Cap6_Sucesiones y Series 1 - gabriela Ruiz

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Sucesiones y Series 
 273
Capítulo 6 
 
 
SUCESIONES 
 
 
 
Definición: Una sucesión de números reales es una función IRINa →: , la cual notaremos 
n
ana =)( . 
 
 
Ejemplo 1: Veamos algunos ejemplos de sucesiones. 
a) na
n
= 
Luego: ,3,2,1
321
=== aaa etc. 
b) 
n
b
n
1
= 
Luego: 
3
1
,
2
1
,1
321
=== bbb , etc. 
c) n
n
c )1(−= 
Luego: 1,1,1
321
−==−= ccc , etc. 
 
 
Observación: La representación gráfica de una sucesión se hace en general sobre una recta, 
ya que este tipo de diagrama nos permite determinar “hacia dónde va” la sucesión. En efecto, 
la sucesión ( )
1≥nn
a del ejemplo anterior “va hacia infinito” , ( )
1≥nn
b “va hacia cero” y ( )
1≥nn
c 
“salta entre –1 y 1”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Se dice que una sucesión ( )
1≥nn
a tiene límite L (notándolo Lalim
n
n
=
∞→
) 
εε <−≥∀∈∃>∀⇔ LannINn
n00
/0 . 
 
 
Clasificación: Una sucesión es convergente si tiene límite finito, divergente si tiene límite 
infinito y oscilante si no existe el límite. 
 
 
 
 
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Sucesiones y Series 
 274
Ejemplo 2: La sucesión ( )
1≥nn
a del ejemplo 1 es divergente pues +∞=
∞→
n
n
alim . La sucesión 
( )
1≥nn
b es convergente pues 0=
∞→
n
n
blim . La sucesión ( )
1≥nn
c es oscilante. 
 
 
Propiedades del límite de sucesiones 
 
 Las propiedades del límite de sucesiones son exactamente iguales a las ya enunciadas para 
límite de funciones. 
 
1) Una sucesión no puede tener más de un límite. 
 
2) Si ( )
1≥nn
a es una sucesión convergente entonces está acotada. 
 
3) Si Lalim
n
n
=
∞→
 y 0>L entonces 0>
n
a para casi todo n. 
 
4) Si dos sucesiones convergen a un mismo límite L entonces cualquier sucesión 
comprendida entre ellas también converge a L. 
 
5) Si 0=
∞→
n
n
alim y ( )
1≥nn
b es una sucesión acotada entonces 0=⋅
∞→
nn
n
balim . 
 
6) Algebra de límites: Si aalim
n
n
=
∞→
 y bblim
n
n
=
∞→
 entonces: 
i) babalim
nn
n
+=+
∞→
 
ii) babalim
nn
n
⋅=⋅
∞→
 
iii) Si 0≠b (entonces 0≠
n
b para casi todo n) 
b
a
b
a
lim
n
n
n
=
∞→
 
iv) Si IRk∈ entonces akaklim
n
n
⋅=⋅
∞→
 
v) aalim
n
n
=
∞→
 
 
 
Ejemplo 3: Hallar, si existen, los límites de las siguientes sucesiones. 
a) ( )
nn
n
aINna
nn
52
23
/
2
2
+
+
=∈∀ 
2
3
5
2
2
3
52
23
52
23 2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
+
∞→∞→∞→
n
n
lim
n
nn
n
n
lim
nn
n
lim
nnn
 
b) ( ) nnaINna
nn
−+=∈∀ 2/ 
 ( ) ( )
( )
0
2
2
2
2
22 =
++
=
++
++
⋅−+=−+
∞→∞→∞→ nn
lim
nn
nn
nnlimnnlim
nnn
 
c) ( )
1
)1(
/
+
+
−
=∈∀
n
n
n
aINna
n
nn
 
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Sucesiones y Series 
 275
 Observemos que 0
)1(
=
−
∞→ n
lim
n
n
 por ser “cero por acotada” y 1
1
=
+∞→ n
n
lim
n
, por lo tanto 
1
1
)1(
=





+
+
−
∞→ n
n
n
lim
n
n
. 
d) ( )
72
13
23
/
+






−
+
=∈∀
n
nn
n
n
aINna 
Observemos que estamos ante una indeterminación ∞1 , por lo tanto hay que salvarla. 
 
