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Calculo integral - Felacitas Morales Alvarez
Sol ange
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Cálculo integral
para cursos con enfoque
por competencias
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Felicitas Morales Álvarez
Doctora en Matemática Educativa
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados-IPN (CINVESTAV-IPN)
Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzcalll Ｈｔｅｓｃｾ＠
Revisión técnica
María del consuelo Macias González
Academia de Ciencias Básicas
Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzca/R (TESCIJ
Enrique Martínez Negrete
DlviSlón de Ingeniería en Sistemas Computacionales
Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán tzca/O (TESCI)
Gabrlela lópez Ballesteros
Maestra en Matemática Educativa
PEARSON www.freelibros.org
/ Duosdecatalog:aciónbibliogdfica
MOllALl!S ÁLVAllEZ, FEÚCJTAS
Oi/"1Jllo •urr-J JltllTI ntl'WICOlf oif'.-1'0' "'*'JfdmdCI
Airo.era cdki6o
PBARSON IIDUCAOON, M6xico, 2014
ISBN: ＹＱＸｾＱﾷｊｍＲａＲＭ＠
ｲｾＮ｡Ｚ＠ ti.útmláticu
Rirm4to: 2 t x 27 cm
Dirooción Ocncral:
Oim:ción Eclucocióo Superior:
Edit0<a Spoosor:
Editor de D<sanollo:
&lp<TYisor de Producción:
Gerencia Ediiorial
P.ljjj...,: 212
Pbilip de la Vega
Mario Contreras
Glbriela López Ballesteros
e-mail: ga!Jriela.lopezballesteros@pe.uson.com
Fdipe Hemindez Carruco
Juan Silverio Amandi Zárate
F.dueación Superior ｌ｡ｾｲｩ｣｡ＮＺ＠ Marisa de Anta
PRIMERA l!DICIÓN, 2014
D.R.02014 por Peanonl!ducación de Mérico, S.A. de C.V.
Adacomulco soo. s• piso
Industrial Atoro
SJS 19 Naucalpan de Juárcz, Estodo de Mé>:ico
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Re¡. Núm. 1031
11.es<rvados IDdos Jos deteehos. Ni la ro!Alidad ni pane de esta publicación pueden reproduciise, regjstrane o transmitine, por
un sistema de recuperu:ióo de información, en ninguna torma ni por ningún medio. sea electrclnico, mecánico, !Oroqulmico,
magnético o ｣ｬ･｣ｴｲｯｰｾ＠ por fotocopia, grabación o cualquier otro1 sin pemúso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier oua forma de cesión de uso de este ejemplar requerilá t>mbién Ja autOrización del editor
o de sus representantes.
ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-ó07·32-2242-6
ISBN E-BOOK:
ISBN E-CHAPTllR:
978-ó07-32-2243-3
978-ó07-32-2244--0
[mprcso c:n México. Mntl!IÍ in MaiaJ.
1234567890- 17 161514
PEARSON
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Prólogo
El contenido de este libro me hace recordar el pasado, cuando la autora era una sencilla estudiante de
ingeniería física, quien dedicaba gran parte de su tiempo disponíble a prepararse para obtener lo mejor
de cada clase y aprender de la experiencia académica de sus profesores y compaJ\eros. Esto era cvi·
dente no solo en la disciplina que eUa mostraba para estudiar, sino en la ''OCación con la cual impartfa
asesorías. La aplicación del conocimiento en su etapa de ingeniero y la experiencia en un posgrado de
docencia se ven plasmadas en este libro por la peculiar manera de plantear, explicar, resolver y aplicar
d conocimiento del cálculo integral.
El objetivo de los temas expuestos en las dos primeras unidades es que el alumno con conocimien·
tos básicos de matemáticas pueda comenzar la asimilación de te0rcmas elementales, definiciones y
propiedades del cálculo integral. Más adelante, en la tercera unidad, este material aterriza los conoci-
mientos expuestos para motivar y guiar al lector en la aplicación de las herramientas matemáticas a la
solución de problemas reales de ingeniería, algo que eo muchos cursos de educación superior se olvida.
