Tema II Técnicas de integración-1

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Técnica de integración, 
Formas Indeterminadas e 
Integrales Impropias 
 
 
 
 
Gil Sandro Gómez 
11/12/2012 
 
Unidad 2 
 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 1 
 
Contenido 
Introducción ............................................................................... 2 
2.0 Integración por Partes. ........................................................... 3 
2.1 Método Tabular ...................................................................... 5 
2.2 Integrales Trigonométricas ...................................................... 6 
2.3 Método de Sustitución Trigonométrica ........................................ 9 
2.4 Método de Fracciones Parciales ................................................ 12 
2.5 Funciones Racionales de Seno y Coseno .................................. 15 
2.6 Formas indeterminadas y Regla de L´Hôpital .............................. 17 
2.8 Teorema del valor medio de Cauchy .......................................... 17 
2.9 Teorema. Regla de L’Hôpital .................................................... 18 
2.10 Integrales Impropias ............................................................ 21 
Bibliografía ............................................................................... 27 
 
 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 2 
 
Introducción 
Hemos llegado a la unidad 2 de nuestro curso de Cálculo II, la 
misma es la parte central de la asignatura, porque nos abre la 
puerta para entender los demás temas. 
En esta unidad vamos a ver los métodos o técnicas de integración. 
Entre los métodos que estudiaremos están: integración por partes, 
sustitución trigonométrica, integrales trigonométricas, fracciones 
parciales, funciones racionales de seno y coseno. En adición 
veremos las formas indeterminadas, que son resultados que 
obtenemos cuando evaluamos un límite, pero no nos dicen si este 
existe o no, luego analizaremos las integrales impropias. 
Es importante recordar que en esta unidad vamos a desarrollar lo 
que le llaman pensamiento divergente, que consiste en encontrar la 
solución de un problema rompiendo las reglas existentes. 
No hay que temer, es momento de aprender . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 3 
2.0 Integración por Partes. 
La integración por partes surge del producto de una función trascendente 
y una algebraica, una inversa trigonométrica y una algébrica, una 
trigonométrica y una algebraica, una trascendente y una trigonométrica, 
una inversa trigonométrica sola y una logarítmica sola. 
Teorema 19. Integración por partes. 
Sean u y v funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces, 
udv uv vdu c    
Demostración: 
 ~ (1)
 exp (1) :
( ) ~ (2)
 (2) :
( ) - ~ (3)
 (3) :
- ~ (4)
. .
Sea uv
Derivamos la resión
d uv udv vdu
Despejando de
udv d uv vdu
Integrando tenemos que
udv duv vdu c
Q E D
 

   
 
Nota: Cuando estamos frente a una integral por partes, es conveniente 
seleccionar como dv la parte más complicada, pero de más fácil 
integración y como u el resto. Luego iniciamos el proceso de 
integración cuantas veces sea necesario. 
 
 
Regla nemotécnica: 
1. Logarítmica, inversa, algebraica, trigonométrica y exponencial : 
LIATE. 
2. Irracionales, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, 
Trigonométricas: I L P E T. 
Ejemplos. Resuelva las siguientes integrales: 
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 4 
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
1. 
 
 :
 ~ ( )
 :
2
 int :
2 2
2 4
x
x
x
x
x x
x
x x
x
xe dx
Hacemos u x
Derivamos a u
du dx
dv e dx b
Integramos a b
e
dv e dx v
Aplicando el métdo de egración tenemos que
xe e
xe dx uv vdu c dx
xe e
xe dx c



  
    
  

 
  

 
2. 
 
 :
cos
 ~ ( )
 ( ) :
 
x
x
x x
e senxdx
Hacemos u senx
Derivamos a u
du xdx
dv e dx b
Integramos a b
dv e dx v e



  

 
 
 int :
cos ~ ( )x x x
Aplicando el métdo de egración tenemos que
e senxdx e senx e xdx c  
 que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el métdo de nuevo.
cos cos cos ~ ( )x x x x x
Dado
e xdx e x e senxdx e x e senxdx d      
 
cos
x x
x
u x du senx
dv e dx dv e dv
v e
   
  

 
 
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 5 
 se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica, por tanto
sustituímos a (d) en (c)
Como
cosx x x xe senxdx e senx e x e senxdx c    
cosx x x xe senxdx e senxdx e senx e x c    
 
cos
2
x x
x e senx e x
e senxdx c

 
 
2.1 Método Tabular 
El método tabular hace que las integrales por partes sean bastantes 
sencillas, en especial en los casos que se tienen que aplicar varias veces. 
Esta versión particular fue desarrollada por Dan Rosen en la Universidad 
Hofstra. 
Procedimiento: 
Para calcular fgdx , construimos una tabla, en la que obtenemos las 
funciones en la columna “D” por diferenciar repe tidamente la función f , 
y las en la columna “I” por integrar repetidamente la función g . Los 
signos van alternándose. 
2
 
 
 
 ( )
 
