Integrales dobles b

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Integrales Dobles 1 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA 
 
INTEGRAL DOBLES Y 
TRIPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ERNESTO ANTONIO CEDRÓN LEÓN 
 
 
 
NUEVO CHIMBOTE, 2020 
 2 Ernesto Cedrón León 
 
CAPÍTULO II 
INTEGRAL DOBLES Y TRIPLES 
INTRODUCCIÒN 
 
En la teoría del Cálculo Multivariable, se estudia las integrales dobles y 
triples, como una extensión de las integrales definidas, cuyas definiciones 
están asociadas a la idea de límite sumas de áreas o volúmenes 
respectivamente. Su manejo nos permite aplicarlas en la determinación de 
áreas y volúmenes, áreas de superficies, el cálculo de masa, momentos 
estáticos y centros de masa de una lámina o de un sólido. El estudio lo 
haremos en los sistemas de coordenadas rectangulares y polares para las 
integrales dobles y en los sistemas rectangular, polar cilíndrico y polar 
esférico para las integrales triples. 
 
En el proceso de solución de los ejercicios o problemas es necesario el 
bosquejo de las regiones sobre las cuales se integra y en el sistema de 
coordenadas correspondiente. Un adecuado manejo del bosquejo de las 
regiones de integración permite determinar la variación de las variables 
de integración, las variables interna y externa. En cuanto al proceso 
mismo de integración analítica, el estudiante hará uso de su 
conocimiento de los dos métodos de integraciones generales, integración 
por sustitución e integración por partes. Cuando utilice la integración por 
sustitución o cambio de variable, podrá hacer uso también de la 
descomposición de fracciones en fracciones parciales elementales, así 
como integraciones de funciones raciones e irracionales, trigonométricas, 
logarítmicas y exponenciales. 
 
COMPETENCIAS. 
El estudiante al término del estudio de las integrales dobles presente 
capítulo adquiere las siguientes competencias: 
1. A partir de una de una noción de volumen de un paralelepípedo y 
haciendo uso de las sumatorias define y calcula una integral doble 
como límite de una suma. 
 Integrales Dobles 3 
2. En el cálculo de integrales dobles puede utilizar cambio de variables o 
el uso de coordenadas polares. 
3. Aplica las integrales dobles para el cálculo de áreas y volúmenes de 
regiones planas y del espacio tridimensional respectivamente. 
4. Aplica las integrales dobles para determinar el área de superficies, la 
masa, momentos estáticos, momentos de inercia y centro de masa de 
una lámina. 
5. Define y calcula integrales triples como el límite de una suma. 
6. En el cálculo de integrales triples, utiliza según sea conveniente los 
sistemas de coordenadas polares cilíndricas o coordenadas polares 
esféricas, según sea el caso. 
7. Aplica las integrales triples para determinar la masa, momentos 
estáticos, momentos de inercia y centro de masa de un sólido en el 
espacio. 
 
 
 
A) INTEGRAL DOBLES 
 
 
COMPETENCIA Nº 1 . A partir de una de una noción de volumen de un 
paralelepípedo y haciendo uso de las sumatorias define y calcula una 
integral doble como límite de una suma. 
 
 
 
 
Para comprender la definición de la integral doble, recordemos que dada 
una función real ( )y f x , continua en un intervalo cerrado  ,a b , la 
integral definida sobre dicho intervalo la definimos como 
0
1
( ) lim ( )
i
b n
i i
Máx x
ia
f x dx f x
 

  
 4 Ernesto Cedrón León 
 
Sin embargo el cálculo sin usar la definición es posible por los dos 
teoremas del Cálculo Integral. El primero que garantiza la existencia de 
una función primitiva ( )F x , para la función continua ( )y f x y el segundo 
que señala: ( ) ( ) ( )
b
a
f x d F bx aF  , así por ejemplo 
2 3 2 3 2 3 2
2
1
2
1
2 2( ) ( ) 2( ) ( ) 44 7 37
(2 )
3 2 3 2 3 2 6 6
2 2 1
6
1x x
x x dx
     
             
         
 
 
Ahora consideremos una función continua de dos variables definida de 
2 en dada por ),( yxfz  , con dominio una región R  
2 
 
( , )z f x y , es continua en una región R del plano XY , podemos usar 
líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de 
área ,i jA . Sea  ,i jx y un punto cualquiera del ,i jA rectángulo, entonces la 
integral doble de ),( yxfz  sobre R es: 
 
,
,
,
0
1, 1
( , ) lim ,
i j
i n j m
i j i j
Máx A
i jR
f x y dA f x y A
 
 
 
  
 
Su interpretación geométrica la relacionamos con el volumen de una 
región S en 3 como vemos a continuación. 
 
