Cálculo Santiago Relos

Vista previa del material en texto

Cálculo I.
Novena edición – 2016
Santiago Relos P.
Docente Titular de la Universidad Mayor de San Simón
Facultad de Ciencias y Tecnología
Cochabamba - Bolivia
©AMARU-learning
Esta página fue dejada intencionalmente blanca
Prólogo
Este trabajo pretende cumplir el siguiente objetivo: Ser un manual de aprendizaje para estu-
diantes que se inician en el estudio del Cálculo. Todo tema se inicia con definiciones precisas
y rigurosas, se demuestran los teoremas más importantes, se presentan numerosos ejemplos
y ejercicios resueltos, se termina con ejercicios propuestos con soluciones. La obra está escrita
de manera que el estudiante pueda continuar la clase del profesor.
En el capítulo I, se desarrolla la teoría de los números reales en forma parcial, se enuncian
los axiomas algebraicos y de orden para concebir el conjunto de los números reales. No se
desarrolla el axioma del supremo por no corresponder a los fines del curso, sin embargo, este
axioma se desarrolla en el apéndice, se desarrolla un método para resolver desigualdades con
una variable con y sin valor absoluto. En los capítulos II y III se desarrollan brevemente la
teoría de las funciones y luego los límites y continuidad de las funciones. Los capítulos IV y V
se refieren a la derivada y sus aplicaciones. Finalmente los restantes capítulos se refieren a la
integración y sus aplicaciones.
Deseo terminar esta presentación agradeciendo al departamento de Matemáticas en la perso-
na del ingeniero Mario Maldonado Terán por su constante apoyo en la publicación de textos
en el Departamento de Matemáticas. Al MSc. Roberto Zegarra Urquidi , director del progra-
ma MEMI por permitir la publicación de la primera edición, al MSc. Gualberto Cupé Clemen-
te por colaborar en la revisión de la primera edición de este texto, finalmente deseo agradecer
a los profesores y ayudantes del departamento de matemáticas de la facultad de Ciencias y
Tecnología de la Universidad Mayor de San Simón por sus múltiples sugerencias y su colabo-
ración en la difusión de este texto, también agradezco al profesor Walter Mora por permitirme
emplear su platilla LATEX, finalmente agradezco a mi familia por su apoyo y especialmente a mi
hija Laura por encontrar errores en todos los textos que escribo. Hacia ellos mi gratitud eterna.
Cochabamba, Mayo 2016. EL AUTOR
Esta página fue dejada intencionalmente blanca
Prólogo
Prólogo a la primera edición
Las matemáticas tienen cada vez más importancia para la ciencia e ingenierí́a y es fácil suponer que esta tendencia
continuará en el futuro. Los problemas de la ingenierí́a moderna son tan complejos que la mayor parte no se puede
resolver por la simple intuición f́ísica y la experiencia adquirida, de ahí́ que el objetivo y propósito más importante
en las matemáticas para ingenierí́a parece ser que el estudiante se familiarice con los conceptos matemáticos.
Debe adquirir conciencia de que las matemáticas no son una colección de artificios y recetas, sino una ciencia
sistemática de importancia práctica que se apoya en un número relativamente pequeño de conceptos básicos y
poderosos para la solución de problemas.
El propósito de este libro es el de proporcionar un texto guí́a para los estudiantes y docentes de ingenierí́a, ciencias,
y matemáticas y diremos que el libro ha sido escrito con el siguiente objetivo:
Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento de los tópicos y se desarrolle un interés, lo
cual se hace por medio de ayudas, como ejemplos, preguntas y problemas para discusión.
Esperamos que el presente texto no sólo sea comprensible, sino mas bien interesante y agradable al estudiante. El
capí́tulo 1, trata la presentación de conceptos básicos en el entendido de que el estudiante tiene conocimientos
de geómetrí́a anaĺítica elemental. El capí́tulo 2 estudia funciones en todas sus formas y composiciones, el capí́tulo
3 trata sobre ĺímites y continuidad para luego entrar a la derivada de una función junto con la interpretación geo-
métrica de la derivada y una discusión de la continuidad y de los ĺímites. Este material prepara al estudiante para
el estudio de la derivación de funciones variadas y de la regla de la cadena, conceptos de crecimiento, concavidad,
teorema del valor medio, temas necesarios para comprender problemas de máximos y mí́nimos. En el capí́tulo 5
se cita variadas aplicaciones que como se dijo agrade y estimule al alumno el uso de las matemáticas.
Luego de nociones preliminares de sumas, particiones, normas, se da una definición general de la integral definida
de una función sobre un intervalo cerrado y luego se ve las técnicas y métodos de integración, finalmente existen
muchos ejercicios de la aplicación de integrales relacionados con áreas planas, longitudes de arco, volúmenes, etc.
Finalizando con el estudio de las integrales tan necesarias cuando se manejan ciertos dominios.
Es digno reconocer el esfuerzo que significó al autor la edición de este texto, aprovechando la experiencia que tiene
en el departamento de matemáticas desde el año 1994, en el servicio permanente de la enseñanza en las distintas
carreras que tiene la Facultad de Ciencias y Tecnologí́a.
El profesor Santiago Relos P. es un joven profesional matemático con grado de Maestrí́a en Matemáticas obtenida
en la Universidad Católica del Norte de Antofagasta Chile, aprovechando una beca que le concedió el programa
MEMI de sus propósitos de capacitación docentes. Actualmente es docente a tiempo completo en la Facultad de
Ciencias y Tecnologí́a de la U.M.S.S., regentando materias tanto en las carreras de servicio como en la carrera
propiamente de matemáticas.
Cochabamba, septiembre de 1998
Ing. Mario Maldonado Terán
Jefe Depto. de Matemáticas FCyT UMSS
Derechos reservados © 2016
ÍNDICE GENERALNERAL
Prológo II Prológo III
1 LOS NÚMEROS REALES PÁGINA 3
1.1 La recta real 3
1.1.1 Axiomas iniciales 3
1.1.2 Axiomas de orden 7
1.1.3 Números Naturales, Enteros y Racionales 10
1.2 Intervalos 10
1.3 Valor absoluto 12
1.4 Resolución de desigualdades con una variable 17
1.5 Desigualdades con valor absoluto 24
2 FUNCIONES PÁGINA 31
2.1 Introducción 31
2.2 Funciones Especiales 36
2.2.1 Función Identidad 37
2.2.2 Funcion Constante 37
2.2.3 Función Valor Absoluto 37
2.2.4 La Función Lineal 38
2.2.5 Función Potencia 38
2.2.6 Función Polinomial 39
2.2.7 Las funciones Trigonométricas 40
2.2.8 La función Exponencial 40
2.2.9 La función Logarítmica 41
2.2.10La función mayor entero 42
2.2.11Funciones Hiperbólicas 42
2.3 Operaciones con funciones 43
2.3.1 Suma y Resta 43
2.3.2 Producto y División 43
2.3.3 Recíproco de una función 44
2.3.4 Composición de Funciones 44
2.4 La Inversa de una Función 47
2.4.1 Funciones Inyectivas y Sobreyectivas 48
2.4.2 Inversa de una función 50
2.4.3 Funciones trigonométricas inversas 53
2.4.4 Funciones Hiperbólicas inversas 54
VIII
2.5 Funciones Crecientes y Decrecientes 55
2.6 Funciones acotadas 57
2.7 Construcción de Funciones 60
2.8 Funciones a una variable con MatLab 66
2.8.1 Comando ezplot 66
2.8.2 Comando plot 67
2.8.3 Declaración de funciones 70
2.8.4 La función escalón de Heaviside 73
3 LÍMITES Y CONTINUIDAD PÁGINA 77
3.1 Introducción 77
3.2 Límite de una Función 78
3.2.1 Definición de Límite 79
3.2.2 Límites Laterales 80
3.2.3 Propiedades de Límites 81
3.3 Un algoritmo para demostrar Límites 84
3.3.1 Algoritmo �−δ (Epsilon-Delta) 84
3.4 La Definición de Continuidad de una Función 90
3.4.1 Continuidad en un Punto 90
3.4.2 Preservación del signo en funciones continuas 92
3.4.3 Teorema de Bolzano 92
3.4.4 El teorema del Valor Intermedio 92
3.5 Cálculo de Límites 95
3.5.1 El símbolo ∞ 95
3.5.2 Indeterminaciones 96
3.5.3 El paso al límite 96
3.6 Límites trigonométricos 101
3.7 Límites con Infinito 107
3.8 Un límite notable 112
3.9 Límites con MatLab 117
3.9.1 limit(función,var,p) 117
3.9.2 limit(función,var,p,’right’) 118
3.9.3 limit(función,var,p,’left’) 118
3.9.4 Funciones inline y el límiteĺım
h→0
f (x +h)− f (x)
h
119
4 CÁLCULO DIFERENCIAL PÁGINA 123
4.1 La Derivada de una función 123
4.2 Símbolos para representar la derivada 126
4.3 Los diez resultados fundamentales del Cálculo 126
4.3.1 Primer resultado fundamental 127
4.3.2 Segundo resultado fundamental 128
4.3.3 Tercer resultado fundamental 128
4.3.4 Cuarto resultado fundamental 128
4.3.5 Quinto resultado fundamental 129
IX
4.3.6 Sexto a noveno resultados fundamentales 129
4.3.7 Décimo resultado fundamental (La regla de la cadena) 130
4.4 Derivada con funciones trigonométricas 132
4.4.1 Derivada de la función tangente 132
4.4.2 Derivada de la función cotangente 133
4.4.3 Derivada de la función secante 133
4.4.4 Derivada de la función cosecante 133
4.5 Derivadas con la regla de la cadena 136
4.6 Derivada de las funciones hiperbólicas 138
4.7 Derivada de la función inversa 139
4.7.1 Derivadas de funciones trigonométricas inversas 139
4.7.2 Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas 140
4.8 Tabla generalizada de derivadas con notación diferencial 141
4.9 Derivadas de Orden Superior 143
4.10 Derivación Implícita y el cálculo de y ′ a partir de F
(
x, y
)= 0 146
4.11 La recta tangente y normal 149
4.11.1Recta tangente 149
4.11.2Recta normal 149
4.11.3Aplicación: Aproximación a funciones 154
4.11.4Aplicación: El método de Newton 155
4.12 La diferencial 157
4.12.1Incrementos 157
4.12.2Diferenciales 158
4.12.3La notación diferencial para la derivada 159
4.12.4Reglas para el cálculo de las diferenciales 159
4.12.5Aplicaciones de la diferencial 159
4.13 Derivada y recta tangente con MatLab 161
4.13.1Cálculo de la derivada con limit 161
4.13.2Cálculo de la derivada con diff 162
4.13.3La recta tangente 163
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA PÁGINA 167
5.1 Máximos y Mínimos 167
5.1.1 Introducción 167
5.1.2 Condición necesaria de existencia de máximo o mínimo local 169
5.1.3 Puntos críticos 171
5.1.4 Funciones crecientes, decrecientes y derivada 171
5.1.5 Criterio de la primera derivada 174
5.2 Teoremas de Valor Medio 178
5.3 Concavidad 182
5.4 Criterio de la segunda derivada 186
5.5 Maximos y mínimos con MatLab 189
5.5.1 El comando fminbnd 189
5.5.2 Máximos y mínimos locales con los comandos diff y solve 191
X
5.6 Problemas sobre Máximos y Mínimos 194
5.6.1 Problemas Geométricos 194
5.6.2 Problemas de construcción 199
5.6.3 Problemas de costos 204
5.6.4 El principio de Fermat 206
5.7 La Derivada como Razón de Cambio 219
5.8 Límites Indeterminados 224
5.8.1 La indeterminación 00 224
5.8.2 La indeterminación ∞∞ 227
5.8.3 Indeterminaciones 0 ·∞ e ∞−∞ 229
5.8.4 Casos 00, ∞0, 1∞ 230
5.9 Trazado de curvas algebraicas 235
5.9.1 Simetría 235
5.9.2 Intersecciones con los ejes 238
5.9.3 Campo de variación 238
5.9.4 Comportamiento cuando x →−∞ y x →∞ 239
5.9.5 Asíntotas 240
6 CÁLCULO INTEGRAL PÁGINA 249
6.1 Sumas 249
6.1.1 Sumatorias 249
6.1.2 Área como el límite de una suma 252
6.1.3 Funciones Integrables y la Integral Definida 258
6.1.4 Propiedades de la Integral Definida 260
6.1.5 La primitiva de una función 262
6.1.6 El Teorema Fundamental del Cálculo 263
6.1.7 Teorema del Valor Medio para integrales 264
6.1.8 Segunda forma del Teorema Fundamental del Cálculo 265
6.2 Métodos de integración 267
6.2.1 La integral indefinida 267
6.2.2 Fórmulas fundamentales de integración 268
6.2.3 Integración por sustitución 269
6.2.4 Integración por Partes 274
6.2.5 Integrales trigonométricas 277
6.2.6 Resumen de las fórmulas de reducción 286
6.2.7 Funciones racionales a dos variables 286
6.2.8 Cambios de variable trigonométricos 287
6.3 Integración por Fracciones Parciales 293
6.3.1 Preliminares algebraicos 293
6.3.2 Fracciones parciales 293
6.3.3 Cálculo de constantes en fracciones parciales 295
6.3.4 Integración por Fracciones parciales 296
6.4 Funciones racionales del tipo F
(
x,
�
ax +b
)
300
6.5 Funciones racionales del tipo F (sin x,cos x) 302
6.6 Integración con MatLab 305
6.7 Polinomios con MatLab 306
6.7.1 Polinomios en MatLab 306
6.7.2 Producto de polinomios 306
1
6.7.3 División de polinomios 307
6.7.4 Operaciones simbólicas con MatLab 307
6.7.5 Fracciones simples 309
6.7.6 Reconstrucción de una fracción 313
7 INTEGRALES IMPROPIAS PÁGINA 317
7.1 Integrales impropias de primera clase 317
7.1.1 Límite superior infinito 317
7.1.2 Límite inferior infinito 318
7.2 Integrales impropias de segunda clase 318
7.2.1 No acotada en el límite superior 318
7.2.2 No acotada en el límite inferior 319
8 CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS PÁGINA 325
8.1 Regiones acotadas 325
8.2 Cálculo de áreas 326
8.3 Dibujo de áreas planas con MatLab 336
9 LONGITUD DE ARCO PÁGINA 339
10 CÁLCULO DE VOLÚMENES PÁGINA 345
10.1 Método de los cilindros sólidos 345
10.2 Método de los cilindros huecos 349
11 APÉNDICE 1: EL AXIOMA DEL SUPREMO PÁGINA 357
11.1 Máximo y mínimo
357
11.2 Cota superior 357
11.3 Cota inferior 358
11.4 Mínima cota superior 358
11.5 Axioma 10 (el axioma del supremo)
359
11.5.1Máxima cota inferior 359
11.5.2La propiedad arquimediana 360
12 APÉNDICE 2: UN LÍMITE NOTABLE PÁGINA 363
Esta página fue dejada intencionalmente blanca
1 Los números reales
1.1 La recta real
En la larga historia de los números se pueden ver varias formas de introducir el estudio de los números
reales. Matemáticos como Karl Weierstrass (1815-1897), George Cantor (1845-1918) y Richard Dedekind
(1831-1916) se dedicaron a esta tarea. En 1889 el matemático italiano Guiseppe Peano (1858-1932) da
un listado de cinco axiomas para los enteros positivos. En este capítulo se da una breve introducción al
sistema de los números reales.