 
Signos D I
f g
Df I g
D f


 
 2
 
 ( )
 
... ... ...
 ( )n n
I g
D f I g 
 
Se continúa este proceso hasta que: 
 La función a la izquierda se convierta en cero (en caso que sea un 
polinomio. 
 El producto de las funciones en el último reglón se pueda integrar. 
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 6 
 El producto de las funciones sea un múltiplo constante del 
producto de las funciones en el primer reglón. 
Este método funciona bien para las integrales del tipo: 
cos , ,n n n axx axdx x senaxdx x e dx  
 
Ejemplo. Resuelva la integral dada utilizando el método tabular. 
3 3 2
3
2
3 6 6
 sus int
 
- 3
x x x x x
x
x e dx x e x e xe e C
Signos u y sus derivadas dv y egrales
x e
x
    


 
 6 
- 6 
 
x
x
x
e
x e
e

 0 xe
 
2.2 Integrales Trigonométricas 
En el campo de la Física, Ingeniería y la Química nos encontramos 
con aplicaciones de integrales, cuyas funciones son trigonométricas. 
Las más usuales son de los tipos: 
cos sec tanm n m nsen x xdx y x xdx  
Integrales que contienen potencias de senos y cosenos 
1. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor 
seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, 
desarrollar e integrar. 
   
2 1 2
2 2
cos cos cos
 cos 1 cos cos 
m n k n k n
k k
n n
sen x xdx sen x xdx sen x xsenxdx
sen x xsenxdx x xsenxdx
 
  
  
 
 
 
2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor 
coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, 
desarrollar e integrar. 
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 7 
   
2 1 2
2 2
cos cos cos cos
 cos cos 1 s cos 
m n m k m k
k k
m m
sen x xdx sen x xdx sen x x xdx
x xsen xdx sen x en x xdx
 
 
  
 
 
 
3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar 
repetidamente las identidades. 
2 21 cos2 1 cos2
 cos
2 2
x x
sen x y x
 
  
para convertir el integrando a potencias impares del coseno. Luego 
proceda como en el caso 2. 
 
Ejemplo 4. Calcule el integral dado. 
5 3
5 2 5 2 5 7
6 7
5 7 5 7
cos
Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno:
cos cos (1 s )cos ( cos cos )
cos cos
6 7
: 
sen x xdx
sen x xdx sen x en x xdx sen x x sen x x dx
u u
sen x xdx sen x xdx u du u du C
Hacemos
   
     

  
   
6 7
 
6 7
cos
sen x sen x
C
u senx du xdx
  
  
 
 
 
Ejemplo 5. Halle el integral dado 
2 2
2 2
cos ~ (1)
 :
1 cos 2 1 cos 2
~ (2),cos ~ (3)
2 2
sen x xdx
Aplicamos la identidad del ángulo duplo
x x
sen x x
 
 

 
2
2
 (2) (3) (1) :
1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1
(1 cos 2 ) ~ (4)
2 2 4 4
Sustituyendo y en tenemos que
x x x
dx dx x dx
    
    
  
  
 
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 8 
2
1
4
1 cos4 cos41 1
2 2 4 4
1 1 1 1
4 8 8 8 32
cos41
2 4
cos41
2 4
4
8 32
 :
1 cos 4
cos ~ (5)
2
. (5) en (4):
1
(1 ) (1 ) (1 )
4
( ) cos 4 cos
x x
x
x
x x sen x
Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez
x
x
Sust
dx dx dx
dx dx xdx zdz



    
     



 
  
   
4
 4 4
 : dz
C
Hacemos z x dz dx
De a hí que dx
  

 
 
Integrales que contienen potencias de secante y tangente 
Caso 1. Si la potencia de la secante es par y positiva, conservar un 
factor secante cuadrado y convertir los factores restantes en 
tangente. Entonces desarrollar e integrar. 
 
2 2 1 2 2 1 2sec tan (sec ) tan sec (1 tan ) tan seck n k n k nx xdx x x xdx x x xdx      
 
Caso 2. Si la potencia de la secante es impar y positiva, conservar 
un factor secante-tangente y convertir los factores restantes en 
secante. Entonces desarrollar e integrar. 
 
2 1 1 2 1 2sec tan sec (tan ) sec tan sec (sec 1) sec tanm k m k m kx xdx x x x dx x x x xdx       
Caso 3. Si no hay factores secantes y la potencia de la tangente es 
par y positiva, convertir un factor tangente cuadrado a secante 
cuadrado. Luego desarrollar y repetir si es necesario. 
 
2 2 2 2tan tan (tan ) tan (sec 1)n n nxdx x x dx x x dx      
Caso 4. Si la integral es de la forma secm xdx donde m es impar y 
positiva, usar la integración por partes. 
 
Caso 5. Si ninguna de las cuatro guías aplica, intentar convertir el 
integrando en senos y cosenos. 
 
Ejemplo 6. Resuelva el siguiente integral. 
 
