Unidad N7 - Sistemas de ecuaciones lineales m x n

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL VILLA MARÍA 
Tecnicatura Superior en Programación 
MATEMÁTICA 
 
Ing. Romina Verdoia – Ing. Paula Sicbaldi – Ing. Federico Rodríguez – Ing. Matías Corletti 
 
 
 
MATEMÁTICA 
Tecnicatura en Programación 
 
 
 
Unidad N°7: Sistema de ecuaciones lineales de m x n 
Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Teorema de Roche – 
Frobenius. Resolución por el método de Gauss – Jordán. Conjunto 
solución. Problemas de aplicación. 
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4.1. Sistema de ecuaciones lineales mxn 
Recordemos que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema de la forma: 
Donde: 
*𝑎𝑖𝑗 son números reales y se llaman coeficientes del sistema. 
*𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 son números reales y reciben el nombre de términos independientes. Si todos los términos 
independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo. 
*𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son las incógnitas del sistema. 
Contemplando el sistema de la figura, podemos asegurar que se trata de un sistema de ecuaciones de m x n. 
 
4.2. Representación matricial: 
Los sistemas de ecuaciones lineales de orden mxn, también se pueden representar en forma matricial, lo que 
favorece en ciertos casos a su notación y resolución. Dado el sistema: 
𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 … 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 … 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎𝑚1𝑥1 𝑎𝑚2𝑥2 … 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
Si llamamos matriz principal o de coeficientes a la matriz A: 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
] 
Matriz de incógnitas X: 
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𝑋 = [
𝑥1
𝑥2
𝑥𝑛
] 
Y a la matriz de los términos independientes B: 
𝐵 = [
𝑏1
𝑏2
𝑏𝑚
] 
Su representación matricial consiste en escribirlo de la siguiente manera: 
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
] ∗ [
𝑥1
𝑥2
𝑥𝑛
] = [
𝑏1
𝑏2
𝑏𝑚
] 
Es decir, su forma matricial es 
𝐴 ∗ 𝑋 = 𝐵 
A los fines prácticos de resolución, se debe considerar el conjunto en su forma de matriz ampliada o 
aumentada del sistema, siendo esta la matriz A’=A* dada por: 
𝐴′ = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
 
𝑏1
𝑏2
𝑏𝑚
) 
 
4.3. Rango de una matriz – Teorema de Rouché – Frobenius 
Dada una matriz de orden mxn, se puede definir el rango como la cantidad de filas no nulas que resultan al 
expresar dicha matriz en su forma escalonada o en su forma escalonada reducida. Este teorema permite 
analizar el tipo de solución que posee un sistema de ecuaciones lineales, considerando la noción de rango de 
la matriz principal, y del rango de la matriz ampliada. 
El teorema de Rouché – Frobenius establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible 
(posea solución) es condición necesaria y suficiente que la matriz principal y la matriz ampliada posean el 
mismo rango. Por lo demás, el sistema constituido será compatible determinado si su rango coincide con el 
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número de incógnitas, o será compatible indeterminado si posee un valor menor a tal número. Cuando el 
rango de ambas matrices es diferente, se dice que el sistema es incompatible (solución vacía). 
Es decir, dado un sistema de ecuaciones lineales, si A es la matriz principal, A* es la matriz ampliada y n es el 
número de incógnitas, se puede afirmar que: 
 
 Si el rango (A) = rango (A*) = n, el sistema es compatible determinado (solución única) 
 Si el rango (A) = rango (A*) < n, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) 
 Si el rango (A) ≠ rango (A*), el sistema es incompatible (solución vacía) 
 
Sistemas de ecuaciones homogéneos. 
 
Existen varios y diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Resulta conveniente 
antes dar a conocer una clasificación de estos sistemas de ecuaciones según los valores de la matriz de los 
términos independientes. Se denomina sistema de ecuaciones lineales homogéneo, al sistema que presenta 
la forma: 
Es decir, cuando en la forma matricial del sistema A. X = B, la matriz B es nula. Los sistemas homogéneos 
admiten, por lo tanto, la notación matricial: 
𝐴 ∗ 𝑋 = 0 
Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo admite solución, es decir son compatibles. Si el conjunto 
solución está formado por s1=0, s2=0, …, sn=0, se dice que admite la solución trivial, es decir: 
𝑆 = {(0, 0, … , 0)} 
Si existen otras soluciones no nulas, se dice que son soluciones no triviales. 
Una manera sencilla de analizar y determinar la solución en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, 
es calcular el valor del determinante de su matriz principal. Si el determinante de la matriz principal es no 
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nulo, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo admite solamente la solución trivial, en cambio, si el 
determinante de la matriz principal es nulo, admite infinitas soluciones. 
Si det (A) ≠ 0 admite únicamente la solución trivial 
Si det(A) = 0, admite infinitas soluciones (que también incluyen a la solución trivial) 
Un caso particular del teorema de Rouché – Frobenius se aplica a los sistemas homogéneos. En este sentido, 
las matrices A y A* son semejantes a efectos del cálculo del rango. Por lo tanto, siempre se cumple que rango 
(A) = rango (A*). Esto quiere decir que todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Es decir: 
Si el rango (A) = rango (A*) = n, el sistema es compatible determinado. 
Si el rango (A) = rango (A*) < n, el sistema es compatible indeterminado. 
Resolución por método de Gauss – Jordan 
El método de Gauss- Jordan es uno de los tantos métodos directos que se aplican para resolver un sistema 
de ecuaciones lineales. Consiste en reducir la matriz ampliada del sistema, a la forma escalonada reducida, 
la cual determina una forma lo suficientemente simple para que el sistema pueda resolverse por sustitución 
regresiva. 
Dado el sistema de orden mxn 
Y su matriz ampliada: 
 
