Calculo Vectorial-II

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CALCULO VECTORIAL
Campos Vectoriales
Integrales de Línea
Rotacional y Divergencia
CAMPO VECTORIAL
Definición: Sea E un subconjunto de Un campo vectorial sobre es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) de E 
un vector de V3 F(x, y, z).
Un campo vectorial sobre queda expresado a través de sus funciones componentes P, Q, y R como:
	F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
EJEMPLO
Un campo vectorial en está definido por F(x, y)= (-y, x)
 
	((	
	(1, 0)	(0, 1)
	(0, 1)	(-1, 0)
	(-1, 0)	(0, -1)
	(0, -1)	(1, 0)
	(3, 0)	(0, 3)
	(0,3)	(-3, 0)
 (x, y) F=(-y, x)
 y
F(0, 3) = (-3, 0)
 F(1, 0)=(0,, 1)=j
 0 x
 F(0, -1)=(1, 0)=i
Ejemplo de campo vectorial en Física
La velocidad V = ωR
 
 R2 R2
 
 
 
 θ 
ω
R3
Ejemplo de campo vectorial de Velocidades
Túnel de Viento para estudiar la aerodinámica del chasis.
Viento
CAMPO GRAVITACIONAL
La fuerza gravitacional es la fuerza conque la Tierra atrae a los cuerpos hacia su centro y es directamente proporcional 
al producto de sus masas e 
inversamente proporcional 
al cuadrado de su distancia 
entre sus centros, luego:
Como // Xu: 
X=(x, y, z)
0
CAMPOS DE GRADIENTE
Si “f” es una función escalar de dos variables, el gradiente de dicha función f(x, y) es un campo de vectores:
 
Ejemplo
Dada la función su gradiente:
 es un campo vectorial, de las curvas de nivel que se obtienen de la función f(x, y), si f(x, y) = 1 define una circunferencia, y f asigna a cada punto de ésta un vector:
	(x, y)	Z= f(x, y) =	f (x, y)
	(0,1)	Z=f(0,1)=1	(0, 2)
	(1,0)	Z=f(0,-1)=1	(0.-2)
	(2,0)	Z=f(2,0)=4	(4, 0)
 z f =(0. 2)
 0 1 2 f =(4. 0)
 -1
 f =(0. -2)
Si tenemos una función de tres variables definimos las superficies de nivel, luego en general +es un campo vectorial que asigna, a cada punto de la superficie de nivel, un vector perpendicular a ella. 
Por ejemplo si w = 1, la superficie de nivel es una esfera de centro en el origen y radio unidad =1. Para un punto de esta por ejemplo (1, 0, 0), el +2yLuego +0actúa sobre la esfera en dicho punto.
CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO
Un Campo Vectorial, F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, es conservativo, si existe una función escalar f(x, y, z) cuyo gradiente f = F(x, y, z). Esta función “f” se llama función potencial.
EJEMPLO
Si F(x, y) = 2xi + yj, hacer un estudio para determinar si es conservativo, en caso afirmativo determinar la función potencial. Entonces por definición tenemos que:
 f(x, y) = F(x, y) luego:
f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) = (2x, y)
Por igualdad de vectores :
Integrando (1):
Integrando (2):
Comparando los dos resultados tenemos que:
 ; 
Luego la función potencial es + + 
Luego podemos afirmar que el campo vectorial F(x, y) es conservativo.
INTEGRALES DE LINEA
La naturaleza de una integral de línea es similar a la de una integral simple, la única diferencia está en que en vez de integrar una curva en el plano lo hacemos a lo largo de una curva en el espacio. De la misma manera que en el primer caso, se determina el área bajo la curva.
Se inventaron en el S. XIX para resolver problemas en donde intervienen corrientes de fluido, fuerzas, electricidad, magnetismo.
Consideramos una superficie S definida por z = f(x, y) en un dominio D y una curva C en el plano XY, que pertenece a D, definida por las ecuaciones paramétricas:
x= x(t) e y = y(t) 
De modo que C es la función vectorial: r(t ) = (x(t), y(t))=(x,y) 
Supongamos que C es una curva suave, con derivada r’(t) continua y distinta de cero.Dividamos el intervalo de variación de t en n sub-intervalos iguales a ,
Ahora como para cada hay un r(), entonces la curva C queda también dividida en n sub-arcos de longitudes 
Tomando el sub-intervalo genérico:
] que define en C el sub-arco
Tomando el punto medio del ] 
Designado por 	
Para este valor de t= le corresponderá un r().
Con estos arreglos al llevar la curva C al espacio tridimensional esta me define un cilindro que corta a la superficie S en una curva C1 como se muestra en la siguiente figura: 
x
y
r()
r(b)
r(a)
r()-
r()-
Tenemos un cilindro definido por las dos curvas C y C1 y cuya generatriz es paralela al eje ZZ lo que se pretende es calcular el área que está bajo la curva C1, que 
corresponde al área del 
cilindro mencionado.
Para calcular esa área, tomamos
el sub-intervalo genérico que
me define con C1 un pequeño 
cilindro, haciendo un zoom:
Aproximamos el área de dicho
cilindro con la de un rectángulo
de base y altura f(r())
En donde r(
 
