Derivada Direccional (Introducción)

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DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Derivación Direccional 
(Introducción) 
¿Cómo cambia el valor de una función multivariable a medida 
que mueves el valor de entrada en alguna dirección 
específica? 
¿Qué vamos a construir? 
➢ Si tienes una función de varias variables, ( ),f x y , y un 
vector en el espacio de entradas de la función, v , la 
COMPESP N° 01 
Define e interpreta la 
derivada direcccional . 
ACTIVIDAD N° 01 
 
Estudie la siguiente información sobre 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
2 
derivada direccional de f a lo largo del vector v te dice 
la razón de cambio f a medida que la entrada se mueve 
con el vector de velocidad v . 
 
 
Cambio en la entrada en la dirección de v 
 
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3 
➢ La notación aquí es v f y se calcula al tomar el producto 
punto entre el gradiente de f y el vector v , es decir, 
v f . 
➢ Cuando uses la derivada direccional para calcular la 
pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector v . 
Generalizar las Derivadas Parciales 
Considere una función multivariable 
( ) 2,f x y x xy= − 
Sabemos que las derivadas parciales con respecto a x y y 
nos dan la razón de cambio de f a medida que movemos la 
entrada ya sea en la dirección x o y . 
La pregunta aquí es saber qué pasa si movemos la entrada de 
f en una dirección que no sea paralela al eje x o al eje y . 
Por ejemplo, la siguiente imagen muestra la gráfica de f 
junto con un pequeño paso a lo largo de un vector v en el 
espacio de entrada que, en este caso, quiere decir el plano xy 
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¿Existe alguna operación que nos indique cómo se compara la 
altura de la gráfica por encima de la punta de v con la altura 
de la gráfica por encima de su cola? 
 
Cambio en la entrada en la dirección de v 
Como seguro habrás adivinado, hay un nuevo tipo de derivada, 
llamada la derivada direccional, que responde esta pregunta. 
Igual que como se toma la derivada parcial con respecto a 
alguna variable, por ejemplo x o y , la derivada direccional 
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se toma a lo largo de algún vector v en el espacio de entrada. 
Una manera muy útil de pensar acerca de esto es imaginar un 
punto en el espacio de entrada de la función que se mueve 
con una velocidad v . La derivada direccional de f a lo largo 
de v es la razón de cambio resultante en la salida de la 
función. Así que, por ejemplo, multiplicar el vector v por dos 
duplicaría el valor de la derivada direccional, ya que todos los 
cambios ocurrirían el doble de rápido. 
Notación 
Existen varias distintas notaciones para este concepto: 
➢ v f 
➢ 
f
v

 
➢ 
'
v
f
 
➢ v
f
 
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Todas estas notaciones representan lo mismo: la razón de 
cambio de f a medida que mueves la entrada a lo largo de la 
dirección de v . Vamos a usar la notación v f , simplemente 
porque de manera sutil te da una pista de cómo calcular la 
derivada direccional al usar el gradiente, lo cual verás a 
continuación. 
 
Ejemplo 1 
v j= 
Antes de ver la fórmula general para calcular v f , veamos 
cómo podemos reescribir la noción más conocida de una 
derivada parcial como una derivada direccional. 
 
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Por ejemplo, la derivada parcial 
f
y

 nos da la razón de cambio 
f a medida que movemos la entrada en la dirección de y . 
En otras palabras, a medida que nos movemos a lo largo del 
vector j . Por lo tanto, podríamos escribir la derivada parcial 
con respecto a y de la siguiente manera: j
f
f
y

= 
 . 
Simplemente estamos jugando con la notación. Lo más 
importante es tener una imagen mental clara de lo que la 
notación representa. 
 