3
13
1
1
13
3
11
13
23
1
13
23
−
+=
−
+=−
−
+
+=
−
+
nnn
n
n
n
 
Reemplazando en el límite dado, obtenemos: 
( )
2
72
13
3
3
13
72
3
13
1
1
13
23
e
n
lim
n
n
lim
n
n
n
n
n
n
=
























−
+=





−
+
+⋅
−
−
∞→
+
∞→
 
e) ( )
n
nn
n
n
aINna 





+
−
=∈∀
32
25
/ 
Observemos que la base de esta sucesión tiende a 
2
5
 cuando n tiende a infinito, por lo tanto 
+∞=





+
−
∞→
n
n n
n
lim
32
25
. 
f) ( )



=∈∀
imparessi5
paressi0
/
n
n
aINna
nn
 
Claramente esta sucesión no tiene límite. 
 
 
Observación: En el ejemplo anterior a), b), c) y d) son sucesiones convergentes, e) es una 
sucesión divergente y f) es una sucesión oscilante. 
 
 
Definición: Se dice que ( )
1≥nn
a es una sucesión creciente si INnaa
nn
∈∀≥
+
,
1
 y se dice que 
es decreciente si INnaa
nn
∈∀≤
+
,
1
. En ambos casos decimos que la sucesión es monótona. 
 
 
Teorema: Sea ( )
1≥nn
a una sucesión monótona. 
a) Si ( )
1≥nn
a es acotada entonces es convergente. 
b) Si ( )
1≥nn
a no es acotada entonces: 
• +∞=
∞→
n
n
alim en el caso que ( )
n
a sea creciente. 
• −∞=
∞→
n
n
alim en el caso que ( )
n
a sea decreciente. 
 
*Resolver el problema 1 de la guía de trabajos prácticos. 
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Sucesiones y Series 
 276
SERIES NUMÉRICAS 
 
 
Definición: Dada una sucesión de números reales ( )
1≥nn
a , se llama suma parcial n-ésima 
a la suma ∑
=
=
n
k
kn
aS
1
(por ejemplo: 
321321211
,, aaaSaaSaS ++=+== , etc.). 
 
 
Definición: Se llama serie numérica asociada a una sucesión de números ( )
1≥nn
a , a la 
sucesión de sumas parciales 
1
)(
≥nn
S . 
 
 
Ejemplo 4: Sea la sucesión 1)1( +−= n
n
a . Calculemos las sumas parciales de sus términos: 
M
01111
1111
011
1
43214
3213
212
11
=−+−=+++=
=+−=++=
=−=+=
==
aaaaS
aaaS
aaS
aS
 
Luego, la serie asociada es: ( ) ),0,1,0,1( K=
n
S 
 
 
Clasificación: Como una serie es por definición una sucesión ( la de sumas parciales), se 
clasifican de igual manera: 
a) Convergente cuando 
n
n
SlimS
∞→
= es un número finito. 
b) Divergente cuando 
n
n
Slim
∞→
 es un infinito. 
c) Oscilante cuando no existe 
n
n
Slim
∞→
. 
 
 
Definición: Llamamos suma de una serie al límite de la sucesión de sumas parciales 
1
)(
≥nn
S 
cuando éste existe, es decir, cuando es convergente. 
 
 
Notación: ∑∑
=
∞→∞→
∞
=
==
n
k
k
n
n
n
k
k
alimSlima
11
 
 
 
Observación: De todo lo anterior se concluye que la expresión “sucesión de sumas parciales 
correspondiente a la sucesión ( )
1≥nn
a ” es equivalente a decir “la serie ∑
∞
=1n
n
a ”. 
Cabe aclarar que con la misma expresión ∑
∞
=1n
n
a se denota al límite de la sucesión 
1
)(
≥nn
S , 
con lo cual, si este límite existe, ∑
∞
=1n
n
a es un número real. 
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Sucesiones y Series 
 277
Así hablamos, por ejemplo, de la serie ∑
∞
=1
1
n
n
 refiriéndonos a la sucesión 
1
)(
≥nn
S de sumas 
parciales: 





= K,
12
25
,
6
11
,
2
3
,1)(
n
S , aunque, más adelante vamos a ver, esta serie es 
divergente (serie armónica) y, por lo tanto, no existe ∑
∞
=1
1
n
n
 como número real. 
Por lo tanto, el núcleo de este capítulo estará en determinar criterios que nos permitan 
determinar si una serie converge o no. 
 