f(r())
 D
f(r())
S
Cilindro
12
Esto que hemos hecho con el sub-intervalo genérico lo tenemos que hacer con los n-1 sub-intervalos restantes, y las áreas de esos rectángulos los sumaremos, de modo que el área total será:
Al llevar al límite esta suma cuando área del cilindro .
Luego: 
Como: r(t
Entonces: 
QUE CORRESPONDE A LA FORMA PARAMÉTRICA DE LA INTEGRAL DE LÍNEA.
Por lo visto anteriormente sabemos que:
 
=dx
Luego remplazando, obtenemos la forma cartesiana: 
 
EJEMPLO: Evalúe, en donde C es la mitad superior de la circunferencia de centro en el origen y radio R=1 el sentido es el antihorario. 
Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia
Son x = cost e y = sent
Luego: r(t) = (cost, sent) = (x, y)
Derivando respecto a t:
r’(t)= (-sent, cost) entonces //r’(t)//=1
Como: //r’(t)//= 1 , 0 ≤ t ≤ π y f(x, y) = 2x+ 
cambio de variable f(r(t)) = 2cost + remplazando valores, tenemos:
 z
 C
 -1 0 1 x
CALCULO DE LA MASA Y DEL CENTRO DE MASA DE LA CURVA C
Dada la densidad lineal, masa por unidad de longitud, entonces el dm = ρ(x, y) ds, luego intengrando:
Centro de Gravedad:
Si la curva C es una curva suave a trozos, es decir, C es la unión de un número finito de curvas suaves C1, C2, C3, …….Cn, como se ilustra en la figura. Entonces definimos la integral a lo largo de C como la suma de las integrales de f a lo largo de cada una de las partes de C.
En la figura se muestra a C como la unión de cinco curvas suaves, luego la integral a lo largo de C será:
 y
 C1 C2
 C3
 C4
 C5
 0 x
 
La integral de Línea de un campo vectorial es independiente del sentido de integración a o largo de C, esto es:
La curva C está dada por:
x = x(t) e y = y (t) en donde 
Luego C: r(t) = ( x (t), y (t) )
Cuando t = a → r ( a) y cuando t=b →r(b) 
 
