Calculo_Integral_2do_parcial

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 
Libro de Texto 
Agosto 2021 – Enero 2022 
Plantel: ___________________________________________ 
 
 
Nombre del Alumno: __________________________________ 
_________________________________________________ 
 
 
Carrera: __________________________________________ 
 
Semestre: _______ Grupo: ______ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Integral 
 
 
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eje: Pensamiento y lenguaje variacional. 
 
Componentes: Cambio y acumulación: Elementos del Cálculo integral. 
 
Contenido central: Antiderivada de funciones elementales (algebraicas y 
trascendentes) 
 
Contenido específico: 
Técnicas para obtener la antiderivada. ¿Qué significa integrar una función?, ¿podrías 
imaginar el llenado y vaciado de un recipiente en términos de la integración? ¿Qué 
patrones reconoces para la integral de x, x2, x3 ...? 
 
 
Aprendizajes esperados: 
 
AE1. Descubre relaciones inversas entre derivación e integración: “Si de una función se 
obtiene su derivada, qué obtengo si de esa derivada encuentro su antiderivada”. 
 
AE2. Interpreta, por extensión o generalización, la integral indefinida de funciones 
polinomiales y trigonométricas básicas (inmediatas). 
 
AE3. Encuentra la integral de funciones mediante el cambio de variable. 
 
AE4. Obtiene la integral de productos de funciones (algebraicas con trigonométricas, 
logarítmicas y exponenciales) – integración por partes –. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En este parcial se abordará una segunda e importantísima área de estudio del cálculo: el 
cálculo integral. El cálculo diferencial es útil para estudiar las razones de cambio y las 
pendientes de tangentes, por lo que desarrolla métodos y aplicaciones que involucran a 
la derivada de una función conocida. Un aspecto fundamental del cálculo integral es 
determinar las áreas que se encuentran entre curvas y otras fronteras definidas. 
Asimismo, si se conoce la derivada de una función, con el cálculo integral podrá 
obtenerse la función original. 
Hallar una función de la que es conocida su derivada es lo que se conoce habitualmente 
por Integración. Sin embargo, este proceso adquiere una relevancia sustancial, cuando 
mediante la Regla de Barrow, es posible relacionar el cálculo de antiderivadas con el de 
áreas de regiones planas y sólidos de revolución. 
El símbolo de la integral ∫ fue introducido por Leibniz en el siglo XVII y es como una S 
alargada, ya que la integral es el límite de una suma. La integración de funciones es la 
operación inversa de la derivación, es decir, integrar una función 𝒇 significa encontrar una 
función 𝑭 cuya derivada es 𝒇´. 
Se pretende profundizar en el proceso recíproco al de la derivación, o cálculo de la 
integral indefinida para lo cual se abordarán las integrales indefinidas algebraicas, 
trigonométricas, exponenciales, asimismo, se explicarán dos métodos de integración, el 
primer método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que 
permita convertir el integrando en algo sencillo: integración por sustitución o cambio de 
variable; en tanto, en el segundo método de integración se encuentra la integral de un 
producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas, se 
trata de la integración por partes. 
Actividad diagnóstica 
1. Transforma una expresión con exponentes Negativos en una expresión 
equivalente con exponentes positivos (ley del exponente negativo): 
 
a) 𝑥−4 = 
 
c) 𝑥−1 = 
 
b) 𝑥−3 = 
 
d) 
3
2
𝑥−5 = 
 
 
 
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2. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales (ley de radicales): 
a) √𝑥 = 
 
c) √𝑥
3
= 
 
b) √𝑥3
5
= 
 
d) √𝑥7 = 
 
 
3. Escribe como radical las potencias siguientes (ley de exponente 
fraccionario): 
a) 𝑥1 2⁄ = 
 
c) 𝑥3 4⁄ = 
b) 𝑥1 3⁄ = 
 
d) 𝑥−3 4⁄ = 
 
 
4. Deriva las siguientes funciones: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 
 𝑓´(𝑥) = 
c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 
 𝑓´(𝑥) = 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 𝑓´(𝑥) = 
d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥 − 2 
 𝑓´(𝑥) = 
 
 
Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja mejor los 
conocimientos previos que posees. 
 
 
Indicador de desempeño 
Nivel 
Excelente Bueno Elemental Insuficiente 
Utilizo la ley del exponente negativo. 
Utilizo la ley de radicales. 
Utilizo la ley de exponentes fraccionarios. 
Calculo las derivadas de funciones 
algebraicas básicas. 
 
 
 
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1. Función primitiva y la integral indefinida 
 
Sabemos que en matemáticas las operaciones tienen sus inversas; por ejemplo, la 
adición y la sustracción, la multiplicación y la división, elevar a una potencia y extraer una 
raíz, etcétera. 
 
En el cálculo integral sucede exactamente lo mismo; la integración es una operación 
inversa a la derivación. 
 
En el cálculo diferencial aprendimos que si 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces la derivada de la función 
es 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓´(𝑥); o bien si empleamos diferenciales, la de la función es: 
 
𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 (definición de diferencial) 
 
El problema fundamental del cálculo integral depende de la operación inversa a la 
diferenciación, es decir: 
 
Lo anterior se puede resumir con la siguiente ilustración: 
 
 
𝑭(𝒙) es antiderivada o primitiva de 𝒇(𝒙) 
 
La condición que debe caracterizar a 𝒅𝒚 para que admita la función primitiva sobre un 
intervalo es que debe tener continuidad en el intervalo. 
Función 
primitiva
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓´(𝑥)
Diferencial
𝑑𝑦 = 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥
Antiderivada o Integral
න 𝑑𝑦 = න 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Hallar una 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuya diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 es conocida. 
 
 
 
 
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La función primitiva 𝒇(𝒙) que así se obtiene se llama integral o antiderivada de la 
expresión diferencial dada; el procedimiento para hallarla se llama integración y la 
operación se indica escribiendo el signo integral ∫ delante de la expresión diferencial; de 
manera que: 
∫ 𝒇´(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪, donde C es una constante. 
 
Función Derivada Diferencial Integral 
(Antiderivada) 
1. 𝑦 = 𝑥3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2 
 
𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 
න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝐶 
2. 𝑦 = 𝑥3 + 𝟓 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2 
 
𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 
 
න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑪 
3. 𝑦 = 𝑥3 − 𝟒 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2 
 
𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 
 
න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑪 
4. 𝑦 = 𝑥3 −
𝟕
𝟑
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2 
 
𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 
 
න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑪 
Cuando se integra una diferencial dada, lo que realmente se está obteniendo es una 
familia de funciones de la forma 𝑓(𝑥) + 𝐶, donde C se denomina constante de integración; 
y es una constante arbitraria porque se le puede asignar cualquier valor real. En la tabla 
anterior se observar una familia de funciones de la forma 𝑥3 + 𝑪 en la que la constante es 
diferente en cada ejemplo. 
 
De ahí viene el nombre de Integral Indefinida y siempre va acompañada de C, la 
constante de integración. 
 
 
2. Integrales indefinidas de funciones algebraicas 
 
Las fórmulas de integrales inmediatas o antiderivadas que se utilizarán en este apartado 
son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪 
2. ∫ 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪 
3. ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪, donde 𝒏 ≠ −𝟏 
 
Cuando 𝒖 = 𝒙, entonces: 
𝒂) න 𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 
4. ∫
𝒅𝒖
𝒖
= ∫ 𝒖−𝟏 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪, donde 𝒏 = −𝟏 
 
 
 
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Propiedades de linealidad de la integral indefinida 
 
 
 
Calcula las siguientes integrales algebraicas: 
 
 
Ejemplo 1. ∫ 𝟓 𝒅𝒙 
Solución. Se aplica lafórmula 2. ∫ 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪: 
 
න 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝑪
Ejemplo 2. ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
Solución. Se aplica el segundo principio de linealidad y después la fórmula 3a) 
∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 
න 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 න 𝒙 𝒅𝒙 
 
 = 𝟑 (
𝒙𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
) + 𝑪 
 
 =
𝟑𝒙𝟐
𝟐
+ 𝑪 
 
 න 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟑𝒙𝟐
𝟐
+ 𝑪 =
𝟑
𝟐
𝒙𝟐 + 𝑪 
 
1. La integral indefinida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a 
la suma algebraica de sus integrales. 
න[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝑪 
2. El factor constante se puede ubicar fuera del signo de la integral, es decir, 
න 𝒌 𝒇(𝒙) = 𝒌 න 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 
 
 
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Ejemplo 3. ∫ 𝒙𝟓 𝒅𝒙 
 
Solución. Se utiliza la fórmula 3a) ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 y se resuelve: 
න 𝒙𝟓 =
𝒙𝟓+𝟏
𝟓 + 𝟏
+ 𝑪 
 = 
𝒙𝟔
𝟔
+ 𝑪 
 
න 𝒙𝟓 =
𝒙𝟔
𝟔
+ 𝑪 
 
 
Ejemplo 4. ∫ 𝟐𝒙𝟒𝒅𝒙 
 
Solución. Se utiliza la fórmula 3a) ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 considerando el segundo principio 
de linealidad: 
න 𝟐𝒙𝟒𝒅𝒙 = 𝟐 න 𝒙𝟒𝒅𝒙
 = 𝟐 (
𝒙𝟒+𝟏
𝟒 + 𝟏
) + 𝑪
න 𝟐𝒙𝟒𝒅𝒙 =
𝟐𝒙𝟓
𝟓
+ 𝑪 
Ejemplo 5. ∫ 𝟗𝒙
𝟒
𝟓⁄ 𝒅𝒙 
 
Solución. Se utiliza la fórmula 3a) ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 considerando el segundo principio 
de linealidad: 
 
