Guia de ejercicios para cálculo - Prof. José Luis Quintero

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CÁLCULO I 
 
 
 
 
 
 
 
José Luis Quintero 
 
 
Serie Cálculo Diferencial e Integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 980-00-0725-3 
 
Primera edición: Marzo 2019 
 i 
 
 
ÍNDICE GENERAL 
 
 
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
1.1. Valor absoluto 
 1.1.1. Definición 
 1.1.2. Propiedades de interés 
 1.1.3. Problemas propuestos 
1.2. Distancia, punto medio y área 
 1.2.1. Distancia entre dos puntos 
 1.2.2. Punto medio 
 1.2.3. Área de un triángulo 
 1.2.4. Problemas propuestos 
1.3. Lugar geométrico y recta 
 1.3.1. Lugar geométrico 
 1.3.2. Recta 
 1.3.3. Formas de la ecuación de la recta 
 1.3.3.1. Conocidos un punto y su pendiente 
 1.3.3.2. Conocidos dos puntos 
 1.3.3.3. Ecuación simétrica o canónica 
 1.3.3.4. Ecuación general 
 1.3.4. Problemas propuestos 
1.4. Posiciones relativas entre dos rectas 
 1.4.1. Paralelismo 
 1.4.2. Perpendicularidad 
 1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes 
 1.4.4. Problemas propuestos 
1.5. Distancias 
 1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas 
 1.5.2. Problemas propuestos 
1.6. Ecuaciones de segundo grado 
 1.6.1. Secciones cónicas 
 1.6.2. Ecuación general 
1.7. Circunferencia 
 1.7.1. Definición 
 1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia 
 1.7.2.1. Conocidos centro y radio 
 1.7.2.2. Ecuación general 
 
1 
1 
1 
2 
5 
5 
6 
6 
7 
8 
8 
9 
9 
9 
10 
10 
11 
12 
13 
13 
13 
13 
14 
15 
15 
16 
17 
17 
17 
17 
17 
18 
18 
18 
Cálculo I – José Luis Quintero 
ii 
 
 1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia 
 1.7.4. Problemas propuestos 
1.8. Elipse 
 1.8.1. Definición 
 1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse 
 1.8.2.1. Ecuación canónica 
 1.8.2.2. Ecuación general 
 1.8.3. Problemas propuestos 
1.9. Hipérbola 
 1.9.1. Definición 
 1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola 
 1.9.2.1. Ecuación canónica 
 1.9.2.2. Ecuación general 
 1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular 
 1.9.4. Hipérbolas conjugadas 
 1.9.5. Asíntotas de la hipérbola 
 1.9.6. Problemas propuestos 
1.10. Parábola 
 1.10.1. Definición 
 1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola 
 1.10.2.1. Ecuación canónica 
 1.10.2.2. Ecuación general 
 1.10.3. Problemas propuestos 
1.11. Misceláneos 
 1.11.1. Motivación 
 1.11.2. Problemas propuestos 
 1.11.3. Problemas propuestos 
 
Capítulo 2. Funciones reales de variable real 
2.1. Función 
 2.1.1. Definición 
 2.1.2. Igualdad de funciones 
 2.1.3. Álgebra de funciones 
 2.1.4. Problemas propuestos 
2.2. Simetría y periodicidad 
 2.2.1. Dominio simétrico respecto del origen 
 2.2.2. Función par y función impar medio 
 2.2.3. Periodicidad 
 2.2.4. Problemas propuestos 
2.3. Composición de funciones 
 2.3.1. Definición 
 2.3.2. Dominio de la composición 
2.4. Inyectividad y función inversa 
 2.4.1. Crecimiento y decrecimiento 
 2.4.2. Función inyectiva 
 2.4.3. Función inversa 
19 
20 
21 
21 
22 
22 
25 
26 
27 
27 
27 
27 
30 
31 
31 
32 
32 
34 
34 
34 
34 
37 
38 
39 
39 
39 
40 
 
 
43 
43 
44 
44 
44 
48 
48 
48 
48 
49 
50 
50 
50 
51 
51 
51 
51 
 Índice 
 iii 
 
 2.4.4. Problemas propuestos 
2.5. Gráfico de funciones 
 2.5.1. Movimientos en el plano 
 2.5.2. Problemas propuestos 
 
Capítulo 3. Límites y continuidad 
3.1. Límite de una función 
 3.1.1. Definición 
3.2. Teoremas de límites 
3.3. Límites laterales 
3.4. Límites infinitos 
3.5. Límites al infinito 
3.6. Indeterminaciones 
3.7. Teorema del sándwich 
3.8. Límites notables 
3.9. Continuidad 
3.10. Teorema 
3.11. Límite de la función compuesta 
3.12. Teorema del valor intermedio 
3.13. Corolario 
3.14. Problemas propuestos 
 
Capítulo 4. La derivada de una función 
4.1. Definición 
4.2. Notaciones 
4.3. Álgebra de derivadas 
4.4. Regla de la cadena 
4.5. Derivación implícita 
4.6. Derivadas de orden superior 
4.7. Derivación paramétrica 
4.8. Problemas propuestos 
 
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada 
5.1. Regla de L’Hospital 
5.2. Definiciones 
5.3. Número crítico y valor crítico 
5.4. Teoremas de interés 
5.5. Criterio de la primera derivada (crecimiento y decrecimiento) 
5.6. Criterio de la primera derivada (máximos y mínimos) 
5.7. Concavidad y punto de inflexión 
5.8. Criterio de la segunda derivada (concavidad) 
5.9. Criterio de la segunda derivada (máximos y mínimos) 
5.10. Asíntotas al gráfico de una función 
5.11. Trazado de curvas 
5.12. Problemas de cambios relacionados 
5.13. Problemas de optimización 
52 
54 
54 
54 
 
 
57 
57 
58 
58 
59 
61 
62 
62 
62 
63 
63 
64 
64 
64 
65 
 
 
83 
84 
84 
84 
85 
85 
85 
86 
 
 
95 
96 
96 
97 
97 
97 
98 
98 
99 
99 
100 
100 
100 
Cálculo I – José Luis Quintero 
ii 
 
5.14. Problemas propuestos 
 
 
 
 
 
 1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes 
 1.4.4. Problemas propuestos 
1.5. Distancias 
 1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas 
 1.5.2. Problemas propuestos 
1.6. Ecuaciones de segundo grado 
 1.6.1. Secciones cónicas 
 1.6.2. Ecuación general 
1.7. Circunferencia 
 1.7.1. Definición 
 1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia 
 1.7.2.1. Conocidos centro y radio 
 1.7.2.2. Ecuación general 
 1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia 
 1.7.4. Problemas propuestos 
1.8. Elipse 
 1.8.1. Definición 
 1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse 
 1.8.2.1. Ecuación canónica 
 1.8.2.2. Ecuación general 
 1.8.3. Problemas propuestos 
1.9. Hipérbola 
 1.9.1. Definición 
 1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola 
 1.9.2.1. Ecuación canónica 
 1.9.2.2. Ecuación general 
 1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular 
 1.9.4. Hipérbolas conjugadas 
 1.9.5. Asíntotas de la hipérbola 
 1.9.6. Problemas propuestos 
1.10. Parábola 
 1.10.1. Definición 
 1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola 
 1.10.2.1. Ecuación canónica 
 1.10.2.2. Ecuación general 
101 
 
 
00 
00 
00 
00 
00 
00 
00 
00 
00 
00 
00 
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00 
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00 
00 
00 
00 
00 
 1 
 
 
 CAPÍTULO 1 
 
 
NÚMEROS REALES Y 
GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
 
 
1.1. Valor absoluto 
 
 
1.1.1. Definición. 
 
 
 
x si x 0
x
x si x 0
≥
= − <
 
 
 
1.1.2. Propiedades de interés. 
 
a. x 0≥ 
b. 2 2x x= 
c. x x= − 
d. xy x y= 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
2 
 
e. = ≥ x y x y (y 0) 
f. x a a x a (a 0)≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ 
g. x a x a ó x a (a 0)≥ ⇔ ≥ ≤ − ≥ 
h. 2x x= 
 
 
 
