ Teorema fundamental del cálculo Actividad de aprend i zaje 1 . 4 Grafique las funciones y = x 2 , y' = 2x alineadas y siguiendo el patrón que se muestra. 2 A partir del análisis de la gráfica propuesta, complete las siguientes mblas: ' este lccren:'ll se IXlnoce como turd:lm.:iul debido• qui:<=O!Vene una oon.cxi.ón din:x::Ui ere:rc d cilculo dm::rcmc:iiil y d i.nt.l, vúco como poeuos QセQGDHQDN@ F.$to pennkl6 al dleu&o COlt\-ettlt$0 eo 111'1 in61odo IÍ$lcm.i1lco.. www.freelibros.org 1.8 Teorema fundamenral del cálculo 31 y 6 --------- -------- --- 4 ------------- 2 2 3 X Área debajo de y' = 2.r, donde ....... o y(x) o 1 2 3 4 5 a) Escriba lo que se concluye a partir de las observaciones de los resulta- dos obtenidos. Repita el ejercicio considerando ahora las funciones y = 2x, y' = 2. b} Intercambie puntos de vista con su compallero aocrca de las semejan- zas o diferencias en las conclusiones de ambos ejercicios. c) En caso de que la respuesta sea afirmativa, aplique la conclusión u otro par de funciones. d} !!$criba un enunciado general usando f(x); f'(x). Analizando el corolario de la se<;eión anterior F(x) = J: f セ@ F' = f = g' sobre [a,b] , 3 un número Ctal que F = g + C 1u• F(a} = g(a) + C si F(a} =O 111• g(a) =-C. www.freelibros.org 32 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo e ェ セ ューャッ@ 7 Así, F(x) = g(x)-g(a) lo cual se cumple para x = b m• f.• J = F(b) = g(b) - g(a) F.ste resuhado se conoce como segundo teorema fundamental del cálculo o segunda pane del teorema fundamental. Turnando nuevamente como referencia la tabla (1) de concentrado de algunas áreas, vemos lo que ya antes habíamos obtenido: o J: xdx como= b; -a; bl a' como =--- 3 3 Si n es un nómero N, análogamente podríamos decir que si x-+• g(x) = (n + I) g'(x) = x• de forma que: f b b"+I a"'+l x"dx=----- • n+I n+I con n "'-1 y a, b positivos Finalmente podemos resumiro unir las dos panes del teorema fundamental del cálculo como: Seafcontinua en [a, b] l. Si F(x) = J: f(t)dt • F '(x) = f(x) 2. J.' f(x)dx = F(b) - F(a), con Fcualquicrantidcrivada de f:es decir, F' =J Reescribiendo la pane 1, tenemos que: d d f ' -F(x) = - f(t)dt = f(x) dx dx • www.freelibros.org Ejemplo 8 1.8 Teorema fundamenral del cálculo 33 Esto es, si integramos fy luego derivamos el resultado, obtenemos nuevamente la función original f. Como F'(x) = f(x) I'* podemos reescribir la parte 2 como: f.• F 1(x')dx = F(b)- F(a) lo cual afirma que si tomamos una función P, la derivamos y luego integramos el resultado, regresamos a la función original F, pero F(b)- F (a), la cual ya habíamos comprobado con la tabla 1. Obsernción: Lo anterior afirma que la derivación y la integración son procesos fundamentales inversos entre sf. Encuentre una funciónfy un nómero a tales que: 6+ f ' ヲセI@ dJ = 2,/X • r usando la derivada y la integral como operadores inversos. SOLUCIÓN Derivamos: J, f(t) -dt = 2JX-6 • ,2 !!....[J ' f(t) dr] = !!....¡2.JX - 6] dx • 12 dx Usando la primera parte del teorema fundamental y derivando el lado derecho: f(x) 1 7 = .JX 11• f(x) = x31' Como J.• F(x)dx = F(b)-F(a), segón la partc2 del teorema, 3 J , ,2 6+ -,dr = 2./X • 1 o J: ,-1n d1 = 2-[X -6, la cual podemos expresar como: www.freelibros.org 34 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Preguntas de reflexlón 1 :. ª' = 3 P.lra que la expresión dada sea una igualdad, debemos escribirla como: 6 + J: ,-112d, = 2.JX Activ idad de t r abajo 1.3 a = 9 l . Realice un esquema del área que representan las siguientes funciones y en- cuentre g' aplicando la primera parte del teorema fundamental del cálculo. a) g(y) =J.' 11 dt