Notas 01 Sucesiones y series - Axel Sánchez Nazario (1)

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SUCESIONES Y SERIES 
1 
 
 
Una sucesión es un arreglo ordenado de números 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … 
 
 
Por ejemplo, los siguientes conjuntos son sucesiones 
 
 𝑎 = { 2 , 3 , 5 , 7 , 9 , 10 } 𝑏 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … } 
 
 
La primera es una sucesión finita, es decir, tiene un número determinado de elementos, mientras que la segunda 
es una sucesión infinita, pues el número de sus elementos nunca termina. 
 
 
Una Sucesión infinita es un arreglo ordenado de un número interminable de elementos. 
 
 
Pero también podemos verla como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, mientras 
que el recorrido de la función son los valores correspondientes 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … 
 
 
{ 𝑎𝑛 }𝑛=1
∞ = { 𝑎𝑛 } = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … 
 
 
Se acostumbra iniciar en 𝑛 = 1 y continuar hasta el infinito. Indicar en la notación que se inicia en 𝑛 = 1 y que 
se continua hasta el infinito, es opcional, por lo que se utiliza con mucha frecuencia sólo {𝑎𝑛} 
 
 
Por otro lado, el uso de la letra 𝑛 es arbitrario, y podremos emplear otras letras para esta designación. 
 
 
En el análisis de una sucesión, lo primero que debemos determinar es cuáles son sus elementos que la integran. 
Pero cuando son muchos elementos, e incluso un número infinito de elementos, debemos establecer mecanismos 
generales para poder describirlos a todos. 
 
 
Esto se conoce como las formas de especificar a una sucesión. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
2 
 
FORMAS DE ESPECIFICAR UNA SUCESIÓN 
 
 
Cuando describimos los elementos de una sucesión tenemos varias opciones, las más comunes son: 
 
 
a) Dando suficientes términos iniciales para establecer un patrón 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , … 
 
 
En esta notación, al observar el comportamiento de los números iniciales, podemos darnos cuenta de cuales 
elementos siguen. En nuestro ejemplo, algunos números que siguen son 16 , 19 , 22 , … 
 
 
b) Mediante una fórmula explícita del término enésimo, conocido por el símbolo 𝑎𝑛 
 
 
𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 1 
 
 
Esta expresión nos permite conocer un elemento de la sucesión con sólo saber el lugar que ocupa. 
 
 
En nuestro ejemplo 
 
 𝑛 = 3 → 𝑎3 = 7 𝑛 = 22 → 𝑎22 = 64 𝑛 = 145 → 𝑎145 = 433 
 
 
Es la forma más utilizada en el trabajo cotidiano, sin embargo, no siempre es fácil encontrar la expresión para una 
sucesión de términos conocida. 
 
 
c) Mediante una fórmula de recurrencia 
 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 3 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 2 𝑦 𝑎1 = 1 
 
 
Como podemos apreciar, conociendo términos previos y una fórmula que los asocié, podemos encontrar al 
siguiente término. Se tiene que indicar el valor de los términos iniciales para empezar a trabajar con ella. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
3 
 
* Ejemplo. Graficar los primeros ocho términos de las siguientes sucesiones en el eje de números reales. 
 
𝑎𝑛 = 1 −
 1 
𝑛
 𝑏𝑛 = 1 + ( −1 )
𝑛 
 1 
𝑛
 𝑐𝑛 = ( −1 )
𝑛 +
 1 
𝑛
 
 
 
Tenemos que ir evaluando los números del 1 al 8 en cada fórmula para saber los elementos que se van acomodando 
en ese orden. 
 
Para 
𝑎𝑛 = 1 −
 1 
𝑛
 
Sus primeros ocho términos son 
 
{ 𝑎𝑛 } = 0 ,
1
2
 ,
2
3
 ,
3
4
 ,
4
5
 ,
5
6
 ,
6
7
 ,
7
8
 
 
 
 
 
Para 
𝑏𝑛 = 1 + ( −1 )
𝑛 
 1 
𝑛
 
Sus primeros ocho términos son 
 
{ 𝑏𝑛 } = 0 ,
3
2
 ,
2
3
 ,
5
4
 ,
4
5
 ,
7
6
 ,
6
7
 ,
9
8
 
 
 
 
 
Para 
𝑐𝑛 = ( −1 )
𝑛 +
 1 
𝑛
 
Sus primeros ocho términos son 
 
{ 𝑐𝑛 } = 0 ,
3
2
 , −
2
3
 ,
5
4
 , −
4
5
 ,
7
6
 , −
6
7
 ,
9
8
 
 
 
 
 
De las gráficas anteriores podemos observar que las sucesiones 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 se están aproximando hacia el valor 1 y 
permanecen cerca de él. Mientras que la sucesión 𝑐𝑛 se aproxima al valor de 1 pero no permanece cerca de él, ya 
que también busca intermitentemente al valor de −1 
 
 
Estas ideas dieron origen al concepto de convergencia. 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
4 
 
* Ejercicio. Para las siguientes sucesiones determina tres términos adicionales a los que se muestran. Además, 
escribe una fórmula para su término enésimo. 
 
