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Análisis Matemático II
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN
ANALISIS MATEMATICO II
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
Clase No1: Funciones. Mg. M. Adriana Correa Zeballos
1
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL
CLASE Nº 1: FUNCIONES
1. Funciones de una variable independiente.
1.1. Definición.
Una función f de un conjunto D en otro conjunto R, es una regla que asigna a cada elemento x de D
exactamente un elemento y de R,. Diremos que y es la imagen de x bajo la función f, y escribimos
y = f(x)
También se define una función como un conjunto no vacío de pares ordenados (x, y) tales que dos
pares ordenados distintos no tienen igual la primera componente. Esto es, una relación matemática
es una función sí y sólo sí,
Empleamos la notación,
1.2. Dominio y rango.
El conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de una función f se denomina
dominio de la función. El conjunto D es el dominio de la función f.
El conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de una función f se denomina
rango o recorrido de la función. Es decir el rango de f es el conjunto de todas las imágenes f(x) de
elementos x de D. En símbolos, es
Diagrama de flechas.
Dominio f = D
( ) ( ) 'yyf'y,xfy,x =ÛÎÙÎ
( ) ( ){ }xfy∧R∈y∃D∈x∀/y,xf ==
( ){ }Dx/xf ∈
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1.3. Variable dependiente e independiente.
Variable: es un símbolo para representar a cualquier elemento de un conjunto dado. Es decir su
universo es conocido.
Variable independiente: es una variable cuyo universo es el dominio de la función dada.
Variable dependiente: es una variable cuyo universo es el rango de la función dada. Es decir, el valor
de y depende de la elección de x por lo que “y” es variable dependiente y “x” es variable
independiente.
Trabajaremos con funciones para las cuales D y R son conjuntos de números reales. Este tipo de
funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales) de una variable real.
Hay distintas formas de definir una función: por medio de una tabla, de un gráfico, en forma
coloquial, mediante diagrama de flechas o como conjunto de pares ordenados. Trabajaremos con las
dadas por una fórmula o ecuación que liga las variables dependientes y la independiente.
Notación. Cuando una función está definida mediante una fórmula su usa la notación:
f: y = f(x)
donde f representa una expresión analítica.
Otra forma de anotar una función real de una variable real:
Ejemplos:
a) Dar el dominio y rango de la función y = x2.
El dominio, al no especificarse restricción, será: D = {x/x ϵ Re}.En consecuencia el rango: R= {y/y ϵ
Re≥ 0}
b) Si la función está definida por y = (4 – x)1/2, determine su dominio y rango.
Como la raíz cuadrada de números negativos no existe en el campo real, entonces, para que el
radicando no sea negativo, x debe tomar valores menores o iguales a cuatro, entonces su
dominio será: D = {x/x ϵ Re ≤ 4} y en consecuencia el rango estará dado por: R= {y/y ϵ Re ≥ 0}.
c) Si la función está definida por y = (1 + x)1/2 + (2 – x)1/4 + x, determine su dominio.
Por las razones expuestas en el ejercicio anterior esta función estará definida, para las x tales que, en
la primera raíz 1 + x ≥ 0 y para la segunda 2- x ≥ 0. En consecuencia, D = {x/x ϵ Re , -1 ≤ x ≤ 2}.
Se acostumbra a abreviar una expresión como “la función f definida por f(x) = ln x” en la forma
“la función f(x) = ln x” o mas generalmente se expresa como y = ln x.
1.4. Funciones definidas por una ecuación.
Si la función está definida por una fórmula el dominio de una función puede describirse
explícitamente junto con la función o bien estar implícito en la ecuación que define a la función. El
dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los cuales tiene sentido la fórmula
y da como resultado un número real.
{ }
{ }D∈x/)x(ffRango
y...,,y,yfRango n21
=
=
)x(fx
RRD:f
®
®Ì
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1.5. Gráfica de en una función de una variable independiente.
Si f es una función cuyo dominio es D, su gráfica es el conjunto de pares ordenados;
En virtud de la correspondencia biunívoca que existe entre los pares ordenados (x,y) de
números reales y los puntos del plano, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y) en el
plano coordenado tales que y=f(x) y x está en el dominio de f.
La gráfica de f en general es una curva en el plano. El dominio D de la función f se representa
sobre el eje x y su rango sobre el eje y.
2. Funciones de dos variables independientes.
2.1. Definición.
Sea . Una función f de dos variables independientes reales es una regla que asigna a cada
par ordenado (x,y) de números reales en D un único número real denotado por f(x,y).
Notación. Para hacer explícito el valor que toma f en el punto general (x,y) escribimos z =f(x,y), donde
x e y son variables independientes y z variable dependiente.
Una forma de visualizar una función es con el diagrama de flechas:
Diagrama de Flechas
( ) ( ){ }Dx,xf=y/R)x(f,x 2 ∈∈
2RD⊂
Dominio
x x
f(x)
y
f
Rango
o
z1
z2
.
.
.
zn
D f
(x1,y1)
(x2,y2)
.
.
.
(xn,yn)
x
y
0
R
0
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También se define una función como un conjunto no vacío de ternas ordenados (x,y,z) con la
propiedad de que si: ,
empleamos la notación,
Otra forma de anotar una función real de dos variables reales:
2.2. Dominio y rango.
El dominio de la función f es el conjunto de los pares ordenados (x,y) de números reales para los
cuales está definida la función f.
Las variables x e y para las cuales (x,y) pertenece a D se llaman independientes, su universo es el
dominio de la función f.
El rango de la función f es el conjunto de los valores que toma la función f.
2.3. Variables independientes y variable dependiente
Una variable cuyo universo es el rango de f se llama variable dependiente.
Dominio de f: Es el conjunto D
Variables independientes: x, y
Variable dependiente: z
Rango de f:
Seguimos usando la convención de que si una función está definida por una fórmula y no se
especifica el dominio, entonces este es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) para los cuales
la fórmula tiene sentido.
Notación: f: z =f(x,y) donde f representa una expresión analítica.
Ejemplos:
a) Dada la función F por el conjunto de ternas: F={(2,1,7), (-3,4,6), ( 1,2,-5)}, determinar su dominio
y rango.
Por simple inspección serán: D ={(2,1), (-3,4),(1,2)} y R = {7, 6, -5}
b) Definida la función mediante la regla: “a cada par de números reales se le asigna su suma”,
determinar su dominio y rango.
Traducida esta regla a una formula será: z = x + y. En consecuencia tendremos que D ={(x, y) / x
ϵ Re, y ϵ Re} y R = {z / z ϵ Re}
c) Sea la función definida mediante la fórmula z = x / y, determine su dominio y rango.
Como la división por cero no existe, entonces esta operación está definida para todo (x, y) tal
que y ≠ 0, en consecuencia serán;
D ={(x, y) / x ϵ Re, y ϵ Re ≠ 0} y R = {z / z ϵ Re}
d) Si se conoce que la función está definida por la formula: z = (x - y)1/2, indique cual es su dominio.
La operación raíz cuadrada, en el campo real, no está definida para radicandos negativos,
entonces se sigueque x - y ≥ 0, o sea x ≥ y, entonces:
( ) ( ) 21211111 zzfz,y,xfz,y,x =ÛÎÙÎ
( ) ( ){ }D)y,x(y,xf=z/z,y,x=f ∈∧
( ) ( ){ }Dy,x/y,xf ∈
f : R
(x,y) f(x,y)
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D ={(x, y) / x ϵ Re, y ϵ Re , x ≥ y}
Ejercicios.
a).Determine si z es función de x e y.
1) yz – xy + x2z = 10 3) xyz2 + 2 x y – y2 = 4
2) 4) z + x ln y – 8 = 0
Respuestas.
En 1) y 4) z es función de x e y. En 2) y 3) z no es función de x e y.
b) Evaluar las siguientes funciones según se indica.
1) f(x,y) = x – 2y i)f(-1,2) ii) f(a,a2)
2) i) ii) f(a, b+k) iii)
c) Dada la función, encontrar el dominio y rango. Representar gráficamente el dominio.
1) f : f(x,y) = x2 +y2.
2) f : z = ln(1- x+y).
3) f : z = x/y
4) f : f(x,y) = (x – y)1/2
5) f : z = (9 – x2 – y2)1/2
6) f : f(x,y) = (4 – x2 – y2)1/2
7) f : f(x,y) = arcsen (x+y)
8) f : f(x,y) = ln(4 – x – y)
9) f : f(x,y) = (x+y)/xy
10) f : z = ex/y
11) g: g(x,y) = 1/ (xy)
Respuestas.
1)Dominio: {(x,y)/ (x,y) ε R2} = R2 ; Rango: z ≥ 0
2)Dominio: {(x,y)/ y > x - 1}; Rango: R
6) Dominio: {(x,y)/x2+y2 ≤ 4}; Rango: 0≤ z ≤ 2
7) Dominio: {(x,y)/ -1 ≤ x+y ≤ 1}; Rango: -π/2 ≤ z ≤ π/2
8) Dominio: {(x,y)/ y <-x +4}; Rango: todos los números reales
9) Dominio: {(x,y)/ x ≠ 0, y ≠ 0}; Rango: todos los números reales
10) Dominio: {(x,y)/ y ≠ 0}; Rango: z > 0
11) Dominio: {(x,y)/ x ≠ 0, y ≠ 0}; Rango:
2.4. Gráfica de una función de dos variables.
Para una función de dos variables, z = f(x,y), su dominio D (que consistente en pares ordenados de
números reales) puede representarse geométricamente por una región en el plano.
