Ejercicio B3. (Calificación máxima: 2,5 puntos) Sean las rectas a) Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre el...

Solución:

a)

Las rectas r y s tienen la misma pendiente, por lo que son paralelas. La distancia entre ellas se puede calcular utilizando el teorema de distancia entre dos rectas paralelas:

d = |(v1 - v2) / |m||

donde:

• d es la distancia entre las rectas.
• v1 y v2 son los vectores directores de las rectas.
• m es la pendiente de las rectas.

En este caso, los vectores directores de las rectas r y s son:

• v1 = (2, 3, 1)
• v2 = (3, 2, 1)

La pendiente de las rectas es:

m = (3 - 2)/(2 - 1) = 1/1 = 1

Por lo tanto, la distancia entre las rectas es:

d = |(2, 3, 1) - (3, 2, 1)| / |1|
d = |(-1, 1, 0)| / |1|
d = sqrt(1 + 1 + 0)
d = sqrt(2)

Por lo tanto, las rectas r y s son paralelas y la distancia entre ellas es √2.

b)

Para determinar una ecuación del plano que contenga las rectas r y s, necesitamos un punto que pertenezca a cada recta. Un punto que pertenece a la recta r es el punto P = (1, 0, 0). Un punto que pertenece a la recta s es el punto Q = (0, 1, 0).

Utilizando estos puntos, podemos obtener la siguiente ecuación del plano:

(x - 1)/2 + (y - 0)/3 = (z - 0)/1
3x - 3 + 2y = z
3x + 2y - z = 3

Por lo tanto, la ecuación del plano que contiene las rectas r y s es 3x + 2y - z = 3.

c)

Los puntos P y Q están contenidos en el plano z=0. Por lo tanto, las coordenadas de los puntos P y Q son las siguientes:

• P = (1, 0, 0)
• Q = (0, 1, 0)

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es:

y - 0 = (x - 1)/(0 - 1) * (1 - 0)
y = x - 1

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es y = x - 1.

Respuesta completa:

a)

Las rectas r y s son paralelas y la distancia entre ellas es √2.

b)

La ecuación del plano que contiene las rectas r y s es 3x + 2y - z = 3.

c)

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es y = x - 1.