ALGEBRA Residuo Divisional

Vista previa del material en texto

ALGEBRA
Profesor: Stilber Valdes Escobar.
Residuo Divisional
RESIDUO DE LA DIVISION DE UN POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL EN X, POR UN BINOMIO DE LA FORMA (X – a):
1. VAMOS A HALLAR EL RESIDUO DE LA DIVISION DE: X3 – 7X2+ 17X – 6, ENTRE: X – 3
 
 
 X3 - 7X2 + 17X - 6 ∟X - 3
⁻ X3-⁺ 3X2 X2 - 4X + 5
 -4X2 +17X
 ±4X2 ⁻+12X
 5X - 6
 ⁻+ 5X ±15
 ( 9)
DONDE:
X3- 7X2+17X – 6 : DIVIDENDO
 X – 3 : DIVISOR
 X2-4X +5 : COCIENTE
 9 : RESIDUO O RESTO	
SI AHORA, EN EL DIVIDENDO: X3- 7X2 + 17X – 6, HACEMOS, X – 3 = 0, Y DE AHÍ HALLAMOS EL VALOS DE X = 3 Y SUSTITUIMOS EN EL POLINOMIO, TENDREMOS: 
 (3)3- 7(3)2+ 17(3) – 6 = 27 – 63 +51 – 6 = 9 ……….LUEGO: RESIDUO = 9
 
 
EN FORMA GENERAL: 
 D/d = C + r, 
DONDE: D: DIVIDENDO 
 d: divisor
 C: COCIENTE
 r: RESTO	LUEGO: D = dxC + r
UNIDAD II: DESCOMPOSICION FACTORIAL
FACTORES: SE LLAMA FACTORES O DIVISORES DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA A LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE MULTIPLICADAS ENTRE SI DAN COMO PRODUCTO LA PRIMERA EXPRESION.
ASI, MULTIPLICANDO a por (a + b) tenemos: 
a.(a + b) = a2+ a.b 
a y a+ b, que multiplicadas entre si dan como producto a2+ a.b, son factores o divisores de 
a2+ a.b.
DEL MISMO MODO: (X + 2).(X + 3) = X2+ 5X + 6, LUEGO: X + 2 y X + 3 SON FACTORES DE 
X2+ 5X + 6.
DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR: UNA EXPRESION ALGEBRAICA ES CONVERTIRLA EN EL PRODUCTO INDICADO DE SUS FACTORES.
 
FACTORAR UN MONOMIO: LOS FACTORES DE UN MONOMIO SE PUEDEN HALLAR POR SIMPLE INSPECCION. 
ASI, LOS FACTORES DE 15ab, son 3, 5, a, b.
POR TANTO, 15ab = 3.5.a.b
FACTORAR UN POLINOMIO: NO TODO POLINOMIO SE PUEDE DESCOMPONER EN DOS O MAS FACTORES DISTINTOS DE 1, PUES DEL MISMO MODO QUE EN ARITMETICA, EXISTEN NUMEROS PRIMOS QUE SOLO SON DIVISIBLES POR ELLOS MISMOS Y POR LA UNIDAD(1).
EXISTEN EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE SOLOO SON DIVISIBLES POR ELLAS MISMAS Y POR LA UNIDAD (1), QUE POR LO TANTO, NO SON EL PRODUCTO DE OTRAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
ASI, a + b NO PUEDE DESCOMPONERSE EN DOS FACTORES DISTINTOS DE a + b, PORQUE SOLO ES DIVISIBLE POR a + b y por 1
SOLO ES DIVISIBLE POR a + b y por 1
CASO I:
CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN.
A) FACTOR COMUN MONOMIO.
1. DESCOMPONER EN FACTORES: a2+ 2a, EN ESTE CASO EL FACTOR COMUN ES a, LUEGO:
a2+ 2a = a(a + 2)
2. DESCOMPONER: 10b – 30ab2
 
10b – 30ab2= 10b(1 – 3ab) 
3. DESCOMPONER: 10a2- 5a + 15a3 
10a2- 5a + 15a3 = 5a(2a – 1 + 3a2)
4. DESCOMPONER: 18mXY2 – 54m2X2Y2+ 36mY2
18mXY2 – 54m2X2Y2 + 36mY2 =18mY2(X – 3mX2+ 2)
 