1.1.3. Problemas propuestos. 
 
 
1.1.3.1. Resuelva las siguientes inecuaciones. 
 
a. 2x 1 0+ > 
 
b. 3x 2 7− ≤ 
 
c. 4 3x 0− > 
 
d. 5x 3 2x 1+ < − 
 
e. 5(x 2) 3(x 5)− < + 
 
f. 3x 1 2x 3− < − 
 
g. 2x 5 3(x 5)+ < + 
 
h. 3 2(2x 1) (5 x) x 15+ − − − ≤ − 
 
i. 3(1 x)3x 1 x
2 5 10
2x
−− + ≤ + 
 
j. 2x 1
x 1
1−
+ < 
 
k. x 2
x 6
2−
− < 
 
l. 2x 9
3x 7
2 0+
++ < 
 1
2
Rta. ( , )− +∞ 
 
 Rta. ( ,3]−∞ 
 
 4
3
Rta. ( , )−∞ 
 
 4
3
Rta. ( , )−∞− 
 
 25
2
Rta. ( , ]−∞ 
 
 Rta. ( , 2)−∞ − 
 
 Rta. ( 10, )− +∞ 
 
 11
4
Rta. ( , ]−∞ − 
 
 Rta. ( , )−∞ +∞ 
 
 Rta. ( 1,2)− 
 
 Rta. ( ,6) (10, )−∞ ∪ +∞ 
 
 23 7
8 3
Rta. ( , )− − 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 3 
 
m. x 1
2x 6
4 0−
+− > 25
7
Rta. ( , ) ( 3, )−∞ − ∪ − +∞ 
 
 
1.1.3.2. Resuelva las siguientes inecuaciones. 
 
a. 2x 9 0− < 
 
b. 2x 9 0− ≥ 
 
c. 2x 9 0+ ≥ 
 
d. 2x 9 0+ ≤ 
 
e. 24 x 0− ≥ 
 
f. (x 4)(6 x) 0+ − < 
 
g. 26x x 9+ > − 
 
h. 22x 3x 6 0− + > 
 
i. 24(x 3) 4+ ≥ 
 
j. 2x x 0+ > 
 
k. 22x 3x 5 0+ − ≥ 
 
l. 2(2x 5) 9 0+ − < 
 
m. 2x x 3 2+ + < 
 
n. 2x 12x 35+ > − 
 
o. 5
x
x 4− < 
 
p. x 2 x
x 5 x 3
+
− +≤ 
 Rta. ( 3,3)− 
 
 Rta. ( ,3] [3, )−∞ ∪ +∞ 
 
 Rta. ( , )−∞ +∞ 
 
 Rta. ∅ 
 
 Rta. [ 2,2]− 
 
 Rta. ( , 4) (6, )−∞ − ∪ +∞ 
 
 Rta. ( , 3) ( 3, )−∞ − ∪ − +∞ 
 
 Rta. ( , )−∞ +∞ 
 
 Rta. ( , 4] [ 2, )−∞ − ∪ − +∞ 
 
 Rta. ( , 1) (0, )−∞ − ∪ +∞ 
 
 5
2
Rta. ( , ] [1, )−∞ − ∪ +∞ 
 
 Rta. ( 4, 1)− − 
 
 Rta. ∅ 
 
 Rta. ( , 7) ( 5, )−∞ − ∪ − +∞ 
 
 Rta. ( , 1) (0,5)−∞ − ∪ 
 
 3
5
Rta. ( , 3) [ ,5)−∞ − ∪ − 
Cálculo I – José Luis Quintero 
4 
 
q. x 1 2 3 3x 1
x 5 4 4x
− +
− ≥ − 
 
r. 
2x 4
2x 4
0−
+
< 
 
s. 
2x 4x 5
22x 1
1+ −
+
> 
 5
4
Rta. ( , 1] (0, ] (5, )−∞ − ∪ ∪ +∞ 
 
 Rta. ( 2,2)− 
 
 Rta. ∅ 
 
 
 
1.1.3.3. Resuelva las siguientes inecuaciones. 
 
a. x 4 1− < 
 
b. x 5 2+ ≥ 
 
c. 2x 1 5+ > 
 
d. 1
2
0 x 5< − < 
 
e. 1 x 4≤ ≤ 
 
f. 3 2x
2 x
4−
+ ≤ 
 
g. 6 5x 1
3 x 2
−
+ ≥ 
 
h. 
2x 3x 4
x 2
2+ +
+ < 
 
i. 3 5x 5 3x− ≤ − 
 
j. x 1 1
x 3 x
+
+ ≥ 
 
k. x
x
1≥ − 
 
l. x 2
x
0
− ≤ 
 
 Rta. (3,5) 
 
 Rta. ( , 7] [ 3, )−∞ − ∪ − +∞ 
 
 Rta. ( , 3) (2, )−∞ − ∪ +∞ 
 
{ } 9 11
2 2
Rta. ( , ) 5− 
 
 Rta. [ 4, 1] [1,4]− − ∪ 
 
 511
2 6
Rta. ( , ] [ , )−∞ − ∪ − +∞ 
 
 9 5
11 3
Rta. ( , 3) ( 3, ] [ , )−∞ − ∪ − ∪ +∞ 
 
 Rta. ( 1,0)− 
 
 Rta. [ 1,1]− 
 
 Rta. ( ,0) [ 3, ]−∞ ∪ +∞ 
 
{ } Rta. R 0− 
 
{ } Rta. ( ,0) 2−∞ ∪ 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 5 
 
m. 2x x x 3− < + 
 
n. x 4 2x 6+ ≤ − 
 
o. x x 1> − 
 
p. 3x 6 4x 3− ≤ + 
 
q. 2x 2x 4 4− − > 
 
r. 
2x x 1
5x 1
0
+ +
− < 
 
s. 
22x 4x 2
2x x 2
1− − −
+ −
≤ 
 
t. 2x 4 x 1 4+ − − ≤ 
 
u. x 3 2 x 5− + < 
 
v. 1 2x 2 x− ≤ + 
 
w. x x 1 2+ − < 
 
x. x 1 x 2 2x 9− > − + − 
 
y. +
+ − ≤2x 3x 1
x 1 2x 2 
 Rta. ( 1,3)− 
 
 2
3
Rta. ( , ] [10, )−∞ ∪ +∞
 
 
 1
2
Rta. ( , )+∞ 
 
 3
7
Rta. ( , 9] [ , )−∞ − ∪ +∞ 
 
 Rta. ( , 2) (0,2) (4, )−∞ − ∪ ∪ +∞ 
 
 1
5
Rta. ( , )−∞ 
 
 5
3
Rta. [ ,0]− 
 
 1
3
Rta. [ 9, ]− 
 
 2
3
Rta. ( ,2)− 
 
 Rta. [ 1,3]− 
 
 3
2
Rta. ( , )−∞ 
 
 Rta. (4,5) 
 
− − ∪ +∞ 1 1 1
2 5 3
Rta. [ , ] [ , ) 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
6 
 
1.2. Distancia, punto medio y área 
 
 
1.2.1. Distancia entre dos puntos. 
 
 La distancia entre dos puntos 1 1 1P (x ,y ) y 2 2 2P (x ,y ) está 
dada por la fórmula 
 
2 2
1 2 1 2 1 2d(P ,P ) (x x ) (y y )= − + − 
 
 
1.2.2. Punto medio. 
 
 Dado un segmento de extremos 1 1 1P (x ,y ) y 2 2 2P (x ,y ), se 
define su punto medio 1 2PM(P ,P ) como aquel punto del 
segmento que equidista de sus extremos. Se calcula como 
 
1 2 1 2
1 2
x x y y
PM(P ,P ) ,
2 2
+ + =  
 
. 
 
 
1.2.3. Área de un triángulo. 
 
 El área de un triángulo que tiene por vértices los 
puntos 1 1(x , y ); 2 2(x , y ) y 3 3(x , y ) es 
 
=
1 1
2 2
3 3
x y 1
1
A x y 1
2
x y 1
 
 
debiendo tomarse el valor absoluto del determinante. 
 
Observación. Una condición necesaria y suficiente para que 
tres puntos diferentes de coordenadas 1 1(x , y ); 2 2(x , y ) y 
3 3(x , y ) sean colineales es que 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 7 
 
=
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1 0
x y 1
 
 
 
 
1.2.4. Problemas propuestos. 
 
 
1.2.4.1. Calcule la distancia entre los puntos (5,-3) y (-2,7). 
 Rta. 149 
 
1.2.4.2. Un cuadrado de lado igual a 2a, tiene su centro en el 
origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Halle 
las coordenadas de sus cuatro vértices. 
 Rta. (a,a); (-a,a); (-a,-a); (a,-a) 
 
1.2.4.3. Los vértices de un triángulo rectángulo son los 
puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determine las longitudes de los 
catetos y después calcule el área del triángulo y la longitud de 
la hipotenusa. Rta. 6, 5 
 
1.2.4.4. Halle la distancia del origen al punto (a,b). 
 Rta. 2 2a b+ 
 
1.2.4.5. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los 
puntos (-1,1) y (3,1) Halle las coordenadas del tercer vértice. 
 Rta. (1,1 2 3); (1,1 2 3)+ − 
 
1.2.4.6. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son 
(-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). Rta. 20.26 
 
1.2.4.7. Demuestre que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son 
los vértices de un triángulo isósceles. 
 
1.2.4.8. Demuestre que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los 
vértices de un triángulo rectángulo y halle su área. Rta. 34 
Cálculo I – José Luis Quintero 
8 
 
1.2.4.9. Demuestre que los tres puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1) 
son colineales, es decir, que están sobre una misma línea 
recta. 
 
1.2.4.10. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,2), (4,-2) 
son los vértices de un cuadrado. 
 
1.2.4.11. Uno de los puntos extremos de un segmento es el 
punto (7,8) y su punto medio es (4,3). Halle el otro extremo. 
 Rta. (1,-2) 
 
 
 
1.3. Lugar geométrico y recta 
 
 
1.3.1. Lugar geométrico. 
 
 Suponga que se da una ecuación de dos variables, x, 
y, que se puede escribir, brevemente, en la forma f(x, y) 0= . 
En general, hay un número infinito de pares de valores (x,y) 
que satisfacen la ecuación f(x, y) 0= . Este convenio es la 
base de la siguiente definición: 
 
El conjunto de los puntos que satisfagan una ecuación 
f(x, y) 0= , se llama gráfica de la ecuación o, bien, su lugar 
geométrico. 
 
 Una observación importante está dada como sigue 
 
Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 
f(x, y) 0= pertenece a la gráfica de la ecuación. 
 
 Para una curva, dar la condición que deben cumplir 
sus puntos es dar una ley a la cual deben obedecer los 
puntos de la curva. Esto significa que todo punto de la curva 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 9 
 
debe satisfacer la ley particular de la curva. De acuerdo con 
esto se define frecuentemente una curva como 
 
El lugar geométrico descrito por un punto que se mueve 
siguiendo una ley especificada. 
 
 
1.3.2. Recta. 
 
Es el lugar geométrico de los puntostales que tomados dos 
puntos diferentes cualesquiera A AA(x ,y ) y B BB(x ,y ) del lugar, 
el valor de la pendiente m resulta siempre constante. 
 
 De lo anterior vale formular el concepto de pendiente 
como sigue: 
 
Es la tangente del ángulo de inclinación. Se denota por 
m tg( )= α . 
 
 De lo anterior vale formular el concepto de ángulo de 
inclinación como sigue: 
 
Es el ángulo entre la parte positiva del eje x o eje de las 
abscisas y la recta, medido en sentido antihorario. 
 
 
1.3.3. Formas de la ecuación de la recta. 
 
1.3.3.1. Conocidos un punto y su pendiente. 
 
 Sean 1 1P(x , y ) y Q(x,y) cualquier punto sobre la recta, 
se tiene entonces que 
1
1
y y
m
x x
−=
− . 
 
La expresión anterior conduce mediante despeje a la 
expresión 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
10 
 
1 1y y m(x x )− = −
 
 
 
Observaciones de interés. 
 
• Si 1 1P(x ,y ) (0,0)= se tiene que y mx= (pasa por el 
origen) 
• Si 1 1P(x ,y ) (0,b)= se tiene que y mx b= + 
 
 
1.3.3.2. Conocidos dos puntos. 
 
 Sean 1 1P(x , y ) y 2 2Q(x ,y ) se tiene entonces que 
 
 2 1
1 1 1 2
2 1
y y
y y (x x ), x x
x x
−− = − ≠
−
. 
 