1.1.1. Axiomas iniciales
El Sistema de números reales es un conjunto R cuyos elementos se llaman números. Se asume la existen-
cia de dos operaciones llamadas adición y multiplicación denotados por + y · respectivamente tal que
con cada par de números x y y formamos la suma x + y que nuevamente es un número, similarmente
formamos el producto x · y (o x y) y nuevamente es un número. Lo anterior se indica diciendo que R es
cerrado para la operación suma y pr oducto. Aceptamos que la suma y producto están univocamente
determinadas, esto es, x + y , y x y son únicos. En R se satisfacen los siguientes axiomas:
Axioma 1 Conmutatividad. Para todo x, y ∈R
x + y = y +x, x y = y x
Axioma 2 Asociatividad. Para todo x, y, z ∈R
x + (y + z) = (x + y)+ z, x(y z) = (x y)z
Axioma 3 Distributividad. Para todo x, y, z ∈R
x(y + z) = x y +xz
Axioma 4(a) Existencia de la identidad. Existe un elemento en R denotado por 1 (es llamado uno)
tal que para todo x ∈R
x ·1 = x
4 Los números reales
Axioma 4(b) Existencia del neutro. Existe un elemento en R denotado por 0 (es llamado cer o) tal
que para todo x ∈R
x +0 = x
Axioma 5 Existencia de negativos. Para cada número x, existe un número y tal que
x + y = 0
Axioma 6 Existencia de recíprocos. Para cada número x �= 0, existe un número y tal que
x y = 1
Todas las leyes del álgebra elemental pueden deducirse a partir de los anteriores axiomas. A continuación
se muestran las más usuales.
Ley de cancelación
Teorema 1.1
Si a +b = a + c, entonces b = c, en particular, esto muestra que el número 0 del axioma 4(b) es
único.
Demostración. Supóngase que a + b = a + c. Por el axioma 5 existe un número y tal que
a+y = 0. Puesto que la suma está univocamente determinada se tiene y+(a +b) = y+(a + c).
Usando el axioma 2:
(
y +a)+b = (y +a)+c, de donde 0+b = 0+c, y por el axioma 4(b) b = c.
Observemos que si existe un otro número 0′ tal que 0′ +x = x para todo número x, entonces
en particular 0′+0 = 0, pero también por el axioma 4(b) 0+0 = 0, luego 0′+0 = 0+0, de donde
0′ = 0. Esto muestra que el cer o definido en el axioma 4(b) es único.
■
Posibilidad de sustracción
Teorema 1.2
Dados los números a,b existe un único número x tal que a + x = b. Este número se denota con
b−a. En particular 0−a se escribe como −a y es llamado Negativo de a (también se llama menos
de a).
Demostración. Existe un número y tal que a + y = 0. Sea x = b + y , entonces
a +x = a+ (b + y)
Ahora usando los axiomas 1 y 2 se deduce a +x = b + (a + y) , por tanto a +x = b +0, esto es,
a +x = b.
■
Observación. Observemos que a + (−a) = 0.
Los números reales 5
Teorema 1.3
Para todo a,b ∈R, b −a = b + (−a).
Demostración. Sea x = b − a, por definición de sustracción b = x + a. Sea y = b + (−a), en-
tonces
y +a = [b + (−a)]+a = b + [(−a)+a] = b +0 = b
de este resultado junto con x +a = b se concluye que x +a = y +a. Por la ley de cancelación
se tiene x = y , esto prueba el teorema.
■
Teorema 1.4
Para todo a ∈R se tiene − (−a) = a.
Demostración. Se tiene a+(−a) = 0, luego por definición a = 0−(−a), de donde el resultado
sigue.
■
Teorema 1.5
Para todo a ∈R se cumple a ·0 = 0.
Teorema 1.6
Para todo a,b ∈R se tiene a (−b) =−ab.
Demostración. ab +a (−b) = a [b + (−b)] = a0 = 0, luego a (−b) =−ab.
■
Teorema 1.7
Para todo a,b,c ∈R se verifica a (b − c) = ab −ac.
Demostración. a (b − c) = a [b + (−c)] = ab +a (−c) = ab −ac.
■
Ley de cancelación para la multiplicación
6 Los números reales
Teorema 1.8
Si ab = ac y a �= 0, entonces b = c. (En particular, esto muestra que el número 1 definido en 4(a) es
único).
Demostración. Supongamos que ab = ac. Por el axioma 6 existe un número y tal que ay = 1,
por tanto y(ab) = y(ac), esto es, (y a)b = (y a)c, luego 1b = 1c, de donde b = c.
■
Posibilidad de división
Teorema 1.9
Dados a,b con a �= 0, existe exactamente un x ∈R tal que ax = b. El número x es denotado por b
a
o
b/a y es llamado cociente de b y a, en particular,
1
a
es denotado por a−1 y es llamado el recíproco
de a.
Teorema 1.10
Si a �= 0, entonces b
a
= ba−1.
Teorema 1.11
Si a �= 0, entonces (a−1)−1 = a.
Teorema 1.12
Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.
Teorema 1.13
Si b �= 0 y d �= 0, entonces a
b
+ c
d
= ad +bc
bd
.
Teorema 1.14
Si b �= 0 y d �= 0, entonces a
b
· c
d
= a · c
b ·d .
Los números reales 7
Teorema 1.15
Si b �= 0,c �= 0 y d �= 0, entonces
a
b
c
d
= ad
bc
1.1.1.1. Ejercicios propuestos
1. Pruebe los teoremas que no presentan demostración.
Probar los siguientes resultados:
2. −0 = 0.
3. 1−1 = 1.
4. − (a +b) =−a −b.
5. − (a −b) =−a +b.
6. (a −b)+ (b − c) = (a − c).
7. Si b �= 0 y a �= 0, entonces (ab)−1 = a−1b−1.
8. Si b �= 0, −
(a
b
)
=
(−a
b
)
=
( a
−b
)
.
9. Si b �= 0 y d �= 0, entonces a
b
− c
d
= ad −bc
bd
.
10.
a
b
= c
d
si y solamente si ad = bc, bd �= 0.
1.1.2. Axiomas de orden
Los axiomas del (1) al (6) no dicen nada sobre “comparar ” los números en el sentido de “que núme-
ro es más grande que otro” cuando se toman dos números. En esta sección se presentan axiomas que
permitirán, en el anterior sentido, comparar dos números.
Supondremos la existencia de un subconjunto R+ ⊂R llamado el conjunto de los números positivos que
satisface los siguientes axiomas:
Axioma 7. Si x, y ∈R+ entonces x + y ∈R+ y x y ∈R+.
Axioma 8. Para cada real x : o x = 0 o x ∈ R+ o −x ∈ R+ de manera excluyente, es decir, se
cumple una y solamente una de las afirmaciones.
8 Los números reales
Se definen ahora los símbolos < (menor), > (mayor), ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual).
x < y significa y −x ∈R+
y > x significa x < y
x ≤ y significa y −x ∈R+∪ {0}
y ≥ x significa x ≤ y
Si x > 0, claramente x ∈ R+, esto es, x es positivo si y solo si x > 0. Si x ≥ 0 diremos que x es no negativo.
Si x < 0 diremos que x es negativo, el conjunto de los reales negativos se denota con el símbolo R− y está
definido por:
R− = {−x : x ∈R+} ,
los números x ≤ 0 se llaman no positivos.
Las propiedades más importantes, que son consecuencia de los anteriores axiomas, se presentan en los
siguientes teoremas.
Ley de la tricotomía
Teorema 1.16
Para dos números reales arbitrarios a,b ocurre exactamente una de las siguientes afirmaciones:
a = b o a < b, o b < a.
Demostración. Sigue del axioma 8 con x = b −a.
■
Ley transitiva
Teorema 1.17
Si a < b y b < c, entonces a < c.
Otros resultados
Teorema 1.18
Si a < b y c es un número arbitrario, entonces a + c < b + c.
Demostración. Por hipótesis a < b, entonces b − a ∈ R+, de donde (b + c)− (a + c) ∈ R+ de
donde a + c < b + c.
■
Los números reales 9
Teorema 1.19
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Demostración. Si a < b, b − a ∈ R+. Por otra parte si c < 0, −c ∈ R+ por tanto (−c) (b −a) =
ac −bc ∈R+, esto es, bc < ac, de donde se sigue con: ac > bc.
■
Teorema 1.20
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Teorema 1.21
Si a < b y c < d , entonces a + c < b +d .
Teorema 1.22
Si a �= 0, entonces a2 > 0.
Teorema 1.23
1 > 0.
Teorema 1.24
Si a < b, entonces −a >−b. En particular si a < 0, entonces −a > 0.
Teorema 1.25
Si ab > 0, entonces a y b ambos son positivos o ambos negativos.
Demostración. Supongamos que la conclusión del teorema es falsa, sin pérdida de gene-
ralidad podemos suponer que a < 0 y b > 0. De este hecho tenemos −a > 0 luego (−a)b =
− (ab) > 0, esto es contradictorio, luego a y b son ambos positivos o ambos negativos.
■
10 Los números reales
1.1.2.1. Ejercicios propuestos
1. Pruebe los teoremas que no presentan demostración.
Probar:
2. No existe un número real a tal que a2 +1 = 0.
3. La suma de dos números negativos es negativo.
4. Si a > 0, entonces 1
a
> 0; si a < 0, entonces 1
a
< 0.
5. Si 0 < a < b, entonces 0 < b−1 < a−1.
6. Si a ≤ b y b ≤ c, y a = c, entonces b = c.
7. Para todo a,b se tiene a2 +b2 ≥ 0. Si a y b no son ambos cero, entonces a2 +b2 > 0
8. No existe un número real a tal que x ≤ a para todo real x.
9. Si x tiene la propiedad de que 0 ≤ x ≤ h para cada real positivo h, entonces x = 0.
10. Si b ≥ 0, entonces x2 > b si y solamente si x >�b o x <−�b.
11. Si b ≥ 0, entonces x2 < b si y solamente si o −�b < x <�b.
1.1.3. Números Naturales, Enteros y Racionales
Existen en R ciertos subconjuntos, cuya existencia no se demuestra en este texto, por no corresponder a
un primer curso de Cálculo, estos conjuntos son los Naturales, Enteros y Racionales que se representan
respectivamente por N, Z, Q. Estos conjuntos son:
N= {1,2,3,4, ...}
Z= {...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, ...}
Q=
{
p
q
: p, q ∈ Z ∧ q �= 0
}
Observemos que N⊂Z⊂Q⊂R. Los números que están en R pero no en Q se llaman números irraciona-
les, este conjunto se representa por Qc . En el apéndice I se prueba que Qc �= �.
Para un estudio completo de los números reales, es necesario enunciar un ultimo axioma, este es llama-
do el axioma del supremo, que se puede ver en el apéndice I.
1.2 Intervalos
En cálculo, los conjuntos de uso más frecuente son los intervalos, estos se definen como conjuntos que
satisfacen ciertas desigualdades.
Definición 1.1
(Intervalo abierto) Dados dos números a,b tales que a < b. El conjunto {x ∈ R : a < x < b} se llama
intervalo abierto y se denota con (a,b), esto es,
(a,b) = {x ∈R : a < x < b} ,
Los números reales 11
su representación gráfica es:
a b
observemos que los números a y b no pertenecen al conjunto (a,b). También notemos que si
a = b, se tiene (a,b) =�.
