Tema IV Sucesiones y series

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Σ 
2013 
Gil Sandro Gómez Santos 
UASD 
01/01/2013 
Tema IV. Sucesiones y Series 
Tema IV. Sucesiones y Series 
 
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 2 
 
 
Contenido 
Introducción .................................................................................................................................................... 3 
4.1 Sucesión .................................................................................................................................................... 4 
4.2 Límite de una sucesión .............................................................................................................................. 4 
4.3 Tipos de sucesiones ................................................................................................................................... 6 
4.4 Series ........................................................................................................................................................ 7 
4.5 Serie convergente y serie divergente ........................................................................................................ 7 
4.6 Serie Geométrica ....................................................................................................................................... 9 
4.6 Criterios de convergencia por el límite del término enésimo ................................................................... 9 
4.7 El Criterio de la Integral ........................................................................................................................... 11 
4.8 Series p y Series Armónicas ..................................................................................................................... 12 
4.9 Criterios de comparación para la convergencia de una serie ................................................................. 12 
4.10 Series Alternadas o Alternantes ............................................................................................................ 13 
4.11 Convergencia absoluta y condicional .................................................................................................... 15 
4.12 El Criterio del Cociente y el Criterio de la raíz ....................................................................................... 16 
4.13 Series de Potencias ................................................................................................................................ 17 
4.14 Series de Taylor y de Maclaurin ............................................................................................................ 21 
Biografía ........................................................................................................................................................ 23 
Webgrafía ...................................................................................................................................................... 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introducción 
 
El estudio de las sucesiones y series son unas herramientas muy útiles 
y de gran uso en la matemática aplicada, porque muchas funciones que 
describen fenómenos de la naturaleza, así como modelos que describen 
algunos sistemas vienen representados mediante sucesiones o series. 
Las series se aplican frecuentemente para resolver integrales que por 
los métodos convencionales son imposibles de resolver. 
Las series de Taylor y Maclaurin son utilizadas para el cálculo numérico 
en muchos casos de ingeniería. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1 Sucesión 
 
Definición de sucesión. Llamamos sucesión a la función cuyo dominio es el 
conjunto de los números enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, 
es común representar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la 
notación habitual de la función. 
Por ejemplo, en la sucesión: 
1, 2, 3, 4,
0, 1, 2, 3, ..., 1
 
 ..., n
n
a a a a a

     
 
Al 0 se le asigna 1a , al 1 se le asigna 2a , y así sucesivamente. Los números 
1, 2, 3, 4, ..., na a a a a son los términos de la sucesión. El número na es el termino 
n-ésimo de la sucesión, y la sucesión completa se denota por { }na . 
Ejemplo 1. Encuentre los diez primeros términos de las siguientes sucesiones: 
1 2 1 1
1. min { } 3 1 :
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 29, 31, ...
2. { } :
1, 1, 2
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
n
n
n n n
Los tér os de la sucesión a n son
La sucesión de Fibonacci a que se define como
a a a a a para n 
 
    
 34, 55, ...
 
4.2 Límite de una sucesión 
Definición. Sea L un número real. El límite de una sucesión { }na es L , escrito 
como 
 lim n
n
a L

 
Si dado cualquier número 0, \ para n N.nN a L       
Si el l ímite de una sucesión existe, entonces la sucesión converge a L . Si el 
límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge. 
Teorema 4.1. Límite de una sucesión 
Si a ( )n f n para cada entero positivo ,n entonces 
 lim ( ) lim
x n
nf x L La
 
   
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Las leyes de los l ímites de funciones en una variable real tienen analogías con 
los límites de sucesiones. 
Teorema 4.2. Leyes de límites para sucesiones 
Sean los l ímites 
lim lim , 
1. lim( )
2. lim ,
3. lim( )
4. lim , 0 y 0
n n
n n
n n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
a L y b K entonces
a b L K
ca cL c
a b LK
a L
b K
b K
 




 
  
 

  
 
Teorema 4.3. Leyes de sustituciones para sucesiones 
Si lim
n
n Aa

 la función f es continua en x A , entonces 
 lim ( ) ( )n
n
f a f A

 
Teorema 4.4. Teorema del encaje o del emparedado para sucesiones 
 lim lim
 lim .
 
n n
n
n n n n n
n
Si L c
entonces b L también
a b c para todo n y a
 

 

 
 
Ejemplo 2. Determine el límite de la sucesión cuyo término n -ésimo es 
2
2
5
2
n
n
a
n


 
 
2
2
5
lim
2n
n
n


 
 
Aplicando la regla de L’Hôpital: 
10
lim lim5 5
2n n
n
n 
  
Teorema. La sucesión  nr es convergente si 1 1r   y divergente para todos 
los demás valores de r . 
 