e) b) g(x) = J: (! +cos 2J)d1 d) J, 1 g(x) = --dy - 1y+ y' 2. Evalóe las siguientes integrales usando la primera parte del teorema funda- mental del cálculo. a) J,• 1 - dx 1 2x b) f 3 セ、ク@-•x f' 5 e) Jo x> dx 3. Encuentre un intervalo en el cual la curva sea cóncava hacia arriba en: F(x) = J: sen t dt 4. Una empresa que vende tecnología compra un software cuyo valor es V. El sistema se depreciará a razón de f(t) y acumulará costos en un tiempo t medido en meses. La empresa desea dctcaninar el tiempo óptimo de vida del sistema. Obtenga una función c(t) que represente los costos al tiempo 1. • ¿Reconozco que la derivada y la integral son procesos inversos uno del otro? • ¿Reconozco de qut manera el teorema fundamental del cáleulo diferencial se relaciona con el cálculo integral? • ¿Puedo hacer el ejercicio de abstracción necesario para pasar de una pane del teorema fundamental a la otra? www.freelibros.org L9 Cilculo de integrales definidas 35 セ c£ ャ 」 オャ ッ@ de Integrales definidas El teorema fundameotal del cálculo muestra todo un potencial, en especial cuando aplica a modelos físicos; sin embargo, se hace necesaria una notación más conve· nientc para la segunda parte del teorema si deseamos aplicarlo a modelos flsicos o de ingeniería. Tradicionalmente una J fdx denota una antiderivada de/; esto es: J f (x)dx = F(x) significa que F'(x) = f(x) . Asf, por ejemplo, si F'(x) = x 2 , escribimos Sin embargo, observamos que: Con base en este patrón, podemos considerar que una integral es una familia completa de funciones \fe e R; es decir. habrá una antideri· vada para cada constante. Observación: Así, habrá que distinguir entre la notación J: f(x)dx, que denota una integral definida entre dos valores o definida en un intcn•alo (a, b], y cuyo resultado será un valor único o especifico y ... J f(x)dx = F(x), que denota la antiderivada de f. la que comfuuneme se conoce como inugral indefinida para remarcar su generalidad. Una convención importante que debe subrayarse en la notación de integral es que la letra que aparece después de la d (diferencial) debe ser la misma con la que se expresa la variable. Por ejemplo: las dos partes del teorema fundamental del cálculo y la propiedad de la integral y la derivada de ser operadores invcl$-Os nos permiten comprobar algunas fórmulas derivando simplemente las funciones indicadas en el argumento, como las que se muestran en la siguiente tabla. www.freelibros.org 38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo !!-ll!!1' .. セ@ .... ..... .......... ................ ..... ...... .... ........... .......... ........... ........................ . Ejemplo 9 J adx = ax J x "'+' x"dx = --,n ;é 1 n +I j セ、ク]ャョク@ J sen xdx = - cosx J e'dx =e' J e-0sxdx =-senx J seclxdx=tgx J secx tgx dx = secx ! __!!!.___ = arctgx l +x2 J セ、ク@ = arcser 1- x2 1. Utilice la parte dos del teorema fundamental del cálculo para ene-0ntrar la deriva- da de la función g(¡•) = J."-1- 2 dx 1 l+x SOLUCIÓN g'(µ,) = .!!..[J.•- 1- dxl dx 1 1 +x2 I 1 , .. g(µ,)= l +µl V I' "" - 1 Ejemplo 10 Evalúe las siguientes integrales usando el teorema fundamental del cálculo y las pro· piedades de la integral descritas en el inciso 1.6 y la tabla 2. a) J' x•dx _, I s x' 3' (- 1)' 243 1 SOLUCIÓN x'dx= - 1:, =----=- +-_, 5 5 5 5 5 244 4 =-= 48- 5 5 b) J.'o +3y-y2 )dy. Usando propiedades, = ¡;dy+ J;3ydy-J.'1dy = J.'dy+3J.'ydy-J.'y2dy www.freelibros.org L9 Cilculo de integrales definidas 37 =[4 - 0J +i [42 - 0J - t[4'-0] = 2jl = 6,66667 Ejemplo 11 Calcule la integral de f(x) = x' -4 sobre [-2, 2], utilizando el teorema fundamco- lal de cálculo. SOLUCIÓN Una antiderivada de f(x) = x2 - 4 es F(x) = ; - 4x; luego, pore.I segundo teore- ma fundamental del cálculo, tenemos f 2 (<2)' l ¡(-2)' l (ª ) (-8 ) _2c.2-4)dx= F(2) - F(- 2)= 3 - 4(2) - - 3--4(- 2) = 3- 8 - 3+8 = (•:r)-(-•+'24) = M セ Mゥ[@ = M セ@ = -10.6 Ejemplo 12 Calcule J_: cosx dx 2 SOLUCIÓN J_: eosx dx = [sen xJL:, =(seo RQQGIMHウ・ョ\ Mセ^I@ = (0)-(-1) = 1 ' 1 •2 Ejemplo 13 Encuentre J."'