Definición 1.2
(Intervalo cerrado) Dados dos números a,b tales que a ≤ b. El conjunto {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} se llama
intervalo cerrado y se denota con [a,b], esto es,
[a,b] = {x ∈R : a ≤ x ≤ b} ,
este conjunto se puede representar gráficamente del siguiente modo
a b
observemos que los números a y b pertenecen al conjunto [a,b].
Definición 1.3
(Intervalo semi-abierto o semi-cerrado) Dados dos números a,b tales que a ≤ b. Los conjuntos
[a,b) = {x ∈R : a ≤ x < b} y
(a,b] = {x ∈R : a < x ≤ b}
se llaman intervalos semi-abiertos o semi-cerrados. Gráficamente se representan respectivamente
por:
a b
a b
De manera similar definimos los intervalos infinitos:
(a,∞) = {x ∈R : x > a}
[a,∞) = {x ∈R : x ≥ a}
(−∞,b) = {x ∈R : x < b}
(−∞,b] = {x ∈R : x ≤ b}
(−∞,∞) =R,
gráficamente, estos intervalos se representan respectivamente por:
12 Los números reales
a ∞
a ∞
−∞ b
−∞ b
−∞ ∞
1.2.0.1. Ejercicios propuestos
En los siguientes ejercicios realizar las operaciones que se indican
1. (0,3)∩ (1,5) Sol.: (1,3)
2.
{[
1
2
,3
]
∪ [4,10)
}
∩ [2,8) Sol.: [2,3]∪ [4,8)
3.
[1
2
,3
]
∩ [4,10)∩ [2,8) Sol.: �
4.
[
1
2
,3
]
∪ {[4,10)∩ [2,8)} Sol.:
[
1
2
,3
]
∪ [4,8)
5.
(�
2,6
)∩ (π
2
,10
)
Sol.:
(π
2
,6
)
6. {(2,6)∪ (6,8]}∩
[
4,
√
200
2
]
Sol.: [4,6)∪ (6,8]
7. ∩∞k=1
[
1+ 1
k
,5+ 1
4
]
Sol.:
[
2,
21
4
]
8. ∩∞k=1
[
1− 1
k
,5+ 1
4
]
Sol.:
(
1,
21
4
]
1.3 Valor absoluto
El valor absoluto de un número es la distancia del número al cero, así el valor absoluto de 5 es 5, simi-
larmente, puesto que la distancia de −5 a 0 es 5, el valor absoluto de −5 es 5. De esta definición intuitiva
deducimos que el valor absoluto de un número es un número no negativo. A continuación definimos
formalmente el concepto de valor absoluto.
Los números reales 13
Definición 1.4
El valor absoluto de un número real a se define por la regla:
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Ejemplo 1.1 |5| = 5, |−7| = − (−7) = 7, |0| = 0
De la definición anterior, se deduce inmediatamente el siguiente teorema:
Teorema 1.26
Para cualquier a ∈R se tiene:
1. |a|2 = a2,
2. |a| = |−a|,
3. −|a| ≤ a ≤ |a|.
El valor absoluto además tiene las siguientes propiedades
|a| ≥ 0
|a| = 0 si y solo si a = 0
|a +b| ≤ |a|+ |b| para cualesquiera a,b ∈R
|ab| = |a| |b|
Establecemos estas propiedades en los siguientes teoremas. Se demuestran algunas, dejando al lector la
demostración de las restantes.
Teorema 1.27
Para cualquier a ∈R, |a| ≥ 0.
Teorema 1.28
|a| = 0 si y solo si a = 0.
1.3.0.2. Desigualdad triangular
Teorema 1.29
|a +b| ≤ |a|+ |b| para cualesquiera a,b ∈R
14 Los números reales
Demostración.
|a +b|2 = (a +b)2
= a2 +2ab +b2
= |a|2 +2ab +|b|2
≤ |a|2 +2 |a| |b|+ |b|2
= (|a|+ |b|)2
luego |a +b| ≤ |a|+ |b| .
■
Observación. Observemos que:
|a −b| = |a + (−b)|
≤ |a|+ |−b|
= |a|+ |b|
luego: |a −b| ≤ |a|+ |b| .
Teorema 1.30
Sea x,k ∈R, k > 0, entonces |x| ≤ k, si y solamente si
−k ≤ x ≤ k.
Teorema 1.31
Sea x,k ∈R, k > 0, entonces |x| ≥ k, si y solamente si
x ≤−k o x ≥ k.
Teorema 1.32
Para cualesquiera a,b ∈R, |a −b| ≥ |a|− |b|.
Demostración. En la demostración, se hace uso de la desigualdad triangular.
|a| = |(a −b)+ (b)|
≤ |a −b|+ |b|
luego |a −b| ≥ |a|− |b|.
■
Los números reales 15
Teorema 1.33
Para cualesquiera a,b ∈R, | |a|− |b| | ≤ |a −b|.
Demostración.
Por el teorema anterior |a|− |b| ≤ |a −b|. Por otra parte
|b|− |a| ≤ |b −a|
= |a −b|
de donde −|a −b| ≤ |a|− |b|, de estos resultados se tiene
−|a −b| ≤ |a|− |b| ≤ |a −b| ,
esto es:
||a|− |b|| ≤ |a −b| .
■
Teorema 1.34
Para todo a,b ∈R, |a +b| =
{
a +b si a ≥−b
−a −b si a <−b
1.3.0.3. Ejercicios resueltos
Ejercicio. Resolver |3x +5| = 2.
Solución. Por definición de valor absoluto:
|3x +5| =
{
3x +5 si 3x +5 ≥ 0
− (3x +5) si 3x +5 < 0
de donde:
|3x +5| =
⎧⎪⎨
⎪⎩
3x +5 si x ≥−5
3
− (3x +5) si x <−5
3
El número −5
3
divide a la recta real en dos intervalos, a saber,
(
−∞,−5
3
)
y
[
−5
3
,∞
)
, por tanto tenemos
dos casos a considerar:
(a) x ∈
(
−∞,−5
3
)
. En este caso la ecuación a resolver es:
− (3x +5) = 2
resolviendo, encontramos la solución x =−7
3
∈
(
−∞,−5
3
)
.
16 Los números reales
(b) x ∈
[
−5
3
,∞
)
. En este caso la ecuación a resolver es:
3x +5 = 2
resolviendo, encontramos la solución x =−1 ∈
[
−5
3
,∞
)
.
De (a) y (b) concluimos que la solución es el conjunto:{
−7
3
,−1
}
.
Método abreviado. Consiste en ignorar los intervalos en donde se está trabajando, aunque en este caso,
debemos comprobar que los números obtenidos realmente sean solución de la ecuación dada. En el
ejemplo, tenemos dos posibilidades:
(a) 3x +5 < 0. En este caso se tiene − (3x +5) = 2, de donde x = −7
3
, este número satisface la ecuación
dada.
(b) 3x+5 ≥ 0. En este caso se tiene 3x+5 = 2, de donde x =−1, este número también satisface la ecuación
dada.
De (a) y (b) la solución es el conjunto
{−7
3
,−1
}
.
Ejercicio. Resolver
∣∣x2 −4x +3∣∣= 3.
Solución. Usaremos el método abreviado. Tenemos dos casos:
(a) x2−4x+3 < 0, en este caso ∣∣x2 −4x +3∣∣=−(x2 −4x +3) , por tanto la ecuación dada se puede escribir
como:
−(x2 −4x +3)= 3,
esto es,
x2 −4x +6 = 0.
La última ecuación encontrada no tiene raíces, por tanto, en este caso la solución es �.
(b) x2 −4x +3 ≥ 0, en este caso ∣∣x2 −4x +3∣∣ = x2 −4x +3, por tanto la ecuación dada se puede escribir
como:
x2 −4x +3 = 3,
esto es,
x2 −4x = 0.
La última ecuación encontrada tiene por solución al conjunto {0,4}. Los elementos de este con-
junto satisfacen la ecuación dada, por tanto la solución al problema es �∪ {0,4} = {0,4} .
Los números reales 17
1.3.0.4. Ejercicios propuestos
1. Demostrar los teoremas que no presentan demostración.
2. Resolver:
∣∣x2 −x −2∣∣= 2,
Sol.: x = 1
2
+ 1
2
�
17, x = 1
2
− 1
2
�
17, x = 0, x = 1.
3. Resolver: |x +1|+2x −5 = x,
Sol.: x = 2.
4. Resolver:
2+|4x −2|
3x
= 1,
Sol.: �
5. Resolver:
∣∣x2 +4x −22∣∣= 1,
Sol.: x =−2+3�3, x =−2−3�3, x = 3, x =−7.
6. Resolver:
∣∣x2 +4x −10∣∣
2x
= 1,
Sol.: x =�19−3, x =�11−1.
7. Resolver: |x +1|+ |x +2|+ |x +3| = 6,
Sol.: x = 0, x =−4.
8. Resolver:
∣∣x2 −1∣∣+ ∣∣x2 −4∣∣= 5,
Sol.: x =±�5, x = 0.
9. Resolver:
∣∣x2 −1∣∣+ ∣∣x2 −2∣∣= 3,
Sol.: x =±�3, x = 0.
10. Resolver:
∣∣x3∣∣+x −10 = 0,
Sol.: x = 2.
11. Si |a|+ |b|+ |c| = 0, entonces a = b = c = 0
12. Demostrar: |ab| = |a| |b|
13. Demostrar: |an | = |a|n
14. Demostrar: ||a|− |b|| ≤ |a −b|
1.4 Resolución de desigualdades con una variable
Resolver una desigualdad, es encontrar valores que satisfacen la desigualdad dada, esto es, al reem-
plazar dichos valores en lugar de la variable se obtiene una afirmación verdadera. En esta sección, via
ejercicios, se darán algunas técnicas para resolver desigualdades.
18 Los números reales
Definición 1.5
(puntos clave o puntos críticos algebraicos) Dada una expresión φ (x), denominaremos los pun-
tos clave de φ en un intervalo (L,U ) a L, U y aquellos puntos que cumplen una de las siguientes
condiciones.
1. Los números x de (L,U ) tal que φ (x) no está definida.
2. Las raíces de φ, esto es, los números x en donde φ (x) = 0.
Observación. Si no se dice nada acerca del intervalo
en donde se encuentra definida φ se asume L =−∞, U =∞.
Dos puntos clave a,b serán llamados sucesivos si en el intervalo (a,b) no existe otro punto clave.
Teorema 1.35
Sea φ (x) una expresión algebraica en la variable x. Sea (a,b) un intervalo formado con dos puntos
clave sucesivos de φ. Entonces φ (x) es estrictamente positiva o estrictamente negativa en todo el
intervalo (a,b) .
Observación. El teorema muestra, que es suficiente tomar un punto en cada intervalo formado con dos
puntos sucesivos para calcular el signo en dicho intervalo. El punto que se toma es arbitrario, solo hay
que cuidar que se encuentre dentro del intervalo que se está analizando.
Ejemplo 1.2 Consideremos φ (x) = 2x + 4 definida en R. Los puntos clave son −∞,−2,∞. Por tanto
podemos formar los siguientes intervalos: (−∞,−2) y (−2,∞). Por el teorema precedente φ será positiva
o negativa en cada uno de los intervalos, así es suficiente averiguar el signo en algún punto de cada uno
de los intervalos.
1. Intervalo (−∞,−2) . Tomemos el punto −10 ∈ (−∞,−2) , en este punto
φ (−10) = 2(−10)+4 =−16 < 0,
por tanto en (−∞,−2) se tiene: 2x +4 < 0.
2. Intervalo (−2,∞) . Tomemos el punto 0 ∈ (−2,∞) , en este punto
φ (0) = 2(0)+4 = 4 > 0,
por tanto en (−2,∞) se tiene: 2x +4 > 0.
Presentamos a continuación, el resumen del análisis anterior
−∞ −2 ∞
− +
Los números reales 19
Ejemplo 1.3 Consideremos φ (x) = x
x2 −9 . Los puntos clave son
−∞,−3,0,3,∞.
Por tanto se tienen los siguientes intervalos a analizar:
1. Intervalo (−∞,−3) . Con x =−10 : φ (−10) = −10
100−9 < 0.
2. Intervalo (−3,0) . Con x =−2 : φ (−2) = −2
4−9 > 0.
3. Intervalo (0,3) . Con x = 2 : φ (2) = 2
4−9 < 0.
4. Intervalo (3,∞) . Con x = 10 : φ (10) = 10
100−9 > 0.
En el siguiente cuadro presentamos el resumen del análisis anterior.
−∞ −3 0 3 ∞
− + − +
Observación. Debemos observar que los signos van intercalados, esto en general no es cierto, como se
muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.4 Sea φ (x)= (x −5)2 (x +3) . Los puntos clave resultan ser:
−∞,−3,5,∞.
Por tanto los intervalos a analizar son:
1. Intervalo (−∞,−3) : Tomamos x =−10 y entonces φ (−10) =−1575 < 0
2. Intervalo (−3,5) : Tomamos x = 0 y entonces φ (0) = 25 > 0.
3. Intervalo (5,∞) : Tomamos x = 10 y entonces φ (10) = 325 > 0.
Así tenemos:
−∞ −3 5 ∞
− + +
Observación importante.