න 𝟗𝒙
𝟒
𝟓⁄ 𝒅𝒙 = 𝟗 න 𝒙
𝟒
𝟓⁄ 𝒅𝒙
 = 𝟗 (
𝒙
𝟒
𝟓
+
𝟓
𝟓
𝟒
𝟓
+
𝟓
𝟓
) + 𝑪 
 = 𝟗 
𝒙
𝟗
𝟓
𝟗
𝟓
+ 𝑪 
 
 
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donde: 
9
9
5
=
9
𝟏
9
5
=
9(5)
𝟏(9)
=
5
1
= 5, se trata de multiplicar extremo por extremo 9(5) y medios 
por medios 1(9).
∫ 𝟗𝒙
𝟒
𝟓⁄ 𝒅𝒙 = 𝟓𝒙
𝟗
𝟓 + 𝑪
Como el exponente de 𝒙 es fraccionario 𝒙
𝟒
𝟓⁄ se usa la Ley de radicales √𝒙𝒎
𝒏
= 𝒙
𝒎
𝒏 
 
න 𝟗𝒙
𝟒
𝟓⁄ 𝒅𝒙 = 𝟓√𝒙𝟗
𝟓
+ 𝑪 
 
 
Recuerda que: 1 =
2
2
=
3
3
=
4
4
=
5
5
=
6
6
=
7
7
=
8
8
… =
𝑛
𝑛
Ejemplo 6. ∫
𝟔
𝒙𝟒
 𝒅𝒙
Solución. Primero se usa la ley del exponente negativo 𝒙−𝒏 =
𝟏
𝒙𝒏
 para que la potencia 
𝑥4 pase al numerador con signo contrario, 𝑥−4: 
න 𝒌𝒙𝒏 = 𝒌 න 𝒙𝒏𝒅𝒙
 = 𝒌
𝒙𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪
∫
𝟔
𝒙𝟒
 𝒅𝒙 = ∫ 𝟔𝒙−𝟒 𝒅𝒙 
 
 = 6 ∫ 𝑥−4 𝑑𝑥 
 
 =
 6𝑥−4+1
−4+1
+ 𝐶 
 
 =
6𝑥−3
−3
+ 𝐶 
 
 = −2𝑥−3 + 𝐶 
 
 ∫
𝟔
𝒙𝟒
 𝒅𝒙 = −
𝟐
𝒙𝟑
+ 𝑪 
 
Al final del ejercicio se utilizó la ley del exponente negativo −2𝑥−𝟑 = −
𝟐
𝒙𝟑
 
 
 
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Ejemplo 7. ∫ 𝟐 √𝒙
𝟑
 𝒅𝒙 
 
Solución. Primero se usa la Ley de radicales √𝒙𝒎
𝒏
= 𝒙
𝒎
𝒏 para convertir a exponente 
fraccionario, luego se aplica la fórmula 3a) ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 y se resuelve: 
 
 ∫ 𝟐 √𝒙
𝟑
 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒙
𝟏
𝟑 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒙
𝟏
𝟑 𝒅𝒙 
 
=
𝟐 𝒙
𝟏
𝟑
+
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
+
𝟑
𝟑
+ 𝑪 
 
 =
𝟐𝒙𝟒 𝟑⁄
𝟒
𝟑
+ 𝑪 
2
4
3
=
2
𝟏
4
3
=
2(3)
𝟏(4)
=
6
4
=
3
2
 
 
 = 
𝟑
𝟐
𝒙𝟒 𝟑⁄ + 𝑪 Usando la ley de radicales, queda: 
∫ 𝟐√𝒙
𝟑
 𝒅𝒙 =
𝟑
𝟐
 √𝒙𝟒
𝟑
+ 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 8. ∫
𝒅𝒙
√𝒙𝟑
𝟒
 
Solución. Primero se aplica la ley de radicales, luego la ley del exponente negativo y se 
resuelve: 
 
න
𝒅𝒙
√𝒙𝟑
𝟒 = න
𝒅𝒙
𝒙
𝟑
𝟒
= න 𝒙−
𝟑
𝟒 𝒅𝒙
=
𝒙
− 
𝟑
𝟒
+
𝟒
𝟒
− 
𝟑
𝟒
+
𝟒
𝟒
+ 𝑪
 =
𝒙
𝟏
𝟒
𝟏
𝟒
+ 𝑪 Se divide 𝟏 ÷
𝟏
𝟒
 
𝟏
𝟏
𝟒
=
𝟏
𝟏
𝟏
𝟒
=
𝟏(𝟒)
𝟏(𝟏)
=
𝟒
𝟏
= 𝟒 
 
 = 𝟒𝒙
𝟏
𝟒 + 𝑪 
 
 
 ∫
𝒅𝒙
√𝒙𝟑
𝟒 = 𝟒√𝒙
𝟒
+ 𝑪 
 
 
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Ejemplo 9. ∫(𝟓𝒙𝟑 − 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙 
 
Solución. Se utiliza el primer principio de linealidad y se resuelve usando las fórmulas 
2b) y 1. 
න(𝟓𝒙𝟑 − 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 = න 𝟓𝒙𝟑 𝒅𝒙 − න 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 − න 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + න 𝟒 𝒅𝒙 
 
 = 𝟓 ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 
 
 =
𝟓𝒙𝟑+𝟏
𝟑+𝟏
−
𝟑𝒙𝟐+𝟏
𝟐+𝟏
−
𝟐𝒙𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
+ 𝟒𝒙 + 𝑪 
 
 =
𝟓𝒙𝟒
𝟒
−
𝟑𝒙𝟑
𝟑
−
𝟐𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝑪 
 
 ∫(𝟓𝒙𝟑 − 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 =
𝟓𝒙𝟒
𝟒
− 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 
 
 
Ejemplo 10. ∫ (
𝟒𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐−𝒙
𝒙
) 𝒅𝒙 
 
Solución. Primero se resuelve la división, enseguida se aplica el primer principio de 
linealidad, luego las fórmulas 1, 2b) y se resuelve: 
 
𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙
𝒙
=
𝟒𝒙𝟑
𝒙
+
𝟑𝒙𝟐
𝒙
−
𝒙
𝒙
= 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 
 
න (
𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙
𝒙
) 𝒅𝒙 = න(𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 
 = න 𝟒𝒙𝟐 𝒅𝒙 + න 𝟑𝒙 𝒅𝒙 − න 𝒅𝒙 
 
 = 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 
 
 =
𝟒𝒙𝟐+𝟏
𝟐+𝟏
 + 𝟑𝒙
𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
 − 𝒙 + 𝑪
න (
𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙
𝒙
) 𝒅𝒙 =
𝟒𝒙𝟑
𝟑
+
𝟑𝒙𝟐
𝟐
− 𝒙 + 𝑪 
 
 
 
 
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Ejemplo 11. ∫ (𝟑𝒙−𝟐 +
𝟐
𝟓
𝒙−
𝟑
𝟐 − 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 
 
Solución 
න (𝟑𝒙−𝟐 +
𝟐
𝟓
𝒙−
𝟑
𝟐 − 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = න 𝟑𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + න
𝟐
𝟓
𝒙−
𝟑
𝟐 𝒅𝒙 − න 𝒙 𝒅𝒙 + න 𝒅𝒙 
 
 = 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 +
𝟐
𝟓
∫ 𝒙
−
𝟑
𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 
 
 = 𝟑
𝒙−𝟐+𝟏
−𝟐+𝟏
+
𝟐
𝟓
 𝒙
− 
𝟑
𝟐+
𝟐
𝟐
− 
𝟑
𝟐
+
𝟐
𝟐
−
𝒙𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
+ 𝒙 + 𝑪 
 
 =
𝟑𝒙−𝟏
−𝟏
+
𝟐
𝟓
 𝒙
− 
𝟏
𝟐
− 
𝟏
𝟐
−
𝒙𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
+ 𝒙 + 𝑪 
 
Se divide 
𝟐
𝟓
÷ − 
𝟏
𝟐
=
(𝟐)(𝟐)
(𝟓)(−𝟏)
= −
𝟒
𝟓
 = −𝟑𝒙−𝟏 − 
𝟒
𝟓
 𝒙− 
𝟏
𝟐 + 𝒙 + 𝑪 
 
Se usa la ley del exponente negativo: = −
𝟑
𝒙
− 
𝟒
𝟓𝒙
𝟏
𝟐
+ 𝒙 + 𝑪 
Se usa la ley de radicales para 𝟓𝒙
𝟏
𝟐 
∫ (
𝟐
𝟓
𝒙−
𝟑
𝟐 − 𝒙 − 𝟑𝒙−𝟐) 𝒅𝒙 = −
𝟑
𝒙
− 
𝟒
𝟓√𝒙
+ 𝒙 + 𝑪
 
 
Hasta ahora se han abordado las integrales indefinidas inmediatas de tipo 𝒙𝒏, siempre 
que 𝒏 ≠ −𝟏, esta fórmula es resultado de la fórmula: 
∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪, 
 
donde 𝒏 ≠ −𝟏, veamos algunos ejemplos del uso de la integrales tipo 𝒖𝒏, para ello, hay 
que recordar qué es una diferencial. 
 
La fórmula de una diferencial es 𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙) 𝒅𝒙, es decir: diferencial = derivada * dx. 
 
