CALCULO-VECTORIAL-docx

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
CALCULO VECTORIAL
Cuadernillo de Apuntes
Contenido
Nomenclatura	5
Tema I. Derivación y diferenciación de funciones escalares de dos o más variables	6
Límites de funciones de varias variables	6
Derivadas Parciales y teorema de Schwarz	8
Las derivadas Parciales Múltiples o Sucesivas	10
Diferencial Total	11
Ejemplificación de un caso aplicable	11
Derivada Implícita	12
Jacobinos	13
Tema II. Máximos y mínimos para Funciones de dos variables	15
Multiplicadores de LaGrange	16
Ejemplo	17
Derivadas de Funciones Vectoriales	18
Gradiente, Divergencia, Rotación y Laplaciano	18
Gradiente	18
Derivada direccional mediante Gradiente	19
La divergencia	20
Rotacional	20
Laplaciano	21
Tema III. Integrales De Línea	23
Métodos de integración	23
Integración de las funciones vectoriales 	24
Tema IV. Integrales Múltiples	34
La integración parcial (múltiple)	34
Ejemplo	35
Longitud de una curva	36
Integral plana en coordenadas Polares	36
Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas	36
Integrales iteradas	37
Referencias	45
Reglas de Derivación e Integración
Nomenclatura
	Símbolo
	Significado
	=
	Es igual
	≠
	No es igual
	&, 
	Y
	ie
	Es decir
	>
	Mayor que
	≥
	Mayor igual
	<
	Menor que
	≤
	Menor igual
	∀
	Para todo
	Ǝ
	Existe
	│
	Tal que
	→
	Implica
	↔
	Si y solo si
	Є
	Pertenece
	q. e. d.
	Queda entonces demostrado
	
	Contenido en 
	∴
	Por lo tanto
Tema I. Derivación y diferenciación de funciones escalares de dos o más variables
Sea S un subespacio de 
Una función de varias variables. En el campo de Los reales donde 
Las funciones escalares cuando m=1 Lo que quiere decir que 
Una función de dos variables se expresa como y se puede interpretar como 
Figura 1.1 Funciones de dos variables
Límites de funciones de varias variables 
Después, basándose en este concepto, se establece la definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de una función de varias variables. En principio, se comienza con campos escalares y después se extiende la definición a los campos vectoriales.
Recordando que la definición de límite en un punto de una función real de variable real de la forma: donde es un intervalo abierto
La definición de límite de funciones de dos variables es la misma que para funciones de una variable. La única diferencia está en la dimensión, pues en funciones de una variable, la variable es el límite de una función cuando tiende a si cada vez que este muy cerca de, se tiene que está muy cerca de ; esto significa, intuitivamente que cada vez que la función se acerca a un número en la recta real por todas las direcciones posibles (que en este caso, no son más que dos), los valores correspondientes también se acercan al número ; en cambio para funciones de dos variables la variable es el límite de una función cuando tiende al punto si cada vez que esté muy cerca , también se tiene que está muy cerca de , esto significa, intuitivamente, que cada vez que la función se aproxima al punto en el plano a través de cualquier dirección, por lo tanto, la función se acerca a .
Es decir:
Donde δ es el entorno en el cual se encuentra el límite.
Es claro que, para acercarse a un punto en la recta, se puede hacer o por la derecha o por la izquierda, mientras que, para acercarse a un punto en el plano, se puede hacer a través de cualquier recta que lo contenga o a través de cualquier curva que lo contenga, incluso si esta tiene forma de espiral. Por lo tanto, al evaluar límites de funciones de dos (o más) variables es un trabajo que se debe realizar en dos pasos: primero encontrar el posible valor límite, si es que existe y segundo demostrar que en realidad este valor es el límite de la función.
Ejemplo:
La siguiente imagen es una representación gráfica de un espacio vectorial en el cual se puede apreciar como varios vectores pueden converger en un punto, lo cual, si se tiene la ecuación matemática que rige el campo vectorial podemos describir un límite, el cual sería el punto en el que todos los vectores convergen.
Figura 1.1 Convergencia de un campo vectorial
Ejemplo:
Calcular el siguiente límite, en el punto (1,2):
Para resolver el límite se evalúa en el punto y se resuelve:
Derivadas Parciales y teorema de Schwarz
La diferencial en múltiples variables muestra en desplazamiento de una dimensión de análisis a otra lo que facilita los cálculos quitándole complejidad al problema.
Las derivadas parciales son como las derivadas comunes solo con la diferencia de que se expresa con múltiples variables, pero solo una trabajará como variable y las demás se mantendrán fijas, es decir, se comportarán como constantes. 
Figura 1.3 Derivadas parciales
Ejemplo:
Teorema de Euler Schwarz:
Si es tal que evaluada en el punto (a, b)
· Existen sus parciales 
· es continua, (refiriéndose que está definida en algún punto).
Si se cumple las condiciones mencionadas existe en (a, b) y además .
Ejemplo 1:
Dada una función:
Primero se calcula la derivada de la función respecto a x, recordando que se toma a “y” como una constante
Finalmente se procede a calcular la derivada de la función respecto a y.
Ejemplo 2
Dada una función: 
En esta ocasión la función tiene 3 variables por lo cual se calcularán 3 derivadas parciales, una por cada variable.
Calculando respecto a x
Ahora respecto a y
Ahora respecto a z
Nota: El teorema menciona las derivadas parciales mixtas de una función, pero no se hará mención hasta el próximo subtema “derivadas parciales sucesivas”.
Las derivadas Parciales Múltiples o Sucesivas
Las derivadas parciales sucesivas son aplicación de derivar múltiples veces una función, las clasificaremos en 2 tipos: Simples y Mixtas
	Derivadas Parciales
	
