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3- Funciones, continuidad y derivadas

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Cálculo vectorial: Funciones de varias variables MATEMATICA II UNAJ 
 
 
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Funciones de varias variables 
 
En Matemática I analizaron el comportamiento de funciones de una variable. Para estas, una 
magnitud dependía de otra, siendo las variables una independiente y la otra dependiente. 
Existen casos en los que una magnitud depende de dos o más variables. Por ejemplo, si 
queremos calcular el volumen de un cono circular recto, debemos conocer su radio y su altura. 
La manera de expresarlo con una función es 2
1
( , )
3
V r h r h . Las variables independientes 
son r, h, y la variable dependiente es V. 
O la longitud de la diagonal de un prisma recto, depende de tres variables: el largo, la altura y 
la profundidad. Se calcula 2 2 2( , , )D l a p l a p   . Esta función tiene tres variables 
independientes, y la variable dependiente es D. 
En general, una función de n variables 1 2, ,..., nx x x es una relación que le asigna a cada punto 
1 2( , ,..., )nx x x un solo valor de la variable dependiente. 
Así como se definía el dominio de una función de una variable, también se puede definir el de 
una función de varias variables. Describiremos el conjunto de puntos para los cuales se puede 
aplicar la función. 
Para el primer caso 
21( , )
3
V r h r h representa el volumen de un cono circular recto. Como 
es función de dos variables, el dominio será un subconjunto de ℝ2. Hay que ver qué valores 
pueden tomar r, y h. Por ser las medidas del radio y de la altura del cono, deben ser números 
mayores a 0. No hay ninguna otra restricción, el dominio será Dom(V)={(r,h)∊ℝ2: r>0, h>0}. 
Gráficamente, vemos al dominio como el conjunto de puntos de ℝ2 que están en el primer 
cuadrante, excluyendo los puntos de los ejes. 
 
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En el segundo caso, la función 2 2 2( , , )D l a p l a p   es de tres variables, por lo tanto el 
dominio es un subconjunto de ℝ3. Nuevamente, las variables independientes representan 
longitudes, que sólo pueden tomar valores positivos. 
El dominio de esta función se escribe Dom(D)={(l,a,p)∊ℝ3: l>0, a>0, p>0}, y gráficamente es el 
primer octante del espacio ℝ3. 
 
De una función podemos conocer su expresión, sin que esté involucrado un contexto 
geométrico, como en los dos ejemplos anteriores. En esos casos, para describir el dominio 
debemos ver las restricciones algebraicas de la expresión. 
Por ejemplo, consideremos la función de dos variables 2( , )f x y y x  . Su dominio es un 
subconjunto de ℝ2, y la única condición que debe cumplir un punto para que se le puedan 
aplicar todas las operaciones es 2 0y x  , pues a un número negativo no se le puede calcular 
la raíz cuadrada. 
Esto es equivalente a pedir 2y x . Los puntos que satisfacen esto son los que están arriba de 
la curva 2y x (incluyendo a la parábola). Notamos que, a diferencia de los primeros 
ejemplos, no hay que pedirles a cada una de las variables independientes que sea mayor a 
cierto valor por separado, sino que se debe cumplir una desigualdad que involucra a las dos 
variables a la vez. 
Lo representamos de estas dos formas: 
Dom(f)={(x,y)∊ℝ2: y≥x2} 
 
 
Gráficas de funciones 
Después de describir el dominio de una función, nos podría interesar la forma que tiene su 
gráfica. ¿Cómo se define la gráfica de una función de varias variables? De la misma forma que 
para funciones de una sola variable. 
Para funciones del tipo ( )f x , la gráfica estaba formada por los puntos de la forma  , ( )x f x . 
Es decir, por los puntos (x,y)∊ℝ2, tales que Dom( )x f , con ( )y f x . Estos puntos 
generaban una curva plana. 
 