 
Condición necesaria de convergencia: Si la serie ∑
∞
=1n
n
a converge entonces 0=
∞→
n
n
alim . 
 
 
Observación: La recíproca de esta proposición no es cierta, ya que existen series que 
cumplen esta condición y no son convergentes. Tal es el caso de serie armónica ∑
∞
=1
1
n
n
, como 
probaremos más adelante. 
Por lo tanto, la condición 0=
∞→
n
n
alim es necesaria pero no suficiente, es decir, que si una serie 
la cumple nada puede asegurarse sobre el carácter de la misma. Pero si no la cumple ( es 
decir, 0≠
∞→
n
n
alim ) puede afirmarse que la serie no converge. 
 
 
Antes de seguir resolveremos algunos ejercicios a modo de ejemplo. 
 
 
Ejemplo 5: Escribir en forma de sumatoria y aplicando la condición necesaria de 
convergencia indicar cuales de las siguientes series no pueden ser convergentes: 
a) K++++=∑
∞
=
5
4
4
3
3
2
2
1
1n
n
a 
Para escribir en forma de sumatoria debemos hallar la expresión del término general: 
∑∑
∞
=
∞
=
+
=∴
+
=
11
11
nn
nn
n
n
a
n
n
a 
Ahora calculamos el límite del término general: 
∑
∞
=
∞→∞→
∴=
+
=
1
1
1
n
n
n
n
n
a
n
n
limalim no converge 
b) K+++++=∑
∞
=
120
1
24
1
6
1
2
1
1
1n
n
b 
Para escribir en forma de sumatoria debemos hallar la expresión del término general: 
∑∑
∞
=
∞
=
=∴=11
!
1
!
1
nn
nn
n
b
n
b 
Ahora calculamos el límite del término general: 
∴==
∞→∞→
0
!
1
n
limblim
n
n
n
 nada puede asegurarse sobre el carácter de ∑
∞
=1n
n
b 
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Sucesiones y Series 
 278
*Resolver el problema 2 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
Propiedades de las series numéricas 
 
1) Si la serie ∑
∞
=1n
n
a converge a un número A, entonces para todo número real k la serie 
∑
∞
=1n
n
ak converge al número Ak ⋅ . 
En símbolos: ∑∑
∞
=
∞
=
=
11 n
n
n
n
akak 
 
2) Si la serie ∑
∞
=1n
n
a y la serie ∑
∞
=1n
n
b convergen a los números A y B respectivamente, 
entonces la serie ∑
∞
=
+
1n
nn
ba converge a BA + . 
En símbolos: ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=+
111 n
n
n
n
n
nn
baba 
 
3) El carácter de una serie no se altera si se suprime de ella un número finito de términos. 
 
 
 
Serie geométrica: Vamos a ver ahora un tipo importante de serie, la llamada serie geométrica 
de razón IRr∈ . Su forma general está dada por: 
K+++=∑
∞
=
2
0
raraara
n
n 
donde a es el primer término y r es la razón. 
Analicemos la convergencia de esta serie. Sea 
n
S la suma n-ésima de la serie. 
12 −
++++=
n
n
rararaaS K restando miembro a 
 nn
n
rarararaSr ++++=
−12
K miembro 
n
n
raarS −=− )1( 
Luego, si 1≠r despejando nos queda que 
r
r
aS
n
n
−
−
=
1
)1(
 
Veamos los distintos casos que se pueden presentar: 
• 01 =⇒<
∞→
n
n
rlimr 
r
a
r
a
r
r
alimSlim
n
n
n
n −
=
−
−
=
−
−
=
∞→∞→ 11
)01(
1
)1(
 
Por lo tanto, como el límite de 
n
S es finito la serie es convergente y su suma es 
r
a
S
−
=
1
. 
• ∞=⇒>
∞→
n
n
rlimr 1 
Por lo tanto, la serie es divergente. 
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Sucesiones y Series 
 279
• K+++=⇒= ∑
∞
=
aaaar
n 1
1 
Por lo tanto, la serie es divergente. 
• K+−+−=−⇒−= ∑
∞
=
aaaaar
n
n
1
)1(1 
Por lo tanto, la serie es oscilante. 
 