{𝑎𝑛} = 1 , −1 , 1 , −1 , 1 , … {𝑏𝑛} = 3 ,
4
3
 ,
5
5
 ,
6
7
 ,
7
9
 
 
 
{𝑐𝑛} = 𝑥 , 𝑥
2 ,
𝑥3
2
 ,
𝑥4
6
 ,
𝑥5
24
 , … 
 
 
 
 
CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN 
 
 
Se dice que la sucesión {𝑎𝑛} converge al valor 𝐿 cuando 
 
lim
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 = 𝐿 
 
 
Una sucesión que no converge a un único número finito 𝐿 se dice que DIVERGE. 
 
 
De manera simple, una sucesión converge cuando sabemos quién es el último término de la lista. 
 
 
Ahora vamos a comparar una sucesión contra una función continua en el plano XY 
 
Sucesión 
𝑎𝑛 = 1 −
1
𝑛
 
Función continua 
𝑓(𝑥) = 1 −
1
𝑥
 
 
 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
5 
 
A simple vista, parece que siguen el mismo camino. Esto es aún más evidente si superponemos ambas gráficas 
en un mismo sistema cartesiano. 
 
 
 
 
Podemos apreciar que ambas están tendiendo al valor de 1 cuando se incrementa el valor de su variable 
independiente: 
 
lim
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛 → ∞
( 1 −
1
𝑛
 ) = 1 lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → ∞
( 1 −
1
𝑥
 ) = 1 
 
 
Pero además, podemos darnos cuenta que la sucesión se comporta como la función continua valuada sólo en 
números enteros. 
 
 
Por esta razón, todos los teoremas sobre límites para funciones continuas, se cumplen para las sucesiones. 
 
 
 
* Ejemplo. Determinar si la siguiente sucesión converge o diverge. 
 
𝑎𝑛 =
3𝑛2
7𝑛2 + 1
 
 
Aplicamos las reglas de los límites con el infinito 
 
lim
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛 → ∞
3𝑛2
7𝑛2 + 1
= lim
𝑛 → ∞
 
3𝑛2
𝑛2
7𝑛2 + 1
𝑛2
= lim
𝑛 → ∞
 
3
7 +
1
𝑛2
=
3
7 + 0
=
3
7
 
 
 
La sucesión converge al valor 3 7⁄ 
 
SUCESIONES Y SERIES 
6 
 
* Ejercicio. Determina si las siguientes sucesiones convergen o divergen. Escribe una fórmula para su término 
enésimo. 
 
{𝑎𝑛} = 1 , −1 , 1 , −1 , 1 , … {𝑏𝑛} = 1 ,
1
4
 ,
1
9
 ,
1
16
 , … {𝑐𝑛} = 2 , 2.5 , 3 , 3.5 , 4 , … 
 
 
 
En ocasiones no es tan simple determinar si el límite existe o no para una sucesión, lo que nos obliga a buscar 
otros métodos para determinar su convergencia o divergencia. 
 
 
Estos métodos son en su mayoría de comparación, y se enlistan en teoremas. 
 
 
TEOREMA DEL EMPAREDADO 
 
 
Si para una sucesión {𝑏𝑛} se cumple que los términos n-ésimos 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 para 𝑛 ≥ 𝑘 siendo k un entero fijo 
cualquiera, y las sucesiones {𝑎𝑛} y {𝑐𝑛} convergen al límite L. 
 
 
Entonces la sucesión {𝑏𝑛} también converge al límite L. 
 
 
 
Revisemos el siguiente ejemplo. Se requiere demostrar que converge la sucesión cuyo término n-ésimo es: 
 
𝑎𝑛 =
 𝑠𝑒𝑛3𝑛 
𝑛
 
 
 
El trabajo más complicado es asegurarnos que la hipótesis del teorema se cumple. 
 
 
Empezamos por recordar que 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑛 ≤ 1 
 
 
Al elevar al cubo toda la desigualdad, no se pierde el orden inicial 
 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛3𝑛 ≤ 1 
 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
7 
 
Como los valores de n son positivos, se cumple que 
 
−
1
𝑛
≤
 𝑠𝑒𝑛3𝑛 
𝑛
≤
1
𝑛
 
 
Al evaluar el límite en toda la expresión 
 
lim
𝑛 → ∞
−
1
𝑛
≤ lim
𝑛 → ∞
 𝑠𝑒𝑛3𝑛 
𝑛
≤ lim
𝑛 → ∞
1
𝑛
 
 
 
Los límites de los extremos son ambos iguales a cero, por lo tanto por el teorema del emparedado 
 
0 ≤ lim
𝑛 → ∞
 𝑠𝑒𝑛3𝑛 
𝑛
≤ 0 
 
 
Concluimos que la sucesión en estudio converge a cero. 
 