	Funciones 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Derivadas Parciales
	
	Funciones 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
	
	
Simple: 
Mixtas: 
Se leen de derecha a izquierda y este será el orden en que se deriven.
Sea una función de dos variables definida en una región abierta D; si en D existen las derivadas parciales y ademáses continúa, entonces se cumple que en esa región las derivadas cruzadas de segundo orden son iguales:
Diferencial Total
En una función (U) en las variables independientes sufren una razón de cambio en las variables independientes al mismo tiempo por eso se llama diferencial total.
La diferencial de la función es dada por el incremento/decremento respecto a su variable
Que se resumiría en donde X es cualquier variable
Ejemplificación de un caso aplicable
En la construcción de una caja rectangular de 75 cm X 60 cm X 41 cm y se tiene un rango de tolerancia en todas sus medidas de 2 mm ¿Cuál es error más grande?
Lo primero que se tiene que considerar es encontrar la ecuación de la caja
Hallar las diferenciales de cada uno de los elementos
Después hay que obtener su diferencial total
Evaluando
(Recordando que el mayor error es en todos positivos o todos negativos)
Regla de La cadena en Diferencial Total
En una función de una variable (f) y (g) es función que trabaja en dos variables las dos funciones quedan definidas como:
La ecuación te marcara la base en la que está trabajando la función en base a la cantidad de variables intermedias, dependientes y las variables independientes.
	Variable Dependiente
	Variable Intermedia
	Variable Independiente
	