 
Observaciones de interés. 
 
• Si 1 2y y= se tiene que 1y y= (recta horizontal) 
• Si 1 2x x= entonces 1x x= (recta vertical) 
 
 
1.3.3.3. Ecuación simétrica o canónica. 
 
 Sean a 0≠ y b 0≠ los segmentos que una recta 
determina sobre los ejes x e y. Entonces (a,0) y (0,b) son dos 
puntos de la recta y por lo tanto el problema se reduce a 
encontrar la ecuación de la recta dados dos puntos. 
 
 En tal sentido 
 
 
b 0 b
y 0 (x a) y (x a) ay b(x a)
0 a a
bx ay ab
bx ay ab
ab ab ab
−− = − ⇒ = − − ⇒ = − −
−
⇒ + = ⇒ + =
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 11 
 
 Así, se obtiene la ecuación simétrica de la recta dada 
por 
 
x y
1
a b
+ =
 
 
 
1.3.3.4. Ecuación general. 
 
 Sea la ecuación de la recta dados dos puntos: 
 
 2 1
1 1 1 2
2 1
y y
y y (x x ), x x
x x
−− = − ≠
−
 
 
 
 Despejando e igualando a cero: 
 
 
 
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2
(x x )y (x x )y (y y )x (y y )x , x x
(y y )x (x x )y (y y )x (x x )y 0, x x
− − − = − − − ≠
− + − + − − − = ≠
 
 
 
 Sean 1 2y y A− = , 2 1x x B− = y 
 
2 1 1 2 1 1 1 1(y y )x (x x )y Ax By C− − − = − − = . 
 
 
 La ecuación resultante se llama ecuación general de la 
recta y viene dada por 
 
Ax By C 0+ + = 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
12 
 
 
1.3.4. Problemas propuestos. 
 
 
1.3.4.1. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3), (4,1). Si 
un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su 
ordenada? Rta. 5 
 
1.3.4.2. Demuestre que el punto (1,-2) es colineal con los 
puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista de ellos. 
 
1.3.4.3. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 
A(1,5) y tiene de pendiente 2. Rta. 2x-y+3=0 
 
1.3.4.4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 
A(-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45o . 
 Rta. x-y+3=0 
 
1.3.4.5. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y 
cuya intersección con el eje Y es –2. Rta. 3x+y+2=0 
 
1.3.4.6. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4), 
C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de sus lados. 
 Rta. 2x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+2y-56=0, y=0 
 
1.3.4.7. Los segmentos que una recta determina sobre los 
ejes X e Y son 2 y –3 respectivamente. Halle su ecuación. 
 Rta. 3x-2y-6=0 
 
1.3.4.8. Una recta pasa por los dos puntos A(-3,-1) y B(2,-6). 
Halle su ecuación en la forma simétrica. Rta. x/-4 + y/-4=1 
 
1.3.4.9. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A(-1,4). 
Hallar su ecuación en forma simétrica. Rta. x/1 + y/2 = 1 
 
 
 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 13 
 
1.4. Posiciones relativas entre dos rectas 
 
 
1.4.1. Paralelismo. 
 
 A continuación algunas definiciones claves sobre 
paralelismo: 
 
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen igual ángulo de 
inclinación. 
 
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen igual pendiente, o 
bien ambas son paralelas al eje de las ordenadas. 
 
 
1.4.2. Perpendicularidad. 
 
 A continuación algunas definiciones claves sobre 
perpendicularidad: 
 
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si forman entre ellas 
ángulos de o90 . 
 
Dos rectas de pendientes 1m y 2m son perpendicularidades si 
y sólo si = −1 2m m 1, o bien una es vertical y otra horizontal. 
 
 
1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes. 
 
 A continuación definiciones sobre rectas 
coincidentes y rectas secantes: 
 
Dos rectas son coincidentes si tienen un punto común y la 
misma pendiente. 
 
Dos rectas son secantes si se cortan en uno y solamente un 
punto. 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
14 
 
TEOREMA 1. Si las ecuaciones de dos rectas son 
+ + =1 1 1A x B y C 0 y + + =2 2 2A x B y C 0 , las relaciones 
siguientes son condiciones necesarias y suficientes para 
• Paralelismo: − =1 2 2 1A B A B 0 
• Perpendicularidad: + =1 2 1 2A A B B 0 
• Coincidencia: = = = ≠ 1 2 1 2 1 2A kA , B kB , C kC (k 0) 
• Intersección en uno y solamente un punto: − ≠1 2 2 1A B A B 0 
 
 
 
1.4.4. Problemas propuestos. 
 
 
1.4.4.1. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la 
recta que pasa por C(-2,2) y D(3,-4). Halle su ecuación. 
 Rta. 6x+5y-82=0 
 
1.4.4.2. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y 
que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y-8=0 
y 3x-2y+9=0. Rta. 4x+y-10=0 
 
1.4.4.3. Halle el área del triángulo rectángulo formado por 
los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x+4y+20=0. 
 Rta. 10 
 
1.4.4.4. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya 
pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7,-2). Calcule la 
abscisa de P. Rta. 11 
 
1.4.4.5. Halle la ecuación de la recta, que es perpendicular a 
la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3). 
 Rta. 4x+3y+13=0 
 
1.4.4.6. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 
sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. Rta. 4 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 15 
 
1.4.4.7. Determine el valor de k para que la recta 4x+5y+k=0 
forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de 
área igual a 2.5 unidades cuadradas. Rta. ±10 
 
1.4.4.8. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 
halle los valores de a y b para que representen rectas que 
pasan por el punto (2,-3). Rta. a=4, b=7 
 
1.4.4.9. Sea el triángulo cuyos vértices son A(-2,1),B(4,7) y 
C(6,-3). 
a. Halle las ecuaciones de sus lados. 
 Rta. x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0 
b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es 
paralela al lado opuesto BC. Rta. 5x+y+9=0 
 
1.4.4.10. Determine el valor de los coeficientes A y B de la 
ecuación Ax-By+4=0 de una recta, si debe pasar por los 
puntos C(-3,1) y D(1,6). Rta. A=20/19, B=16/19 
 
 
 
1.5. Distancias 
 
 
1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas. 
 
 A continuación algunas definiciones y fórmulas claves 
sobre distancia de un punto a una recta y sobre 
distancia entre rectas paralelas: 
 
La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta 
del punto a la recta. Sean el punto 0 0P(x , y ) y la recta R de 
ecuación + + =Ax By C 0 . La distancia del punto P a la recta R 
se calcula través de la fórmula 
 
+ +
=
+
0 0
2 2
Ax By C
d(P,R)
A B
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
16 
 
Sean las rectas paralelas 1R de ecuación + + =1Ax By C 0 y
2R de ecuación + + =2Ax By C 0 . La distancia entre las rectas
1R y 2R se calcula través de la fórmula 
 
−
=
+
1 2
1 2
2 2
C C
d(R ,R )
A B
 
 
 
 
1.5.2. Problemas propuestos. 
 
 
1.5.2.1. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la 
ecuación de una recta L es 4x+3y=12. Halle la distancia del 
punto P a la recta L. Rta. 14/5 
 
1.5.2.2. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto 
P(2,-3). Rta. 
33
41
41 
 
1.5.2.3. La distancia de la recta 4x-3y+1=0 al punto P es 4. 
Si la ordenada de P es 3, halle su abscisa. Rta. -3, 7 
 
1.5.2.4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 
(3,1) y tal que la distancia de esta recta al punto (-1,1) sea 
igual a 2 2 . Rta. x+y-4=0, x-y-2=0 
 
1.5.2.5. Dibuje la región limitada por las rectas 
= + = − + = − y x 1 , y x 1 , y 2x 4. 
Calcule el perímetro de la frontera de la región anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 17 
 
1.6. Ecuaciones de segundo grado 
 
 
1.6.1. Secciones cónicas. 
 
 A continuación la definición de sección cónica: 
 
Es la curva que se obtiene al intersectar un cono con un plano. 
 
 Como ejemplos de secciones cónicas se tienen la 
circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. 
 
 
1.6.2. Ecuación general. 
 
 Si la ecuación 
 
+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0 
 
representa un lugar geométrico real, éste debe ser una 
sección cónica con uno de los ejes paralelos ( o coincidente) 
con uno de los ejes coordenados, o bien uno de los casos 
excepcionales de un punto, dos rectas coincidentes, dos 
rectas paralelas o dos rectas que se cortan. Estos casos 
excepcionales se llaman también formas límite de las cónicas 
o cónicas degeneradas. 
 
 
 
1.7. Circunferencia 
 
 
1.7.1. Definición. 
 
 A continuación la definición de circunferencia: 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
18 
 
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan 
de un punto fijo llamado centro. La distancia entre cada punto 
y el centro se denomina radio. 
 
 
1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia. 
 
1.7.2.1. Conocidos centro y radio. 
 
 Sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia de 
centro C(h,k) y radio >r 0 . Usando la fórmula de distancia 
entre dos puntos se tiene 
 
= − + − =2 2d(C,P) (x h) (y k) r 
 
 De lo anterior se genera la ecuación 
 
− + − =2 2 2(x h) (y k) r
 
 
 
1.7.2.2. Ecuación general. 
 
 Desarrollando la ecuación centro radio e igualando a 
cero se tiene que 
 
− + − = ⇒ − + + − + − =2 2 2 2 2 2 2 2(x h) (y k) r x 2hx h y 2ky k r 0 
 
 Si se hacen = −D 2h , = −E 2k y = + −2 2 2F h k r se 
obtiene 
 
+ + + + =2 2x y Dx Ey F 0
 
 
 
 Agrupando y completando cuadrados en la ecuación 
anterior se tiene que 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 19 
 
   
+ + + + + = + − ⇒   
   
+ −+ + + =
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
D E D E
x Dx y Ey F
4 4 4 4
D E 4F
(x D) (y E)
4
 
 
 
Observaciones de interés. 
 