2 4 2 2 2 2 2 2tan sec tan sec sec tan (1 tan )secx xdx x x xdx x x xdx     
2 2 4 2 2 2 4 2(tan sec tan sec ) tan sec tan sec ~ ( )x x x x dx x xdx x xdx a     
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 9 
2
:
tan
~ ( ) ( ) ( ) :
sec
Hacemos
u x
b Sustituyendo b en a
du xdx


 
3 5 3 5
2 4 tan tan
3 5 3 5
u u x x
u du u du C C        
3 5
2 4 tan tan
tan sec
3 5
x x
x xdx C   
 
 
Ejemplo 7. Calcule el integral. 
3 3 2 2 2 2
4 2 4 2
tan sec tan sec sec tan (sec 1)sec sec tan
(sec sec tan sec sec tan ) sec sec tan sec tan sec ~ ( )
:
sec
~ ( ) ( ) 
sec tan
x xdx x x x xdx x x x xdx
x x x x x dx x x xdx x x xdx a
Hacemos
u x
b Sustituyendo b en
du x xdx
  
   


  
  
5 3 5 3
4 3
( ) :
sec sec
5 3 5 3
a
u u x x
u du u du C C       
 
 
Integrales que contienen los productos seno-coseno de 
ángulos distintos. 
 
Las integrales que contienen los productos de ángulos diferentes 
ocurren en muchas aplicaciones. En tales casos util izar las 
identidades de sumas y productos. 
 
1
2
1
2
1
2
(cos[ ] cos[ ] )
cos ( [ ] s [ ] )
cos cos (cos[ ] cos[ ] )
senmxsennx m n x m n x
senmx nx sen m n x en m n x
mx nx m n x m n x
   
   
   
 
Ejemplo 7. Encuentre la solución del siguiente integral 
2.3 Método de Sustitución Trigonométrica 
Introducción. 
En algunas ocasiones nos vemos precisado a calcular el área de una 
circunferencia, una elipse, así como de otras figuras geométricas en 
las cuales nos encontramos con integrales que tienen una de las 
siguientes formas: 
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 10 
2 2 2 2
2 2
, , , .
dx
a x dx a x dx entre otras
a x
 

   
En cada caso, 0.a  
Para tener éxito en este tipo de integrales, es necesario tener un 
buen manejo de las definiciones de las funciones trigonométricas, 
las identidades trigonométricas y del teorema de Pitágoras. 
Para una mayor comprensión del tema, haremos dos ejemplos que 
nos ayudarán en la asimilación de la técnica. 
Ejemplo 8. Encuentre la solución de los siguientes integrales: 
3
2
1. 
9
x
dx
x
 
Cuando vamos a determinar la solución de un integral, el primer 
paso que debemos de dar es ver si es posible encontrar su solución 
usando una de las fórmulas básicas o si podemos realizar aplicar 
una identidad que nos permite resolver con suma facil idad. En este 
caso tenemos el integral de un cociente, pero no es posible efectuar 
la división, y si hacemos un u el denominador y lo derivamos no 
nos produce el numerador. Esto nos lleva a tener que aplicar la 
técnica de sustitución trigonométrica. 
Para esto nos auxiliamos del teorema de Pitágoras, el cual nos 
indica que el radical 
29 x es un cateto, la hipotenusa es 3 y el 
otro cateto es  
Como soporte de nuestro ejercicio dibujamos un triángulo 
rectángulo. 
 
Hacemos: 
 3 ~ 2
3
x
x sensen    
Ahora diferenciamos a (2) y tenemos que: 
 3cos ~ 3dx  
Procedemos a sustituir las expresiones (2) y (3) en (1). 
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 11 
 
   
3 2 2
2 2 2
3 3cos 27 cos cos
27
9 9 9 19 3
sen d sen d sen d
sen sensen
        
 
 
 
  
 
2 2 2
2 2
27 cos cos cos
9 9
3 cos1 cos
sen d sen d sen d
sen
        
 
 

   
2 1 cos2 9 9
9 9 cos2
2 2 2
sen d d d d

     

      
 
9 9 9 9
2 cos ~ 4
2 4 2 2
sen C sen C         
Usando las identidades trigonométricas, sustituimos a , seno y 
coseno en la expresión (4). 
29
, , cos
3 3 3
x x x
arcsen sen  

   
3 2
2
9 9
2 3 29
x x x x
dx arcsen C
x

  

 
2
2.
4
dx
x 
Analicemos el caso 2. 
Observamos que tenemos el integral de un cociente, pero no 
podemos aplicar la regla básica para el integral de un cociente, 
porque si hacemos 
21u x  y derivamos no nos dá el numerador. 
Así que es necesario util izar la técnica de sustitución 
trigonométrica. 
 