	X
	
	U
	Y
	t
	
	Z
	
	Variable Dependiente
	Variable Intermedia
	Variable Independiente
	
	X
	t
	U
	Y
	
	
	Z
	m
Y así sucesivamente hasta el infinito.
Derivada Implícita
La regla de la cadena puede ser llevada a resolución de derivadas Implícitas
Para esto se requiere que cumpla con las siguientes características:
La función debe de estar igualada con 0 donde se supone que yes una función derivable en “x”
En dos variables:
Ejemplo:
Encontrar la derivada de la función mediante las derivadas parciales:
El primer paso es igualar a 0 las derivadas parciales de la función respecto a sus variables:
; 
Por último, paso se iguala la derivada con las parciales:
Jacobinos
Su función es resolver derivadas parciales de primer orden en múltiples funciones mediante el determinante Jacobino y se denota como:
Es útil para hallar derivadas que trabajen en distintas funciones
Ejemplo:
Tema II. Máximos y mínimos para Funciones de dos variables
Definición de máximos y mínimos relativos
Una función de dos variables tiene un máximo local en (a, b) si cuando (x, y) está cerca de (a, b). Esto significa que para todos los puntos (x, y), en algún disco con centro (a, b). El número se llama máximo local. Si cuando (x, y) está cerca de (a, b), entonces es un mínimo local.
Hessianos
Para obtener el Hessiano es necesario obtener las derivadas de primer orden de la función con la que se trabaja, igualarla a 0 y después calcular las derivadas de segundo orden evaluadas en el punto crítico que se consigue en las derivadas de primer orden despejando. Después de haber realizado todo se sustituye en la matriz.
Matriz Hessiana:
Si el determinante de la matriz Hessiana da positivo, el punto crítico puede ser máximo o mínimo, para comprobar; el resultado se evalúa en la función. Si el determinante da un resultado negativo es un punto silla.
En otras palabras, es que al obtener el discriminante de la matriz Hessiana y el resultado positivo es debido a que se está minimizando la función y cuándo el resultado es negativo, la función se está maximizando.
Figura 2.1 Gráfica de una función con máximos y mínimos
En la imagen anterior se pueden identificar los puntos máximos y mínimos de la superficie. Por el contorno de la figura se puede ver dónde se maximiza la superficie o dónde se minimiza.
Ejemplo:
Obtener la matriz Hessiana de la siguiente función:
Para obtener el Hessiano se deben obtener las derivadas parciales de la función:
; 
Y se obtiene las derivadas parciales de segundo orden:
; ; 
Multiplicadores de LaGrange
En muchas aplicaciones, para calcular extremos de una función hay que restringir variables de alguna manera. Sea una función continua y además diferenciable que posee extremos relativos, o sea la función objetivo y esté sujeta a una condición restrictiva.
La función restrictiva deberá estar igualada con 0, utilizaremos esto de función auxiliar
Sujeta a las siguientes condiciones 
Que son necesarias para determinar máximos y/o mínimos relativos mediante el parámetro el cual es independiente de nuestras variables y se le conoce como Multiplicador de LaGrange 
Ejemplo
Hallar los valores extremos de la función sobre el círculo . Para resolver el problema se necesita aclarar la función objetiva y la función restrictiva, por lo cual:
 Es la función objetivo y es la restrictiva.
Aplicamos las ecuaciones de LaGrange:
, teniendo que:, porque el radio es igual a 1, debido que el círculo es unitario.
Obtenemos las parciales:
; 
; 
Sustituyendo en la ecuación de LaGrange y obteniendo un sistema de ecuaciones:
		 1
		 2
		3
Por lo tanto:
En la primera ecuación despejando se obtiene: 
En la segunda ecuación si entonces de modo que de la tercera 
En la tercera ecuación: , si 
Obteniendo los valores extremos:
(0,1), (0,-1), (1,0), y (-1,0), al evaluar los puntos en la función se determina:
; ; ; 
Por consiguiente, los valores máximos y mínimos de f en el círculo , son:
 Máximos.
 Mínimos.
Funciones Vectoriales
Las funciones vectoriales se expresa como vectores de n dimensiones, de números reales denotada como 
Nota: Tupla es una lista ordenada de elementos
Los vectores son caracterizados por
1) Longitud, representada por un valor numérico, modulo, tamaño …
2) Dirección, que es la recta a la que pertenece también conocida como orientación
3) Sentido, indica cual es el origen (punto de aplicación) y es el extremo final de la recta
Una función vectorial de variable vectorial (F.V.V.V.) es una regla asociada a cada punto de una determinda región que pertenece a y es una función
En otras palabras, una función vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de números (reales) y el campo es el conjunto de los vectores
Se clasifica en dos tipos
a) F.V.V E. (Función Vectorial de Variable Escalar) donde su dominio se encuentra en y son representadas como:
 
 Y tienen la cualidad de que sus componentes definen el vector de base estándar
b) F.V.V.V. son funciones con la cualidad de tener una dimensión superior a 1
Nota.
La base estándar son los componentes que definen todo el espacio vectorial .
Derivadas de Funciones Vectoriales
Existen 4 condiciones dentro de derivación de función vectorial:
Gradiente, Divergencia, Rotación y Laplaciano
Gradiente
El gradiente se define como el vector que se encuentra perpendicular a una curva y que muestra en qué dirección tiene un mayor aumento.
Es una función vectorial (debido al operador nabla) parcialmente en una región definida como campo escalar.
Para obtener el gradiente se deben obtener las derivadas parciales de cada función y sumarlas, siendo así:
En una función 
 ; ; 
 