La curva -C está dada por:
x = x(a+b-t) e y = y (a+b-t) en donde 
Luego -C: r(a+b-t) = ( x (a+b-t), y (a+b-t) )
Cuando t = a → r ( b) y cuando t=b →r(a) 
						
y
r(a)
r(b)
C
x
y
r(a)
r(b)
-C
x
El sentido C en la gráfica aparece de color azul y el sentido –C en color verde. Como la integral de línea me da el área que está debajo de la curva C1, podemos ver que independientemente del sentido el área será la misma.
Demostración:
Tomando el sentido C: r(t) = (x(t), y(t))
r’(t)=(x’(t), y’(t)) 
Ahora tomamos el sentido –C: r(t)=(x(a+b-t),y(a+b-t))
r’(t)=(-x’(a+b-t), -y’(a+b-t)) 
f(r())
 D
S
Cilindro
Ac
Haciendo un cambio de variable:
u = a+b-t → du = - dt 
Remplazando:
Comparando los resultados de (A) y (B) que son iguales por lo tanto la integral de línea es independiente del sentido de integración.
EJEMPLO Dada la curva C dada por la figura se deduce
Luego la curva C estará dada por:
 
 
 
EJEMPLO
Calcular donde C es la curva suave a trozos de la figura: 
Empezamos con C1:
Luego: r1(t)=(t, t)→
Ahora definimos C2:
En este caso 
Luego: 
Luego como la integral de línea es independiente del sentido:
)
Por tanto, sumando estos resultados:
Que corresponde al área lateral del sólido.
z = x
C2
C1
Algunas aplicaciones de la integral de línea:
Si f(x, y) =1 se calcula la longitud de la curva C:
Si f(x, y) = 
EJEMPLO
Calcular la masa de un muelle que tiene la forma de la hélice circular 
Remplazando en la integral:
 	
 
INTEGRALES DE LÍNEA RESPECTO A X Y RESPECTO A Y:
Tenemos que por definición la integral de línea de f a lo largo de C viene dada por:
Luego si en vez de poner i en la sumatoria ponemos i o i tendríamos:
Que vienen a ser las integrales de línea respecto a x y a y. 
Es frecuente que estas dos integrales aparezcan juntas. Cuando esto ocurre, se acostumbra abreviar escribiendo de esta manera:
 
En éstas integrales es importante tener en cuenta el sentido de las curvas, debido a que serán positivas o negativas dependiendo del sentido de integración.
 
EJEMPLO
Evaluar siendo C C1 es el segmento de recta que va de (-5, -3) a (0, 2) y C2 es el arco de parábola x = 4- que va de (-5, -3) a (0, 2).
Con los datos hacemos el gráfico:
Donde la recta viene dada por C1:
Luego dx = 5dt y dy=5dt
Como el sentido es de P a Q, t va de 1 a 0
Remplazando:
 y
 P= (0, 2)
 
 0 4 x
 C1 C2
 Q= (-5, -3)
Parametrizando la parábola C2, usando como parámetro a y:
debido a que el sentido es de Q a P. Luego: dx = -2ydy remplazando en la integral 
INTEGRALES DE LINEA EN EL ESPACIO
Ahora consideremos una curva suave en el espacio, dada por las ecuaciones paramétricas: x = x(t); y = y(t) ; z = z(t) si a
La integral de línea a lo largo de C se define de un modo semejante al caso anterior:
En forma paramétrica sería:
También se pueden definir las integrales de línea a lo largo de C con respecto a x, a y y a z:
Al remplazar por,,en la definición obtenemos las integrales mencionadas:
De modo similar éstas integrales aparecen juntas y pueden expresarse de modo más simple:
De igual modo en estas tres integrales el sentido de integración hay que tenerlo en cuenta:
Ejemplo: Calcular donde C es la hélice circular dada por 
Luego:
Remplazando: 
Remplazando: 
33
 z
 Q=(3, 4, 5)
 C1 C2 
 0 y
 P=(2, 0,0) R=(3, 4, 0)
EJEMPLO: Evaluar la integral a lo largo de la curva C dada por:
En donde P = (2, 0, 0); Q = (3, 4, 5) y R = (3, 4, 0)
Luego: 
Remplazando:
 