0 1 1
lim 
1 1
n
n
si r
r
si r
  
 

 
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Teorema 4.5. Si una sucesión  na converge a L, entonces cualquier 
subsucesión de  na también converge a L. 
4.3 Tipos de sucesiones 
 
Sucesión oscilante 
Definición. Una sucesión  na es divergente pero no diverge  ni  , 
entonces decimos que es oscilante. 
Ejemplo 1. Una sucesión oscilante que tiene como término n -ésimo 
  ( 1)n
na   
Desarrollando la expresión tenemos que: 
  1,1, 1,1 1,1, 1,...na      
Sucesiones monótonas acotadas 
Sucesión decreciente. Una sucesión  na es decreciente si 
 1 2 3 ... na a a a    
Sucesión creciente. Una sucesión  na es creciente si 
 1 2 3 ... na a a a    
Una que sucesión  na que es creciente o decreciente recibe el nombre de 
monótona. 
Sucesión Acotada 
Definición. La sucesión  na es acotada si existe un número M tal que 
 na M n  . 
Teorema 4.5 Teorema de la Sucesión Monótona 
Toda sucesión acotada y monótona es convergente. 
Nota: Toda sucesión convergente es acotada. La recíproca no es cierta. 
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4.4 Series 
Definición de serie. La suma de los términos de una sucesión infinita  
1n n
a


, 
obtiene una expresión de la forma 
 1 2 3 ... ... ~ (1)na a a a     
 se denomina serie infinita,o solo serie, y se denota con el símbolo 
1
 n n
n
a o a


  
La serie 
1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 4 8 16 32 64 2n
        
Al sumar suficientes términos de la serie es posible hacer que las sumas 
parciales sean tan cercanas a 1 como se quiera. Por eso es razonable decir que 
la suma de esta serie infinita es igual a 1 y escribir 
 
1 1 1 1 1 1 1
... ... 1
2 2 4 8 16 32 2n n
         
Aplicando una idea similar para determinar si una serie general (1) tiene o no 
tiene una suma. Consideremos las sumas parciales 
1 1 3 1 2 3
2 1 2 4 1 2 3 4
 
 
s a s a a a
s a a s a a a a
   
     
 
En general, 
1 2 3 4
1
...n n i
i
s a a a a a a


       
Estas sumas parciales forman una nueva sucesión  ns , la cual puede tener o 
no un límite. Si existe lim n
n
s s

 , se llama suma de la serie infinita na . 
4.5 Serie convergente y serie divergente 
 
Definición de serie convergente y divergente 
Dada una serie infinita 
1
n
n
a


 , la n-ésima suma parcial está dada por 
1 2 3 4 ...n ns a a a a a      
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Si la sucesión de sumas parciales  ns converge a s , entonces la serie 
1
n
n
a



converge. El límite s se llama suma de la serie. 
 1 2 3 4 ... ...ns a a a a a       
Si  ns diverge, entonces la serie diverge. 
Ejemplo. Determine si la serie converge o diverge. Si converge determine su 
suma. Quizás es conveniente escribir los primeros cinco términos de la serie. 
2
1
2
n n n

 

 
2
1 1
2 2
( 1)
2 2 2 2 2
...
2 6 12 20 30
n n
n
n n n n
S
 
 

 
     
 
 
 :
2
( 1) 1
2 ( 1)
2, 2
Usando la descomposición de fracciones
A B
n n n n
A n Bn
A B
 
 
  
  
 
       
1 1
 :
2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2...
1 2 2 3 3 4 4 5( 1) 1 1n n
Luego tenemos que
nn n n n n
 
 
   
               
     
 
 
1
 :
2 2 2
S 2
1 1
2 2
 tan , lim lim 2 2 2
1 1
 2
n
n
n
n n
Haciendo la sumatoria
n n n
Por lo to S
n
La serie es convergente y su suma es