La gráfica de la función f es el conjunto de ternas ordenadas:
1
94
2
22
=++ zyx
xyyxf -=),( ÷
ø
ö
ç
è
æ
4
1,
2
1f
k
bafkbaf ),(),( -+
0z >
( ) ( ){ }D∈)y,x(,y,xfz/R∈z,y,x 3 =
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En virtud de la correspondencia biunívoca que existe entre los ternas ordenadas (x,y,z) de números
reales y los puntos del espacio tridimensional, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y,z)
en el espacio de tres dimensiones tales que z = f(x,y) y (x,y) está en el dominio D de f.
La gráfica de f en general es una superficie en el espacio. Tal gráfica se muestra en la figura 5
3. Funciones de tres variables independientes.
3.1. Definición.
Sea . Una función f de tres variables independientes reales es una regla que asigna a cada
terna ordenada (x,y,z) de números reales en D un único número real denotado por f(x,y,z).
Notación. Para hacer explícito el valor que toma f en el punto general (x,y,z) escribimos u =f(x,y,z),
donde x ,y,z son variables independientes y u variable dependiente.
Una forma de visualizar una función es con el diagrama de flechas (ver figura siguiente).
También se puede definir una función, usando la forma conjuntista, como un conjunto de cuaternas
ordenadas de números reales cuya notación es la siguiente:
3RD⊂
( ) ( ){ }Dzyxzyxfuuzyxf ∈),,(,,/,,, Ù==
Fig.5. Gráfica de una función de dos variables
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3.2. Dominio y rango.
El dominio de la función f es el conjunto de las ternas ordenados (x,y,z) de números reales para las
cuales está definida la función f. Las variables x,y,z para las cuales (x,y,z) pertenece a D se llaman
independientes, su universo es el dominio de la función f.
El rango de la función f es el conjunto de los valores que toma la función f.
Una variable cuyo universo es el rango de f se llama variable dependiente.
Dominio de f: Es el conjunto D
Variables independientes: x, y,z
Variable dependiente: u
Rango de f:
Otra forma de anotar una función:
Nuevamente si una función está definida por una fórmula y no se especifica el dominio, entonces
este es el conjunto de todos los ternas ordenados (x,y,z) para las cuales la fórmula tiene sentido.
Notación: f: u =f(x,y,z) donde f representa una expresión analítica.
La gráfica de una función de tres variables estará en un espacio de cuatro dimensiones, y como no
hay representación geométrica de dicho espacio, no podemos representar gráficamente esta
función. Solamente podemos representar su dominio que estaría en el espacio de tres dimensiones.
( ) ( ){ }Dz,y,x/z,y,xf ∈
f : R
(x,y,z) f(x,y,z)
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Ejercicios:
a) Dada la función, encontrar el dominio y rango. Representar gráficamente el dominio.
1) f : f(x, y, z) = x2 +y2+z2.
2) f : u = x + y + z.
3) f : u = 1/( x2 + y2 + z2-1)1/2
4) f : f(x, y, z) = (9 - x2 - y2 - z2)1/2
5) f : u = x sen(y+z).
6) f: f(x,y,z) = x/(yz)
Respuestas.
1) R3 ; 2) R3 ; R 3) ;
4) 5) R3 ; R 6) ; R
b) Aplicaciones.
1)1Una caja rectangular abierta en su parte superior tiene longitud de x pies, ancho de y pies y altura
de z pies. Hacer la base cuesta de $0.75 por pie cuadrado y hacer los lados cuesta $0.40 por pie
cuadrado. Exprese el costo C de la fabricación de la caja en función de x, y, z.
2) Se construye un tanque para propano soldando un hemisferio a cada extremo de un cilindro
circular recto. Exprese el volumen V del tanque en función de r y l, donde r es el radio del cilindro y
de los hemisferios y l es el largo del cilindro.
3)2 Un sólido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos coordenados, tiene un
vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto (x,y,z) en el plano x + 3y + 2z = 6. I) Obtenga un
modelo matemático que exprese el volumen del sólido como una función de las dimensiones de la
base. Determine el dominio de la función. II) ¿Cuál es el volumen si la base es un cuadrado de lados
1,25 unidades?
4) Un almacén de artículos deportivos tiene dos tipos de raquetas de tenis, las marcas autografiadas
M. Chang y B. Becker. La demanda de consumo de cada marca depende no sólo de su precio, sino
también del precio de la marca competidora. Las cifras de ventas indican que si la marca Chang se
vende a “x” dólares por raqueta y la Becker a “y” dólares por raqueta, la demanda de raquetas Chang
será D1 = 300-20x+30y raquetas por año y las demandas de las raquetas Becker será D2 = 200+40x-
10y raquetas por año. Expresar el ingreso total anual del almacén de artículos deportivos
provenientes de la venta de estas raquetas, como una función de los precios x y y.
Respuestas.
1) C = 0,75 xy + 0,8 yz + 0,8 zx
1 Aplicaciones 1 y 2 adaptadas de Larson, R., Hostetler,R, Edwards, B. Cálculo Esencial, México, Cenagage learning,
Mexico, p. 663, 2010.
2 Aplicación adaptada de Leithold, L. El Cálculo, 7 ed., Oxford, México, 1998, p.926.
[ )¥,0 { }1zyx/)z,y,x( 222 >++ ( )¥,0
{ } [ ]3,0;0zyx9/)z,y,x( 222 ³--- { }0yz/)z,y,x( ¹
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2)
3) I) ; II) 0,78125 unidades cúbicas.
4) R(x,y) = ( 300-20x + 30y). x + (200+40x-10y) y donde R es el ingreso total anual
4. Funciones de “n” variables independientes.
4.1 Definición.
Sea . Una función f de n variables independientes reales es una reglaque asigna a cada n-
ada ordenada (x1, x2,…, xn) de números reales en D un único número real denotado por f(x1, x2,…, xn).
4.2 Dominio y rango.
Dominio de f: Es el conjunto D
Rango de f. El conjunto de los valores que toma la función es su rango, es decir
Otra forma de anotar una función real de n variables reales:
32
3
4 rlrV p+p=
( ) 6,0,0;36
2
1
£+³³--= yxyxyxyxV
nRD⊂
( ) ( ){ }Dx.,..,x,x/x,...,x,xf n21n21 ∈
f : R
(x1 ,x2 ,…, xn) f(x1, x2,…, xn)
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Ejemplos
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ℎ(#, %) = arccos(#%) + 2
!
"#$%
2. Determine y grafique el dominio de la siguiente función:
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Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
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DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL
CLASE Nº 2: LÍMITE
1. Conceptos Topológicos
1.1. Distancia entre dos puntos en Rn.
Sean X0 y X1 dos puntos en Rn, donde X0 = , X1 = , la distancia
entre X0 y X1 está determinada por:
1.2. Entorno de un punto en Rn.
Definición
Sea X0 un punto en Rn y r un número positivo, se llama entorno de centro X0 y radio r al conjunto
de todos los puntos X de Rn tales que su distancia al punto X0 sea menor que r.
Un entorno se indica escribiendo N(X0, r) o simplemente N(X0), si no es importante la mención
de r. En símbolos:
Casos Particulares: Con el fin de ilustrar esta definición, se muestra lo que ella significa en R, R2 y R3
a) En R un entorno es un intervalo abierto cuyo centro está en X0.
b) En R2 es un disco circular cuyo centro está en X0 y radio r que no incluye a la circunferencia
que lo limita.
c) En R3 es una esfera de centro X0 y radio r sin incluir la superficie esférica que la limita.
Para espacios de n mayor que tres dimensiones no se puede representar geométricamente un
entorno.
1.3. Entorno reducido de un punto.
Llamamos entorno reducido de un punto X0 y lo denotamos N*( X0, r) o simplemente N*( X0),
a cualquier entorno de X0 del que se haya excluido X0. Es decir
1.4. Punto frontera de un conjunto
Un punto, que pertenece o no a un conjunto se dice que es frontera del mismo si en todo
entorno suyo hay puntos que pertenecen al conjunto y puntos que no pertenecen al conjunto. El
conjunto de todos los puntos fronteras de un conjunto se llama la frontera del mismo.
1.5. Punto exterior de un conjunto.
Un punto es exterior a un conjunto si hay algún entorno suyo que no contiene ningún punto
del conjunto.
1.6. Punto interior de un conjunto.
Un punto X0 de un conjunto C de Rn, es punto interior de C si existe un entorno N(X0,r) que esté
contenido totalmente en C.
1.7. Conjunto abierto.
Un conjunto de puntos C de Rn es abierto cuando para cada punto X de C, existe un N(X, r)
cuyos puntos pertenecen todos a C. Aquí se observa que el entorno es un subconjunto de C, por eso
se puede escribir .En un conjunto abierto ninguno de sus puntos fronteras pertenece al
conjunto.
( )0n0201 x,...,x,x ( )1n1211 x,...,x,x
( ) ( ) ( )20n1n202122011101 xx...xxxxXX -++-+-=-
( ) { }rXX/R∈Xr,XN 0n0 <-=
( ) ( ) { }000* Xr,XNr,XN -=
( ) Cr,XN ⊂
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1.8. Conjunto conexo.
Un conjunto C de puntos de R2 es un conjunto conexo si cualquier par de puntos de C se pueden
unir mediante una poligonal cuyos puntos en su totalidad pertenezcan a C.
1.9. Región.
Usamos la palabra región para significar la unión de un conjunto abierto conexo con ninguno,
algunos o todos sus puntos fronteras. Una región abierta es la que no contiene ninguno de sus puntos
fronteras, y una región cerrada es aquella que contiene todos sus puntos fronteras. Los conceptos
de conjunto conexo y región se pueden definir para el espacio R3 por extensiones obvias de las
definiciones que se han particularizado para el espacio R2.