 
 Integrales Dobles 5 
Problema: Determinar el volumen de una región. 
 
Sea S una región en el espacio tridimensional limitada por: 
superiormente por una función de dos variables ( , )z F x y continua y 
positiva en un dominio que contiene a una región plana D , inferiormente 
justamente por la región plana D y lateralmente por una superficie 
cilíndrica cuya directriz es la frontera de la región D . Esta región D para 
facilitar los cálculos consideremos en principio definida por: 
 2 1 2( , ) / , ( ) ( )D x y a x b f x y f x      
Ilustremos la región S, 
 
 
 
 
En forma análoga a la forma como obteníamos la suma de Riemann para 
integrales definidas, dividamos la región D en n-subregiones rectangulares ijA de 
áreas 
 Área( ) , 1, 2, 3, ... , , 1, 2, 3, ... ,ij i iA x y i n j m     . 
En cada ij-ésima subregión tomamos un punto cualquiera ij . Entonces, 
si ( )ijf  es la altura de un paralelepípedo de base ijA , el volumen de 
dicho paralelepípedo es ( )ij ij i iV f x y   y el volumen 
aproximado de la región S será 
 6 Ernesto Cedrón León 
 
1 1
1 1
( )
i n i n
j m j m
ij ij i i
i i
j j
V V f x y
 
 
 
 
     
 
 
 
Si refinamos la partición de la región D , de modo que 0ijA  , lo cual 
implica que n , mentonces el volumen de S será 
 
 
1
1
lim ( )
i n
j m
ij i i
n
i
m
j
V F x y






   
El límite de ésta suma, podemos definirla entonces como una integral 
doble. 
 
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE.- Dada una función de dos variables 
( , )z f x y , definida y continua sobre un dominio D , definimos la integral 
doble y la denotamos por ( , ) donde
D
f x y dA dA dx dy , del modo 
siguiente: 
 
1
1
( , ) lim ( )
i n
j m
ij i i ij ij
n
iD
j
f x y dA f x y A 





    siempre que el 
límite 
exista. En tal caso se dice que la función ( , )z F x y es integrable sobre D . 
 
 Integrales Dobles 7 
PROPIEDADES: 
 
1. ( , ) ( , ) ,
D D
cf x y dA c f x y dA c   
2.  ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , y integrables sobre 
D D D
f x y g x y dA f x y dA g x y dA f g D    
 
3. Si ( , )f x y y ( , )g x y son integrables sobre D , de modo que 
( , ) ( , ) , ( , )f x y g x y x y D   , entonces 
( , ) ( , )
D D
f x y dA g x y dA  
4. Si ( , )f x y es integrable sobre D , además 1 2 1 2, y D D D D D  son 
regiones cerradas y disjuntas, entonces 
1 2
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dA f x y dA f x y dA    
5. Si ( , )f x y es integrable sobre D , entonces 
( , ) ( , )
D D
f x y dA f x y dA  
 
INTEGRALES ITERADAS 
 
Nos interesa a continuación aprender una técnica de cálculo para la 
integral doble, que dependerá de la forma de la región R . Será posible 
resolver la integral doble en los siguientes casos: 
a) Si R es un rectángulo definido por 
  2, / ,R x y a x b c y b      , entonces la integral doble se 
calcula de la siguiente forma: 
 
    f(x, y)dA f(x, y)dxdy f(x, y)dydx
d b b d
c a a c
R
 
donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R. 
 8 Ernesto Cedrón León 
Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se 
integra con respecto a la otra variable. 
Podemos usar también la notación 
dy dx    f(x, y)dA f(x, y)dx f(x, y)dy
d b b d
c a a c
R
, en donde se resalta cuál es la 
primeravariable de integración y la segunda variable que 
llamaremos variable de integración externa. 
 