La última urúdad complementa los temas de la parle integral para representar funciones matemáticas,
las cuales constituyen la base para la solución de problemas complejos .
. De esta manera, el esfuea.o y el compromiso manifestados en este trabajo definen un camino en
d proceso de ･ｮｳ･ｾ｡ｮｺ｡Ｍ｡ｰｲ･ｮ､ｩｺ｡ｪ･Ｌ＠ con el ánimo de promover el interés de los estudiantes por las
matemáticas, particularmente en el estigmatizado tema del cálculo.
Doctor Ernesto Rodrigo Vá74uez Cerón
Coordinador de la Licenciatura en Ingeniería Física
Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco
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Presentación
La integración de nuevas propuestas y enfoques educativos en Jos programas de esrudío del nivel su-
perior, como es el caso del enfoque por competencias, implica un reto importante para los profesores:
díscllar estrategias que ayuden a los estudíantes a obtener conocimientos, habilidades, aptitudes y acti-
tudes que fortalezcan sus procesos de aprendizaje. Ese díscfto de estrategias tiene el objetivo de ayudar
a los alumnos para que, al tenninar sus estudios, puedan incorporarse en forma más eficiente al sector
iroductivo, contando con un nivel de desempeño que corresponda con las alias demandas competitivas
de las organizaciones actuales.
Para apoyar la practica docente y provocar la reflexión de los esrudíantes en los cursos de cálculo
integral, cuyos programas adoptan el enfoque por competencias, hemos creado este libro, el cual cuenta
con las herramientas requeridas por los planes de estudío actuales.
Por sus características, el libro puede utili1.arse como texto en un curso de cálculo integral basa·
do en este enfoque, porque cuenta con los siguientes elementos: actividades de trabajo; actividades
integradoras para la práctica constante y la integración de los conocimientos; referencias al uso de la
tecnología, cuyo propósito es lograr la comprensión de los conceptos matemáticos; ejercicios resueltos
y problemas de aplicación en contextos reales. Asimismo, ofrece una secuencia apropiada de ejercicios
para la conformación de un portafolio que integrará las evidencias generadas durante el desarrollo de
las competencias y permitirá determinar el grado de avance de los esrudíantes. También presenta cues·
tionamieotos metacognitivos con los que el alumno podrá Uevar pleno control de la forma en que está
logrando el aprendizaje.
Características del enfoque por competencias
incorporadas en este libro
La competencia profesional es un saber hacercomplejo que exige conocimientos, habilidades, aptitu-
des y actitudes que garanticen un ejercicio profesional y responsable que se aproxime a la excelencia.
Esta competencia, que se moviliza y desarrolla co.ntinuarnente, se encuentra en la estructura mental
de cada indíviduo; es parte de su acervo y de su capital como ser humano. Pero lo importante no es la
posesión de una competencia, sino el uso que se haga de ella, ya que el estudíante debe saber integrar,
movili7.ar y transferir un conjunto de recursos en un contexto con la finalidad de realizar detenninada
tarea o enfrentar problemas especfficos. Por eso, en cada unidad se proponen dífercotes ejercicios y
actividades que permiten al alumno optimiz.ar sus recursos.
Aunado a lo anterior, es necesario que el aprendízaje sea relevante, signillcativo, aplicable y que
los medios que se utilicen para lograrlo sean atractivos. Por eso se proponen actividades destacadas y
significativas que el estudiante podrá aplicar tanto en su proceso de formación cscolari1.ada como en
la vida real.