 
 
 
TEOREMA DE LA SUCESIÓN EN VALOR ABSOLUTO 
 
 
Si para una sucesión se cumple que 
lim
𝑛 → ∞
| 𝑎𝑛 | = 0 
 
Entonces también se verifica que 
lim
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 = 0 
 
 
Este teorema nos indica que si una sucesión converge a cero con todos sus términos positivos, también converge 
a cero con alguna alternancia de signos o con todos sus signos negativos. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
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SUCESIONES MONÓTONAS 
 
 
Se llaman sucesiones monótonas a aquellas sucesiones que no cambian su comportamiento ascendente
o 
descendente al irse incrementando el valor de 𝑛. 
 
 
No tienen que ser monótonas desde el inicio. Pueden serlo desde un valor k en adelante. 
 
 
Por ejemplo, las siguientes sucesiones son monótonas. Ambas son sucesiones no decrecientes. 
 
{𝑎𝑛} = 𝑛
2 
 
 
{𝑏𝑛} = 1 −
1
𝑛
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE LAS SUCESIONES MONÓTONAS 
 
 
Si U es una cota superior de una sucesión no decreciente {𝑎𝑛} entonces la sucesión converge a un límite igual o 
menor que U. 
 
 
 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
9 
 
En forma semejante, si L es una cota inferior de una sucesión no creciente {𝑏𝑛} entonces la sucesión converge a 
un límite igual o mayor que L. 
 
 
 
 
No es necesario que las sucesiones sean monótonas desde el principio. 
 
 
Revisemos el siguiente ejemplo. Se requiere analizar la convergencia o divergencia de la sucesión 
 
{𝑎𝑛} =
 𝑛2 
2𝑛
 
 
Empezamos calculando algunos de los términos iniciales 
 
1
2
 , 1 ,
9
8
 , 1 ,
25
32
 ,
36
64
 ,
49
128
 , … 
 
 
De donde parece que a partir de 𝑛 = 3 la sucesión es decreciente, es decir, 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 
 
 
Por lo tanto, debemos probar que 
𝑛2
2𝑛
>
(𝑛 + 1)2
2𝑛+1
 
 
 
El desarrollo algebraico es 
 
 
𝑛2
2𝑛
>
(𝑛 + 1)2
2𝑛+1
 → 
2𝑛+1 𝑛2
2𝑛
> (𝑛 + 1)2 → 2𝑛2 > (𝑛 + 1)2 → 𝑛(𝑛 − 2) > 1 
 
 
La última expresión es siempre cierta para 𝑛 ≥ 3 por lo que en efecto, es una sucesión monótona decreciente a 
partir de 𝑛 = 3 
 
SUCESIONES Y SERIES 
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Como la sucesión se encuentra acotada en lo inferior por el valor cero, puesto que las potencias de números enteros 
positivos sólo pueden ser positivas, entonces por el Teorema de las Sucesiones Monótonas, la sucesión en estudio 
converge. 
 
 
De hecho converge a cero como podemos apreciar en la siguiente gráfica. 
 
 
 
 
 
Podemos concluir que la convergencia o divergencia de una sucesión no depende del carácter de los términos 
iniciales, sino de lo que sea verdad para grandes valores de n. 
 
 
 
SERIES INFINITAS 
 
 
Una Serie es una suma ordenada infinita de valores 
 
𝑆 = ∑ 𝑎𝑘
∞
𝑘 = 1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ 
 
 
Estamos realizando la suma de un número infinito de sumandos. 
 
 
A primera vista, la impresión que nos da esta operación es que nunca terminaremos de hacer la suma, y por lo 
tanto no sabremos cual es el resultado. 
 
 
El objetivo de este tema es analizar una serie y determinar si tiene una suma finita, y de ser posible, conocer el 
valor del resultado. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
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CONVERGENCIA DE UNA SERIE 
 
 
Se dice que una serie infinita converge y tiene como suma el valor S, si la sucesión de sumas parciales {𝑆𝑛} 
converge al valor de S. 
 
 
La sucesión {𝑆𝑛} es formada por los valores 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , … en los cuales el subíndice k nos dice cuántos sumandos 
se incluyen en esa suma parcial 
 
 
𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 
 
 
Si la sucesión converge, entonces el último número es conocido, y el valor de ese número es el valor de la suma 
total de la serie original. 
 
 
Si la sucesión de sumas parciales {𝑆𝑛} diverge, entonces la serie diverge. 
 
 
En muchas ocasiones no es tan sencillo determinar la sucesión de sumas parciales o determinar si esa sucesión de 
sumas parciales converge y a qué número converge. 
 
 
Esta situación nos obliga a buscar otros métodos para determinar la convergencia o divergencia de una serie. 
 
 
Los métodos son en su mayoría de comparación, por lo que requerimos apoyarnos en series conocidas cuya 
convergencia o divergencia sean simples de establecer. 
 
 
Dos series de simple inspección para su convergencia o divergencia, y que usamos con mucha frecuencia, son la 
Serie Geométrica y la Serie P. 
 
 
En las siguientes páginas hablaremos de cada una de ellas. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
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SERIE GEOMÉTRICA 
 
Es una serie de potencias en la cual la base, conocida como r, es una constante, mientras que el exponente está 
aumentando de uno en uno. 
 