Si un punto clave viene de un factor elevado a una potencia par, entonces alre_
dedor de este punto los signos de la expresión algebraica no pueden cambiar. Si
el punto clave viene de una potencia impar, el signo cambia.
20 Los números reales
Ejemplo 1.5 Consideremos ahora el siguiente problema: Resolver
x2 −5
x −1 > 0.
Solución. Sea φ (x) = x
2 −5
x −1 =
(
x −�5)(x +�5)
x −1 , los puntos clave son{
−∞,−�5,1,�5,∞
}
Puesto que φ (x) está es su forma factorizada, es suficiente hallar el signo en un intervalo,
pues todos los demás signos se deducen a partir de este signo. en el intervalo
(−∞,−�5) ,
con x =−10, φ (−10) = 100−5−10−1 < 0. Los demás signos van intercalados, pues todos los puntos
clave vienen de factores elevados a una potencia impar.
−∞ −�5 1 �5 ∞
− + − +
Por tanto la solución al problema dado, es el conjunto de puntos en donde φ es mayor a
cero, esto es:
S =
(
−�5,1
)
∪
(�
5,∞
)
.
Ejemplo 1.6 Resolver 2x2 +x −6 ≥ 0
Solución. Factorizando
2x2 +x −6 = (x +2)(2x −3) ,
así los puntos clave de φ (x) = 2x2 +x −6 son{
−∞, −2, 3
2
, ∞
}
.
nuevamente todos los puntos clave vienen de factores con potencia impar.
En el intervalo (−∞.−2), φ (−10) = (−10+2)(−20−3) > 0.
−∞ −2 3
2
∞
+ − +
Por otra parte los números −2 y 3
2
son soluciones del problema, por tanto la solución del
problema es:
S = (−∞,−2)∪
(
3
2
,∞
)
∪
{
−2, 3
2
}
= (−∞,−2]∪ [3/2,∞)
Los números reales 21
Ejercicio. Resolver x3 −3x +2 ≥ 0
Solución. Con φ (x) = x3 −3x +2, factorizando se encuentra:
φ (x) = (x +2)(x −1)2 ,
luego, los puntos clave son:
{−2,1}
el punto clave x = 1 viene del factor (x −1)2, que tiene potencia par, entonces los signos
alrededor de este punto no cambian.
En el intervalo (−∞,−2), con x =−10 se tiene φ (x) = (−8)(−11)2 < 0, luego los signos son:
−∞ −2 1 ∞
− + +
Luego la solución es: S = [−2,∞) .
Observación. Si se reemplaza ≥ por >, la solución es (−2,1)∪ (1,∞) . ¿porque?
Ejercicio. Resolver:
1
x −1 +
2
x
−2 ≤ 0.
Solución. La desigualdad dada se puede escribir como
(2x −1)(x −2)
x (x −1) ≥ 0
Los puntos clave de φ (x) = (2x −1)(x −2)
x (x −1) son:{
−∞, 0, 1
2
, 1, 2, ∞
}
,
todos estos puntos vienen de factores con potencia impar
En (−∞,0) tomamos x =−1, φ (−1) = (−3)(−3)
(−1)(−2) > 0, por tanto los signos son:
−∞ 0 1/2 1 2 ∞
+ − + − +
Por lo anterior y tomando en cuenta que la desigualdad es del tipo ≥ la solución es:
S = (−∞,0)∪
[
1
2
,1
)
∪ [2,∞) .
22 Los números reales
1.4.0.5. Ejercicios propuestos
Resolver:
1. 2x3 −7x2 −5x +4 > 0. Sol.:
(
−1, 1
2
)
∪ (4,∞) .
2. (4x −15)3 (x −1) < 0. Sol.:
(
1,
15
4
)
.
3. 9x4 −36x3 +47x2 −24x ≥−4. Sol.:
(
−∞, 1
3
]
∪
[
2
3
,1
]
∪ [2,∞) .
4.
(x −2)3 (x −4)8
x4 −x2 > 0. Sol.: (−1,0)∪ (0,1)∪ (2,4)∪ (4,∞)
5.
x
x2 +1 +
1
2x
−x ≥ 0. Sol.: (−∞,−1]∪ (0,1]
6.
1
x
− x
x −2 ≤ 0. Sol.: (−∞,0)∪ (2,∞)
7.
x
x2 +1 +
1
2x
≥ 1. Sol.: (0,1]
8. x4 −9 ≥ 7. Sol.: (−∞,−2]∪ [2,∞)
9.
x2 +x −9
x
> 1. Sol.: (−3,0)∪ (3,∞) .
10. (x −1)(x −2)
(
1− 1
x
)
> 0. Sol.: (−∞,0)∪ (2,∞) .
11.
1
x −2 +
2x
x −1 −1 ≥ 0. Sol.:
(−∞,−�3]∪ (2,∞)∪ (1,�3] .
12. x6 +4x2 −5 ≤ 0. Sol.: [−1,1] .
13.
1
x
+ 2
x2
> 3. Sol.:
(
−2
3
,0
)
∪ (0,1) .
14.
1
x4
+ 1
x3
+ 1
x2
> 0. Sol.: x �= 0.
15. x2 − 3x
2
x −1 < 0. Sol.: (1,4) .
16.
(
x2 −1)(x2 −4)
x2 −9 ≤ 0. Sol.: (−3,2]∪ [−1,1]∪ [2,3) .
17.
1
x
+ 1
x −2 < 0. Sol.: (−∞,0)∪ (1,2)
18.
1
x
+ 1
x −2 +
1
x −4 < 0. Sol.: (−∞,0)∪
(
2− 2
�
3
3 ,2
)
∪
(
2+ 2
�
3
3 ,4
)
.
Los números reales 23
19. Resolver:
1
x
− 1
x2
< a, donde a es un número real no nulo.
Sol.: (i) Si a ∈ (−∞,0) . x �= 0, x ∈
(
1+�1−4a
2a ,
1−�1−4a
2a
)
, (ii) a ∈ (0, 14 ) . x �= 0, x ∈ (−∞, 1−�1−4a2a )∪(
1+�1−4a
2a ,∞
)
.
20. Resolver la desigualdad ax2 +bx + c ≤ 0 donde a > 0. Considere los siguientes casos:
a) ax2 +bx + c = a (x − r1)(x − r2) donde r1,r2 ∈R y r1 < r2.
b) ax2 +bx + c = a (x − r1)(x − r2) donde r1,r2 ∈R y r1 = r2.
c) b2 −4ac < 0.
21. (Signos-AMARU SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =−5x2 −3+ 1
x +1 −
4
x −2 .
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞,−1,−0,78452,0,1,7845,2,∞}.
−∞ −1−0,78452 0 1,78452 ∞
− + − − + −
Paso intermedio, posiblemente sin simplificar f (x) = x
2
(−5x2 +5x +7)
(x +1)(x −2)
22. (Signos-AMARU SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) = −4x
2 −2x +3
x −3 +
−9
3x −9 .
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞,−0,5,0,3,∞}.
−∞ −0,5 0 3 ∞
+ − + −
23. (Signos-AMARU SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) = −5
x2 +4x +
−2
x +4 .
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞,−4,−2,5,0,∞}.
−∞ −4 −2,5 0 ∞
+ − + −
24 Los números reales
24. (Signos-AMARU SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) = 5x
x2 +5x +
6
x +6 .
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞,−6,−5,4545,−5,0,∞}.
−∞ −6−5,4545−5 0
∞
− + − + +
25. (Signos-AMARU SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
x +2
x2 −x +
3
x −1 +2.
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞,0,1,∞}.
−∞ 0 1
∞
+ − +
26. (Signos-AMARU SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) = 9
x −3 +
4
(x −2)2 +2.
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞,0,2,2,5,3,∞}.
−∞ 0 2 2,5 3
∞
+ + + − +
Función factorizada, posiblemente sin simplificar f (x) = x
2 (2x −5)
(x −3)(x −2)2
1.5 Desigualdades con valor absoluto
Cuando se presentan desigualdades en donde se presentan expresiones con valor absoluto. La solución
se encuentra eliminando el símbolo de valor absoluto. Para el caso de factores lineales debemos tomar
en cuenta un simple hecho: Para cualquier número a el signo de x − a es positiva si x está a la derecha
de a y negativa si está a la izquierda.
Ejemplo 1.7 Eliminaremos el valor absoluto en la expresión |x +5|+2. Para este fin, tomemos en cuenta
el siguiente gráfico:
Los números reales 25
−∞ −5 ∞x x
si x está en este intervalo︷ ︸︸ ︷
x +5 < 0
si x está en este intervalo︷ ︸︸ ︷
x +5 > 0
entonces:
|x +5|+2 =
{
− (x +5)+2 x ∈ (−∞,−5)
(x +5)+2 x ∈ [−5,∞)
1.5.0.6. Ejercicios resueltos
Ejercicio. Resolver |x +2|+ |x −2|+x −5 ≥ 0
Solución. Usando la definición de valor absoluto, la expresión situada a la izquierda de la desigual-
dad se puede escribir sucesivamente como: x ∈ (−∞,−2)
−∞ x −2 2 ∞
En este caso x +2 < 0 y x −2 < 0, es decir:
|x +2|+ |x −2|+x −5 =− (x +2)− (x −2)+x −5
x ∈ [−2,2)
−∞ −2 x 2 ∞
En este caso x +2 > 0 y x −2 < 0:
|x +2|+ |x −2|+x −5 = (x +2)− (x −2)+x −5
x ∈ [2,∞)
−∞ −2 2 x ∞
|x +2|+ |x −2|+x −5 = (x +2)+ (x −2)+x −5
Resumiendo:
|x +2|+ |x −2|+x −5 =
⎧⎪⎨
⎪⎩
− (x +2)− (x −2)+x −5 x ∈ (−∞,−2)
(x +2)− (x −2)+x −5 x ∈ [−2,2)
(x +2)+ (x −2)+x −5 x ∈ [2,∞)
,
26 Los números reales
realizando operaciones algebraicas, lo anterior queda:
|x +2|+ |x −2|+x −5 =
⎧⎪⎨
⎪⎩
−x −5 x ∈ (−∞,−2)
x −1 x ∈ [−2,2)
3x −5 x ∈ [2,∞)
,
encontramos ahora las soluciones en los intervalos (−∞,−2), [−2,2), [2,∞). Luego de esto, la solu-
ción final será la unión de las soluciones encontradas en cada uno de los intervalos mencionados.
(a) Caso x ∈ (−∞,−2) . En este caso debemos resolver: −x −5 ≥ 0 los puntos clave de φ1 (x) =−x −5
son
−∞,−5,−2,
un análisis de signos da la solución parcial: (−∞,−5] .
(b) Caso x ∈ [−2,2) . En este caso se resuelve: x −1 ≥ 0, encontrándose la solución parcial: [1,2) .
(c) Caso x ∈ [2,∞) . En este caso se resuelve: 3x − 5 ≥ 0, la solución parcial que se encuentra es:
[2,∞) .
De lo anterior concluimos que la solución es:
(−∞,−5]∪ [1,2)∪ [2,∞) = (−∞,−5]∪ [1,∞) .
El gráfico de |x +2|+ |x −2|+x −5 es:
x
y
−2 2−1
y = |x +2|+ |x −2|+x −5
Ejercicio. Resolver |x +2|− |x −2|+x2 ≤ 0.
Solución.La parte izquierda de la desigualdad, se puede escribir de la siguiente manera:
|x +2|− |x −2|+x2 =
⎧⎪⎨
⎪⎩
x2 −4 x ∈ (−∞,−2)
x2 +2x x ∈ [−2,2)
x2 +4 x ∈ [2,∞)
(a) x ∈ (−∞,−2) . Se resuelve x2 −4 ≤ 0. Solución parcial: �.
Los números reales 27
(b) x ∈ [−2,2) . Se resuelve: x2 +2x ≤ 0. Solución parcial: [−2,0]
(c) x ∈ [2,∞) . En este caso claramente x2+4 > 0 para todo x ∈ [2,∞) , así en este caso la solución parcial
es: �.
De lo anterior concluimos que la solución es:
�∪ [−2,0]∪�= [−2,0]
El gráfico de |x +2|− |x −2|+x2 es:
x
y
−2 2
y = |x +2|− |x −2|+x2
Ejercicio. Resolver
|x +2|− |x −2|+x2
x −5 ≤ 0.
Solución. Resolviendo como en el anterior caso encontramos que la solución es el conjunto: (−∞,−2]∪
[0,5). El gráfico de
|x +2|− |x −2|+x2
x −5 en el intervalo [-3,3] es:
x
y
−2 2
y = |x +2|− |x −2|+x2
Ejercicio. Resolver
∣∣x2 −2x −3∣∣−x2 ≥ 0.
28 Los números reales
Solución. Un cálculo da:
∣∣x2 −2x −3∣∣=
{
x2 −2x −3 si x ∈ (−∞,−1]∪ [3,∞)
−(x2 −2x −3) (−1,3)
luego, ∣∣x2 −2x −3∣∣−x2 =
{
x2 −2x −3−x2 si x ∈ (−∞,−1)∪ [3,∞)
−(x2 −2x −3)−x2 si x ∈ [−1,3)
realizando operaciones algebraicas lo anterior queda como:
∣∣x2 −2x −3∣∣−x2 =
{
−2x −3 si x ∈ (−∞,−1)∪ [3,∞)
−2x2 +2x +3 si x ∈ [−1,3)
(a) x ∈ (−∞,−1]∪ [3,∞) . Solución parcial: (−∞,−3/2] .