• Si + − >2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior representa una 
circunferencia de centro en el punto − −D E
2 2
( , ) y radio igual 
a + −2 21
2
D E 4F 
• Si + − =2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior representa solo un 
punto de coordenadas 
• Si + − <2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior no representa un 
lugar geométrico 
 
 
1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una 
circunferencia. 
 
 Sean la recta + + =Ax By C 0 y la circunferencia 
+ + + + =2 2x y Dx Ey F 0. Si se desean encontrar los puntos 
comunes a ambas curvas debe plantearse el sistema 
 
+ + =

+ + + + =
2 2
Ax By C 0
x y Dx Ey F 0
. 
 
 Si se despeja la variable y de la primera ecuación y 
se sustituye en la segunda ecuación, se obtiene 
 
   + − − + + − − + =   
   
2
2 A C A C
x x Dx E x F 0
B B B B
 
 
 Desarrollando y ordenando términos se tiene 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
20 
 
   + + − + + − + =   
  
2 2
2
2 2 2
A 2AC EA C EC
1 x D x F 0
B BB B B
 
 
 
 De acuerdo a como sean las soluciones de la 
expresión de segundo grado anterior se tiene: 
 
• Si las dos soluciones son reales y distintas se dice que la 
recta y la circunferencia se tocan en dos puntos (recta 
secante). 
• Si las dos soluciones son reales e iguales se dice que la 
recta y la circunferencia se tocan en un solo punto (recta 
tangente). 
• Si las dos soluciones son imaginarias se dice que la recta y 
la circunferencia no tienen ningún punto en común (recta 
exterior). 
 
 
 
1.7.4. Problemas propuestos. 
 
 
1.7.4.1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia 
son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Halle la ecuación de la curva. 
 Rta. + + − =2 2(x 1) (y 4) 10 
 
1.7.4.2. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es 
el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(2,2). 
 Rta. − + + =2 2(x 7) (y 6) 89 
 
1.7.4.3. Halle la ecuación de la circunferencia de centro 
C(2,-4) y que es tangente al eje Y. Rta. − + + =2 2(x 2) (y 4) 4 
 
1.7.4.4. La ecuación de una circunferencia es 
− + + =2 2(x 3) (y 4) 36. Demuestre que el punto A(2,-5) es 
interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior. 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 21 
 
1.7.4.5. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y 
cuyo centro es el punto de intersección de las rectas de 
ecuaciones 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0. 
 Rta. − + + =2 2(x 6) (y 3) 25 
1.7.4.6. La ecuación de una circunferencia es 
+ + − =2 2(x 2) (y 3) 5 . Halle la ecuación de la tangente a la 
circunferencia que pasa por el punto (3,3). 
 Rta. x+2y-9=0, x-2y+3=0. 
 
1.7.4.7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación 
es + + − − =2 225x 25y30x 20y 62 0 . Rta. π2 3 
 
1.7.4.8. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos 
(0,2) y (7,3). Halle su ecuación. 
 Rta. − + + = − + − = 2 2 2 2(x 4) (y 1) 25 , (x 3) (y 6) 25 
 
1.7.4.9. Determine el valor de la constante k para que la 
recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la circunferencia 
+ + + =2 2x y 6x 4y 0 . Rta. k= -1, 25 
 
1.7.4.10. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a 
+ =2 2x y 25 que pasan por el punto (7,-1). 
 
 
 
1.8. Elipse 
 
 
1.8.1. Definición. 
 
 A continuación la definición de elipse: 
 
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano 
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos 
fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que 
Cálculo I – José Luis Quintero 
22 
 
la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se 
llaman focos de la elipse. 
 
 
1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse. 
 
1.8.2.1. Ecuación canónica. 
 
 Considere primero a la elipse de centro en el origen y 
cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F y F’ están 
sobre el eje x. Como el centro O es el punto medio del 
segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán, por ejemplo, 
(c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante 
positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. El punto 
P debe satisfacer la condición geométrica 
 
+ =FP F 'P 2a, 
 
en donde a es una constante positiva mayor que c. 
 
 Se sabe que 
 
= − + = + + 2 2 2 2FP (x c) y , F 'P (x c) y 
 
 De modo que 
 
− + + + + =2 2 2 2(x c) y (x c) y 2a 
 
 Para simplificar la ecuación anterior, se pasa el 
segundo radical al segundo miembro, se eleva al cuadrado, se 
simplifica y se agrupan los términos semejantes. Esto da 
como resultado 
 
+ = + +2 2 2cx a a (x c) y . 
 
 Elevando al cuadrado nuevamente, se obtiene 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 23 
 
+ + = + + +2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2a cx a c a y , 
 
de donde, 
− + = −2 2 2 2 2 2 2 2(a c )x a y a (a c ). 
 
 Como >2a 2c implica >2 2a c y −2 2a c es un número 
positivo que puede ser reemplazado por el número positivo 
2b , es decir, = −2 2 2b a c . 
 
 Si en la ecuación anterior se reemplaza −2 2a c por 2b , 
se obtiene 
 
+ =2 2 2 2 2 2b x a y a b , 
 
y dividiendo por 2 2a b , se obtiene, finalmente, 
 
+ =
2 2
2 2
x y
1.
a b
 
 
 
 Si se considera ahora el caso en que el centro de la 
elipse está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje y, 
las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0,-c). En 
este caso, por el mismo procedimiento empleado 
anteriormente, se halla que la ecuación de la elipse es 
 
+ =
2 2
2 2
x y
1.
b a
 
 
 
 Ahora se considera la determinación de la ecuación de 
una elipse cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes son 
paralelos a los ejes coordenados. Según esto, se considera la 
elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es 
paralelo al eje x. Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes 
mayor y menor de la elipse, respectivamente. 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
24 
 
 Si los ejes coordenados son trasladados de manera que 
el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de la elipse, se 
sigue que la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos 
ejes x’ y y’ está dada por 
 
+ =
'2 '2
2 2
x y
1.
b a
 
 
 
 De la ecuación anterior puede deducirse la ecuación de 
la elipse referida a los ejes originales x y y usando las 
ecuaciones de transformación, a saber: 
 
= + = + x x ' h , y y ' k, 
 
de donde 
 
= − = − x ' x h , y ' y k. 
 
 
 Si se sustituyen estos valores de x’ y y’, se obtiene 
 
− −+ =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
 
 
que es la ecuación de la elipse referida a los ejes originales x 
y y. 
 
 Análogamente, se puede demostrar que la elipse cuyo 
centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y 
tiene por ecuación 
 
− −+ =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
b a
. 
 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 25 
 
 La longitud de cada lado recto en una elipse es igual a 
22b a . 
 
 Un elemento importante de una elipse es su 
excentricidad que se define como la razón c a y se representa 
usualmente por la letra e. Como <c a , la excentricidad de 
una elipse es menor que la unidad. 
 
 
1.8.2.2. Ecuación general. 
 
 Considere la ecuación de la elipse en la forma 
 
− −+ =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
. 
 
 Si se quitan denominadores, se desarrolla, se traspone 
y se ordenan términos, se obtiene 
 
+ − − + + − =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x a y 2b hx 2a ky b h a k a b 0 , 
 
la cual puede escribirse en la forma 
 
+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0 , 
 
en donde, 
 
= = = − = − = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A b , C a , D 2b h, E 2a k y F b h a k a b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
26 
 
 
1.8.3. Problemas propuestos. 
 
 
1.8.3.1. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje 
mayor coincide con el eje X. Halle su ecuación sabiendo que 
pasa por los puntos −( 6, 1) y (2, 2). Rta. + =
22 yx
8 4
1 
 
1.8.3.2. Halle la ecuación de la elipse cuyos vértices son los 
puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0), (-3,0). 
 Rta. + =
22 yx
16 7
1 
 
1.8.3.3. Los vértices mayores de una elipse son los puntos 
(1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la ecuación de la 
elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus 
ejes mayor y menor y de cada lado recto. 
 Rta. 
− −+ =
2 2(x 4) (y 1)
9 8
1; focos (5,1), (3,1), 6, 4 2 , 16/3 
 
1.8.3.4. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de 
sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado 
recto es 4, halle la ecuación de la elipse, su excentricidad y 
las coordenadas de sus focos. 
 Rta. 
+ ++ = = − + − − − − 
2 2(x 2) (y 1) 15
25 10 5
1, e , ( 2 15, 1),( 2 15, 1) 
 
1.8.3.5. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro 
en (4,-1), uno de los focos está en (1,-1) y pasa por (8,0). 
 Rta. − ++ =
2 2(x 4) (y 1)
18 9
1 
 
1.8.3.6. Para cada ecuación general determine las 
coordenadas del centro, vértices y focos. Halle la longitud de 
los ejes mayor, menor y el lado recto. Halle además la 
excentricidad. 
• + − + + =2 2x 4y 6x 16y 21 0 
• + + − + =2 24x 9y 32x 18y 37 0 
• + − − =2 29x 4y 8y 32 0 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 27 
 
1.9. Hipérbola 
 
 
1.9.1. Definición. 
 
 A continuación la definición de hipérbola: 
 
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano 
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus 
distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es 
siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que 
la distancia entre los focos. 
 
 
1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola. 
 
1.9.2.1. Ecuación canónica.Considere primero a la hipérbola de centro en el origen 
y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F1 y F2 están 
sobre el eje x. Como el centro O es el punto medio del 
segmento F1F2, las coordenadas de F1 y F2 serán, por 
ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una 
constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la 
hipérbola. El punto P debe satisfacer la condición geométrica 
 
− =FP F 'P 2a, 
 
en donde a es una constante positiva menor que c. 
 
 Se sabe que 
 
= − + = + + 2 2 2 2FP (x c) y , F 'P (x c) y , 
 
de manera que la condición geométrica está expresada 
analíticamente por las dos relaciones 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
28 
 
− + − + + =
− + − + + = −
2 2 2 2
2 2 2 2
(x c) y (x c) y 2a
(x c) y (x c) y 2a
 
 
 La primera relación anterior es verdadera cuando P 
está sobre la rama izquierda de la hipérbola; la segunda 
relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha. 
 
 Usando el mismo procedimiento para la elipse, se 
puede demostrar que las ecuaciones anteriores se reducen 
cada una a 
 
− − = −2 2 2 2 2 2 2 2(c a )x a y a (c a ). 
 