∑ 𝑎 𝑟𝑘−1
∞
𝑘 = 1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + ⋯ 
 
 
Dependiendo del tamaño de la base r, la serie es convergente o divergente. 
 
 
Si | 𝑟 | < 1 la serie geométrica es convergente, y el valor de la suma se puede conocer con la expresión 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑟
 
 
En la cual el valor de 𝑎 es el valor del primer término de la serie. 
 
 
Si | 𝑟 | ≥ 1 la serie geométrica es divergente, y por lo tanto no es posible determinar el valor de su suma. 
 
 
Por ejemplo, si se requiere determinar la convergencia o divergencia de la serie 
 
4
3
+
4
9
+
4
27
+
4
81
+ ⋯ 
 
 
Empezamos escribiendo una fórmula para su término enésimo. Para hacerlo, observamos que el numerador 4 es 
un elemento común a todos los sumandos, mientras que el denominador es una sucesión de potencias con base 3, 
que se puede escribir así 
𝑎𝑛 = 4 ( 
1
3
 )
𝑛
 
 
 
Podemos darnos cuenta que es una serie de potencias con base constante y exponente que aumenta de uno en uno, 
es decir, es una serie geométrica con 𝑟 = 1 3⁄ , que por ser menor a 1, asegura que la serie es convergente. 
 
El valor de la suma es 
𝑆 =
4
3
1 −
1
3
=
 
4
3
 
2
3
=
 4 
2
= 2 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
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Como pudimos apreciar, es muy sencillo determinar si la serie geométrica es convergente o divergente. Por eso 
es una de nuestras series de comparación más utilizadas. 
 
 
* Ejercicio. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series. 
 
 0.515151 
 
 
* Ejercicio. Se deja caer una pelota desde 30m de altura. Cada vez que golpea el piso, rebota a 2⁄3 de su altura 
anterior. Encuentre la distancia total que recorre hasta detenerse. 
 
 
 
SERIE P 
 
Es una serie de potencias en la cual su base son fracciones que van aumentando su divisor de uno en uno, mientras 
que el exponente es una constante, conocida con la letra p. 
 
 
∑
1
𝑘𝑝
∞
𝑘 = 1
= 1 +
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+
1
4𝑝
+ ⋯ 
 
 
 
Dependiendo del tamaño del exponente p, la serie es convergente o divergente. 
 
 
 
Si | 𝑝 | > 1 la serie P es convergente. Si | 𝑝 | ≤ 1 la serie P es divergente. 
 
 
 
Por ejemplo, la siguiente es una serie P, con 𝑝 = 1.003 que por ser mayor a uno, nos indica que la serie es 
convergente. 
∑
1
𝑘1.003
∞
𝑘 = 1
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
14 
 
Una serie P de uso muy frecuente, conocida como serie armónica, es la siguiente: 
 
 
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ⋯ 
 
 
Su término enésimo es 
𝑎𝑛 =
1
𝑛1
=
1
𝑛
 
 
 
Como el valor de p es igual a 1, entonces la serie diverge. 
 
 
Además de la serie geométrica y la serie P, tenemos otra herramienta muy sencilla para estudiar casos de 
divergencia en series. 
 
 
PRUEBA DEL ENÉSIMO TÉRMINO PARA DIVERGENCIA 
 
 
Se basa en el hecho de que cuando una serie es convergente, siempre se cumple que lim
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 = 0 
 
 
Por lo tanto, cuando 
lim
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 ≠ 0 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
 
Entonces la serie es DIVERGENTE. 
 
 
PRECAUCIÓN: Si el límite es igual a cero, no asegura que la serie será convergente. Un ejemplo de esto es la 
serie armónica. 
 
 
Revisemos un ejemplo de la aplicación de este teorema al analizar la serie 
 
∑
𝑛3
3𝑛3 + 2𝑛2
∞
𝑛 = 1
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
15 
 
Calculamos el límite al infinito de su término enésimo: 
 
 
lim
𝑛 → ∞
𝑛3
3𝑛3 + 2𝑛2
= lim
𝑛 → ∞
 
𝑛3
𝑛3
 
3𝑛3 + 2𝑛2
𝑛3
= lim
𝑛 → ∞
 1 
3 +
2
𝑛
=
1
3 + 0
=
1
3
≠ 0 
 
 
Entonces, por la prueba del enésimo término para divergencia, concluimos que la serie en estudio es divergente. 
 
 
Al estar analizando la convergencia o divergencia de una serie, debemos ser muy cuidadosos de los pasos que 
estamos realizando, y recordar que al ser una demostración, cada uno de esos pasos debe estar argumentado con 
una operación conocida válida o con un teorema
conocido ya demostrado. 
 
 
Saber si una serie es convergente o divergente, es sólo el primer paso para desarrollar ideas más elaboradas del 
cálculo y su aplicación en diversas áreas del conocimiento 
 
 
Para fines de este curso, podemos empezar con las propiedades aplicables a series convergentes. 
 