El enfoque por competencias pretende que el alumno transite desde los niveles receptivos hasta los
autónomos, para crear una metodología personal que le pennita alcan:rar el éxito en su formación. Por
ello, se abordan los aspectos propios del cálculo integral con una visión que permite al usuario incorpo·
rar los saberes a través de la práctica constante. La finalidad es que, ante cualquier problema, sea capaz.
de identificar, comprender y explicar su contexto para resolverlo con los conocimientos adquiridos. De
esta forma, el estudíante estará en condíciones de proponer y enfrentar nuevos problemas. www.freelibros.org
.tll Presentación
En el enfoque por competencias se destaca la capacidad de aprender a aprender, lo cual se en-
tiende como la capacidadpam reconocer los propios procesos de aprendizaje, •'aloror Ja necesidad
de inlegrar permamm1emen1e con<>cimienios y habilidades, y asf lograr auJonomfa en el desarrollo de
nuevas compe1encias. Gracias a la capacidad de aprender a aprender, es posible actuali1.ar de manera
continua los conocimientos y las habilidades. Por ello, en este libro se promueve el aprender a aprender
con secuencias de ejercicios donde se integran los conocimientos previos; llegará el momento en que
d alumno logre resolverlos de forma autónoma.
Secciones del libro
Este texto está estructurado CQn secciones que ofrecen elementos para el aprendimje tanto desde el
punto de visra disciplinario del cálculo integral como desde el enfoque por competencias. A continua-
ción describiremos las más sobresalientes.
Competencias. Al inicio de cada unidad se dcscnl>co tanto las competencias por desarrollar como
las actividades de aprendimje, las habilidades y las actitudes que pennitirán al estudiante incorpo-
rarlas a su acervo. Se listan también las competencias con las que deberá contar el estudiante antes
del estudio de los temas de cada unidad.
Organizador grifico. Es un diagrama donde se expresan las relaciones entre los conceptos que
se tratarán en la unidad, de tal manera que se adquiera una visión global de los conceptos que se
revisarán, para una mejor comprensión del contenido.
Antecedentes. Al inicio de cada unidad se ofrecen algunos ejemplos reales de la aplicación de los
conceptos que se presentarán y que ponen de manifiesto la relevancia social, económica o cientí-
fica del estudio de los temas.
Desarrollo teórico. En seguida se presenta el desarrollo de los ternas apoyados por una selección
de ejemplos resueltos, gráficas y otros recursos visuales; todos se seleccionaron con gran cuidado
para lograr una mejor comprensión de los CQnceptos.
Portafolio de evidencias. Consiste en una secuencia adecuada de ejercicios para la conformación
de un portafolio donde se integrarán las evidencias de los logros alcan1.ados durante el desarrollo
de las competencias.
Preguntas de reflexión. A lo largo del texto se incluyen interrogatorios mctaCQgnitivos (es decir,
preguntas rcfcrcntcS al dominio y la regulación que tiene el sujeto de sus propios procesos cognos-
citivos), con la finalidad de que el usuario reconotta la forma como está logrando el aprendizaje.
Actividades de aprendizaje. Son actividades desarrolladas con el objetivo de señalar alguna no-
ción importante y necesaria para el desarrollo de los subsecuentes conceptos.
Actividades de trabajo. En cada sección se solicita la realización de actividades que refuerzan la
incorporación de los saberes con base en una práctica conslante.
Actividades integradoras. Al final de cada unidad se presentan actividades de trabajo relaciona-
dos CQn todas las secciones, con el propósito de que el alumno retome los conceptos estudiados y
continúe con la práctica de integración de los conocimientos para reforzar lo aprendido.
lijemplos de aplicación. Es un conjunto de ejemplos que plantean situaciones reales de diferentes
campos del conocimiento, cuya solución requiere del dominio de las competencias por desarrollar. www.freelibros.org
Presentaci6n lx
Autoevaluación. Esui sección se encuentra al final de cada unidad. Ofrece al estudiante la OpOr·
tunidad de identificar los aspectos qoe resuelve con facilidad y aquellos que requieren mayor
atención y estudio.
Recursos en linea
En la página web de este libro están disp0nibles para descarga el Manual tú soluciones para el profesor
y las Sugerencias didácticas, ambos desarrollados por la autora para el uso exclusivo de profesores que
adop1en el libro como texto en sus cursos de cálculo integral.