(b) x ∈ [−1,3) . Solución parcial:
[
1−�7
2 ,
1+�7
2
]
.
De (a) y (b) la solución es (
−∞,−3
2
]
∪
[
1−�7
2
,
1+�7
2
]
Ejercicio. Resolver:
|x −14|
x2 −4 +5 ≥ 0.
Solución. Usando la definición de valor absoluto, encontramos:
|x −14|
x2 −4 +5 =
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
−x +14
x2 −4 +5 si x ∈ (−∞,14)
x −14
x2 −4 +5 si x ∈ [14,∞)
(a) x ∈ (−∞,14) . Solución parcial:
(−∞,−2)∪
[
−1, 6
5
]
∪ (2,14)
(b) x ∈ [14,∞) . Solución parcial:
[14,∞) .
De (a) y (b) concluimos que la solución es:
(−∞,−2)∪
[
−1, 6
5
]
∪ (2,14)∪ [14,∞) ,
esto es,
(−∞,−2)∪
[
−1, 6
5
]
∪ (2,∞) .
Los números reales 29
1.5.0.7. Ejercicios propuestos
Resolver las siguientes desigualdades.
1.
∣∣∣∣ 1x +1
∣∣∣∣< 1. Sol.: (−∞,−2)∪ (0,∞).
2.
x |x −3|− |x +3|∣∣x2 −4∣∣−4 > 0 en el intervalo [0,∞) . Sol.: (0,
�
8
)∪ [2+�7,∞)
3.
|2x +3|−x |x|
|x −1| > 0. Sol.: (−∞,1)∪ (1,3)
4. |4 |x|−4|−x2 +1 < 0. Sol. [−3,3]
5.
|x −5|
x −2 +x −5 ≥ 0. Sol.: (2,3]∪ [5,∞) .
6. |x +1|+x |x −5|−2 ≤ 0. Sol.: (−∞,3−2�2] .
7. |2x −1|+ |4x −5|−8 ≥ 0. Sol.:
(
−∞,−1
3
]
∪
[
7
3
,∞
)
.
8.
3+|2x +5|+x
x
≥ 3. Sol.: (0,∞).
9. −6+|3x −1|x −2x > 0. Sol.: (2,∞).
10. |2x +1|+3x −|5x −3| > 3. Sol.:
(
1
2
,∞
)
.
11. |2x +1|−3x −|5x −3| < 0. Sol.:
(
−∞, 1
2
)
∪
(
2
3
,∞
)
.
12.
∣∣x2 −4∣∣+3x ≤ 5. Sol.:
[
−3−3�5
2
,
3−�5
2
]
.
13.
∣∣x2 −9∣∣−2 |x|+x < 10. Sol.:
(
−3−�85
2
,
1+�77
2
)
14.
|x (x +3)|
|x +1| ≥ 2. Sol.:
(
−∞, −5−
�
17
2
]
∪ [−2,−1)∪
(
−1, −5+
�
17
2
]
∪ [1,∞)
15.
|2x|−5 |x +2|+x2 −x
|x|+x > x. Sol.: �
16.
|x −2|− |x +2|
x
< 0. Sol.: (−∞,0)∪ (0,∞)
17. |x|+ |x +1| ≤ 2., Sol.:
[
−3
2
,
1
2
]
18. |x|+ |x +1|+ |x +2| ≤ 4, Sol.:
[
−7
3
,
1
3
]
.
19. |x|+ |x +1|+ |x +2|+ |x +3| ≤ 7. Sol.:
[
−13
4
,
1
4
]
30 Los números reales
20.
∑n
k=0 |x +k| ≤
n (n +1)
2
+1, n ∈ N. Sol.: (Conjetura: ¿Es la solución el intervalo
[
−n (n +1)+1
n +1 ,
1
n +1
]
?
21. |x|7 + ∣∣x5 −1∣∣≥ 0. Sol.: R
22. |x|+ |x −1|+x < 0. Sol.: �
23. |x|− |x −1|+x ≥ 0. Sol.:
[
1
3
,∞
)
24.
1
|x| −x
2 ≥ 0. Sol.: [−1,0)∪ (0,1]
25.
1
|x| − |x|+1 ≤ 0. Sol.:
(
−∞, −1−
�
5
2
]
∪
[
1+�5
2
,∞
)
26.
∣∣∣∣x − 12
∣∣∣∣+2x > 2. Sol.: (56 ,∞)
27. x2 + ∣∣x2 −4x +3∣∣+|x|−3 ≤ 0. Sol.: [0, 6
5
]
28. 2x |x|− ∣∣x2 −1∣∣−3x +1 ≥ 0. Sol.: [−1
2
− 1
6
�
33,0
]
∪ {1}∪ [2,∞)
29.
|x|∣∣x2 +1∣∣ + 12 |x| −1 ≥ 0. Sol.: [−1,0)∪ (0,1]
30.
1
|x +1| −
1
|x| +
1
|x −1| ≥ 0. Sol.:(−∞,−1)∪
(−1,1−�2]∪ [−1+�2,1)∪ (1,∞)
31.
x +x −2
2+|x −3| < 3. Sol.: R
32.
1
|x +1| +
1
x
≥ 2. Sol.:
[
−1
2
− 1
2
�
3,−1
)
∪
(
−1,−1
2
�
2
]
∪
(
0,
1
2
�
2
]
33.
∣∣x7 +33x2 +27∣∣+|x|+x6 < 0. Sol.: �.
34.
|2x −1|+2x −1
|x +1|+x +1 ≥ 0. Sol.:
[
1
2
,∞
)
2 Funciones
2.1 Introducción
El concepto de función fue introducida en matemáticas por Leibniz. En esta sección se dará una des-
cripción intuitiva del concepto de Función.
Sean X ,Y conjuntos. Una función, es una correspondencia de los elementos de X con los elementos de
Y tal que a cada x ∈ X le corresponde un y solamente un elemento de Y .
Ejemplo 2.1 Sea X un conjunto de personas, Y = Z, (recuerde Z es el conjunto de enteros). Conside-
remos la siguiente correspondencia entre estos dos conjuntos: A cada persona de X le corresponde su
edad. Claramente esta correspondencia es una función.
Ejemplo 2.2 Sea X =N, Y un conjunto de familias de cierta comunidad. Consideremos la siguiente co-
rrespondencia: A cada número de n ∈ N le corresponde una familia de Y con exactamente n miembros.
Esta correspondencia, en general no es una función, pues pueden existir familias con el mismo número
de miembros.
Ejemplo 2.3 Si X es el conjunto de todas las familias y Y =N ¿es función la siguiente correspondencia?:
A cada familia, le corresponde el número de miembros de la familia.
Notación Para denotar una función usaremos letras como f , g u otra letra. Si x ∈ X y a x le corresponde
y ∈ Y , y la letra usada es f escribiremos
f (x) = y ó x f→ y
y diremos que la “imagen” de x por la función f es f (x).
32 Funciones
X Y
f
x f (x)
Para decir que f es una función de X en Y escribiremos f : X → Y , el conjunto X se llamará dominio de
f y se denotará con D f , el conjunto Y se llamará codominio de f y se denotará con C f . Los valores de
y ∈ Y tales que son imagenes de algún x ∈ X forman el conjunto que se llamará rango de f y se denotará
con R f , es claro que R f ⊂C f . Gráficamente:
Rango
Codominio
Observemos que ningún elemento del dominio de una función puede carecer de imagen.
Finalmente observemos que una función1 f : X → Y consta de tres partes:
1. El conjunto X llamado dominio,
2. el conjunto Y llamado codominio y
1Formalmente una función se define de la siguiente manera:
Sean X ,Y conjuntos. Una función f de X en Y denotado por f : X → Y es el conjunto de pares ordenados
f =
{(
x, f (x)
)
: x ∈ D f
}
tales que:
Para todo x ∈ X , existe un y ∈ Y tal que f (x) = y
Para cualesquiera x0, x1 ∈ X , si x0 = x1 entonces f (x0) = f (x1) .
Observemos que f ⊂ X ×Y , además claramente: (x, y) ∈ f significa y = f (x).
Funciones 33
3. una regla que permita asociar, de modo bien determinado (único) un elemento x ∈ X con un ele-
mento y = f (x) ∈ Y .
Ejemplo 2.4 Sea P el conjunto de todos los polígonos del plano, R el conjunto de números reales y
f : P →R una función que asocia a cada polígono x en P su área f (x).
Ejemplo 2.5 Sea R+el conjunto de los reales positivos, C el conjunto de cuadrados en el plano. f : R+ →
C es la correspondencia que a cada x ∈ R+ le hace corresponder un cuadrado en C tal que su área sea
x. Es claro que f no puede ser función pues por ejemplo para x = 1 se tienen varios cuadrados como
imagen tal como se muestra a continuación.
Reales positivos
Plano
1
2
3
1
Del gráfico, f (1) es el cuadrado con vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), pero también f (1) puede ser el cua-
drado con vertices (0,2), (1,2), (1,3), (0,3) pues ambos cuadrados tienen área igual a 1.
Ejemplo 2.6 Sean X = Y =R, considérese la función que asigna a cada elemento x de X el elemento x2
de Y , entonces tenemos f (x) = x2 para cada x ∈R. El gráfico en coordenadas cartesianas es:
f (x) = x2
x
y
1
2
−2 −1 1 2
Ejemplo 2.7 Se presenta un ejemplo de una correspondencia de conjuntos que no es función.
Sea A = {a,b,c}, B = {u, v}. Consideremos la correspondencia
a �−→ u
b �−→ v
c �−→ u
c �−→ v
No puede ser función, pues f (c) = u y f (c) = v , asi el elemento c tendría dos imagenes, lo que no está de
acuerdo con la definición de función.
34 Funciones
X Y
a
b
c
u
v
Ejemplo 2.8 Sea X = {a,b,c,d , }, Y = {u, v, w}, ¿es función la siguiente correspondencia?
X Y
a
b
c
d
u
v
w
No puede ser función, pues d ∈ X no tiene imagen en Y . Si asignamos f (d) = w obtenemos:
X Y
a
b
c
d
u
v
w
que es una función.Intuitivamente observemos que del codominio X no pueden salir “dos flechas” de
un mismo elemento, sin embargo a un elemento de Y pueden llegarle ”más de una flecha ” sin perder la
condición de función.
Ejemplo 2.9 Sea f la correspondencia de números reales definida por f (x) =
�
4−x2, encontrar D f ,
C f y R f y bosquejar el gráfico de f .
Solución.
Funciones 35
Cálculo del dominio. Es claro que toda la recta real R no puede ser el dominio de f pues por ejemplo
x = 5 no tiene imagen, ya que f (5) =�4−25 =�−21, luego f (5) no puede existir. Para encontrar el D f
encontramos los valores de x tales que
�
4−x2 exista, esto ocurre cuando
4−x2 ≥ 0,
es decir cuando −2 ≤ x ≤ 2, luego D f = [−2,2].
El codominio. El codominio de f es el conjunto C f =R.
Cálculo del rango. El rango está formado por los puntos y ∈C f tales que existe x ∈ D f y f (x) = y . Puesto
que f (x) =
�
4−x2 tenemos y =
�
4−x2 para x ∈ [−2,2]. De la igualdad y =
�
4−x2 despejamos la varia-
ble x obteniendo x =
√
4− y2 que existe solamente si y ∈ [−2,2] como por la definición de esta función
y ≥ 0, el rango de f es R f = [0,2].
Bosquejamos ahora la gráfica. La gráfica se bosqueja encontrando, como es usual, la imagen de algu-
nos puntos, mientras mas puntos se tome se tendrá un mejor bosquejo de la gráfica. Para el ejemplo
tomamos los siguientes puntos mostrados en forma tabular.
x f (x)
−2 0,0000
−1,8 0,8718
−1,6 1,2000
−1,4 1,4283
−1,2 1,6000
−1,0 1,7321
−0,8 1,8330
−0,6 1,9079
−0,4 1,9596
−0,2 1,9900
0,0 2,0000
x f (x)
2 0,0000
1,8 0,8718
1,6 1,2000
1,4 1,4283
1,2 1,6000
1,0 1,7321
0,8 1,8330
0,6 1,9079
0,4 1,9596
0,2 1,9900
0,0 2,0000
x
y
−2 2
2 f (x) =
�
4−x2
(−2,0)
(−1,8,0,8718)
(−1,6,1,2)
Ejemplo 2.10 Sea f (x) = 1
x
, encontrar D f , C f y R f y bosquejar la gráfica.
Solución. f (x) = 1
x
está definida para todo número real exepto para x = 0, luego D f = R− {0}. El codo-
minio es C f =R. El rango R f es R− {0} pues el 0 es el único elemento de C f que no tiene una preimagen,
esto es, no existe x ∈ D f tal que f (x) = 0. La gráfica es:
36 Funciones
x
y
−2 2
2
−2
f (x) = 1x
(2, 12 )
Ejemplo 2.11 Hallar el dominio de f (x) =�3+x + 4�7−x.
Solución. Puesto que la raíz n−enésima de números negativos, cuando n es par, no existe en el sistema
de números reales, el dominio de f estará dado por los valores de x tales que 3+x ≥ 0 y 7−x ≥ 0.