• JI + cos 4x dx SOLUCIÓN Usando la l'denu'dad 2 1 + cos 2• '· lli 1 2 cos v = 2 , m.. espec camente + cos v = 2cos1 v •• tenemos: J." J I+ cos4x dx = J:;. J2cos2 2x dx = J:' J2Jcos2 2x dx = J2 J 0 "lcos 2xfdx = J2 J..,cos2xdx = J2 [seº 2 2x ]I: · = v'2 H-o]= セ@www.freelibros.org 38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Observación: En el ejercicio anterior se consideró leos 2xl = cos 2x porque x E [O,:¡.¡. y en este dominio Ja función cos 2x es positiva, pero eso no sería posible si los lúnites de integración fueran O y"•:. Ja función cos 2x tomada valores positivos y negativos. Po rtafol io de ev idencias 8 Demuestre que: J: f(x)dx =J.• f(a+b-x)dx argumentando algebraica- mente y haciendo una interpretación goomérrica. Discutan por equipos el pro- cedímicnto de comprobación. Activ idad de trabajo 1.4 l. Utilizando la tabla 2 de esta sección y el teorema fundamental del cálculo, evalúe las siguientes integrales: a) J: cos4x dx b) J.'x«4 + x')' )dx e) J.' 2x((x2 + 3)2)cú d) J' (2 - x)'dt -3 e) J,:t sen I di f) J.' COS 1f X CÚ' g) J.3 CÚ' o 2x + 3 h) J.• J3 + 2x dx 2. Fncuentre el área de la superficie acotada por las siguientes curvas y rectas: a) y = tg IJ en [ O, ,Y.; 1f] l, b) y= e 2 en { セQヲ L@ ,Vi"'] e) y =scclJ+ tglJen [o. ,Y.; "J d) y = C, sen O+ C1cos IJen [o, ,Vi "] 3. Utilice un software de graficación que le permita evaluar geométricamente el área total lintltada por las curvas; justifique y expLique sus resultados. a) y = a [sen 20+cos 20) b) y = 3+cos30 c) y = cos30-2 coso www.freelibros.org Preguntas de reflexión 1.10 Integrales impropias 39 • ¿Entiendo el papel que juega la geometría en la evolución del cálcul.o inte- gral como una herramienta? • ¿Razono respecto a la infonnacióo que la gráfica de una función me puede proporcionar? Portafolio de ev idencias 9 Realice e integre adecuadamente las siguientes actividades a su portafolio de evidencias: J. Organice en un mapa cognitivo las propiedades y caractedsticas de la inte- gral definida de acuerdo con sus implicaciones geométricas.2 Relacione en un mapa conceptual los orígenes históricos del cálculo inte- gral, así como los elementos que subsisten en la matemática y que llevaron al establecimiento del teorema fundamental del cálculo. Observación: Puede incluir en este mapa conceptual aquellos elementos que crea evidentes, pero también trate de incluir los elementos o las conclusiones que considcce implícitos. Para ello puede ayudarse de algunas de las siguientes lecturas sugeridas o elaborar previamente un ejercicio de indagación histórica que le pcnnita argumentar los elementos del mapa conceptual. Lecturas sugeridas Smith, O.E. ( 1959). A Sourr:< of Book in Mothematics (vol. 2). New York: D. Smith Do\ler. Boyer, Carl ( 1959). Th< Hist0ry of The Calculus and its Cone<ptual D<l'<lopmem, New York, Cap. V. Kline. M. (1972). M(JJhemtnicat Thought from Anci<nt to Modem Times. New York: Oxford Univeruty PrdS, Cap. 17. セ エ ・ ァイ。