 
PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES 
 
 
1) Si dos series diferentes convergen, entonces la serie formada con la suma de las dos originales también será 
convergente, y el valor de su suma se podrá obtener con la suma de los valores totales de cada una de las 
sumas originales. 
 
∑ 𝑎𝑘
∞
𝑘 = 1
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 , ∑ 𝑏𝑘
∞
𝑘 = 1
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ⟹ ∑ (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘)
∞
𝑘 = 1
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 
 
 
 
∑ (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘)
∞
𝑘 = 1
= ∑ 𝑎𝑘
∞
𝑘 = 1
+ ∑ 𝑏𝑘
∞
𝑘 = 1
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
16 
 
2) Si una serie converge y tenemos una constante 𝑐 involucrada, entonces se cumple que 
 
∑ 𝑐 𝑎𝑘
∞
𝑘 = 1
= 𝑐 ∑ 𝑎𝑘
∞
𝑘 = 1
 𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
 
 
3) Los términos de una serie convergente pueden ser agrupados de cualquier manera, siempre y cuando se 
conserve su orden, y la nueva serie será convergente y tendrá la misma suma que la serie original. 
 
 
 
4) Si una serie es divergente y se multiplica por una constante 𝑐 ≠ 0 entonces la nueva serie también es 
divergente. 
 
 
 
Estas propiedades, junto a los teoremas y series vistas, permiten calcular algunas sumatorias de forma 
relativamente práctica. Por ejemplo 
 
 
∑ [ 3 ( 
1
8
 )
𝑛
− 5 ( 
1
3
 )
𝑛
 ]
∞
𝑛 = 1
 
 
 
Si observamos con atención, reconoceremos dos series geométricas convergentes, que han sido multiplicadas por 
un escalar cada una. Entonces, la operación se puede realizar así 
 
 
∑ [ 3 ( 
1
8
 )
𝑛
− 5 ( 
1
3
 )
𝑛
 ]
∞
𝑛 = 1
= 3 (
1
8
1 −
1
8
) − 5 (
1
3
1 −
1
3
) =
 
3
8 
7
8
−
 
5
3 
2
3
=
3
7
−
5
2
= −
 29 
14
 
 
 
 
Que es el resultado de la sumatoria requerida. 
 
 
Para un mejor estudio de las series, se acostumbra trabajar primero con series de términos positivos, que son 
aquellas que tienen sus términos no negativos. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
17 
 
PRUEBA DE LA SUMA ACOTADA 
 
Es nuestro primer criterio para determinar la convergencia de una serie. Es un teorema que dice: 
 
 
“Una serie de términos no negativos converge si, y sólo si, sus sumas parciales tienen una cota superior.” 
 
 
La esencia de esta prueba es demostrar que una suma que estamos investigando, tiene una suma que sirve de 
frontera superior con ella, y no puede rebasarla. 
 
 
Por ejemplo, analicemos la convergencia o divergencia de la siguiente serie. 
 
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ ⋯ 
 
 
Si comparamos el factorial del término enésimo con otro producto de igual número de factores, que para fines de 
este caso se eligió una potencia de base 2, con el primer factor igual a 1, se verifica que 
 
 
𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ⋯ 𝑛 ≥ 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ⋯ 2 = 2𝑛−1 
 
 
Esto nos indica que 𝑛! ≥ 2𝑛−1 
 
 
Aplicando las propiedades de las desigualdades 
 
1
𝑛!
≤
1
2𝑛−1
 
 
 
Por lo tanto, al comparar estos valores en dos series infinitas con igual número de sumandos, se cumple que 
 
1 +
1
2!
+
1
3!
+ ⋯ +
1
𝑛!
≤ 1 +
1
2
+
1
4
+ ⋯ +
1
2𝑛−1
 
 
 
La serie de la derecha es una serie geométrica con 𝑟 = 1⁄2 y por lo tanto converge. Como la serie en estudio, que 
está a la izquierda de la desigualdad, se encuentra acotada por una frontera superior, entonces, por la prueba de 
la suma acotada, la serie en estudio converge. 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
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PRUEBA ORDINARIA DE COMPARACIÓN 
 
Este criterio nos ayuda a determinar tanto convergencia como divergencia. Se basa en comparar dos series de 
términos positivos en las cuales se verifica que 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 para todo 𝑛 ≥ 𝑁 siendo N un número cualquiera. 
 
 
Si converge la serie ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛 = 1
 entonces también converge la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛 = 1
 
 
 
Si diverge la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛 = 1
 entonces también diverge la serie ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛 = 1
 
 
 
Lo anterior podemos interpretarlo de la siguiente forma: 
 
 
 
Este método requiere que supongamos una serie de apoyo lo más parecida a la serie de estudio, pero fácil de 
determinar su naturaleza. En muchas ocasiones, cuando se trata de un cociente, la serie de apoyo se puede obtener 
al dividir los valores más grandes del numerador y del denominador en forma directa. 
 
 
En cualquier caso, habrá que demostrar la validez de la hipótesis 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 para todo 𝑛 ≥ 𝑁 
 
 
* Ejercicio. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series. 
 