Derivada direccional mediante Gradiente
Esta define la pendiente de un punto en una superficie y es denotada por la siguiente ecuación: .
El gradiente es la derivación parcial en multifunción es denotada como , considerando que . Entonces, para resolver el determinante solo se requiere multiplicarlo por el vector director: 
Ejemplos:
En una ecuación principal de evaluado en el punto 
Sustituyendo en 
Interpretación geométrica del gradiente:
Figura 2.2 Interpretación geométrica del gradiente
La divergencia
En un campo vectorial en un punto es un campo escalar que mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que lo rodea a un volumen, es decir, es la diferencial del volumen y es denotada como:
Como condición es que no es un producto escalar, solo es una herramienta para su resolución y en caso de que la divergencia resultara 0 significa que el vector es incompatible.
Es importante aclarar que la divergencia tiene ese nombre porque al ser contrario que la convergencia significa que hacia un determinado punto tiende a dispersarse y alejarse de aquel punto.Figura 2.3 Representación gráfica de la divergencia
Un ejemplo claro de esto se puede apreciar en la imagen anterior. En un determinado campo vectorial se puede observar que en un volumen en el centro de la esfera los vectores tienden a dispersarse y alejarse del punto.
Rotacional
Para entender el concepto de rotacional hay que tener claro otros conceptos, como el de campos escalares y campos vectoriales.
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. 
Debido que el rotacional está asociado con el operador nabla (porque el operador nabla; es un operador vectorial, que almacena las derivadas parciales). Lo que significa que en el espacio se puede orientar con los vectores de posición, cada una con sus respectivas derivadas parciales. 
Con el producto cruz se obtiene un vector perpendicular ambos, lo cual demuestra la rotación del campo o espacio, en un determinado punto.Figura 2.4 Representación gráfica del rotacional
De una manera simple podemos definir al rotacional de una función como: 
Donde 
Y Recordando que:
Este símbolo es el operador diferencial (nabla).
Entonces:
Laplaciano o Divergencia de un rotacional
Es un operador de segundo orden lo que corresponde a la divergencia de un gradiente es decir donde es un campo escalar esto se denota como:
Cabe resaltar que esta es la expresión que se usa para funciones escalares, mientras que para funciones vectoriales la expresión será:Figura 2.5 Representación gráfica del Laplaciano
 
En otras palabras, el Laplaciano es la suma de 2 derivadas parcialesque son de segundo orden (primero el gradiente del campo o superficie y después la divergencia; por eso la suma de las derivadas parciales de segundo orden). Físicamente mide la continuidad de los campos escalares. Si el Laplaciano de una función es igual a 0 se dice que es una función armónica
 Nota
Una función armónica, es una función con dos variables reales que es diferenciable, en primer orden y segundo orden.
	
	Ecuación
	Vector
	Derivada direccional por Gradiente
	
	
	Gradiente/Vector Unitario
	
	
	Resultado
	
El laplaciano es la divergencia de un gradiente en un campo escalar, lo que significa que el gradiente indica como la maximización del campo, después con la divergencia se obtiene el flujo de los vectores en el campo.
La superficie tiene puntos máximos y mínimos (como se muestra en la figura), en la cual los operadores ayudan a indicar dónde se maximizan la superficie y minimizan. Ya que los vectores apuntan hacia dónde crece la superficie, dependiendo la función.
Tema III. Integrales De Línea
Métodos de integración 
La integración directa: Surge a partir de la derivación; de aquí parten las tablas de integrales directas que se muestran en la primera página.
Integración por sustitución simple: también llamada cambio de variable; consiste en cambiar un elemento de distinta complejidad a una variable más básica.
Integración por partes: permite hallar integrales de funciones que se expresa como un producto
Siempre buscando que no aumente la complejidad de la integración.
Integración por sustitución trigonométrica: se usa comúnmente cuando se encuentra términos elevados al cuadrado en una raíz adquiriendo la forma de los lados del triángulo de la manera que parezca más conveniente. Por ejemplo, en la suma sería ideal que fuese la hipotenusa, en la resta ya sea cateto opuesto o adyacente según sea el elemento que se reste.
Integración por fracciones parciales:
 