 
Ejemplo 6: Indicar el carácter de las siguientes series geométricas. Si son convergentes 
indicar su suma. 
a) K−+−+−=∑
∞
=
8
1
4
1
2
1
12
1n
n
a 
Escribamos esta serie en forma de sumatoria: ∑∑
∞
=
−
∞
=






−=
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
a 
Claramente 2=a y 
2
1
−=r . Como 1
2
1
<=r , la serie converge a: 
3
4
2
1
1
2
1
=
+
=
−
=
r
a
S 
b) K++++=∑
∞
=
421
2
1
1n
n
b 
Escribamos esta serie en forma de sumatoria: ∑∑
∞
=
−
∞
=
=
1
1
1
2
2
1
n
n
n
n
b 
Claramente 
2
1
=a y 2=r . Como 12 >=r , la serie no converge (diverge). 
c) K+−+−=∑
∞
=
3333
1n
n
c 
Escribamos esta serie en forma de sumatoria: ( )∑∑
∞
=
−
∞
=
−=
1
1
1
13
n
n
n
n
c 
Claramente 3=a y 1−=r . Por lo tanto, la serie no converge (oscila entre 0 y 3). 
 
 
* Resolver el problema 3 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
FÓRMULA DE TAYLOR Y MAC LAURIN 
 
 
Sea f una función derivable hasta el orden )1( +n . En un entorno E del punto 
0
x es posible 
aproximarla mediante un polinomio )(xP
n
 de grado n según potencias de )(
0
xx − cuyo valor 
y el de sus n derivadas sucesivas en 
0
xx = sean iguales al valor de la función y el de sus n 
derivadas sucesivas en el mismo punto. Dicho polinomio )(xP
n
 se denomina polinomio de 
Taylor y es: 
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 280
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP )(
!
)(
)(
!2
)(
)()()()( 0
0
)(
2
0
0
000 −++−
′′
+−′+= K 
La diferencia entre la expresión de )(xf y el polinomio de Taylor )(xP
n
 que la aproxima se 
denomina resto o término complementario que será notado )(xR
n
. 
)()()( xPxfxR
nn
−= 
El valor del término complementario nos da el grado de precisión con que el polinomio de 
Taylor )(xP
n
 aproxima localmente (para x cerca de 
0
x ) los valores de la función )(xf . 
Puede demostrarse que una expresión para el cálculo del término complementario es la 
siguiente: 
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)(
+
+
−
+
=
n
n
n
xx
n
f
xR
ξ
 
donde ξ es un valor comprendido entre 
0
x y x. 
 
 
Observación: La aproximación de una función mediante un polinomio de Taylor depende 
para cada x del grado del polinomio, mejorando cuando aumenta n. 
 
 
Al escribir )()()( xRxPxf
nn
+= obtenemos lo que se conoce como la fórmula de Taylor : 
444 3444 21
444444444 3444444444 21
K
)(
1
0
0
)1(
)(
0
0
)(
000 )(
)!1(
)(
)(
!
)(
)()()()(
xR
n
n
xP
n
n
n
n
xx
n
xf
xx
n
xf
xxxfxfxf +
+
−
+
+−++−′+= 
 
 
Reemplazando en la fórmula de Taylor 
0
x por cero, obtenemos la fórmula de Mac Laurin: 
44 34421
44444444 344444444 21
K
)(
1
)1(
Laurin Mac de polinomio
)(
)(
2
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
xR
n
n
xP
n
n
n
n
x
n
f
x
n
f
x
f
xffxf +
+
+
+++
′′
+′+=
η
 
donde η es un número comprendido entre 0 y x. 
 
 
Ejemplo 7: Hallar el polinomio de Taylor de grado 4 en 
20
π
=x para la función xxf sen)( = . 
xxf sen)( = 1)()(
20
==
πfxf 
xxf cos)( =′ 0)()(
20
=′=′
πfxf 
xxf sen)( −=′′ 1)()(
20
−=′′=′′
πfxf 
xxf cos)( −=′′′ 0)()(
20
=′′′=′′′
πfxf 
xxf iv sen)( = 1)()(
20
==
πiviv fxf 
4
0
03
0
02
0
0
0004
)(
!4
)(
)(
!3
)(
)(
!2
)(
)()()()( xx
xf
xx
xf
xx
xf
xxxfxfxP
iv
−+−
′′′
+−
′′
+−′+= 
24
)(
2
)(
1)(
4
2
2
2
4
ππ
−
+
−
−=
xx
xP 
 