ャ ・ウ@ Impropias Hasta esta sección hemos revisado y establecido todas las caraeterlsticas y propie- dades de la integral definida. Podemos destacar como conclusión que una integro/ definida es una función de sus limites. Estos últimos los hemos supuesto como fini- tos; sin cmbasgo, existen algunos casos donde no se cumple esta caraetcristica, pues los límites de integración son in.finitos. Es conveniente para su manejo eliminar la restricción usando las siguientes definiciones. www.freelibros.org 40 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Definición 4. Definición 5. Una integral que tiene la forma: f .. . <p(x)dx será igual a 1lm J <p(x)dx si el limite 3. Se denomina integral 41 t.--<:i0 a impropia con lími1e superior infinito. Una integral que tiene la forma: J: rp(x)dx se designa como .!!!:' .. J.' tp(x)dx si el lúnite 3. Se le denomina integral impropia con límite inferior infinito. Ejemplo 14 1. Determine si existe J:00 x' dx con r < - l SOLUCIÓN = J,"" x' dx ]セ{jNG@ x'dxl ]セ{ZZᄋゥイ@ = lím----. lb•+• , ..... 1 ._ r+ 1 1 Consideraciones sobre el limite: a) Cuando r < -1, e.I segundo ténnino de la expresión siempre es igual a 1. b) Cuando r < - 1, el exponente del primer término es siempre <0; por lo tanto, cuando b セ@ oo, cst·c セ@ O Asl: lím --- 1 = - 1 [ b-+' 1 •-oo r+I J,""x'dx3 yes=-1 2 De • • J,"° 1 dx . . termtnc si - cJUSte. 1 X SOLUCIÓN J,002.dx= lím lJ.'2.dxj= lím[ln xJI: 1 X b-o:i 1 X b-oo = lún[lnb-lnl] = llm[lnb] ._... ._... :. 'jÍ Cuando I> - oo el limite incrementa inconmesurablemente. www.freelibros.org 1.10 Integrales impropias 41 セ・ューャッ@ 15 Detel1lline si J."' セ@ existe y en su caso obtenga el valor. SOLUCIÓN J,., dx J.. -· -· e ,-; = lím e 2 dx = IJm [- :U ') O "é tr-c:o Q e-oo ... b -o -· = lfm[- 2e > - (-:U >)]= lím(- 2e >-(- 2)]=0+2=2 セ@ b-oo Ejemplo 16 Evable la siguiente integral: J."' セ@ 1 X 2x2 - I SOLUCIÓN J,00 dx J.. dx 1 x·Jzx2 - 1 - セセ@ • xJ2x2 -1 lím J.• J'fi {2dx = lím [are sec( .J2x )JI: ._., 1 2xJ2x1 -I ....., = lfm arc9'c..J2 b-srcsec(..J2}= ..,Í2 lím 。イ」ウ・」HッッIMセ@ = セMNZGNZ@ = .:'.: ..... ....., 4 2 4 4 Ejemplo 17 De . . Jº 1 . b al tenrune s1 -;r.:- dx CJUSte y o tenga su v or. Mセ U・G@ SOLUCIÓN Jo 1 Jº 1 1 Jº -· 1 - · e --dx = llm --dx= - lfm e • dx =- lfm (- 4e •) -oo ilse> ·--00 • iJs.,x セ@ .__,., • セ@ .__,., - 4 Mセ@ - 4 =- Um (1 - e • ] =-(1 - oo)=oo セMM M セ@ Ejemplo 18 Evahle la siguiente integral: J' 2 x 2 dx - <x +9) SOLUCIÓN J' __ x __ dx = lím J'<x' +9)"2x dx = lrm[ 1 I' -oo(x2 +9)2 •-<» • o-oo 2(x2 +9) • www.freelibros.org 42 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Ejemplo 19 Detennine la convergencia o divergencia de la siguiente integral: J.2 - 1- dx •x-2 SOLUCIÓN J.' 1 J.' 1 --dx = Um --dx o x-2 .._, o x-2 = 11m[tnlx- 21t = llm[lnlb - 2j - lnl0 - 2j) = - oo - ln 2= - oo b-2 0-2 La integral diverge. Ejemplo 20 Considere J.' dx , ., y determine la convergencia en el intervalo correspondiente. o (x - 1)- SOLUCIÓN J.3_tJx _ _ J.' dx + J.3 dx - UmJ,. dx + UmJ,' dx o (x - 1)23 ᄎHク M QI セS@ 1 (x - 1)"1 ....,, o (x - 1)2> •-• • (x - 1)'> La integral converge en 3(1 + Vi.) . Po r tafolio de ev idencias 10 Debamn grupalmenle el significado geoméltico (véase figura 1.18) de que J. .. 1 - dx ;! (no existe). 1 X Escriba su conclusión y ejemplifique con otra función de comportamiento similar. www.freelibros.org Oefl nlclón 6. Definición 7 . 1.10 Integrales impropias 43 Existe otro tipo de integrales impropias que abarcan los casos donde la función por integrar es discontinua en valores específicos de la ''3riable dentro de los llmites de integración. Consideramos en esta secdón dos casos por definir. Si a < b ye> O, cuando la función está definida o es continua \/los valores de x excepto x = a, entonces, J.• <¡i.,x)dx = lím J.• <P,.x)dx " -o o+« Si a< b ye > O, cuando la función está definida o es continua\/ los valores de x excepto x = b, entonces, J..