b) Regiones transversales verticales: La región R está limitada por las 
gráficas de 1( )g x y 2( )g x en el intervalo  ,a b , esto es, 
  2 1 2, / ( ) ( )R x y a x b g x y g x      , 
La ilustración gráfica de éste tipo de región es: 
 
Entonces la integral doble se calcula por: 
 
 
 
c) Regiones transversales horizontales: La región R está limitada por las 
gráficas de 1( )x h y y 2( )x h y en el intervalo  ,c d , esto es, 
  2 1 2, / ( ) ( ),R x y h x x h x c y d      , 
 Integrales Dobles 9 
La ilustración gráfica de éste tipo de región es: 
 
 
Entonces la integral doble se calcula por: 
 
 
d) Puede haber regiones que sean una combinación de los casos b) y c). 
 
 
En tal caso se tendrá que dividir la región en forma adecuada. 
 
EVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLES 
 
A continuación evaluaremos algunas integrales dobles, para lo cual 
seguiremos los siguientes pasos: 
 
Primero: Dibujaremos la región de integración a fin de determinar el tipo 
de región y por lo tanto los límites de integración. 
 
Segundo: Considerando ( , ) 1 ( , )z f x y x y R    , entonces 
R
dA 
representa el área de la región R . 
 
 
 
 
 
 
 
 10 Ernesto Cedrón León 
EJEMPLO N°1. Dibuje la región de integración y evalúe la integral doble: 
 
1 0 1 1
0 1 0 0
yx y x y
y
e dxdy e dxdy
 

    
 
Solución 
 1º Dibujamos la región de integración, 
 
 
 
 
 2º Evaluamos las integrales. 
 
0 11 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 01 0
1 12 1
0 0
 = 
 =
yyx y x y x y x y
y y
y y y
e dx dy e dx dy e dy e dy
e e dy e e dy
   
 

  
  
     
 
 
1
2
2 1 1
y
0
0
e
2
1
 1 1
2 2
 
1
1
2
 
y
ye ey e
e
e e e
e
e
e

  
     
 

 
 
 
 Integrales Dobles 11 
 EJEMPLO 2. Evaluar la integral doble siguiente: 
 
x y
R
e dxdy 
cuya región de integración está dada por ⎮x⎮ + ⎮y⎮ ≤ 1. 
 
Solución 
La región de integración, teniendo en cuenta la definición de valor absoluto 
corresponde a un rombo, cuya gráfica se muestra a continuación: 
 
 
Evaluamos a continuación la integral, dividiéndo la región en 4 subregiones: 
 
 
 
 
 12 Ernesto Cedrón León 
Ejemplo 3.- Cálcular el áre de la región de la derecha acotada por la 
parábola 2 4(1 )y x  , y la circunferencia 2 2 4x y  
Solución 
La gráfica se aprecia a continuación 
 
Encontamos los puntos de intersección de las curvas, 
2
2
4 4 4
4 0 0 4
x x
x x x x
  
     
 
Por lo tanto el área está dada por: 
2
2
242 2 22 3
2 2
42 2 2 2
4
2
4
4 4
4 12
Evaluemos la integral 4 , para ello utilizamos una sustitución trigonométrica
2 , de donde 2cos , en consecuencia
y
y
y y
dy dx y dy y dy y
y dy
y sent dy t dt

   
   
         
      

 
   

 
2
2
2 2
242 3
42 2
4
:
1 cos2 1
4 2 4 4 cos 4cos cos 4 2( 2 )
2 2
Por lo tanto,
1
2 (2 )
2 2 2 12
1 8
 2 2 2
2 2 1
y
y
t
y dy sen t t dt t t dt dt t sen t c
y y y
dy dx arcsen sen arcsen y
sen



 

       
   
       
     
   
   
 
8
2 2
2 2 12
16 16 8
 2
12 12 3

  
    
        
    
 
       
 
 
 
 
 
 
 Integrales Dobles 13 
 
COMPETENCIA Nº 2. En el cálculo de integrales dobles se puede utilizar 
cambio de variables o el uso de coordenadas polares. 
 