En la fórmula de la integral de tipo 𝒖𝒏 en lugar de 𝒅𝒚 se utiliza 𝒅𝒖. Por ejemplo: si 𝑢 = 3𝑥, 
su diferencial es 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥 (la derivada de 3x es 3 y se multiplica por dx) 
 
1. Si 𝑢 = 3, su diferencial es 𝑑𝑢 = 0, recuerda que la derivada de una constante es 
cero. 
2. Sí 𝑢 =
1
2
𝑥 su diferencial es 𝑑𝑢 =
1
2
 𝑑𝑥 
3. Sí 𝑢 = 𝑥2, su diferencial es 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
4. Sí 𝑢 = 6𝑥3, su diferencial es 𝑑𝑢 = 18𝑥2 𝑑𝑥 
5. Sí 𝑢 = 4𝑥2 −
6
5
𝑥 + 2 su diferencial es 𝑑𝑢 = (8𝑥 −
6
5
) 𝑑𝑥 
 
 
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Ejemplos de integrales tipo ∫ 𝒖𝒏 𝒅𝒖 
 
Ejemplo 1. ∫(𝒙 + 𝟐)𝟓𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 
 Datos 
𝒏 = 𝟓 
𝒖 = 𝒙 + 𝟐 
𝒅𝒖 = 𝟏 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 
 ∫(𝒙 + 𝟐)𝟓𝒅𝒙 =
(𝒙+𝟐)𝟓+𝟏
𝟓+𝟏
+ 𝑪 
 
 ∫(𝒙 + 𝟐)𝟓𝒅𝒙 =
(𝒙+𝟐)𝟔
𝟔
+ 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 2. ∫(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟒𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 
 Datos 
𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟑 
𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 
∫(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟒𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
∫(𝟐𝒙 − 𝟑)4[𝟐]𝒅𝒙 
 
 =
𝟏
𝟐
 (𝟐𝒙−𝟑)𝟒+𝟏
𝟒+𝟏
+ 𝑪 
 
 =
𝟏
𝟐
 (𝟐𝒙−𝟑)𝟓
𝟓
+ 𝑪 
 
Se divide 
1
2
÷ 5 =
1
2
÷
5
1
=
1∗1
2∗5
=
1
10
 
 
 ∫(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟒𝒅𝒙 =
𝟏
𝟏𝟎
 (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟓 + 𝑪 𝒐 
(𝟐𝒙−𝟑)𝟓
𝟏𝟎
 + 𝑪 
 
La fórmula ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 se utiliza cuando el exponente 𝒏 es diferente de -1, pero 
si el exponente llega a ser 𝑛 = −1, entonces la fórmula a utilizar es: 
∫
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 para 𝒏 = −𝟏 
 
Si consideramos la ley del exponente negativo, entonces 𝒖 sube al numerador 
න
𝒅𝒖
𝒖
= න 𝒖−𝟏 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 
está incompleto, por lo que se 
procede a completar, como lo 
que hace falta es un 2, se añade 
el 2 al lado de 𝒅𝒙, y para no 
alterar la integral, ésta se 
multiplica por el recíproco de 2, 
osea 
𝟏
𝟐
, luego se integra. 
 
 
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Ejemplos de integrales tipo ∫
𝒅𝒖
𝒖
 
 
Ejemplo 1. ∫
𝟏
𝒙
 𝒅𝒙 
 
Solución 
 
 Datos Fórmula: ∫
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
𝒖 = 𝒙
𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒙
 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝑪 
Ejemplo 2. ∫
𝟖
𝒙
 𝒅𝒙 
 
Solución 
 Datos Fórmula: ∫
𝒅𝒖
𝒖
 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
𝒖 = 𝒙
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫
𝟖
𝒙
 𝒅𝒙 = 𝟖 ∫
𝒅𝒙
𝒙
= 𝟖 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝑪
∫
𝟖
𝒙
 𝒅𝒙 = 𝟖 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝑪 
 
 
Ejemplo 3. ∫
𝟐
𝟐𝒙+𝟏
 𝒅𝒙 
 
Solución 
 Datos Fórmula: ∫
𝒅𝒖
𝒖
 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟏
𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 ∫
𝟐
𝟐𝒙+𝟏
 𝒅𝒙 = ∫
𝟐 𝒅𝒙
𝟐𝒙+𝟏
∫
𝟐
𝟐𝒙+𝟏
 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |𝟐𝒙 + 𝟏| + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Importante: 
 
Recíproco (inverso multiplicativo): Tiene la propiedad de que al multiplicarlo por el 
número el resultado es la unidad. 
𝟏
𝟐
 recíproco 
𝟐
𝟏
, 
𝟏
𝟐
∗
𝟐
𝟏
=
𝟏∗𝟐
𝟐∗𝟏
=
𝟐
𝟐
= 𝟏 
 
𝟏
𝟑
 recíproco 𝟑, 
𝟏
𝟑
∗ 𝟑 =
𝟏∗𝟑
𝟑
=
𝟑
𝟑
= 𝟏 
𝟒
𝟑
 recíproco 
𝟑
𝟒
, 
𝟒
𝟑
∗
𝟑
𝟒
=
𝟒∗𝟑
𝟑.𝟒
=
𝟏𝟐
𝟏𝟐
= 𝟏 
 
𝟕
𝟓
 recíproco 
𝟓
𝟕
, 
𝟕
𝟓
∗
𝟓
𝟕
=
𝟕∗𝟓
𝟓∗𝟕
=
𝟑𝟓
𝟑𝟓
= 𝟏 
 
 
Ejemplo 4. ∫
𝒅𝒙
𝟐−𝟔𝒙
 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
 Datos 
𝒖 = 𝟐 − 𝟔𝒙 
𝒅𝒖 = −𝟔 𝒅𝒙 
 න
𝒅𝒙
𝟐 − 𝟔𝒙
 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟔
න
[−𝟔]𝒅𝒙
𝟒𝒙 − 𝟐
 
 
−
𝟏
𝟔
න
[−𝟔]𝒅𝒙
𝟒𝒙 − 𝟐
= −
𝟏
𝟔
 𝒍𝒏 |𝟐 − 𝟔𝒙| + 𝑪 
 
 න
𝒅𝒙
𝟐 − 𝟔𝒙
 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟔
𝒍𝒏 |𝟐 − 𝟔𝒙| + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 5. ∫
𝟑
𝟒𝒙−𝟐
 𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
 Datos 
𝒖 = 𝟒𝒙 − 𝟐 
𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙 
 
 Se saca la constante, 3, del integrando y queda: ∫
𝟑
𝟒𝒙−𝟐
 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫
𝒅𝒙
𝟒𝒙−𝟐
 
 
Se observa que el diferencial 𝒅𝒖 está 
incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = −𝟔 𝒅𝒙, por 
lo que se procede a completar, como lo 
que hace falta es un - 6, se multiplica el 
numerador por - 6 y para no alterar la 
integral, ésta se multiplica por el 
recíproco de - 6, osea −
𝟏
𝟔
, luego se 
integra. 
 
 
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 Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 está incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙, se procede 
a completar, como lo que hace falta es un 4, se multiplica el numerador por 4, y 
para no alterar la integral, se agrega su recíproco fuera del integrando, osea 
𝟏
𝟒
: 
𝟑 න
𝒅𝒙
𝟒𝒙 − 𝟐
= 𝟑.
𝟏
𝟒
න
[𝟒]𝒅𝒙
𝟒𝒙 − 𝟐
=
𝟑
𝟒
න
[𝟒]𝒅𝒙
𝟒𝒙 − 𝟐
= 
 
 Por lo tanto, aplicando la fórmula se tiene que: 
න
𝟑
𝟒𝒙 − 𝟐
 𝒅𝒙 =
𝟑
𝟒
𝒍𝒏 |𝟒𝒙 − 𝟐| + 𝑪 
 
 
Ejemplo 6. ∫
𝒙
𝒙𝟐+𝟏
 𝒅𝒙 
Solución. Se usa la fórmula ∫
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝟏 
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 está incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙, se procede 
a completar, como lo que hace falta es un 2, se multiplica el numerador por 2, y 
para no alterar la integral, se agrega su recíproco fuera del integrando, osea 
𝟏
𝟐
: 
න
𝒙
𝒙𝟐 + 𝟏
 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න
[𝟐]𝒙
𝒙𝟐 + 𝟏
 𝒅𝒙 
 
 Por lo tanto, aplicando la fórmula se tiene que: 
 න
𝒙
𝒙𝟐 + 𝟏
 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
 𝒍𝒏 |𝒙𝟐 + 𝟏| + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 7. ∫
𝒅𝒙
𝟑+𝟓𝒙
 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟑 + 𝟓𝒙 
𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙 
 
 
 
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 
 Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 está incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙, se procede 
a completar, como lo que hace falta es un 5, se multiplica el numerador por 5, y 
para no alterar la integral, se agrega su recíproco fuera del integrando, es decir, 
𝟏
𝟓
: 
න
𝒅𝒙
𝟑 + 𝟓𝒙
=
𝟏
𝟓
න
[𝟓]𝒅𝒙
𝟑 + 𝟓𝒙
 
 
 Aplicando la fórmula se tiene que: 
 
 න
𝒅𝒙
𝟑 + 𝟓𝒙
=
𝟏
𝟓
 𝒍𝒏 |𝟑 + 𝟓𝒙| + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟏. ∫ 𝟖𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟒𝒙 + 𝑪 
 
 
 
𝟐. ∫ 𝟑𝒙𝟓𝒅𝒙 Respuesta: 
𝒙𝟔
𝟐
+ 𝑪 
 
 
 
𝟑. ∫
𝟐
√𝒙
𝟑 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟑√𝒙
𝟐𝟑 + 𝑪 
 
 
 
 
 
𝟒. ∫ 𝟏𝟎√𝒙𝟐
𝟑
𝒅𝒙 Respuesta: 𝟔√𝒙𝟓
𝟑
+ 𝑪 
 
 
 
 
 
 
𝟓. ∫
𝟏+𝒙𝟐
𝒙𝟐
𝒅𝒙 Respuesta: −
𝟏
𝒙
+ 𝒙 + 𝑪 
 
Ejercicios de seguimiento 
Calcula las integrales indefinidas algebraicas. 
 