• tp(x)dx = lím jNG セ@ <p(x)dx c-oo a Ejemplo 2 1 Calcule -J;•dx o x' SOLUCIÓN Se observa primero quex no está definida enx = O; es decir, está en el Umite inferior, por tanto J;•dx l'dx ¡-1¡• -;: = lím -;: = lím -Ox 1-0e x ・ Mオ ク セ@ 1 = lfm(- 1 + -}. , ....., e .! no puede definirse en cero, no hay límite y:. la imegral J.' tti; ;5 (no existe). e • x www.freelibros.org 44 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo Ejemplo Ilustrativo 2 J. ,. dx Calcule ( )' o x-a SOLUCIÓN Se observa que ( )' es una función continua, 'r/x excepto x = a. Expresamos: x-a r'· dx Jo (x - a)' lím r•-< dx +um r'" dx セッ j ッ@ (x - a)' セ j 。KイHク M 。IG@ [ -1 1•-< [ -1 J'ª = lím - - +lím-- 1--0 x-a o r-0 x - a o..-, = lím( -1 .!.)+1fm( -1 1 ) ,_. (a-e-a) a セ@ (2a -a) a+ r-a = lím(.!._.!.J+ lím(.=!._.!_) 1--0 e a r-Oa r Nuevamente se observa que cuando e _, O y r _, O los IJmites no existen y, por mnto, la integral no existe. Ejemplo 22 Con la ayuda del software obtenga la gráfica de la función y= sen(x) I oos(x) y mencione todas sus características geométricas. SOLUCIÓN Con la ayuda de un software para graficar, se obtiene lo siguiente: !I!!'-------- . . . . . . .. " F .... 1.18 CONCLUSIÓN Se observa una función de tipo espejo con eje asimétrico en el origen, con peciodos de indeterminación de dos en dos que van en el dominio del lado negativo de la fun- ción hasta el origen de -oo a oo y de manera contraria al lado dcrcclio de la función a partir del origen y cuyos periodos van de -oo a oo. www.freelibros.org 1.10 Integrales impropias 45 Porta f olio de evidencias 11 1 1. Elija un software que le permita graficar la función f(x) = (x _ a)2 • Interprete cl resultado del ejemplo anterior geométricamente; discutan gru- palmente su argumento. Es importante que el estudiante renga experiencia en la utilización de soft- ware para construir gráficas y poder hacer un análi.sis más específico sobre ellas. Para esto se recomiendan los siguientes paquetes de software: Win- plot, Derive, Padowan Grap, Origin, Maple, etcétera. 2. Se tiene una plataforma para saltos acrobáticos de estructura de acero, como se muestra en la figura 1.19a. Si se sabe que las curvas son del tipo y = x2 y que en la parte superior tiene un metro de calle y cuatro metros de alto, realice lo que se indica en cada situación: a) Intercambie puntos de vista con sus compalleros sobre cómo debería ser la curva en la plataforma si se desea que los acróbatas adquieran mayor aceleración en el descenso. b) Con la curva sugerida calcule el área de los muros que soportarán la plataforma si se quieren construir de concreto bidráulico (véase figura l. 19b). e) ¿Cuál será el área de los muros si se desea construir una réplica exacta de la de estructura de acero en concreto hidráulico (con y = x2)7 (Véase figura l.l 9c ). d) Analice sus resultados y reflexione acerca de lo observado y discutido en ambos incisos. www.freelibros.org 46 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo - tm 4m A 8 11 Activ idad de trabajo 1.51. Verifique cada uoa de las siguientes integrales usando al mismo tiempo alguna herramienta geométrica: J... dx ?r a) o a2 + t>2x2 - 2ab b) f .... -... 、ク ] セ@ J. 2.. x l e) dx = 2.39 a2 o ..fx l -al 2. Supoaiendo que /(x) <! O para loda x <! O y que la J 0 00 f(x)dx exisre, demuestre que si O $ g(x) $/(x) para toda x <! O, entonces la J 0 "' g(x) también existe. 