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1 INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL CALCULO INTEGRAL ALUMNO: CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 UNIDAD: 4 Series. DOCENTE: ING. RODOLFO ABDIEL CERON DELGADO CARRERA: INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES CERRO AZUL, VER .2022 2 Series. 4.1 Definición de sucesión. SUCESIÓN. - Si el dominio de una función es el conjunto de enteros positivos, entonces los elementos en el rango pueden arreglarse en un orden correspondiente a los valores crecientes de n: ... se consideran funciones cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyos elementos del rango son números reales. Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos (naturales), suele denotarse mediante sirve para números naturales http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(n) http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(1),f(2),f(3),......,f(n) http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=(a_%7Bn%7D)o(a_%7Bn%7D)%5E%7Boo%7D_%7Bn=1%7D. https://sites.google.com/site/ciclopezlopezmiriamj/4-series/4-1-definicion-de-sucesion/1.png?attredirects=0 3 4.2 Definición de serie. Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina. Por ejemplo, 1,4,9,16,25 Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie: 1+4+9+16+25 Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o series finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama sucesión infinita. El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos. 4.2.1 Finita Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 2, 4, 8, 16, 32, 64,.... 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 3, 6, 10, 12, 14, 20 Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita. xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series. xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. http://1.bp.blogspot.com/-0DBMd-Kw4dA/TeQTzglJFoI/AAAAAAAAACE/PJ2gixnk1uA/s1600/6.jpg 4 En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series. 4.2.2 Infinita Es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada entero positivo. Mas formal mente una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a1 ,a2 ,a3,...., simplemente por {an} Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para establecer un patrón como en 1, 4, 7, 10, 13, .... mediante una formula explicita para el n-énesimo termino, como en an = 3n-2, n ≥ 1 Para alguna , sea y . Entonces por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo . 5 4.3 Serie numérica y convergencia. Criterio de la razón. Criterio de la raíz. Criterio de la integral. Convergencia: considere las cuatro sucesiones recién definidas. Cada una tiene valores que se aplican cerca de 1. Para que una sucesión converja a 1, primero debe ocurrir que los valores e la sucesión se acerquen a 1. Pero deben de hacer algo más que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n más allá e cierto valor. Esto descarta la sucesión {cn}. además, cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, entro de cualquier distancia no anulada con respecto a 1, lo cual incluye a {dn}. Aunque la sucesión {dn} no converge; decimos que diverge. definición: La sucesión {an} se dice que converge a L y escribimos: Lim n->∞ , an=L Si para cada número positivo ɛ existe un numero positivo correspondiente a N tal que n>= N -> |an-L|< ɛ Si no hay un numero finito L al que converja una sucesión, se dice que este diverge, o que es divergente. **Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razón) Sea una serie Ʃk=1(ak), tal que ak > 0 ( serie de términos positivos). Si existe Con {L €[0,+ ∞)} , el Criterio de D'Alembert establece que: • si L < 1, la serie converge. • si L > 1, entonces la serie diverge. • si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe. **Criterio de Cauchy (Raíz Enécima) Entonces, si: http://1.bp.blogspot.com/-9Rh-C0GDCIw/T_zDB_ZznqI/AAAAAAAAAEA/5Z28PgqIDzA/s1600/1.png http://1.bp.blogspot.com/-VVRuvrUCKH0/T_zEIYmRxMI/AAAAAAAAAEI/54HJTkTHl1s/s1600/2.png 