 
 
 
TRANSFORMACIÓN DE UNA INTEGRAL DOBLE A COORDENADAS 
CURVILÍNEAS 
 
Dada la integral doble ( , )
R
f x y dxdy en coordenadas rectangulares 
 ,x y , cuya región de integración es R , la transformaremos en las 
coordenadas curvilíneas  ,u v que describen la región T . 
 
Supongamos entonces que las ecuaciones que relacionan ambos sistemas de 
coordenadas son: 
  
 
,
,
x u v
y u v


 


 
 
Entonces en el plano XY, tenemos el radio vector 
 ( , ) ( , ) ( , )x y u v u v  r i j 
Que describe la región R, cuando  ,u v varía en T . 
Con la transformación de coordenadas dadas la integral doble en coordenadas curvilíneas es de la 
forma: 
 ( , ) ( , ), ( , ) ( , )
xy uvR T
f x y dxdy f u v u v J u v dudv   
Donde 
 ,
( , )
( , )
u v
u v
J u v
u v
  
 

 

, llamado el determinante jacobiano. 
 14 Ernesto Cedrón León 
EJEMPLO 1.-Dibuje la región de integración, cambie de coordenadas para evaluar la integral 
doble    
2 2
xy
R
x y sen x y dx dy  , donde D: Cuadrilátero de vértices:  3 , 0A  , 
 2 , 2B   ,  0 , 3C  y  ,D   . 
Solución 
El cuadrilátero se muestra en la siguiente figura: 
 
 
 
 
Cambiamos variables: 
   
2 2
, ,
1/ 2 1/ 2 1 1 12
1/ 2 1/ 2 4 4 2
2
1
2
uv
u v
u v
T
u x y v x y
u v
x
x x
y yv u
y
u sen v du dv
   


    
  

 
 
 

 
La región D, con el cambio de variables se muestra en la siguiente figura: 
 
 Integrales Dobles 15 
 
Integrando sobre la nueva región se tiene: 
 
 
 
 
 
INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES 
 
Un caso particular de coordenadas curvilíneas, son las coordenadas 
polares, esto es si 
cosx r
y rsen





 
 
En éste caso 
cos
( , )
cos
r
r
x x sen
J r r
y y rsen r


 

 
  

 
 
 
 
( , ) cos , ,
 , ( )
xy rR T
f x y dxdy f r rsen r drd
r

  
      

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 Ernesto Cedrón León 
EJEMPLO 2.- Calcule la integral 
 
2 2
2 2 2 2 2 4
ln( ) , donde es la corona entre 
 y 
R
x y dxdy R
x y e x y e

   

 
 
Solución 
La región de integración gráficamente es 
 
22
2 2 2 2
0
ln( cos ) 2 ln
r
e
R e
r r sen rdrd r r dr d


       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Integrales Dobles 17 
COMPETENCIA Nº 3. Aplica las integrales dobles para el cálculo de áreas y 
volúmenes de regiones planas y del espacio 
tridimensional respectivamente 
 
 
 
EJEMPLO 1.- Calcular el área de la región R , dada por: 
 2( , ) / 4 2R x y x y y x      
Solución 
Dibujamos la región, si consideramos regiones transversales verticales, la región 
debemos dividirla en dos partes, por lo tanto la integral es: 
 
 
 
0 4 5 4
4 0 24
x x
xx
I dx dy dx dy
   
  
     
0 4 5 4 0 5
4 4
4 2
4 0 2 4 04
x x
x x
x x
xx
I dx dy dx dy y dx y dx
   
   
  
   
         
0 5 0 5
4 4
4 2
4 0 4 0
2 4 4 2
x x
x x
y dx y dx x dx x x dx
   
  
 
         
 
   
50 5 0 2
44 0 0
4 2
2 4 4 2 4 4 2
3 3 2
x
x dx x x dx x x x

  
            
    
 
 
   