C2: 
A2= R-Q=(3, 4, 0)-(3, 4, 5) = (0, 0, -5)
L2= { (3, 4, 5)+t(0, 0, -5)}:
El sentido es QR:
En Q: z = 5 = -5t - 5 → t = -2; 
En R: z = 0 = -5t - 5 → t = -1
Luego: -2 ≤ t ≤ -1
Remplazando:
Por tanto:
INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES
Si tenemos un cuerpo de masa M, y se le aplica una fuerza F que forma un ángulo α con la horizontal, y se desliza en una trayectoria rectilínea una distancia e, y el coeficiente de rozamiento es μ, el trabajo realizado por la fuerza será:
Fx = //F//cos α- μMg
Fy= //F//sen α-Mg 
Luego
F=(//F//cos α- μMg, //F//sen α-Mg)
r=(e, 0)
El trabajo realizado por la fuerza:
W = F.r = (//F//cos α- μMg)e el trabajo realizado por la fuerza la realiza la componente de Fx en la dirección del desplazamiento.
 
 F
 N 
 α
 
 r
Fu= μN Mg e
La integral de línea de un Campo Vectorial F=(P, Q, R) es el trabajo realizado por F al llevar una partícula a lo lago de una curva C en V3, definida por la función vectorial:
 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) en donde a ≤ t ≤ b
Dividimos el intervalo de t, [a, b] en “n” partes iguales: 
como r(t) = (x, y, z) la curva C también queda dividida en n sub-arcos con longitudes si
Determinamos el punto medio del sub-intervalo genérico [ti-1, ti] y definimos el punto medio , que tiene su imagen en C en el punto r() = (, , )= 
Sobre dicho punto el campo le asignará una fuerza F(, , )
que lo consideraremos constante.
Este campo actuará sobre la partícula a lo largo de , esto es una aproximación ya que el campo F varía a lo largo de . Ahora como el trabajo se define para desplazamientos rectilíneos, para satisfacer esto lo aplicaremos sobre la tangente unitaria en ese punto multiplicada por , de modo que el vector tangente será Tu , esto debido a que la tangente es la aproximación lineal de la curva.
Luego el trabajo realizado por 
F (, , ) 
Wi =F (, , . Tu 
Sumando los n trabajos de 
los n sub-arcos tenemos:
	W=
Luego: 
Que corresponde a la definición de dicha integral.
Tu 
 
 F
Parametrización de la Integral de Línea:
Como C está dado por r(t) = (x(t), y(t), z(t) ) =(x, y, z)
Sabemos que:
 y que
Remplazando en la integral:
Otra forma de expresar esta integral: Sabemos que r = r(t)
Entonces 
Remplazando: I=
EJEMPLO
Calcular el trabajo realizado por actúa sobre una partícula que recorre la curva C dada por r(t)=(cost, sent, t) desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (-1, 0, 3
Usando la forma paramétrica:
F(r(t))= ()
r’(t)= (-sent, cost, 1)
F(r(t)).r’(t) = 
Cálculo de los límites de integración:
Si (cost, sent, t) = (1, 0, 0) :
Entonces t=0
 
Si (cost, sent, t) = (-1, 0, 3π) :
Entonces t= 3π luego 
Remplazando: 
EJEMPLO
Dado el campo vectorial , calcular el trabajo realizado por F para llevar una partícula a lo largo de C definida como:
a) 
b) 
Al estudiar C1 y C2 veremos que se trata de
la misma curva, la diferencia es el sentido
C1 va de Q a P y C2 va de P a Q
=P
Q=
a) Como 
 y 
 F(r1(t)) = (, )
 F(r1(t)) . (, 
 Operando y remplazando:
b) Como 
 y 
 
 F(r2(t)) = (, )
 F(r2(t)) . .(
 
 
 
En este ejemplo se ilustra que: 
Ejemplo:
 
Hallar el W realizado por el campo de fuerza al mover una partícula a lo largo (del cuadrante) de la circunferencia C de centro en el origen, situada en el I cuadrante y de R=1
C:
 y
 r(t) = costi+ sent j
 1
 0 ≤ t ≤ π/2
 