 
 
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𝟔. ∫(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 Respuesta: 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪 
 
 
 
 
𝟕. ∫(𝟐 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟑)𝒅𝒙 Respuesta: 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝑪 
 
 
 
 
𝟖. ∫ 𝒙 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 𝒅𝒙 Respuesta: 
(𝟐𝒙𝟐+𝟏)
𝟓
𝟐𝟎
+ 𝑪 
 
 
 
 
𝟗. ∫
𝒙
𝟏+𝒙𝟐
𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟏
𝟐
 𝒍𝒏 |𝟏 + 𝒙𝟐| + 𝑪 
 
 
 
 
𝟏𝟎. ∫
𝒕
𝟐𝒕𝟐+𝟑
𝒅𝒕 Respuesta: 
𝟏
𝟒
 𝒍𝒏 |𝟐𝒕𝟐 + 𝟑| + 𝑪 
 
 
 
 
Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los 
saberes que posees o aún debes reforzar. 
 
 
Indicador de desempeño 
Cumple 
Si No 
Identifico y aplico las fórmulas de 
integración adecuadamente. 
 
Resuelvo las integrales siguiendo un 
proceso ordenado y coherente. 
 
Utilizo las propiedades aritméticas y 
algebraicas. 
 
Obtengo la solución correcta. 
Resuelvo todas las integrales. 
 
 
 
 
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3. Integrales exponenciales 
 
Las funciones exponenciales se utilizan para modelar el crecimiento o decrecimiento a 
través del tiempo ya sea de una población de individuos, los intereses generados por un 
capital depositado en el banco, la desintegración radiactiva de una sustancia o la cantidad 
del ingrediente activo de un medicamento que se mantiene en la sangre de un individuo. 
 
Las integrales exponenciales seabordan como un tema auxiliar a la integración por 
partes. Las fórmulas a utilizar son: 
න 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪 
න 𝒂𝒖𝒅𝒖 =
𝒂𝒖
𝒍𝒏 𝒂
+ 𝑪 
 
 
Ejemplo 1. Obtener la integral ∫ 𝒆𝟓𝒙𝒅𝒙 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟓𝒙 
𝒅𝒖 = 𝟓𝒅𝒙 
 
 Es necesario completar el diferencial agregando el recíproco de la constante que 
completa el diferencial fuera del integrando: 
න 𝒆𝟓𝒙𝒅𝒙 =
𝟏
𝟓
න 𝒆𝟓𝒙 [𝟓]𝒅𝒙
 
 Se aplica la fórmula ∫ 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪: 
 
 =
𝟏
𝟓
𝒆
𝟓𝒙
+ 𝑪 
න 𝒆𝟓𝒙𝒅𝒙 =
𝟏
𝟓
𝒆𝟓𝒙 + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 2. Resolver la integral ∫ 𝒆𝒙
𝟐
 𝒙 𝒅𝒙 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒙𝟐 
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
 
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 Se completa el diferencial con 2, por lo que se agrega también fuera del integrando 
𝟏
𝟐
: 
න 𝒆𝒙
𝟐
 𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න 𝒆𝒙
𝟐
 [𝟐]𝒙 𝒅𝒙
 
 Se aplica la fórmula ∫ 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪: 
 
 =
𝟏
𝟐
𝒆𝒙
𝟐
+ 𝑪 
න 𝒆𝒙
𝟐
 𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒆𝒙
𝟐
+ 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 3. Calcular la integral ∫
𝟔
𝒆𝟒𝒙
𝒅𝒙 
 
 Primero se usa la ley del exponente negativo: 
න
𝟔
𝒆𝟒𝒙
 𝒅𝒙 = න 𝟔 𝒆−𝟒𝒙𝒅𝒙 
 Datos 
𝒖 = −𝟒𝒙 
𝒅𝒖 = −𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se deja el 6 fuera del integrando, se completa el diferencial con −𝟒 , por lo que se 
agrega también fuera del integrando −
𝟏
𝟒
: 
 = 𝟔 ∙ −
𝟏
𝟒
න 𝒆−𝟒𝒙 [−𝟒]𝒙 𝒅𝒙
 
 Se aplica la fórmula ∫ 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪: 
 = −
𝟔
𝟒
𝒆−𝟒𝒙 + 𝑪 
 
 = −
𝟑
𝟐
𝒆−𝟒𝒙 + 𝑪 
 
න
𝟔
𝒆𝟒𝒙
 𝒅𝒙 = −
𝟑
𝟐𝒆𝟒𝒙
+ 𝑪 
 
Al final se utilizó la ley del exponente negativo. 
 
 
 
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Ejemplo 4. Resolver la integral ∫(𝒆𝒙 +
𝟓
𝒙
− 𝟏) 𝒅𝒙 
 
Se trata de una integral con un término exponencial y dos términos algebraicos: 
න(𝒆𝒙 +
𝟓
𝒙
− 𝟏) 𝒅𝒙 = න 𝒆𝒙𝒅𝒙 + 𝟓 න
𝒅𝒙
𝒙
− න 𝒅𝒙 
 
 = 𝒆𝒙 + 𝟓 𝒍𝒏 |𝒙| − 𝒙 + 𝑪 
 
 ∫(𝒆𝒙 +
𝟓
𝒙
− 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝟓 𝒍𝒏 |𝒙| − 𝒙 + 𝑪, con |𝑥| > 0 
 
 
Ejemplo 5. Resolver la integral ∫ 𝟗𝒙 𝒅𝒙 
 
 Datos 
𝒂 = 𝟗 
𝒖 = 𝒙 
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 
 
 Se aplica la fórmula ∫ 𝒂𝒖𝒅𝒖 =
𝒂𝒖
𝒍𝒏 𝒂
+ 𝑪 
න 𝟗𝒙 𝒅𝒙 =
𝟗𝒙
𝒍𝒏 𝟗
+ 𝑪 
 
Ejemplo 6. Resolver la integral ∫ 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 
 
 Datos 
𝒂 = 𝟑 
𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟏 
𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙 
 
 Se completa el diferencial: 
න 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න 𝟑𝟐𝒙+𝟏[𝟐] 𝒅𝒙 
 
 Se aplica la fórmula ∫ 𝒂𝒖𝒅𝒖 =
𝒂𝒖
𝒍𝒏 𝒂
+ 𝑪 
න 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
∙
𝟑𝟐𝒙+𝟏
𝒍𝒏 𝟑
+ 𝑪 
 
 න 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 =
𝟑𝟐𝒙+𝟏
𝟐 𝒍𝒏 𝟑
+ 𝑪 
 
 
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𝟏. ∫ 𝒆−𝟑𝒙𝒅𝒙 Respuesta: −
𝟏
𝟑
 𝒆−𝟑𝒙 + 𝑪 = −
𝟏
𝟑𝒆𝟑𝒙
+ 𝑪 
 
 
 
 
𝟐. ∫ 𝒆𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟏
𝟐
 𝒆𝟐𝒙+𝟏 + 𝑪 
 
 
 
 
𝟑. ∫
𝟐
𝒆−𝟓𝒙
𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟐
𝟓
 𝒆𝟓𝒙 + 𝑪 
 
 
 
𝟒. ∫ 𝟐𝟑𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟐𝟑𝒙
𝟑 𝒍𝒏 𝟐
 + 𝑪 
 
 
 
𝟓. ∫ 𝟖𝒙−𝟒 𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟖𝒙−𝟒
 𝒍𝒏 𝟖
 + 𝑪 
 
 
 
 
Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los 
saberes que posees o aún debes reforzar. 
 
Indicador de desempeño 
Cumple 
Si No 
Identifico y aplico las fórmulas de 
integración adecuadamente. 
 
Resuelvo las integrales siguiendo un 
proceso ordenado y coherente. 
 
Utilizo las propiedades aritméticas y 
algebraicas. 
 
Obtengo la solución correcta. 
Resuelvo todas las integrales. 
Ejercicios de seguimiento 
 
 
 
 
 
Calcula las integrales indefinidas exponenciales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Integrales indefinidas de funciones trigonométricas 
 
La integración de funciones trigonométricas depende casi por completo de saber 
identificar y ordenar bien las partes que componen cada fórmula. Es como un 
rompecabezas en el que se debe buscar la forma de adecuar cada segmento de la 
expresión de acuerdo con el orden establecido. Este proceso se resume en los 
siguientes pasos: 
 
 Identificar el argumento 𝒖 y su diferencial 𝒅𝒖. 
 Comparar el diferencial del argumento con el diferencial del integrando. Si 
hace falta una constante, agregarla conservando el equivalente en ambas 
partes (completar el diferencial). 
 Una vez completado el diferencial, aplicar la fórmula de integración. 
 Sustituir los argumentos y simplificar la expresión final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es indispensable que el diferencial esté completo antes de aplicar cualquiera de estas 
fórmulas. 
 
Resuelve las integrales indefinidas de funciones trigonométricas.
 