También encontrará las respuesUIS de las actividades de trabajo e integradoras, y de las auroevalua-
cioncs, del libro.
Para tener acceso a estos recursos, visite la página:
www.pearsonenespanol.com/morales
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Agradecimientos
Oran parte de es1e libro fue escrita de manera paralela a mi labor como doccmc e investigadora del De-
partamenlo de Investigación y Desarrollo Tecnológico, adscrila a la división de lngenieria en Sislemas
Compuiacionales del Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán lzcalli; por eso, deseo agrade-
cera la inslitución por proporcioruume el ambien1e adecuado de trabajo y la fueme de inspiración que
hi7.o posible el desarrollo del presente libro.
8 polencial de este trabajo dependerá en mucho de la efectividad en la prcscoiación de sus 1emas
y el desarrollo de sus ejercicios. La exposición de muchos de ellos, y en especial el lema de sólidos
de revolución, fue posible gracias a la discusión colaborativa y acertada verificación de los ejercicios de
aplicación, reali2ada por J. Alfredo Lópcz Badillo.
E'n esia obra se quiso hacer especial énfasis en la importancia de la visualización, es decir, en el
papel que los aspectos gráfico y geoméll'ico desempeñan en la interiori1.ación de conceptos, teoremas y
demosll'aciones; para lograrlo, usamos diversas 1tcnicas y software de graficación que nos permitiera
presentar la información adecuada y pnecisa por es1udiar. Ello fue posible gracias a la colaboración
permanente de Eric Y. Chavarrfa Rojas.
Agradezco iambién a aquellas personas que, de manera incondicional, estuvieron al pendien1e de
la elaboración y evolución de mi trabajo.
P. Morales Álvarez
Cuautitlán 17.calli, Esiado de México
\l::rano, 2013.
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Contenido
UNIDAD 1 Teorema fundamental del cálculo 1
Antecedentes 4
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 5
1.2 Notación sumatoria 8
1.3 Sumas de Riemann 13
1.4 Definición de integral definida 17
1.5 Teorema de existencia 24
1.6 Propiedades de la integral definida 25
1.7 Función primitiva 29
1.8 Teorema fundamental del cálculo 30
1.9 Cálculo de integrales definidas 35
1.10 Integrales impropias 39
Actividad integradora de la unidad t 47
Contexto histórico: Isaac Newton y Gottfried Leibniz 48
Autoevaluaci6n de la unidad 1 49
UNIDAD 2 Integral indefinida y métodos de integración 51
Antecedentes 54
2.1 Definición de integrales indefinidas 55
2.2 Propiedades de la integral indefinida 59
2.3 Cálculo de integrales indefinidas o técnicas de integración 61
2.3.1 Directas (integrales directas) 61
2.3.2 Integrales con cambio de variable 65
2.3.3 Integración indefinida por partes 72
2.3.4 Integrales de funciones trigonométricas 76
2.3.S Jntegraci6n por sustitución trigonométrica 85
2.3.6 Integración de funciones racionales por el método
de fracciones parciales 92
Actividad integradora de la unidad 2 104
Contexto histórico: Isaac Newton y la serie del binomio io7
Autoevaluación de la unidad 2 io8
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xll Contenido
UNIDAD 3 licaciones de la intefil:_al ____ 1-'-o _,,9_
Antecedentes
3.1 Áreas
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función
3.1.2 Teorema del valor medio para integrales
3.1.3 Área entre gráficas de funciones
3.2 Longitud de curvas
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución
3.3.1 Método de discos
3.3 .2 Método de anillos
3.4 Cálculo de centroides de regiones planas
3.5 Otras aplicaciones
3.5.1 Integración numérica
3.5.2 Circuitos electromagnéticos
3.5.3 Decaimiento radiactivo
3.5.4 Crecimiento poblacional
Actividad integradora de la urudad 3
Contexto histórico: Cálculo de Newton del número ?T
Autoevaluación de la urudad 3
112
u3
113
117
124
135
143
143
147
153
161
161
164
166
168
171
175
176
UNIDAD 4 Series 177
ＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭｾ＠
Antecedentes
4.1 Definición de serie
4.1 .1 Serie infinita
4.2 Serie numérica y convergencia
4.2.1 Prueba de la ra7.Óll o criterio de D'Alembert
4.2 .2 Prueba de la raíz o criterio de Cauchy