Para este caso la función tr igonométrica más senci l la que podemos ut i l izar 
es la tangente. 
 tan 2tan ~ 3
2
x
x    , derivamos la expresión (3) y obtenemos que: 
22sec ~ (4)dx d  
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 12 
Procedemos a realizar las sust ituciones correspondientes en la expresión 
(2): 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2sec 2sec 2 sec 1 sec
4 4tan 4 1 tan 2 sec4 2tan
d d d d
d C
       
 
  
     
 
     
De la expresión (3) despejamos a  : 
arctan
2
x
  y la solución es: 
2
1
arctan
4 2 2
dx x
C
x
 
 
2.4 Método de Fracciones Parciales 
 
Función racional: es una función que puede expresarse como el 
cociente de dos polinomios. Es decir, 
( )
( )
( )
P x
R x
Q x
 
 Donde ( ) ( )P x y Q x son polinomios. 
El método de fracciones parciales es una técnica algebraica que 
descompone ( )R x en una suma de términos: 
 1 2
( )
( )( ) ( ) ( ) ... ( )
( )
k
P x
R x p x F x F x F x
Q x
      
donde ( )p x es un polinomio y ( )iF x es una expresión que puede 
integrarse con facilidad. 
Descomposición de N(x)/D(x) en fracciones simples. 
1. Dividir en caso impropio: Si N(x)/D(x) es una fracción impropia 
(es decir, si el grado de numerador es mayor o igual al grado del 
denominador), dividir el denominador para obtener 
1( )( )
( )
( ) ( )
N xN x
p x
D x D x
  
Donde el grado de 1( )N x es menor que el grado de D(x). Entonces 
se aplican los pasos 2, 3 y 4 a la expresión racional 1( )
( )
N x
D x
. 
2. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el 
denominador en fracciones de los tipos 
2
2
( ) ( )
 
m npx q y ax bx c
donde ax bx c es irreducible
  
 
 
 
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 13 
3. Factores lineales: Para cada factor lineal ( )mpx q , la 
descomposición en fracciones simples debe incluir la suma 
siguiente de m fracciones. 
1 2
2
...
( ) ( ) ( )
m
m
AA A
px q px q px q
  
  
 
 
4. Factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático 2( )nax bx c  , la 
descomposición en fracciones simples debe incluir la suma 
siguiente de n fracciones. 
 
1 1 2 2
2 2 2 2
...
( ) ( ) ( )
n n
n
B x CB x C B x C
ax bx c ax bx c ax bx c
 
  
      
 
Factores lineales no repetidos 
Ejemplo 9. Encuentre la solución del siguiente integral 

  2
5
2 1
Dado que no se puede resolver por una fórmula básica, tenemos que aplicar
la técnica de fracciones simples.
x
dx
x x
 
  
 

  
2
2
Ahora procedemos a factorizar el denominador:
2 -1 (2 -1)( 1) 
5 5
(2 -1)( 1) 2 1
x x x x
x x
dx dx
x xx x
 
  
  
   
 
Re el integral:
5
~ ( )
(2 -1)( 1) 2 1 1
escribimos
x A B
dx dx b
x x x x
 
 (b) por (2 -1)( 1):Multiplicamos x x 
    
    
5 ( 1) (2 1)
5 2
x A x B x
x Ax A Bx B
 
 la teoría de los polinomios tenemos que:
A+2B=-1
A-B=5
Aplicando
 
La solución del sistema es: A=3 y B=-2
Sustituyendo los valores de A y B en (b):
 
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 14 
     
 
3 2 3
ln 2 1 2ln 1
2x-1 1 2
dx dx x x C
x
 
 
Ejemplo 10. Factores lineales repetidos 
Encuentre la solución del integral indicado 
 
 
   

2
3 2
2 2
3 4
4 4
Pr a factorizar el denominador:
x(x 4 4) ( 2)
x x
dx
x x x
ocedemos
x x x
 
  
   
   
 
2
3 2 2
 que:
3 4
~ (2)
( 24 4 ( 2)
Tenemos
x x A B C
dx dx
x xx x x x
 
 2 la expresión (2) por ( 2) :Multiplicamos x x 
      
       
       
2 2
2 2 2
2 2 2
3 4 ( 2) ( 2)
3 4 ( 4 4) 2
3 4 4 4 ) 2
x A x Bx Cx x
x x A x x Bx Cx Cx
x x Ax xA A Bx Cx Cx
 
 
   
 
1
4 2 3
4 4
A C
A B C
A
 
 solución del sistema es: A=-1, B=3 y C=2La 
 
       
  
   
2
2
Sustituyendo a A, B y C por sus valores en (2) tenemos que:
1 3 2
3 ( 2) 2
( 2 2( 2)
dx dx
dx x dx
x x x xx
 
     
 
2
3 2
3 4 3
ln 2ln 2
24 4
x x
dx x x C
xx x x
 
Ejemplo 11. Factores cuadráticos no repetidos 
Resuelva el siguiente integral 
3
4 2
4 2 2 2
3
2 2 2 2
2 2
3 2
14
14
14
24
3 2
Primero factorizamos el denominador:
3 2 ( 1)( 1)
24
~ ( )
( 1)( 1) ( 1) ( 2)
 la expresión (a) por ( 1)( 1):
24 ( )(
x
x
x
x
dx
x x
x x x x
x Ax B Cx D
dx dx a
x x x x
Multiplicamos x x
x Ax B x

