3-Calculo-Vectorial

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
Introducción
El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.
En la siguiente investigación se pretende explicar temas de cálculo vectorial relacionados con las funciones reales de varias variables y las integraciones múltiples. Estos temas por lo regular son extensos y en su mayoría complejos, es por eso que dentro de esta investigación se desarrollaran los distintos tipos de métodos existentes para llevar a cabo la realización de un sinfín de problemas relacionados con los temas mencionados. 
Función de varias variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f (x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes.
La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda componente en A2. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A1 y A2, y se denota por A1 × A2.
De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su dominio es el conjunto R+ × R+, el conjunto de parejas de números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la definición es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a1,..., an), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una función división puede tomar dos números naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos números naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y condominio el conjunto N × N.
La gráfica de una función de dos variables z = f (x, y) puede interpretarse geométricamente como una superficie  en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano x,y es D, el dominio de f. .En consecuencia, a cada punto (x, y) en D  le corresponde un punto (x, y, z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x, y, z) en la superficie le corresponde un punto (x, y) en D.
Gráficas de una función de varias variables / Curvas y superficies de nivel
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando se gráfica. La gráfica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) para los que z=f (x,y) y (x,y) está en el dominio de f. Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar que asigna al punto (x,y) el escalar Z=f (x,y). Un campo escalar se caracteriza por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de las cuales el valor f (x,y) es constante.
Curvas de nivel
La proyección perpendicular sobre el plano, de la traza de la superficie sobre el plano se conoce como curva de nivel o línea de contorno. Al conjunto de estas curvas de nivel se le llama mapa de contorno. 
También podemos definir curvas de nivel proyectando sobre el plano coordenado. Las trazas de la superficie sobre el plano o proyectando sobre el plano coordenado las trazas de la superficie sobre el plano. Aunque no se acostumbra hacerlo, pueden ser de utilidad al trazar la gráfica de una superficie. 
Características de las curvas de nivel
 1. Toda curva se cierra por sí misma. 
2. Una curva no puede dividirse o ramificarse. 
3. No se pueden fundir dos o más curvas en una sola. 
4. Si en algún lugar las curvas de nivel se cruzan indican una cueva o una saliente. 
5. En una zona dependiente uniforme quedaran las curvas equidistantes. 
6. Si las curvas están muy separadas será porque hay pendiente suave, y cuando están muy cercanas la pendiente es fuerte.
Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de 3 variables y c una constante, la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. 
Hiperboloide parabólico dado por z= f(x, y) = y2 - x2
Son aplicadas en el área de la Ingeniería para mostrar en el plano curvas isotermas, mapas topográficos de regiones montañosas que identifican las curvas de altitud de contorno de una superficie o líneas equipotenciales, por mencionar algunas. 
Límite y continuidad de una función de variables
Sea una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (X0, Y0) excepto quizás en el punto (X0, Y0), y sea L un número real. Entonces: 
	
si para cada existe un  tal que
siempre que
Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto ( X, Y) ≠ (X0, Y0) en el disco de radio , el valor de f (X,Y) está entre y.
	
Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a a, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite de una función de una variable. Para funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se aproxime a desde un número infinito de direcciones y de cuales quiera formas.
La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y . No habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a . Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.
Si conforme a lo largo de una trayectoria y conforme a lo largo de una trayectoria ,donde , entonces el límite no existe.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
· El conjunto inicial o dominio de la función.
· El conjunto final o imagen de la función.
· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Derivadas parciales 
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, física matemática, etc.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
Donde  {\displaystyle \scriptstyle\partial } es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como {\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}  que es la primera derivada respecto a la variable Xi {\displaystyle x_{1}} y así sucesivamente. 
Cuando una magnitud {\displaystyle A}A es función de diversas variables ({\displaystyle x,y,z,...}x, y, z…), es decir:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función {\displaystyle A}A en un punto dado. Esta recta es paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Supongamos que {\displaystyle \scriptstyle f}f es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. 
Para el caso:
Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.
Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:
en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."
	