 
 
    
  
    
 

 
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4.6 Serie Geométrica 
Definición. Se dice que la serie 
0
n
n
a


 es una serie geométrica si cada término 
después del primero es un múltiplo fijo inmediato del anterior . Esto es, existe 
un número r , llamado razón de la serie, tal que 1 0n na ra n    . 
Toda serie geométrica se escribe de la siguiente forma: 
2 3 4
0
...n
n
ar a ar ar ar ar


      
 
Teorema 4.6. Suma de una serie geométrica 
Si 1r  , entonces la serie geométrica converge y su suma es 
 
0 1
n
n
a
ar
r




 
Si 1 0r y a  , entonces la serie geométrica diverge. 
Ejemplo. Determine si la serie dada es convergente o no. En caso de serlo, 
halle su suma parcial. 
0
4
3
4 4 4 4 4
4 ...
3 3 9 27 81
1
 : min es 4 
4 3
 1, 
 : 
4
6
11 1
3
n
n
La serie dada es geométrica su primer tér o a y su razón es r
Como r la serie es convergente
La suma parcial es
a
S
r


     
  

  
 

 
4.6 Criterios de convergencia por el límite del término enésimo 
 
Teorema 4.7. Límite del término n-ésimo de una serie para la convergencia 
Si la serie 
1
n
n
a


 es convergente, entonces lim 0n
n
a

 
Nota: El inverso del teorema anterior no es cierto . 
 
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Teorema 4.7. Prueba del término n-ésimo para la divergencia 
Si ocurre que 
 lim 0n
n
a

 
o bien que el l ímite no existe, entonces la serie infinita 
1
n
n
a


 diverge. 
Ejemplo. Determine si la serie dada es convergente o divergente. 
2
1 1
1n n n


 
 
 
 
 :
lim
1 1 1 1
lim 0
1 1
n
n
n
n
Calculamos el límite de a
a
n n


   
  
 
Para tener una visión vamos escribir por lo menos los primeros cinco términos 
de la serie. 
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 1
 min :
n
n
n
n n
S
n n
Sumando los tér os tenemos que
S


           
                      
           
           
                       
           
 

1
1
 :
1 1
lim lim 1 1 1
 -1
n
nn
n
La suma parcial es igual a
S S
n
La serie es convergente y su suma parcial es


        

 
 
Ejemplo. Calcule el límite de la siguiente serie y diga si es divergente o no. 
2
2
1
1
ln
2 1n
n
n


 
 
 
 
Calculamos el l ímite de :na 
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2
2
1
2 1
n
n
a
n
 
  
 
 
2 2
2 2
2 1 1
2 1 1
1 11 1
limln ln limln ln ln
2 1 2 2 2
n
n n
n
n
n

 

         
                      
 
Dado que el l ímite de 0,na  la serie diverge. 
Teorema 4.8. Propiedades de series infinitas 
Si , y cn na A b B    , entonces las series siguientes convergen a las 
sumas indicadas. 
 
1 1
1. 2. n n n
n n
ca cA a b A B
 
 
     
4.7 El Criterio de la Integral 
 
Teorema 4.9. El criterio de la integral. 
Si f es positiva, continua y decreciente para 1 ( )nx y a f n  , entonces 
1
1
 ( )n
n
a y f x dx
 

  
son convergentes o ambas son divergentes . 
Ejemplo. Verifique si la serie es convergente 
3
1
1
(2 1)n n

 
 
Primero analizamos si la función es positiva, continua y decreciente para 1x  . 
 
 
3
1
,
2 1
f x
x


 analizando la función en 1,x  nos damos cuenta que f es 
positiva, continua y decreciente, por tanto podemos aplicar el criterio de la 
integral. 
2
3
3 31 1 1
1
(2 1)
lim lim (2 1) lim
(2 1) (2 1) 2
b
b b
b b b
dx dx x
x dx
x x



  

    
   
   
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
lim lim
2 (2 1) (2 1) 2 (2 1) (3)b bb b 
   
        
     
 
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2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
lim
2 (2 1) 9 2 (2 1) 9 2 9 2 9 18b b
       
                   
        
 
Como  f x converge, entonces 
na también converge. 
4.8 Series p y Series Armónicas 
 
Definición. Una serie de la forma 
1
1 1 1 1 1
... 
1 2 3 4p p p p p
n n


     , es una serie tipo ,p donde p es una constante 
positiva. Para 1,p  la serie 
1
1 1 1 1
1 ... 
2 3 4n n


     es la serie armónica. Una 
serie armónica general es de la forma 
1
1
 
n an b

 
 . 
 