6 • L < 1, la serie es convergente. • L > 1 entonces la serie es divergente. • L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión. 4.4 Series de potencias. Series de Potencias Una serie de potencias es aquella que tiene la forma: En donde “x” es una variable y los cn son constantes, llamadas “constantes de la serie” y cada “x”, fija, la serie (1) es una serie de constantes que podemos probar para ver si es convergente. Una serie de potencias puede converger ante ciertos valores de “x” y divergir de otros. La suma de la serie de una función: Cuyo dominio es el conjunto de todas las para las cuales la serie es convergente. Observe que es parecida a un polinomio. La única diferencia es que tiene una cantidad infinita de términos. Se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a o serie de potencia alrededor de a. Ejemplo: ¿Para qué valores de la serie es convergente? Al aplicar la regla de comparación. Si denota con como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, después Si . http://2.bp.blogspot.com/-H9NXsxrvPd0/T_3g6DpTMeI/AAAAAAAAACM/UoA5BsFiw_4/s1600/1c.bmp http://4.bp.blogspot.com/-OCOhNsMPfCQ/T_3hLvDfR7I/AAAAAAAAACU/wggQyg6pEa0/s1600/2c.bmp http://2.bp.blogspot.com/-xqFTTnw4xbc/T_3hYNO6QaI/AAAAAAAAACc/83xiolGEQHs/s1600/3c.bmp http://3.bp.blogspot.com/-62Rd4UbkU3I/T_3huhLGfFI/AAAAAAAAACk/AknwAlPBT8g/s1600/4c.bmp 7 Según la regla de comparación, la serie es divergente cuando. En estos términos, la serie dada converge cuando x=0 4.5 Radio de convergencia. El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie. Toda función analítica f(z) tiene asociada una serie de potencias en torno un punto no singular, denominada serie de Taylor: Figura 1. La gráfica muestra la serie de potencias en torno al valor a=1 para la función f(x). Su radio de convergencia es r=2. Fuente: Fanny Zapata. Donde a es el centro del círculo de convergencia, z la variable independiente de la función y los cn son coeficientes relacionados con las derivadas de la función f en el punto z=a. El radio de convergencia r es un número real positivo que define la región: https://www.lifeder.com/graficas/ 8 |z – a| < r Donde la serie converge. Fuera de esa región la serie diverge, es decir toma valores infinitos. Cuandoel radio de convergencia es infinito, entonces la serie converge en todo el plano complejo. Índice del artículo ¿Cómo se determina el radio de convergencia? Para que una serie sea convergente es necesario que el valor absoluto de los términos sucesivos vaya en disminución cuando el número de términos sea muy grande. En forma matemática se expresaría de la siguiente manera: Usando las propiedades de los límites en la expresión anterior se obtiene: Aquí r es el radio de convergencia y |z – a| < r es el círculo de frontera abierta en el plano complejo donde la serie converge. En caso que el valor a y la variable z sean números reales, entonces el intervalo abierto de convergencia sobre el eje real será: (a – r, a+r). Serie de Taylor La serie de Taylor de una función f(x) en torno a un valor a en el que la función tiene infinitas derivadas, es una serie de potencias que se define como: 9 En el entorno | x – a | < r, con r como el radio de convergencia de la serie, se tiene que la serie de Taylor y la función f(x) coinciden. Por otra parte, el radio de convergencia r es la distancia que hay del punto a y la singularidad xs más cercana al punto a, siendo los puntos singulares aquellos valores donde el límite de la función tiende a infinito. Es decir, que cuando x → xs entonces f → ±∞. Ejemplos Ejemplo 1 Sea S(x) la serie de potencias dada por la siguiente expresión: S(x) = 1 – x + x2– x3+ x4– …….