 
    
   
  
    
 
  

 
2
3 3 2 3 2
14
2) ( )( 1)
24 2 2 x
Cx D x
x Ax Ax Bx B Cx Cx Dx D
   
        
 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 15 
2 2
2 2 2 2
14
0
 
2 24
2 0
 solución del sistema es: A=10, B=0, C=4 y D=0
Sustituyendo a A, B, C y D por sus valores en (a)
10 4 2 2
5 2 5ln 1 2ln 2
1 2 1 2
A C
B D
A C
B D
La
x x x x
dx dx dx dx x x C
x x x x
  

  

  
  
       
      
 
Ejemplo 12. Factores cuadráticos repetidos 
Evalúe el siguiente integral 
 
   
   
 
  
   
 
 
 
 
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2
2 ( 4 4)
4 4
 el denominador es un polinomio que no tiene raíces reales, entonces tenemos:
( 4 4) ( )
~ ( )
44 4
x x x
dx dx
x x
Como
x x Ax B Cx D
dx dx a
xx x
 
      
       
2
2
2 2
2 3 2
Multiplicamos por 4 la expresión (a):
4 4 ( )( 4) ~ ( )
 la expresión (b):
4 4 4 4
x
x x Ax B x Cx D b
Desarrollamos
x x Ax Bx Ax B Cx D
 
 la teoría de los polinomios:
A=0
B=1
4A+C=4
4B+D=4
Aplicando
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que:
A=0, B=1, C=4 y D=0
 
Sust. a A, B, C y D por sus valores en (a) tenemos que: 
 
 
    
          
    
 
    
  
  
 
2 2 2 1
2 2
2
2 2 2
2
1 4 1 1
arctan 2 2 ( 4) arctan 2( 4)
2 2 2 24 4
1 4 1 2
arctan
2 24 44
x x x
dx dx x x dx x C
x x
x x
dx dx C
x xx
 
2.5 Funciones Racionales de Seno y Coseno 
Sustitución para funciones racionales de seno y coseno 
Para integrales que contienen funciones racionales de seno y 
coseno, la sustitución 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 16 
2
tan ~ ( )
1 cos
xsenx
z a
x
 

 
hace que 
2
2 2 2
1 2 2
, 
1 1 1
cos
z z dz
senx y dx
z z z
x

 
  
 
Demostración: 
Como 
2
2
1 cos
cos
2
( )x x
 
2
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
 cos :
2 2
cos 2cos 1 1
sec 1 tan
2 2 1 1
1
1 1 1
1
cos
1
( ) 1
( ) ( )
x
x x
Despejando el x tenemos que
x
z z
z z z
z
x
z
   

  
   
  



 
 
Aplicando la propiedad del seno doble: 
   
 
 
2 2
2
2
2 cos ~ ( )
cos
 . ( ) 
cos
x x
x
x
senx sen b
Multiplicando la ec b por

 
   
 
 
 
   
 
2
2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 cos 2 1
cos 2 tan
cos cos sec
x x x
x x
x x x
sen sen
senx    
 
 2
2
2
2
2 tan
~ ( )
tan 1
 ( ) ( ) :
2
1
x
x
c
Sustituyendo a en c
z
senx
z




 
De la ecuación (a) tenemos: 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 17 
2
tan ~ ( )
 ( ) :
2
1
x ar z d
Derivando d
dz
dx
z



 
Ejemplo 13. Calcule la siguiente integral 
2 2
2
2 2
2 2
1 1
22 1 2
1 1
2
1 1 2 1
dz dz
z z
z z z
z z
dx dz
senx z z
 
 
 
  
       
2
2 2
2 2
2 ( 1) ~ ( )
2 1 ( 1)
dz
dz z dz a
z z z
  
     
 1~ ( ), :
~ ( )
Hacemos u z b entonces tenemos que
du dz c
 

 
1
2 1
 ( ) ( ) ( ) :
2 2
2 2 2
1 1
Sustituyendo b y c en a
u
u du C u C C C
u z

   
        
 
 
2 2
2 2
1 tan( ) 1 1 tan( )x x
dx
C C
senx

   
   
2.6 Formas indeterminadas y Regla de L´Hôpital 
 
Las formas 
0
 
0
y


 son llamadas formas indeterminadas porque no 
garantizan que un límite existe, ni indica lo que el límite es, si 
existe. 
2.8 Teorema del valor medio de Cauchy 
Sean f y g funciones derivables en ( , )a b y continuas ,  a b . Si 
'( ) 0g x para todo ( , )x a b , entonces existe un número ( , )c a b tal 
que 
( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
f b f a f c
g b g a g c



 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 18 
2.9 Teorema. Regla de L’Hôpital 
Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto ( , )a b que 
contiene a c , excepto posiblemente el propio c . Si el límite de 
( )
( )
f x
g x
 cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 
0
0
, 
entonces, 
( ) '( )
lim lim
( ) '( )x c x c
f x f x
g x g x 
 