Ejemplo 1. ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙
 
Solución. Se usa la fórmula 1 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒖 + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟔𝒙 
𝒅𝒖 = 𝟔 𝒅𝒙 
 
Las fórmulas a utilizar son: 
1. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 
2. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = sen 𝑢 + 𝐶 
3. ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢| + 𝐶 = − ln |cos u| +𝐶 
4. ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 ǀ sen 𝑢 ǀ + 𝐶 
5. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 ǀ sec 𝑢 + tan 𝑢 ǀ + 𝐶 
6. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 ǀ csc 𝑢 − cot 𝑢 ǀ + 𝐶 
7. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶 
8. ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝐶 
9. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 
10. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = −csc 𝑢 + 𝐶 
 
du: es el diferencial de u 
 
 
 
 
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 Se obseva el diferencia que la integral está incompleta, le falta un 𝟔 al diferencial 
𝒅𝒖, por lo que se procede a completar, se añade el 6 al lado de 𝑑𝑥, y para no 
alterar la integral, ésta se multiplica por el recíproco de 6, osea 
𝟏
𝟔
, luego se integra: 
 
න 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟔
න 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 [𝟔] 𝒅𝒙 
 
 =
𝟏
𝟔
 (−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒙) + 𝑪 
 
 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟔
 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒙 + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 2. ∫ 𝒄𝒐𝒔 (
𝟑
𝟐
𝒙) 𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula 2 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐧 𝒖 + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 =
𝟑
𝟐
𝒙 
𝒅𝒖 =
𝟑
𝟐
 𝒅𝒙 
 La integral está incompleta, le falta un 
𝟑
𝟐
 al diferencial, se procede a completarla y 
a resolverla: 
 
න 𝒄𝒐𝒔 
𝟑
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 =
𝟐
𝟑
න 𝒄𝒐𝒔 
𝟑
𝟐
𝒙 [
𝟑
𝟐
] 𝒅𝒙 
 
 ∫ 𝒄𝒐𝒔 
𝟑
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 =
𝟐
𝟑
𝒔𝒆𝒏
𝟑
𝟐
𝒙 + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 3. ∫(𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 
 
Solución. Se trata de una diferencia (resta) de dos integrales que se integran por 
separado. 
 Datos 
𝒖 = 𝒙 
𝒅𝒖 = 𝟏 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 
 
 Como du es dx, ambas integrales están completas, se aplica la fórmula respectiva: 
 
 
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න(𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = න 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − න 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 
 = 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 
 
 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟓(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪 
 
 ∫(𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 4. ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝐬𝐞𝐜 𝒖 + 𝐭𝐚𝐧 𝒖| + 𝑪 
 Datos 
𝒖 = 𝟓𝒙 
𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙 
 
 La integral está incompleta, le falta un 5 al diferencial 𝒅𝒖, se procedea completar 
y a resolver: 
 
න 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟓
න 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 [𝟓]𝒅𝒙 
 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟓
 𝒍𝒏 |𝐬𝐞𝐜 𝟓𝒙 + 𝐭𝐚𝐧 𝟓𝒙 | + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 5. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒖 𝒅𝒖 = −𝐜𝐨𝐭 𝒖 + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟑 − 𝟐𝒙 
𝒅𝒖 = −𝟐 𝒅𝒙 
 
 La integral está incompleta, le falta un -2 al diferencial 𝒅𝒖, se procede a completar 
y a resolver: 
න 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟐
න 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) [−𝟐]𝒅𝒙 
 = −
𝟏
𝟐
[−𝒄𝒐𝒕 (𝟑 − 𝟐𝒙)] + 𝑪 
 
 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
 𝒄𝒐𝒕 (𝟑 − 𝟐𝒙) + 𝑪 
 
 
 
 
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Ejemplo 6. ∫ 𝒔𝒆𝒄 (𝟒𝒙) 𝒕𝒂𝒏 (𝟒𝒙) 𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝐭𝐚𝐧 𝒖 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝒖 + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟒𝒙 
𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙 
 
 Se completa el diferencial y se resuelve: 
න(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
න(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙)[𝟒]𝒅𝒙 
 ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
 𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 7. ∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒖| + 𝑪 
 Datos 
𝒖 = 𝟒𝒙𝟐 
𝒅𝒖 = 𝟖𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se completa el diferencial y se resuelve: 
∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐𝒅𝒙 =
𝟏
𝟖
∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐 [𝟖]𝒅𝒙 
 
 =
𝟏
𝟖
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙 
 
 ∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐𝒅𝒙 =
𝟏
𝟖
𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙𝟐| + 𝑪 
 
 
Ejemplo 8. ∫ 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 ǀ 𝐬𝐞𝐧 𝒖 ǀ + 𝑪 
 Datos 
𝒖 = 𝟑𝒙 
𝒅𝒖 = 𝟑 𝒅𝒙 
 
 Se completa el diferencial y se resuelve: 
න 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟔 න 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟔 ∙
𝟏
𝟑
න 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 [𝟑]𝒅𝒙 
න 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙| + 𝑪 
 
 
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 Resuelve las siguientes integrales trigonométricas. 
 
𝟏. ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟏
𝟑
 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪 
 
 
 
𝟐. ∫ 𝒔𝒆𝒏 
𝟓
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 Respuesta:−
𝟐
𝟓
 𝒄𝒐𝒔
𝟓
𝟐
𝒙 + 𝑪 
 
 
 
𝟑. ∫ 𝒄𝒐𝒕 (𝟒𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟏
𝟒
 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒏 (𝟒𝒙 − 𝟏)| + 𝑪 
 
 
 
𝟒. ∫ 𝒄𝒔𝒄 (𝟐 − 𝟔𝒙)𝒅𝒙 Respuesta:−
𝟏
𝟔
 𝒍𝒏 |𝒄𝒔𝒄 (𝟐 − 𝟔𝒙) − 𝒄𝒐𝒕 (𝟐 − 𝟔𝒙)| + 𝑪 
 
 
 
 
𝟓. ∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟐𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟏
𝟐
 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙𝟐| + 𝑪 o −
𝟏
𝟐
 𝒍𝒏 |𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟐| + 𝑪 
 
 
 
Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los 
saberes que posees o aún debes reforzar. 
 
Indicador de desempeño 
Cumple 
Si No 
Identifico y aplico las fórmulas de 
integración adecuadamente. 
 
Resuelvo las integrales siguiendo un 
proceso ordenado y coherente. 
 
Utilizo las propiedades aritméticas y 
algebraicas. 
 
Obtengo la solución correcta. 
Resuelvo todas las integrales. 
 
Ejercicios de seguimiento 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Integración por sustitución o cambio de variable 
 
Del curso de cálculo diferencial sabes que para calcular derivadas de funciones 
compuestas se requiere la regla de la cadena. La integración por sustitución proporciona 
un método que permite reconocer cuándo un integrando es resultado de una derivada en 
la que se ha usado la regla de la cadena. 
 
Al utilizar el método de integración por sustitución o cambio de variable se requiere de 
una integral de la forma ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 se convierta en otra de la forma ∫ 𝒈(𝒖) 𝒅𝒖, donde 𝒖 
sustituye la derivada de dicha función interna. 
Pasos para emplear la técnica de integración por sustitución. 
1. Escoge una expresión para 𝒖. Una elección común es la expresión interior de una 
función compuesta. 
2. Calcula 𝒅𝒖 =
𝒅𝒖
𝒅𝒙
 𝒅𝒙. 
3. Reemplaza todos los términos del integrando original con expresiones que 
impliquen 𝒖 y 𝒅𝒖. 
4. Calcula la integral resultante en función de 𝒖; si no puedes hacerlo, debes repetir 
estos pasos pero con un valor diferente para 𝒖. 
5. Sustituye todos los términos en 𝒖 de la antiderivada con la correspondiente 
expresión en 𝒙. 
 
Calcula las integrales indefinidas siguientes por el método de sustitución. 
 
 
Ejemplo 1. ∫(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟑𝒙 − 𝟒 
𝒅𝒖 = 𝟑 𝒅𝒙 
 
 El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar: 
න(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
න(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 [𝟑]𝒅𝒙 
 
 
 
 
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 Se reemplazan todos los términos del integrando original con expresiones que 
impliquen 𝒖 y 𝒅𝒖 (cambio de variable): 
=
𝟏
𝟑
න 𝒖𝟐 𝒅𝒖 
 Se calcula la integral resultante en función de 𝑢: 
=
𝟏
𝟑
∙
𝒖𝟐+𝟏
𝟐 + 𝟏
+ 𝑪 
 
=
𝟏
𝟑
∙
𝒖𝟑
𝟑
+ 𝑪 
 
=
𝟏
𝟗
𝒖𝟑 + 𝑪 
 Se sustituyen todos los términos en 𝒖 de la integral con la correspondiente 
expresión en 𝒙: 
 =
𝟏
𝟗
(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟑 + 𝑪 
 
න(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟗
(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟑 + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 2. ∫ 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 
 
Solución. Dado que se tiene una raíz se hace necesario expresar con exponente 
fraccionario utilizando la ley de radicales √𝒙𝒎
𝒏
= 𝒙
𝒎
𝒏 : 
න 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = න 𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟓)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝟓 
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar: 
න 𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟓)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න(𝒙𝟐 − 𝟓)
𝟏
𝟐 [𝟐]𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se realiza el cambio de variable: 
න 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න 𝒖
𝟏
𝟐 𝒅𝒖 
 
 
 
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 Se resuelve la integral, la fórmula a utilizar es: ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪: 
 =
𝟏
𝟐
∙
𝒖
𝟏
𝟐
+
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
+
𝟐
𝟐
+ 𝑪 
 
=
𝟏
𝟐
∙
𝒖
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
+ 𝑪 
Al dividir 1 entre 
3
2
 se tiene: 
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
=
𝟏∗𝟐
𝟏∗𝟑
=
𝟐
𝟑
 
 
 =
𝟏
𝟑
𝒖
𝟑
𝟐 + 𝑪 
Al usar la ley de radicales: 
=
𝟏
𝟑
√𝒖𝟑 + 𝑪 
 
 Se sustituyen todos los términos en 𝒖 de la integral con la correspondiente 
expresión en 𝒙: 
 
 =
𝟏
𝟑
√(𝒙𝟐 − 𝟓)𝟑 + 𝑪 
 
න 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
√(𝒙𝟐 − 𝟓)𝟑 + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 3. ∫
𝒅𝒙
(𝟓−𝟒𝒙)𝟑
 
 
Solución. Primero se usa la ley del exponente negativo 𝒙−𝒏 =
𝟏
𝒙𝒏
 para que la potencia 
(𝟓 − 𝟐𝒙)𝟑 pase al numerador con signo contrario, (𝟓 − 𝟐𝒙)−𝟑: 
 
න
𝒅𝒙
(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟑
= න(𝟓 − 𝟒𝒙)−𝟑𝒅𝒙 
 Datos 
𝒖 = 𝟓 − 𝟒𝒙 
𝒅𝒖 = −𝟒 𝒅𝒙 
 