Teorema 4.11. Convergencia de una serie p 
La serie p, 
1
1 1 1 1 1
... 
1 2 3 4p p p p p
n n


     
1. Converge si 1.p  
2. Diverge si 0 1.p  
4.9 Criterios de comparación para la convergencia de una serie 
 
Teorema 4.12. Criterio de comparación directa 
1 1
1 1
 0<a para todo n.
1. Si converge, entonces converge.
2. Si diverge, entonces diverge.
n n
n n
n n
n n
n n
Sea b
b a
a b
 
 
 
 

 
 
 
Ejemplo. Util izando el criterio de comparación directa, determine si la serie 
converge. 
2
1
1
1n n

 
 
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Esta serie se parece a 
2
1
1
n n


 es una serie tipo p, donde p>1, por tanto es converge. 
La comparación término a término da 
2 2
1 1
1 1
 
1n nn n
 
 


  
Aplicando el criterio de lacomparación directa, la serie es convergente. 
Teorema 4.13. Criterio de la comparación del límite 
Si 0, 0n na b  y 
lim n
n
n
a
L
b
 
 
 
 
Donde L es finito y positivo. Entonces las dos series n na y b  convergen o 
ambas divergen. Si 0L  y nb converge, entonces na converge. 
Ejemplo. Determine si la serie es convergente o divergente aplicando el 
criterio de comparación en el límite. 
2
4
1
1
2n
n
n n




 
En el numerador, el término dominante es 
2n y en el denominador lo es 
4n , por 
lo que 2
1
1
n
n
b
n


 
nb es una serie tipo p, donde p=2, esto indica que la serie es convergente. 
Ahora calculamos el límite 
2 3
4 2 3
1 1
lim lim lim 1
2 2
n
n n n
n
a n n n
b n n n n


  
   
   
  
 
Como el límite es finito y positivo y nb converge, entonces na es convergente. 
4.10 Series Alternadas o Alternantes 
 
Hasta el momento solo hemos analizado series con términos positivos. Existen 
series con términos positivos y negativos. Las series más sencillas de este tipo 
son las series alternadas, cuyos términos alternan en signo. 
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Definición. Una serie alternante es una serie infinita de la forma 
1
1 2 3 4 5
1
( 1) ...n
n
n
a a a a a a



       
o de la forma 
1
( 1) , 0 n
n n
n
a donde a para todo n


  . 
Teorema 4.14. Prueba de la serie alternada 
Si las series alternadas 
1
1 1
( 1) y ( 1)n n
n n
n n
a a
 

 
   satisfacen estas dos condiciones: 
11. 0 
2. lim 0,
n n
n
x
a a para todo n y
a


 
 
entonces la series infinitas convergen. 
Teorema 4.15. Estimación del residuo de una serie alternada 
Si una serie alternada convergente satisface la condición 1n na a  , entonces el 
valor absoluto del resto NR que se tiene al aproximar la suma S con NS es 
menor o igual que el primer término desechado. Es decir, 
 1N N NS S R a    
Ejemplo. Determine si la serie es convergente, en caso de serlo aproxime la 
suma de la serie usando los primeros seis términos. 
1
2
1
( 1) 3n
n n



 
Primero aplicamos el teorema del criterio de la serie alternada 
2 2 2
1
3 3 3 3
1.lim 0 2. 
( 1)
lim 0 y 
n
n n n
n
n n n
a a a



  
 
 
 
Como podemos observar, la serie satisface las condiciones, por tanto es 
convergente. 
Ahora pasamos a realizar la aproximación mediante los primeros seis términos. 
3 3 3 3 3 3
...
1 4 9 16 25 36
S        
La suma de los primeros seis términos es 
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6
3 3 3 3 3 3 973
2.4325
1 4 9 16 25 36 400
S         
 
