El sistema característico a considerar será, en este caso: (1) conjuntamente con la ecuación adicional: . (2) La condición de banda se verifica si y sólo si: p0(s) = -s. Con lo cual, la condición de compatibilidad es equivalente a que: q0(s) = 1. La condición de transversalidad se verifica siempre que: . Por consiguiente, el problema considerado tiene dos soluciones. Cada una de ellas se obtiene resolviendo el sistema (1) junto con la ecuación (2) para cada banda inicial correspondiente. Es evidente que la solución asociada al valor q0(s) = 1 verifica que p(t,s) = -s, y q(t,s) = 1. Por lo tanto, teniendo en cuenta la igualdad (2), para obtener el valor de las restantes variables es suficiente con usar la expresión para el caso tridimensional en el que: . Por consiguiente, obtenemos que: La superficie parametrizada viene dada por la expresión: , con lo cual, la solución en coordenadas cartesianas es igual a: . Cuando q0(s) = -1, haciendo los mismos razonamientos que en el caso anterior, obtenemos que la superficie solución viene parametrizada por la expresión: , de donde deducimos que: , es la segunda solución al problema considerado. En este caso adoptaremos esta solución particular: , considerando que, por la propia naturaleza de función de demanda, es la que posee significado económico. Debe tenerse en cuenta que, para que exista un significado económico, al tratarse de una función de demanda (decreciente), necesariamente debe cumplirse que: u  0, x  0, y  0, o sea, que la función en cuestión tiene como dominio de definición el octante positivo de la esfera, y el precio se anulará cuando: . Por otra parte, la función inversa dada de oferta, que es lineal, de primer orden, homogénea y de coeficientes variables, tiene como solución particular: , como puede comprobar el amable lector/a haciendo la sustitución pertinente. En efecto, en la condición de contorno: . Y en la ecuación dada, siendo: ux = x ; uy = y ; y · ux – x · uy = yx – xy = 0, c.s.q.d. Para ello, en el equilibrio de mercado, se producirá: uD = uO, o sea: ; de donde: 1 - x2 – 2y = x2 + y2 ; 2x2 + y2 + 2y – 1 = 0, si x = 0’5, resulta: y2 + 2y - 0’5 = 0; 2y2 + 4y – 1 = 0; , luego el único valor (positivo) con significado económico es: y = 0’225. Con ello, el precio de equilibrio será: u. m. Obsérvese que la función de equilibrio (2x2 + y2 + 2y – 1 = 0) es una sección cónica, con la siguiente representación gráfica: Función de equilibrio. Ello se pone de manifiesto formando la matriz de los coeficientes: ; A = - 2 - 2 = - 4  0, luego se trata de una sección cónica no degenerada. También se cumple que: , luego se trata de una elipse. Como: a11 · A = 2  (- 4) = - 8 < 0, es una elipse real que, en nuestro caso, sólo tiene significado económico en el primer cuadrante del círculo. Para hallar su ecuación reducida, haremos: S2 – 1 S + 2 = 0, siendo el invariante métrico (lineal): 1 = a11 + a22 = 2 +1 = 3, y el invariante afín (cuadrático): 2