Pregunta para Reflexionar 
Supón que v i j= + . ¿Cuál es tu mejor estimación de v f ? 
Respuesta v
f f
f
x y
 
 = +
 
 
Cómo calcular la Derivada Direccional 
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Digamos que tienes una función multivariable ( ), ,f x y z que 
toma tres variables de entrada, , ,x y z , y quieres calcular su 
derivada direccional a lo largo del siguiente vector: 
2
3
1
v
 
 
=
 
 − 
 
Resulta que la respuesta es 
( )2 3 1
v
f f f
f
x y z
  
 = + + −
   
Esto debería tener sentido porque un pequeño 
desplazamiento a lo largo del vector v se puede dividir en dos 
pequeños movimientos en dirección de x , en tres en la 
dirección de y y uno hacia atrás, por 1− , en la dirección de 
.z 
En general, podemos escribir el vector v de manera abstracta 
como sigue: 
1
2
3
v
v v
v
 
 
=
 
  
 
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La derivada direccional se ve así: 
1 2 3v
f f f
f v v v
x y z
  
 = + +
   
Es decir, el pequeño desplazamiento en la dirección del vector 
v consiste de 1v veces un pequeño desplazamiento en la 
dirección de x , 2v veces un pequeño desplazamiento en la 
dirección de y y 3v veces un pequeño desplazamiento en la 
dirección de z . 
Esto puede escribirse en una forma compacta y muy agradable 
al usar el producto punto y el gradiente: 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3
1
2
3
, , , , , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
v
f f f
f v x y z v x y z v x y z
x y z
f
x y z
x v
f
x y z v
y
v
f
x y z
z
f x y z v
  
 = + +
  
 
 

   
   
= 
   
    
 
  
=  
 
Es por esto que la notación es tan sugestiva de la forma en la 
que calculamos la derivada direccional: 
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v
f f v =   
Tómate un momento para disfrutar el hecho de que una sola 
operación, el gradiente, contiene suficiente información para 
calcular la razón de cambio de una función en ¡cualquier 
dirección posible! ¡Esas son muchísimas direcciones! 
Izquierda, derecha, arriba, abajo, nornoreste, 39 en sentido 
de las manecillas del reloj a partir del eje x ... ¡La locura! 
Ejemplo 2 
Problema 
Eche un vistazo a la siguiente función: 
( ) 2,f x y x xy= − 
¿Cuál es la derivada direccional de f en el punto ( )2,3 en la 
dirección del vector 0,6 0,8v i j= + ? 
Solución 
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Puedes pensar acerca de la derivada direccional como una 
suma ponderada de derivadas parciales, como se muestra a 
continuación: 
0,6 0,8
v
f f
f
x y
 
 = +
  
O bien, puedes pensar acerca de ella como el producto punto 
del gradiente con el vector, como se muestra a continuación: 
v
f f v =   
La primera notación es más rápida, pero para practicar, vamos 
a ver cómo se desarrolla la interpretación del gradiente. 
Comenzamos por calcular el propio gradiente: 
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
,
2
,
,
f f
x y x xy
x yx x
f x y
f f x
x y x xy
y y
    
−    −  
    = = =    −     −
       
 
A continuación, sustituye el punto ( ), (2, 3)x y = − ya que este 
es el punto que el problema nos está preguntando. 
( )
( ) ( ) 72 2 3
2, 3
22
f − −   
 − = =   
−−   
 
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Para obtener la derivada direccional deseada, tomamos el 
producto punto entre este gradiente y 0,6 0,8v i j= + : 
( )
( ) ( )( )
2, 3 (2, 3) (0,6 0,8 )
7 0,6
2 0,8
7 0,6 2 0,8
2,6
v
f f i j − =  −  +
   
=    
−   
= + −
=
 
Encontrar la Pendiente 
¿Cómo obtendrías la pendiente de una gráfica que se interseca 
con un plano que no es paralelo ni al eje x ni al eje y ? 
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Corta la gráfica en una dirección que no sea paralela a las direcciones x ó y 
 
Puedes utilizar la derivada direccional, pero hay algo 
importante que debes recordar: 
Si se usa la derivada direccional para calcular la pendiente, 
entonces v debe ser un vector unitario o debes recordar 
dividirlo entre v . 
En la definición y el cálculo hecho anteriormente, duplicar la 
longitud del vector v duplicaría el valor de la derivada 
direccional. En términos del cálculo, esto se debe a que 
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( ) ( )2 2f v f v  =   . 
Sin embargo, la pendiente de la gráfica en la dirección de v , 
depende sólo de la dirección de v , y no de la magnitud v . 
Veamos por qué: 
¿Cómo podemos imaginar a esta pendiente? Corta la gráfica 
de f con un plano vertical que corte al plano xy en la 
dirección de v . La pendiente en cuestión es la de una recta 
tangente a la curva resultante. Como con cualquier 
pendiente, buscamos el desplazamiento vertical entre el 
horizontal. 
 