 
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 El diferencial 𝒅𝒖 = −𝟒 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar: 
 න
𝒅𝒙
(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟑
 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟒
 න(𝟓 − 𝟒𝒙)
−𝟑
 [−𝟒] 𝒅𝒙 
 
 Se realiza el cambio de variable: 
= −
𝟏
𝟒
 න 𝒖−𝟑 𝒅𝒖 
 
 Se resuelve la integral, la fórmula a utilizar es ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪: 
 = −
𝟏
𝟒
 ∙
𝒖−𝟑+𝟏
−𝟑 + 𝟏
+ 𝑪 
 
= −
𝟏
𝟒
 ∙
𝒖−𝟐
−𝟐
+ 𝑪 
 Al realizar la multiplicación de fracciones: −
1
4
∗
1
−2
= +
𝟏
𝟖
 
 
 =
𝟏
𝟖
 𝒖−𝟐 + 𝑪 
Al usar la ley del exponente negativo: 
 
=
𝟏
𝟖𝒖𝟐
 + 𝑪 
 
 
 Se sustituyen todos los términos en 𝒖 de la integral con la correspondienteexpresión en 𝒙: 
=
𝟏
𝟖(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟐
 + 𝑪 
න
𝒅𝒙
(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟑
 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟖(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟐
 + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 4. ∫
𝒙 𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟐−𝟏
 
Solución. Se usa la fórmula ∫
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 ǀ𝒖ǀ + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 
𝒅𝒖 = 𝟔𝒙 𝒅𝒙 
 
 El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟔𝒙 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar: 
න
𝒙 𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟐 − 𝟏
 =
𝟏
𝟔
න
[𝟔]𝒙 𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟐 − 𝟏
 
 
 Se realiza el cambio de variable y se resuelve la integral: 
=
𝟏
𝟔
න
𝒅𝒖
𝒖
 
 
 =
𝟏
𝟔
𝒍𝒏 ǀ𝒖ǀ + 𝑪 
 
 Se sustituyen todos los términos en 𝒖 de la integral con la correspondiente 
expresión en 𝒙: 
 =
𝟏
𝟔
𝒍𝒏 |𝟑𝒙𝟐 − 𝟏| + 𝑪 
 
 ∫
𝒙 𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟐−𝟏
 =
𝟏
𝟔
 𝒍𝒏 |𝟑𝒙𝟐 − 𝟏| + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 5. ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝟓𝒙 𝒅𝒙 
Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = −𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝑪 
 
 Datos 
𝒖 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑 
𝒅𝒖 = 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
 El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟒𝒙 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar: 
 
න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = 𝟓 න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟓 ∙
𝟏
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) [𝟒]𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se realiza el cambio de variable y se resuelve la integral: 
 
 
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=
𝟓
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 
 
 =
𝟓
𝟒
∙ −𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝑪 = −
𝟓
𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝑪 
 
 Se sustituyen todos los términos en 𝒖 de la integral con la correspondiente 
expresión en 𝒙: 
න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟓
𝟒
𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟏. ∫(𝟐𝒙𝟐 − 𝟑)𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 
 (𝟐𝒙𝟐−𝟑)
𝟒
𝟏𝟔
+ 𝑪 
 
 
 
 
𝟐. ∫ 𝒙 √𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 𝒅𝒙 Respuesta: 
 𝟏
𝟗
√(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝟑 + 𝑪 
 
 
 
 
𝟑. ∫
𝒙𝟐 
𝟑𝒙𝟑−𝟏
𝒅𝒙 Respuesta: 
 𝟏
𝟗
 𝒍𝒏 |𝟑𝒙𝟑 − 𝟏| + 𝑪 
 
 
 
𝟒. ∫
𝒅𝒙 
𝟐−𝟔𝒙
 Respuesta: −
 𝟏
𝟔
 𝒍𝒏 |𝟐 − 𝟔𝒙| + 𝑪 
 
 
 
𝟓. ∫
𝒙 
(𝟐𝒙𝟐+𝟏)𝟒
𝒅𝒙 Respuesta: −
 𝟏
𝟏𝟐 (𝟐𝒙𝟐+𝟏)
𝟑 + 𝑪 
 
 
 
 
 
Ejercicios de seguimiento 
 
 
 
 
 
Resuelve las siguientes integrales mediante el método de integración por 
sustitución o cambio de variable. 
 
 
 
 
 
 
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Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los 
saberes que posees o aún debes reforzar. 
 
Indicador de desempeño 
Cumple 
Si No 
Identifico y aplico las fórmulas de 
integración adecuadamente. 
 
Resuelvo las integrales siguiendo un 
proceso ordenado y coherente. 
 
Utilizo las propiedades aritméticas y 
algebraicas. 
 
gObtengo la solución correcta. 
Resuelvo todas las integrales. 
 
 
 
5. Integración por partes 
 
La integración por partes tiene por objeto calcular la función primitiva del producto de 
una función por la diferencial de otra función de la misma variable. 
 
Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, vista en el curso 
de cálculo diferencial: 
𝒅
𝒅𝒙
(𝒖𝒗) = 𝒖. 𝒅𝒗 + 𝒗. 𝒅𝒖 
 
 Despejando el término 𝒖. 𝒅𝒗 queda: 
 
𝒖. 𝒅𝒗 =
𝒅
𝒅𝒙
(𝒖𝒗) − 𝒗. 𝒅𝒖 
 
 Integrando ambos miembros de esta ecuación: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = න
𝒅
𝒅𝒙
(𝒖𝒗) − න 𝒗 𝒅𝒖 
 La integración es la operación inversa de la derivada: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
 
 
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Regla mnemotécnica: "un día vi una vaca vestida de uniforme". 
 
 
La fórmula que se obtiene sugiere que el integrando sea separado en dos partes, 𝒖 y 𝒅𝒗 
(junto con 𝒅𝒙); por eso se llama integración por partes. El primer paso importante es 
aplicar este proceso de integración es elegir correctamente dichos factores, por lo que se 
deben considerar los siguientes criterios: 
 
 La parte que se iguala a 𝒅𝒗 debe ser fácilmente integrable. 
 La ∫ 𝒗 𝒅𝒖, no debe ser más complicada que ∫ 𝒖 𝒅𝒗. 
 
Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función 𝒖 de acuerdo con el 
orden, ayudándose de la regla nemotécnica "ILATE": 
 
El orden de jerarquía es: 
1. Inversa trigonométrica. 
2. Logarítmica. 
3. Algebraica. 
4. Trigonométrica. 
5. Exponencial. 
 
Calcula las integrales utilizando la integración por partes. 
 
Ejemplo 1. ∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 
 
 
De acuerdo al método de ILATE la función Algebraica tiene mayor prioridad que la 
trigonométrica; por lo tanto, será 𝒖. 
 
Al desarrollar la integración por partes se elimina la constante de integración C (piensa 
por qué) y se escribe hasta finalizar el proceso de integración. 
 
Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗: 
 
 
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 Datos 
𝒖 = 𝒙, se calcula su diferencial 𝒅𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙, se calcula su integral 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 
 
 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula: 
 
 
 Se resuelve la integral ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 y se sustituye: 
 
 = 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − (−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪 
න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 
 
Ejemplo 2. ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
 
De acuerdo al método de ILATE la función algebraica tiene mayor prioridad que la 
trigonométrica; por lo tanto, será 𝒖. 
 
Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗: 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒙 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙
 Completar el diferencial 𝒗 =
𝟏
𝟒
∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 [𝟒]𝒅𝒙 
 𝒗 = −
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 
 
 
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 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones 
pertinentes: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (−
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) − න −
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 = −
𝟏
𝟒
𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) − (−
𝟏
𝟒
) න 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 = −
𝟏
𝟒
𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) +
𝟏
𝟒
න 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
 Para resolver esta integral de la forma ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖 falta completar el diferencial 
con 4, por lo que se agrega también fuera del integrando 
𝟏
𝟒
: 
 
 = −
𝟏
𝟒
𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) +
𝟏
𝟒
[
𝟏
𝟒
] න 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 [𝟒]𝒅𝒙 
 
 La expresión resultante tiene un integrando compuesto por una expresión 
trigonométrica que se integra en forma directa: 
න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟒
𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) +
𝟏
𝟏𝟔
 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 + 𝑪 
 La anterior respuesta se puede dejar así, también es posible factorizar para 
obtener la expresión en su forma más simple: 
න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
(−𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 +
𝟏
𝟒
 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙) + 𝑪 
 
 Es posible ordenar para que el primer término de la respuesta no sea negativo: 
 න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
(
𝟏
𝟒
 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 − 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 3. ∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 
 
Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Exponencial. 
 
De acuerdo al método de ILATE la función algebraica tiene mayor prioridad que la 
exponencial; por lo tanto, será 𝒖. 
 
 
 
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𝒖: función Algebraica 
𝒅𝒗: función Exponencial 
 
Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗: 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒙𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙
 Completar el diferencial 𝒗 = 𝟐 ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ [
𝟏
𝟐
] 𝒅𝒙 
 𝒗 = 𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄ 
 
 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
න 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄ ) − න 𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 
න 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟐 න 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 
 Para resolver la integral ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ falta completar el diferencial con 
𝟏
𝟐
, por lo que se 
agrega también fuera del integrando un 2: 
 = 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟐[𝟐] න 𝒆𝒙 𝟐⁄ [
𝟏
𝟐
] 𝒅𝒙 
 
 La expresión resultante se integra en forma directa, [𝟐] ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ [
𝟏
𝟐
] 𝒅𝒙 = 𝟐𝒆𝒙 𝟐⁄ + 𝑪 
 
 = 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟐(𝟐𝒆𝒙 𝟐⁄ ) + 𝑪 
∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟒𝒆𝒙 𝟐⁄ + 𝑪 
 
 Es posible factorizar la respuesta anterior: 
∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄ (𝒙 − 𝟐) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 4. ∫ 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Exponencial. 
 