4.3 Series de potencias
4.4 Radio de convergencia
4.5 Serie de Taylor
180
181
184
186
187
188
191
193
196
4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor 198
4.7 Cálculo de integrales de funcionesexpresadas como
series de potencia 202
Actividad integradora de la urudad 4 205
Contexto histórico: El cálculo de Leibniz 207
Autoevaluación de la unidad 4 208
Apéndices 209
Respuestas de las actividades de trabajo e integradoras 225
indice anal!tico 253 www.freelibros.org
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
flundamental
cálculo
E 1 problema esencial del cálculo integral consiste en estimar, de mane-ra sencil la, áreas de superficies debajo de la gráfica de funciones.
una gran variedad de conceptos se describen como el producto de dos
variables, por ejemplo: trabajo como fuerza por distancia; fuel78 como
el producto de la presión por el área; masa como densidad por unidad
de volumen. Si cada uno de los factores que componen el concepto se
asocia con cada uno de los ejes coordenados, el producto se define en
el plano como un área susceptible de calcularse a través de una inte-
gral, y esto es posible gracias al estudio del teorema fundamental del
cálculo.
Contenido
Medición aproximada de figuras amorfas 1.6 Propiedades de la Integral definida
Notación sumatoria 1.7 Función primitiva
Sumas de Rlemann 1.8 Teorema fundamental del cálculo
Definición de integral definida 1.9 Cálculo de Integrales definidas
Teorema de existencia 1..10 Integrales Impropias
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COMPETENCIAS POR DESARROLLAR
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Contextualizar el concepto de integral definida.
• Visualizar la relación entre cálculo diferencial y cálculo integral.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
• Se propone realizar las prácticas sugeridas en cada Inciso.
• Para una colección de funciones simples, construir la primitiva a partir de la definición.
• calcular integrales definidas diversas y asociar cada integral con su interpretación
geométrica.
• Verificar el teorema fundamental del cálculo con pares de funciones e igualdades.
• Realizar algunas de las lecturas recomendadas.
HABILIDADES Y ACTITUDES
• Refuerzo de habilidades para graficar diferentes tipos de funciones.
• Desarrollo de habilidades para Interpretar g¡áficas en términos de áreas.
• Desarrollo de habilidades para modelar problemas de ingenieña a través del cálculo integral.
COMPETENCIAS PREVIAS
Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante
cuente con las siguientes competencias:
• Uso eficiente de ta calculadora, respetando la jerarquía de operaciones.
• Evaluar funciones trascendentes.
• Despejar el argumento de una función.
• Dominar el álgebra de funciones racionales, así como de expresiones con potencias y
radicales.
• Identificar, graficar y derivar funciones y sus Inversas.
• Manejar identidades trigonométricas.
• Identificar, graficar y derivar funciones exponenciales y logañtmicas.
• Uso de software para construir g¡áficas de funciones (Winplot, Derive, Padoman, Grap, Origin,
Mapte, etcétera). www.freelibros.org
Teorema
fundamental
del ｾｬ｣ｵ ｬｯ＠
ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 1
Medición 1
aproxlmada de figuras
amorfas (áreas)
Definición de
Integral definida
Propiedades
de la integral
definida
Teorema
fundamental del
cálculo
Integrales
impropias
Cálculo de áreas
limitadas por
el plano
Notación
sumatoria
Teorema de
existencia
Función
primitiva
Cálculo de la
Integral definida
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Antecedentes
A decir ''crdad, Leibniz y Newton, padres del cálculo iofioitesimal, no fueron los primeros que aborda-
ron los problemas que vamos a analizar, ya que veinte siglos antes los griegos. como Eudoxo y Arquí-
medes, usaron métodos muy parecidos a Jos actuales para el cálculo de tangentes y s11perjicie,s. Incluso
hay quienes piensan que no llegaron al descubrimiento del cálculo
debido a dos razones: su temor al infinito y a que no contaban con un
lenguaje propio para el efecto, como Jo es el álgebra.
