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5- Integrales dobles y triples

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Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
1 
 
Integrales dobles 
Iniciaremos este estudio a partir de una situación particular. Supongamos que tenemos una 
función ( , )f x y continua en un rectángulo  2( , ) : ;R x y a x b c y d     , ℝ 2( , ) : ;R x y a x b c y d      y además 
se cumple ( , ) 0f x y  para todos los puntos ( , )x y R . Queremos calcular el volumen del 
sólido  3( , , ) : ( , ) ; 0 ( , )V x y z x y R z f x y    ℝ 3( , , ) : ( , ) ; 0 ( , )V x y z x y R z f x y     , es decir, el sólido encima del 
rectángulo, debajo de la superficie gráfica de ( , )f x y . 
 
 
 
 
 
 
Para conseguir una aproximación del volumen, podemos subdividir al rectángulo R en 
rectángulos más chicos, elegir un punto en cada uno de esos rectángulos, y armar un prisma 
que tenga a este rectángulo como base, y su altura esté dada por el valor de la función f 
evaluada en el punto. Al sumar los volúmenes de todos esos prismas, tendríamos un valor 
aproximado para el volumen del sólido V . 
En la figura se muestra uno de esos prismas. El 
punto elegido en el rectángulo chico es el punto 
medio. Sobre este rectángulo se construyó el 
prisma, cuya altura es igual al valor de f en el 
punto medio del rectángulo base. 
 
Siguiendo este razonamiento, si por ejemplo el número de rectángulos 
en que se subdivide a R es 9, los prismas obtenidos se ven de esta 
manera. 
A medida que la cantidad de rectángulos se haga mayor, la 
aproximación para el volumen de V irá mejorando. 
 
Usaremos una notación más precisa para representar este procedimiento. 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
2 
 
Subdividimos a R en pequeños rectángulos, usando una red de 
rectas paralelas a los ejes coordenados. Estos rectángulos forman 
una partición de R . Llamamos norma de la partición al número 
 max ,siendo la diagonal del -ésimo rectángulok kP d d k . 
El área de uno de esos rectángulos, de lados x , y es 
A x y    . Si numeramos a cada uno de los rectángulos, sus áreas son 1 2, ,..., nA A A   , 
donde kA es el área del k-ésimo rectángulo. 
Elegimos un punto ( , )k kx y en el k-ésimo rectángulo, evaluamos f en ese punto para obtener 
la altura del prisma. Luego, el volumen del prisma que tiene a ese rectángulo como base es 
( , )k k kf x y A . La suma de los volúmenes de los n prismas se escribe: 
1
( , )
n
n k k k
k
S f x y A

  
Esta suma se conoce como suma de Riemann sobre el rectángulo R . Se puede demostrar que, 
si al aumentar la cantidad de rectángulos la norma de la partición tiende a 0, entonces el 
límite de la suma es igual al volumen del sólido V . Lo notamos: 
1
0 0
lim lim ( , ) ( )
n
n k k k
n n
k
P P
S f x y A Vol V
 

 
   
Cuando existe el límite de las sumas nS , sin importar qué partición se elija para R , se dice 
que la función f es integrable, mientras que al límite se lo conoce como integral doble de f 
sobre R , y se representa como 
( , )
R
f x y dA o ( , )
R
f x y dxdy 
Se puede demostrar que si ( , )f x y es una función continua en R , entonces es integrable; y 
que no hace falta pedir la condición ( , ) 0f x y  (en ese caso, se puede resolver la integral 
doble, pero el resultado no representa un volumen). 
 
Cálculo de la integral doble 
Ya definimos una integral doble, ahora estudiaremos cómo se calculan en la práctica. Primero 
veremos cómo calcular una integral doble cuando la región de integración es un rectángulo, y 
luego integraremos en regiones más complejas. 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
3 
 
Teorema de Fubini: Si ( , )f x y es continua en la región rectangular : ,R a x b c y d    , 
entonces ( , ) ( , ) ( , )
d b b d
R c a a c
f x y dA f x y dxdy f x y dydx      . 
Es decir que las integrales dobles sobre rectángulos se calculan mediante integrales iteradas 
(integrando respecto de una variable a la vez), y en cualquier orden de integración. 
 