De acuerdo al teorema del residuo de la serie alternada: 
6 6 7
3
0.0612245
49
S S R a     
Así que, la suma de S está entre 2.4325 0.0612245 2.4325 0.0612245y  , se 
concluye que 2.3712755 2.4937245S  
4.11 Convergencia absoluta y condicional 
 
Definición. Se dice que la serie na converge de forma absoluta siempre que 
la serie 
1 2 3 ... ...n na a a a a      
Converja. 
Teorema 4.16. Convergencia absoluta 
Si la serie na converge, entonces la serie na también converge. 
Convergencia condicional 
Definición. Una serie na es condicionalmente convergente si na 
converge, pero na diverge. 
Ejemplo. Analice si la serie dada converge 
 
1
1
( 1)
2 1
n
n n




 
Desarrollamos la serie hasta los primeros seis términos 
1
1
( 1) 1 1 1 1 1
1 ...
2 1 3 5 7 9 11
n
n n



      

 
Analicemos si na converge. 
Aplicando el criterio de la serie alternada tenemos: 
1 1
lim lim 0
2 1 2( ) 1
n
n n
a
n 
  
  
 
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1
1 1 1
 y 
2 1 2( 1) 1 2 1
1 1
2 1 2 1
n na a
n n n
n n
  
   

 
 
Dado que na es convergente, entonces na es absolutamente 
convergente. 
4.12 El Criterio del Cociente y el Criterio de la raíz 
 
Teorema 4.17. Criterio del cociente 
Asumamos que el límite 
 
1lim n
n
n
u
L
u


 
existe o es infinito. La serie na de términos distintos de cero: 
1. Converge absolutamente si 1L  . 
2. Diverge si 1L  . 
3. Si 1L  , la prueba de la razón no es concluyente. 
Ejemplo. Determine si la serie dada es convergente o divergente 
 
1 2n
n
n

 
 1 1
1
1
2
n n
n
n
u

 


 
 
1lim n
n
n
u
L
u


 
Calculamos el l ímite 
1
1 1 2 1
lim lim lim
2 2 2 2 2
n
n n nn n n
n n n n
n n

   
    
   
 
 
Aplicamos la regla de L’Hôpital: 
1 1
lim
2 2n
 como 1L  la serie es convergente 
 
 
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Teorema 4.18. El criterio de la raíz 
Sea na una serie. 
1. na converge absolutamente si lim 1n
n
n
a

 . 
2. na diverge si lim 1 limn n
n n
n n
a o a
 
  . 
3. El criterio de la raíz no es concluyente si lim 1n
n
n
a

 . 
Ejemplo. Aplicando el criterio de la raíz determine si la serie es convergente o 
divergente. 
1
3
( 1)
n
n
n n

 
 
Procedemos a calcular lim n
n
n
a

 
3 3
lim lim 0
( 1) 1
n
n
nn nn n 
 
 
 
Como lim 0 1n
n
n
a

  , entonces la serie es convergente. 
4.13 Series de Potencias 
Definición. Si x es una variable, entonces una serie infinita de la forma 
2 3
0 1 2 3
0
... ...n n
n n
n
a x a a x a x a x a x


       
se llama serie de potencias . De forma más general, una serie infinita de la 
forma 
2 3
0 1 2 3
0
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n n
n n
n
a x c a a x c a x c a x c a x c


            
se llama serie de potencias centrada en c , donde c es una constante. 
Radio e intervalo de convergencia 
Una serie de potencias en x puede verse como una función de x 
0
( ) ( )n
n
n
f x a x c


  
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donde el dominio de f es el conjunto de todas las x para la que la serie de 
potencias converge. 
Dada las formas en que las potencias de x están involucradas, la prueba del 
cociente es efectiva para determinar los valores de x para los cuales una serie 
de potencias converge. 
Supongamos que el l ímite 
 
1lim ~ ( )n
n
n
a
a
a


 
existe. Este es el l ímite que se necesita si queremos utilizar la prueba de la 
razón a la serie na de constantes. Para aplicar la prueba del cociente a la 
serie de potencias, escribimos 
n
n nu a x y calculamos el límite 
 
1
1 1lim lim ~ ( )
n
n n
nn n
n n
u a x
x b
u a x


 
 
