Tema V Funciones de varias variables

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Unidad 5. Funciones de Varias Variables 
 
Preparado por: Gil Sandro Gómez 
Profesor de la UASD 
Año: 2013 
 
Unidad 5. Funciones de Varias Variables 
 
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 
1 
Contenido 
Introducción .............................................................................................. 2 
1. Función de dos variables ..................................................................... 3 
2. Límites y continuidad .......................................................................... 4 
3. Derivadas parciales ............................................................................. 7 
4. Interpretación geométrica de las derivadas parciales .............................. 9 
5. Funciones armónicas ......................................................................... 10 
6. Diferenciales .................................................................................... 11 
7. Reglas de la cadena para funciones de varias variables ......................... 12 
8. Extremos de funciones de dos variables .............................................. 14 
9. Multiplicadores de Lagrange ............................................................... 17 
Bibliografía .............................................................................................. 19 
Webgrafía ............................................................................................... 19 
 
 
 
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2 
Introducción 
Hasta el momento nada más habíamos estudiado las funciones de una variable, pero la 
mayoría de los fenómenos que analizamos en el mundo real dependen de más de una 
variable. 
Las funciones de dos o más variables tienen una gran aplicación en la ingeniería química, 
entre las aplicaciones más comunes están: la ley de los gases, el análisis termodinámico 
entre otras. 
Los multiplicadores de Lagrange es una metodología asociada a las funciones de varias 
variables que tiene una gran utilidad al momento de analizar funciones sujetas a 
restricciones. Es común en la ingeniería industrial usar esta técnica para analizar la 
factibilidad de un proceso o el costo de producción de un bien. 
 
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3 
1. Función de dos variables 
Definición. Es una función f que asigna a cada pareja ordenada  ,x y D un único 
número real ( , )f x y . El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de 
valores ( , )f x y es el rango. 
f 
 
 
 Dominio Rango 
 
 
1.1 Gráfica de la función de dos variables 
Definición. Es el conjunto de todos los puntos ( , , )x y z para los ( , ) ( , )z f x y y x y que está 
en el dominio de f . 
 
 
Ejemplo 1. Bosqueje la gráfica de 2 2( , ) 1f x y x y   
 
 
 (x,y) 
 
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1.2 Curvas de nivel 
Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en 
el que el escalar ( , )z f x y se asigna al punto ( , )x y . Un campo escalar puede 
caracterizarse por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de los cuales es 
constante. Las curvas de nivel de igual presión se llaman isobaras. Las curvas de nivel que 
en mapas climáticos representan puntos de igual temperatura reciben el nombre de 
isotermas. Las curvas de nivel que representan campos de potenciales eléctricos se llaman 
líneas equipotenciales. 
Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie de la 
tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de 
mapas se llama mapa topográfico. 
2. Límites y continuidad 
Previo a la definición de límite de una función de dos variables necesitamos definir una serie 
de conceptos, tales como: 
1. Vecindad de un punto :x un punto x que pertenece a R, cualquier subconjunto de 
R que posea un abierto que contenga a x se llama una vecindad de .x 
2. Bola abierta: se llama bola abierta al conjunto representado por 
2 2
( ) 0 0{( , ) : ( ) ( ) }xB x y x x y y      
3. Bola cerrada: se llama bola cerrada al conjunto dado por 
2 2
( ) 0 0{( , ) : ( ) ( ) }xB x y x x y y      
4. Punto interior: un punto x es un punto interior de un conjunto S si existe una 
vecindad de x contenida en .S El conjunto de los puntos interiores de S se llama 
interior de .S 
5. Punto frontera: un punto x es un punto frontera de un conjunto S si cada 
vecindad de x contiene puntos que están en el interior de S y puntos que no están 
en .S El conjunto de los puntos fronteras recibe el nombre de frontera de .S 
6. Un conjunto es abierto si contiene todos puntos interiores y es cerrado si contiene 
todos sus puntos fronteras. Hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados. 
7. Conjunto acotado: un conjunto S es acotado si existe un 0R  tal que todas las 
parejas ordenadas en S están dentro de un círculo de radio R y con centro en el 
origen. 
2.1 Definición límite de una función de dos variables 
Sea f una función de dos variables en un disco abierto centrado en 0 0( , )x y , excepto 
posiblemente en 0 0( , )x y , y sea L un número real. Entonces 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y L