2. LÍMITE EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
2.1. Primeros conceptos en un caso particular.
Considere la función cuyo dominio es el disco cerrado
, el cual se muestra en la Figura 1 y cuya gráfica es el hemisferio que se
muestra en la figura 2. Si el punto (x, y) está cerca del origen, entonces x y y, están cercanas a 0, y por
consiguiente f(x, y) está cercana a 3. De hecho, si (x, y) está en un pequeño disco abierto x2 + y2 < δ2,
entonces
Por tanto, podemos hacer que los valores de f(x, y) se acerquen a 3 tanto como queramos, al
tomar a (x, y) en un disco lo suficientemente pequeño, con centro en (0, 0). Describimos esta situación
mediante el uso de la notación
En general, si los valores de la función f(x,y) se aproximan a un número real L cuando (x,y) se
aproxima a (x0,y0) se dice que L es el límite de la función f y se usa la notación:
A continuación vamos a generalizar el concepto de límite a funciones de n variables y daremos
la definición formal.
2.2. Generalización del concepto de límite.
Para una función de n variables, la ecuación ,
lleva implícita la idea de que cuando X se aproxima suficientemente al punto X0 los valores f(X) de la
función f se aproximan a L tanto como se quiera. En esta ecuación f es una función de n variables, X
( ) 22 yx9y,xf --=
( ){ }9yx/y,xD 22 £+=
222 9yx9)y,x(f d->--=
3=y-x-9lim 22
)0,0(→)y,x(
( ) ( )
( ) Ly,xflim
00 y,xy,x
=
®
L=)X(flim
0XX →
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
3
y X0 son puntos n-dimensionales. Para precisar matemáticamente este concepto se da la definición
ε-δ de límite.
En esta definición el número δ, cuyo valor depende de ε y X0, mide la proximidad de X a X0,
mientras que ε mide la proximidad de f(X) a L.
La doble desigualdad,
nos dice, por su lado derecho que,
y por su lado izquierdo que, ,
ambas cosas equivalen a decir que, .
La desigualdad, , establece que, .
El principio básico contenido en esta definición de límite es por lo tanto, que para todo N(L,
ε) debe existir un N(X0, δ) y que para , la función
Observación.
La definición de límite también se aplica cuando X0 es un punto frontera del dominio de f, para
los cual se considera un tipo especial de límite donde el punto X se aproxima a X0 considerando
siempre que X esté en D.
δ<-< 0XX0
( )δ,XNX 0Î
0XX¹
( )δ,XNX 0*Î
( ) ε<-LXf ( ) ( )ε,LNXf Î
( )δ,XNX 0*Î ( ) ( )ε,LNXf Î
2.3. Definición.
Sea f una función de n variables definida en un entorno del punto X0, excepto quizás en X0.
Entonces, decimos que el límite de f(X), cuando X se aproxima a X0 es L y lo expresamos
,
si para cualquier número ε > 0, existe un número δ > 0 tal que siempre que se tenga
L=)X(flim
XX 0→
e<-
d<-<
L)X(f
,tendrásetambién
,XX0 0
a) Definición.
Sea f una función de dos variables definida en un entorno del punto (x0,y0),
excepto quizás en (x0,y0). Entonces, decimos que el límite
de f(x,y), cuando (x,y)se aproxima a (x0,y0) es L y lo expresamos,
lim
(",$)→("!,$!)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿
si para cualquier número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que siempre que se
tenga 0 < .(𝑥 − 𝑥')( + (𝑦 − 𝑦')( < 𝛿 también se tendrá |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
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2.4. Límite en funciones de dos variables.
Para los límites bidimensionales se emplean indistintamente las notaciones,
ó
Ambas expresiones se pueden abreviar escribiendo ,
siendo X0 = (x0,y0) un punto de R2 y X= (x,y) una variable bidimensional.
La figura 3 ilustra la definición mediante un diagrama de flechas. Si se da cualquier intervalo
pequeño (L- ε, L + ε) alrededor de L entonces se puede encontrar un entorno N(X0, δ), tal que f
transforme todos los puntos del entorno N(X0, δ) (excepto posiblemente X0) en el intervalo
(L- ε, L + ε).
Otra forma de ilustrar la definición a) se da en la figura 4, donde (x0,y0)=(a,b) y la superficie S es la
gráfica de f. Si se da ε > 0, podemos encontrar δ > 0, tal que si (x, y) se restringe a que esté en el
entorno del punto (a,b) y (x, y) ≠ (a, b), entonces la parte correspondiente de S está entre
los planos horizontales, z = L – ε y z = L + ε.
b) Conceptos básicos.
Para el cálculo de límite es necesario tener en cuenta los siguientes conceptos básicos:
i) Cuando el existe, su valor es único y finito.
( ) L=y,xflim
)y,x()y,x( 00→
( ) L=y,xflim
yy
xx
0→
0→
L=)X(flim
XX 0→
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
Observe que:
N((x0,y0), δ) = Dd
z
(x,y)
y
d
(x0,y0)
f
N((x0,y0),δ)
D
L-e L+e 0 L
x
Figura 3
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
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ii) Lo anterior significa que la existencia del límite exige, que cualquiera sea la trayectoria de (x,y) al
tender a (x0,y0) siempre se tendrá el mismo valor límite L para f(x,y).
iii) Para que exista, se necesita que sea menor que ε para todos
los puntos (x,y) distintos de (x0,y0) que pertenezcan al dominio de f(x,y) y al .
iv) En la definición de límite, no es necesario que la función esté definida en (x0,y0), todavía más, si
f(x,y) estuviera definida en (x0,y0) su valor f(x0,y0) no tiene por qué coincidir con el valor L.
v) La definición (ε-δ) de límite sólo tiene en cuenta la distancia entre (x, y) y (x0,y0), no tiene en cuenta
la dirección y la forma de aproximación de (x, y) al tender a (x0,y0).
c) Diferencia entre el límite de funciones de una variable y el de más de una variable.
La definición de límite para funciones de n variables es similar a la dada para funciones de una
sola variable. Sin embargo hay algunos puntos que aclarar. Para funciones de una sola variable,
cuando dejamos que x se aproxime a x0, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la
izquierda y por la derecha
y por la condición de existencia y unicidad del límite sabemos que:
sí y solo sí y se verifica
Para funciones de dos y más de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que
podemos dejar que X se aproxime a X0 desde un número infinito de direcciones y de cualquier forma.
En la figura 5 se ilustra esta situación para una función de dos variables cuando (x,y) se aproxima a
(x0,y0). Observamos que (x,y) se puede aproximar a (x0,y0) desde un número infinito de direcciones
y de cualquier forma.
¿Cuándo se puede asegurar que L es el límite de f(x,y) cuando ?
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
L)X(f -
( )d,XN 0*
L)x(flim
0x→x
=
ï
ï
ï
ï
î
ïï
ï
ï
í
ì
==
$
$
+-
+
-
L)x(flim)x(flim
)x(flim
)x(flim
0
x→x´0
x→x
0
x→x
´0
x→x
( ) ( )00 y,xy,x ®
x0
y0 (x0,y0)
Figura 5.
y
x
x0 x
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
6
Una condición necesaria (no suficiente) para que exista y sea L, es que si los límites
existen ( donde y = g1(x) e y = g2(x) son dos curvas que pasan por X0 = (x0,y0)), deben valer L.
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
( )[ ] ( )[ ]xg,xflimxg,xflim 2
0xx
1
0xx ®®
Solo podemos hacerlo categóricamente cuando sea posible establecer, en forma totalmente
independiente de cualquier camino. Por lo tanto la única forma de independizarnos de los infinitos
caminos, es utilizar la definición ε-δ de límite. Pero esto suele ser extremadamente laborioso y difícil.
3. Métodos Alternativos para el estudio de los límites en funciones de varias variables
3.1. Límites usando caminos.
Un procedimiento para probar que una función no tiene límite, es calcular los límites de la
misma mediante la aproximación de los puntos (x,y) a (x0,y0) por diferentes caminos o trayectorias
que pueden ser rectas o curvas que pasen por el punto en cuestión. Si estos límites son distintos, la
función carece de límite.
Por lo tanto:
En resumen, si y = g1(x) e y = g2(x) son dos curvas que pasan por X0 = (x0,y0) y si se puede
demostrar que:
,
entonces,
, no existe.
Ejemplo.
Analizar si existe el siguiente límite
Considerando como trayectoria cualquier recta que pasan por el origen de coordenadas de ecuación
y = mx, con m ≠ 0 y x ≠ 0
Calculando el límite radial se tiene,
Por consiguiente, f tiene el mismo valor límite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen.
Esto no demuestra que el límite existe y vale 0.
Considerando otra trayectoria x = ay2, con a ≠0 e y ≠ 0, se tiene,
( )[ ] ( )[ ]xg,xflimxg,xflim 2
0xx
1
0xx ®®
¹
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
( ) ( ) 42
2
0,0,
lim
yx
yx
yx +®
( ) ( )
24
2
442
22
1
,,
xm
xm
xmx
xmxmxxfyxf
+
=
+
==
( ) ( )
0
1
limlim
24042
2
0,0,
=
+
=
+ ®® xm
xm
yx
yx
xyx
( ) ( )
1
,,
2442
4
2
+
=
+
==
a
a
yya
ayyayfyxf
( ) ( ) 11
limlim
22042
2
0,0, +
=
+
=
+ ®® a
a
a
a
yx
yx
yyx
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
7
En vista de que distintas trayectorias dan distintos valores límites, el límite dado no existe
Ejercicios: Demostrar que no existen los límites de las siguientes funciones, usando caminos o
trayectorias convenientes.
i) f: z = xy/ (x2 + y2) cuando (x, y) tiende a (0,0)
ii) f: f(x, y) = x2y2/[x2y2 + (x2- y2)2] cuando (x, y) tiende a (0,0)
iii) f: z = x2y / (x4+ y2) cuando (x, y) tiende a (0,0)
iv) f: f(x,y) = (x+y)2 / (y2+ x2) cuando (x, y) tiende a (0, 0)
v) f: f(x,y) = (2x3- x2 + y)/ (x3 – x2 + y) cuando (x, y) tiende a (0,0)
vi) f: f(x,y) = [(x2 –y2) / (x2+y2)]2 cuando (x, y) tiende a (0,0)
3.2. Limites sucesivos o reiterados.
Otra alternativa para probar la no existencia del límite L de una función f(x,y) cuando
es mediante el cálculo de los llamados límites sucesivos o reiterados.