Existen dos tipos de integrales, definidas e indefinidas. Las indefinidas son la forma general de una integral lo que significa que tiene constantes mientras que las definidas denotan de donde a donde son evaluadas.
Ejemplo:
(Esta es una integral definida)
(Esta es una integral indefinida)
Integración de las funciones vectoriales 
Sea un vector que depende de una variable , la integral del vector nos da como resultado un vector , el cual al ser derivado respecto a la misma variable da como resultado el vector , pero sabiendo que la derivada de un vector constante () es cero, entonces se puede escribir la integral de un vector como: 
Existen tres tipos de integrales vectoriales: 
1) El integrando es una función escalar y la diferencial es una función vectorial, pero ambas son funciones de varias variables independientes: 
2) El integrando es una función vectorial y el diferenciable es una ecuación escalar, ambas funciones de varias variables independientes:
3) El integrando y la diferenciable son funciones vectoriales de varias variables independientes y pueden ser de dos tipos: 
· 
· 
Integrales de línea
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones más importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
· El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
· El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva.
· El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
· Es calcular el flujo de fluido, flujo de la electricidad y magnetismo en campos electromagnético y por último fuerzas.
Pero, ¿Qué es una integral de línea y cómo se compone?
Definida como una función el cuál es un escalar continuo y y se obtenga . 
Donde la integral de línea se operará de la siguiente manera:
Nota.
dl viene de diferencial de línea
Supóngase un caso en el que n=3, entonces: 
En el caso de n=2 lo único que se hará será quitar una variable, es decir:
Este tipo de integrales cuentan con las propiedades de linealidad, continuidad, aditividad e independencia de la parametrización.
La linealidad significa que dentro de la suma y la multiplicación existirá una igualdad en las siguientes expresiones:
En la continuidad las integrales de línea también dependen de manera continua del campo que se integra; intuitivamente, pequeñas perturbaciones del campo dan lugar a pequeñas variaciones en la integral.
Las integrales de línea son aditivas con respecto al camino de integración, en el sentido de que, al recorrer consecutivamente dos caminos, las integrales se suman.
Y dentro de la independencia de la parametrización esta afirma la existencia de una integral equivalente donde se dice que y recorren la misma curva tal que:
Ejemplo
Sea 
Sea 
Otra herramienta que puede ayudar con el cálculo de áreas por medio de integrales es el llamado Teorema de Stokes (también llamado Rotacional de Stokes).
El teorema de Stokes sirve para calcular áreas de superficies cerradas. Como se puede apreciar en la imagen, regularmente estas superficies presentan un corte y el teorema nos puede ayudar a ver el flujo del campo vectorial de la misma superficie.
Teorema de Stokes
 El teorema explica una relación de una superficie en un campo vectorial cuando hay una rotación del mismo, utilizando la integral de línea cerrado para trabajar en el borde de la superficie teniendo un contacto con la rotación del campo.Figura 3.1 Teorema de Stokes
En conclusión, el teorema de Green es un subconjunto del teorema del teorema de Stokes, debido que el teorema de Green es para un caso específico.
Teorema de Gauss:
El teorema de Gauss establece como en un campo vectorial, se encuentra un flujo determinado de vectores en una superficie, los vectores tienen contacto con la superficie y el campo. Es LA razón por la cual se utiliza la integral de línea; para trabajar el contorno de la superficie.
La divergencia se utiliza para saber el flujo de los vectores. Entonces el teorema hace una relación del flujo del campo entre la superficie de contacto de la figura y el campo.
Uso de integrales para el cálculo del trabajo y para la obtención de un campo electromagnético 
Sea un campo de fuerzas continuas F que mueven un objeto a lo largo de una trayectoria X definida por donde r (a)=A el cual es el punto inicial y r (b)=B es el punto final de la trayectoria. De acuerdo con la segunda ley de Newton la fuerza F(r (h)) en un punto x se relaciona con la aceleración , en otras palabras: 
De tal manera que la ecuación del trabajo efectuado sobre una fuerza queda definida como: 
Entonces:
Donde . Sin embargo, se sabe que la energía cinética es igual a la mitad de la masa por el cuadrado de la velocidad, por lo tanto:
Donde .
Es decir; el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de “X” es igual al cambio de energía cinética en los puntos extremos de “X”.
Otro caso muy diferente pasa al suponer que F es un campo de fuerza conservativo*, es decir, se puede escribir al campo .
Al comparar las dos ecuaciones: 
Lo que quiere decir que un objeto bajo un campo de fuerza conservativo; se mueve de punto “a” a “b”, entonces la suma de su energía potencial y cinética es una constante. Esto se le llama ley de conservación de la energía.
Nota
P: es la energía potencial.
*El campo conservativo será explicado de una forma más adentrada en el siguiente subtema, sin embargo, el campo conservativo es en pocas palabras, cuándo el rotacional es igual a 0. 
Campos Conservativos y Función potencial 
Un campo conservativo es un campo vectorial continuo enel cual existe en un campo escalar donde en este, la función es una función potencial (es decir ) asociada a un campo vectorial F.
Para saber si un campo vectorial es conservativo o no se debe cumplir con una condición, dicha condición, para el caso de 3 dimensiones, es que el rotacional de la función sea igual a cero, es decir, es irrotacional. En caso de estar trabajando en dos dimensiones, únicamente se debe comprobar que: .
Otras de las condiciones para que un campo, sea un campo conservativo son:
· La circulación del campo en línea recta debe ser igual a 0;
· 
· Si el campo es conservativo puede:
Ejemplo:
Encontrar la función de potencia:
Para poder efectuar la función de potencia, se debe saber si es un campo conservativo, y si es un campo conservativo, es necesario que sea irrotacional.
Ejemplo:
Resolviendo el determinante se obtiene:
Al resolver el determinante:
Debido a que el determinante no es igual al vector nulo, no se puede resolver el ejercicio, porque es rotacional.
Cálculo de la integral de línea en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
Se calcula una integral doble en forma polar por medio de una integral iterada. Debido a ello se ocupa un teorema:
Forma polar del teorema de Fubini
Sea f continua en una región plana R.
1. Si se define R mediante y , dónde y son continuas en , entonces:
 