  
Si 0  , entonces 
n
na x converge absolutamente para toda x . Si   , 
entonces 
n
na x diverge para toda 0x  . Si  es un número real positivo, 
vemos de la ecuación (b) que 
n
na x converge absolutamente para toda x tal 
que 1x  , es decir, cuando 
 
1
1
lim n
n
n
a
x R
a 

   
En este caso la prueba de la razón también implica que 
n
na x diverge si x R 
pero no es concluyente cuando x R  
Teorema 4.19. Convergencia de una serie de potencias 
Para una serie de potencias centrada en c , exactamente una de las siguientes 
afirmaciones es cierta. 
1. La serie converge solo en c . 
2. Existe un número real 0R  tal que la serie converge absolutamente para 
x c R  , y diverge para x c R  . 
3. La serie converge para todo x . 
El número real R es el radio de convergencia de la serie de potencias. Si la 
serie solo converge en c , el radio de convergencia es 0R  , y si la serie 
converge para todo x , el radio de convergencia es R  . El conjunto de todos 
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los valores de x para los cuales la serie de potencias converge es el intervalo 
de convergencia de la serie de potencias. 
Ejemplo. Determine el conjunto de convergencia de la serie de potencias dada. 
1 ( 1)!
n
n
x
n

 
 
Aplicamos el criterio del cociente absoluto 
1
1
1 1
1
lim lim
( 1 1)! ( 1)!
( 1)! ( 1)!
lim lim lim
! ( 1)! ( 1)! ( 1)!
1 1
lim lim 0 0
( 1)!
n n
n
n n
n
n n n n
n nn n n
n n
n
n
u x x
u n n
x x x n x x n
n n n n x n n x
x
x x x
n n
x
n





 
 
  
 


  
  
 
   
  
    



 
Como 
1 1
0 .
0
R

     La serie converge para todo .x 
Operaciones con series de potencias 
0
 ( ) .
1. ( )
 ( ) n n
n n
n n
n
n
a x y g x b x
f kx a k x
Sea f x




 

 
0
0
2. ( )
3. ( ) ( ) ( )
N nN
n
n
n
n n
n
f x a x
f x g x a b x





  


 
Nota: Las operaciones descritas pueden modificar el intervalo de convergencia 
de la serie resultante. 
Derivación e integración de series de potencias 
Teorema 4.20. Derivación e integración de series de potencias 
Si la función dada por 
2 3
0 1 2 3
0
( ) ( ) ( ) ( ) ...( ) n
n
n
a x c a a x c a x c a x cs x


         
Tema IV. Sucesiones y Series 
 
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Tiene un radio de convergencia 0R  , entonces, en el intervalo ( , )c R c R  , S 
es derivable y por tanto continua. La derivada y la integral de S son como 
sigue: 
,
1 21
0 120 0
0 0
1 2 3
1 2 3 3
1
3 41 1
2 43 4
...
2. ( ) ...
1
1. ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( )( )
t x
n nn
n
n n
n
n
n
a
s t dt a t dt x a x a x
n
na x c a x c a x c a x c a x c
a x a x
s x
 

 



      

         
  

 
El radio de convergencia de la serie obtenida por medio de derivación e 
integración de una serie de potencias es el mismo que el de la serie de 
potencias original. Sin embargo, el intervalo de convergencia puede ser 
distinto como resultado del comportamiento en los puntos terminales. 
Ejemplo. Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias 
siguiente: 
 
 
1
2
1
n
n
n
x
n



 
Aplicando el criterio del cociente calculamos el límite de la serie. 
 
 2
1
n
n
n
x
u
n

  y  
 
1
1
1
2
1
1
n
n
n
x
u
n




 

 
1lim n
n
n
u
L
u


 
 
 
 
 
 
 
   
1 1
1 12 2 2
lim 1 1 lim 1
1 1 1 2
n n n
n n n
n n
n n
x x x n
L
n n n x
 
 
 
  
      
   
 
Realizamos las operaciones indicadas y tenemos que: 
 2
lim
1n
n x
n


 
 2x  es una constante, por tanto lo sacamos factor común y procedemos a 
calcular el límite. 
2 lim 2
1n
n
x x
n
 
   
  