∑
𝑛
5𝑛2 − 4
∞
𝑛 = 1
 ∑
𝑛
2𝑛 (𝑛 + 1)
∞
𝑛 = 1
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
19 
 
PRUEBA DE COMPARACIÓN DE LÍMITES 
 
Supóngase que para dos series de términos no negativos se cumple que 
 
 
lim
𝑛 → ∞
 𝑎𝑛 
𝑏𝑛
= 𝐿 
 
 
Si 0 < 𝐿 < ∞ entonces las series 
se comportan de igual forma. 
Si 𝐿 = 0 y la serie de apoyo converge, 
entonces la serie de estudio converge 
 
 
 
Nota: la serie de apoyo siempre debe ser el divisor. 
 
 
Esta prueba ya es un poco más flexible que las anteriores, puesto que ya no se requiere conocer cuál es más grande 
que la otra, o que alguna acote a la otra. 
 
 
Sin embargo, aún debemos elegir una serie de apoyo lo más parecida posible a la serie de estudio. 
 
 
* Ejercicio. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series. 
 
∑
3𝑛 − 2
𝑛3 − 2𝑛2 + 5
∞
𝑛 = 1
 ∑
1
√ 𝑛2 + 19𝑛 
∞
𝑛 = 1
 
 
 
 
En los tres métodos vistos, la prueba de la suma acotada, la prueba ordinaria de comparación, y la prueba de 
comparación de límites, se requiere comparar a la serie de estudio con otra serie de apoyo, lo cual no siempre se 
puede establecer fácilmente. 
 
 
Esto nos conduce a preguntarnos, ¿Podrá existir un método que pueda comparar a una serie contra ella misma? 
La respuesta es sí. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
20 
 
PRUEBA DE LA RAZÓN 
 
 
También conocida como criterio de D’Alambert, esta prueba supone que para una serie de términos positivos se 
puede establecer que 
 
lim
𝑛 → ∞
 𝑎𝑛+1 
𝑎𝑛
= 𝑚 
 
Si 𝑚 < 1 la serie converge 
 
Si 𝑚 > 1 la serie diverge 
 
Si 𝑚 = 1 no hay conclusión 
 
 
 
Esta prueba se puede aplicar a cualquier serie, aunque es muy recomendable con series cuyo término enésimo 
contiene 𝑛! o potencias de exponente n. 
 
 
Por su sencillez de aplicación, es la prueba que más utilizamos actualmente. 
 
 
* Ejercicio. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series. 
 
∑
 2𝑛 
𝑛!
∞
𝑛 = 1
 ∑
 2𝑛 
𝑛20
∞
𝑛 = 1
 ∑
 𝑛! 
𝑛𝑛
∞
𝑛 = 1
 
 
 
 
* Resumen del estudio de la convergencia o divergencia de series con términos positivos. 
 
1) Se empieza evaluando la prueba del término enésimo para divergencia. Si el límite es diferente de cero o 
no existe, se concluye que la serie diverge. 
 
2) Si el término enésimo contiene 𝑛! , 𝑟𝑛 , 𝑛𝑛 lo mejor es utilizar la prueba de la razón. 
 
3) Si el término enésimo es un cociente con potencias simples de base n, la prueba de comparación de límites 
será nuestra mejor elección. 
 
4) Como último recurso, se aplica la prueba de comparación ordinaria o la prueba de la suma acotada. 
 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
21 
 
Ya estamos en posibilidad de analizar series en las cuales, algunos términos no sean positivos. 
 
 
SERIE DE TERMINOS CON SIGNOS ALTERNADOS 
 
Es una suma ordenada infinita de valores en la cual, cada término es positivo, pero presenta un factor de 
alternancia de signos, de positivo a negativo, de manera ininterrumpida. 
 
 
𝑆 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑛 > 0 
 
 
 
En este particular tipo de series, si se cumple que 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 > 0 y además 
 
 
lim
𝑛 → ∞
𝑎𝑛 = 0 
 
 
Entonces la serie es convergente. Este método se conoce como prueba
de las series alternantes. 
 
 
Además se puede asegurar que el error cometido al utilizar una suma parcial Sn en vez de la suma total S no es 
mayor al término siguiente del último sumando al que llegamos 
 
 
| 𝑆 − 𝑆𝑛 | < 𝑎𝑛+1 
 
 
Esto significa que si para una serie alternante que cumple esta prueba, calculamos la suma hasta el décimo término, 
el error cometido por dejar de utilizar todos los demás términos de la suma completa, no será mayor que el valor 
del término onceavo. 
 
 
* Ejercicio. Determina si las siguientes series alternantes convergen o divergen. Si convergen, calcula la suma 
hasta el noveno término y da una estimación del error cometido por no usar la suma completa. 
 
 
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ⋯ 
1
1!
−
1
2!
+
1
3!
−
1
4!
+ ⋯ 
 
 
SUCESIONES Y SERIES 
22 
 
PRUEBA DE LA CONVERGENCIA ABSOLUTA 
 
Si una serie converge cuando todos sus términos son positivos, entonces converge cuando algunos de sus términos 
son negativos. 
 