 
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5 
Si para cada 0  existe un número real 0  tal que si  ,x y D y 
   
2 2
0 00 x x y y      en este caso  ,f x y L   
Nota: los límites de dos variables tienen las mismas propiedades que cuando es de una sola 
variable. 
Ejemplo 2. Calcular el límite de 
( , ) (0,0)
cos
lim
cosx y
xy x
xy x


 
( , ) (0,0)
cos (0)(0) cos0 0 1
lim 1
cos (0)(0) cos0 0 1x y
xy x
xy x
  
   
  
 
 
Ejemplo 3. Determine si el límite existe o no. 
   
2 2
2 2, 0,0
 lim
x y
x y
x y


 
Realizamos la sustitución de las variables para calcular el límite dado 
   
2 2 2 2
2 2 2 2, 0,0
0 0 0
 lim ~ (3)
00 0x y
x y
x y
 
 
 
 
Como podemos observar, el cálculo directo del límite nos proporciona una forma 
indeterminada, es decir, no sabemos si el límite existe o no. Es importante recordar que si 
la función es de dos o más variables no se aplica la regla de L’Hôpital. 
Busquemos la solución utilizando en método de las tres vías, estas son: 
Primera vía. Nos acercamos al origen por la recta 0y  
En este caso, sustituimos a la variable y por cero en la función. 
               
2 2 2 2
2 2 2,0 0,0 ,0 0,0 ,0 0,0 ,0 0,0
0
 lim lim lim lim 0
0x x x x
x x x
x
xx x   

   

 
Segunda vía. Nos aproximamos a través de la recta 0x  
               
2 2 2 2
2 2 20, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0
0
 lim lim lim lim 0
0y y y y
y y y
y
yy y   

   

 
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Tercera vía. Nos acercamos por medio de la recta y x 
Como ambas variables son iguales, entonces sustituimos a una por la otra por comodidad. 
               
 2 2 2 2
2 2 2, 0,0 , 0,0 0, 0,0 0, 0,0
2 02 2 2
 lim lim lim lim 0
2 2 22y y y y y y
y y y y y
yy y y   

    

 
Comparando los resultados obtenidos por las tres vías, nos damos cuenta que son iguales, 
por tanto el límite existe y su valor es cero. Entonces, 
 
 
 
 
 
Otra forma de calcular el límite de una función de dos variables es utilizando coordenadas. 
Ejemplo 3. Aplicando coordenadas polares determine si el límite existe o no 
2 2
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
x y
xy
x y
 
 
 
 
Primero pasamos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y luego procedemos a 
calcular el límite dado. 
cosx r  y y rsen 
Como ambas variablesson iguales a cero, entonces 0.r  
    
 
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 20 0
cos cos
lim cos lim cos
cos cosr r
r r sen sen
r rsen r sen r
r r sen r sen
   
   
    
   
        
 
   2 2 2 2 2 2
0
lim cos cos 0 cos cos 0
r
r sen sen sen sen       

    
El límite existe y su valor es cero. 
 