Sea f : z= f (x,y), se define el límite sucesivo de la función f mediante un proceso, por el cual se
hace tender una variable hacia su límite, manteniendo constante la otra, y una vez calculado este
límite, se hace tender la otra variable hacia su límite. Evidentemente, para el caso de funciones de
dos variables que nos ocupa, caben las dos posibilidades siguientes:
Ambas expresiones corresponden a dos definiciones “distintas”. En consecuencia no debe causar
ningún asombro que, en el caso de existir ambos límites, sean distintos.
• Se dice que el número L1 es sí y sólo sí y
donde indica una función de y.
• Se dice que el número L2 es sí y sólo sí y
donde indica una función de x.
Relación entre límite simultáneo L y los límites sucesivos L1 y L2.
Tenemos, en este momento a nuestra disposición tres definiciones:que, en caso de tener sentido, nos definen tres números L , L1 y L2. Según cada uno de ellos existan
o no, son posibles ocho combinaciones.
De la simple observación de los posibles resultados de L1, L2 y L, podemos concluir que; si L1 ≠
L2 , entonces L no existe.
Ejemplo.
( ) ( )00 y,xy,x ®
( ) ( )y,xflimlimy,xflimlim
0xx0yy0xx0yy ®®®®
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
( ) ( )y,xflimlimy,xflimlim
0yy0xx0yy0xx ®®®®
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
( )÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
y,xflimlim
0xx0yy
( ) ( )yy,xflim
0xx
j=
®
( ) 1
0yy
Lylim =j
®
( )yj
( )÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
y,xflimlim
0yy0xx
( ) ( )xy,xflim
0yy
j=
®
( ) 2xx Lxlim0 =j® ( )xj
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
( )÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
y,xflimlim
0xx0yy
( )÷
ø
öç
è
æ
®®
y,xflimlim
00 yyxx
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
8
Verificar que no existe usando límites sucesivos.
lim
"→'
4lim
$→'
"")$"
""*$"
5 = lim
"→'
""
""
= 1
Luego como los límites sucesivos son diferentes, entonces el no existe.
Ejercicios: Usando límites sucesivos, mostrar que el limite cuando (x, y) tiende a (0, 0), de las
siguientes funciones, no existe.
i) f : f(x, y) = (x2 – y2)/(x2 + y2)
ii) f: z = (-x2 + y2)/[x2y2 +(x – y)2]
iii) f: z = (10x3 -2 y3)/[(x-1)3 +y3 +1]
iv) f: z = 5y4/(x4+ 9 y4)
4. Propiedades de los limites
Al igual que para las funciones de una sola variable, el cálculo de los límites puede simplificarse
en gran medida mediante el empleo de las propiedades de los límites y por el uso de la continuidad.
Tema que abordaremos inmediatamente.
Las propiedades de los límites para funciones de una sola variable pueden ampliarse a las
funciones de dos variables y de n variables (con n>2).
Este teorema puede extenderse a un número finito de funciones definidas en un conjunto
abierto D de Rn.
4.2. Propiedad de sustitución directa.
Recuerde que el cálculo de los límites de funciones continuas de una sola variable es sencillo.
( ) ( ) 22
22
0,0,
lim
yx
yx
yx +
-
®
1limlimlim
2
2
022
22
00
-=
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
®®® y
y
yx
yx
yxy
( ) ( ) 22
22
0,0,
lim
yx
yx
yx +
-
®
4.1. Teorema:
Sean f(X) y g(X) funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn y sea X0 un
punto de D, ó un punto frontera de D. Suponga que,
,
donde L y M son números reales, entonces:
a)
b)
d) donde K es un número real
e)
f) donde r y s son números enteros y
( ) ( ) MXglimyLXflim
0X→X0X→X
==
( ) ( )[ ] MLXgXflim
0X→X
±=±
( ) ( )[ ] M.LXg.Xflim
0X→X
=
( )[ ] L.KXf.Klim
0X→X
=
( )
( ) 0M;M
L
Xg
Xflim
0X→X
¹=ú
û
ù
ê
ë
é
( )[ ] s
r
s
r
0X→X
LXflim = 0s ¹
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
9
Puede llevarse a .cabo mediante la sustitución directa debido a que 1a definición de una función
continua es . En breve se verá que también las funciones continuas de dos y más
variables se definen mediante la propiedad de la sustitución directa.
Se puede demostrar, aplicando la definición ε-δ de límite, que:
a) ;
b)
c)
Estos límites prueban que los límites de las funciones f(x,y) = x, g(x,y) = y y h(x,y) = c, pueden
calcularse evaluando el valor que toman las correspondientes funciones en el punto (x0,y0). Puesto
que los polinomios pueden formarse con multiplicaciones y sumas ó restas de las funciones sencillas,
f, g y h, se sigue que los límites de las funciones polinomiales se pueden evaluar por sustitución
directa, al igual que las funciones racionales en todo punto de su dominio. Esta conclusión es de
enorme interés practico a la hora de evaluar límites de estos tipos de funciones
Esta propiedad puede extenderse a funciones polinomiales de tres y más variables, al igual que
a las funciones racionales en todo punto de su dominio. En general se extiende a todas las funciones
continuas en su dominio, como analizaremos en la sección siguiente
4.3. Esquema Operativo.
Dada f: z = f(x,y) para estudiar sus límites cuando se debe proceder así:
• Intente aplicar las propiedades de los límites.
• Intente el uso de la propiedad de sustitución directa.
En caso de no poder hacer uso de estas dos posibilidades, siga el siguiente procedimiento:
• Calcúlese si es posible
• Calcúlese si es posible
De la comparación de estos dos valores surge que:
i) Si , f no tiene límite para .
ii) L1 = L2, se tienen los siguientes casos:
• Sólo se puede afirmar que, en caso de existir L, debe coincidir con ese valor.
• Si L1 = L2 y queremos saber si ese valor común es L sólo hay un método y es aplicando
la definición ε-δ de límite.
• Si existen y son iguales L1 y L2 y una serie de caminos que llevan a (x0,y0) dan para L
ese valor común sólo puede afirmarse que, en caso de existir L, debe tener ese valor.
Si un solo camino da un valor distinto, entonces L no existe en (x0,y0).
iii) Si L1 no existe ó L2 no existe ó L1 y L2 no existen, probar con caminos para acercarse a (x0,y0)
)a(f)x(flim
ax
=
®
0
)0y,0x(→)y,x(
xxlim =
0
)0y,0x(→)y,x(
yylim =
cclim
)0y,0x(→)y,x(
=
( ) ( )00 y,xy,x ®
( ) 1
0xx0yy
Ly,xflimlim =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
( ) 2Ly,xflimlim
0yy0xx
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
21 LL ¹ ( ) ( )00 y,xy,x ®
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
10
y calcular L según ellos.
• Si para todos ellos L da el mismo valor sólo podrá afirmarse que, en caso de existir L,
deberá tener dicho valor.
• Para probar que el límite doble es L se debe aplicar la definición
ε-δ de límite.
• Si para uno de los caminos da un L distinto, es decir L depende del camino elegido,
entonces el límite de f para no existe.
Observación.
Todos los procedimientos desarrollados para probar la no existencia del límite doble en
funciones de dos variables pueden extenderse de manera natural a funciones de tres y más de tres
variables independientes.
Ejercicios:
a) Calcular por sustitución directa los siguientes límites.
i) z = x2/3 + y2/4 – 1/3, para (x,y)→(1,1)
ii) z = xy – x3 + y3, para (x, y)→(-1, -1)
iii) f(x, y) = (x3 – y2)/(x + y2), para (x,y)→(0, -1)
iv) f(x, y, z) = xy + xz – yz, para (x, y, z)→( 1, -1/2, 1/2)
v) u = xyz/(x + y + z), para (x, y, z)→( 1/2, 2, 1)
b) Calcular los siguientes límites.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
( ) ( )00 y,xy,x ®
893
152lim
22
2
)0,0(),( ++
-+
® yx
yx
yx
3 22
)3,1(),(
9lim yx
yx
--
--®
1
)1,1(),(
lim -+
-®
yx
yx
e
yx
yxsen
yx cos
lim
),0(),( -
+
p®
2
lim
)0,0(),(
xyxy
yx
ee -
®
-
yx
yxarcsen
yx +--®
)(lim
22
)1,1(),(
( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹=
® 0,3,1
0,3,),(),(lim
4
)0,3(),( yxsi
yxsixyyxhsiyxh
yx
yx
x
yx +® )1,1(),(
lim
xy
yxarcsen
yx +® 1
)/(lim
)1,0(),(
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
11
10)
11)
c) Estudiar los límites sucesivos, límites usando caminos y el límite doble en (0,0) de las siguientes
funciones.
i) ; ii)
iii) iv)
d) Encontrar el límite, si este existe, o mostrar que el límite no existe.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Respuestas.
b)1) – 1/8 ; 2) -1; 3) e-1 ; 4) π ; 5) 0; 6) –π/4; 7) 0; 8) 1/2; 9) 0; 10) 81/2; 11) 2
c) i) 0 ; ii) 0; iii) no existe el límite; iv) no existe el límite.