Este es un corte del gráfico de la derecha donde y = 1.
Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.
	
Incrementos y diferenciales 
 
Para funciones de una variable y= f(x), se define el incremento de y como 
y la diferencial de y como 
Δy representa el cambio en la altura de la curva y= f(x) y dy representa la variación en y a lo largo de la recta tangente cuando  varía en una cantidad.
En la siguiente figura se muestra df y Δf.
Diferencial
Observe que Δy-dy se aproxima a cero más rápidamente que , ya que 
y al hacer , tenemos que . 
Por tanto 
donde  conforme . 
Ahora consideremos una función de dos variables z = f(x, y) . 
Si x y y son incrementados  y Δy, entonces el correspondiente incremento de z es:
Con lo cual  representa el cambio en el valor de f cuando (x, y) cambia a (x + Δx. Y + Δy).
Sean f: D C R2 ----> R una función escalar y Δx y incrementos de x y de y, entonces la diferencial total de la variable dependiente z es: 
Regla de la cadena y derivada implícita 
Regla de la cadena
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Principales característica
· Encontrar la derivada de una función compuesta por la regla de la cadena. 
· Encontrar la derivada de una función por la regla general de la potencia. 
· Simplificar la derivada de una función por técnicas algebraicas. 
· Aplicar la regla de la cadena a funciones trigonométricas.
Ésta se aplica a las funciones compuestas y añade versatilidad a las reglas analizadas en las dos secciones precedentes. Como ejemplo, comparar las funciones que se muestran a continuación; las de la izquierda se pueden derivar sin la regla de la cadena, mientras que a las de la derecha conviene aplicarles dicha regla. 
Teorema 
Si y=f(u) es una función derivable de u y además u=g(x) es una función derivable de x, entonces y=f(g(x)) es una función derivable de x y.
 
o su equivalente:
Derivada implícita 
En General las funciones se han presentado de la forma y=f(x), expresando una variable en términos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables están implícitas.
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Estrategia para la derivación implícita
1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x
2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha.
3. Sacar factor común en la izquierda.
4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda
Derivadas parciales de orden superior
Si tenemos z= f(x, y), sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es:
Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones pueden derivarse nuevamente respecto de x y de y y y les llamamos derivadas parciales de segundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos que la primera derivada parcial respecto de x puede ser derivada parcialmente respecto de x y también respecto de y. De igual manera, la primera derivada parcial respecto de y, puede ser derivada parcialmente respecto a esa misma variable y también respecto de x. De manera que las segundas derivadas, o derivadas de segundo orden, pueden ser estas cuatro derivadas parciales: 
Puesto que estas cuatro derivadas parciales segundas pueden ser funciones de y de x y, es claro que pueden derivarse nuevamente para obtener las derivadas de tercer orden y así sucesivamente hasta el orden n..
Orden de la derivada parcial
Resulta natural la pregunta acerca de si el orden en que realizamos la derivación afecta un resultado. Supongamos que derivamos z= f (x, y) respecto de y luego derivamos el resultado respecto de y, para obtener la derivada “cruzada” fxy. Ahora supongamos que derivamos z = f (x, y) respecto de y y a esta derivada la volvemos a derivar respecto de x para obtener fxy.
Conviene tener presente en todo lo que sigue que para que una función f sea derivable (aunque sea parcialmente) en un punto a es preciso que esté definida en un entorno de a. Recordemos también que la derivada parcial ∂f /∂xj (a), coincide con la derivada en el punto aj de la aplicación:
Sea f: A ⊂ Rn → F, a ∈ o A0. Llamaremos derivada parcial segunda de f respecto a xi y xj en el punto a, a la derivada respecto xi de la función ∂f /∂xj en el punto a. Abreviadamente: 
Se deduce, pues, que la función f es derivable respecto a las variables xi y xj en el punto a, si y sólo si la aplicación
está definida en algún entorno de a y admite derivada parcial respecto a xi en el punto a. Más generalmente, si j1, j2, . . . , jr son números naturales (independientes entre sí) comprendido entre 1 y n, definiremos inductivamente
Cuando el resultado final de una derivación parcial sólo dependa del número de veces que se deriva respecto a cada variable, y no del orden en que se realiza tal proceso (esto no sucederá siempre), cabe utilizar una notación abreviada para designar a las derivadas parciales de orden superior.Así mediante la expresión
denotaremos al resultado de efectuar r derivaciones parciales: in respecto a xn, in−1 respecto a xn−1, etc. y por ´ultimo i1 derivaciones respecto a x1. Por tanto, i1 + i2 + · · · + in = r. Algunos de los ik pueden ser iguales a 0, lo que expresará que no se realiza derivación alguna respecto a la variable xk (en cuyo caso omitiremos en la expresión anterior el término ∂xikk).
Derivada direccional y gradiente 
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
La derivada direccional de una función real de n variables:
en la dirección del vector:
es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente Δf
	
