Método de Jacobi para Sistemas Lineares

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Laura Valentina Robaina Osuna
Ingresamos la matriz A, b y D con el comando matrix()
 (
entregable2.wxmx
) (
1
 
/
 
3
)
(%i2)
(%o2)
(%i3)
(%o3)
A:matrix([4,1,−1,1],[1,4,−1,−1],[−1,−1,5,1],[1,−1,1,3]);
	4
	1
	− 1
	1
	1
	4
	− 1
	− 1
	− 1
	− 1
	5
	1
	1
	− 1
	1
	3
b:matrix([−2.3],[−1.2],[0.1],[1.2]);
− 2.3
− 1.2
0.1
1.2
(%i4)
(%o4)
D:matrix([4,0,0,0],[0,4,0,0],[0,0,5,0],[0,0,0,3]);
	4
	0
	0
	0
	0
	4
	0
	0
	0
	0
	5
	0
	0
	0
	0
	3
Como A=D+R podemos hallar la matriz R restando A con D
 (
0
1
−
 
1
1
1
0
−
 
1
−
 
1
−
 
1
−
 
1
0
1
1
−
 
1
1
0
)(%i33) R:A−D;
(%o33)
Hacemos el bucle con el comando "for i thru n do" sabiendo que la recurrencia del método de Jacobi es X(n+1)=-(D^-1).R.X(n)+(D^-1).b
(%i34) for i thru 80 do
(x: invert(D).(−R.x+b), print(x));
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
− 0.3047945205479452
0.8020547945205477
− 0.8616438356164382
0.03972602739726022
Sustituyendo la matriz x luego de 80 iteraciones en Ax=b para comprobar la aproximación del método
(%i35) A.x=b;
− 2.299999999999999
− 1.2
(%o35)
0.09999999999999976
1.2
− 2.3
− 1.2
=
0.1
1.2
Podemos comprobar que la aproximación del método es bastante buena luego de 80 iteraciones ya que los resultados son prácticamente iguales a la matriz de términos independientes.