d) 1) -927; 2) π; 3) no existe; 4) no existe; 5) 0; 6) no existe; 7) 2; 8) -3/5; 9) no existe; 10) 2
Ejemplos
zyx
zyx
++
® )5,2,1(),,(
lim
yz
zyx
xe
)1,0,2(),,(
lim®
( ) ( )yxsenyxyxf += 2, ( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹
+
+
=
0,0,0
,,
, 22
22
yxsi
yxyxsi
yx
xsenyysenx
yxf
( )
22
,
yx
yxyxf
+
= ( )
24
2
,
yx
yxyxf
+
=
( )yyxyx
yx
32lim 222
)3,2(),(
+-
®
÷
ø
ö
ç
è
æ +
pp® 4
lim
),(),(
yxsenx
yx
44
22
)0,0(),(
8lim
yx
yx
yx +® 22)0,0(),( 2
2lim
yx
yx
yx +®
22)0,0(),(
lim
yx
yx
yx +®
24
2
)0,0(),(
2lim
yx
yx
yx +®
11
lim
22
22
)0,0(),( -++
+
® yx
yx
yx 1
lim
22
)3,2,1(),,( -
-
® xyz
zyzx
zyx
222
222
)0,0,0(),,(
lim
zyx
zyx
zyx ++
--
®
( )[ ]yxex z
zyx
-+
®
2lnlim
)0,3,2(),,(
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
12
lim
($,&) →(*,+)
sin '
1
3 𝑥
*𝑦, = −
√3
2
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
13
y = x
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos
14
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
1
DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL
CLASE Nº 3: CONTINUIDAD
1. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
El término continuo, tiene en matemática, el mismo sentido que en el lenguaje cotidiano. En
ciencias, se lo utiliza para describir un proceso que sigue sin cambios abruptos. Esta es una
característica esencial de muchos procesos naturales.
El significado matemático intuitivo de la continuidad es que, si el punto X cambia en una
pequeña cantidad, entonces el valor de f(X) cambia también en una pequeña cantidad. Esto quiere
decir que, en el caso de tener una superficie, que es la gráfica de una función continua de dos
variables, no tiene ni huecos ni rupturas.
1.1. Continuidad en un punto.
Como en el caso de funciones de una variable, la continuidad de una función f de varias
variables en un punto de su dominio se define directamente usando el límite.
Esta definición implica que se cumplen las siguientes tres condiciones:
i) Existe f(X0)
ii) Existe
iii)
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en el punto X0, entonces se dice que f
es discontinua en X0.
Teniendo en cuenta el concepto de límite, esta definición 1 es equivalente a la siguiente
definición 2. Nos vemos en la obligación de advertir que no es necesario que los estudiantes la tengan
en cuenta en esta oportunidad, quedando solo a título informativo.
)X(flim
0XX®
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
b) Definición 2.
La función f de n variables, es continua en el punto X0 si dado ε > 0, arbitrario, se puede hallar
un número δ = δ(ε) tal que para los puntos X tales que
se cumpla d<- 0XX ( ) ( ) e<- 0XfXf
a) Definición 1.
Sea f una función de n variables definida en un conjunto abierto D de Rn. Decimos que f es continua,
en el punto X0 de D, si y sólo sí
donde son dos puntos n dimensionales.
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
( ) ( )0n02010n21 x,...,x,xXyx,...,x,xX ==
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
2
c) Tipos de Discontinuidades:
Las discontinuidades se clasifican en evitables y no evitables (o inevitables)
• Si existe la discontinuidad en X0 es evitable.
• Si no existe la discontinuidad en X0 es inevitable.
Cuando la discontinuidad es de tipo evitable se puede redefinir la función de tal forma que
entonces f se vuelve continua en X0.
Observación.
Igual que con la definición de límite, la definición de continuidad se aplica a puntos interiores
y a puntos fronteras del dominio D de f. El único requisito es que el punto X permanezca en el
dominio todo el tiempo.
d) Continuidad de una función de dos variables en un punto.
Intuitivamente decimos que una función de dos variables es continua en su dominio (esto es,
continua en cada punto de su dominio) si su gráfica es una superficie ininterrumpida.
Ejemplo 1.
Estudie la continuidad en (0,0) de la función:
𝑓(𝑥, 𝑦) = (
𝑦!
𝑦! + 𝑥! 𝑠𝑖
(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
1 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
Dom f = R2
Observamos que existe f(0,0) = 1 pero lim
(#,%)→((,()
𝑓(𝑥, 𝑦) no existe. Calculemos el límite de la función
según la trayectoria y = mx, con x ≠ 0, se tiene
lim
(#,%)→)((,()
𝑦!
𝑦! + 𝑥! = lim#→(
𝑚!𝑥!
𝑥!(𝑚! + 1) =
𝑚!
𝑚! + 1
y el límite depende de los valores de m. En consecuencia la función presenta una discontinuidad no
evitable en (0,0).
Ejemplo 2.
Estudie la continuidad en (0,0) de la función:
𝑓(𝑥, 𝑦) = (
𝑥 − 𝑦
𝑥) − 𝑦) 𝑠𝑖 𝑥
) ≠ 𝑦)
0 𝑠𝑖 𝑥) = 𝑦)
)X(flim
0XX®
)X(flim
0XX®
)X(flim)X(f
0XX
0
®
=
Definición.
Sea f una función de dos variables definida en un conjunto abierto D de R2. Decimos que f es
continua en un punto (x0,y0) de D si y sólo si
)y,x(f)y,x(flim 00
)0y,0x()y,x(
=
®
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
3
Dom f = R2
Analizamos que sucede con las tres condiciones para que f sea continua en (0,0):
1) Existe f(0,0)= 0
2) Analizamos el límite, lim
(#,%)→((,()
#*%
#!*%!
,
Observamos que la sustitución directa nos lleva a una indeterminación del tipo 0/0, entonces
transformamos la expresión dada,
lim
(#,%)→((,()
𝑥 − 𝑦
𝑥) − 𝑦) = lim(#,%)→((,()
𝑥 − 𝑦
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
= lim
(#,%)→((,()
1
𝑥 + 𝑦 = ∞
Por lo tanto la función no tiene límite y en consecuencia f es discontinua no evitable en (0,0).
Ejercicios: Muestre para cada función que se indica, en el punto dado de su dominio, si es continua
o no.
i) z = x2 – y2 + 3xy en (0,0)
ii) f(x, y) = x2/y2, en (1,1)
iii) z = cos (x + y) en (π/2, π/2)
iv) z = ln(x.y) en (e, e)
e) Continuidad de una función de varias variables en un conjunto abierto D de Rn.
Sea f una función de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Se dice que f es
continua en D (o simplemente que f es continua) si lo es para todos y cada uno de los puntos X de D.
Ejemplo 3.
Analice la región del plano en que la función f(x,y) = 𝑙𝑛(𝑥! + 𝑦!) es continua.
Dom f = {(𝑥, 𝑦) ∕ 𝑥! + 𝑦! > 0} es decir Dom f = 𝑅) − (0,0). Luego la función es continua en todo
punto de su dominio.
Ejemplo 4.
Determine el conjunto de puntos (x,y,z) tal que lafunción 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ;9 − 𝑥) − 𝑦) − 𝑧) es
contínua
Dom f = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 9 − 𝑥)⁄ − 𝑦) − 𝑧) ≥ 0}. Luego la función es continua en todo punto de su dominio.
f) Propiedades de funciones continuas
Una de las consecuencias del teorema que enuncia las propiedades de los límites, es que las
combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas en todo punto en que todas las
funciones implicadas estén definidas.
Por lo tanto cada una de las cinco propiedades que se enuncian en el siguiente teorema son
consecuencias de la correspondiente propiedad de límite.
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
4
Demostración de propiedad i).
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X) son
continuas en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función f(X) + g(X).
Hipótesis.
f y g son continuas en X0.
Tesis.
f(X) + g(X) es continua en X0.
Demostración
Como fes continua en X0, entonces,
Como g es continua en X0, entonces,
,
por propiedad de los límites,
,
= [f(X0) + g(X0)]
por ser f y g continuas en X0.
Con esto se demuestra que f(X) + g(X) es continua en X0.
Demostración de propiedad ii).
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto D abierto de Rn. Si f(X) y g(X) son
continuas en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función f(X) - g(X).
Hipótesis.
f y g son continuas en X0.
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XglimXflimXgXflim
000 XXXXXX ®®®
+=+
( ) ( )[ ]XgXflim
0XX
+
®
Teorema.
Sean f(X) y g (X) funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X)
son continuas en un punto X0 de D, también son continuas en X0 las funciones:
i) f(X) + g(X)
ii) f(X) – g(X)
iii) f(X) . g(X)
iv) k g(X), con k constante
v)
( )
( ) ( ) 0XgsiXg
Xf
0 ¹
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
5
Tesis.
[f(X) - g(X)] es continua en X0.
Demostración
Como f es continua en X0, entonces,
Como g es continua en X0, entonces,
,
por propiedad de los límites,
,
= [f(X0) - g(X0)]
por ser f y g continuas en X0.
Con esto se demuestra que f(X) – g(X) es continua en X0.
Demostración de propiedad iii).
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X) son continuas
en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función [f(X0) .g(X0)]
Hipótesis.
f y g son continuas en X0.
Tesis.
[f(X) . g(X)] es continua en X0.
Demostración
Como f es continua en X0, entonces,
Como g es continua en X0, entonces
,
por propiedad de los límites,
,
= [f(X0) . g(X0)]
por ser f y g continuas en X0.
Con esto se demuestra que [f(X) . g(X)] es continua en X0.
Demostración de propiedad iv).
Sea g una función de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si g(X) es continuas en un
punto X0 de D, también es continuas en X0 la función [k.g(X)].
Hipótesis.
g es continua en X0 y k es una constante.
