Unidad 6 Integrales dobles

Vista previa del material en texto

Tema VI. Integrales Múltiples 
 
 
2013 
Preparado por: Gil Sandro Gómez 
Profesor de la Universidad Autónoma de Santo Domingo 
 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 1 
 
Contenido 
1 Introducción ................................................................... 2 
2 Integral doble ................................................................. 3 
2.1 Propiedades de las integrales dobles ................................ 3 
2.2 Interpretación geométrica de la integral doble ................... 3 
3 Integrales iteradas ........................................................... 4 
3.1 Teorema de Fubini ....................................................... 4 
4 Integrales dobles en coordenadas polares .............................. 6 
5 Cambio de variables en integrales dobles .............................. 7 
5.1 Concepto de Jacobiano .................................................. 7 
6 Bibliografía ..................................................................... 9 
7 Webgrafía .................................................................... 10 
 
 
 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 2 
 
1 Introducción 
En nuestro estudio de cálculo I aprendimos que la integral se interpreta 
geométricamente como el área de bajo de la curva, esto lo usamos para 
calcular el área de la curva ( )y f x= comprendida entre las rectas x a= y 
,x b= mediante la fórmula ( ) .
b
a
A f x dx=  
Es importante recordar que en algunas ocasiones es necesario encontrar el 
volumen limitado por la curva ( ), ,z f x y= esto no es posible aplicando la 
integral simple. Para caso de este tipo requerimos una integral doble, 
donde el volumen viene dado por ( ), ,
R
V f x y dA=  donde    , x , .R a b c d= 
 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 3 
 
2 Integral doble 
Definición. Si f está definida en una región cerrada y acotada R del plano
xy , entonces la integral doble de f sobre R está dada por 
0
1
( , ) lim ( , )
n
i i i
iR
f x y dA f x y A
 →
=
=  
siempre que el l ímite exista. Si existe el l ímite, entonces f es integrable 
sobre R . 
2.1 Propiedades de las integrales dobles 
Teorema. Propiedades de las integrales dobles 
Sean f y g continuas en una región cerrada y acotada R del plano, y sea c 
una constante. 
1. ( ) ( ), ,
R R
cf x y dA c cf x y dA=  
2. ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
R R R
f x y dA g x y dA f x y dA g x y dA =      
3. ( ), 0,
R
f x y dA  si ( ), 0f x y  
4. ( ) ( ), , ,
R R
f x y dA g x y dA  si ( ) ( ), ,f x y g x y 
5. ( ) ( ) ( )
1 2
, , , ,
R R R
f x y dA f x y dA f x y dA= +   donde R es la unión de dos 
subregiones 
1R y 
2R que no se solapan. 
2.2 Interpretación geométrica de la integral doble 
Volumen de una región sólida 
Si f es integrable sobre una región plana ( , ) 0R y f x y  para todo ( , )x y en R , 
entonces el volumen de la sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica 
de f se define como 
( , )
R
V f x y dA=  
Área de una región en el plano 
1. Si R está definida por a x b  y 
1 2( ) ( )g x y g x  , donde 
1 2 g y g son 
continuas en  , ,a b R está dada por: 
2
1
( )
( )
( , )
b g x
a g x
f x y dydx  , ésta recibe el nombre de región tipo I. 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 4 
 
2. Si R está definida por c y d  y 
1 2( ) ( )h y x h y  , donde 
1 2 h y h son 
continuas en  , ,c d R está dada por: 
2
1
( )
( )
( , )
d h y
c h y
f x y dxdy  , ésta recibe el nombre de región t ipo II. 
 