2. Si se define R mediante y , dónde y son continuas en , entonces:
 
Ejemplo:
Calcular
Para encontrar R es necesario saber que R se encuentra situada en el interior de una circunferencia, dónde y en el exterior de la circunferencia, r es.
Se sabe que los límites fijos de son:
Y los límites de la variable r son:
Para resolver el ejercicio se ajustan los límites:	
Para calcular integrales triples en coordenadas rectangulares es complicado, entonces para facilitar la vida se calcula las integrales triples en coordenadas cilíndricas.
Tomando en cuenta el siguiente teorema:
La función debe ser continua de r, y z en una región que está delimitada, por lo cual en coordenadas cilíndricas, la integral triple de una función continúa es igual a:
Ejemplo:
Hallar el volumen de una región sólida de una esfera por una función , cortada por un cilindro . 
Sabiendo los límites son: y los límites de R son: y 
Calculando el volumen de la región cortada:
Coordenadas esféricas
Los límites para el volumen de un bloque esférico son: , 
Teniendo una función con variables en una región acotada como “Q”, por lo tanto la integral triple de la función sobre la región en coordenadas cilíndricas es: 
Ejemplo:
Hallar el volumen de la figura “D” limitada inferiormente por la ecuación y superiormente por la ecuación , y se sabe que 
Para empezar con la solución del problema, se debe recordar que la ecuación de la esfera en coordenadas esféricas es: 
Sabiendo que entonces: 
Ya que entonces: 
En consecuencia, se pueden tomar 3 parámetros.
 