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XgXfXgXf
XXXXXX 000
limlimlim
®®®
-=-
( ) ( )[ ]XgXf
XX
-
® 0
lim
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XgXfXgXf
XXXXXX 000
lim..lim.lim
®®®
=
( ) ( )[ ]XgXf
XX
..lim
0®
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
6
Tesis.
[k.g(X)] es continua en X0.
Demostración
Como g es continua en X0, entonces
,
por propiedad de los límites,
,
= [k.g(X0)]
por ser g continuas en X0.
Con esto se demuestra que [k.g(X)] es continua en X0.
Demostración de propiedad v).
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X) son
continuas en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función f(X) /g(X), siempre que g(X0) ≠
0 .
Hipótesis.
f y g son continuas en X0.
Tesis.
[f(X) / g(X)] es continua en X0, siempre que g(X0) ≠ 0.
Demostración
Como f es continua en X0, entonces,
Como g es continua en X0, entonces,
,
por propiedad de los límites,
,
= [f(X0)/g(X0)]
por ser f y g continuas en X0.
Con esto se demuestra que [f(X)/g(X)] es continua en X0.
.
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( )[ ] ( )XgkXgk
XXXX 00
lim..lim
®®
=
( )[ ]Xgk
XX
.lim
0®
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XgXfXgXf
XXXXXX 000
lim/lim/lim
®®®
=
( ) ( )[ ]XgXf
XX
/lim
0®
Teoremas adicionales.
a) Una función polinomial de n variables es continua en cada punto de Rn.
b) Una función racional de n variables es continua en cada punto de su dominio.
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
7
Para las demostraciones de los teoremas a) y b) se considera una función polinomial de dos
variables. Para una función de n variables se demuestra de la misma manera.
Demostración de a)
De acuerdo al apartado correspondiente a la propiedad de sustitución directa en la teoría de
límites, toda función polinomial es la suma de productos de funciones definidas por f(x,y) = x, g(x,y)
= y y h(x,y) = c, donde c es un número real. Como f, g y h son continuas en R2, el apartado a) se
demuestra mediante sucesivas aplicaciones de las propiedades i), ii), iii) y iv), de funciones continuas.
Demostración de b)
Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales f y g que son continuas en
cada punto de R2 según a). Si (x0,y0) es cualquier punto del dominio de f/g, entonces ;
de modo que por la propiedad v) de funciones continuas, f/g es continua en ese punto.
Otros tipos de funciones continuas.
Otras funciones continuas en todo punto de su dominio son:
i) las algebraicas en general.
ii) las irracionales.
iii) las trigonométricas.
i) las logarítmicas y exponenciales.
Ejemplos.
a) Las funciones
,
son continuas en todo punto (x,y).
Igual que con las funciones de una sola variable, la regla general es que las composiciones de
funciones continuas son continuas. El único requisito es que cada una de las funciones sea continua
donde esté aplicada.
b) Estudie la continuidad de la función en el punto que (8,0).
ℎ(𝑥, 𝑦) = @√𝑥
" − 10# 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (8,0)
2 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (8,0)
Analizando las tres condiciones de continuidad en el punto (8,0) se tiene,
1) Existe h(8,0) = 2
2) Analicemos el lim
(#,%)→(+,()
D√𝑥" − 10%E = 1, vemos que existe y vale 1. La función es discontinua
evitable en (8,0). Redefinimos la función para que sea continua en (8,0),
( ) 0y,xg 00 ¹
( ) ( ) ( ) ( )222yx yx1lny,xg,1x
yxcosy,xh,ey,xf ++=
+
== -
Continuidad de una función compuesta.
Suponga que f es una función de una variable y que g es una función de n variables tal que g es
continua en X0 y f es continua en g(X0). Entonces la función compuesta f [g(X)] es continua en X0.
Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos
8
𝑔(𝑥, 𝑦) = @√𝑥
" − 10# 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (8,0)
1 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (8,0)
Ejercicios.
i) En los apartados a) al h), estudie la continuidad de las funciones indicadas. En los apartados i) al l),
analice las continuidad de las funciones en el origen de coordenadas
h)
ii) Encuentre el límite y analice la continuidad de la función.
1)
2)
3)
4)
iii) Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican.
1) en (1,1) 2) en (3,2);
3) en (4,-1)
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹-=
3,1,0
3,1,25,)
2
yx
yxyxyxfa ( )
ïî
ï
í
ì
=Ú=
¹÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
000
0.1.,)
yx
yx
xy
senxyxfb
( )
ïî
ï
í
ì
>+
£++=
440
444,) 22
2222
yx
yxyxyxfc ( )
222
,,)
zyx
xzzyxfd
++
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹
++=
0,0,0,,0
0,0,0,,3
,,) 222
zyx
zyx
zyx
xyz
zyxfe ( )
222
1,,)
zyx
zyxff
++
=
( )
yx ee
zsenzyxfg
+
=,,) ( ) ïî
ï
í
ì
=
¹
=
01
0
,
xysi
xysi
xy
xysen
yxf
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹
+=
0,0,0
0,0,2
,) 22
2
yxsi
yxsi
yx
y
yxfi ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ïî
ï
í
ì
=++
¹+-
=
+
0,0,1ln
0,0,12
,)
22 yxsiyx
yxsixy
yxfj
yx
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹÷
ø
ö
ç
è
æ+
=
0,0,1
0,0,11
,)
yxsi
yxsi
x
seny
yxfk( )
yxyx
yyxfl
-++
=,)
( )2
)1,2(),(
3lim yx
yx
+
® xy
y
xarcsen
yx +
÷
ø
öç
è
æ
® 1
lim
)1,0(),(
xy
yx
e
)2,1(),(
lim
-®
zyx
zyx
++
® )5,2,1(),,(
lim
( )
yx
yxyxf
-
-
=
33
, ( )
2
3,
-
-
=
y
xyxf
( )
yx
xyyxf
16
4,
2 +
+
=
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9
Respuestas.
i) f) continua excepto en (0,0,0); g) continua; h) continua; i) discontinua no evitable; j) discontinua
evitable; k) continua; l) discontinua evitable.
ii) 1) 5, continua; 2) 0, continua para xy ≠ -1, y ≠ 0 ; 3) 1/e2 , continua; 4) , continua para
iii) 1)discontinua evitable; 2) discontinua no evitable; 3) discontinua no evitable
1£y
x 22
0³++ zyx
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1
DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL
CLASE Nº 4: CALCULO VECTORIAL
1. FUNCIÓNES VECTORIALES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Las funciones a las que nos hemos referidos hasta aquí han sido de variables reales y a valores
reales. En esta oportunidad estudiaremos ciertas funciones a variables reales y cuyos valores son
vectores. Tales funciones se necesitan para representar curvas en el plano y el espacio tridimensional
y para describir el movimiento de partículas en esos mismos espacios.
En este capítulo aprovecharemos toda la experiencia adquirida en el estudio del Cálculo de una
variable, para recorrer todas las operaciones que nos ofrece esta rama de la matemática,
aplicándolas a este tipo particular de funciones vectoriales uniparaméticas.
Es decir una función con valor vectorial o función vectorial es simplemente una función cuyo
dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores.
1.2. Dominio.
Como dominio de la función vectorial r(t), se considera la intersección de los dominios de las
funciones componentes.
Ejercicios. Encuentre los dominios de las siguientes funciones vectoriales:
a) Si r(t) = t3 i + ln(3-t) j ; f(t) = t3 y g(t) = ln(3-t).
Solución: el dominio de f son todos los Reales y el dominio g es el intervalo (-∞, 3) entonces
dominio de r es:
Dr = Df ∩Dg
Dr = (-∞, 3).
b) Si
c) Si
1.3. Representación de Curvas.
Las funciones vectoriales se pueden usar para representar curvas en el plano o en el espacio.
( ) 2t,t1,tlntr -=
®
( ) 22 t,t4tr -=
®
1.1. Definición de funciones vectoriales.
Una función de la forma,
f(t)i + g(t)j, ó,
f(t)i + g(t)j + h(t)k
se llama función vectorial en el plano y en el espacio respectivamente, donde las funciones
componentes, f , g y h son funciones del parámetro t con valores reales.
Estas funciones también se representan como ó
( ) =
®
tr
( ) =
®
tr
Definición. Curvas planas.
Si f y g son funciones continuas de t en el intervalo I, entonces el conjunto de pares ordenados
(f(t),g(t)) se denomina curva plana C. Las ecuaciones
x = f(t) e y = g(t) se llaman ecuaciones uniparamétricas de C, donde t es el parámetro.
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
2
Esta definición puede extenderse al espacio tridimensional, donde naturalmente la curva será
alabeada.
Tomando como parámetro t el tiempo, podemos usar este tipo de función vectorial para
describir el movimiento de un partícula a lo largo de una curva. O también para describir una curva
en R2 ó en R3. En ambos casos, el punto final del vector de posición r (t) coincide con el punto (x,y) o
(x,y,z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas. La flecha en la curva indica la orientación de
la misma apuntando en la dirección de valores crecientes de t. Ver gráficos 1 y 2.
1.4. Operaciones con funciones vectoriales
Muchas de las técnicas que se usan en el cálculo con funciones reales se pueden aplicar a
funciones vectoriales. Es decir podemos sumar, restar, multiplicar por un escalar, como así también
considerar límites y derivadas de funciones vectoriales.
Sean f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j,
Entonces;
• + = [f1(t) + f2(t)] i + [g1(t) + g2(t)] j
• - = [f1(t) - f2(t)] i + [g1(t) - g2(t)] j
• c f1(t)i + c g1(t)j
( ) =
®
tr ( ) =
®
tv
( )
®
tr ( )
®
tv
( )
®
tr ( )
®
tv
( ) =
®
trc
r (t1)
r (t2)
r (t3)
C
x
y
x
y
z
Graf. 1.Curva en el plano
r (t1)
r (t2)
r (t3)
C
Graf. 2. Curva en el
espacio
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3
2. LÍMITE
Decir que significa que: los
Es decir si el vector r(t) tiende al vector L cuando t tiende a “a” la longitud del vector [r(t) – L]
tiende a cero.