 Como <2a 2c es <2 2a c y −2 2c a es un número 
positivo que puede ser reemplazado por el número positivo 2b 
es decir, 
= −2 2 2b c a 
 
 Si se reemplaza −2 2c a por 2b , se obtiene 
 
− =2 2 2 2 2 2b x a y a b , 
 
y dividiendo por 2 2a b , se obtiene, finalmente, 
 
− =
2 2
2 2
x y
1.
a b
 
 
 
 Si se considera ahora el caso en que el centro de la 
hipérbola está en el origen, pero su eje focal coincide con el 
eje y. Las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0,-c). 
 
 En este caso, por el mismo procedimiento empleado 
para deducir la ecuación anterior, se halla que la ecuación de 
la hipérbola es 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 29 
 
− =
2 2
2 2
y x
1
a b
 
 
 
 Ahora se considera la determinación de la ecuación de 
una hipérbola cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes 
son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, se 
considera la hipérbola cuyo centro está en el punto (h,k) y 
cuyo eje focal es paralelo al eje x. Sean 2a y 2b las longitudes 
de los ejes transverso y normal de la hipérbola, 
respectivamente. 
 
 Si los ejes coordenados son trasladados de manera que 
el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de la hipérbola, 
se sigue que la ecuación de la hipérbola con referencia a los 
nuevos ejes x’ y y’ está dada por 
 
− =
'2 '2
2 2
x y
1.
a b
 
 
 
 De la ecuación anterior puede deducirse la ecuación de 
la hipérbola referida a los ejes originales x y y usando las 
ecuaciones de transformación, a saber: 
 
= + = + x x ' h , y y ' k, 
 
de donde 
 
= − = − x ' x h , y ' y k. 
 
 Si se sustituyen estos valores de x’ y y’ en la ecuación 
anterior, se obtiene 
 
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
30 
 
que es la ecuación de la hipérbola referida a los ejes 
originales x y y. 
 
 Análogamente, se puede demostrar que la hipérbola 
cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje 
Y tiene por ecuación 
 
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
a b
. 
 
 La longitud de cada lado recto en una hipérbola es igual 
a 22b a . 
 
 Un elemento importante de una hipérbola es su 
excentricidad que se define como la razón c a y se representa 
usualmente por la letra e. Como >c a, la excentricidad de 
una hipérbola es mayor que la unidad. 
 
 
1.9.2.2. Ecuación general. 
 
 Considere la ecuación de la hipérbola en la forma 
 
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
. 
 
 Si se quitan denominadores, se desarrolla, se traspone 
y se ordenan términos, se obtiene 
 
− − + + − − =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x a y 2b hx 2a ky b h a k a b 0 , 
 
la cual puede escribirse en la forma 
 
+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0 
 
en donde, 
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 31 
 
= = − = − = = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A b , C a , D 2b h, E 2a k y F b h a k a b . 
 
 
 Evidentemente, los coeficientes A y C deben ser de 
distinto signo. 
 
 
1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular. 
 
 Considere una hipérbola con eje focal paralelo al eje x 
y cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud. 
Entonces su ecuación toma la forma sencilla 
 
− − − =2 2 2(x h) (y k) a 
 
 Debido a la igualdad de sus ejes, la hipérbola se llama 
hipérbola equilátera. 
 
 
1.9.4. Hipérbolas conjugadas. 
 
 Si dos hipérbolas son tales que el eje transverso de 
cada una es idéntico al eje conjugado de la otra, se llaman 
hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la 
hipérbola conjugada de la otra, y también se dice que cada 
hipérbola es conjugada con respecto a la otra. Si la ecuación 
de una hipérbola es 
 
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
 
 
entonces la hipérbola conjugada tiene por ecuación 
 
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
b a
. 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
32 
 
1.9.5. Asíntotas de la hipérbola. 
 
Ecuación de la hipérbola Ecuación de las asíntotas 
 
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
 − = ± −b
(y k) (x h)
a
 
 
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
b a
 − = ± −b
(y k) (x h)
a
 
 
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
b a
 − = ± −a
(y k) (x h)
b
 
 
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
a b
 − = ± −a
(y k) (x h)
b
 
 
 
 
1.9.6. Problemas propuestos. 
 
 
1.9.6.1. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y 
(3,3) y su excentricidad es 3/2. Halle la ecuación de la 
hipérbola, las coordenadas de sus focos y las longitudes de 
sus ejes transverso y conjugado y de cada lado recto. 
 Rta. − −− = − 
2 2(x 1) (y 3)
4 5
1, (4,3); ( 2,3); 4, 2 5, 5 
 
1.9.6.2. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-2,2) y 
(-2,-4) y la longitud de su lado recto es 2. Halle la ecuación de 
la curva, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. 
 Rta. + +− = − − + − − − 
2 2(y 1) (x 2) 2 3
9 3 3
1; ( 2, 1 2 3); ( 2, 1 2 3); 
 
1.9.6.3. El centro de una hipérbola es el punto (2,-2) y uno 
de sus vértices el punto (0,-2). Si la longitud de su lado recto 
es 8, halle la ecuación de la curva, la longitud de su eje 
conjugado y su excentricidad. 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 33 
 
 Rta. − +− = 
2 2(x 2) (y 2)
4 8
1; 4 2; 3 
 
1.9.6.4. Los focos de una hipérbola son los puntos (4,-2) y 
(4,-8) y la longitud de su eje transverso es 4. Halle la 
ecuación de la hipérbola, la longitud de su lado recto y su 
excentricidad. Rta. + −− = 
2 2(y 5) (x 4)
4 5
1, 5 
 
1.9.6.5. El centro de una hipérbola es el punto (4,5) y uno de 
sus focos es (8,5). Si la excentricidad de la hipérbola es 2, 
halle su ecuación y las longitudes de sus ejes transverso y 
conjugado. 
 
1.9.6.6. Los vértices de una hipérbola son los puntos(-3,2) y 
(-3,-2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Halle la 
ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su 
excentricidad. 
 Rta. +− = − − − 
22 (x 3)y 13
4 9 2
1, ( 3, 13); ( 3, 13); 
 
1.9.6.7. Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por los 
puntos (3,-2) y (7,6), tiene su centro en el origen y el eje 
transverso coincide con el eje X. Rta. − =2 24x 5y 16 
 
1.9.6.8. Si k es un número cualquiera diferente de cero, 
demuestre que la ecuación − =2 23x 3y k representa una 
familia de hipérbolas de excentricidad igual a 2 . 
 
1.9.6.9. Para cada ecuación general determine las 
coordenadas del centro, vértices y focos. Halle la longitud de 
los ejes transverso, conjugado y el lado recto. Halle además la 
excentricidad. 
• − − + − =2 2x 9y 4x 36y 41 0 
• − + + + =2 24x 9y 32x 36y 64 0 
• − − + =2 2x 4y 2x 1 0 
• − + + + =2 29x 4y 54x 16y 29 0 
• − + + =2 23x y 30x 78 0 
Cálculo I – José Luis Quintero 
34 
 
1.9.6.10. Demuestre que la hipérbola − =2 2 2 2 2 2b y a y a b
 
tiene 
por asíntotas las rectas − =by ax 0
 
y + =by ax 0. 
 
1.9.6.11. Halle las ecuaciones de las asíntotas de la 
hipérbola − =2 24x 5y 7 . Rta. − = + = 2x 5y 0, 2x 5y 0
 
 
1.9.6.12. Halle los puntos de intersección de la recta 
− + =2x 9y 12 0
 
con las asíntotas de la hipérbola 
− =2 24x 9y 11. Rta. − 3
2
(3,2); ( ,1) 
 
1.9.6.13. Halle la ecuación de la tangente a la hipérbola
− =2 2x y 16
 
trazada desde el punto (2,-2). 
 Rta. − − =5x 3y 16 0 
 
 
 
1.10. Parábola 
 
 
1.10.1. Definición. 
 
 A continuación la definición de parábola: 
 
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano 
de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el 
plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del 
plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco 
y la recta fija directriz de la parábola. 
 
 
1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola. 
 
1.10.2.1. Ecuación canónica. 
 
 Considere primero a la parábola de vértice en el origen 
y cuyo eje focal coincide con el eje x. Sean (p,0) las 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 35 
 
coordenadas del foco. Por definición de parábola, la ecuación 
de la directriz l es = −x p . Sea P(x,y) un punto cualquiera de 
la parábola. Por definición de parábola, el punto P debe 
satisfacer la condición geométrica 
 
=FP PA 
 
la condición geométrica anterior está expresada, 
analíticamente, por la ecuación 
 
− + = +2 2(x p) y x p . 
 
 Si se elevan al cuadrado ambos miembros de esta 
ecuación y se simplifica, se obtiene 
 
=2y 4px 
 
 La única simetría que posee el lugar geométrico de la 
ecuación anterior es con respecto al eje x. Despejando y de la 
ecuación, se tiene: 
 
= ±y 2 px 
 
 Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, 
p y x deben ser del mismo signo. 
 
 Frecuentemente se necesita obtener la ecuación de una 
parábola cuyo vértice no esté en el origen y cuyo eje sea 
paralelo, y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes 
coordenados. Considere la parábola cuyo vértice es el punto 
(h,k) y cuyo eje es paralelo al eje x. Si los ejes coordenados 
son trasladados de tal manera que el nuevo origen O’ 
coincida con el vértice (h,k), de modo que la ecuación de la 
parábola con referencia a los nuevos ejes x’ y y’ está dada por 
 
=2y ' 4px ' . 
Cálculo I – José Luis Quintero 
36 
 
 
 A partir de la ecuación de la parábola referida a los 
ejes originales x y y, se puede obtener la ecuación inicial 
usando las ecuaciones de transformación, a saber, 
 
= + = + x x ' h , y y ' k, 
 
de donde 
 
= − = − x ' x h , y ' y k. 
 
 
 Si se sustituyen estos valores de x’ y y’ en la ecuación 
inicial, se obtiene 
 
− = −2(y k) 4p(x h). 
 
 Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto 
(h,k) y cuyo eje es paralelo al eje y tiene por ecuación 
 
− = −2(x h) 4p(y k), 
 
en donde p es la longitud de aquella porción del eje 
comprendida entre el foco y el vértice. 
 