Y se utilizará el mismo orden para integrar y poder obtener el volumen.
Parametrización
Para explicar la parametrización de una integral de una manera más sencilla se puede utilizar el siguiente ejemplo. 
Sea un cuadrado ( C ) formado por los vértices ( 0,0), (0,4), (4,4) y (4,0) y se desea parametrizar y evaluar respecto a la siguiente integral, sabiendo que la trayectoria es en sentido anti horario.
Se empezará por visualizar el cuadrado en una gráfica.Ya que C consta de 4 rectas se llamará a cada una c1, c2, c3, c4, por lo mismo se puede parametrizar cada una de ellas y después sumar los parámetros, el resultado de esta suma será el parámetro. 
Obteniendo el parámetro de cada uno de los segmentos:
(En este caso el parámetro va de 4 a 8 debido a que es la distancia recorrida)
y
C3
C4
C2
x
C1
Figura 3.2 Gráfica del cuadrado C
Por lo tanto, el cuadrado queda definido por: 
La integral se resuelve con la siguiente ecuación: 
Entonces se tiene que calcular la integral de cada uno de los segmentos dados, haciendo uso de sus respectivos parámetros, para después sumarlos y obtener el resultado. 
(Únicamente se desarrollará el procedimiento para calcular una de las integrales, las demás se harán de manera directa).
Para hacer más fácil la resolución se obtendrán por partes cada una de las componentes que pide la ecuación.
Para el módulo de la derivada, se tiene que derivar cada una de las variables, por lo tanto
Sustituyendo en la ecuación: 
En c2
En c3
En c4
Finalmente se suman los resultados de las integrales en los distintos segmentos y esto da como resultado el área total de la figura.
Tema IV. Integrales Múltiples
El cálculo de una integral múltiple o de varias variables, se reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden especificado. El diferencial nos informa acerca del nombre de la variable con respecto a la que debemos integrar y su posición indica el orden de integración, correspondiendo los diferenciales más interiores a las integrales que hay que calcular primero.
La integración parcial (múltiple)
Interpretación geométrica de la integral doble
Para una integral doble se necesita una función real y definida en un intervalo cualquiera, como [a, b]. En la cual existe una partición de ese intervalo llamado “p”, dónde “p”:
Después con las condiciones mencionadas se puede proseguir hacer una suma de Reimann de la función para la partición:
La suma es denotada por porque es la suma en la partición.
Dónde n es la cantidad de sub-intervalos y es la longitud del sub-intervalo (el sub-intervalo iésimo).
Para definir la interpretación geométrica de la figura, se utiliza la siguiente figura:Figura 4.1 Interpretación geométrica de la Integral definida
El volumen de la figura se puede definir como la suma del volumen de los paralelepípedos base, con una altura , obteniendo por lo tanto la siguiente ecuación:
El volumen de la parte superior de la figura está delimitado por la función, por lo cual se determina la región “D”.
Por lo tanto, cuándo la partición tiende a 0:
Los cortes se vuelven demasiado delgados y la región “D” queda dividida en rectángulos, provocando que el límite se vuelva el volumen de toda la figura (que es sólida).
Lo que significa que el límite de las sumas de Reimann se vuelven la doble integral, que calcula el volumen del sólido:
Para realizar una integral parcial el proceso no es diferente al común de integración siempre se da bajo que función se integra lo que quiere decir que lo demás se considerará como constantes.
En la integración parcial múltiple es necesario recordar que se integra del centro hacia afuera por lo que es preciso no equivocarse
Ejemplo
Primero se integra y esta da como resultado 
Evaluando de 
Integrando por segunda vez que da 
Evaluando 
Integrando por última vez se obtiene como resultado 
Evaluando de 
Longitud de una curva
Considere dos puntos en el espacio unidos por un segmento de arco donde está compuesto por: 	
Donde se requiere el vector de posición de un punto genérico 
Donde 
Por tanto 
Y esto representa la ecuación general para el cálculo de una curva dentro de una superficie.
Integral plana en coordenadas Polares
En coordenadas del plano se utiliza dobles integrales que puede darse en forma Euclidianas
O de forma polar por lo tanto la relación entre polar y Euclidianas es dada de la siguiente manera 
Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas
Cálculo en coordenadas cilíndricas utilizando triples integrales dadas en coordenadas Euclidianas
Para obtener la integral de una función en coordenadas cilíndricas, es necesario que la función sea continua. Para poder transformarla en cilíndricas; la función cuando este en forma cartesiana debe estar definida en: y debe de estar definidas bajo tenemos la siguiente relación entre las integrales:
Cálculo en coordenadas esféricas utilizando triples integrales dadas en coordenadas Euclidianas
Para obtener la integral en coordenadas esféricas es necesario que la función sea continua y antes de pasarla a esférica; la forma cartesiana este definida de la manera:y de forma esférica debe de estar definidas bajo tenemos la siguiente relación entre las integrales:
Integrales iteradas
Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables). 
Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión, para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial o la diferencial o viceversa.Figura 4.2 Interpretación de integrales iteradas
Ejemplo: 
Calcular la integral iterada con los diferentes parámetros:
a)
Para calcular el inciso “a” se prosigue:
Integrando:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
Se calcula el inciso b de la misma manera:
Como ya se halló la integral de se sustituye los diferentes parámetros:
Para calcular la integral doble mediante una iterada se debe entender lo siguiente:
En una región definida que es acotada; hay un rectángulo que esta definido por una región Q. La región esta descrita de la manera: y se sabe que la función es integrable en Q.
Por lo tanto en el intervalo es integrable y es:
Y la integral es designada por .
Si existe la integral es igual a la integral doble :
Nota
Una de las aplicaciones de las integrales iteradas es calcular el área de diferentes regiones de una superficie, debido a que se calcula las integrales con diversos parámetros.
Región normal y regular
La región normal y regular es importante comprenderla graficamente, para poder aplicar y entender las regiones dónde se utiliza las integrales para hacer calculos. Por lo tanto se muestra la siguiente figura:
Figura 4.3 Región normal y regular
Para entender mejor las regiones donde se utilizan las integrales, es importante tener en cuenta lo que es una region normal y una region regular.
Como se puede observar en la curva, se pueden diferenciar dos regiones una normal y otra regular. Una región regular es la frontera de la curva y lo que contiene la curva es la región normal, las cuales pueden ser descritas por una función.
Teorema de Green
El teorema de Green afirma que la integral de línea de F (espacio vectorial en segunda dimensión) en el límite R, es igual a la integral doble del rotacional de F en R:
(C es la frontera de la región orientada en contra de las manecillas del reloj).
El lado izquierdo de la igualdad se puede imaginar como la suma de pequeñas partes de la rotación en cada punto de la región R.
Sabiendo que F se escribe de la manera:
Por lo tanto, en términos de P y Q la integral puede expresarse como:
Figura 4.4 Representación física del Teorema de Green
Una forma de imaginarse la integral de línea es pensando que el campo vectorial es el flujo de un fluido y que en la frontera de la figura se encuentra una persona remando en su bote, la cual rema en sentido contrario de las manecillas del reloj.
Por lo tanto, si la corriente es a favor de la persona que rema, el resultado de la integral será positivo y si es en contra será negativo.
Si de casualidad se cortará la región a la mitad, para calcular la integral de la región sería:
Ejemplo:
Calcular el trabajo efectuado por medio del teorema de Green del campo de fuerza al mover una partícula rodeando una vez la elipse en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Donde P. Entonces:
Donde a(R) es el área interior a la elipse. Ya que esta elipse tiene semiejes a = 1 Y b = 2, su área es Y el valor de la integral de línea es.
Como se puede ver en el ejemplo anterior el teorema de Green se puede aplicar en varios aspectos, como a un problema físico, pero también se puede emplear en la geometría, por ejemplo, en el cálculo de áreas de superficies curvilíneas. 
Ejemplo
Calcula el área de la superficie encerrada por la curva dada por 
Aplicando el teorema de Green:
Cálculo de superficies alabeadas
Una superficie alabeada son las que se generan por el movimiento de una línea recta, de tal forma que dos posiciones de la recta se cruzan.
Algunos ejemplos de superficies alabeadas:
x
x
z
x
x
z
yx
x
z
z
x
y
z
Figura 4.5 Superficies Alabeadas
Ejemplo: 
Calcule una parte de la superficie del paraboloide, que intersecta el eje z en 0 y 1, con la ecuación .
Para la solución de este problema se debe establecer ciertos aspectos, como la parametrización:
Entonces la superficie descrita es:
El área es:
Nota: 
El uso de las superficies alabeadas es cada vez más popular debido a sus formas tan extravagantes y vistosas; esto ha provocado que muchos arquitectos famosos pongan sus ojos en estas singulares figuras, reproduciendo construcciones como el museo Soumaya que se encuentra en la Ciudad de México 
Figura 4.6 Museo Soumaya
Concepto de integral de superficie
La integral de superficie la podemos tomar como el equivalente bidimensional de la integral de línea, tomando en vez de una curva una superficie, y al igual que las integrales de línea estas pueden ser utilizadas para calcular áreas, en este caso de superficies. 
Para calcular el área de una superficie dada su representación paramétrica, se puede hacer uso de la siguiente ecuación:
Donde 
En el caso de que tengamos la representación explicita:
Por lo tanto, la integral para el área de la superficie queda expresada como: 
Figura 4.7 Integral de Superficie
Ejemplo
Sea S la superficie obtenida al hacer girar la curva alrededor del eje Z. Comprobar, a partir de la definición, que el área de dicha superficie es:
Para resolver el problema se debe parametriza:
Por lo tanto, al derivar la función, se obtienen los vectores tangentes:
Entonces:
Al integrar: 
Concepto de integral triple
Las integrales triples son para funciones que tienen tres variables. Por lo cual en una región está delimitada por tres parámetros y se define f en la región B.
Como consecuencia se divide un intervalo en sub-intervalos:
El intervalo , se divide en el subintervalo y ese subintervalo “l” es un ancho a 
El intervalo , se divide en el subintervalo “m” con un ancho igual 
Dividimos por último el intervalo r,s] en un subintervalo “n” con un ancho igual a 
Por lo cual el volumen de una caja es, la triple suma de Riemann:
Por lo que se concluye:
He aquí una imagen de la superficie rectangular de la integral triple mencionada.
Figura 4.8 Concepto de Integral triple
Por lo tanto, integral triple se puede igualar a la integral reiterada:
Referencias
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*Khan Academy. (2018). El gradiente. Abril 17, 2918, de Khan Academy Sitio web: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient
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*Murray R. Spiegel / Seymour Lipschutz / Dennis Spellman. (2008). Análisis Vectorial. México, D.F.: McGraw-Hill.
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