3, Detennine si existe la in1cgral J.oo_L_ dx. o l+x' www.freelibros.org Actividad integradora unidad 1 47 Actividad integradora de la unidad 1 1. Oetermine la ecuación de la recta tangente a f(X) = 2+ QOSX J: i 2dl 2. Determine si la función y es o no solución de la ecuación y' + 2xY = 1 3. Calcule los límites siguientes a) Lセ N Hセ M ウ」セoI@ b) lfm e' +x .r-oo X+ Jnx 4. Encuentre g(x) si t d J 3X g(0)= - 2 y g(x)= - --d.x dx x 2 + 1 5. Encuentre f'(O) paraf(x) = J.' (1+scn(scn1)) dt 6. Calcule la integral siguiente J. ... e'd.x o 1 + •" l 7. Calcule e l límite siguiente: lím (1 + x); ........ 8. Derive f(I) = J 0 'csenx)"""' ' +tan[ In;) 9. Calcule la integral 1 O. Calcule los límites a) lím aretan x2 ... -oo x sen x b) lím ln(x +e') ,__, X J..( J3i +x» r dx 1 X www.freelibros.org 48 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo 11. Resuelva la ecuación: 2 ln 2 + ln(x2 -1) = ln(4x- l) ' 12. Calcule el límite siguiente: limx•- • ·-· 13. Calcule las siguientes integrales a) J.' Ji+ 4.JX dx ' .JX J.' 4x 2 -5 b) •(2x+J5)dx 14. Calcule J:'scn24xdx 15. Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de /{.;e) = x2, x = O, x = 2 y el eje x mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann. 16. Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de /(.;e) = (x - 1 )2 + 2, x = - 1, x = 2 y d eje x mediante la b<lsqueda del límite de las sumas de Ricmann . ...:;::,.. Tf Contexto histórico Isaac Newton Se le considera el padre del cálculo infinitesimal y de la ffsica clásica. Sus dos principales obras son Philosophiae N<1111ralis principia 111atlrema1ica (1687) y Op1icks (1707). Una de sus mayores contribuciones fue la introducción de un método: las leyes se obtienen generalizando por medio de la inducción y el análisis matemático, de los ・セー・イゥュ・ョエッウ@ o fenómenos sistemáticos, y todo ello da forma a la base confiable del conocimiento. La mecánica de Newton y su de- sarrollo matemático dio origen a lo que hoy conocemos de la flsica moderna. Se destaca su definición del espacio y el tiempo como conceptos absolutos, aspectos que formaron parte de sus discusiones con Leibniz. Los conceptos de Newton prevalecieron en la flsica basta la llegada de la tcorla de la relatividad de Einstein. Gottfried Leibniz También se considera el padre del cálculo infinitesimal, ya que contribuyó con la resolución de los problemas para determinar los mhimos y los mínimos, además de tas tangentes; esto dentro del cálculo diferencial. Respecto del cál- culo integral resolvió el problema de la curva cuya subtangente es constante. También scllaló los principios del cálculo infinitesimal, además de que resolvió el problema de la isócrona y de algunos otros problemas en la mecánica, con la utilización de ecuaciones diferenciales. A Leibniz se le debe el nombre de cál- culo difcrencfal e integral, así como la invención de los símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual). Thni>ién aeó la rotación de las derivadas dx/dy y la de las integrales J. www.freelibros.org Autoevaluación de la unidad 1 49 • Autoevaluación de la unidad 1 l. Responda correctamente las siguientes preguntas: a) ¡J!.n qué consiste y cómo se expresa el teorema fundamental del cálculo? b) ¿Cuál es el significado de que el teorema fundamental del cálculo se exprese eo dos panes? c) ¿Es correcto afumar que el teorema fundamental del cálculo determina la manera de encon- trar antiderivadas de una función? Il. Utilice la parte del teorema que considere pertinente para encontrar las derivadas de las siguien- tes funciones: a) P(x) = J."' sen3 1 dt b) F(x) = sen(J 0 ' scn(J 0 ' scn3 t dt)dy) e) F(x)= J.