 0 1 x 
 
 
Remplazando:
Relación existente entre las integrales línea de campos vectoriales con las integrales de línea de campos escalares.
Como 
Entonces: 
Remplazando:
Como x = x(t); y = y(t); z = z(t)
Entonces derivando: 
De donde:
Remplazando:
 
TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LINEA
El teorema fundamental del cálculo para integrales simples dice si se tiene una función y=f(x) definida en [a, b] y si integramos f(x) desde a hasta un punto cualquiera xє [a, b] se tiene:
donde f’(x) es continua en [a, b].
Ahora si consideramos a (vector gradiente) de una función de f, como una especie de derivadade f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del teorema fundamental para integrales de línea 
TEOREMA:
Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t) en donde a ≤ t ≤ b. Sea f una función diferenciable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces:
Dice que podemos calcular la integral de un campo vectorial conservativo cuando F = 
Esta integral de línea de es el cambio total en f.
Si se tiene f una función diferenciable de
dos variables y C es una curva plana 
entonces:
 y
 C curva plana P=(x1, y1)
 P=(x2, y2)
 0 x
Si f es una función de tres variables f(x, y, z) y C una curva en el espacio que une los puntos P y Q, entonces:
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
Tenemos la función f(x, y, z) y la curva C definida por la función r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (x, y, z) 
 )
 z
 P=(x1, y1, z1)
 Curva en el espacio=r(t)=(x,y,z)
 
 Q=(x2, y2, z2)
, 
 ). , 
 por la regla de la 
cadena. Luego: )
Integrando: 
Ejemplo: 
Calcular el W realizado por el campo gravitacional , al mover una partícula con masa m del punto P=(3, 4, 12) al punto Q=(2, 2, 0) a lo largo de una curva C suave a trozos.
 
Se puede demostrar que la función potencial de dicho campo es 
Demostrando que :
Luego FG es conservativo, por tanto podemos aplicar el teorema fundamental:
Como la función potencial es: 
Y los límites van de P=(3, 4, 12) a Q=(2, 2, 0) 
Remplazando:
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
Por el teorema fundamental hemos demostrado que si el campo vectorial es conservativo, la integral de línea es independiente del camino.
Teorema: es independiente de la trayectoria en D si y sólo si =0 para cualquier trayectoria cerrada C en D.
Dividimos a la curva C en dos C1 y C2: 
 de modo que C1 va de A a B y C2 de B
a A entonces C1=-C2
Como = =0
==0 LQQD
 C1
 B A
 C2
TEOREMA:
Supongamos que F es un campo vectorial continuo en una región convexa abierta D (por tanto D no contiene ninguno de los puntos de su frontera). Si es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo en D, es decir, existe una función f tal que 
DEMOSTRACIÓN:
Sea A=(a, b ) un punto fijo en D. La función potencial deseada f se define como en donde C va de A a cualquier punto (x,y)єD.
Como es independiente de la trayectoria, no importa cual camino C de (a,b) a (x,y), se utilice para evaluar f(x,y). 
 C’1
 P1=(x1, y) X=(x,y) 
 C1 c’2
 P2=(y2,x)
 A= (a,b) C2
 D
Como f(x,y) es independiente de la trayectoria elegimos el camino C1UC’1, en donde C1 va de A=(a, b) a P1=(x1,y) en donde x1 < x y C’1 que va de P1 =(x1,y) a X= (x, y). De esto se deduce que C’1 es un segmento horizontal y por tanto y es constante.
Entonces 
 
Sabemos que: 
Derivando respecto a x y permanece constante luego dy=0, por otro lado tenemos que en C1 la integral esta definida en x ya que va de a a x1 , luego mientras que en C’1 el límite superior está abierto en x.
Como: 
Como f(x,y) es independiente de la trayectoria elegimos el camino C2UC’2, en donde C2 va de A=(a, b) a P2=(x,y2) en donde y2 < y y C’2 que va de P2=(x,y2) a X= (x, y). De esto se deduce que C’2 es un segmento vertical y por tanto x es constante.
Entonces 
 