Calcular la pendiente usando la Derivada Direccional 
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En este caso, el desplazamiento horizontal será la distancia 
resultante de un pequeño desplazamiento en la dirección de
v Podemos expresar ese desplazamiento como una suma de 
h v a un punto de entrada 0x , donde h representa un 
número pequeño. La magnitud de este desplazamiento es 
h v . 
El cambio resultante en la salida de f se puede aproximar al 
multiplicar este pequeño valor h por la derivada direccional: 
( )0 0,vh f x y 
De hecho, el desplazamiento vertical de la recta tangente (a 
diferencia de la gráfica de la función) es precisamente
( )0 0,vh f x y , debido a este desplazamiento horizontal de 
tamaño h v . Para todos los detalles de por qué esto es 
cierto, veremos posteriormente la definición formal de la 
derivada direccional. 
Por lo tanto, el desplazamiento horizontal entre el vertical de 
la pendiente de nuestra gráfica es: 
( )
( )
( )
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
, ,
v v
v v
h f x y f x y
h f x y f x y
 
=
 
 
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Se observa que si v es un vector unitario, o sea que 1v = , 
entonces la derivada direccional sí da la pendiente de la 
gráfica a lo largo de esa dirección. De lo contrario, es 
importante recordar dividir entre la magnitud de v . 
Algunos autores van tan lejos que incluyen la normalización 
en la definición de v f . 
 
Definición alternativa de la Derivada 
Direccional 
( )
( ) ( )
0
lim
v h
f x hv f x
f x
h v→
+ −
 =
 
Personalmente, creo que esta definición pone demasiado 
énfasis en el caso de uso particular de encontrar la pendiente, 
así que prefiero usar la definición original y normalizar v
cuando sea necesario. 
 
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Ejemplo 3 Pendiente 
Problema 
En el escenario para este problema tenemos tres jugadores. 
Jugador 1, la función: 
( ) ( ), sinf x y xy= 
Jugador 2, el punto: 
( )0 0
1
, ,
3 2
x y
 
=  
 
 
Jugador 3, el vector: 
2 3v i j= + 
¿Cuál es la pendiente de la gráfica de f en el punto ( )0 0,x y 
a lo largo del vector v ? 
Solución 
Como estamos buscando la pendiente, primero debemos 
normalizar el vector dado. La magnitud 
2 22 3 13v = + = , 
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por lo que dividimos cada término entre 13 para obtener el 
vector unitario resultante u en la dirección de v : 
2 3
13 13
v
u i j
v
= = +
 
Ahora encuentra el gradiente de f : 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, sin
sin
,
sin
, sin
f
x y xy
y xyx x
f x y
f x xy
x y xy
y y
    
      
    = = =        
       
 
Sustituye el punto ( )0 0
1
, ,
3 2
x y
 
=  
 
 en este gradiente. 
1 1
sin
2 3 21
,
3 2 1
sin
3 3 2
1 3 3
2 2 4
33
63 2
f


 

  
  
     = 
    
  
  
    
     
    = = 
   
        
 
Por último, toma el producto punto entre 
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19 
2 3
13 13
v
u i j
v
= = + y 
3
1 4
,
3 2 3
6
f


 
 
    = 
  
 
 
. 
Procediendo se tiene lo siguiente: 
( )
3
2 13 1 31 2 3 4
, .
3 2 13 13 2 133 3 13
6
f i j


 
    +    + =  =  
     
 
 
 
 
 
Resumen 
➢ Si tienes una función de varias variables, ( ),f x y , y un 
vector en el espacio de entradas de la función, v , la 
derivada direccional de f a lo largo del vector v te dice 
la razón de cambio f a medida que la entrada se mueve 
con el vector de velocidad v . 
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➢ La notación aquí es v f , y se calcula al tomar el 
producto punto entre el gradiente de f y el vector v . 
➢ Cuando uses la derivada direccional para calcular la 
pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector v .