La solución para la primera desigualdad es [−3,∞) y para la segunda es (−∞,7], por tanto el dominio de
f es D f = (−∞,7]∩ [−3,∞) = [−3,7].
Ejemplo 2.12 Hallar el dominio de la función f (x) = 1
3
�
x −1 , y bosquejar la gráfica.
Solución. El denominador existe para todo valor de x, pero se anula en x = 1, así D f =R− {1}.
x
y
−2 2
2
−2
f (x) = 1x
(2,1)
Ejemplo 2.13 Hallar el dominio de f (x) =
√
x
x2 −4 .
Solución. Debemos tener
x
x2 −4 ≥ 0; resolviendo obtenemos D f = (−2,0]∪ (2,∞).
Ejemplo 2.14 Hallar el dominio de f (x) = 3�−x +
√
x
x2 −4 .
Solución. Puesto que 3
�−x existe para todo número real, analizamos
√
x
x2 −4 , esta raíz cuadrada existe
si
x
x2 −4 ≥ 0, esto es cuando x ∈ (−2,0]∪ (2,∞), así el dominio es D f = (−2,0]∪ (2,∞) .
2.2 Funciones Especiales
Funciones 37
2.2.1. Función Identidad
Sea X ⊂R un conjunto. La función f : X → X definida por f (x) = x, se llama función identidad. Para esta
función D f = R f .
x
y
−2 2
2
−2
f (x) = x
2.2.2. Funcion Constante
Definimos la función constante como f (x) = c, donde c es una constante. Su gráfica tiene la siguiente
forma:
x
y
−2 2
2
c
−2
f (x) = c
2.2.3. Función Valor Absoluto
La función f : R → R definida por f (x) = |x| =
{
x si x ≥ 0
−x si x < 0 se llama función valor absoluto, D f =
C f =R, R f =R+∪ {0}. Su gráfico es:
x
y
−2 2
2
−2
f (x) = |x|
38 Funciones
2.2.4. La Función Lineal
Sea f : R→ R definida por f (x) = ax +b, con a,b ∈ R, se llama función lineal y para esta función D f =
C f = R f =R. La gráfica de f (x) = 3x +1, es:
x
y
−2 2
7
−5
f (x) = 3x +1
2.2.5. Función Potencia
La función f : R→ R definida por f (x) = xn , con n entero positivo, se llama función potencia. Para esta
función D f =R, C f =R, R f =R+si n es par y R f =R si n es impar. Las gráficas para n par y n impar tienen
la siguiente forma, respectivamente:
x
y
−2 −1 21
7
−5
f (x) = x2
f (x) = x100
Funciones 39
x
y
−2 −1 21
4
−4
f (x) = x3
f (x) = x101
<dsf<zsdfz<sdf<zsdfs<zdf
2.2.6. Función Polinomial
La función polinómica Pn : R→R, de grado n, está definido por:
Pn(x) = cn xn + cn−1xn−1 + ...+ c1x + c0 =
n∑
k=0
cn−k xn−k
Donde cn �= 0. Para la función polinómica DPn =CPn =R.
Para obtener la forma de la gráfica de la función polinomial, es útil la siguiente propiedad de los polino-
mios, llamada: propiedad asintótica.
Propiedad asintótica.Para valores |x| muy grandes:
cn x
n + cn−1xn−1 + ...+ c1x + c0 � cn xn
Ejemplo 2.15 Si f (x) = x6 −14x4 +49x2 −36 para valores grandes de x se tiene:
x x6 −14x4 +49x2 −36 x6
10 864864 106
100 9.98600×1011 1012
1000 9.99986×1017 1018
10000 9.99999×1023 1024
100000 1.0×1030 1030
El comportamiento asintótico muestra que las gráficas de los polinomios de grado par, para valores x
muy grandes, se parecen a la gráfica de la función potencia xn para n par, para x cerca de cero se com-
portará de acuerdo al número de raíces que tenga el polinomio. Un comportamiento análogo se tiene
para polinomios de grado impar. A continuación se muestran gráficos para explicar este comportamien-
to.
40 Funciones
x
y
−2−1 21
100
200
−4
f (x) = (x2 −1)(x2 −4)(x2 −9)
x
y
−2−1 21
100
200
f (x) = x6
2.2.7. Las funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x. Las gráficas de estas funciones se
muestran a continuación.
x
y = 1
y =−1
y
0 π/2 π 3π/2 2π
1
−1
f (x) = cos(x)
x
y = 1
y =−1
y
0 π/2 π 3π/2 2π
1
−1
f (x) = sen(x)
x
y
0 π/2 π 3π/2 2π
6
−6 f (x) = tan(x)
x
y
0 π/2 π 3π/2 2π
6
−6 f (x) = cot(x)
Otras funciones trigonométricas son las inversas de las anteriores como el arcoseno, arcocoseno, ar-
cotangente, que se denotan respectivamente como arcsin x, arccos x, arctan x, etc. Estas funciones se
estudiaran más adelante.
2.2.8. La función Exponencial
La función f : R → R definida por f (x) = ax o f (x) = a−x con a > 1 se llama función exponencial.
f (x) = ax exponencial positiva y f (x) = a−x se llama exponencial negativa. Sus gráficas cuando a = 3
son respectivamente:
Funciones 41
x
y
0 1
10
20
f (x) = e3x
x
y
0 1
10
20
f (x) = e−3x
Observemos que si x decrece a −∞, f (x) = ax se acerca a cero (sin llegar nunca a el). Similarmente si x
crece a +∞, f (x) = ax crece a infinito.
Observemos también, que la gráfica de la función exponencial, siempre pasa por (0,1).
Finalmente notemos que el rango es (0,∞) .
2.2.9. La función Logarítmica
La función f : R+ → R, definida por f (x) = loga x, se llama logaritmo de x en base a, aquí suponemos
que a > 1. El logaritmo de x en base a es un número y tal que ay = x, esto es, las expresiones
y = loga x y ay = x,
son equivalentes.
El dominio de la función logaritmo es R+ y el codominio R. Algunas propiedades de la función logaritmo
son:
a) loga a = 1
b) loga 1 = 0
c) loga(xz) = loga x + loga z
d) loga(
x
z
) = loga x − loga z
e) loga(x
z ) = z · loga x
La gráfica, de la función logaritmo, para el caso a > 1, tiene el siguiente aspecto:
x
y
0 1
1
2
f (x) = lnx
Las bases más usadas son a = 10 y a = e � 2,718282. Si a = 10 se escribe log x en vez de log10 x y se
conoce con el nombre de logaritmo decimal. Si a = e se escribe ln x en vez de loge x y se llama logaritmo
neperiano o natural.
42 Funciones
2.2.10. La función mayor entero
f : R→R definida por f (x) = [x] se conoce con el nombre de función mayor entero. [x] es el mayor entero
menor o igual a x asi [2,3] = 2, [−4,37] =−5, [1] = 1, etc.
Para esta función D f =R, R f =Z.
x
y
−2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
f (x) = [x]
2.2.11. Funciones Hiperbólicas
Funciones hiperbólicas son el seno hiperbólico,coseno hiperbólico, tangente hiperbólico, etc. Se defi-
nen como:
sinh x = e
x −e−x
2
coth x = 1
tanh x
= e
x +e−x
ex −e−x , x �= 0
cosh x = e
x +e−x
2
sech x = 1
cosh x
= 2
ex +e−x
tanh x = sinh x
cosh x
= e
x −e−x
ex +e−x csch x =
1
sinh x
= 2
ex −e−x , x �= 0
A continuación se presenta un bosquejo del gráfico de las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbó-
lico:
x
y
3−3
2
4
f (x) = cosh(x)
x
y
3−3
2
4
−2
−4
f (x) = sinh(x)
2.2.11.1. Ejercicios propuestos
1. Graficar f (x) = xn cuando n = 2,3,4,5,6,7,8.
2. Graficar las funciones cos x, tan x, sec x,csc x,cot x.
3. Graficar f (x) = tanh x, coth x, sechx, cschx.
Funciones 43
4. Graficar f (x) = 2x y 2−x .
5. Graficar f (x) = log 1
2
x. (El logaritmo de x en base 12 )
2.3 Operaciones con funciones
En esta sección se definen las siguientes operaciones: suma, resta, producto, división y composición.
Antes de empezar con este tema se define la igualdad de funciones.
Definición 2.1
Dos funciones f y g son iguales, lo que escribimos f = g , si tienen un mismo dominio D y f (x) =
g (x) para todo x ∈ D.
2.3.1. Suma y Resta
Sean f y g funciones con dominios D f y Dg respectivamente, entonces f + g y f − g , son funciones con
dominio D f ∩Dg y reglas de correspondencia.
( f + g )(x) = f (x)+ g (x) y ( f − g )(x) = f (x)− g (x)
Ejemplo 2.16 Sean f , g : R→R definidas por f (x) =−x2−x, g (x) = x2−2, entonces la función h = f +g ,
está definida por h(x) = f (x)+ g (x) =−x −2, observemos además que el dominio de h es R .
2.3.2. Producto y División
Sean f y g funciones con dominios D f , y Dg respectivamente, entonces f g es una función con dominio
D f ∩Dg con la regla de correspondencia
( f g )(x) = f (x)g (x)
f
g
es una función con dominio D f ∩ (Dg −
{
x : g (x) = 0}) y la regla de correspondencia
(
f
g
)
(x) = f (x)
g (x)
Ejemplo 2.17 Sean f , g : R→R definidas por f (x) = x +2, g (x) = 2(x −1) ,entonces(
f g
)
(x) = f (x) g (x) = 2(x +2)(x −1).
Por otra parte (
f
g
)
(x) = f (x)
g (x)
= x +2
2x −2 .
Un caso particular, muy importante, es cuando f es una función constante, digamos f (x) = c, entonces(
c f
)
(x) = c f (x). En particular si c =−1, se tiene (− f ) (x) =− f (x).
Ejemplo 2.18 Sea f (x) = x2 +x −2, entonces (− f ) (x) =−x2 −x +2.
44 Funciones
2.3.3. Recíproco de una función
Consideremos ahora el problema siguiente : Dado f , encontrar g tal que f g = 1 (la función constante 1).
Por definición ( f g ) (x) = f (x) ·g (x), esto sugiere definir g como g (x) = 1
f (x)
, claro esta, para puntos x en
donde f (x) �= 0. La función g se conoce como el recíproco de f .
Ejemplo 2.19 Si f (x) = x2 +x −2, entonces el reciproco es g (x) = 1
x2 +x −2 .
2.3.4. Composición de Funciones
Definición 2.2
Sean g y f funciones, la composición de g con f , denotada por f ◦ g (se lee ”g compuesta con f
”) es la función cuyo dominio es el conjunto:
D f � g =
{
x ∈ Dg : g (x) ∈ D f
}
cuya regla de correspondencia es ( f ◦ g )(x) = f (g (x)).
El siguiente esquema ilustra la anterior definición.
X Y Z
g f
x g (x) f (g (x))
f ◦ g
Aquí suponemos que g tiene dominio en X y rango en Y y f tiene dominio en Y y rango en Z , entonces
f ◦g tiene dominio en X y rango en Z . El dominio de f ◦g son los elementos de X cuya imagen g (x) está
en D f .
Ejemplo 2.20 Consideremos las funciones:
X Y
g
1
2
3
4
−2
0
1
3
5
8
W U
f
0
1
5
8
6
8
10
12
14
Funciones 45
Para este ejemplo D f � g =
{
x ∈ Dg : g (x) ∈ D f
}= {2,3}, Luego tenemos
( f ◦ g ) (2) = f (g (2)) = f (0) = 6,
( f ◦ g ) (3) = 8
Observemos que ( f ◦ g ) (1) y ( f ◦ g ) (4) no estan definidas.
Ejemplo 2.21 Consideremos las funciones f , g : R→R definidas por f (x) = x +1 y g (x) = x2, entonces
( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x2) = x2 +1
y
(g ◦ f )(x) = g ( f (x)) = g (x +1) = (x +1)2
Observemos que f ◦ g �= g ◦ f , en general la igualdad no es válida.
Teorema 2.1
Si f g y h son funciones, se verifica:
a) ( f ◦ g )◦h = f ◦ (g ◦h)
b) I ◦ f = f ◦ I , donde I es la función identidad
c) ( f + g )◦h = f ◦h + g ◦h
d) ( f g )◦h = ( f ◦h)(g ◦h)
2.3.4.1. Ejercicios resueltos
Ejemplo 2.22 Sean f , g : R→R definidas por f (x) = x2 −x y g (x) = 4−x2:
a) Calcular f + g y f − g .
b) Calcular f g y
f
g
.
c) Calcular f ◦ g y g ◦ f .