50 2
3/ 2 3/ 2
4 0
4 2 32 54 25 16
4 4 2 10
3 3 2 3 3 2 3
70 5 140 15 125
3 2 6 6
x
x x x

      
               
       

   
 
 
 18 Ernesto Cedrón León 
Si consideramos la región como transversal horizontal, el cálculo se hace con 
una sola integración, de la forma: 
 
 
Ejemplo 2. 
Calcular el área de la región limitada por 
2 2 3 1 0y y x    y 3 3 7 0x y   . 
Solución 
Primer paso.- Graficamos y encontramos los puntos de intersección 
 
Segundo paso.- Calculamos el área usando integrales dobles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Integrales Dobles 19 
Ejemplo 3. – Calcular el área de la región e el primer cuadrante limitada por 
2 2 1x y , 2 2 9x y  , 3y x y 
1
3
x . 
Solución 
 
Primer paso. Graficamos la región y encontramos los puntos de intersección, lo 
cual se muestra a continuación: 
 
 
Segundo paso.- Dividimos la región de integración en tres subregiones, e 
integramos en cada una de ellas tomando como variable externa a x , 
2
2
93 33 / 2 3/ 2 3 3 / 2
1/ 2 3/ 23 / 2 / 3 31
2
3
yy y
y yy
dy dx dy dx dy dx



        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 Ernesto Cedrón León 
EJEMPLO 4 : Calcular el área de la región determinada por 
 r ≤ 3 + COS(4·θ) ∧ r ≤ 2 - COS(4·θ). 
 
Solución 
 
La gráfica se muestra a continuación: 
 
 
Puesto que existe simetría de ambas curvas con respecto al polo, es 
suficiente calcular el área en el primer cuadrante. 
 
 
 
 
El área es igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Integrales Dobles 21 
VOLUMEN DE UN SÓLIDO 
 
El volumen de un cuerpo limitado superiormente por la superficie 
( , )z f x y , inferiormente por una región en el plano R en donde la función 
( , )z f x y está definida y lateralmente por una superficie cilíndrica cuya directriz es la 
frontera de la región R , está dado por ( , )
R
V f x y dxdy  . 
Cuando el cuerpo cuyo volumen deseamos calcular se encuentre entre dos superficies superior e 
inferiormente tal como 2( , )z f x y y 1( , )z f x y respectivamente, teniendo a 
R como proyección común sobre el plano XY, entonces el volumen de dicho cuerpo se calcula 
mediante la relación siguiente: 
  2 1( , ) ( , )
R
V f x y f x y dxdy  
Ejemplo 5.- Calcular el volumen comprendido entre el paraboloide y el 
plano siguientes: 
 
Solución 
 
Primero. Mostramos la región, la cual proyectamos para determinar la 
región de integración. 
 
La proyección del sólido sobre el plano XY es: 
 
 22 Ernesto Cedrón León 
Por lo tanto la integral doble que resuelve el problema es: 
 
 
 
 
Ejemplo 6.- Determine el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide 
2 29z x y   y el plano 3z y  . 
 Solución 
 
La proyección del sólido sobre el plano XY es la circunferencia: 
 
2 2
2 2
2
2
6 0
1 1 24
0
4 4 4
1 25
0
2 4
x y y
x y y
x y
   
     
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Integrales Dobles 23 
 
3.- Calcular el volumen limitado superiormente por el plano 3x y z   , 
inferiormente por el plano 0z  , y lateralmente por el cilindro 2 2 1x y  . (s. 3 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 Ernesto Cedrón León 
 
COMPETENCIA Nº 4. Aplica las integrales dobles para determinar el área de 
superficies, la masa, momentos estáticos, momentos de inercia y centro de masa 
de una lámina. 
 
 
 
CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE 
 
Supongamos que se tiene una superficie S dada por 
( , ) ( , )z f x y x y D   , La superficie es limitada por la curva SC , contorno 
o frontera de la superficie. Si proyectamos S , se obtiene la región D , 
Observemos la gráfica 
 
 
 
 Integrales Dobles 25 
,
,
1 1
( ) lim , 
i j
n m
ij i j ij
A o i j
A S T S T
   
      
 
 
 y a b son dos vectores en la dirección de rectas tangentes . 
Recordemos que  
Comp
,x i jf x y
x


ka ,  
Comp
,y i jf x y
y


kb 
    
    
, , 0 , ,
, 0 , , ,
i x i j i i x i j i
i y i j j j y i j j
x f x y x x f x y x
x f x y y y f x y y
      
      
a i k
b j k
 
El área del paralelogramo ijT es igual a la magnitud del producto vectorial de 
 y a b . 
 