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Análogamente, la gráfica de una función de dos variables ( , )f x y será una superficie cuyos 
puntos (x,y,z)∊ℝ3 satisfacen ( , ) Dom( )x y f , con ( , )z f x y . 
De la misma manera, podemos definir a la gráfica de una función de tres variables como el 
conjunto de puntos (x,y,z,w)∊ℝ4, que cumplen ( , , )w f x y z . Pero es claro que no lo 
podremos representar en un gráfico, ya que no sabríamos cómo dibujar en ℝ4. Las únicas 
gráficas que podemos representar gráficamente son las de funciones de hasta dos variables. 
 
Como paso intermedio a la construcción de la gráfica de una función de dos variables, 
definimos a las curvas de nivel, cuyo estudio nos ayudará a imaginar la superficie de ecuación 
( , )z f x y . 
Curvas de nivel 
Sea la función ( , )f x y . Las curvas de nivel de esta función son las curvas planas de ecuación 
( , )f x y K , siendo K una constante real. 
Ejemplo 
Tomamos la misma función a la que le hallamos dominio: 2( , )f x y y x  . 
La expresión general de una curva de nivel de esta función es 2y x K  . Notar que los 
valores que puede tomar la constante K deben ser números mayores o iguales a 0, dado que la 
expresión del lado izquierdo toma la raíz positiva. 
Entonces las curvas de nivel tendrán ecuación 2y x K  , que es equivalente a 2 2y x K  , 
y también a: 2 2y x K  . Todas estas ecuaciones representan parábolas con eje de simetría 
vertical, y vértice en el punto  20;K . 
Reemplazando a la constante con los valores 
0, 1, 2, 3K K K K    , obtenemos las curvas: 
2 2 2 2; 1; 4; 9y x y x y x y x       .La representación de 
varias curvas de nivel en un mismo sistema de ejes coordenados da 
lugar a un mapa de contornos. El de esta función se ve así: 
 
Veamos cómo ese mapa nos puede dar una idea de la gráfica de la función. 
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Habíamos definido a la gráfica como el conjunto de puntos que cumplen ( , )z f x y . Al armar 
las curvas de nivel, reemplazamos la variable z por distintas constantes. Entonces a cada una 
de esas curvas las podemos imaginar en el espacio, sobre el plano de ecuación z K . En este 
ejemplo, eso se vería así: 
 
 
 
 
 
 
Todas estas curvas del espacio están contenidas en la superficie de ecuación 2z y x  . Si 
dibujáramos más curvas, se podría adivinar la forma de la gráfica. Tendríamos algo así: 
 
 
 
 
 
 
 
Pero realmente, ¿qué superficie define la ecuación 2z y x  ? La podemos transformar 
haciendo algunas operaciones: 2 2 2 2 2z y x z y x y x z        . 
Esta última es la ecuación de un paraboloide elíptico con vértice en el origen y cuyo eje de 
simetría es el eje y. Aunque en realidad en la ecuación original 2z y x  , sólo se acepta la 
raíz positiva, entonces es la mitad superior del paraboloide. 
Notemos que si la superficie de ecuación ( , )z f x y no fuera una cuádrica o una superficie 
conocida, a partir de las curvas de nivel, igualmente podríamos esbozar su gráfica. 
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Ejemplo 
Las curvas de nivel se usan en los mapas de clima para 
representar los lugares donde la temperatura es 
constante (isotermas), o donde el nivel de 
precipitaciones por unidad de tiempo es constante 
(isohietas). 
También en cartografía, representando los puntos en los 
cuales la altura sobre algún nivel de referencia es 
constante (isohipsa); y en oceanografía, los puntos donde 
la profundidad es constante (isóbata). 
 
Superficies de nivel 
Para el caso de las funciones de tres variables, ya vimos que no podemos representar su 
gráfica, pero sí podemos definir algo análogo a las curvas de nivel en las funciones de dos 
variables. 
Dada la función ( , , )f x y z , las superficies de nivel de esta función son las superficies de 
ecuación ( , , )f x y z K , siendo K una constante real. 
Ejercicios 
34. Describir y graficar el dominio de las funciones: 
a. ( , )
ln( )
x y
f x y
y

 
b. 2 2 2( , , )F x y z x y z   
c. 2 2( , ) ln( 1)h x y x y   
d. 
2 2
( , )
4 1
x y
g x y
x y


  
 
35. Graficar algunas
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