𝑆𝑖 ∑ | 𝑎𝑛 |
∞
𝑛 = 1
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛 = 1
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 
 
 
 
Gracias a esta situación, podemos utilizar nuestro mejor método de análisis de series con términos positivos a 
otras series con signos alternados y no nulos. 
 
 
PRUEBA DE LA RAZÓN ABSOLUTA 
 
Para una serie de términos no nulos se puede establecer 
 
lim
𝑛 → ∞
 | 𝑎𝑛+1 | 
| 𝑎𝑛 |
= 𝑚 
 
Si 𝑚 < 1 la serie converge 
 
Si 𝑚 > 1 la serie diverge 
 
Si 𝑚 = 1 no hay conclusión 
 
 
 
* Ejercicio. Determina si la siguiente serie converge o diverge. 
 
∑ (−1)𝑛+1 
 3𝑛 
𝑛!
∞
𝑛 = 1
 
 
 
Cuando una serie converge en valor absoluto, se dice que es absolutamente convergente, porque converge para 
signos positivos y para signos alternados. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
23 
 
CONVERGENCIA CONDICIONAL 
 
 
En algunos casos, una serie con signos alternados es convergente, pero al usar sólo términos positivos (valor 
absoluto) es divergente. 
 
 
Cuando esto ocurre se dice que la serie es condicionalmente convergente. 
 
 
Evidentemente, la condición de convergencia es la alternancia de signos. 
 
 
* Ejercicio. Determina si las siguientes series tienen convergencia absoluta o condicional. 
 
∑ (−1)𝑛+1 
1
√ 𝑛 
∞
𝑛 = 1
 ∑ (−1)𝑛+1 
 1 
𝑛
∞
𝑛 = 1
 
 
 
Que una serie tenga convergencia absoluta en vez de convergencia condicional tiene sus ventajas, entre los que 
se encuentra el siguiente teorema. 
 
 
TEOREMA DE LA REORDENACIÓN 
 
 
“Los términos de una serie ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE pueden ser re-ordenados sin afectar ni la 
convergencia ni la suma de la serie” 
 
 
 
Hasta este momento, se han analizado todas las series una a una. Sin embargo, es factible estudiar en un solo 
análisis, a todas las series que tengan un patrón común. 
 
 
Este tipo de familias de series, se conocen como series de potencias. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
24 
 
SERIES DE POTENCIAS 
 
En este tipo de series es muy común empezar la sumatoria desde 𝑛 = 0 para permitir que el primero de sus 
términos no tenga potencia de 𝑥 pero que al mismo tiempo se simplifique la expresión del término enésimo. 
 
 
∑ 𝑎𝑛 𝑥
𝑛
∞
𝑛 = 0
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥
2 + 𝑎3 𝑥
3 + ⋯ 
 
 
En ocasiones, las potencias tienen por base a un binomio 
 
 
∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛 = 0
= 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑎) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑎)
2 + 𝑎3 (𝑥 − 𝑎)
3 + ⋯ 
 
 
Cuando el valor de 𝑥 se define en un solo número, es cuando se define también una sola serie de la familia 
completa. 
 
 
Algunas de ellas serán convergentes y otras serán divergentes. Normalmente nos interesan las primeras. 
 
 
El conjunto de valores de 𝑥 que nos aseguran como resultado una serie convergente, se conoce como INTERVALO 
DE CONVERGENCIA, y es siempre uno de los siguientes intervalos: 
 
 
i) El punto 𝑥 = 𝑎 
 
 
ii) El intervalo abierto ( 𝑎 − 𝑅 , 𝑎 + 𝑅 ) donde 𝑅 se conoce como radio de convergencia 
 
En ocasiones, alguno de los puntos frontera o ambos, pueden ser parte del intervalo. Para determinarlo, 
los extremos se analizan por separado. 
 
 
iii) El conjunto de todos los números Reales 
 
SUCESIONES Y SERIES 
25 
 
En el siguiente ejemplo, analizaremos la serie de potencias para determinar su intervalo de convergencia. 
 
∑
 (𝑥 − 1)𝑛 
(𝑛 + 1)2
∞
𝑛 = 0
 
 
 
Aplicando la prueba de la razón absoluta, establecemos el límite 
 
 
lim
𝑛 → ∞
 | 𝑎𝑛+1 | 
| 𝑎𝑛 |
= lim
𝑛 → ∞
 | 
(𝑥 − 1)𝑛+1
(𝑛 + 2)2
 | 
| 
(𝑥 − 1)𝑛
(𝑛 + 1)2
 |
= lim
𝑛 → ∞
 | (𝑥 − 1)𝑛+1 (𝑛 + 1)2 | 
| (𝑥 − 1)𝑛 (𝑛 + 2)2 |
= lim
𝑛 → ∞
 | 𝑥 − 1 |
 (𝑛 + 1)2 
(𝑛 + 2)2
= | 𝑥 − 1 | 
 
 
La prueba de la razón absoluta nos indica que para una serie convergente, el límite obtenido debe ser menor a 
uno, lo que nos obliga a resolver la desigualdad 
 
| 𝑥 − 1 | < 1 ⟹ 0 < 𝑥 < 2 
 
 
Los extremos se analizan por separado. 
 
