Observemos la suma está formada por términos que son el producto de las componentes aij de la matriz A ; pero que cada uno de ellos tiene un solo e...

Observemos la suma está formada por términos que son el producto de las componentes aij de la matriz A ; pero que cada uno de ellos tiene un solo elemento de cada columna y de cada renglón es decir, una vez que se escoge una factor aij para el producto, ya no se puede escoger otro componente que esté en el renglón i ó en la columna j . De acuerdo con ésta definición, en el determinante de una matriz [2 2 ] , dado que sólo hay dos columnas , las posibles permutaciones de los números 1 y 2 son : 1 2( ) que es par y 2 1( ) que es impar por lo tanto los únicos productos permitidos para formar el determinante de la matriz : A a11 a21 a12 a22       = son a11 a22 y a12 a21 , éste último producto es negativo porque la permutación de sus segundos índices es impar. De éste modo el determinante es . . . A a11 a21 a12 a22       = = ± k j a1 k1  a2 k2   = a11 a22 a12 a21 Ejemplo 1 . Calcular los determinantes de las matrices : A 4 3 2 1     = , B 1 5 0 0     = y C 1 2 3 4  2 3 5 2            = Solución : De la expresión general para el determinante de una matriz [ 2 2 ] : A a11 a21 a12 a22       = a11 a22 a12 a21= queda : A 4 3 2 1     = = 4( ) 1( ) 3( ) 2( ) 2 B 1 5 0 0     = = 1( ) 0( ) 5( ) 0( ) 0 C 1 2 3 4  2 3 5 2            = = 1 2     5 2      3 4     2 3      = 3 4 De la definición general para un determinante, es posible obtener también la forma explícita del determinante de una matriz cuadrada de tamaño [3 3 ] : A a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33         = como sigue . . . Existen 3 columnas, luego las permutaciones posibles del conjunto { 1 , 2 , 3 } son : 1 2 3( ) que es par 2 3 1( ) que es par 1 3 2( ) que es impar 3 1 2( ) que es par 2 1 3( ) que es impar 3 2 1( ) que es impar Para formar uno de los productos del determinante, se debe escoger de la matriz un solo elemento de cada  renglón , asi que todos los productos tienen la forma: a1 k1  a2 k2  a2 k3  donde k1 k2 k3  es una posible permutación del número de columnas . Por lo tanto el determinante de ésta matriz contiene 6 productos : a11 a12 a13  a12 a13 a11  a11 a13 a12  a13 a11 a12  a12 a11 a13  a13 a12 a11  a éstos términos se les ha antepuesto un signo + ó un signo  dependiendo de que la permutación  correspondiente de las columnas sea par ó impar . Finalmente se obtiene . . . A a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33         = = a11 a22 a33 a12 a23 a31