+(-1)n ⋅ xn + …. Para determinar la región donde la serie converge, calculamos el cociente entre el término (n-ésimo + 1) y el término (n-ésimo): El valor absoluto del cociente anterior es |x| y su límite cuando n → ∞ también es |x|. Para que la serie sea convergente es necesario que: Entonces el radio de convergencia de esta serie es r=1, ya que la misma converge para los valores de x que están a una distancia menor que 1 respecto del centro x = 0. Ejemplo 2 10 Se quiere encontrar la serie de Taylor de la función f(x) = 1 / (1 + x) en torno al punto x=0 y determinar su radio de convergencia. Para encontrar la serie tomamos las derivadas sucesivas de la función f(x), de las cuales mostraremos las tres primeras: Tomando en cuenta que el término de orden cero de la serie de Taylor es: f(0)=1, El de primer orden: f’(0)/1! Segundo orden: f’’(0)/2! Tercer orden: f’’’(0)/3! Y así sucesivamente, se tiene que la serie de Taylor de la función dada es: f(x) = 1 – x + x2 – x3 + x4 – …….+(-1)n ⋅ xn + …. Que coincide con la serie de potencia estudiada en el ejemplo 1. Ya hemos dicho que el radio de convergencia de una serie de Taylor es la distancia desde el centro de la expansión en serie, que en nuestro caso es el valor x=0 hasta la primera singularidad de la función f(x). https://www.lifeder.com/potencia-fisica/ 11 Como nuestra función tiene una singularidad (es decir, un infinito) en x = -1, la distancia entre el valor -1 y el centro de expansión 0 es |-1 – 0| = 1, se concluye que el radio de convergencia de la serie de Taylor es 1. Este resultado coincide plenamente con el obtenido en el ejemplo 1 por otro método. El hecho de que la zona de convergencia de la serie de Taylor sea el intervalo abierto (-1, 1) implica que la función y la serie coinciden en este intervalo, pero no fuera del mismo. Eso se muestra en la figura 2, donde se han tomado 41 términos de la serie de Taylor, dibujada mediante la línea azul continua, mientras que la función original se muestra en línea roja de segmentos. Figura 2. Se muestra la función f(x) (en rojo) y su serie de potencias (o serie de Taylor en azul). Puede verse como los primeros 41 términos de la serie convergen entre -1 y 1. Además la función y su serie coinciden solo en la región de convergencia. 4.6 Serie de Taylor. 12 La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc. La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: ¡Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_abierto http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylor http://1.bp.blogspot.com/-fG5lRPrcUig/Td1dccJUEhI/AAAAAAAAAA8/oigbvvWRu04/s1600/grafica2.jpg http://1.bp.blogspot.com/-xgx9z8v-jUk/Td1dy_oiwXI/AAAAAAAAABA/Nd5p1jqJ4ng/s1600/2.PNG 13 coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo, f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. ¡Donde n! es el factorial de n F(n) es la enésima derivada de f en el punto a Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por: La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. ¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”? La ecuación para el término residual se puede expresar como: Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia. Existen series de Taylor para: • Función exponencial • Logaritmo natural Error de Propagación: Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la http://es.wikipedia.org/wiki/Singularidad http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurent http://1.bp.blogspot.com/-V_0Rs6oSCDg/Td1eTNewIAI/AAAAAAAAABE/qhaY5S47fXg/s1600/2.1.PNG http://4.bp.blogspot.com/-07X0J5ghNbM/Td1e6hF9lWI/AAAAAAAAABI/ikytPML9lEk/s1600/2.3.PNG14 discrepancia entre u y ũ en el valor de la función. Función e Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí. Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto numero de derivaciones, como la función e. Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da. Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie. Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que el resultado sea más preciso. Todo esto fue para ver cómo es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya está, por ejemplo: http://2.bp.blogspot.com/-RBrLe3w12xA/Td1f5n1sMdI/AAAAAAAAABM/0mESGa0rnws/s1600/2.4.PNG http://4.bp.blogspot.com/-v5byUo2e5eI/Td1gjxXMACI/AAAAAAAAABQ/v2L8M1ZLfMU/s1600/2.5.PNG http://3.bp.blogspot.com/-oyFxotKjImY/Td1g2_T3UTI/AAAAAAAAABU/x3X6tGXHue4/s1600/2.6.PNG 15 Función Coseno Para el coseno el procedimiento es el mismo. Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón. Después se va llenando la serie de Taylor para después hacer una ecuación general: Por último, se desarrolla la ecuación general para cualquier caso: http://1.bp.blogspot.com/-airg2T1ReBU/Td1hQrWcuxI/AAAAAAAAABY/NUwyhtz_fuQ/s1600/2.7.PNG http://4.bp.blogspot.com/-mMQzw53yVuc/Td1hzbdI8tI/AAAAAAAAABc/JkNPtWNa7hc/s1600/2.8.PNG http://1.bp.blogspot.com/-fdSt7f8FmZY/Td1ic-K8uoI/AAAAAAAAABg/vUDnNhO6FU8/s1600/2.9.PNG http://1.bp.blogspot.com/-oUPUTscJIBA/Td1ivLmc4PI/AAAAAAAAABk/s5q6TyJoYcA/s1600/3.PNG 16 4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r). Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. A continuación, se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos. Función exponencial y logaritmo natural: Serie geométrica: https://1.bp.blogspot.com/--jwryAc24Uo/Xt6rZXbpHQI/AAAAAAAAAEA/JLKZDDOTecQsfzz0NltSpNt6zARJUieTACK4BGAsYHg/s200/images%2B%25281%2529.jpeg https://1.bp.blogspot.com/-qo3ijNnWpUs/ULv5bhFVkGI/AAAAAAAAAFs/oVmgHXVtp-k/s1600/1.png https://4.bp.blogspot.com/-yaZv1RWzAII/ULv5cTjEALI/AAAAAAAAAF0/lNdFSRZP3TQ/s1600/2.png 17 Teorema del binomio: Funciones trigonométricas: https://3.bp.blogspot.com/-6JvOY6T-nTM/ULv5dXa9ZwI/AAAAAAAAAF8/hP64otz_brU/s1600/3.png https://2.bp.blogspot.com/-hjz07KWBwWo/ULv689X9tSI/AAAAAAAAAGU/z-B-Bs6qBfk/s1600/1.png https://2.bp.blogspot.com/-iDSiGWdLals/ULv6pqH_y4I/AAAAAAAAAGE/J--i-v6jNbE/s1600/1.png https://4.bp.blogspot.com/-o2tPFAS3Itw/ULv6q4dE2PI/AAAAAAAAAGM/K3RpIjVPFU8/s1600/2.png 18 4.8 Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además, el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación. La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos, es la serie de potencias: O en forma compacta: que puede ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n yf(n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia fy(x− a)0 y 0! son ambos definidos como uno. CASO DE UNA VARIABLE Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si n ≥ 0 es un entero y una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a, x] y n +1 veces en el intervalo abierto (a, x). Donde denota la factorial de , y es el resto, término que depende de "x" y es pequeño si x está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación: donde y "x", pertenecen a los números reales, "n" a los enteros y es un número real entre y "x": 19 Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral. Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto "a" y son denominadas funciones analíticas. El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables. CASO DE VARIAS VARIABLES El teorema de Taylor anterior puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier : Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad: para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores. 20 Bibliografía (s.f.). Obtenido de https://sites.google.com/site/ciclopezlopezmiriamj/4-series/4-1- definicion-de-sucesion Adrian, S. R. (s.f.). blogspot. Obtenido de http://unidad4series.blogspot.com/2012/07/42-serie-numerica-y- convergencia-prueba.html Bautista, O. J. (s.f.). blog spot. Obtenido de http://oswango- investigacion.blogspot.com/p/unidad- 4.html#:~:text=Una%20serie%20es%20una%20sucesi%C3%B3n,formados %20seg%C3%BAn%20una%20ley%20determina.&text=Cuando%20el%20 n%C3%BAmero%20de%20t%C3%A9rminos,sucesi%C3%B3n%20o%20ser iede%20llamasucesi%C3%B3n%20 Hernandez, F. V. (s.f.). blog spot. Obtenido de http://fermnn.blogspot.com/2012/07/43-serie-de-potencias.html IVAN, H. M. (s.f.). blog spot. Obtenido de http://calculointegralunidad4.blogspot.com/2012/07/411-finita.htmlIVAN, H. M. (s.f.). blog spot. Obtenido de http://calculointegralunidad4.blogspot.com/2012/07/412-infinita.html IVAN, H. M. (s.f.). blogspot. Obtenido de http://calculointegralunidad4.blogspot.com/2012/07/47-calculo-de- integrales-de-funciones.html porfirio, r. (s.f.). blogspot. 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