De acuerdo al método de ILATE la función algebraica tiene mayor prioridad que la 
exponencial; por lo tanto, será 𝒖. 
𝒖: función Algebraica 
𝒅𝒗: función Exponencial 
 
Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗: 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙
 Completar el diferencial 𝒗 = −
𝟏
𝟐
∫ 𝒆−𝟐𝒙 [−𝟐]𝒅𝒙 
 𝒗 = −
𝟏
𝟐
 𝒆−𝟐𝒙 
 
 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
න 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (−
𝟏
𝟐
 𝒆−𝟐𝒙) − න −
𝟏
𝟐
 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 = −
𝟏
𝟐
𝒙 𝒆−𝟐𝒙 +
𝟏
𝟐
න 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
 Para resolver la integral ∫ 𝒆−𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 falta completar el diferencial con -2, por lo que 
se agrega también fuera del integrando un −
𝟏
𝟐
: 
= −
𝟏
𝟐
𝒙 𝒆−𝟐𝒙 +
𝟏
𝟐
[−
𝟏
𝟐
] න 𝒆−𝟐𝒙 [−𝟐]𝒅𝒙 
La integral queda: [−
𝟏
𝟐
] ∫ 𝒆−𝟐𝒙 [−𝟐]𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪 
 = −
𝟏
𝟐
𝒙 𝒆−𝟐𝒙 +
𝟏
𝟐
(−
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒙) + 𝑪 
න 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟐
𝒙 𝒆−𝟐𝒙 −
𝟏
𝟒
𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪 
 
 
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 Es posible factorizar la respuesta anterior: 
න 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟐
 𝒆−𝟐𝒙 (𝒙 +
𝟏
𝟐
) + 𝑪 
 
Recuerda: La fórmula para hallar la derivada de 𝒍𝒏 (𝒖) es 
𝒅
𝒅𝒙
𝒍𝒏 (𝒖) =
𝒖´
𝒖
 
 
Función Derivada 
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒙 
𝑢 = 𝑥 
𝑢´ = 1 
𝒇´(𝒙) = 𝒍𝒏 
𝟏
𝒙
 
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝟑𝒙 
𝑢 = 3𝑥 
𝑢´ = 3 
𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 
3
3𝑥
= 𝒍𝒏 
𝟏
𝒙
 
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝟓𝒙 
𝑢 = 5𝑥 
𝑢´ = 5 
𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 
5
5𝑥
= 𝒍𝒏 
𝟏
𝒙
 
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒙𝟒 
𝑢 = 𝑥4 
𝑢´ = 4𝑥3 
𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 
4𝑥3
𝑥4
= 𝒍𝒏 
𝟒
𝒙
 
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝟐𝒙𝟑 
𝑢 = 2𝑥3 
𝑢´ = 6𝑥2 
𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 
6𝑥2
2𝑥3
= 𝒍𝒏 
𝟑
𝒙
 
 
Ejemplo 5. ∫ 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
Se trata del producto de una expresión Logarítmica con 𝒅𝒙 como parte Algebraica. 
 
De acuerdo al método de ILATE la función Logarítmica tiene mayor prioridad que la 
Algebraica; por lo tanto, será 𝒖: 
 
𝒖: función Logarítmica 
𝒅𝒗: función Algebraica 
 
Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗: 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 =
𝟐
𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙
𝒅𝒖 =
𝟏
𝒙
 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒙
 
 
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 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula y se resuelve: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
 ∫ 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟐𝒙(𝒙) − ∫ 𝒙 ∙
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 
 = 𝒙 𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − ∫
𝒙
𝒙
 𝒅𝒙 
 = 𝒙 𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − ∫ 𝒅𝒙 
 Se resuelve la integral ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪 y se sustituye: 
 
න 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − 𝒙 + 𝑪 
 
 Se factoriza: 
න 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − 𝟏) + 𝑪 
 
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |𝒙| > 𝟎 
 
Ejemplo 6. ∫ 𝟑𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 
 
Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Logarítmica. 
 
De acuerdo al método de ILATE la función Logarítmica tiene mayor prioridad que la 
Algebraica; por lo tanto, será 𝒖: 
𝒖: función Logarítmica 
𝒅𝒗: función Algebraica 
 
 
Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗: 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒗 = 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 =
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙
 𝒗 =
𝟑𝒙𝟐
𝟐
 
 
 
 
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 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
න 𝟑𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 (
𝟑𝒙𝟐
𝟐
) − න
𝟑𝒙𝟐
𝟐
∙
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 
 =
𝟑𝒙𝟐
𝟐
𝒍𝒏 |𝒙| − ∫
𝟑𝒙𝟐
𝟐𝒙
 𝒅𝒙 Recuerda que en la división los 
 exponentes se restan. 
=
𝟑𝒙𝟐
𝟐
𝒍𝒏 |𝒙| −
𝟑
𝟐
න 𝒙 𝒅𝒙 
 Se resuelve la integral ∫ 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝑪 y se sustituye: 
=
𝟑𝒙𝟐
𝟐
𝒍𝒏 |𝒙| −
𝟑
𝟐
(
𝒙𝟐
𝟐
) + 𝑪 
 =
𝟑𝒙𝟐
𝟐
𝒍𝒏|𝒙| −
𝟑𝒙𝟐
𝟒
+ 𝑪 
 Se factoriza: 
 න 𝟑𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =
𝟑𝒙𝟐
𝟐
(𝒍𝒏 |𝒙| −
𝟏
𝟐
) + 𝑪 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 |𝒙| > 𝟎 
 
 
Ejemplo 7. ∫ 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
Se trata del producto de una expresión Exponencial con una Trigonométrica. 
 
De acuerdo al método de ILATE la función Trigonométrica tiene mayor prioridad que la 
Exponencial; por lo tanto, será 𝒖: 
 
𝒖: función Trigonométrica 
𝒅𝒗: función Exponencial 
Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗: 
 
 Datos 
𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝒅𝒙 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 = −𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙
 𝒗 = 𝒆𝒙 
 
 
 
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 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙(𝒆𝒙) − න 𝒆𝒙 ∙ −𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 න 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se aplica de nuevo la fórmula de integración por partes para resolver la integral 
∫ 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙, para ello se identifican los argumentos del nuevo integrando y se 
sustituyen en la fórmula: 
 
𝒖𝟏 = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒗𝟏 = 𝒆
𝒙𝒅𝒙 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖𝟏 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗𝟏 = ∫ 𝒆
𝒙𝒅𝒙
 𝒗𝟏 = 𝒆
𝒙 
න 𝒖𝟏 𝒅𝒗𝟏 = 𝒖𝟏𝒗𝟏 − න 𝒗𝟏 𝒅𝒖𝟏 
 න 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 (𝒆𝒙) − න 𝒆𝒙 ∙ 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 El resultado de la segunda integración se sustituye en la primera integración: 
 
 
න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 (𝒆𝒙) − න 𝒆𝒙 ∙ 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 − 𝟑 න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se observa que se obtuvo de nuevo laintegral original ∫ 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 por lo que, se 
traspone al lado izquierdo de la ecuación con su operación contraria (como está restando 
se traspone sumando) y se realiza la suma: 
 
Primera 
integración 
 
 
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න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪 
 
𝟒 න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪 
 El 4 que está multiplicando se traspone dividiendo al lado derecho de la ecuación: 
 
න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 
𝟒
+ 𝑪 
 
න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
(𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙) + 𝑪 
 Se factoriza: 
 
න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
𝒆𝒙(𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙) + 𝑪 
 
 
 
Ejemplo 8. ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Exponencial. 
 
De acuerdo al método de ILATE la función Algebraica tiene mayor prioridad que la 
Exponencial; por lo tanto, será 𝒖: 
 
 
Sea 𝒖 = 𝒙𝟐 , y 𝒅𝒗 = 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙; luego: 
 Datos 
𝒖 = 𝒙𝟐 𝒅𝒗 = 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙 
 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙
 Completar el diferencial 𝒗 =
𝟏
𝟑
∫ 𝒆𝟑𝒙 [𝟑]𝒅𝒙 
 𝒗 =
𝟏
𝟑
𝒆
𝟑𝒙
 
 
 Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula: 
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖 
 
 
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න 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 (
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙) − න
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙(𝟐𝒙 𝒅𝒙) 
 (
𝟏
𝟑
) (𝟐𝒙 ) =
𝟐
𝟑
𝒙 
න 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −
𝟐
𝟑
න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
 Se aplica de nuevo la fórmula de integración por partes para resolver la integral 
∫ 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙, para ello se identifican los argumentos del nuevo integrando: 
 
𝒖𝟏 = 𝒙 𝒅𝒗𝟏 = 𝒆
𝟑𝒙𝒅𝒙 
Diferencial Integral 
𝒅𝒖𝟏 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗𝟏 = ∫ 𝒆
𝟑𝒙𝒅𝒙
 𝒗𝟏 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙 
 
න 𝒖𝟏 𝒅𝒗𝟏 = 𝒖𝟏𝒗𝟏 − න 𝒗𝟏 𝒅𝒖𝟏 
න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙) − න
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
 =
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙 −
𝟏
𝟑
න 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 Se integra∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙 
 =
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙 −
𝟏
𝟑
(
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙) 
න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙 −
𝟏
𝟗
𝒆𝟑𝒙 
 
 Se sustituye la segunda integración∫ 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙 −
𝟏
𝟗
𝒆𝟑𝒙 en el resultado de 
la primera integración y se resuelve: 
 
න 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −
𝟐
𝟑
න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −
𝟐
𝟑
(
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙 −
𝟏
𝟗
𝒆𝟑𝒙) + 𝑪 
 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −
𝟐
𝟗
𝒙 𝒆𝟑𝒙 +
𝟐
𝟐𝟕
𝒆𝟑𝒙 + 𝑪 
Primera 
integración 
 
 
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 Se observa que el resultado tiene un término común [
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙] por lo que, se factoriza: 
 න 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −
𝟐
𝟗
𝒙 𝒆𝟑𝒙 +
𝟐
𝟐𝟕
𝒆𝟑𝒙 + 𝑪 
 
 ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙 (𝒙𝟐 −
𝟐
𝟑
𝒙 +
𝟐
𝟗
) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
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𝟏. ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: −
𝟏
𝟖
𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟖𝒙 +
𝟏
𝟔𝟒
 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝒙 + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
𝟐. ∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 
𝟏
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 
𝟏
𝟐
𝒙 + 𝟒 𝒄𝒐𝒔
𝟏
𝟐
𝒙 + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟑. ∫ 𝒙 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟏
𝟐
𝒆𝟐𝒙 (𝒙 −
𝟏
𝟐
) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios de seguimiento 
 
 
 
 
 
Calcula las integrales indefinidas mediante el método de 
integración por partes. 
 