Sabemos que: 
Derivando f(x,y) respecto a y luego x permanece constante entonces dx=0, por otro lado tenemos que en C1 la integral esta
definida en y ya que va de b a y2 luego mientras que en C’2 el límite superior está abierto en y. 
P 
Reuniendo los resultados obtenidos:
 
2) 
 Como:
 
 
Entonces: 
Curvas
Simple no cerrada
No simple no cerrada
Simple cerrada
No simple cerrada
TIPOS DE CURVAS Y REGIONES
 
Teorema: Si es un campo vectorial conservativo donde P y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden en un dominio D, entonces en todo D se tiene que:
DEMOSTRACIÓN:
“Este teorema nos facilita determinar de un modo muy sencillo, cuando un campo vectorial es conservativo”.
Como el campo F(x, y) es conservativo se cumple que:
 
Calculando las derivadas parciales de P y Q respecto a y y a x respectivamente:
Como 
Como son continuas por hipótesis entonces:
 también lo serán, luego: 
 por el Teorema de Clairaut
Por tanto: lqqd.
EJEMPLO
Dado el campo vectorial F = (x-y, x-2), es conservativo?
P = x-y
Q = x-2
Aplicando el teorema anterior:
Podemos afirmar que no es conservativo.
EJEMPLO
Dado el campo vectorial F = (3+2xy, -3 ), es conservativo?
P = 3+2xy Q = -3 
Aplicando el teorema anterior:
Podemos afirmar que es conservativo.
Calcular la 
Como F es conservativo: 
Determinamos la función potencial, integrando:
Comparando las integrales tendríamos que:
Luego se puede afirmar que:
Por tanto: 
Como ) 
Calculando los límites en cartesianas:
Si t = 0 
Si t = =(0,- )
Remplazando:
Como: 
Remplazando:
Teorema de Green
 
Green (1793 – 1841) científico ingles, estudio la teoría matemática de electricidad y magnetismo. Autodidacta y a los 40 ingreso a Cambridge y murió 4 años después de graduarse.
Teorema de Green
 
Sea una curva C suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D entonces:
La notación se utiliza para indicar que la integral de línea se calcula usando la orientación de la curva cerrada.
Otra notación:
Vamos a demostrar el Teorema de Green considerando casos particulares, cuando las regiones de integración D son tipo I y II. Y luego iremos generalizando el teorema.
Tesis: 
Manipulando ambos miembros de la Tesis:
De donde se tiene que:
Demostramos 
Para su demostración consideramos una región tipo I:
Tomamos el segundo miembro de (I) y operamos:
En donde:
En donde I1: 
D
Tomamos ahora el primer miembro de (I): 
 
Veamos los casos C2 y C4:
Donde:
 y 
Luego: 
Porque en C2 y en C4, x permanece constante luego dx = 0.
Caso: C1:
Remplazando: 
Caso: C3:
Remplazando, pero teniendo en cuenta que en C3 x va de b a a:
Sumando:
Comparando (A) y (B) vemos que: 
Que es lo que queríamos demostrar.
Para demostrar la segunda sub-tesis:
Tomamos como D una región tipo II.
y procedemos a demostrar siguiendo el camino anterior.
 