No fue sino hasta el siglo xvo que se abordaron estos dos pro-
blemas: por un lado se desarrolló el método general para obtener la
derivada de cualquier función, y, por otro, se dio importancia a la
relación entre la derivada y la integral. A esta relación hoy la cono-
cemos como teorema fi1náamenJol del cálculo. Este teorema dice
que derivar o calcular tangentes e integrar o calcular supcdicies son
operaciones inversas una de la Gira.
Newton se dio cuenta de esto utili7.ando una de las invenciones
de Pierre de Fermat, quien habla desarrollado una fórmula de solu-
ción para el cálculo de superficies de toda una familia uniparamé-
lrica de curvas.
En concreto, lo que vio es que el área bajo las curvas de la
forma y=)(' desdex = Ohastax= a viene dada por la expresión:
,,....., . En la figura se puede apreciar un ejemplo.
n + l
El área de la superficie sombreada es, según la fórmula obte·
nida por Fermat, a' / 3.
Newton, en sus investigaciones acerca de cómo es el univel$0,
concluyó que es dinillnico, esto es, algo en constante cambio. Su
pensamiento especuló con variables que cambiaban con el tiempo.
A las variables las llamó ftuenies; a sus velocidades de cambio,
fluxiones. Lo que Newton quena saber era el ritmo en el que cam-
bian las variables físicas a medida que pasa el tiempo.
E'sta forma de pensar en cómo cambia el mundo le llevó a
1
y=r
a
y
s
abordar los problemas desde dos puntos de vista distintos: desde el enfoque matemático, vefa las curvas
como relaciones entre las variables de una función; en cambio, desde el punto de vista físico, observaba
las curvas como expresiones de movímicntos. A través de esias perspectivas descubrió que el problema
de la tangente y el problema de la velocidad eran en realidad uno mismo.
Newton no solo abordó el problema de la velocidad de cambio de una variable respecto de otra o,
lo que es lo mismo, la derivada, sino que ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠ resolvió el problema inverso, pues calculó fluentes
de fiwciones; es decir, calculó el comportamiento de una variable cuando se conoce su velocidad de
cambio, lo que es equivalente a obtener una función primitiva.
Newton consiguió antidcdvar la familia de funciones y = X'. Averiguó que las primitivas corrcs-
x .. + 1
pondientes son las funciones de la forma y = --.
n+I www.freelibros.org
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 5
Newton, al obtenerlas, las relacionó inmediatamente con la solución de Fermar para el cálculo de
superficies de curvas de la forma y = x". Al encontrar esta conexión y, aunque nunca dio una demostra-
ción formal, se convenció de que calcular primitivas y superficies eran en realidad operaciones idénti-
cas. Y dado que calcular una primitiva es lo inverso a obtener una función derivada, determinó que el
cálculo de tangentes y superficies son problemas inversos.
Esto fue muy importante para la época, ya que Newton habla desarrolJado métodos para derivar
casi cualquier cosa; entonces, el problema de la superficie se pod!a resolver mediante cálculos de pri-
mitiva y no solo de un tipo en particular, sino de una inimaginable colección de ellas.
La verdadera importancia del trabajo de Newton radica en el hecho de que se estableció una nueva
conexión entre conceptos hasta entonces separados: la tangeme y la superficie.