 
 
   
2 2
2 2, 0,0
 lim 0
x y
x y
x y



 
2 2
2 2( , ) (0,0)
lim 0
x y
x y
xy
x y
 
 
 
 
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2.2 Función continua en un punto 
Definición. Una función ( , )f x y es continua en el punto  ,a b si se cumple que: 
1. f tiene un valor en  ,a b 
2. El lίmite f existe en  ,a b 
3. 
( , ) ( , )
( , ) lim ( , )
x y a b
f a b f x y

 
2.3 Continuidad en un conjunto 
Definición. Una función ( , )f x y es continua en un conjunto S si ( , )f x y es continua en 
cada punto del conjunto. 
Teorema. Composición de funciones 
Si una función g de dos variables es continua en  ,a b y una función f de una variable es 
continua en ( , )g a b , entonces la composición f g , definida como 
( )( , ) ( ( , )f g x y f g x y es continua en  , .a b 
3. Derivadas parciales 
Definición. Sea f una función de dos variables ( , )x y . Las derivadas parciales de  ,f x y 
respecto a la variable x y a la variable y se expresan por:
 
0
( , ) ( , )
( , ) lim ~ ( )x
x
f x x y f x y
f x y a
x 
 


 
0
( , ) ( , )
( , ) lim ~ ( )y
y
f x y y f x y
f x y b
y 
 

 
siempre que estos límites existan. 
Las derivadas parciales de  ,f x y pueden escribirse en las formas siguientes: 
( , )f x y
x


 este símbolo significa la derivada parcial de ( , )f x y respecto de .x 
( , )f x y
y


 este símbolo significa la derivada parcial de ( , )f x y respecto de .y 
 
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Ejemplo 4. Determine la derivada parcial de 
2 2
2 2
2 2 2 2 2
cos( ) 2
2 ( ) 2
2 ( ) cos( ) 2
z y x y xy
z
xysen x y y
x
z
y sen x y x y x
y
  

   


     

 
3.1 Derivadas parciales de orden superior 
En una función de una variable podemos determinar la derivada de segundo orden, tercer 
orden, cuarto orden, etc., así sucede con una función de dos o más variables. Las derivadas 
parciales de orden superior se denotan en el orden que se hace la derivación. Dada una 
función  ,z f x y tiene las siguientes derivadas de segundo orden: 
1. Derivar dos veces respecto a :x 
 
   
 
2
2
, ,
,xx
f x y f x y
f x y
x x x
  
  
   
 
2. Derivar dos veces respecto de :y 
 
   
 
2
2
, ,
,yy
f x y f x y
f x y
y y y
  
  
   
 
3. Derivar primero respecto de x y luego respecto a :y 
2
xy
f f
f
y x y x
   
  
    
 
4. Derivar primero respecto de y y luego respecto a :x 
 
2
yx
f f
f
x y xy
   
  
    
Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas). 
Ejemplo 5. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de 
2 3 22 5z x y y senx x   
Primero calculamos las derivadas de primer orden 
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3 24 cos 5xz xy y x   
2 26 2yz x y ysenx  
Ahora buscamos las derivadas de segundo orden 
212 2 cosxyz xy y x  
212 2 cosyxz xy y x  
3 24xxz y y senx  
212 2yyz x y senx  
Como podemos ver las derivadas 
2 2
 
z z
y
x y y x
 
   
 son iguales. 
4. Interpretación geométrica de las derivadas parciales 
4.1 Interpretación geométrica de 
 ,f x y
x


 
El valor de  ,xf a b es la pendiente de la recta tangente en  , ,P a b c de la curva x que se 
encuentra sobre la superficie  , .z f x y 
4.2 Interpretación geométrica de 
 ,f x y
y


 
El valor de  ,yf a b es la pendiente de la recta tangente en  , ,P a b c de la curva y que se 
encuentra sobre la superficie  , .z f x y 
Teorema de Clairaut o teorema de las derivadas parciales cruzadas 
Si f es una función en ( , )x y tal que xyf y yxf son continuas en un disco abierto R , 
entonces, para todo ( , )x y en R , 
 
2 2( , ) ( , )f x y f x y
y x x y
 

   
 
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5. Funciones armónicas 
Las derivadas parciales se utilizan en las ecuaciones diferenciales parciales, éstas se 
expresan algunas del mundo real. La ecuación diferencial parcial 
 