 Los resultados anteriores conducen al siguiente 
 
TEOREMA 2. La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y 
eje paralelo al eje x, es de la forma 
− = −2(y k) 4p(x h), 
siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el 
foco y el vértice. 
 
 Si >p 0, la parábola se abre hacia la derecha; si <p 0, 
la parábola se abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto 
(h,k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación 
es de la forma 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 37 
 
 
− = −2(x h) 4p(y k). 
 
 Si >p 0, la parábola se abre hacia arriba; si <p 0, la 
parábola se abre hacia abajo. 
 
 
1.10.2.2. Ecuación general. 
 
 Considere la ecuación de la parábola en la forma 
 
− = −2(y k) 4p(x h). 
 
 Si se desarrolla y traspone términos se obtiene 
 
− − + + =2 2y 4px 2ky k 4ph 0, 
 
que puede escribirse en la forma 
 
+ + + =2y Dx Ey F 0 . 
 
 Si se considera la ecuación de la parábola en la forma 
 
− = −2(x h) 4p(y k), 
 
al desarrollar, trasponer términos e igualar a cero, la 
ecuación resultante puede escribirse en la forma 
 
+ + + =2x Dx Ey F 0 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
38 
 
 
1.10.3. Problemas propuestos. 
 
 
1.10.3.1. Halle la ecuación de la parábola de vértice (-4,3) y 
de foco (-1,3). Halle también la ecuación de su directriz. 
 Rta. − = + = − 2(y 3) 12(x 4), x 7 
 
1.10.3.2. La directriz de una parábola es la recta − =y 1 0, y 
su foco es el punto (4,-3).Halle la ecuación de la parábola. 
 Rta. − = − +2(x 4) 8(y 1) 
 
1.10.3.3. La ecuación de una familia de parábolas es 
= +2y ax bx . Halle la ecuación del elemento de la familia que 
pasa por los dos puntos (2,8) y (-1,5). Rta. = −2y 3x 2x 
 
1.10.3.4. Halle la ecuación de la parábola cuyo eje es 
paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0,0); (8,-4) y 
(3,1). Rta. − + =2y x 2y 0 
 
1.10.3.5. Halle la ecuación de la parábola de vértice el punto 
(4,-1), eje la recta + =y 1 0 y que pasa por el punto (3,-3). 
 Rta. + + − =2y 4x 2y 15 0 
 
1.10.3.6. Halle la ecuación de la parábola cuyo lado recto es 
el segmento que determinan los puntos (3,5) y (3,-3). 
 Rta. − − + = + − − = 2 2y 8x 2y 9 0, y 8x 2y 39 0 
 
1.10.3.7. Para cada ecuación general determine las 
coordenadas del vértice y del foco. Halle la longitud del lado 
recto y la ecuación de la directriz y del eje. 
• − − − =24y 48x 20y 71 0 
• + + + =29x 24x 72y 16 0 
• + − =2y 4x 7 0 
• + + − =24x 48y 12x 159 0 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 39 
 
• = + +2y ax bx c 
 
 
 
1.11. Misceláneos 
 
 
1.11.1. Motivación. 
 
 Se presentará a continuación un conjunto de 
problemas que relacionan una o más delas secciones cónicas 
mostradas anteriormente con el objetivo de conectar varios de 
los conceptos plasmados en sus elementos. Otro interés viene 
dado por la construcción de la región común encerrada por 
varias curvas vistas hasta ahora. 
 
 
 
1.11.2. Problemas propuestos. 
 
 
1.11.2.1. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por 
el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola 
− =2x 4y 0 . Rta. 
+ − =2 2x y 5y 0 
 
1.11.2.2. Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos 
están en los vértices mayores de la elipse + =2 27x 11y 77 y 
cuyos vértices son los focos de dicha elipse. Rta. − =
22 yx
4 7
1 
 
1.11.2.3. Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene un 
foco en el vértice de la parábola de ecuación = − +2y x 1, el 
otro foco en el centro de la circunferencia de ecuación 
+ − + =2 2x y 10x 24 0 y las ecuaciones de sus asíntotas son 
= − = − + y x 3, y x 3 . Rta. − − =2 2(x 3) y 2 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
40 
 
 
1.11.2.4. Halle la ecuación general de la hipérbola cuyo 
centro coincide con el centro de la circunferencia 
+ + − − =2 2x y 2x 2y 23 0 , sus focos son los mismos de la 
elipse + + − − =2 22x y 4x 2y 1 0 y uno de los vértices es el 
vértice de la parábola + + =2x 2x 8y 15 . 
 Rta. − + − − − =2 2x y 2x 2y 1 0 
 
 
 
1.11.3. Problemas propuestos. 
 
 
1.11.3.1. Dibuje la región del plano que satisface el siguiente 
sistema de inecuaciones: 
a. 
+ ≤
 ≥ −
 <
2
x 4y 8
x 2y 8
x 4
 b. 
 ≤ −
 − ≤
 >
2y 4 x
x 2y 2
xy 0
 
 
1.11.3.2. Dibuje la región del plano que satisface el siguiente 
sistema de inecuaciones y calcule el área de la región: 
a. 
≤
 − − ≤
 − − ≥
x 0
y x 4 0
2y x 4 0
 b. 
 + ≤
 − − ≤

≥ −
 ≥
2 2
2
x y 4
y x 2 0
2y x 4
y 0
 
 
1.11.3.3. Dibuje la región del plano cuya frontera viene dada 
por la curva C: 
a. 
 − + − = ≤ ≤
 = + ≤ ≤

+ = − ≤ ≤

= − ≤ ≤
2 2
1
2
2
2
1
2
(x 2) (y 1) 4 1 y 3
y (x 2) 0 y 1
C : x
y 1 1 y 0
4
y (x 2) 0 y 1
 
 Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 
 41 
 
b. 
+ = ≤ ≤
 − = − ≤ ≤
 − = − ≤ ≤
 − − = ≤
2 2
2
y x 1 0 x 1
y x 1 1 x 0
C :
x y 1 1 y 0
x 2y 4 0 x 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
 
 CAPÍTULO 2 
 
 
FUNCIONES REALES 
DE VARIABLE REAL 
 
 
 
 
2.1. Función 
 
 
2.1.1. Definición. 
 
 Una función es una regla de correspondencia f que 
asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de 
un conjunto B. 
 
Observaciones de interés. 
 
• Al conjunto A se le llama dominio de la función f 
• Cuando A y B son subconjuntos de R, la regla de 
correspondencia se denota mediante la ecuación =y f(x) 
• El dominio de f (denotado por D(f)) es el mayor 
subconjunto de números reales para los cuales la 
ecuación =y f(x)
 
tiene sentido en R 
Cálculo I – José Luis Quintero 
44 
 
• Al conjunto de todos los posibles valores que toma f(x) 
cuando x varía en el dominio se le llamará rango de f y 
se denotará por R(f) 
 
 
2.1.2. Igualdad de funciones. 
 
 Dos funciones f y g son iguales si y sólo si se cumplen 
las siguientes dos condiciones: 
 
a. = =D(f) D(g) D 
b. = ∀ ∈ f(x) g(x) x D 
 
 
2.1.3. Álgebra de funciones. 
 
 Dados dos funciones f y g con dominios D(f) y D(g) 
respectivamente, se definen las siguientes operaciones: 
 
a. Suma algebraica.
 
± = ± ± = ∩ (f g)(x) f(x) g(x) , D(f g) D(f ) D(g) 
b. Producto.
 
= = ∩ (f.g)(x) f(x).g(x) , D(f.g) D(f ) D(g) 
c. División.
 { }= = ∩ ∈ ∧ ≠ (f g)(x) f(x) g(x) , D(f g) D(f ) x : x D(g) g(x) 0 
 
 
 
2.1.4. Problemas propuestos. 
 
 
2.1.4.1. Encuentre + −f (x h) f(x)
h
 para cada una de las siguientes 
funciones y simplifique: 
a. = −f(x) 6x 9 
b. = +2f(x) x 2x 
c. = 3f(x) x 
d. = 5
x
f(x) 
e. =f(x) 3 
f. =f(x) sen(x) 
 Capítulo 2. Funciones reales de variable real 
 45 
 
2.1.4.2. Sea 
+ =  − 
1 x
f(x) log .
1 x
 
Demuestre que 
 ++ =  + 
x y
f(x) f(y) f .
1 xy
 
 
2.1.4.3. Sean − −= + = − x x x x1 1
2 2
f(x) (e e ) y g(x) (e e ).
 
Pruebe 
que 
a. + = +f(x y) f(x).f(y) g(x).g(y) 
b. − =f(x).f(x) g(x).g(x) 1 
c. + =f(x).f(x) g(x).g(x) f(2x) 
 
2.1.4.4. Sea 
+=
−
1 x
f(x) .
1 x
 
Demuestre que 
f(x) f(y) x y
.
1 f(x).f(y) 1 x.y
− −=
+ +
 
 
2.1.4.5. Calcule el dominio de las siguientes funciones. 
 
a. =
+ +2
1
f(x)
2x 4x 1
 
 
b. +=
−
3 2x 1
f(x)
3x 1
 
 
c. 
−= + +
+
2
4x 1
f(x) x 3
x 4
 
 
d. =
−2
x
f(x)
x x
 
 
e. 
 