 
3 Integrales iteradas 
Definición. Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo 
menos dos procesos de integración simple considerando las diferenciales dx 
y .dy 
Es importante tomar en cuenta la posición en que vienen dados los límites 
de las integrales en cuestión, para saber el orden en que serán ejecutados 
los procesos de integración simple; es decir, reconocer si vamos a integrar 
primero considerando el diferencial dx o el diferencial dy o viceversa. 
3.1 Teorema de Fubini 
Sea f continua en una región plana R . 
1. Si R está definida por a x b  y 
1 2( ) ( )g x y g x  , donde 
1 2 g y g son 
continuas en  , ,a b R está dada por: 
 
2
1
( )
( )
( , )
b g x
a g x
f x y dydx  
2. Si R está definida por c y d  y 
1 2( ) ( )h y x h y  , donde 
1 2 h y h son 
continuas en  , ,c d R está dada por: 
 
2
1
( )
( )
( , )
d h y
c h y
f x y dxdy  
Hay regiones que no son tipo I, ni tipo I I; estas se llaman regiones 
tipo II I. 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 5 
 
Ejemplo 1. Evalúe la integral dada usando el concepto de integral iterada 
1 2
0 0
( )x y dydx+  
Solución: Primero calculamos la integral en el orden dado. 
( ) ( )
( )
2
2 2
21 2 1
20 0 0 0
1 1
(2) (0)
2 20 0
11
2 2 2
0 0
( )
(2) ( (0) 2 2 0
2 2 2 (1 2(1) (0 2(0)) 1 2 3
y
x y dydx xy dx
x x dx x dx
x dx x x
 
+ = + 
 
+ − + = + −
+ = + = + − + = + =
  
 

 
Ahora calculamos la integral haciendo un cambio de orden. 
2 1
0 0
( )x y dxdy+  
Solución: 
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 12 1 2
0 0 0 0
2 2
(1) (0) 1
22 20 0
2
22 2
1
2
0
0
2( )
(1) ( ( (0) 0
2 2 1 2 3
2 2 2 2
xx y dxdy xy dy
y x y dy y dy
y y
y dy
+ = +
+ − + = + −
+ = + = − = + =
  
 

 
Ejemplo 2. Dar una integral para cada orden de integración y utilizar el 
orden más conveniente para evaluar la integral en la región R . 
2 2
,
R
y
dA
x y+ donde R es el triángulo acotado por , 2y x y x= = y 2.x = 
Solución. Las integrales pueden ser en los órdenes siguientes: 
2 2 2 2 
y y
x y x y
R R
dxdy y dydx
+ +  
Evaluación de la integral: 
Analizaremos la región como tipo I. 
Los l ímites los determinaremos mediante la gr áfica. 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 6 
 
 
2 2
2
2
2 2 2 2
2 21
20 0
2
2 2 2 21
2 0
2
2 2 2 21
2 0
2
2 21
2 0
2 2
251 1 1
02 2 2 20 0
5 5 51 1
2 2 2 2 2
5 5
22
ln(
[ln( (2 ) ) ln( ( ) )]
[ln( 4 ) ln( )]
(ln 5 ln2 )
ln ln (ln )( )
(2 0) (ln ) 2( ) ln ln
x xy
x y xx
x
x
dxdy x y dx
x x x x dx
x x x x dx
x x dx
dx dx x
+
= +
+ − +
+ − +
−
= =
− = =
  



 
 
4 Integrales dobles en coordenadas polares 
Teorema. Cambio de variables a la forma polar 
Sea R una región plana que consta de todos los puntos 
( , ) ( cos , )x y r rsen = que satisfacen las condiciones 
1 20 ( ) ( ), ,g r g         donde 0 ( ) 2   −  . Si 
1g y 
2g son 
continuas en [0,2 ] y f es continua en ,R entonces 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( )
( )2
1
, cos ,
g
g
R
f x y dA f r rsen Jdrd
 
 
  =   
r
r
x x
J
y y


= 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 7 
 
Ejemplo3. Evaluar la integral iterada pasándola a coordenadas polares. 
2 2
0 0
a a y
ydxdy
−
  
 
 
 
Primero Hacemos la transformación a coordenadas polares y luego 
calculamos el Jacobiano. 
cos ,
cos , s , cos , s
x r y rsen
x x y y
r en r en
r r r
 
   