 
Si 𝑥 = 0 resulta la serie 
∑ (−1)𝑛 
1
(𝑛 + 1)2
∞
𝑛 = 0
 
 
 
Esta es una serie alternante, en la cual 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 > 0 y como 
 
lim
𝑛 → ∞
1
(𝑛 + 1)2
= 0 
 
 
Por la prueba de las series alternantes, es una serie convergente. 
 
 
Si 𝑥 = 2 resulta la serie 
∑ 
1
(𝑛 + 1)2
∞
𝑛 = 0
 
 
Esta es una serie P, donde 𝑝 = 2 es mayor a 1, y por lo tanto es una serie convergente. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
26 
 
Finalmente podemos concluir que para la serie 
 
∑
 (𝑥 − 1)𝑛 
(𝑛 + 1)2
∞
𝑛 = 0
 
 
 
Su intervalo de convergencia es 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 
 
 
Las series de potencia pueden resultar de diferentes procesos y operaciones. A continuación trataremos con uno 
de los más sobresalientes. 
 
 
SERIE DE TAYLOR 
 
Es una serie de potencias definida de la siguiente forma: 
 
 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛 = 0
= 𝑐0 + 𝑐1 (𝑥 − 𝑎) + 𝑐2 (𝑥 − 𝑎)
2 + 𝑐3 (𝑥 − 𝑎)
3 + ⋯ 
 
 
En la cual, el valor de cada coeficiente viene determinado por la operación 
 
 
𝑐𝑛 =
 𝑓(𝑛)(𝑎) 
𝑛!
 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑛)(𝑎) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 
 
 
Cuando 𝑎 = 0 la serie se conoce como serie de Maclaurin. 
 
 
Esta definición establece que una función continua 𝑓(𝑥) tiene una representación equivalente en una serie de 
potencias. 
 
 
Gracias a lo anterior, se pudieron programar en equipos de cálculo y cómputo, las funciones que utilizamos 
actualmente con total naturalidad. 
 
 
Pero queda una pregunta por resolver, ¿siempre se puede construir la serie de Taylor? La respuesta es el siguiente 
teorema. 
 
SUCESIONES Y SERIES 
27 
 
TEOREMA DE TAYLOR 
 
Si una función 𝑓(𝑥) tiene derivada de todos los órdenes en el intervalo ( 𝑎 − 𝑟 , 𝑎 + 𝑟 ), una condición necesaria 
y suficiente para que una serie de Taylor la represente, es que 
 
 
lim
𝑛 → ∞
𝑅𝑛(𝑥) = lim
𝑛 → ∞
 𝑓(𝑛+1)(𝑎) 
(𝑛 + 1)!
 (𝑥 − 𝑎)𝑛+1 = 0 
 
 
Este último término se conoce como residuo de Taylor. 
 
 
* Ejemplo. Determina la serie de Maclaurin para 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
Por tratarse de una serie de Maclaurin, todas las derivadas que se obtengan las evaluamos en 𝑥 = 0 
 
 
A continuación, obtenemos de 8 a 10 derivadas de orden superior para la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 que es la derivada 
cero, o función primitiva. 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓(0) = 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 
 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓′(0) = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 
 
𝑓′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓′′(0) = −𝑠𝑒𝑛 0 = 0 
 
𝑓′′′(𝑥) = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓′′′(0) = − 𝑐𝑜𝑠 0 = −1 
 
𝑓(4)(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓(4)(0) = 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 
𝑓(5)(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓(5)(0) = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 
 
𝑓(6)(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓(6)(0) = 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 
 
𝑓(7)(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓(7)(0) = −𝑐𝑜𝑠 0 = −1 
 
𝑓(8)(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓(8)(0) = 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 
 
𝑓(9)(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓(9)(0) = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 
 
 
Con los valores obtenidos, construimos la serie de potencias 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
0
0!
𝑥0
+
1
1!
𝑥1 +
0
2!
𝑥2 +
−1
3!
𝑥3 +
0
4!
𝑥4 +
1
5!
𝑥5 +
0
6!
𝑥6 +
−1
7!
𝑥7 +
0
8!
𝑥8 +
1
9!
𝑥9 + ⋯ 
 
 
Al hacer las operaciones llegamos a 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+
𝑥9
9!
−
𝑥11
11!
+ ⋯ 
 
SUCESIONES Y SERIES 
28 
 
Con los términos encontrados, podemos determinar la fórmula del término enésimo, así como los términos 
siguientes: 
 
∑ (−1)𝑛
∞
𝑛 = 0
𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
 
 
 
Que es la serie de Maclaurin para 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
 
* Ejercicio. Para terminar estas notas, determina la serie de Maclaurin para 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
 
Como se puede ver, con un poco de paciencia podemos encontrar la serie de potencias de muchas funciones 
cotidianas y así tendremos la forma de programarlas en un dispositivo electrónico.