 
 
Para encontrar su forma escalonada reducida, se aplicarán sucesivamente las operaciones elementales entre 
filas hasta obtener la matriz del tipo: 
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Al elemento 1 que figura en la primera columna de la matriz, se lo denomina 1 principal o elemento pivote. 
Aclaración: La matriz escalonada por filas posee ceros debajo de cada pivote, en cambio la escalonada 
reducida por filas posee ceros tanto arriba y debajo de cada pivote. 
 
Si, por una sucesión de operaciones elementales sobre las filas, la matriz ampliada de un sistema de 
ecuaciones lineales adquiere la forma escalonada reducida, entonces es posible obtener el conjunto solución 
para el sistema dado realizando sustituciones regresivas, en este proceso se basa el método de Gauss - 
Jordan. En cambio, el método de Gauss consiste en obtener la solución del sistema de ecuaciones lineales, 
cuando al aplicarle las operaciones elementales a su matriz ampliada, se la transforma en una escalonada 
por filas. 
Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos 
del algebra linealpara determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e 
inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por 
medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones 
tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se 
conoce como forma escalonada. Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo 
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diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las 
ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal, así como de las que la siguen a 
continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz 
triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución. 
 
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar 
los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial, por ejemplo: 
 
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3 
Dónde su matriz ampliada está dada por: 
(
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
 
𝑑1
𝑑2
𝑑3
) 
Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una 
matriz equivalente a la inicial, de la forma: 
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y 
divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán en todos los elementos de 
la fila. 
En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz 
original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para 
cada variable que se corresponderán de la forma siguiente: 
𝑑1 = 𝑥
𝑑2 = 𝑦
𝑑3 = 𝑧
 
Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este método con un ejemplo concreto. 
 
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Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1 
3𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −3 
5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4 
Se aplica el primer paso que es transcribirlo a su forma matricial 
(
2 3 1
3 −2 −4
5 −1 −1
 
1
−3
4
) 
Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para así convertirla en 
la matriz identidad 
Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz 
identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. 
(
2 3 1
3 −2 −4
5 −1 −1
 
1
−3
4
) 𝐹𝑖𝑙𝑎 1 ∗
1
2
→ (
1 3/2 1/2
3 −2 −4
5 −1 −1
 
1/2
−3
4
) 
La transformación de toda la primera fila, multiplicándola por el inverso del elemento a11 es necesaria debido 
a que es la maniobra que permite convertir en pivote al primer elemento. El paso a seguir, es anular los 
elementos a12 y a13 y tomar como referencia para operar toda la fila y columna que contiene al elemento 
pivote. 
1 3/2 1/2
3 −2 −4
5 −1 −1
 
1/2
−3
4
 
1 3/2 1/2
3 −2 −4
5 −1 −1
 
1/2
−3
4
 
1 3/2 1/2
0 −13/2 −11/2
0 −17/2 −7/2
 
1/2
−9/2
3/2
 
Los elementos coloreados en rojo resultan de un simple cálculo. Son el resultado de haber restado al 
elemento original el producto entre los números que tiene por encima en la fila y a la izquierda en la columna 
de referencia. Es decir: 
(−2) − (
3
2
∗ 3) = −
13
2
 
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(−4) − (
1
2
∗ 3) = −
11
2
 
(−3) − (
1
2
∗ 3) = −
9
2
 
(−1) − (
3
2
∗ 5) = −
11
2
 
(−1) − (
3
2
∗ 5) = −
7
2
 
(4) − (
3
2
∗ 5) =
3
2
 
Partiendo de estos resultados, siguiendo con los mismos criterios, se debe convertir la segunda fila para 
poder encontrar al segundo elemento pivote de la matriz identidad. Eso implica multiplicar dicha fila por (-
2/13) y continuar operando del mismo modo hasta llegar a: 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 1
−1
2
 
Dónde los valores obtenidos en la ultima fila de la matriz ampliada corresponden al resultado del sistema. 
Ahora bien, sería útil poder corroborar, a través del teorema de Rouché – Frobenius que tipo de solución es 
analizando los rangos de ambas matrices. Viendo que el rengo de A es 3, que el rango de la matriz ampliada 
es 3 y que el número de ecuaciones, también es, según el teorema: 
Si el rango (A) = rango (A*) = n, el sistema es compatible determinado (solución única) 
De forma tal que la única solución del sistema es: 
(
𝑥 = 1
𝑦 = −1
𝑧 = 2
) 
Por lo cuál puede corroborarse, remplazando los resultados en la ecuación: 
2 ∗ 1 + 3 ∗ (−1) + 2 = 1 
3 ∗ 1 − 2 ∗ (−1) − 4 ∗ 2 = −3 
5 ∗ 1 − (−1) − 2 = 4