Clase 5 Reparametrización de una curva regular

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Reparametrización de una curva regular y vectores unitarios
MateDLG y CyADLG
Índice:
Reparametrización de una curva
Manteniendo e invirtiendo su orientación
Por la longitud de arco
Vector unitario
Vector tangente
Vector Normal Principal
Vector Binormal
Rectas y Planos
Ejemplos
YO
El Admin
Reparametrización de una curva
Introducción
Sea un camino. Un camino se puede ver como un objeto matemático caracterizado por dos aspectos: La curva que describen en el espacio (la traza), esa sería como una “carretera por la que circula el punto ” y por otro lado, la manera como el punto recorre tal carretera.
Uno de los objetivos fundamentales del estudio de caminos es el de las propiedades geométricas que estas representan. Sus propiedades no dependen generalmente de la velocidad a la que recorre la curva sino solamente de la forma geométrica de la imagen del camino 
Para este tema se estudiará el parentesco existente entre los diversos caminos que describen una misma curva. Tal parentesco se le llama “Reparametrización” .
Reparametrización:
Definición
Sea un camino regular (una curva que tenga una derivada distinta a cero), Sea 
 una función de clase sobreyectiva tal que . Entonces el camino 
 se llama reparametrización del camino (este también es regular).
Nota:
Dado que conduce a que o , lo cual nos permitirá analizar el crecimiento de la función en s, de tal manera que el punto inicial y final de g coinciden con los respectivos de .
Como entonces y tienen la misma dirección y en este caso, entonces el camino recorre la curva descrita por en la mis dirección.
En este caso es una reparametrización que conserva la orientación
Ejemplo:
Observación 1
Para la función real , tal que 
Si , entonces es una función creciente en 
La función compuesta se llama
Reparametrización de C, además
 conserva la orientación original de C
Observación 2
Para la función real , tal que 
Si , entonces es una función decreciente en 
La función compuesta se llama
Reparametrización de C, pero en
 se invierte la orientación de C
Reparametrización manteniendo e invirtiendo la orientación de una curva
Para recorrer k veces más rápido una curva regular C descrita por con se puede construir una reparametrización usando la función real definida por tal que describe C manteniendo su orientación original
Para recorrer k veces más rápido una curva regular C descrita por con se puede construir una reparametrización usando la función real definida por tal que describe C invirtiendo su orientación original
La variable s: variable tiempo
Interpretación:
Reparametrización de una curva por la Longitud de Arco
Si es una curva regular en definida por entonces existe una reparametrización por la longitud de arco representada por tal que tiene una rapidez unitaria y mantiene la orientación original de la curva
Ejemplo: 
Sea Defina una nueva función vectorial que describa C en sentido contrario y que lo haga en el mismo tiempo de recorrido.
Solución:
Como se quiere una curva en sentido contrario, la reparametrización debe cumplir:
Punto inicial Punto final de 
Punto f Punto inicial de 
Para 
 
 es una función real decreciente
 describe C invirtiendo su orientación
 
 
S: variable tiempo
Vectores Unitarios
Vector Unitario
Sea el vector. Se dice que v es un vector unitario si y solo sí el módulo de v es igual a 1.
Con frecuencia nos es conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado v. A tal vector se le denomina vector asociado al vector v y se puede representar por o por e indica una dirección en el espacio.
La operación que permite hallar es la siguiente:
Vector Tangente
Sea una curva regular. El vector tangente unitario de la curva en la dirección de es denotado por y es dado por:
Vector Normal Principal
Sea una curva regular. El vector unitario que tiene la misma dirección que se denomina vector normal principal a la curva C en el punto al cual se denota por y es dado por:
Nota: es otra curva,
no tiene nada que ver 
con la anterior
Observaciones
son ortogonales
Como , si derivamos esta expresión tenemos:
Entonces es un vector perpendicular al vector tangente 
Sea una curva regular. Si es derivable en , entonces al derivar la expresión se tiene que, 
Recordemos que 
Como 
Si es diferenciable en , es decir, existe en . Entonces y existen en y se tiene que:
Si , , entonces el movimiento es lineal
Vector Binormal
Sea una curva regular, tal que . Dado que y son ortogonales, por lo tanto es ortogonal a ambos vectores. Además 
Entonces es unitario y se denota por :
El cual es denominado vector binormal unitario
Observación
Los vectores , y que son determinados en cada punto de la curva C puede tomarse como un nuevo sistema de coordenadas de referencia, puesto que son vectores mutuamente ortogonales que satisfacen las relaciones:
Nota:
A estos tres vectores unitarios se les denomina la triada móvil.
El triedro móvil es una estructura que juga un importante papel en la rama de las matemáticas conocida como geometría diferencial y en sus aplicaciones al movimiento de naves espaciales
Rectas y Planos
Con el buen Repoio :v
Recordar
Vector Binormal:
Vector Normal principal:
Vector Tangente:
Rectas
Recta Tangente a C en :
Recta Normal a C en :
Recta Binormal a C en :
Planos
P:
Plano Normal Principal :
Plano Rectificante :
Ejemplos:
Hallar la triada móvil de la curva: en el punto 
Solución:
Sea , entonces:
La binormal también se puede hallar mediante: donde:
2. Determine la ecuación del plano osculador a la curva regular:
En el punto 
Solución:
Hallamos , de tal forma que , 
Para hallar el plano osculador, recordamos que:
Representación:
Donde: A=݂ሺa) B=݂ሺb)ABab݂ሺt)݂It
abcdABg(s)݂ሺt)݂u=݂ogItsgJ
abcdABfǯሺt)uǯሺs)݂u=݂oggJg(c)g(d)
abcdABfǯሺt)uǯሺs)݂u=݂oggJg(d)g(c)
t
tab
Recta binormal
Recta binormalPlano Osculador