Para resolver desigualdades que involucren valores absolutos, se usará el siguiente importante teorema. . . TEOREMA I. Si a es un número positiv...

Para resolver desigualdades que involucren valores absolutos, se usará el siguiente importante teorema. . . TEOREMA I. Si a es un número positivo a 0( ) entonces para todo número real z se cumple que : z a si y sólo si a z a z a si y sólo si z a ó z a En otras palabras, si z a entonces z es un número real que necesariamente está dentro del intervalo abierto a a( )  R  a a y si z a , entonces z es un número real que necesariamente está comprendido en alguno de los intervalos abiertos  a  o a    R  a a Pedro Ferreira Herrejón 51 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA I . CASO I : z a : Si z 0 su valor absoluto es z z= y por lo tanto la desigualdad z a equivale a z a Si z 0 su valor absoluto es z z= y por lo tanto z a equivale a z a ó z a Reuniendo éstos dos resultados queda demostrado que : a z a . CASO I : z a : Si z 0 su valor absoluto es z z= y por lo tanto la desigualdad z a equivale a z a Si z 0 su valor absoluto es z z= y la desigualdad z a equivale a z a ó z a Reuniendo éstos dos resultados queda demostrado que : z a ó a z Es obvio que éste teorema vale también para las formas: z a ó z a Algunas desigualdades cuadráticas que no se pueden factorizar rápidamente se resuelven fácilmente completando su trinomio cuadrado perfecto , basándose en el siguiente corolario derivado del teorema I : TEOREMA II Si z es un número real y a 0 entonces: z 2 a si y solo si a z a z 2 a si y solo si z a ó a z DEMOSTRACIÓN : CASO I : z 2 a : Tomando la raiz cuadrada a ambos lados de ésta desigualdad y aplicando la definición alternativa del valor absoluto se obtiene : z 2 a es decir : z a desigualdad que tiene la solución dada por el teorema I : a z a CASO II : z 2 a : Tomando la raiz cuadrada a ambos lados de ésta desigualdad y aplicando la definición alternativa del valor absoluto se obtiene : z 2 a es decir : z a y por el teorema I , la solución es : z a ó a z Pedro Ferreira Herrejón 52 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Ejemplo 90. Hallar la solución de 4 x 2 3 x 1 0 completando el trinomio cuadrado perfecto Solución : Del álgebra elemental se tiene el siguiente procedimiento para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP) de todo trinomio a x 2 b x c : 1°. Factorizar el coeficiente de x 2 : a x 2 b a x c c 2° Sumar y restar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y escribirlo inmediatamente después del término que contine a x : a x 2 b a x b 2 a  2 b 2 a  2       c 3° Los tres primeros términos del paréntesis recto forman un trinomio cuadrado perfecto porque provienen del cuadrado de un binomo: a x b 2 a 2 b 2 a  2        c 4° Desarrollando el producto, finalmente se obtiene: a x b 2 a 2  b 2 4 a c Aplicando éste procedimiento al problema resulta : 4 x 2 3 4 x c 1 4      0 ( factorizando el coeficiente de x 2 ) Sumando y restando ahora el cuadrado de la mitad del coeficiente de x queda: 4 x 2 3 4   2  2     2  3 4   2  2     2  1 4         0 Multiplicando la desigualdad por el inverso de 4 y simplificando resulta: x 2 3 4 x c 9 64   9 64 1 4    0 Los tres primeros términos en el lado izquierdo son ahora los de un trinomio cuadrado perfecto es decir, provienen del resultado de elevar al cuadrado un binomio: Pedro Ferreira Herrejón 53 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH x 3 8   2 25 64    0 x 3 8   2 25 64  ( Se ha sumado el inverso de 25 64 ) Tomado ahora la raiz cuadrada en ambos miembros: x 3 8  25 64  y aplicando el teorema II resulta . . . 5 8    x 3 8    5 8    Sumando el inverso de 3 8 a cada desigualdad, se obtiene la solución . . . 5 8  3 4   x 5 8 3 8    1 x 1