De manera equivalente podemos utilizar la definición ε-δ de límite.
2.2. Propiedades de los Límites.
Los límites de funciones vectoriales obedecen las mismas reglas que las de funciones reales.
( ) Ltrlim
at
=
®
®
,atcon,at ¹»" ( ) Ltr »
®
2.1. Definición.
a) Si r(t) es una función vectorial tal que r(t) = f(t)i + g(t)j entonces,
,
siempre que existan los límites de las funciones f y g para
b) Si r(t) es una función vectorial tal que f(t)i + g(t)j + h(t)k, entonces
Siempre que existan los límites de las funciones f , g y h para
( ) ( ) ( ) jtglimitflimtrlim
atatat
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
®®
®
®
at®
( ) =
®
tr
( ) ( ) ( ) ( ) kthlimjtglimitflimtrlim
atatatat
ú
û
ù
ê
ë
é
+ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
®®®
®
®
at®
y
L
r(t) - L
x
Definición.
Decimos que sí y sólo sí para todo ε > 0 existe un número δ> 0 tal que,
, siempre que,
( ) Ltrlim
at
=
®
®
( ) e<-
®®
Ltr d<-< at0
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4
Demostración de la propiedad a):
Sean u y v funciones vectoriales que tienen límites conforme entonces
Hipótesis.
u y v funciones vectoriales que tienen límites conforme
Tesis.
Demostración.
Sean f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j,
entonces se tendrá: + = [f1(t) + f2(t)] i + [g1(t) + g2(t)] j ,
por suma de vectores. Aplicando límite a ambos miembros de la igualdad,
Las otras propiedades se demuestran de manera similar.
at®
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ tvlimtulimtvtulim
atatat
at®
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ tvlimtulimtvtulim
atatat
( ) =
®
tu ( ) =
®
tv
( )
®
tu ( )
®
tv
( ) ( ) [ ][ ]
[ ]
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
®
®
®
®
®®
®®
®
®®
®
+=úû
ù
êë
é +\
+=
+++=
úû
ù
êë
é+úû
ù
êë
é=
=úû
ù
êë
é +
tvtutvtu
tvtu
ff
jif
quetieneselímitededefiniciónpor
iftvtu
atatat
atat
atat
atat
atat
limlimlim
limlim
j(t)gi (t)limj(t)gi (t)lim
(t)]g + (t)[glim(t)f + (t)lim
,
j (t)]g + (t)[g + (t)f + (t)limlim
2211
2121
2121
Teorema.
Sean u y v funciones vectoriales que tienen límites conforme , y sea c una constante.
Entonces:
a)
b)
c)
d)
at®
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ tvlimtulimtvtulim
atatat
( ) ( )
®
®
®
®
= tulimctuclim
atat
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
=ú
û
ù
ê
ë
é
tvlim.tulimtv.tulim
atatat
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
=ú
û
ù
ê
ë
é
tvlimxtulimtvxtulim
atatat
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5
3. CONTINUIDAD
Una función vectorial es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del
intervalo.
De acuerdo a la definición 3.1., se enuncia el siguiente teorema.
Demostración en un sentido
En consecuencia si r es continua en a entonces sus funciones componentes son continuas en a.
Hipótesis: r es continua en a
Tesis: Las funciones componentes son continuas en a.
Demostración
Sea r(t) = f(t)i + g(t)j
Por hipótesis r es continua en a por lo tanto
Por definición de límite,
Demostración en el otro sentido
Las funciones componentes son continuas en a entonces r es continua en a.
Hipótesis. Las funciones componentes son continuas en a.
Tesis. r es continua en a.
Demostración.
Por hipótesis f y g son continuas en a, entonces,
Por definición de límite se tiene que,
y por ser f y g continuas en a, se tiene,
( ) ( )
®®
®
= artrlim
at
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) aencontinuassongyfagtglimaftflim
vectoresdeigualdadpor
jagiaftrlim
aencontinuarserpor
jtglimitflimtrlim
atat
at
atatat
\=Ù=Þ
+=
úû
ù
êë
é+ú
û
ù
ê
ë
é
=
®®
®
®
®®
®
®
( ) ( ) ( ) ( )agtglimaftflim
atat
=Ù=
®®
( ) ( ) ( ) jtglimitflimtrlim
atatat
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
®®
®
®
Teorema.
Una función vectorial r es continua en el punto dado por t = a, sí y sólo sí, sus funciones
componentes son continuas en a.
3.1. Definición.
Una función vectorial r se dice que es continua en el punto dado por t=a, sí y sólo sí
( ) ( )
®®
®
= artrlim
at
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6
, en consecuencia r es continua en a.
4. DERIVACIÓN.
4.2. Derivada de una función vectorial en un intervalo.
Una función vectorial es derivable en un intervalo abierto I si existe r’(a)
para todo “a” en I. Se puede extender esta definición a los intervalos cerrados, para lo cual se
consideran los límites unilaterales.
La derivación de funciones vectoriales puede llevarse a cabo componente a componente, como
se enuncia en el siguiente teorema.
Demostración de i).
Hipótesis. f y g son funciones derivables de t y r(t) = f(t)i + g(t)j.
Tesis: r’(t) = f’(t) i + g’(t) j
Demostración.
De acuerdo a la definición de r´(t) dada en 4.1.
Demostración de ii).
Hipótesis. f , g y h son funciones derivables de t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®
®
®
®
=\+= artrlimjagiaftrlim
atat
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
jtgitfjttgittftr
dt
rd
t D
--D++D+
==
®D
®
®
0
' lim
4.1. Definición.
La derivada de una función vectorial r(t) se define como:
,
para todo t para el cual exista el límite.
( ) ( ) ( )
t
trttrlimtr
dt
rd
0t
'
D
-D+
==
®®
®D
®®
4.3. Teorema.
i) Si r(t) = f(t)i + g(t)j,
donde f y g son funciones derivables de t, entonces
r’(t) = f’(t)i + g’(t)j
ii) Si r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k,
donde f , g y h son funciones derivables de t, entonces
r’(t) = f’(t) i + g’(t) j + h’(t) k
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) jtgitftr
j
t
tgttgi
t
tfttftr
j
t
tgttgi
t
tfttftr
t
jtgttgitfttftr
t
jtgjttgitfittftr
tt
t
t
t
'''
00
'
0
'
0
'
0
'
limlim
lim
lim
lim
+=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
D
-D++-D+
=
D
-D++-D+
=
®
®D®D
®
®D
®
®D
®
®D
®
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7
Tesis: r’(t) = f’(t) i + g’(t) j + h’(t) k
Demostración.
Ejercicios. Encontrar las derivadas de las funciones que se indican.
i) r(t) = t2 i + lnt j
ii) r(t) = et. lnt i – t2. sent j
iii) r(t) = t2 i + lnt j
iv) r(t) = et. lnt i – t2. sent j
v) r(t) = (t/sent) i – (cost/t) j
vi) r(t) = sen3t i – cost3 j + ln(t1/2) k
vii) r(t) = (et/cost) i – (sent3/t) j + tg(t1/2) k
4.4. Propiedades de la Derivada.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
kthjtgitfktthjttgittflimtr
dt
rd
0t
'
D
---D++D++D+
==
®D
®®
Teoremas.
Sean r y u funciones vectoriales derivables y sea f una función real y c un escalar, entonces se
cumple que;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) Si , entonces
( ) ( )
®®
=úû
ù
êë
é trctrc
dt
d '
( ) ( ) ( ) ( )
®®®®
±=ú
û
ù
ê
ë
é
± tutrtutr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
trtftrtftrtf
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
tu.trtu.trtu.tr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
tuxtrtuxtrtuxtr
dt
d ''
( )[ ] ( )[ ] ( )tftfrtfr
dt
d ''
®®
=ú
û
ù
ê
ë
é
( ) ( ) ctr.tr =
®®
( ) ( ) 0tr.tr ' =
®®
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftr
k
t
thtthj
t
tgttgi
t
tfttftr
k
t
thtthj
t
tgttgi
t
tfttftr
t
kthtthjtgttgitfttftr
t
kthktthjtgjttgitfittftr
ttt
t
t
t
''''
000
'
0
'
0
'
0
'
limlimlim
lim
lim
lim
++=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
D
-D++-D++-D+
=
D
-D++-D++-D+
=
®
®D®D®D
®
®D
®
®D
®
®D
®
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
8
Demostraciones de cada una de las propiedades
Demostración de la propiedad a)
Hipótesis. f(t)i + g(t)j función vectorial derivable.
Tesis.
Demostración.
Demostración de la propiedad b)
Hipótesis.
f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j funciones vectoriales derivables
Tesis.
Demostración.
( ) =
®
tr
( ) ( )
®®
=ú
û
ù
ê
ë
é
trctrc
dt
d '
( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
®®
®
®
=ú
û
ù
ê
ë
é
\
=
+=
+=
+=
+=ú
û
ù
ê
ë
é
trctrc
dt
d
trc
jtgitfc
jtgcitfc
jtgcitfc
dt
d
jtgitfc
dt
dtrc
dt
d
'
'
''
''
( ) =
®
tr ( ) =
®
tu
( ) ( ) ( ) ( )
®®®®
±=ú
û
ù
ê
ë
é
± tutrtutr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
®®®®
®®
®®
±=úû
ù
êë
é ±\
±=
+±+=
±+±=
þ
ý
ü
î
í
ì ±+
þ
ý
ü
î
í
ì ±=
±+±=úû
ù
êë
é ±
tutrtutr
dt
d
tutr
jtgtfitgtf
jtgtgitftf
jtgtg
dt
ditftf
dt
d
jtgtgitftf
dt
dtutr
dt
d
''
''
'
2
'
2
'
1
'
1
'
2
'
1
'
2
'
1
2121
2121
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
9
Demostración de la propiedad c)
Hipótesis. Sea r(t) = f1(t)i + g1(t)j, función vectorial derivable
Tesis.