5. FACTORAR: 6XY3- 9nX2Y3+ 12nX3Y3- 3n2X4Y3
EXTRAYENDO EL FACTOR COMUN TENDREMOS: 3XY3, ENTONCES:
6XY3 – 9nX2Y3+ 12nX3Y3- 3n2X4Y3 = 3XY3(2 – 3nX + 4nX2- n2X3) 
B) FACTOR COMUN POLINOMIO:
1. DESCOMPONER: X(a + b) + m(a + b)
X(a + b) + m(a + b) = (a + b).(X + m)
2. DESCOMPONER: 2X(a – 1) – Y(a – 1)
2X(a – 1) – Y(a – 1) = (a – 1).(2X – Y)
3. DESCOMPONER: m(X +2) + X + 2
m.(X + 2) + X + 2 = (X + 2).(m + 1) 
4. DESCOMPONER: a(X + 1) – X – 1
a.(X + 1) – (X + 1) = (X + 1).( a – 1)
5. FACTORAR: 2X.(X + Y +Z) – X – Y – Z
2(X + Y + Z) – (X + Y + Y) = (X + Y + Z).(2 – 1)
6. FACTORAR: (X- a).(Y + 2) + b(Y + 2)
(X – a).(Y + 2) + b(Y + 2) = (Y + 2)(X – a + b)
 
CASO II:
FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS:
EJEMPLOS:
1. DESCOMPONER: aX + bX + aY + bY
aX + bX + aY + bY = X.(a + b) + Y.(a + b) = (a + b).(X + Y) 
2. FACTORAR: 3m2- 6mn + 4m – 8n
3m2- 6mn + 4m – 8n = 3m.(m – 2n) + 4(m – 2n) = (m – 2n).(3m + 4)
 
3. DESCOMPONER: 2X2- 3XY – 4X + 6Y
2X2- 3XY – 4X + 6Y = X.(2X – 3Y) – 2(2X – 3Y) = (2X – 3Y).(X – 2)
 
 4. DESCOMPONER: X + Z2 – 2aX – 2aZ2 
X + Z2 -2aX – 2aZ2 = X + Z2 – 2a(X + Z2) = (X + Z2).(1 – 2a)
5. FACTORAR: 3aX – 3X + 4Y – 4aY
3aX – 3X + 4Y – 4aY = 3X(a – 1) - 4Y(a – 1) = (a – 1).(3X – 4Y)
 
6. FACTORAR: aX – aY + aZ + X – Y + Z = a(X – Y + Z) + X – Y + Z = (X – Y + Z).(a + 1)
 
7. DESCOMPONER: a2X – aX2 – 2a2Y + 2aXY + X3 – 2X2Y
(Agrupando el 1º y 3º, 2º y 4º, 5º y 6º)
a2X – 2a2Y – aX2 + 2aXY + X3 – 2X2Y = a2(X – 2y) - aX(X – 2y) + X2(X – 2Y) = (X – 2Y).( a2- aX + X2)
Otra forma de agrupar:
(a2X – aX2 + X3) – (2a2Y – 2aXY + 2X2Y) = X(a2– aX + X2) – 2Y(a2 – aX + X2) = (a2 – aX + X2)(X – 2Y)
CASO III:
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIO:
PARA EXTRAER LA RAIZ CUADRADA DE UN “MONOMIO” SE EXTRAE LA RAIZ CUADRADA DE SU COEFICIENTE Y SE DIVIDE EL EXPONENTE DE CADA LETRA POR 2.
ASI, LA RAIZ CUADRADA DE: 9a2b4 ES IGUAL A 3ab2 
PORQUE: (3ab2)2 = (3ab2).(3ab2) = 9a2b4 
LA RAIZ CUADRADA DE: 36X6Y8 ES IGUAL A : 6X3Y4 
UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO CUANDO, ES EL CUADADO DE UN BINOMIO, O SEA, EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS IGUALES.
ASI, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado del binomio (a + b).
ENTONCES: (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2 
 
DE LA MISMA FORMA: (2X + 3Y)2 = 4X2 + 2.2.3.XY + 9Y2 = 4X2 +12XY + 9Y2 
LUEGO PODEMOS DECIR QUE , 4X2 +12XY + 9Y2 ES UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.