Solución. a)
( f + g )(x) = f (x)+ g (x)
= x2 −x +4−x2
= −x +4
( f − g )(x) = f (x)− g (x)
= x2 −x − (4−x2)
= 2x2 −x −4
b)
( f g )(x) = f (x)g (x)
= (x2 −x)(4−x2)(
f
g
)
(x) = f (x)
g (x)
= x
2 −x
4−x2
46 Funciones
c)
( f ◦ g )(x) = f (g (x))
= f (4−x2)
= (4−x2)2 − (4−x2)
(g ◦ f )(x) = g ( f (x))
= g (x2 −x)
= 4− (x2 −x)2
Ejemplo 2.23 Si
f (x) =
{
3x +4 si x ∈ [0,2]
−x +1 si x ∈ (2,5]
y
g (x) =
{
x2 si x ∈ [0,3)
4 si x ∈ [3,6]
a) Graficar f y g
b) Calcular f + g y f − g
c) Calcular f g
d) Calcular f ◦ g
Solución. a)
x
y
2
5
2
10
−1
−4
f (x)
x
y
3 6
2
10
−1
−4
g (x)
b) Observemos que D f = [0,5] ,Dg = [0,6], luego D f +g = [0,5]. Dividimos el intervalo [0,5] en los inter-
valos [0,2] , (2,3) , [3,5], luego:
( f + g )(x) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
x2 +3x +4 si x ∈ [0,2]
x2 −x +1 si x ∈ (2,3)
−x +5 si x ∈ [3,5]
( f − g )(x) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
−x2 +3x +4 si x ∈ [0,2]
−x2 −x +1 si x ∈ (2,3)
−x −3 si x ∈ [3,5]
c)
( f g )(x) = f (x)g (x) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
(3x +4)x2 si x ∈ [0,2]
(−x +1)x2 si x ∈ (2,3)
(−x +1)4 si x ∈ [3,5]
Funciones 47
d)
( f ◦ g )(x) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
f (x2) si x ∈ [0,�2]
f (x2) si x ∈ (�2,�5)
f (4) si x ∈ [3,5]
=
⎧⎪⎨
⎪⎩
3x2 +4 si x ∈ [0,�2]
−x2 +1 si x ∈ (�2,�5)
−4+1 si x ∈ [3,5]
Ejemplo 2.24 Calcular f ◦ g y g ◦ f si f : R→R y g : R→R son definidos por f (x) = x2 y g (x) = cos x.
Solución.
(g ◦ f )(x) = g ( f (x))
= g (x2)
= cos x2
( f ◦ g )(x) = f (g (x)
= f (cos x)
= (cos x)2
= cos2 x
Las gráficas que a continuación se presentan, muestran que cos x2 �= cos2 x
x
y
4
1
−1
f (x) = cos(x2)
x
y
4
1
−1
f (x) = cos(x2)
Ejemplo 2.25 Sean f (x) = |x| , g (x) = sen x, calcular f ◦ g y g ◦ f .
Solución.
( f ◦ g )(x) = f (g (x))
= f (sen x)
= |sen x|
y
(g ◦ f )(x) = g ( f (x))
= g (|x|)
= sen |x|
2.4 La Inversa de una Función
En esta sección discutiremos el siguiente problema: Dada una función f encontrar una función g tal que
f ◦ g = g ◦ f = I . Tal función se llamará inversa de f .
¿Siempre existe la función inversa?,
¿Cuales son las condiciones para la existencia de la función inversa?
Finalizaremos esta sección presentando algunos teoremas sobre funciones inversas.
Previo a la discusión de la inversa de una función se dan las siguientes definiciones.
48 Funciones
2.4.1. Funciones Inyectivas y Sobreyectivas
Definición 2.3
(Función Inyectiva). Sea f : X → Y . La función f se llama función inyectiva si para todo x0, x1 ∈ X
con x0 �= x1, se tiene f (x0) �= f (x1).
o equivalentemente f es inyectiva si f (x0) = f (x1) implica x0 = x1.
Obs. f no es inyectiva si dos elementos distintos tienen la misma imagen.
Ejemplo 2.26 La función f : R → R definida por f (x) = x + 3 es inyectiva, en efecto si f (x0) = f (x1)
tenemos x0 +3 = x1 +3 de donde x0 = x1, lo que muestra que f es inyectiva.
Ejemplo 2.27 La función g : R→ R definida por f (x) = x2 no es inyectiva pues para x0 = −2 , x1 = 2,
x0 �= x1 pero f (x0) = 4 = f (x1).
Las funciones inyectivas se conocen tambien como funciones uno a uno.
Interpretación geométrica
Geométricamente, una función f es inyectiva, si toda recta paralela al eje x corta a la gráfica de f en a lo
sumo un punto; como consecuencia de lo anterior, una función no es inyectiva, si existe una paralela al
aje x que corta la gráfica de f en más de un punto.
x
y
Función no inyectiva
x
y
Función inyectiva
Definición 2.4
(Función Sobreyectiva) Una función f : X → Y es llamada sobreyectiva si todo y ∈ Y , es imagen
de algún x ∈ X .
Observemos que una función f , no es sobreyectiva, si algún elemento de Y no tiene preimagen.
Ejemplo 2.28 Sea f la función:
X Y
g
1
2
3
4
8
0
1
3
5
2
Funciones 49
f no es sobreyectiva, pues existen elementos de Y , como y = 2 ∈ Y , para los cuales no existe un x ∈ X
tales que f (x) = 2.Ejemplo 2.29 La función f : R → R definida por f (x) = x3 − 1 es sobreyectiva. En efecto sea y ∈ Y , y
buscaremos x ∈ X tal que f (x) = y . De esta igualdad se tiene x3−1 = y , despejando x tenemos x = 3√y +1,
este valor de x es el buscado pues f (x) = ( 3√y +1)3 −1 = y .
Observemos, que si una función no es sobreyectiva, se puede construir un codominio adecuado de ma-
nera que la función sea sobreyectiva. Esto se logra eliminando los elementos que no tengan preimagen.
Asi en el primer ejemplo podemos volver a definir la función como sigue:
X Y
g
1
2
3
4
8
0
1
3
Aquí, claramente f es sobreyectiva, notemos que esta función no es 1-1, asi pues, ser sobreyectiva no
implica ser inyectiva, también, ser inyectiva no implica ser sobreyectiva.
Definición 2.5
(Imagen de un Conjunto) Sea f : X → Y una función y sea A ⊂ X . La imagen de A por la función
f , escrito f (A) es el conjunto
f (A) = { f (x) : x ∈ A} . = {y ∈ Y : f (x) = y, x ∈ A}
si un elemento pertenece a la imagen de A escribimos
y ∈ f (A) ⇔ (∃x, x ∈ A)( f (x) = y)
Algunas consecuencias de esta definición se enuncian en el siguiente teorema.
Teorema 2.2
Sea f : X → Y una función, y sean A,B subconjuntos de X , entonces:
a) f (A∪B) = f (A)∪ f (B)
b) f (A∩B) ⊂ f (A)∩ f (B)
c) A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B)
d) f (�) =�
50 Funciones
Teorema 2.3
Sea f : X → Y una función. f es sobreyectiva si y solamente si f (X ) = Y .
Definición 2.6
Si f : X → Y es inyectiva y sobreyectiva f es biyectiva.
2.4.2. Inversa de una función
Consideremos la función f : X → Y biyectiva, la función inversa de f , denotada por f −1 es la función de
Y en X tal que:
f −1 ◦ f = IX f ◦ f −1 = IY
donde IX es la identidad en X e IY es la identidad en Y . Si y = f (x) entonces x = f −1
(
y
)
.
Ejemplo 2.30 Consideremos la función f : R → R dada por f (x) = 2x −1 entonces f es biyectiva y la
inversa es f −1(x) = 12 (x +1), en efecto(
f ◦ f −1) (x) = f ( f −1(x))
= f (12 (x +1))
= 2(12 (x +1))−1 = x
y (
f −1 ◦ f ) (x) = f −1 ( f (x))
= f −1 (2x −1)
= 12 (2x −1+1) = x
Ejemplo 2.31 La función:
X Y
g
2
3
4
0
1
es sobreyectiva pero no inyectiva, luego no puede tener inversa, pues la correspondencia
X Y
2
3
4
0
1
Funciones 51
No es función ya que 6 ∈ Y tiene dos imagenes, 2 y 3.
A continuación algunos teoremas sobre composición e inversa.
Teorema 2.4
Sean f y g funciones inyectivas, entonces f ◦ g es inyectiva.
Demostración. Supongamos que
x0,x1 ∈ Dg y ( f ◦ g )(x0) = ( f ◦ g )(x1)
entonces
f (g (x0)) = f (g (x1))
Puesto que f es inyectiva g (x0) = g (x1), puesto que g es también es inyectiva x0 = x1, luego
f ◦ g es inyectiva.
■
Teorema 2.5
Sean f y g funciones sobreyectivas,entonces f ◦ g es sobreyectiva.
Demostración. Sea z0 ∈ R f , puesto que f es sobreyectiva existe y0 ∈ D f tal que f (y0) = z0.
Por ser g sobreyectiva existe x0 ∈ Dg tal que g (x0) = y0. Claramente
( f ◦ g )(x0) = f (g (x0)) = f (y0) = z0.
Esto muestra que f ◦ g es sobreyectiva.
■
Teorema 2.6
Si f y g son invertibles (tienen inversa) entonces f ◦ g es invertible y
( f ◦ g )−1 = g−1 ◦ f −1.
Demostración. Por los teoremas anteriores f ◦ g es biyectiva, luego ( f ◦ g )−1 existe, luego
( f ◦ g )◦ ( f ◦ g )−1(x) = x
para todo x ∈ R f , entonces [
f −1 ◦ ( f ◦ g )◦ ( f ◦ g )−1] (x) = f −1(x)
52 Funciones
pero f −1 ◦ f = I , por tanto [
g ◦ ( f ◦ g )−1] (x) = f −1(x)
y aplicando la función g−1 se obtiene[
g−1 ◦ g ◦ ( f ◦ g )−1] (x) = (g−1 ◦ f −1)(x)
de donde:
( f ◦ g )−1(x) = (g−1 ◦ f −1)(x).
■
Teorema 2.7
Dada una función f : X → Y , se tiene:
a) Para A y B subconjuntos arbitrarios de X , f (A)− f (B) ⊂ f (A−B)
b) Si f es inyectiva entonces para cualquiera A y B subconjuntos de X , f (A−B) = f (A)− f (B).
Demostración. Ejercicio.
Teorema 2.8
La función f : X → Y es inyectiva si y solamente si f (Ac ) = ( f (A))c para todo A ⊂ X .
Definición 2.7
(Imagen Inversa de un Conjunto) Sea f : X → Y una función. Si B ⊂ Y definimos la imagen inver-
sa de B como el conjunto
f −1(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}
Teorema 2.9
Sea f : X → Y una función, entonces:
a) para todo A ⊂ X , ( f −1 ◦ f )(A) ⊂ A
b) f es inyectiva si y solamente si para todo A ⊂ X , ( f −1 ◦ f )(A) = A.
Teorema 2.10
Sea f : X → Y una función, entonces:
a) para todo B ⊂ Y , ( f ◦ f −1) ⊂ B
b) f es sobreyectiva si y solamente si ( f ◦ f −1)(B) = B para todo B ⊂ Y .
Funciones 53
Teorema 2.11
Sea f : X → Y una función , sean B y C subconjuntos de Y , entonces:
a) f −1(B ∪C ) = f −1(B)∪ f −1(C )
b) f −1(B ∩C ) = f −1(B)∩ f −1(C )
c) f −1(B c ) = ( f −1(B))c
d) Si B ⊂C entonces f −1(B) ⊂ f −1(C )
e) f −1(Y ) = X
f) f −1(�) =�.
2.4.3. Funciones trigonométricas inversas
Son las siguientes:
arco seno arcsin x
arco coseno arccos x
arco tangente arctan x
arco cotangente arccotx
arco secante arcsecx
arco cosecante arccscx
A continuación se presenta las gráficas de estas funciones.
x
y
−1 1acos(x)
π
x
y
−1 1
asin(x)
−π/2
π/2
x
y
−3 3
atan(x)
−π/2
π/2
x
y
−3 3
acot(x)
−π/2
π/2
x
y
−1 1asec(x)
π
x
y
−1 1
acsc(x)
π/2
−π/2
54 Funciones
2.4.4. Funciones Hiperbólicas inversas
A continuación se presentan las funciones hiperbólicas inversas.
arco seno hiperbólico arcsenhx
arco coseno hiperbólico arccoshx
arco tangente hiperbólico arctanhx
arco cotangente hiperbólico arccothx
arco secante hiperbólico arcsechx
arco cosecante hiperbólico arccschx
Todas estas funciones, pueden expresarse en función del logaritmo, como se ve a continuación en la
siguiente tabla:
arcsenhx = ln
(
x+
�
x2 +1
)
x ∈R
arccoshx = ln
(
x+
�
x2 −1
)
x ≥ 1
arctanhx = 1
2
ln
(
1+x
1−x
)
x ∈ (−1,1)
arccothx = 1
2
ln
(
1+x
1−x
)
x ∉ [−1,1]
arcsechx = ln
(
1+
�
1−x2
x
)
x ∈ (0,1]
arccschx = ln
(
1
x
+
�
1+x2
|x|
)
x �= 0
a continuación de demuestran algunas de éstas fórmulas.