donde . denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto x, la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por v en dicho punto. 
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable z= f(x, y). La derivada direccional según la dirección de un vector unitario v = (vx, vy) es: 
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio hl = vxh lo cual lleva, por ser diferenciable la función f, a: 
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector v= (vx, vy): 
Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación f(x, y) = x2 + y2 , mostrando el vector gradiente en negro, y el vector unitario u escalado por la derivada direccional en la dirección de en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.
Valores extremos de funciones de varias variables 
En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
Extremos de una función
Extremos relativos o locales	
Sea f: A C R2 ----> R, sea X0 E A y sea P = (X0, f (X0))  un punto perteneciente a la gráfica de la función.
Se dice que P es un máximo local de f si existe un entorno reducido dentro de X0, en símbolo El (X0)
Análogamente se dice que el punto P es un mínimo local de f si existe un entorno reducido X0. En símbolos El (X0), donde para todo elemento x de El (X0) se cumple f(x) ≥ f(X0)
Extremos absolutos 
Sea 	, sea y sea un punto perteneciente a la gráfica de la función. 
Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de X0 perteneciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de X0. Esto es: 
Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de {\displaystyle x_{0}}X0 perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de X0, esto es: 
Extremos condicionados
Un problema de extremos condicionados consiste en buscar un extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como variedad diferenciable. Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo) sujeto a la condición de que el punto donde se produce pertenezca a un cierto conjunto:
	
Cálculo de áreas e integrales dobles
Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f(x, y) o f(x, y, z).
De la misma manera en que la integral de una función positiva f(x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f(x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f(x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f(x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales:
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir:
Es constante, si el área está limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d. 
Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como:
Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos:
dA= dxdy
situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
La doble integral como el volumen bajo una superficie. La región rectangular abajo de la figura es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables de la integral.
	