=  − 
2x
f(x) log
x 5
 
 − ± −  
  
 
2 2
Rta. R
2
 
 
 +∞ 
 
 
1
Rta. ,
3
 
 
[ ] [ )− − ∪ +∞ Rta. 3, 1 1, 
 
 
{ }− − Rta. R 1,0,1 
 
 
+∞ Rta. (5, ) 
Cálculo I – José Luis Quintero 
46 
 
f. = − 2f(x) 9 x 
 
g. 
−=
+3
x 1
f(x)
x 2
 
 
h. 
−=
+ +2
3 4x
f(x)
x 6x 8
 
 
i. 
+=
+
x 2
f(x)
x 3
 
 
j. 
+=
+
3
3
3x 5
f(x)
x x
 
 
k. 
−=
+
2x 4
f(x)
x 3
 
 
l. +=
− x 2
2
f(x)
1 e
 
 
m. +=
− x 2
2
f(x)
1 e
 
 
n. = −f(x) 1 x 
 
o. =
−
5
f(x)
x x
 
 
p. = + +
−
1
f(x) x 2
log(1 x)
 
 
q. = + − −
−
3
1
f(x) x log(2x 3)
x 2
 
 
[ ]− Rta. 3,3
 
 
 
{ }− − Rta. R 2 
 
{ } −∞ − − −  
3
Rta. , 4, 2
4
 
 
 
( ) [ )−∞ − ∪ − +∞ Rta. , 3 2, 
 
 
{ }− Rta. R 0 
 
 
{ }− − Rta. R 3 
 
 
{ }− − Rta. R 2 
 
 
( )−∞ − Rta. , 2
 
 
[ ]− Rta. 1,1
 
 
 
( )−∞ Rta. ,0
 
 
 
[ ) ( )− ∪ Rta. 2,0 0,1
 
 
( ) ∪ +∞ 
 
 
3
Rta. ,2 2,
2 
 
 
 Capítulo 2. Funciones reales de variable real 
 47 
 
r. =
+2
1
f(x)
x 1
 
 
s. 
− = − +  
 
3 2x
f(x) 3 x arcsen
5
 
 
t. 
 = + + − − 
2x
f(x) ln x x 6
x 4
 
 
u. ( )= −f(x) arcsen ln x 5 
 
 
 Rta. R
 
 
 
[ ]− Rta. 1,3
 
 
 
( ]−∞ − ∪ +∞ Rta. , 3 (4, ) 
 
 1 1Rta. 5 e,5 e 5 e ,5 e− −   − − ∪ + +
    
2.1.4.6. En cada caso indique (justificando su respuesta) si f 
y g son iguales. 
 
a. 
+= =
+
 
x 1
f(x) 1 , g(x)
x 1
 
 
b. = = − 2f(x) cos(x) , g(x) 1 sen (x) 
 
c. 
− − ≤ −
= − < ≤ = + +
 + >
 
 
 
2x 2 si x 2
f(x) 2 si 2 x 0 , g(x) x 2 x
2x 2 si x 0
 
 
d. 
− −= =
+ +
 
x 2 x 2
f(x) , g(x)
x 1 x 1
 
 
e. 
− = = − − + + 
 
x 2
f(x) ln , g(x) ln(x 2) ln(x 1)
x 1
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
48 
 
2.2. Simetría y periodicidad 
 
 
2.2.1. Dominio simétrico respecto del origen. 
 
 Un conjunto D de números reales es simétrico respecto 
del origen si y sólo si para cada ∈x D
 
se tiene que − ∈x D. 
 
 
2.2.2. Función par y función impar. 
 
 Sea f una función con dominio D(f) simétrico respecto 
al origen. 
 
a. f es par si y sólo si = − ∀ ∈ f(x) f( x)x D(f )
 
 
b. f es impar si y sólo si = − − ∀ ∈ f(x) f( x) x D(f )
 
 
 
Observaciones de interés. 
 
• Si una función f es impar y el cero pertenece a su dominio, 
entonces debe pasar por el origen, es decir =f(0) 0 
• La suma de dos funciones pares es una función par. 
• La suma de dos funciones impares es una función impar. 
• El producto y el cociente de dos funciones pares o de dos 
impares es una función par. 
• El producto y el cociente de una función par y otra impar 
es una función impar. 
 
 
2.2.3. Periodicidad. 
 
 Una función es periódica si existe un >P 0 tal que 
= + ∀ ∈ f(x) f(x P) x D(f ). 
 
 
 
 
 Capítulo 2. Funciones reales de variable real 
 49 
 
Observaciones de interés. 
 
• Todo número positivo que satisfaga la igualdad anterior se 
llama período de f. 
• Al menor período se le llama período fundamental o 
principal. 
• Si P es el período principal de una función entonces sus 
múltiplos positivos son períodos de la función 
 
 
 
2.2.4. Problemas propuestos. 
 
 
2.2.4.1. Determine si las siguientes funciones son pares, 
impares o ninguna de las dos. 
 
a. = − 3f(x) 2x 3x 
 
b. =
2x
f(x)
sen(x)
 
 
c. =f(x) x.cos(x) 
 
d. = +5f(x) x 5 
 
e. = +
2xf(x) e cos(x) 
 
f. =
+
x
f(x)
1 x
 
 
g. =f(x) sec(x) 
 
Rta. Impar 
 
Rta. Impar 
 
Rta. Impar 
 
Rta. Ni par ni impar 
 
Rta. Par 
 
Rta. Impar 
 
Rta. Par
 
 
 
2.2.4.2. Determine cuáles de las siguientes funciones que se 
dan son periódicas y en los casos que corresponda, dar su 
período: 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
50 
 
a.  =  
 
x
f(x) tg
3
 
 
b. = −f(x) 3cos(3x 1) 
 
c. = 2f(x) cos (x) 
 
d. = + 2f(x) 5 sen(x ) 
 
e. = +f(x) sen(3x) cos(4x) 
 
f. =f(x) cos(2x) 
 
 
 
 
2.3. Composición de funciones 
 
 
2.3.1. Definición. 
 
 La función compuesta f go se define por la regla de 
correspondencia siguiente: 
(f g)(x) f(g(x))=o 
donde f se llama función externa y g se llama función interna. 
 
 Como se puede observar la composición f go tiene 
sentido si g(x) D(f )∈ para algún x D(f )∈ , es decir si 
D(f ) R(g)∩ ≠ ∅ . 
 
 
2.3.2. Dominio de la composición. 
 
• { }D(f g) x : x D(g) g(x) D(f )= ∈ ∧ ∈o 
• Si D(f ) R= entonces D(f g) D(g)=o 
 
 
 Capítulo 2. Funciones reales de variable real 
 51 
 
2.4. Inyectividad y función inversa 
 
 
2.4.1. Crecimiento y decrecimiento. 
 
f es creciente en un intervalo i si y sólo si 1 2x ,x I∀ ∈ 
1 2 1 2x x f(x ) f(x )< ⇒ < . 
 
f es decreciente en un intervalo i si y sólo si 1 2x ,x I∀ ∈ 
1 2 1 2x x f(x ) f(x )< ⇒ > . 
 
 
2.4.2. Función inyectiva. 
 
 Se dice que f es inyectiva si y sólo si 
 1 2 1 2 1 2f(x ) f(x ) x x x ,x D(f )= ⇒ = ∀ ∈ 
o equivalentemente 
 1 2 1 2 1 2x x f(x ) f(x ) x ,x D(f )≠ ⇒ ≠ ∀ ∈ . 
 
 
Observaciones de interés. 
 
• Cada elemento del rango de f es imagen de un único 
elemento del dominio de f 
• Si f es creciente (decreciente) es su dominio entonces f es 
inyectiva 
 
 
2.4.3. Función inversa. 
 
 Suponga que f es inyectiva. Se dice que g es la función 
inversa de f que se denota por 1f − si 
 
 
1 1
1
f(f (x)) x x D(f )
f (f(x)) x x D(f )
− −
−
= ∀ ∈
= ∀ ∈
 
 Además 1 1D(f) R(f ) y R(f ) D(f )− −= = 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
52 
 
 
2.4.4. Problemas propuestos. 
 
 
2.4.4.1. Represente las siguientes funciones como 
composición de funciones elementales: 
a. 2f(x) cos (x 3)= + 
b. 
3
1
f(x)
x 1
=
−
 
c. 
3(x 1)h(x) 1 e −= + 
d. 23g(x) sen((x 2) )= − 
e. 
(x 4)
1
g(x)
4 −
= 
 
2.4.4.2. La función f tiene como dominio el intervalo [ 1,1]− . 
Determine el dominio de f go siendo: 
a. g(x) x= 
b. g(x) sen(x)= 
c. g(x) ln(x)= 
 
2.4.4.3. Dada la función g(x) x 1= + y 2(f g)(x) cos(x 1),= −o 
halle f(x). 
 
2.4.4.4. Dada la función 3g(x) x 1= − y 
x 1
(f g)(x) ln ,
x 1
+ =  − 
o 
halle f(x). 
 
2.4.4.5. Dada 
3
3
7x 8
f(x) ln
9x 10
 +=  − 
 y (f g)(x) cos(x),=o halle 
g(x). 
 
2.4.4.6. Dada f(x) 2x 1= − y 2(f g)(x) 2x 3x 1,= − + −o halle g(x). 
 
2.4.4.7. Halle f(x) siendo g(x 2) sen(x)+ = y (f g)(x) ln(x 3).= +o 
 
 Capítulo 2. Funciones reales de variable real 
 53 
 
2.4.4.8. Si las siguientes funciones están definidas 
respectivamente por: xg(e 2) tg(x)+ = y 2(f g)(x) x 5,= +o halle 
f(x). 
 
2.4.4.9. Sean las funciones definidas por 3f(g(x 2)) 9x 8+ = + 
y 3x 2f(x) e .+= Calcule g(x). 
 
2.4.4.10. Sean las funciones definidas por 
2(f g)(x) 1 x 1= − + +o y 
x x
x x
3 3
f(x) 1.
3 3
−
−
−= +
+
 Halle g(x). 
 
2.4.4.11. Si se tiene g(x 2) tg(x) y (f g)(x) ln(x 3),+ = = +o 
calcule f(x). 
 
2.4.4.12. Halle f(x) siendo 3g(x 1) cos(x)− = y 
(f g)(x) arcsen(x 2).= −o 
 
2.4.4.13. Dada la función definida por 
x x
x x
e e
h(x)
e e
−
−
−=
+
 
determine, si es posible, la función inversa y hallarla. 
 