2 2
2 2
0
u u
x y
 
 
 
 
La ecuación anterior recibe el nombre ecuación de Laplace en honor al matemático francés 
Pierre Laplace. Las soluciones de esta ecuación las llamamos funciones armónicas, juegan 
un rol determinante en los problemas de conducción de calor, flujo eléctrico y flujo de 
líquidos. 
Definición. Una función real de n recibe el nombre de función armónica en D si sobre D 
contiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden y además satisface la 
ecuación de Laplace. 
Ejemplo 7. Analice si la función  , cosh cosu x y senx y xsenhy  es solución de la 
ecuación de Laplace. 
Para verificar si una función es solución de la ecuación de Laplace es necesario determinar 
las derivadas parciales de segundo orden de la función dada. 
Procedemos a encontrar las derivadas parciales de  , :u x y 
cos cosh
cos cosh
x
y
u x y senxsenhy
u senxsenhy x y
 
 
 
Las derivadas de segundo orden de  ,u x y son: 
 , cosh cosxxu x y senx y xsenhy   
 , cos coshyyu x y xsenhy senx y  
Sumamos las derivadas de segundo orden de la función dada 
   , , cosh cos cos coshxx yyu x y u x y senx y xsenhy xsenhy senx y      
Nos queda que: 
    , , 0xx yyu x y u x y  
Podemos concluir que la función dada es una función armónica, porque satisface la ecuación 
de Laplace. 
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6. Diferenciales 
 
6.1 Diferencial total 
Definición. Si ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en ,y entonces las 
diferenciales totales de las variables independientes son dx x y dy y    y la diferencial 
total de la variable dependiente z es 
( , ) ( , )x y
z z
dz dx dy f x y dx f x y dy
x y
 
   
 
 
Esta definición puede extenderse una función de tres o más variables. 
Ejemplo 7. Halle la diferencial total de la función dada 
2 32 ; (1,1), (0.99,1.02)z x y P Q 
Aplicando la fórmula de diferencial total tenemos que: 
( , ) ( , )x y
z z
dz dx dy f x y dx f x y dy
x y
 
   
 
 
3 2 2
3 2 2
4 , 6
0.99 1 0.1, 1.02 1 0.02
4 6
z z
xy x y
x y
dx dy
dz xy dx x y dy
 
 
 
      
 
 
Evaluamos el diferencial total de la función en (1,1) 
2 2 24(1)(1) ( 0.01) 6(1) (1) (0.02) 0.08dz     
6.2 Diferenciabilidad 
Definición. Una función f dada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )x y si z puede 
expresarse en la forma 
0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y          
Donde 1 2 0y   cuando ( , ) (0,0)x y   . La función f es diferenciable en una región R si 
es diferenciable en todo punto de R . 
 
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Teorema. Condiciones suficientes para la Diferenciabilidad 
Si f es una función en ( , )x y , para la que x yf y f son continuas en una región abierta R , 
entonces f es diferenciable en R . 
Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad 
Si una función en ( , )x y es diferenciable en 
0 0( , )x y , entonces es continua en 
0 0( , )x y . 
7. Reglas de la cadena para funciones de variasvariables 
Teorema. Regla de la cadena: una variable independiente 
Sea ( , )w f x y , donde f es una función derivable de x e y . Si ( ), ( )x g t y h t  , donde g y 
h son funciones derivables de t , entonces w es una función diferenciable de t , y 
 
dw w dx w dy
dt x dt y dt
 
 
 
 
Ejemplo 8. Determine 
dw
dt
 mediante la regla de la cadena. 
 , ln( ) 2 , cos , w x y x y xy x t y sent     
Derivamos a  ,w x y respecto a x y respecto .y 
1 1
2 , 2
w w
y x
x x y y x y
 
   
   