Integrales iteradas
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, las cuales son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión:
se refiere a una integral iterada, la parte externa
es la integral con respecto a x de la función de x:
Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:
De una manera más formal, el Teorema de Fubiniafirma que
Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.
Esto ocurre, cuando {\displaystyle f}f es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que, si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.
La notación 
se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.
Integral doble en coordenadas polares y rectangulares 
Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardiode o de pétalo de curvas de rosa, y para integrados donde aparezca x2 +y2.La relación entre Las coordenadas polares ( r, 0 ) y las rectangulares ( x,y ) de un punto, a saber
X = r cos 0 e y = r sen 0
R2 = x2 + y2 y tg 0 = y/x
Para definir la integrar doble de una función continua = f (x,y ) en coordenadas polares, consideremos una región R acotada por las gráficas de r = g 1 ( 0 ) y r = g2 ( 0 ) y por las rectas 0= x 0 = B. En vez de dividir R en pequeños rectángulos, la dividimos en pequeños sectores polar formado por semirrectas radiales y círculos. Los sectores polares R1 cuya norma // A // es la diagonal más grande entre todas las de sus sectores polares.
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
{\displaystyle \rho \Delta \rho \Delta \theta }La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se considera p = (p1 + p2 /2) (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente pΔpΔƟ.
Hasta el momento hemos tratado con integrales en regiones cartesianas o rectangulares. Ahora veremos las integrales dobles las cuales se van a evaluar en regiones circulares o regiones comprendidas entre dos círculos o una parte de estos círculos. Por ejemplo:
Si nos piden la integral doble del circulo sombreado en marrón entonces tendremos que hallar los límites de integración los cuales como vemos en la figura van de -a≤x≤a. Hallando los límites de integración y formulándolos en la integral nos quedaría:
Nos encontramos con una integral la cual no resulta tan sencilla de integrar, para facilitar esta integral podemos recurrir a una región polar reduciéndonos la dificultad del cálculo. 
Para ello se tiene que tener en cuenta que la región circular se obtiene al hacer rotar un segmento de recta en torno al origen del sistema. 
Para poder realizar la conversión a coordenadas polares deberemos recordar:
Entonces, tomando pequeños diferenciales los cuales se aproximan a una región rectangular nos quedaría la siguiente integral:
Por lo tanto, para encontrar una integral en coordenadas polares se debe:
· Expresar la región en el sistema polar, y determinar los límites de integración.
· Sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su
· equivalente en coordenadas polares.
· Reemplazar el diferencial de área por su equivalente en coordenadas polares
· Evaluar la integral resultante.
	
Integral triple en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas / Volumen
Para el cálculo de las integrales triples partiremos de la definición de integral triple que es similar a la de integral doble, solo que ahora consideraremos una tercera variable:
Si f(x,y,z) es continua en un recinto D del espacio R3, tal que D = {(x,y,z) Î R3 |a £ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f, entonces la integral triple de f sobre D, se define como:
siempre que exista el límite. Nótese que el elemento de volumen es dV = dx dy dz.
Tomando en cuenta las consideraciones de continuidad para f(x,y,z) y las consecuencias posteriores de integrabilidad similares a las hechas para la integral doble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo D de la función f(x,y,z) se puede expresar como:
Como se puede observar se utilizan integrales iteradas. Para las mismas también se cumple el teorema de Fubini, o sea se puede cambiar el orden de integración obteniéndose el mismo resultado.
En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que recordemos la conexión entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas y coordenadas polares , entonces, de la figura siguiente: 
En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas cilíndricas, que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones cómodas de algunas superficies y sólidos que por lo general se presentan. Como veremos algunas integrales triples son mucho más fáciles de evaluar en coordenadas cilíndricas.
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado , donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.
Campos vectoriales 
En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma:
Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.
Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.
Ejemplo de campo vectorial no conservativo cuyo rotacional no se anula.
Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. El primer tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, y esta se corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre un cuerpo por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.
Representación esquemática de un campo vectorial:
Sin embargo, para visualizar de una manera mejor lo que el campo representa en n ℜ, se preferible dibujar el vector X ∈ ⊆A R como un punto sobre el espacio ℜ y a F (X) ∈R como un vector sobre ese mismo espacio, como se presenta en la siguiente figura.
Ejemplos de campos vectoriales
· Campos de fuerzas 
· Campos eléctricos
· Campos gravitatorios, etc.
· Campos de velocidades
· Movimiento del viento junto a una superficie aerodinámica 
· Corrientes oceánicas 
· Velocidad de un flujo, etc.
· Campos de flujo
· El que describe un flujo de calor, etc. 
La integral de línea 
En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
· el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
· o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.
Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.
Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:
que tiene su paralelismo en la integral de línea
que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. 
	Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.
Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física 
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de R3 que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
Aquí ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ΔS y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:
La idea es que, si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.
Sea F un campo vectorial dado por 	
Donde f1, f2 y f3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R. El rotacional del campo F está dado por
Para recordar mejor el vector del rotacional de F, se puede considerar el desarrollo del siguiente determinante
 
Teoremas de integrales / Aplicaciones
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
 