 
0 ,
0 ,
i x i j i
j y i j j
x f x y x
y f x y y
    
 
i j k
a b
    
   
2 2
, , , ,
, , 1
j x i j i i y i j j i j
x i j y i j i j
y f x y x x f x y y x y
f x y f x y x y
      
        
   
a b
 
   
, ,
2 2
1 1 1 1
( ) lim lim , , 1
i j i j
n m n m
ij x i j y i j i j
A o A oi j i j
A S T f x y f x y x y
      
         
       
 
   
22
( ) , , 1x y
D
A S f x y f x y dA        
 
 
 
 26 Ernesto Cedrón León 
 
Ejemplo 1.- 
Calcule el área superficial de la región cilíndrica 
2
2
1
xz  , limitada por los planos 
3x y , 3y x , 2x  . 
 
 Solución 
Observemos las siguientes figuras: El bosquejo de la región cilíndrica y su 
proyección sobre el plano XY 
 
 
 
 Evaluando, tenemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Integrales Dobles 27 
CENTRO DE MASA, MOMENTO DE INERCIA 
 
Ejemplo 2.-Determinar los momentos de inercia de la elipse 
2 2
2 2
1
x y
a b
  , respecto a los 
ejes coordenados. 
 
 
 
 
Solución: 
 
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE X 
 
2 2
2 2
2 2 2 22
a
b y
b b
x
ab
b y
b
b
b
a
I dy y dx y y y
b
b d

 
 
     
Utilizaremos el método de integración por partes. Trabajemos solo con la integral 
indefinida: 
 
2 2b yy dI y y  , 
 
   
3
2 2 12
2 2 2 2 2 22
1 1
32 3
2
u y du dy
b y
dv y b y dy v b y b y
  
 
      
 
 28 Ernesto Cedrón León 
    
     
3 1
2 2 2 2 2 22 22 2 2
3 1
2 2 2 2 22 2
1
2 22 2
1
3 3
1
 
1
3
 
3 3
b y y dy
y b
y
b y b y b y dy
y
b y b b y y ddy y
     
     


 
 
   
   
3 1
22 2 2
1
2 2 2
2 2 2 22 2
3 2
2 2 2 2 2 2
4
3
1
3 3
4 4
y
b y b b y dyb y y dy
b y
y b
b y y dy b yy d
    
 

  




 
Sea 
 
 
1
2 2 2
1
1
1 2
2 2 22
 Sea cos
 
2
2 4
I b y dy y sen dy b
y
sen
b
b sen
b y dy b
 




     
 
  
 
  


 
Reemplazando, tenemos 
 
 
 
3 2 2
2 2 2 2 2 22
3 4 4
2 2 2
3 4 4
2
1
12 2
1 2
4 4 2 4
 
4 8 16
 
4 8 16
2 cos
y
sen
b
y y
sen sen
y b b sen
b y y dy
b b
y y
b y b
y b b
b y
y b
y e
b
b s n
b
b
 



 
 
 
   
   
  
 
      
 
 
   


   
  

 
 


2 cossen 

 
 
 
 
 
 
3 4 4
2 2 2 2 2 2
3 4
2 2
1
1
3
2 2 2 2 2 
4
 
4 8 8
8 8
b yy y
sen
b b
y b b
b
y
sen y
b y y d
b
y b
b
y b b
b y y
y 

        
    
 
 
   
 
    
  

 
 
Finalmente: 
 
 Integrales Dobles 29 
 
3 4 3
2 2 2
4 4 3
1 2 22
4 8 8
2
 
8 2 8 2 4
b
x
b
y
sen y b y
b
a y b b
I b y
b
a b b ab
b
  


 
    
 
 
    
       
    
 
  
 