Supuesto que el límite de la derecha existe (o es infinito). Este resultado 
también aplica si el límite de 
( )
( )f x
g x
 cuando x tiende a c produce 
cualquiera de las formas indeterminadas , , o
   
   
 
Las formas indeterminadas más comunes son:
00 0
,0 , , ,0 ,1 , ,
0
,      



 
 
Ejemplo 14. Calcule el límite siguiente: 
0 0
0
2 2 2 2 0
0 0 0 0
0
Podemos observar que la sustitución directa nos lleva a la forma indeterminada ,
0
esto nos permite aplicar la Regla de L'H pital:
Derivamos el numerador y deno
ô
lim
x x
x
e e e e
xsenx sen
 

    
  
0 0
0 0
0 0
0
minador de forma separada
2 1 1 0
lim lim
cos 0cos0 0 0 0
Como persiste la indeterminación, tenemos que utilizar el método de nuevo
lim
cos cos
x x x x
x x
x x
x
e e e e e e
xsenx x x senx sen
e e e e
xsenx x x
  
 
 

    
   
 
 

  
1 1
1
0 0 cos0 cos0 1 1sen

 
   
 
Ejemplo 15. Halle el límite siguiente: 



   
1 1
0lim ( )x
x
x 
 sustitución directa nos lleva a una forma indeterminada, pero no nos permiteLa
aplicar el teorema de L'Hôpital, por lo que debemos realizar los ajustes necesarios
 
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 19 


0
para expresar el límite como :
0
o 

1
 y= lim ~ (1)x
x
Sea x 




 logaritmo en (1):
ln
lny= lim ~ (2)
x
Aplicamos
x
x
 
  
  


 podemos utilizar el teorema de L'Hôpital
1
1 1
lny= lim lim 0
1
ln 0
x x
Ahora
x
x
y




1
lny 0
 el criterio de funciones inversas tenemos que:
e
1
 lim 1x
x
Por
e
y
Entonces x
 
Ejemplo 16. Determine el límite dado 
   

   
1 1
0
0lim 1 1 0 1
 c directo nos dá una forma indeterminada, pero ésta no permite aplicar
x
x
x
El álculo


0
el método, debemos llevarlo a una de las formas o .
0
 
 


1
0
 y=lim 1 ~ ( )x
x
Sea x a 
 


1
0
 logaritmo en (a):
lny=limln 1 ~ ( )x
x
Aplicamos
x b
 
 

    
0
 propiedades de los logaritmos en (b):
1 1
lny=lim ln 1 ln(1 0) 0
0x
Utilizando las
x
x
 


 
0
ln(1 ) ln1 0
 ahí lim
0 0x
x
De
x
 
 usamos el método:Ahora 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 20 

   
 0
1 1 1
ln lim 1
1 1 0 1x
y
x
 
ln 1y 
  lny 1
 definición de función inversa tenemos que:
e
Por
e y e
 
 

 
1
0
 lim 1 x
x
Entonces x e 
Ejemplo 17. Encuentre el límite indicado: 

 
 
 1
1
lim
1 lnx
x
x x
 

 
         
  1
1 1 1 1 1
lim
1 ln 1 1 ln1 0 0x
x
x x
 
 
    
    
   1 1
Re la expresión para que nos de una de las formas que nos permite 
usar la regla de L'Hôpital:
1 ln ( 1) ln1 (1 1) 0
lim lim
1 ln ( 1)ln (1 1)ln1 0x x
escribimos
x x x x
x x x x
 
  

 
 
 
 
  

   
 
   
2
2
1 1 1
2 2
1
 aplicamos la regla:
1 1 2
2 1
ln
lim lim lim
1 1 ln( 1)ln
ln
1 2 1 2(1) 1 0
lim
1 ln 1 1 1ln1 0
x x x
x
Ahora
x x
x
x x x x x
x x x xx x
x
x x
x x
x x x
 
 
     
   
 
 
1 1
 el método de nuevo:
4 1 4 1 4(1) 1 3
lim lim
2 ln 2 ln1 2
1 ln
x x
Utilizamos
x x
x x
x
x
 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 21 
2.10 Integrales Impropias 
Definición. Sea ( )
b
a
f x dx , donde el intervalo de integración es infinito 
( )a o b es  , o la función : ( , )f a b  no es acotada, se denomina 
integral impropia. 
Definición de integrales impropias con l ίmites de integración 
infinitos. 
 