Sus principales objetivos a estudiar son:
Área de una región plana Cambio de variable Integrales indefinidas Integrales definidas Integrales impropias Integral de línea Integrales múltiples (dobles o triples) Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales Métodos de integración Teorema fundamental del cálculo Volumen de un sólido de revolución.
Valor de una función 
Para calcular el valor medio m de una función f en un intervalo [a,b] se usa la siguiente fórmula:
Nótese que, si la función f es una función escalonada con escalones de igual anchura, esta definición coincide con la media aritmética de los valores de la función. Si los escalones tienen anchuras diferentes, entonces coincide con la media aritmética ponderada donde el valor de la función en cada escalón se pondera con la anchura del escalón. Por lo tanto, esta definición se puede entender como la extensión natural de la media.
Aplicación en física
Muchas leyes de la Física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con el cálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral.
Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:
El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba.
Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar (empleando análisis no estándar) que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:
El resultado de esta integral es:
Otros ejemplos de campos de la física donde se aplican las integrales:
· La energía consumida en un periodo de tiempo es la integral de la potencia durante el tiempo.
· La variación de la carga eléctrica en un condensador durante un periodo de tiempo es la integral de la corriente eléctrica que fluye hacia el condensador durante este tiempo.
· La integración del caudal (metros cúbicos por segundo) que fluye por un conducto proporciona el volumen de fluido que ha pasado por el conducto durante el periodo de integración.
Ejercicios / Unidad 4
Grafica de una función de varias variables / Curvas y superficies de nivel
Ejercicio: Dibuje las trazas del paraboloide z= x2 + y2 1 sobre los planos y = c, para cada C=-2, -1, -0, 1, 2.
Solución: 
En este caso las trazas corresponden a parábolas: y= ± c z= x2 + c2 +1 es decir:
en su forma paramétrica. En la siguiente figura se muestran las trazas y la superficie.
Límite y continuidad de una función de varias variables
Ejercicio:
Solución:
Ponemos y=0
Ahora ponemos x=0
Entonces decimos que: el limite no existe.
Derivadas parciales
Ejercicio: f (x, y) = 3x2 +2y4
	
Incrementos y diferenciales 
Ejercicio: Calcule la diferencial total para la función:
Las derivadas parciales están dadas por:
de donde 
Regla de la cadena y derivada implícita 
Ejercicio: Un juego de ruedas dentadas está construido, como muestra la figura, de forma que la segunda y la tercera giran sobre un eje común. Cuando la primera gira, impulsa a la segunda y ésta a su vez a la tercera. Sean y, u y x los números de revoluciones por minuto del primero, segundo y tercer ejes. Encontrar dy/du, du/dx y dy/dx, y verificar que
Solución: Puesto que la circunferencia del segundo engranaje es tres veces mayor que la de la primera, el primer eje debe dar tres vueltas para que el segundo complete una. Del mismo modo, el segundo eje ha de dar dos vueltas para que el tercero complete una y, por tanto, se debe escribir
Combinando ambos resultados, el primer eje debe dar seis vueltas para hacer girar una vez al tercer eje. De tal manera:
Derivadas parciales de orden superior 
Ejercicio: Supongamos 
Solución:
Las derivadas parciales de primer orden son:
Y las cuatros derivadas parciales de segundo orden:
Vemos que en este ejercicio se cumple el teorema de Young y 
Derivada direccional y gradiente 
Ejercicio: Determine el vector gradiente de la función dada en el punto indicado p.
Solución: 
Valores extremos de funciones varias variables 
Ejercicio: Encontrar los extremos absolutos de la función f(x, y) = xy2 en el conjunto:
Solución: En primer lugar, representamos el conjunto A. Para ello hallamos las intersecciones entre las dos curvas que lo definen
Luego las curvas se intersecan en los puntos
La curva x2 + y2 = 4 es una circunferencia de radio 2 y centro (0, 0) y la curva x = −5/3 es una recta vertical. Nótese que f es una función continua (es una función polinómica) y A es un conjunto compacto. Por tanto, el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes:
Extremos libres de f en el interior de A: 
	