= =
   
= = − = =
   
 
2 2
cos sen
cos
s cos
J r rsen r
r en r
 
 
 
= = + =
−
 
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
( ) ( )
a a a
rsen r d dr rsen r d dr r sen d dr
  
     = =      
3 3
2 2 22
0
0 0 0
0
( cos ) ( cos cos0)
2 3 3
a
a a a r a
r dr r dr r dr
 
− = − + = = =   
5 Cambio de variables en integrales dobles 
5.1 Concepto de JacobianoSi ( , ) ( , )x g u v y y h u v= = , entonces el Jacobiano de x e y con respecto a u y 
v , se denota por 
( , )
( , )
x y
u v


, esto es 
 
 ( , )
 ( , )
u v
u v
x xx y x y y x
y yu v u v u v
    
= = −
     
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 8 
 
Teorema. Cambio de variables en integrales dobles 
Sean y R S las regiones en los planos xy y uv que están relacionadas por 
las ecuaciones ( , ) ( , )x g u v y y h u v= = de manera que cada punto en R es la 
imagen de un único punto en S . Si f es continua en R , g y h tienen 
derivadas parciales en S , y 
( , )
( , )
x y
u v


 es distinto de cero en ,S entonces 
 
( , )
( , )
( , ) ( ( , ), ( , ))
R S
x y
u v
f x y dxdy f g u v h u v dudv


=  
Ejemplo 4. Calcule la integral doble indicada 
2 2( ) ,
R
x y dA+ donde { 1, 1, 1, 1}R y x y x y x y x= = + = − + = − − = − 
 
 
1, 1, 1, 1x y x y x y x y− = − + = + = − − = 
Hacemos el siguiente cambio de variables: 
 x y u y x y v− = + = , entonces 1, 1, 1 1u u v y v= − = = − = 
Ahora utilizamos el nuevo plano uv . 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 9 
 
 
La nueva región S está acotada por: 1 1, 1 1u v−   −   
1 1
2 2
1
2
1 1
2 2
,
2 2
 ( , )
 ( , )
u v
u v
u v u v
x y
x xf x y
J
y yu v
+ −
= =

= = = = −
−
 
Sustituyendo en el integrando cada variable por su equivalente, tenemos: 
( ) ( )
2 2 2 211
2 42 2
( ( , ), ( , )
( )
S
S S
u v u v
f g u v h u v J dudv
dudv u v dudv+ − + − = +
 

 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1 11 1
2 21 1 1 1 1 1 1 1 2
4 3 4 3 4 4 3 3 4 30 0 00
3 3
1
6
u v vv u dv v dv= + = + = + = + = =  
Como es simétrica multiplicamos por 2. 
2 2 1
( )
3
R
x y dA+ = 
6 Bibliografía 
1. Edwards, C & Penney, D. (2008). Cálculo con trascendentes tempranas 
(7ma edición). México: Pearson. 
2. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2006). Cálculo II (8 va 
edición). México: Mc Graw Hill. 
3. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo Esencial. 
México: CENGAGE Learning. 
4. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo (9na edición). 
México: Pearson 
Tema VI . In tegrales Múlt ip les 
Preparador por: Gi l Sandro Gómez 10 
 
5. Thomas, G. (2005). Cálculo multivariables (11 ma edición). México: 
Pearson. 
6. Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables (6 t a edición). México: 
CENGAGE Learning. 
7 Webgrafía 
1. http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/amte04.pdf 
2. http://ocw.upc.edu/sites/default/files/materials/1501 2553/34715-
3401.pdf 
3. http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntDobles.pdf 
4. http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/Aplicaciones.pdf 
5. http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/05_2.pdf 
 
 
 
 
http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/amte04.pdf
http://ocw.upc.edu/sites/default/files/materials/15012553/34715-3401.pdf
http://ocw.upc.edu/sites/default/files/materials/15012553/34715-3401.pdf
http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntDobles.pdf
http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/Aplicaciones.pdf
http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/05_2.pdf