Ejemplo:
Evaluar donde C es la curva definida por los segmentos de recta que unen los puntos (0, 0), (1, 0) y (0, 1) siguiendo ese sentido. 
Como C = 
Esto implica calcular tres integrales:
Como la curva C satisface el T. de Green, podemos aplicar este teorema, en donde: 
y de esta manera en vez de calcular tres integrales de línea, calculamos una integral doble.
C1
0 1 x
Y
1
D
Como:
Remplazando:
Otras aplicaciones:
Cálculo del área de la región D:
 
Esto se da de diferentes modos:
c
Luego:
Ejemplo
Calcular el área limitada por la elipse 
Parametrizando a la elipse:
 
Sabemos que:
Elegimos: 
b
 
 y0 a x 
GENERALIZACION DEL TEOREMA DE GREEN
1) Aunque el Teorema de Green se ha demostrado para regiones simplemente conexas es posible entenderlo para los casos cuando D es la unión finita de regiones simples.
Considerando que C = C1 C2 (en donde
C1 va de A a B y C2 va de B a A) y que
D = D1 D2 
Si la frontera de D1 es C1 C3, y de D2 es 
C2 -C3 , entonces ambas cumplen 
las condiciones que exige el Teorema.
Luego:
En D1: 
En D2: 
D2
C2
D1
C1
A
B
Sumando miembro a miembro estas dos igualdades:
 
Operando el 2do miembro teniendo en cuenta que D = D1 D2 
 (I)
Operando el primer miembro cada integral por separado:
 
Sumando miembro a miembro:
 
Luego el Teorema de Green para esa región: 
2)
 
También el Teorema de Green se puede extender para calcular las integrales de regiones D con agujeros o no simplemente conexas, como se muestra en la fig.
D
En primer lugar es importante elegir el sentido de las curvas, y el criterio es que al recorrer la curva la región D siempre se encuentre hacia la izquierda. Si C1 es la curva exterior el sentido de esta para satisfacer la condición es el anti-horario y para la curva C2 interior el sentido debe ser el horario. 
Dividimos D en dos partes D’ y D’’, de 
modo que D’ tiene como frontera: 
C’1 C3 C’2 C4; 
y D’’ tiene como frontera: C’’1 -C3 C’’2 C4
Al observar a D’ y D’’ vemos que satisfacen el Teorema de Green:
Luego:
En D’: 
D’’
C’1
C’’2
C’’1
C’2
D’
C3
-C3
-C4
C4
En D’’:la frontera es C’’1 -C3 C’’2 C4
Sumando miembro a miembro A con B:
Los 2dos miembros: 
+= (C)
Los 1eros miembros:
80
Como: aplicándolo a la suma anterior tendríamos: 
 
Como: C1=C’1C’’1 y C2=C’2 C’’2 
Luego la aplicación del T. de Green para este caso será: 
Ejemplo
Si si C es una curva cerrada que contiene al origen.
Este problema presenta la dificultad que si no se conoce el teorema anterior su solución puede ser muy ardua o imposible.
Con la información dada hacemos el gráfico:
nos damos una curva C cerrada que contiene 
al origen. Para aplicar el Teorema anterior 
nos damos una circunferencia de radio R, de
modo que esta se encuentre dentro de D, como se muestra en fig.
Aplicando el Teorema: 
C
C’1
C’2
C’’2
C’’1
D
Como: 
Entonces : 
P= ; Q=
 
Como 
Por tanto: 
Luego: 
En donde:
C2:
Parametrizando:
F(r(t))=
r’(t) = ( -Rsent, Rcost)
Remplazando:
 lqqd
“ROTACIONAL Y DIVERGENCIA”
Vamos a estudiar dos operaciones que se pueden efectuar con los campos vectoriales y que son básicas en las aplicaciones del cálculo vectorial en el estudio de los fluidos, así como en la teoría de la electricidad y magnetismo. Cada operación se asemeja a la derivación, pero una de ellas genera un campo vectorial, mientras que la otra genera un campo escalar.
1) ROTACIONAL
Si es un campo vectorial de V3, y existen todas las derivadas parciales de P, Q y R, entonces el rotacional del campo vectorial F se define como:
Una forma más simple para recordar esta expresión se tiene, si lo hacemos considerando al operador diferencial que se define como un vector cuyas componentes son derivadas parciales anónimas: 
Luego el Rotacional de F se define de la siguiente manera:
 