 
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 281
Ejemplo 8: Calcular un valor aproximado del o100sen utilizando el polinomio del ejemplo 
anterior. 
Hacemos primeramente la conversión de grados sexagesimales a radianes: 
7453,1
9
5
100 ≅= π
o 
9848,0
24
)5708,17453,1(
2
)5708,17453,1(
1)7453,1(
42
4
=
−
+
−
−=P 
 
 
Ejemplo 9: Desarrollar en potencias de )1( +x el polinomio 12)( 245 ++−+= xxxxxf . 
En este caso )()( xPxf = y 1
0
+=− xxx por lo tanto 1
0
−=x . 
54
32
)1(
!5
)1(
)1(
!4
)1(
)1(
!3
)1(
)1(
!2
)1(
)1()1()1()(
+
−
++
−
+
++
−′′′
++
−′′
++−′+−=
x
P
x
P
x
P
x
P
xPPxf
viv
 
12)( 245 ++−+= xxxxxf 0)1( =−f 
1285)( 34 +−+=′ xxxxf 0)1( =−′f 
22420)( 23 −+=′′ xxxf 2)1( =−′′f 
xxxf 4860)( 2 +=′′′ 12)1( =−′′′f 
48120)( += xxf iv 72)1( −=−ivf 
120)( =xf v 120)1( =−vf 
Observemos que como 0)( =xf vi el resto o término complementario vale cero. 
5432
)1(
120
120
)1(
24
72
)1(
6
12
)1()( +++−+++= xxxxxP 
Por lo tanto: 
5432 )1()1(3)1(2)1()()( +++−+++== xxxxxPxf 
 
 
Ejemplo 10: Hallar el polinomio de Mac Laurin la función xexf 2)( = de grado 4. 
xexf 2)( = 1)0( =f 
xexf 22)( =′ 2)0( =′f 
xexf 24)( =′′ 4)0( =′′f 
xexf 28)( =′′′ 8)0( =′′′f 
xiv exf 216)( = 16)0( =ivf 
 
Por lo tanto: 
432
!4
16
!3
8
!2
4
21)( xxxxxP ++++= 
 
 
 
*Resolver los problemas 4, 5, 6 y 7 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
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Sucesiones y Series 
 282
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
Las series geométricas encuentran su aplicación en el cálculo del valor de una renta perpetua. 
Llamamos renta a una sucesión de pagos efectuados periódicamente a través del tiempo con 
distintas finalidades como la constitución de un capital, la extinción de una deuda, etc. 
Cuando el número de cuotas no es finito, es decir la duración de la renta es ilimitada, la 
misma recibe la denominación de renta perpetua. 
 
Notemos: 
C = capital 
i = interés mensual 
=∞ ),( iV valor de la renta 
1)1( −+= iv factor de actualización 
 
Luego, si 
1
)(
≥nn
v representa el valor actual de cada uno de los pagos, podemos escribir: 
KK +++++=∞
n
vvvviV
321
),( 
KK +⋅++⋅+⋅+⋅=∞
n
vCvCvCvCiV
32),( 
( )KK +++++⋅=∞ nvvvvCiV 32),( 
 
La suma indicada entre paréntesis es la suma correspondiente a una serie geométrica de razón 
1<= vr y por ende convergente. Llamando a dicha suma S, sabemos que se puede calcular 
por la fórmulaINn∈∀
, donde a es el primer término de la serie. 
 
Sustituyendo a por v y r por v, obtenemos: 
i
i
i
i
i
i
v
v
S
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
−+
+
=
+
−
+
=
−
= 
 
Por lo tanto, 
i
CiV
1
),( ⋅=∞ 
 
 
Ejemplo 11: Analicemos el caso de querer saber la deuda que podríamos contraer hoy si 
estuviéramos dispuestos a pagar indefinidamente $50 mensuales con el 5% de interés mensual 
capitalizable por mes comenzando con el primer pago dentro de 30 días. 
1000
05,0
1
50
1
),(
05,0
50$
=⋅=⋅=∞⇒



=
=
i
CiV
i
C
 
 
 
*Está en condiciones de resolver el problema 8 de la guía de trabajos prácticos 
 
 
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