 
El cálculo del límite nos proporciona una forma indeterminada, para saber el 
valor del límite es necesario aplicar la regla de L’Hôpital. 
Ahora rompemos la indeterminación mediante la regla de L’Hôpital: 
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 2 lim1 2 1
2
n
x x
L x

  
 
 
Como podemos observar, 1,L  entonces el valor del radio es: 
1
1.R R
L
   
La serie converge si 1,L  de ahí que: 
2 1x   
Resolvemos la desigualdad para obtener el intervalo de convergencia de la 
serie de potencias. 
1 2 1x    
1 2 2 2 1 2x       
1 3x  
Ahora es necesario analizar el comportamiento de la se rie en los extremos para 
hallar el intervalo de convergencia definitivo. 
Sea 1,x  entonces la serie queda expresada por: 
 
   
2
1 1
1 2 1
1
n n
n
n nn n
 
 
 
   
La serie obtenida tiene un comportamiento de serie armónica, por tanto 
diverge, no incluye el extremo inferior. 
Probamos con el extremo superior, cuando 3.x  
 
 
 
   
1 1 1
3 2 1 1
1 1
n n n
n n
n n nn n n
  
  
 
      
En este caso la serie resultante es una serie alternada y es convergente, esto 
implica que incluye el extremo superior. 
Pues bien, el intervalo de la serie es:  1,3 . 
4.14 Series de Taylor y de Maclaurin 
 
Definición. Si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en ,x 
entonces la serie 
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''
2
0
( ) ( )
( ) ( ) '( )( ) ( ) ... ...
! 2!
( )
( )
!
n
n
n
n
nf c f c
x c f c f c x c x c
n
f c
x c
n


         
se l lama serie de Taylor para ( )f x en c . Además, si 0c  , entonces la serie 
recibe el nombre de serie de Maclaurin para f . 
Teorema 4.21. Fórmula de Taylor con residuo 
Sea f una función cuya ( 1)n  ésima derivada 
 1
( )
n
f x

 existe para cada x en 
un intervalo I que contiene a .c Entonces, para cada ,x I 
      
     
 
2 ( )"
' ...
2! !
nn
n
f c x c f c x c
f x f c f c x c R x
n
 
       
El residuo está dado por la fórmula 
 
 
( 1)
1( )
( ) ( )
( 1)!
n
n
n
f a
R x x c
n

 

 
El punto a es algún valor entre x y .c 
Ejemplo. Determine la serie de la función dada. 
 
2xf x e 
La variable x está elevada al cuadrado, en este caso nos conviene calcular la 
serie usando la función   xf x e y luego sustituimos a x por 
2.x 
Derivamos la función y la evaluamos a ella y a sus derivadas en 0,x  que es 
el centro de la serie. 
    0 0 1xf x e f e    
    0' ' 0 1xf x e f e    
    0'' '' 0 1xf x e f e    
    0'" '" 0 1xf x e f e    
       4 4 0 0 1xf x e f e    
       5 5 0 0 1xf x e f e    
       6 6 0 0 1xf x e f e    
La serie de Maclaurin viene de una función viene dada por: 
Tema IV. Sucesiones y Series 
 
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 23 
 
     
0
0
!
n
n
n
x
f x f
n


 
2 3 4 5 6
1 ...
2! 3! 4! 5! 6!
x x x x x x
e x        
En la serie anterior sustituimos a x por 
2.x 
2
4 6 8 10 12
21 ...
2! 3! 4! 5! 6!
x x x x x x
e x        
Analizando la serie anterior, podemos concluir que el término general de la 
serie es: 
 
 
Biografía 
1. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo 
Esencial. México: CENGAGE Learning. 
2. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo (9na 
edición). México: Pearson. 
3. Edwards, C & Penney, D. (2008). Cálculo con trascendentes 
tempranas (7ma edición). México: Pearson. 
4. Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable (6ta edición). 
México: CENGAGE Learning. 
5. Thomas, G. (2005). Cálculo una variable (11ma edición). 
México: Pearson . 
Webgrafía 
 
1. http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones -
series.html 
2. http://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_sucContenidos.html 
3. http://matematica.50webs.com/sucesiones.html 
4. http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/Grupo1B/
series.pdf 
5. http://personal.us.es/contreras/t09series.pdf 
6. http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm 
 
 
 
 
 
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
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