 
, cos
dx dy
sent t
dt dt
   
Vamos a sustituir las variables por su respectivo valor en cada derivada parcial: 
1 1
2 , 2cos
cos cos
w w
sent t
x t sent y t sent
 
   
   
 
Usando la fórmula 
dw w dx w dy
dt x dt y dt
 
 
 
 
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   
1 1
2 2cos cos
cos cos
dw
sent sent t t
dt t sent t sent
   
       
    
 
2 2cos
2 2cos
cos cos
dw sent t
sen t t
dt t sent t sent
    
 
 
2 2cos
2 2cos
cos
dw t sent
sen t t
dt t sent

  

 
cos 1 cos2 1 cos2 cos
2 2 1 cos2 1 cos2
cos 2 2 cos
dw t sent t t t sent
t t
dt t sent t sent
      
          
    
 
 
 
 
 
Teorema. Regla de la cadena: dos variables independientes 
Sea ( , )w f x y , donde f es una función derivable de x e y . Si ( , ), ( , )x g s t y h s t  son tales 
que las derivadas parciales de primer orden , , 
x x y y
y
s t s t
   
   
, existen, y están dadas por 
 
w w x w y
s x s y s
    
 
    
 y 
w w x w y
t x t y t
    
 
    
 
Ejemplo 9. Hallar 
w
s


 y 
w
t


 
2 2 , cost, 
~ ( ) ~ ( )
2 , 2 , cos , ~ (2)
t
t
w x y x s y se
w w x w y w w x w y
a b
s x s y s t x t y t
w w x y
x y t e
x y s s
   
         
   
         
   
    
   
 
Sustituyendo (2) en (a) 
cos
2cos2
cos
dw t sent
t
dt t sent

 

 
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2 (cos ) 2 ( )tw
x t y e
s

 

 
 Sustituyendo a x y a y por su valor: 
2 2
2 cost(cos ) 2 ( )
2 cos 2
t t
t
w
s t se e
s
w
s t se
s

 


 

 
Ahora derivemos respecto a t : 
~ ( )
w w x w y
b
t x t y t
    
 
    
 
, 
~ (3)
2 ( ) 2 ( )
t
t
x y
ssent se
t t
w
x ssent y se
s
  
    

   
 
 
Sustituyendo (3) en (b) 
2 2 2
2 cos ( ) 2 ( )
2 cos ) 2
t t
t
w
s t ssent se se
s
w
s tsent s e
s

  


  

 
8. Extremos de funciones de dos variables 
 
8.1 Extremos relativos 
Definición. Sea f una función definida en una región R que contiene 0 0( , )x y 
1. La función f tiene un mínimo relativo en 0 0( , )x y si 
 0 0( , ) ( , )f x y f x y 
para todo ( , )x y en un disco abierto que contiene 0 0( , )x y . 
2. La función f tiene un máximo relativo en 0 0( , )x y si 
 0 0( , ) ( , )f x y f x y 
para todo ( , )x y en un disco abierto que contiene 0 0( , )x y . 
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15 
Teorema del valor extremo 
Sea f una función continua de dos variables x e y y definida en una región acotada cerrada 
R en el plano xy . 
1. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor mínimo. 
2. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor máximo. 
 
8.2 Puntos críticos 
Definición. Sea f definida en una región abierta R que contiene 0 0( , )x y . El punto 0 0( , )x y 
es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes: 
1. 0 0( , ) 0xf x y  y  , 0yf x y  
2.  ,xf x y o  ,yf x y no existe. 
Teorema. Los extremos relativos se presentan solo en los puntos críticos 
Si f tiene un extremo relativo en 0 0( , )x y en una región abierta R , entonces es un punto 
crítico de f . 
8.3 El criterio de las segundas derivadas parciales 
Los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos o mínimos. 
Algunos puntos críticos dan puntos sillas que no son ni máximos ni mínimos. 
Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales 
Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que 
contiene un punto  ,a b para el cual 
 