Función arcsenhx. Sea y = arcsenhx, entonces senhy = x, luego:
x = 1
2
(
e y −e−y )
por tanto: 2x = e y −e−y , multiplicando a ambos miembros por e y y ordenando se encuentra:
e2y −2xe y −1 = 0
despejando e y se tiene:
e y = 1
2
(
2x ±
√
4x2 +4
)
= x ±
√
x2 +1,
claramente x <
�
x2 +1 luego debemos tomar el signo positivo pues e y es siempre positivo, con
esta aclaración:
y = ln
(
x +
√
x2 +1
)
Válido para todo x, así
arcsenhx = ln
(
x+
√
x2 +1
)
Función arctanhx. Sea y = arctanhx, entonces: tanh y = x de donde
e y −e−y
e y +e−y = x,
Funciones 55
esto es, e y −e−y = xe y +xe−y , multiplicando por e y y ordenando:
e2y (1−x) = 1+x
despejando y :
y = 1
2
ln
(
1+x
1−x
)
que es válido para los x que satisfacen la desigualdad
1+x
1−x > 0, esto es: x ∈ (−1,1) .
2.5 Funciones Crecientes y Decrecientes
Definición 2.8
(Función creciente). Sea f : X ⊂R→ Y ⊂R . Se dice que f es creciente si para cualesquiera x0 y x1
en X tal que x0 < x1 se tiene f (x0) ≤ f (x1).
Si reemplazamos el símbolo ≤ (menor o igual) por < (menor ) la función f se llama estrictamente
creciente.
Ejemplo 2.32 La función f (x) = [x] es creciente y f (x) = x3 es estrictamente creciente.
Definición 2.9
(Función decreciente). Sea f : X ⊂ R→ Y ⊂ R . Se dice que f es decreciente si para cualesquiera
x0, x1 ∈ X tal que x0 < x1 se tiene f (x0) ≥ f (x1).
Si reemplazamos el simbolo ≥ (mayor o igual) por > (mayor) la función f se llama estrictamente
decreciente.
x
y
Función creciente
x
y
Función decreciente
Ejemplo 2.33 f : R→R definida por f (x) =−x +1 es estrictamente decreciente.
56 Funciones
Teorema 2.12
Sea f : X → Y una función estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Entonces f es
inyectiva.
Demostración Sean x0 y x1 puntos distintos en X . Sin perdida de generalidad podemos
suponer x0 < x1, luego f (x0) < f (x1) o f (x0) > f (x1), en todo caso f (x0) �= f (x1), así, f es
inyectiva.
■
Teorema 2.13
Sea f : X → Y una función estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Entonces f −1 esta
definida en el rango de f , en particular si f es sobreyectiva f −1 esta definida en Y .
Ejemplo 2.34 La función f (x) = loga x con a > 1, es estrictamente creciente f : R+ → R. Luego f−1 :
R→R+ existe. La inversa está definida por f −1(x) = ax .
2.5.0.1. Ejercicios resueltos
Ejemplo 2.35 Sea f : R → R definida por f (x) = x2 + 1. Discutir la inyectividad, sobreyectividad y la
inversa.
Solución.
Inyectividad. f no es inyectiva pues para −1 y 1 en el dominio de f se tiene f (−1) = f (1) = 2 siendo que
−1 �= 1.
Sobreyectividad. f tampoco es sobreyectiva pues para 0 ∈ C f no existe preimagen ya que no existe
x ∈ D f tal que f (x) = x2 +1 = 0.
De lo anterior deducimos que f −1 no puede definirse con el dominio y codominio dados. Sin embargo
redefinamos f del siguiente modo:
f : R+∪ {0} → [1,∞) y
f (x) = x2 +1.
Mostraremos que ahora f si es biyectiva, esto es, inyectiva y sobreyectiva.
Inyectividad. Sean x0, x1 ∈ R+∪ {0} y supongamos que
f (x0) = f (x1),
entonces
x20 +1 = x21 +1,
luego x0 = x1, notemos que x0 =−x1 tambien es una solución pues x20 +1 = (−x1)2+1 = x21 +1, esto no es
posible, pues en tal caso o x0 o x1 no es elemento de R+∪ {0}, de lo anterior f debe ser inyectiva.
Sobreyectividad. Sea y0 ∈ [1,∞), luego de y0 = x20 +1 obtenemos x0 =
√
y0 −1; asi existe x0 =
√
y0 −1 tal
Funciones 57
que f (x0) = y0; esto muestra que f es sobreyectiva.
Por todo lo anterior f es biyectiva, en el nuevo dominio y nuevo codominio, es decir f −1 existe.
Cálculo de la inversa. Para encontrar la regla de correspondencia de f −1 se prosigue como sigue: Par-
timos de
f (x) = y
obteniéndose la ecuación:
y = x2 +1,
despejando x:
x =√y −1
y se define la función inversa como:
f −1(x) =�x −1
Observemos que f −1 : [1,∞) → R+∪ {0}.
2.6 Funciones acotadas
Definición 2.10
Una función f con dominio D f , es acotada en dicho dominio, si el conjunto{
f (x) : x ∈ D f
}
es acotado, esto es, f es acotada en D f si existe un número k > 0 tal que | f (x)| ≤ k para todo
x ∈ D f , en tal caso k se llamará cota de f en el dominio D f .
Nótese que si la función f es acotada, entonces la gráfica de f en el dominio D f está dentro la franja
dada por las rectas y =−k y y = k.
x
y
y = k
y =−k
Teorema 2.14
Sea f : [a,b] →R, creciente o decreciente, entonces f es acotada en [a,b].
58 Funciones
Demostración: a) Caso f creciente. En este caso, claramente f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) para todo
x ∈ [a,b]. Tomando k = máx{∣∣ f (a)∣∣ , ∣∣ f (b)∣∣} se tiene ∣∣ f (x)∣∣≤ k.
b) Caso f decreciente. Se muestra como en el caso (a)
■
Ejemplo 2.36 Sea f (x) = 2x +3, definida en {x : |x −3| ≤ 1}, entonces −2 ≤ x ≤ 4. Como f es creciente
en R, es en particular creciente en [−2,4], luego f (−2) ≤ f (x) ≤ f (4) esto es, −1 ≤ f (x) ≤ 11, de donde
| f (x)| < 11 para todo x ∈ [−2,4].
Ejemplo 2.37 Sea f (x) = 12x2−22x definida en [0,2]. En este caso f (0) = 0 y f (2) = 4. Decir 0 ≤ f (x) ≤ 4
para todo x en [0,2 ] no es verdadero, pues por ejemplo 1 ∈ [0,2] pero f (1) = −10 y no es cierto que
0 ≤−10 ≤ 4.
Esto, por supuesto no contradice el teorema anterior, pues f (x) = 12x2 −22x no es creciente ni decre-
ciente en [0,2]. Para acotar esta función procedemos como sigue:
Puesto que x ∈ [0,2] , claramente |x| ≤ 2, luego
∣∣ f (x)∣∣ = ∣∣12x2 −22x∣∣
≤ 12 |x|2 +22 |x|
≤ 12(22)+22(2) = 92,
así una cota buscada es 92.
En los siguientes ejercicios, se dan otras técnicas para acotar funciones.
2.6.0.2. Ejercicios resueltos
Ejemplo 2.38 Acotar f (x) = x2 +1 en (−1,1).
Solución. Observemos que para cualquier x ∈ (−1,1) se tiene |x| < 1, luego∣∣ f (x)∣∣ = ∣∣x2 +1∣∣
≤ |x|2 +1
< 1+1 = 2
Luego f (x) esta acotada por 2, es decir
∣∣ f (x)∣∣< 2 para todo x ∈ (−1,1).
Ejemplo 2.39 Acotar f (x) = x3 −3x2 +2x +5 en el conjunto {x : |x −4| < 1}.
Solución. Observemos que si x ∈ {x : |x −4| < 1} , entonces: 3 < x < 5.
Método 1. De
3 < x < 5,
concluimos con |x| < 5, por tanto ∣∣ f (x)∣∣ = ∣∣x3 −3x2 +2x +5∣∣
≤ |x|3 +3 |x|2 +2 |x|+5
< 53 +3(52)+2(5)+5
= 215
Funciones 59
Asi
∣∣ f (x)∣∣< 215 para |x −4| < 1.
Método 2. Puesto que 3 < x < 5 tenemos las siguientes desigualdades
27 < x3 < 125
−75 <−3x2 <−27
6 < 2x < 10
5 ≤ 5 ≤ 5
sumando:
37 < x3 −3x2 +2x +5 < 113,
luego
∣∣ f (x)∣∣< 113 para |x −4| < 1.
Método 3. Sea h = x −4, luego tenemos |h| < 1 y x = h +4, entonces :∣∣ f (x)∣∣= ∣∣x3 −3x2 +2x +5∣∣ = ∣∣(h +4)3 −3(h +4)2 +2(h +4)+5∣∣
= ∣∣h3 +9h2 +26h +29∣∣
≤ |h|3 +9 |h|2 +26 |h|+29
< 1+9+26+29 = 65
Luego: ∣∣ f (x)∣∣< 65,
para |x −4| < 1.
Observemos que la cota obtenida en este método es menor que las obtenidas en los métodos 1 y 2.
Ejemplo 2.40 Acotar f (x) = x5 −3x4 +2x +20 en D f = {x : |x −2| < 1}.
Solución. Si x ∈ D f se tiene 1 < x < 3.
Método 1. Si 1 < x < 3, claramente |x| < 3 , luego:∣∣ f (x)∣∣ = ∣∣x5 −3x4 +2x +20∣∣
≤ |x|5 +3 |x|4 +2 |x|+20
< 35 +3(34)+2(3)+20
= 243+243+6+20 = 512
Luego | f (x)| < 512 para todo x ∈ D f .
Método 2. De 1 < x < 3 tenemos sucesivamente:
1 < x5 < 243
−243 <−3x4 <−3
2 < 2x < 6
20 ≤ 20 ≤ 20
Sumando
−220 < x5 −3x4 +2x +20 < 266
Luego
∣∣ f (x)∣∣< 266 para x ∈ D f .
Usando el Método 3 del ejercicio anterior se puede mejorar esta cota.
60 Funciones
Ejemplo 2.41 Acotar f (x) = x3 −x +cos x para los números x tales que |x +2| < 3.
Método 1. Si |x +2| < 3 se tiene −5 < x < 1, luego |x| < 5, con este resultado escribimos∣∣ f (x)∣∣ = ∣∣x3 −x +cos x∣∣
≤ |x|3 +|x|+ |cos x|
< 53 +5+1
= 131
por tanto
∣∣ f (x)∣∣< 131 para |x +2| < 3.
Solución. Método 3. Sea
h = x +2
3
,
luego |h| < 1 y x = 3h −2, con este resultado tenemos:∣∣ f (x)∣∣= ∣∣ f (3h −2)∣∣ = ∣∣(3h −2)3 − (3h −2)+cos(3h −2)∣∣
= ∣∣27h3 −54h2 +33h −6+cos(2h −2)∣∣
≤ 27 |h|3 +54 |h|2 +33 |h|+6+|cos(2h −2)|
< 27+54+33+6+1 = 121
Luego | f (x)| < 121 para |x +2| < 3.
2.7 Construcción de Funciones
En esta sección, se plantean problemas que originarán funciones, más aún, veremos que los dominios
de estas funciones satisfacen ciertas condiciones.
Ejemplo 2.42 A partir de una hojalata rectangular de 90 cm. por 50 cm, se desea construir un reci-
piente, recortando en las esquinas un cuadrado de lado x (ver figura). Determine el volumen de dicho
recipiente.
90
90−2x x
50 50−2x
Solución. El volumen del recipiente será la función V dependiente de x dado por:
V (x) = x (90−2x) (50−2x)
Para calcular el dominio de esta función notemos que x debe ser positivo, además x debe ser menor a 25
¿por que?, por tanto el dominio de la función V es el intervalo DV = (0,25) .
Funciones 61
Ejemplo 2.43 Se desea inscribir un cono recto de radio basal x cm. y altura h cm. en una esfera de radio
10 cm. (ver figura), determinar el volumen del cono en términos de h.
h
x
20
A B
C
O
C D = diámetro = 20
CO = Altura del cono = h
AO =OB = radio del cono = x
Solución. El volumen del cono está dado por V (x,h) = 13πx2h, ahora encontraremos una relación entre
x y h. Es un resultado de geometría que:
(AO) (OB) = (CO) (OD)
por tanto:
x2 = h (20−h)
luego V (h) = 13πh (20−h)h = 13πh2 (20−h) , el dominio debe ser DV = (0,20) .
Actividades
1. Una caja tiene base rectangular cuadrada de lado igual a x y altura h. Si el volumen de dicha caja
es V , determinar la superficie total de la caja en términos de x. Sol.: S (x) = 2x2 + 4V
x
.
2. Considere la función:
f (x) =
{
x (x +2/3) , x ∈ [0,7]
−161(x −10)/9, x ∈ [7,10]
(a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0,7), con este punto se construye un rectángulo de
lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en la recta.
Determinar el área del rectángulo en términos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (7,10).
Sol. (a) A (a) =−a (a +2/3)(a −7)(9a +230)/161.
3. Considérese el triángulo de vértices A = (0,0) , B = (6,0) y C = (4,2) . Sobre el segmento AC se toma
un punto (a,b) y se construye un rectángulo, tal como se muestra en la figura. Determinar el área
del rectángulo en términos de a. Sol.: A (a) = 14
(
12a −3a2) .
x
y
4 6
2
(a,b)
4 6
2
62 Funciones
4. Con un punto
(
x, y
)
de una circunferencia de radio 3, en el primer cuadrante, se construye un
rectángulo de lados paralelos a los ejes de coordenadas inscrito en la circunferencia. Determinar
el área del rectángulo en función de x. Sol.: A (x) = 4x
�
9−x2, D A = [0,3]