8. Hallar dos números positivos tales que la suma del segundo número con el cuadrado del primero es 54 y que el producto sea máximo

Para resolver este problema, primero debemos plantear las ecuaciones que describen la situación. Llamemos al primer número "x" y al segundo número "y". Entonces, según el enunciado, tenemos el sistema de ecuaciones: 1) y + x^2 = 54 2) Queremos maximizar el producto, es decir, queremos maximizar xy. Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución. Primero despejamos "y" en términos de "x" en la primera ecuación: y = 54 - x^2. Luego, sustituimos este valor de "y" en la expresión del producto: P = x(54 - x^2). Para maximizar el producto, podemos derivar la expresión de P con respecto a x, igualarla a cero para encontrar los máximos y mínimos, y luego verificar el valor de la segunda derivada para asegurarnos de que sea un máximo. Derivando P con respecto a x, obtenemos: P' = 54x - 3x^3. Igualando a cero: 54x - 3x^3 = 0. Factorizando, obtenemos: x(54 - 3x^2) = 0. Esto nos da dos soluciones para x: x = 0 y x = ±√18. Luego, evaluamos la segunda derivada de P para x = ±√18. Si la segunda derivada es negativa, tendremos un máximo. Si es positiva, tendremos un mínimo. Después de encontrar el valor de x, podemos encontrar el valor correspondiente de y usando la ecuación y = 54 - x^2. Por lo tanto, los dos números positivos que cumplen con las condiciones dadas son (√18, 36) y (-√18, 36). Sin embargo, como estamos buscando números positivos, la respuesta final es (√18, 36).