 
1. int , , 
 ( ) lim ( )
2. int - , , 
b
a ab
Si f es continua en el ervalo a entonces
f x dx f x dx
Si f es continua en el ervalo b entonces





  
 ( ) lim ( )
b b
aa
f x dx f x dx
 
  
 3. int - , , 
 ( ) ( ) ( )
c
c
Si f es continua en el ervalo entonces
f x dx f x dx f x dx
 
 
 
   
 
donde c es un número real cualquiera. 
En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el l ímite 
existe, en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, 
la integral impropia a la izquierda diverge si cualquiera de las integrales 
impropias a la derecha divergen. 
Integrales impropias con discontinuidades infinitas 
Definición de integrales impropias con discontinuidades infinitas. 
 1. int , 
inf , 
 ( ) lim ( )
b c
a ac b
Si f es continua en el ervalo a b y tiene una discontinuidad
inita en b entonces
f x dx f x dx

 
 
 2. int , 
inf , 
Si f es continua en el ervalo a b y tiene una discontinuidad
inita en a entonces
 
( ) lim ( )
b b
a cc a
f x dx f x dx

  
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 22 
   3. int , , lg ,
 inf , 
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
Si f es continua en el ervalo a b excepto para a ún c en a b
en que f tiene una discontinuidad inita entonces
f x dx f x dx f x dx   
 
En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el l ímite 
existe, de otra forma, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la 
integral impropia en la izquierda diverge si alguna de las integrales 
impropias de la derecha diverge . 
Teorema. Un tipo especial de integral impropia. 
1
 11
 1
1
 si pp
diverge sip
dx
x




 


 
Después de haber realizado un recorrido en la parte conceptual, nos 
abocaremos hacer algunos ejemplos para verificar los conceptos 
aprendidos. 
Ejemplo 18. Determine si el integral dado es pertenece a las integrales 
impropias. Si la respuesta es afirmativa establezca si converge. 
22
ln x
dx
x


 
De acuerdo a la definición de integral impropia, el integral dado es 
impropio, porque el límite superior es infinito. 
Pasemos pues, a encontrar la solución del integral. 
2
2 22 2 2
ln ln
lim ln
b b
b
x x
dx dx x xdx
x x



   
 
El cálculo del integral lo hacemos aplicando el método de integral por 
partes que habíamos estudiado previamente. 
Sea lnu x y 
2,dv x tenemos que: 
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 23 
dx
du
x
 y 
2 1dv x dx v x      
Por comodidad trabajaremos el integral como si fuera indefinido y luego 
hacemos uso de los límites de integración. 
1 1 1 1 1 1 2
2
ln
ln ln ln
x dx
x x x x x x x dx x x x dx
x x
                  
1 1
2
ln
ln
x
dx x x x
x
    no colocamos la constante de integración, porque 
esto lo hicimos con el objetivo de sustituir el resultado para la 
evaluación. 
Ahora vamos a evaluar el resultado obtenido para saber si el integral 
converge. 
 1 1
2 22 2
2 2
ln 1
lim lim ln lim
bb
b
b b b
dx dx x
x x x
x x x x

 
  
 
       
 
 
 
Evaluamos el resultado obtenido para determinar si la integral converge 
22
ln ln 1 ln 2 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 1
lim lim 0
2 2 2 2 2 2
b
b b
x b
dx
x b b 
      
                         
 
Como podemos observar, en el primer término del resultado hay una 
forma indeterminada, por tal motivo tenemos que calcular de nuevo el 
límite usando la regla de L’Hôpital. Les recordamos que sólo hay que 
calcular el término que está indeterminado. 
ln 1 1
lim lim 0,
b b
b
b b 
     

 sumamos este resultado con el anterior para 
tener el resultado definitivo. 
22
ln ln 2 1 ln 2 1
0
2 2 2 2
x
x

     
Como el límite de la derecha del integral existe, decimos que el integral 
converge. 
 
 
 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 24 
Ejemplo 19. Determine si el integral siguiente converge o diverge. 
2 16
x
dx
x

 
 
El integral dado podemos realizarlo usando sustitucióno sustitución 
trigonométrica, pero por asunto práctico es mejor hacerlo por 
sustitución. 
0
2 2 2016 16 16
x x x
dx dx dx
x x x
 
 
 
  
  
0
2 20
lim lim
16 16a b
x x
dx dx
x x

 
 
 
  
Hemos divido el integral en dos partes, desde menos infinito hasta cero y 
desde cero hasta infinito. Tenemos que resolver ambos integrales, pero 
como son iguales buscamos la solución de uno y luego evaluamos en 
cada límite de integración. 
 
1
2 2
2
16
16
x
dx x x dx
x

  

 
1
21
22
1 1
16
12 2
2
u
u du u x

    
Sea 
216 2 ,u x du xdx    de ahí que 
2
du
xdx 
0
2 2
0
lim 16 lim 16
a b
x x

 
   
Para facilitar el cálculo evaluaremos la primera parte y después de la 
segunda. 
     