Operando:
Ejemplo
Dado el campo vectorial determinar el rotacional de F.
RotF = 
El Rotacional será: 
Teorema: 
Si f es una función escalar de tres variables que tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces Rotf)=0 
Si f es el campo escalar entonces el campo gradiente será:
)
Rot( - 
Como por hipótesis todas las derivadas parciales de f son continuas entonces:
 por el Teorema de Clairaut
Por tanto: Rot(lqqd
De este teorema se tiene que Rot()=0, entonces si RotF=0, podemos concluir que F es un campo vectorial conservativo.
Por tanto si: 
Por igualdad de vectores se desprende que:
Que es una manera sencilla de definir cuando F es conservativo.
Interpretación física del RotF:
Si F representa un campo de velocidades del fluido. Las partículas tienden a girar alrededor del eje que apunta en la dirección del y la longitud de este vector rotacional es la medida de la rapidez con que las partículas giran alrededor del eje entorno a un punto.
Si =0 el fluido esta libre de rotaciones en un punto dado P, el campo F se llama irrotacional en P. En otras palabras no hay vórtice en P. Si 
 ≠ 0 entonces hay rotación del fluido. 
rotV
P=(x, y,z)
2) DIVERGENCIA
Si tenemos el campo vectorial F(x, y, z) = (P, Q, R), la divergencia de F se define de la siguiente manera:
 
De modo similar la Divergencia puede definirse de un modo sencillo haciendo uso del operador diferencial.
Ejemplo
Dado el campo vectorial determinar la Divergencia de F.
Como P = xz; Q = xyz; R = 
Luego: 
 
Teorema
Si F(x, y, z) = (P, Q, R) es un campo vectorial en V3, y P, Q y R tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces:
Tenemos que: 
Como 
Como: 
 
Y 
Entonces como 
 
 + 
Por hipótesis sabemos que P, Q y R tienen derivadas parciales segundas continuas, entonces:
; 
 por el teorema de Clairaut
Por tanto: lqqd
Interpretación física de la Divergencia
La interpretación física de la divergencia en el análisis de los fluidos, es que si F(x, y, z) es un campo vectorial de velocidades del fluido (líquido o gas), entonces la DivF representa la razón de cambio neta (respecto al tiempo), por unidad de volumen y/o área de la masa del fluido que circula por el punto (x,y,z). 
En otras palabras la DivF mide la tendencia del fluido de divergir del punto (x, y, z). Si DivF = 0 se dice que el fluido es incompresible.
Si DivF > 0 se dice que el fluido se expande en el punto (x, y, z) y si DivF<0 el fluido se comprime en el punto (x, y, z).
Otro operador diferencial se presenta cuando calculamos la divergencia de un campo vectorial gradiente. Si f es una función de tres variables tenemos: 
).()= 
Operador de Laplace: 
Cuando dicho operador es igual a cero tenemos el Laplaciano:
Laplaciano: 
Forma vectorial del Teorema de Green
Los operadores rot y div nos permiten escribir también otras variantes del teorema de Green que son muy útiles.
Supongamos que el campo vectorial F(x, y) actúa en la región plana D y su curva frontera C, y las funciones P, Q, R satisfacen las hipótesis del Teorema de Green.
Esta integral corresponde al trabajo realizado por la componente tangencial de F a lo largo de C.
Si F(x, y) = (P, Q)
 RotF=
Domo P y Q no dependen de z entonces: 
Por tanto:
RotF
Remplazando:
Luego: 
Ahora vamos a considerar la integral de línea de la componente normal de F a lo largo de C:
Si C está dada por 
Entonces 
La tangente unitaria: 
Como estamos en el plano:
= 
Luego: 
Remplazando:
Como C, P y Q cumplen las condiciones del Teorema de Green, podemos aplicarlo a nuestra integral:
En donde: 
Remplazando:
 
Regiones 
Simplemente conexas 
 No son simplemente 
conexas 
 
D 
C 
C 
D 
Tipos de orientaciones 
Orientación negativa 
 
Orientación positiva