 
 
 
 
 
 
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𝟒. ∫ 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 
𝟏
𝟑
𝒙𝟑 (𝒍𝒏 𝟑𝒙 −
𝟏
𝟑
) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
𝟓. ∫ 𝒙𝟐 𝒆−𝟑𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: −
𝟏
𝟑
𝒆−𝟑𝒙 (𝒙𝟐 +
𝟐
𝟑
𝒙 +
𝟐
𝟗
) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los 
saberes que posees o aún debes reforzar. 
 
Indicador de desempeño 
Cumple 
Si No 
Identifico y aplico las fórmulas de 
integración adecuadamente. 
 
Resuelvo las integrales siguiendo un 
proceso ordenado y coherente. 
 
Utilizo las propiedades aritméticas y 
algebraicas. 
 
Obtengo la solución correcta. 
Resuelvo todas las integrales. 
 
 
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Actividad de aprendizaje 1 
 
Calcula las integrales indefinidas de funciones algebraicas. 
 
𝟏. න(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
𝟐. න 𝟓√𝒙
𝟑
 𝒅𝒙 = 
 
 
 
 
 
𝟑. න
𝟐
𝒙𝟒
 𝒅𝒙 
 
 
 
 
𝟒. න(𝟓𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙
 
 
 
 
 
𝟓. න(𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
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𝟔. න (
𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙
𝒙
) 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
𝟕. න(𝟖𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
𝟖. න(𝟑𝒙 − 𝟓)
𝟐
𝟑
𝟗. න
𝒅𝒙
𝟐𝒙 + 𝟓
𝒅𝒙
𝟏𝟎. න
𝒅𝒙
𝟏 − 𝟑𝒙
 
 
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Actividad de aprendizaje 2 
 
Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones trigonométricas. 
𝟏. න 𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙
𝟐. න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
𝟑. න 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟒. න 𝒔𝒆𝒄 𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
𝟓. න 𝒄𝒔𝒄𝟐 
𝟒
𝟑
𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
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𝟔. න 𝒄𝒔𝒄 (𝟓𝒙 ) 𝒄𝒐𝒕 (𝟓𝒙) 𝒅𝒙 
𝟕. න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐 − 𝟔𝒙) 𝒅𝒙 
 
 
 
 
𝟖. න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 
𝟗. න 𝒄𝒔𝒄𝟐 (𝟏 − 𝟗𝒙) 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟏𝟎. න 𝒔𝒆𝒄 (𝟐𝒙) 𝐭𝐚𝐧(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
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Actividad de aprendizaje 3 
Calcula las integrales indefinidas mediante el método de integración por 
Sustitución o cambio de variable. 
𝟏. න
𝒙 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟗
 
 
 
 
 
𝟐. න
 𝒅𝒙
(𝟐𝒙 − 𝟏)𝟑
 
 
 
 
 
𝟑. න 𝒆𝟓𝒙+𝟏 𝒅𝒙 
 
 
 
 
𝟒. න √(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
𝟓. න 𝒄𝒐𝒔 (𝟐 − 𝟕𝒙) 𝒅𝒙 
 
 
 
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𝟔. න
𝒙 𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟔
 
 
 
 
 
𝟕. න(𝟐𝒙 + 𝟕)𝟑 𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
𝟖. න
𝒅𝒙
𝟑 − 𝟒𝒙
 
 
 
 
 
𝟗. න 𝒆𝟑𝒙
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
𝟏𝟎. න
𝒅𝒙
(𝒙 + 𝟒)𝟓
 
 
 
 
 
 
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Actividad de aprendizaje 4 
Calcula las integrales indefinidas mediante el método de integración por partes. 
𝟏. න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟐. න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 
𝒙
𝟐
 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟑. න 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 
𝟒. න 𝒙𝟑 𝒍𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
𝟓. න 𝒙𝟐 𝒆−𝟑𝒙 𝒅𝒙 
 
 
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 
ESCALA DE VALORES CÁLCULO INTEGRAL 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: 
CARRERA: 
PARCIAL: 
PRIMERO 
CICLO ESCOLAR 
2021-2022 
SEMESTRE: 
 
GRUPO: 
 
APRENDIZAJE ESPERADO: AE1, AE2 
PRODUCTOS ESPERADOS: Ejercicios de integrales algebraicas y trigonométricas. 
PLAN DE EVALUACIÓN 
NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIÓN 
EJERCICIOS SUMATIVA HETEROEVALUACIÓN 50%CRITERIOS A EVALUAR 
NO 
CUMPLE 
CUMPLE 
PARCIALMENTE 
CUMPLE 
MAYORMENTE 
SÍ CUMPLE 
OBSERVACIONES: 
Puntaje asignado 
0 1 1.5 2 
1. Realiza las operaciones 
utilizando las propiedades 
aritméticas y algebraicas 
correspondientes. 
 
2. Calcula correctamente todas las 
antiderivadas de funciones 
algebraicas. 
 
 
3. Calcula correctamente todas las 
integrales de funciones 
trigonométricas. 
 
4. Resuelve todos los ejercicios 
solicitados. 
 
5. Entrega los productos esperados 
a tiempo, de forma clara y 
entendible. 
 
PUNTAJE OBTENIDO POR 
NIVEL DE CUMPLIMIENTO: 
 
CALIFICACIÓN FINAL: 
 
COMPETENCIAS GENÉRICAS: 
 
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas 
apropiados. 
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 
 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 
 
 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 
 
NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALÚA 
 
 
 
 
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 
 
 
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 
ESCALA DE VALORES CÁLCULO INTEGRAL 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: 
CARRERA: 
PARCIAL: 
PRIMERO 
CICLO ESCOLAR 
2021-2022 
SEMESTRE: 
 
GRUPO: 
 
APRENDIZAJE ESPERADO: AE3, AE4 
PRODUCTOS ESPERADOS: Ejercicios de integrales por los métodos de integración por sustitución y por partes. 
PLAN DE EVALUACIÓN 
NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIÓN 
EJERCICIOS SUMATIVA HETEROEVALUACIÓN 50% 
CRITERIOS A EVALUAR 
NO 
CUMPLE 
CUMPLE 
PARCIALMENTE 
CUMPLE 
MAYORMENTE 
SÍ CUMPLE 
OBSERVACIONES: 
Puntaje asignado 
0 1 1.5 2 
1. Realiza las operaciones 
utilizando las propiedades 
aritméticas y algebraicas 
correspondientes. 
 
2. Calcula correctamente todas las 
integrales por el método de 
integración por sustitución. 
 
 
3. Calcula correctamente todas las 
integrales por el método de 
integración por partes. 
 
4. Resuelve todos los ejercicios 
solicitados. 
 
5. Entrega los productos esperados 
a tiempo, de forma clara y 
entendible. 
 
PUNTAJE OBTENIDO POR 
NIVEL DE CUMPLIMIENTO: 
 
CALIFICACIÓN FINAL: 
 
COMPETENCIAS GENÉRICAS: 
 
 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas 
apropiados. 
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 
 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 
 
 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 
 
NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALÚA 
 
 
 
 
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 
REFERENCIAS 
 
Libros 
 
Cuéllar, J. (2013). Matemáticas VI. Ed. Mc Graw Hill. México. 
 
Jiménez, R. (2011). Matemáticas VI. Cálculo Integral. Pearson Educación. México. 
 
Sánchez, O (2019). Cálculo integral, ed. KeepReading. México. 
 
 
Artículos de la web 
 
Budnick (2007). Cálculo integral: una introducción. Recuperado de 
https://eva.fcs.edu.uy/pluginfile.php/89331/mod_folder/content/0/BUDNICK%20%28200
7%29_Cap%2018a.pdf?forcedownload=1 
 
Martínez, E. (2001). Integral definida. Ministerio de educación, Cultura y Deporte. 
Recuperado de 
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_indefinida/i
ndice.htm 
 
Vázquez, O (s.f). Integración por partes. Recuperado de 
https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/19717/integracion
-partes.pdf?sequence=1&isAllowed=y 
 
 
Material adicional 
Llopis, J. (s.f). Integración por partes: ejercicios resueltos. Disponible en 
https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm 
 
Rondero, L. (2010). Cálculo integral: solución de problemas propuestos en guías y 
problemas especiales. Disponible en 
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-
integral-solucion-de-problemas.PDF 
 
 
 
https://eva.fcs.edu.uy/pluginfile.php/89331/mod_folder/content/0/BUDNICK%20%282007%29_Cap%2018a.pdf?forcedownload=1
https://eva.fcs.edu.uy/pluginfile.php/89331/mod_folder/content/0/BUDNICK%20%282007%29_Cap%2018a.pdf?forcedownload=1
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_indefinida/indice.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_indefinida/indice.htm
https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/19717/integracion-partes.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/19717/integracion-partes.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-integral-solucion-de-problemas.PDF
https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-integral-solucion-de-problemas.PDF