• x dt (1 + 12 + sen2r) DI. Para cada una de las siguiemes funciones f si F(x) = J.' f, se11ale en qué puntos x es F(x) =f(x). a) f(x) = 0 six 51,f(x) = 1, six= 1 b) f(x) =0 six • l ,f(x) = 1, six= 1 lV. Encuentre la func.ión continua f. tal que: www.freelibros.org www.freelibros.org Las dos partes del teorema fundamental del cálculo y la propiedad que presenta la integral y la derivada como operadores inversos son las herramientas matemáticas más poderosas que se crearon en el slgJo xv1. El estudio de las Integrales requiere, sin embargo, una larg¡i prepara· ción que proveerá al estudiante de un instrumento de gran valor para construir nuevas funciones. El mayor mérito del cálculo de Integrales es el de ser un algoritmo general aplicable a todas las expresiones analiticas, el cual se basa en que los procesos del cálculo de tangentes (derivada) y cuadraturas (integrales) son inversos uno del otro. Contenido 2.1 Definición de Integrales Indefinidas 2.2 Propiedades de la integral indefinida 2.3 Cálculo de Integrales Indefinidas o 2.3.4 Integrales de funciones trigonométricas 2.3.5 Integración por sustitución trigonométrica técnicas de Integración 2.3.1 Directas (integrales directas) 2.3.2 Integrales con cambio de variable 2.3.3 Integración indefinida por partes 2.3.6 Integración de funciones racionales por el método de tracciones parciales www.freelibros.org COMPETENCIAS POR DESARROLLAR COMPETENCIAS ESPECÍFICAS • Discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y emplearlo. • Determinar una función primitiva. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE • Utilizar las propiedades de linealidad de la Integral indefinida para obtener la primitiva de otras funciones. • Resolver integrales que requieran modificación o interpretación para adecuarlas a una fórmula . • Ante un grupo de integrales por resolver, seleccionar el método más adecuado segtln la función integrando y resolver la Integral aplicando el método. HABILIDADES Y ACTITUDES • Encontrar una función f(x) cuya diferencial se conoce. • Reconocer y usar la diferencial y la integral como operadores inversos. • Dada una función, encontrar una familia primitiva. COMPETENCIAS PREVIAS Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante cuente con las siguientes competencias: • Conocimiento y manejo de operaciones mutuamente Inversas como suma y resta, multiplicación y división, o elevar a una potencia y extraer raíz. • Dada una función encontrar su diferencial. • Reconocimiento de que la integral y la diferencial son operadores Inversos. • Conocimiento y manejo de relaciones elementales entre funciones trigonométricas. • Conocimiento y manejo de las propiedades de logaritmos naturales y de base 10. • Habilidad para integrar formas elementales y ordinarias de funciones. www.freelibros.org Cálculo algebraico de integrales Indefinidas Directas Con cambio de variable Trigonométricas 1 Por partes ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 2 Definición 1ntecra1 definida Cálculo numérico de integrales indefinidas • 1 . Propiedades de la integral indefinida Aplicaciones de las Integrales indefinidas Simpson J www.freelibros.org Antecedentes Entre los trabajos más importantes de Newton, destacan los desarrollos en serie de potencias, en parti- cular el desarrollo del binomio, los algoritmos para encontrar rafees de ecuaciones, la relación inversa aitre diferaiciación e inl.egración, y d concepto de ftueorcs y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Por su parte, Leibniz se centró en el desarrollo de un lenguaje metódico para representar conceptos fundamentales del pensamiento humano y la manera de cambiar estos símbolos para llegar a concep- tos más elaborados. El trabajo de Leibniz se conoce principalmente
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