14 6 Derivadas direccionales y vector gradiente

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CÁLCULO 2 - 2021
LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA ATMÓSFERA Y 
METEOROLOGIA APLICADA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 
AMBIENTALES Y GESTION DEL AGUA
DOCENTES: Prof. Emilce Barrozo
Lic. Juan Ignacio López Ortiz
DRIVADAS DIRECCIONALES Y 
VECTOR GRADIENTE
Material realizado con apuntes extraídos del libro “Cálculo de varias 
variables trascendentes tempranas (7ª ed.)” Autor: Stewart, J. (2012) 
Sección 14.6
Derivadas direccionales https://www.youtube.com/watch?v=QxeIAgd9f0M
Recordemos la definición de derivadas parciales de una función 
Razón de cambio de z en la dirección del eje x, es 
decir, en la dirección del vector unitario i
Razón de cambio de z en la dirección del eje y, es 
decir, en la dirección del vector unitario j
Ahora nos interesa hallar la razón de cambio de z en en la dirección de cualquier vector unitario
Observemos que las derivadas parciales son un 
caso particular de las derivadas direccionales
Vector Gradiente
La razón de cambio de f(x,y) en (2, -1) es 
Para el caso de funciones de tres variables, ya no lo podemos ver gráficamente, pero analíticamente todo es análogo
Vector Gradiente
Derivada direccional en términos del vector gradiente
Maximización de la derivada direccional
Importancia del vector Gradiente
El gradiente es perpendicular 
al vector tangente a 
cualquier curva C sobre S, 
que pasa por P
Plano tangente a la superficie de 
nivel f(x,y,z)=k, equivalente al lo 
visto en la sección 1.4
Tenemos una superficie de ecuación es decir, una superficie de nivel de una función F de tres variables,
y sea C una curva que está en la superficie S y pasa por el punto cuya ecuación es
Puesto que C está sobre S, debe satisfacerse aplicando la regla de la cadena
GRADIENTE
Indica la dirección del incremento más rápido de f
Es ortogonal a la superficie (curva) de nivel S de f 
que pasa por P
Considerando una 
función de tres 
variables(o de dos) f, y 
un punto P de su dominio
https://www.youtube.com/watch?v=vHTJ1aSvhWc