Demostración.
Demostración de la propiedad d)
Hipótesis. f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j funciones vectoriales derivables
Tesis.
Demostración.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
trtftrtftrtf
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®
®®
®
+=úû
ù
êë
é\
+=
+++=
+++=
+=
+=úû
ù
êë
é
trtftrtftrtf
dt
d
trtftrtf
jtgitftfjtgitftf
jtgtftgtfitftftftf
jtgtf
dt
ditftf
dt
d
jtgtfitftf
dt
dtrtf
dt
d
''
''
'
1
'
111
'
'
11
''
11
'
11
11
( ) =
®
tr ( ) =
®
tu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
tu.trtu.trtu.tr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®®
®®®®
®®
+=úû
ù
êë
é\
+=
+++=
+++=
+=
+=úû
ù
êë
étu.trtu.trtu.tr
dt
d
tu.trtu.tr
tgtgtftftg.tgtftf
tgtgtg.tgtftftftf
tgtg
dt
dtftf
dt
d
tgtgtftf
dt
dtu.tr
dt
d
''
''
'
21
'
212
'
12
'
1
'
212
'
1
'
212
'
1
2121
2121
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
10
Demostración de la propiedad f)
Hipótesis. Sea f1(t)i + g1(t)j función vectorial derivable
Tesis.
Demostración.
Demostración de la propiedad g)
Hipótesis. r(t) = f(t)i + g(t)j función vectorial derivable y r(t). r(t) = c
Tesis. r(t). r’(t) = 0
Demostración.
Para las demostraciones de las propiedades se pueden considerar funciones vectoriales en el
espacio y se aplica el mismo procedimiento
( ) =
®
tr
( )[ ] ( )[ ] ( )tftfrtfr
dt
d ''
®®
=ú
û
ù
ê
ë
é
( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]
( )( )[ ] ( )( )[ ]
( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )tftfrtfr
dt
d
tftfr
tfjtfgitff
jtftfgitftff
jtfg
dt
ditff
dt
d
jtfgitff
dt
dtfr
dt
d
''
''
''
1
'
1
''
1
''
1
11
11
®®
®
®
=úû
ù
êë
é\
=
+=
+=
+=
+=úû
ù
êë
é
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0tr.tr
0tr.tr2
ctr.trcomo
tr.tr2
tr.trtr.trtr.tr
dt
d
'
'
'
''
=Þ
=Þ
=
=
+=ú
û
ù
ê
ë
é
®®
®®
®®
®®
®®®®®®
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
11
5. INTEGRACIÓN.
5.1. Definiciones
5.1.1. Integral Indefinida.
Si f(t)i + g(t)j donde las funciones componentes f y g son continuas en ,
entonces la integral indefinida o primitiva de es:
Sabiendo que ,
y
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, entonces se tiene,
,
operando obtenemos,
si se considera que;
R(t) = F(t) i + G(t) j y C = C1i + C2j , remplazando,
La integral indefinida de una función vectorial es el conjunto de las infinitas primitivas o
antiderivadas de la función vectorial r(t).
La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones que difieren entre sí
en un vector constante C.
Ampliación: Si bien es cierto en la definición de integral indefinida que acabamos de
analizar consideramos una función vectorial en el plano, esta puede naturalmente
ampliarse para funciones en el espacio tridimensional.
Si f(t)i + g(t)j +h(t) k donde las funciones f , g y h con continuas en , entonces
la integral indefinida o primitiva de es:
( ) =
®
tr [ ]b,a
®
r
( ) ( ) ( ) jdttgidttfdttr ú
û
ù
ê
ë
é
+ú
û
ù
ê
ë
é
= òòò
®
( ) ( ) 1CtFdttf +=ò ( ) ( ) 2CtGdttg +=ò
( ) ( )[ ] ( )[ ]jCtGiCtFdttr 21 +++=ò
®
( ) ( ) ( )[ ] [ ]jCiCjtGitFdttr 21 +++=ò
®
( ) ( )
®®®
+=ò CtRdttr
( ) =
®
tr [ ]b,a
®
r
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]kdtthjdttgidttfdttr òòòò ++=
®
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
12
Esto significa que podemos evaluar la integral definida de una función vectorial, integrando
cada una de sus funciones componentes.
5.2. Teorema Fundamental del Cálculo para Funciones Vectoriales.
Al igual que para las funciones escalares, el teorema fundamental del cálculo para funciones
vectoriales continuas establece que:
5.1.2.Integral Definida.
La integral definida de una función vectorial continua r(t), en el intervalo se
define como:
Desarrollando el segundo miembro de esta igualdad se llega a lo siguiente:
i) Si r(t) = f(t)i + g(t)j, entonces:
y por el teorema Fundamental del Cálculo Integral para funciones reales se tiene que:
ii) Si f(t)i + g(t)j +h(t) k, entonces:
[ ]b,a
( ) ( ) i
n
1i
*
i
0P
b
a
ttrlimdttr D= åò
=
®
®
®
( ) ( ) ( )
ú
ú
ú
û
ù
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ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
ø
ö
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ç
ç
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æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
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æ
D= ååò
==
®
®
jttgittflimdttr i
n
1i
*
ii
n
1i
*
i
0P
b
a
( ) ( ) ( ) jttglimittflimdttr i
n
1i
*
i0Pi
n
1i
*
i0P
b
a
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
D+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
D= ååò
=
®
=
®
®
( ) ( ) ( ) jdttgidttfdttr
b
a
b
a
b
a
÷
÷
÷
ø
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ç
ç
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æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
= òòò
®
( ) =
®
tr
( ) ( ) ( ) ( )
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D= åååò
===
®
®
ktthjttgittflimdttr i
n
1i
*
ii
n
1i
*
ii
n
1i
*
i
0P
b
a
( ) ( ) ( ) ( ) ktthlimjttglimittflimdttr i
n
1i
*
i
0P
i
n
1i
*
i
0P
i
n
1i
*
i
0P
b
a
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D= åååò
=
®
=
®
=
®
®
( ) ( ) ( ) ( ) kdtthjdttgidttfdttr
b
a
b
a
b
a
b
a
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
= òòòò
®
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
13
donde es una antiderivada de , es decir
Ejercicios: Calcular la integral indefinida de las siguientes funciones vectoriales.
i) r(t) = cost i + j
ii) r(t) = (t+1) i - t3 j
iii) r(t) = sent i + (1+cost) j
iv) r(t) = (1/t) i + 7j – (t2 – 1) k
v) r(t) = (2cost.sent) i + sec2t j – [1/(5-t)] k
vi) r(t) = (1/2t) i - !
√#$%!
k
Ejercicios: Calcular la integral definida de las siguientes funciones vectoriales con los límites que se
indican en cada caso.
i) r(t) = t3 i + 7j + (t +1) k para 0≤ t ≤ 1
ii) r(t) = (6 – 6t) i + 3√𝑡 j + (4/t2) k para 1≤ t ≤ 2
iii) r(t) = sent i + (1 +cost)j + sec2t k para - 𝜋/4≤ t ≤ 𝜋/4
iv) r(t) = [sect.tgt] i + tgtj + (2sent.cost) k para 0 ≤ t ≤ 𝜋/3
v) r(t) = (1/t) i + [1/(5-t)] j + (1/2t) k para 1 ≤ t ≤ 4
vi) r(t) = #
√#$%!
i + √&
#'%!
k para 0 ≤ t ≤ 1
6. APLICACIONES DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.
6.1. Aplicaciones geométricas.
b) Longitud de arco para una curva en el plano o en el espacio.
( ) ( ) ( )aRbRdttr
b
a
®®®
-=ò
®
R
®
r ( ) ( )trtR '
®®
=
a) Curva suave en el plano o en el espacio
Diremos que la curva representada por r(t) = f(t)i + g(t)j o r(t) = f(t)i + g(t)j + + h(t)k es suave en
un intervalo abierto I, si f´, g´ y h’ son continuas en I, y además r’(t) ≠ 0, para todo valor de t en el
intervalo I.
i) Si C es una curva suave dada por r(t) = x(t)i + y(t)j en un intervalo , la longitud de arco
de C sobre ese intervalo es:
Donde ;
ii) Si C es una curva suave dada por x(t)i + y(t)j + z(t)k en un intervalo , la longitud
de arco de C sobre ese intervalo es:
Donde ;
[ ]b,a
( ) ( )[ ] ( )[ ] dttytxdttrS
b
a
2'2'
b
a
' òò +==
®
( ) ( ) ( ) jtyitxtr ''' +=
®
( )[ ] ( )[ ] dttytxds 2'2' +=
( ) =
®
tr [ ]b,a
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]dttztytxdttrS
b
a
'2'2'
b
a
' òò ++==
®
( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtr '''' ++=
®
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] dttztytxds 2'2'2' ++=
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos
14
Ejercicios: Calcular la longitud de arco de:
i) a elipse dada por:
ii) el segmento de recta dado por
iii) de un giro completo de la hélice dada por
c) Interpretación Geométrica de la Derivada de una Función Vectorial
La derivada de una función vectorial se define como:
, si este límite existe.
Sea C la curva en el plano que es la representación gráfica de la función vectorial
r(t) = f(t)i + g(t)j
Sean P y Q dos puntos pertenecientes a C. El vector de posición correspondiente a P es r(t). El
vector de posición correspondiente a Q es r(t +Δt). El vector secante está representado por
r(t +Δt) - r(t).
Si el vector
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