( , ) 0 y ( , ) 0x yf a b f a b 
 
Para buscar los extremos relativos de f considérese el valor 
 
2
( , ) ( , ) ( , )xx yy xyd f a b f a b f a b     
Entonces, 
1. 0d  y  , 0f a b  existe un mínimo en el punto  , .a b 
2. 0d  y  , 0xxf a b  existe un máximo en el punto  , .a b 
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16 
3. 0,d  existe un punto silla en  , .a b 
4. Si 0d  no se puede aplicar el método. 
Nota: Una forma conveniente para recordar el valor de d, es utilizar el determinante 2x2 
 
( , ) ( , )
( , ) ( , )
xx xy
xy yy
f a b f a b
f a b f a b
 
Ejemplo 10. Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un 
máximo local o un mínimo local o si es un punto silla. 
  3 3, 12 8f x y x xy y   
Primer paso. Derivamos la función dada para encontrar los puntos críticos 
 
 
2
2
, 3 12
, 12 24
x
y
f x y x y
f x y x y
 
  
 
Igualamos a cero las primeras derivadas y determinamos los puntos críticos. 
2
2
3 12 0
 ~ (10)
12 24 0
x y
x y
 
  
 
El sistema (10) es un sistema de ecuaciones no lineales, por tanto es necesario tener la 
precaución al momento de hallar la solución. 
Al resolver el sistema nos encontramos que los puntos críticos son:  0,0 y  2,1 . Por un 
asunto de espacio no presentamos el desarrollo del sistema de ecuaciones. 
 
 
 
Segundo paso. Buscamos las derivadas de segundo orden de la función dada 
 
 
, 6
, 48
xx
yy
f x y x
f x y y


 
 
 
12
12
xy
yx
f xy
f xy
 
 
 
Se cumple el teorema de Clairaut, que establece que las derivadas cruzadas son iguales. 
Tercer paso. Calculamos el determinante 
Por comodidad es preferible evaluar las derivadas antes de calcular el determinante. 
Iniciemos nuestro análisis en el punto  0,0 
   0,0 6 0 0xxf   
   0,0 48 0 0yyf   
Los valores complejos no se consideran como parte de la solución del sistema, 
porque nuestra materia está basada en el campo de los reales. 
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17 
   0,0 0,0 12xy yxf f   
   
   
0,0 0,0 0 12
144
0,0 0,0 12 0
xx xy
xy yy
f f
d
f f

   

 
En el punto crítico  0,0 tenemos que: 
0,d  por tanto hay un punto silla. 
Cuarto paso. Calculamos el punto silla 
      
330,0 0 12 0 0 8 0 0f     
El punto silla de la función es: 
 
 
 
 
Quinto paso. Ahora tomamos el punto  2,1 y reiniciamos nuestro análisis. 
   2,1 6 2 12xxf   
   2,1 48 1 48yyf   
   
   
2,1 2,1 12 12
432
2,1 2,1 12 48
xx xy
xy yy
f f
d
f f

  

 
Evaluemos a  , :xxf x y 
   2,1 6 2 12xxf   
Dado que 0d  y  2,1 0,xxf  hay un mínimo en  2,1 . 
Para calcular el mínimo evaluamos la función en el punto crítico. 
        
3 3
2,1 2 12 2 1 8 1 8f      
El punto mínimo es: 
 
 
 
 
9. Multiplicadores de Lagrange 
Teorema de Lagrange 
Sean y gf funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un 
extremo en un punto 0 0( , )x y sobre la curva suave de restricción o ligadura ( , )g x y c . Si 
0 0( , ) 0g x y  , entonces existe un número real tal que 
 0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x y   
 
 0,0,0
 
 2,1, 8
 
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18 
9.1 Método de los multiplicadores de Lagrange 
Si y gf son funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea f una 
función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción ( , )g x y c . Para hallar el 
mínimo o el máximo de f , seguir los pasos descritos a continuación: 
1. Resolver simultáneamente las ecuaciones ( , ) ( , ) ( , )f x y g x y y g x y c    
resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente: 
 