Ejercicios / Unidad 5
Cálculo de áreas e integrales dobles 
Ejercicio: Se quiere calcular la integral de:
donde D es la región acotada por la parábola y = 2x2 e y = 1 + x 2.
Solución: En primer lugar, tras representar gráficamente el dominio de integración, trazamos una recta vertical, L, que pase por el dominio D y marcamos los valores de la variable y por donde entra y sale la recta L, como puede verse en la siguiente figura.
La región de integración es, por tanto, el dominio de tipo I:
Luego:
Integrales dobles
Ejercicio: Calcula la integral de la función f(x, y) = x2 y2 sobre la región R del primer cuadrante limitada por las hipérbolas equiláteras xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x 2 , y = 3x
Solución: 7/6 Ln 6
Integral doble en coordenadas polares
Ejercicio: 
Integral doble en coordenadas rectangulares
Ejercicio:
Integral triple en coordenadas rectangulares
Ejercicio: Dada la integral	dibujar la región de integración y escribir la integral de todas las formas posibles.
Solución: 
Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si D1, D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:
Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas 
Ejercicio: Evalúe:
Solución: Podemos ver que la proyección de E sobre el plano es el disco . La superficie inferior de E es el cono y su superficie superior es el plano . Esta región tiene una descripción mucho más simple en coordenadas cilíndricas:
por lo tanto, la integral se puede escribir de la siguiente manera:
Campos vectoriales 
Ejercicio: 
	
Integral de línea 
Ejercicio:
Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física
Ejercicio: f(x, y) = y +senx 
Solución:
 Grad f = cos x i + j
Ejercicio 2:
Sea 
F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k
La divergencia de F es el producto escalar ficticio entre 
∇ . F = (∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k ) (M i + N j +P k)
Divergencia F = Div F = ∂ M/∂x + ∂N /∂y +∂P /∂z
Conclusión
Finalmente, como conclusión podemos decir que en esta investigación se abarco temas muy importantes dentro del cálculo vectorial, así como su aplicación en distintos ámbitos. Estos temas son muy importantes ya que durante el periodo estudiantil que tengamos dentro del Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos nos puede ayudar a comprender mejor algunos temas de la materia.
Para poder comprender los temas expuestos en esta investigación es necesario tener una buena compresión sobre los temas, puesto a que son temas complejos y extensos.
Referencias bibliográficas
· Thomas, G. (2006). Cálculo - una variable. Editorial Pearson.
· Thomas, G. (2006). Cálculo - varias variables. Editorial Pearson.
· Bressan, J. C. & Ferrazzi de Bressan, A. E.(1995). Cuadernos UADE 68: El cálculo
· Bressan, J. C. & Ferrazzi de Bressan, A. E.(1999). Cuadernos UADE 140: Introducción al análisis vectoria. Primera parte: funciones vectoriales, cálculo diferencial vectorial. Buenos Aires: Ediciones UADE.
· Bressan, J. C. & Ferrazzi de Bressan, A. E.(1995). Cuadernos UADE 57: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior. Buenos Aires: Ediciones UADE.
· Gutiérrez Valdeón, Sinesio; Balbás de la Corte, Alejandro; Gil Fana, José Antonio (1990): "Análisis matemático para la Economía II. Cálculo integral y sistemas dinámicos". Editorial AC.
· Heras, A.; Gutiérrez, S.; Balbás, A.; Gil, J.A.; Vilar, J.L. (1990): "Programación matemática y modelos económicos: un enfoque teórico-práctico". AC, Madrid.
· Kleppner (): "Curso rápido de cálculo diferencial e integral". Limusa, Trillas.
· Kudriavtsev, L. D. y otros (1992): "Problemas de análisis matemático. Integrales. Series". Mir Moscú.
· Marsden, Jerrold E.; Tromba, Anthony J. (1998): "Cálculo Vectorial". Addison Wesley.
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