Ejemplo 
Calcular mediante una integral doble, el volumen del sólido 
sobre el rectángulo 0 1, 0 2x y    , debajo del plano de 
ecuación 4 2z x y   . 
Si consideramos como la función a ( , ) 4 2f x y x y   , esta es 
continua, y se puede comprobar que ( , ) 0f x y  para todos los 
puntos del rectángulo 0 1, 0 2x y    . Por lo tanto, el 
volumen se calcula por medio de la integral doble ( , )
R
f x y dA , donde R es el rectángulo. 
Haciendo uso del teorema de Fubini, a esta integral la podemos escribir como 
2 1
0 0
(4 2 )x y dxdy   , o como 
1 2
0 0
(4 2 )x y dydx   . 
Resolvemos la primera integral doble, de la siguiente forma. 
   
2 1 2 2
1
2 2 2
0
0 0 0 0
2
2 2 2 2
0 0
(4 2 ) 4 (4 1 1 1) (4 0 0 0)
2 0
(3 ) 3 3 2 3 0 4
2 2 2
x
x
y
y
x y dxdy x x yx dy y y dy
y
y dy y




               
     
               
     
   

 
El volumen del sólido es igual a 4 (si las variables ,x y estaban dadas en metros) metros 
cúbicos. 
Está claro que el resultado de la integral doble no puede depender del orden en que se integra. 
Dejamos como ejercicio resolver la integral 
1 2
0 0
(4 2 )x y dydx   , y verificar que también es 4. 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
4 
 
Ejercicios 
1. Evaluar las integrales iteradas: 
a. 
4 4
1 0
2
x
y dxdy
 
 
 
  
b.  
ln 2 ln5
2
0 1
x ye dxdy  
c. 
1 1
0 0
1
y
dxdy
xy
 
 
 
  
d.  
2 2
0 1
sen( )y x dydx


 
2. Graficar el sólido limitado por debajo por el rectángulo 0 1, 0 2x y    , y por 
arriba por la superficie 24z y  ; y calcular su volumen mediante una integral doble. 
 
 
En el caso de que la región en la que se integra no sea un rectángulo, tendremos otra 
estrategia para plantear y calcular la integral doble. Veamos un ejemplo de región no 
rectangular. 
Ejemplo 
Sea R la región triangular acotada por las rectas 1, 0,x y y x   . Completar la 
descripción  2( , ) ,... ..., ... ...R x y x y     ℝ 2( , ) ,... ..., ... ...R x y x y      con límites adecuados para las variables. 
Lo primero que haremos es graficar la región. Lo siguiente es decir 
que la descripción 0 1, 0 1x y    NO ES CORRECTA. Al 
plantearlo así, estaríamos describiendo al cuadrado    0;1 0;1 , no al 
triángulo. 
Lo que sí podemos hacer es describir a una de las dos variables entre dos constantes. Por 
ejemplo, en la región tenemos 0 1x  . Ahora bien, para cada x en ese intervalo, el valor de 
y está entre dos números que dependen de x . 
Gráficamente, tomando un x fijo entre 0 y 1, la recta vertical con esa 
abscisa “entra” a la región R por un punto en la recta 0y  , y “sale” 
por un punto en la recta y x . Por lo tanto, podemos escribir: 
 2( , ) : 0 1, 0R x y x y x     ℝ 2( , ) : 0 1, 0R x y x y x      . 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
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También se puede describir a la variable y entre constantes, y a la x entre dos expresiones 
que dependen de y . 
Para un y fijo entre 0 y 1, la recta horizontal con esa ordenada entra y 
sale de la región R por un punto de la recta y x , y otro punto en la 
recta 1x  . Luego, se tiene  2( , ) : 0 1, 1R x y y y x     ℝ 2( , ) : 0 1, 1R x y y y x      como 
otra posible descripción. 
En conclusión, a la región triangular la describimos de dos maneras: 
   2 2( , ) : 0 1, 0 ( , ) : 0 1, 1R x y x y x x y y y x           ℝ   2 2( , ) : 0 1, 0 ( , ) : 0 1, 1R x y x y x x y y y x           ℝ   2 2( , ) : 0 1, 0 ( , ) : 0 1, 1R x y x y x x y y y x            
 
Teorema de Fubini (regiones no rectangulares): Sea ( , )f x y continua en una región R . 
 Si R está definida por 1 2, ( ) ( )a x b g x y g x    , con 1g y 2g
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