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
x x
y y
x y
x y
f g x y
f g x y
g x y c





 
2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor da el 
máximo de f sujeto a la restricción ( , )g x y c , y el valor menor da el mínimo de 
f sujeto a la restricción ( , )g x y c . 
Ejemplo 11. Mediante los multiplicadores de Lagrange encuentre los extremos de la función 
sujeto a la restricción 2 2 1yx   . 
2 2
2
3
1 . ( , )
2 . :
( , ) 2 3 ~ (1)
( , ) 3 2
( , ) 2 ( , ) 2
 :
( , ) ( ,
( , )
1er
do
x
y
x y
x x
xy y
Paso Sea g x y
Paso Hallamos las derivadas parciales de f y g
x y x y
f x y x y
g x y x y g x y y
Construímos el sistema de ecuaciones
x y g x y
f x y x
x y
f
f 
 

 
 
 


 
2 2
)
( , ) ( , )
( , )
2 3 2 ~ (1)
3 2 2 ~ (2)
1 ~ (3)
y yf x y g x y
g x y c
x y x
x y y
x y





 
 
 
 
Despejamos a  de las ecuaciones (1) y (2): 
2 3 3 2
~ (4) ~ (5)
2 2
x y x y
x y
 
 
  
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19 
Igualamos las ecuaciones (4) y (5): 
2 22 3 3 2
4 6 6 4
2 2
x y x y
xy y x xy
x y
 
     
2 26 6y x y x    
Sustituimos a y por su valor en (3): 
2 2 1x x  
2 2 1
2 1
2
x x   
1
,
2
x   el punto crítico es 
1 1
,
2 2
 
 
 
 
Evaluamos a f en 
1 1
, :
2 2
 
 
 
 
 
2 2
1 1
2 2
1 1 1 1 1 3 1 5
, 3
2 2 2 22 2 2 2
f
      
            
      
 
El punto máximo es: 
 
 
 
Bibliografía 
1. Edwards, C & Penney, D. (2008). Cálculo con trascendentes tempranas (7ma edición). 
México: Pearson. 
2. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2006). Cálculo II (8va edición). México: Mc 
Graw Hill. 
3. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo Esencial. México: CENGAGE 
Learning. 
4. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo (9na edición). México: Pearson 
5. Thomas, G. (2005). Cálculo multivariables (11ma edición). México: Pearson. 
6. Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables (6ta edición). México: CENGAGE 
Learning. 
Webgrafía 
1. http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/Grupo1B/multivar.pdf 
2. http://lc.fie.umich.mx/~rochoa/Materias/Calculo_II/Funciones_Multivariables.pdf 
1 1 5
, ,
22 2
 
 
 
 
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/Grupo1B/multivar.pdf
http://lc.fie.umich.mx/~rochoa/Materias/Calculo_II/Funciones_Multivariables.pdf
Unidad 5. Funciones de Varias Variables 
 
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 
20 
3. http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html 
4. http://personal.us.es/egarme/resumen/resumentema9fmi.pdf 
5. http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/manuales%5Cde
rive-5(funciones%20de%20varias%20variables).pdf 
6. http://www.ucasal.net/recursos/Funciones_de_varias_variables.pdf 
7. http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_vi
ctoria/funciones_varias_variables2011.pdf 
 
 
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html
http://personal.us.es/egarme/resumen/resumentema9fmi.pdf
http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/manuales%5Cderive-5(funciones%20de%20varias%20variables).pdf
http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/manuales%5Cderive-5(funciones%20de%20varias%20variables).pdf
http://www.ucasal.net/recursos/Funciones_de_varias_variables.pdf
http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/funciones_varias_variables2011.pdf
http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/funciones_varias_variables2011.pdf