2.4.4.14. Demuestre que f y g son inversas una de la otra: 
a. 
1
f(x) sen(2x 1), g(x) ( 1 arcsen(x))
2
= + = − + 
b. xf(x) ln(x 1), g(x) e 1= − = + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
54 
 
2.5. Gráfico de funciones 
 
 
2.5.1. Movimientos en el plano. 
 
 A partir de una función elemental se pueden obtener 
otras “un tanto más complejas” con sólo tener en cuenta las 
implicaciones geométricas de algunos cambios de variable. Si 
se conoce el gráfico de y f(x)= entonces respecto de éste: 
 
• y f( x)= α es una dilatación si 0 1< α < y una contracción si 
1α > 
• y f(x )= + α es una traslación de α unidades hacia la 
izquierda si 0α > y es una traslación de α unidades 
hacia la derecha si 0α < 
• y f( x)= − es una reflexión respecto del eje y 
• y f(x)= − es una reflexión respecto del eje x 
• y f(x) k= + es una traslación hacia arriba de k unidades si 
k 0> y de k unidades hacia abajo si k 0< 
• y f(x)= es una reflexión respecto del eje x de las imágenes 
negativas de los valores de x 
• y f(x)= α es una contracción del rango si 0 1< α < y una 
dilatación del rango si 1α > 
 
 
 
2.5.2. Problemas propuestos. 
 
 
2.5.2.1. Partiendo de funciones elementales, mediante 
traslaciones, reflexiones, etc., construya el gráfico de las 
funciones dadas: 
a. 
1
f(x) 2 arcsen(x 1)
2
= − + 
b. f(x) log(3x 3)= + 
c. f(x) 4 log(2x 1)= + − 
 Capítulo 2. Funciones reales de variable real 
 55 
 
d. f(x) 2 2cos(6x 2)= − − 
e. f(x) 3sen(2x )= − π 
f. f(x) ln(x 1) 2= + − 
g. f(x) 2 2 arctg( 2x)= π − π − 
h. f(x) 2 x 1= − − 
i. f(x) 1 2cos( x)= − π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
56 
 
 
 57 
 
 
 CAPÍTULO 3 
 
 
LÍMITES Y 
CONTINUIDAD 
 
 
 
 
3.1. Límite de una función 
 
 
3.1.1. Definición. 
 
 
Sea f una función definida en cadanúmero de algún intervalo 
abierto que contiene a a, excepto probablemente en el número 
a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo 
que se escribe como 
x a
límf(x) L
→
= si la siguiente proposición es 
verdadera: dada cualquier 0ε > , no importa cuan pequeña 
sea, existe una 0δ > tal que 
si 0 x a< − < δ entonces f(x) L− < ε . 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
58 
 
3.2. Teoremas de límites 
 
TEOREMA 1. Si m y b son dos constantes cualesquiera, n es 
cualquier número entero positivo, 
x a
límf(x) L
→
= y 
x a
límg(x) M
→
= , 
entonces: 
(i) [ ]
x a x a x a
lím f(x) g(x) límf(x) límg(x) L M
→ → →
± = ± = ± 
(ii) [ ]
x a x a x a
lím f(x).g(x) lím f(x).límg(x) L.M
→ → →
= = 
(iii) [ ]n n
x a
lím f(x) L
→
= 
(iv) [ ] 
x a x a x a
lím f(x) g(x) lím f(x) límg(x) L M si M 0
→ → →
= = ≠ 
(v) nn
x a
lím f(x) L
→
= 
 
TEOREMA 2. Si 1 1
x a
límf (x) L
→
= , 2 2
x a
lím f (x) L
→
= , …, y n n
x a
límf (x) L
→
= , 
entonces: 
(i) [ ]1 2 n 1 2 n
x a
lím f (x) f (x) ... f (x) L L ... L
→
± ± ± = ± ± ± 
(ii) [ ]1 2 n 1 2 n
x a
lím f (x).f (x).....f (x) L .L .....L
→
= 
 
 
3.3. Límites laterales 
 
Definición 3.3.1. Sea f una función definida en cada número 
del intervalo abierto (a,c). Entonces el límite de f(x), conforme 
x tiende a a por la derecha, es L, lo que se denota por 
x a
lím f(x) L
+→
= si para cualquier 0ε > , sin importar qué tan 
pequeña sea, existe una 0δ > tal que si 0 x a< − < δ entonces 
f(x) L ε− < . 
 
Definición 3.3.2. Sea f una función definida en cada número 
del intervalo abierto (d,a). Entonces el límite de f(x), 
conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo que se 
denota por 
x a
lím f(x) L
−→
= si para cualquier 0ε > , sin importar 
qué tan pequeña sea, existe una 0δ > tal que si 0 a x< − < δ 
entonces f(x) L ε− < . 
 Capítulo 3. Límites y continuidad 
 59 
 
 Se referirá al 
x a
límf(x)
→
 como el límite bilateral para 
distinguirlo de los límites laterales. 
 
 Los teoremas 1 y 2 estudiados anteriormente siguen 
siendo válidos si "x a "→ se sustituye por "x a "+→ o 
"x a "−→ . 
 
TEOREMA 3. El 
x a
límf(x)
→
 existe y es igual a L si y sólo si 
x a
lím f(x)
−→
 y 
x a
lím f(x)
+→
 existen y son iguales a L. 
 
 
3.4. Límites infinitos 
 
Definición 3.4.1. Sea f una función definida en cada número 
de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto 
posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) 
crece sin límite, lo cual se escribe como 
x a
límf(x)
→
= +∞ si para 
cualquier número N 0> existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ 
entonces f(x) N> . 
 
Definición 3.4.2. Sea f una función definida en cada número 
de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto 
posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) 
decrece sin límite, lo cual se escribe como 
x a
lím f(x)
→
= −∞ si 
para cualquier número N 0< existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ 
entonces f(x) N< . 
 
TEOREMA 4. Si r es cualquier número entero positivo, 
entonces 
(i) 
r
x 0
1
lím
x+→
= +∞ ; 
(ii) 
 
 r
x 0
si r es impar1
lím
si r es parx−→
−∞
= +∞
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
60 
 
TEOREMA 5. Si a es cualquier número real y si 
x a
límf(x) 0
→
= y 
x a
límg(x) c
→
= , donde c es una constante diferente de 0, entonces 
(i) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x), 
entonces 
x a
g(x)
lím
f(x)→
= +∞ 
(ii) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x), 
entonces 
x a
g(x)
lím
f(x)→
= −∞ 
(iii) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x), 
entonces 
x a
g(x)
lím
f(x)→
= −∞ 
(iv) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x), 
entonces 
x a
g(x)
lím
f(x)→
= +∞ 
 El teorema también es válido si se sustituye "x a "→ 
por "x a "−→ . 
 
TEOREMA 6. 
(i) Si 
x a
límf(x)
→
= +∞ y 
x a
límg(x) c
→
= , donde c es cualquier 
constante, entonces [ ]
x a
lím f(x) g(x)
→
+ = +∞ 
(ii) Si 
x a
límf(x)
→
= −∞ y 
x a
límg(x) c
→
= , donde c es cualquier 
constante, entonces [ ]
x a
lím f(x) g(x)
→
+ = −∞ 
 El teorema también es válido si se sustituye "x a "→ 
por "x a "−→ . 
 
TEOREMA 7. Si 
x a
límf(x)
→
= +∞ y 
x a
límg(x) c
→
= , donde c es 
cualquier constante distinta de 0, entonces 
(i) si c 0> , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= +∞ 
(ii) si c 0< , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= −∞ 
 El teorema también es válido si se sustituye "x a "→ 
por "x a "−→ . 
 
 Capítulo 3. Límites y continuidad 
 61 
 
TEOREMA 8. Si 
x a
límf(x)
→
= −∞ y 
x a
límg(x) c
→
= , donde c es 
cualquier constante distinta de 0, entonces 
(i) si c 0> , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= −∞ 
(ii) si c 0< , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= +∞ 
 El teorema también es válido si se sustituye "x a "→ 
por "x a "−→ . 
 
 
3.5. Límites al infinito 
 
Definición 3.5.1. Sea f una función que está definida en todo 
número de algún intervalo abierto (a, )+∞ . El límite de f(x) 
cuando x crece sin límite, es L, lo que se escribe como 
x
lím f(x) L
→+∞
= si para cualquier 0ε > , sin importar qué tan 
pequeña sea, existe un número N 0> tal que si x N> entonces 
f(x) L− < ε . 
 
Definición 3.5.2. Sea f una función que está definida en todo 
número de algún intervalo abierto (a, )+∞ . El límite de f(x) 
cuando x decrece sin límite, es L, lo que se escribe como 
x
lím f(x) L
→−∞
= si para cualquier 0ε > , sin importar qué tan 
pequeña sea, existe un número N 0< tal que si x N< entonces 
f(x) L− < ε . 
 
TEOREMA 9. Si r es cualquier número entero positivo, 
entonces 
(i) 
rx
1
lím 0
x→+∞
= 
(ii) 
rx
1
lím 0
x→−∞
= 
 
 
 
 
 
Cálculo I – José Luis Quintero 
62 
 
3.6. Indeterminaciones 
 
 Los límites que producen “resultados” tales como: 
 
0 00
; 0. ; ; 1 ; ; 0 ;
0
∞±∞+∞ − ∞ ± ∞ ∞
±∞
 
 
se conocen con el nombre de “indeterminados” y requieren 
algún procedimiento algebraico adicional para su 
determinación, del uso de límites notables, o bien alguna otra 
herramienta matemática. 
 
 
3.7. Teorema del sandwich 
 
 Sean f, g, h funciones tales que g(x) f(x) h(x)≤ ≤
 
0 0x (x a,x a)∀ ∈ − +
 
con a 0> , y 
x x x x0 0
lím g(x) lím h(x) L
→ →
= =
 
entonces 
x x0
lím f(x) L
→
= . 
 
 
3.8. Límites notables 
 
x
x 0 x
sen(x) 1
lím 1; lím 1 e
x x→ →+∞
 = + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 3. Límites y continuidad 
 63 
 
3.9. Continuidad 
 
 Una función f(x) es continua en 0x
 
si y sólo si 
satisface las siguientes condiciones: 
 
a. 
x x0
lím f(x)
→
 existe y es finito 
b. 0
x x0
lím f(x) f(x )
→
= 
 
 Si f no cumple alguna de las dos condiciones 
anteriores se dice que es discontinua en 0x . Una función se 
dice continua si ella es continua en cada punto de su 
dominio. Observe que para hablar de continuidad en un 
punto 0x la función debe estar definida en dicho punto. 
 
 Si la segunda condición no se satisface se dice que la 
discontinuidad en 0x
 
es evitable y se puede definir una 
función continua a partir de f, de la siguiente forma: 
 
0
0
x x0
f(x) si x x
F(x) lím f(x) si x x
→
≠=  =

 
 
 
 En caso contrario