00
2 2 2 2 2lim 16 lim 16 lim 16 0 16 lim 4 16
aa a a aa
x x dx x a a
   
         
Calculamos el límite de la expresión resultante 
   
22 2 2lim 4 16 4 16 4 16 4 4 4 ~ ( )
a
a

                 
Evaluación de la segunda parte 
   2 2 2 2 2
20 0
lim lim 16 lim 16 16 0 lim 16 4
16
bb
b b b b
x
dx x b b
x   
        

 
Unidad 2: Técnicas de Integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 
 
 
 
 25 
 2 2 2lim 16 4 16 4 4 4 ~ ( )
b
b

           
Sumamos las expresiones (*) y (**) para obtener el resultado final. 
2
4 4 ,
16
x
x


   

 el integral diverge. 
Ejemplo 20. Halle el valor del siguiente integral 
2
0
tan xdx

 
Aquí tenemos una integral definida que sus límites de integración 
son finitos, pero cuidado, que si la realizamos como si fuera una simple 
integral definida, pudiéramos estar dando una respuesta incorrecta . Es 
importante que cuando vayamos a calcular una integral definida 
evaluemos previamente la función integrando antes de comenzar el 
proceso de integración, para así saber si la misma está definida en el 
intervalo de integración. 
 Primer paso. Evaluamos la función para saber si la misma está 
definida en el intervalo de integración. 
En  0 0 tan0 0x f    
En tan
2 2 2
x f
   
    
 
 
Como podemos observar, la función no está definida en el límite 
superior. Tenemos que aplicar el concepto de integral impropia. 
 Segundo paso. Calculamos la integral impropia. 
     2
00
2 2 2
tan lim lncos lim lncos lncos0 lim lncos ln1
b
b b b
xdx x b b

    
        
 
2 2
lim lncos 0 lim lncos lncos ln0
2b b
b b
 

 
           
Como el límite de la derecha no converge, la integral diverge. 
Nota: este mismo caso puede suceder cuando sea que la función no 
está definida para el límite inferior. 
 
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Ejemplo 21. Halle el valor de la siguiente integral. 
 
4
10 32 3
dx
x
 
Tal como hicimos en el ejemplo 20, es necesar io evaluar la función 
integrando antes de realizar el integral. 
Para  
 
1 3
3
1 1
0 0
22 3(0)
x f   

 
Para  
  33
1 1
4 4
102 3 4
x f   

 
En ambos extremos del intervalo de integración la función está 
definida. Recordando de nuestro curso de Cálculo I, una función es 
continua en un intervalo, si es continua en cada punto del mismo. 
Igualamos a cero el denominador de la función 
3 2 3 0 2 3 0,x x     despejamos el valor de .x 
2
,
3
x  como podemos darnos cuenta, este valor pertenece al intervalo 
de integración. La función tiene un discontinuidad en  0,4 . 
Para hallar el valor de la integral dividimos en dos el intervalo de 
integración, es decir, desde el límite inferior hasta el punto donde la 
función tiene la discontinuidad y luego desde el punto de la 
discontinuidad hasta el límite superior. 
 
   
2
3
1
23
3
4 41 1
3 3
0 0
2 3 2 3
2 3
dx
x dx x dx
x
 
   

   
Ahora aplicamos el concepto de integral impropia a la expresión 
anterior. 
   
2 2
3 3
41 1
3 3
0
lim 2 3 lim 2 3
b
ab a
x dx x dx
 
 
    
Como podemos observar, tenemos una integral elemental, que no 
requiere de técnica muy elaborada para dar su solución. Hagamos la 
sustitución siguiente: 
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2 3 3 ,u x du dx    si observamos, la integral es inmediata, sólo 
necesitamos multiplicar y dividir por -3 la función integrando. 
Entonces, tenemos que 
   
       
2 2
3 3
2 2 2 2
3 3 3 3
41 1
3 3
0
4 4
2 2 2 2
3 3 3 3
0 0
1 1
lim 3 2 3 lim 3 2 3
3 3
1 3 1 3 1 1
lim 2 3 lim 2 3 lim 2 3 lim 2 3
3 2 3 2 2 2
b
ab a
b b
b a b a
a a
x dx x dx
x x x x
 
 
   
     
         
 
Evaluemos el resultado obtenido para saber si la integral converge o 
diverge. 
         2 2 2 2
3 3 3 3
2 2
3 3
1 1
lim 2 3 2 0 lim 2 12 2 3
2 2b a
b a
 
        
     2 23 33 3
2 2
3 3
1 1
lim 2 3 8 lim 64 2 3 ~ *
2 2b a
b a
 
       
Ahora calculamos el l ímite a la función (*): 
     
         
2 23 33 3
2 2
3 3
2 2
3 3
1 1
lim 2 3 8 lim 64 2 3
2 2
1 1 1 1
2 2 2 4 2 2 2 4 1 2 1
2 2 2 2
b a
b a
 
     
               
 
Por tanto, 
 
4
20 3
1,
2 3
dx
x
 

 la integral converge. 
Bibliografía 
1. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo 
Esencial. México: CENGAGE Learning. 
2. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo (9na 
edición). México: Pearson. 
3. Edwards, C & Penney, D. (2008). Cálculo con trascendentes 
tempranas (7ma edición). México: Pearson. 
4. Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable (6ta edición). 
México: CENGAGE Learning. 
5. Thomas, G. (2005). Cálculo una variable (11ma edición). 
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