Conceptos previos
En muchos problemas de cálculo aplicados a la ingeniería, primero debemos encon-
trar, a partir de algunos datos, las expresiones matemáticas de las funciones cuyos
valores óptimos se quieren conocer. Imagine la siguiente situación bipotétiea: desea
construir una caja cuadrada abierta por arriba, del mayor volumen posible; para ello
cuenta con una hoja cuadrada de metal a la cual deben cortarse cuadrados iguales de
las esquinas y doblar hacia arriba el metal para formar las caras laterales. La pregunta
es: ¿cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? (Véase figura l.l)
l
u
1
Observando la figura 1.1, vemos que a es cl valor de un lado del cuadrado y que x es
la distancia que se debe calcular, por ello, la función que rep=ta al volumen en
términos de la distancia por encontrar será:V(x) =(a -2r)2x Ecuación ( l)
o bien,
V(x) = a2x - 4a.t2 + 4x3
Sabemos que una función encontrará su punto crítico, ya sea máximo o mínimo,
cuando el valor de su primera derivada sea nulo, lo cual nos dicta la condición de
máximo volumen. As!, el valor crítico de V(x) se encontrará cuando V'(x) = O; es
decir.
V'(x) = a2 -Sax + 12r' www.freelibros.org
6 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Preguntas
de reflexión
Entonces:
al-8ax+J2x2 = 0 o bien (a - 6x)(a - 2x) = 0,
locualsigni6caque:(a - 6x)=0 o (a - 2.r)=O;
1 rf
. a a
p0r tanto, os puntos e neos son: x = ;¡ y x = 2.
En este punto la pregunta es: ¿qué valor debemos elegir para encontrar el volu-
men máximo? Para rcsolveda, observamos que de V(x) =(a - 2x)2x,
si ｸ］ｾ］＿＠ ｶＨｾ｝］Ｈ｡ Ｍ ＲｾｦＨｾ｝］ｯ＠
x = ｾ］ｽ＠ ｶＨｾ｝＠ ］｛｡ＭＲｾｦ＠ ｛ｾ｝］＠ Ｒ ｾ｡ Ｇ＠
:. El valor que estamos buscando será x = ｾﾷ＠
Es decir, la caja construida tendrá un volumen máximo cuando las esquinas se corten
a un sexto del lado del cuadrado y dicho \'O lumen será igual a:
ｖ ］ｾ｡＾＠
27
Conteste y debata con sus compañeros las siguientes preguntas y entreguen una con-
dusión por escrito.
Activ idad de a prend i zaje 1 .1
l. ¿Cuál es el significado fi'sico de elegir el valor dex como la mitad de la
longitud del lado del cuadrado?
2. ¿Cuál esel papel que juega el cálculo de la primera derivada en la solución
del problema?
La actividad de aprendizaje 1.1 tiene como objetivo ser una prueba de diag-
nóstico que le permita al estudiante contestar los siguientes cuestionamientos:
• ¿Soy capaz de ''traducir" un problema matemático al lenguaje cotidiano?
¿Soy capaz de reflexionar un problema con sllficieote profundidad para
transformado en un modelo matemático?
• ¿Comprendo el concep10 de variables dependientes e independientes?
¿Comprendo claramente Ja interpretación geométrica de Ja primera derivada
de una función?
¿Comprendo el concepto de optimización de una función? www.freelibros.org
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 7
Actividad de aprendizaje 1.2
Mediante el método que estime conveniente, calcule el área aproximada de las
figuras amoñas, en a) cm2 y b) mm2.
FP•1.2b
O!Mervaclón: Copie las figuras I.2a y l.2b y dibujclas en una superficie indepen-
diente. Después, realice lo siguiente:
e) Por equipos debatan y expliquen de manera exhaustiva los procedimientos
usados en el cálculo de las áreas correspondientes.
d) Proponga una cota superior y una inferior para las áreas de ambas figuras.
Estrategias para calcular el área aproximada
defiguras amorfas
Las diferentes "técnicas" usadas por los estudiantes para calcular el área aproximada
de uoa figura amorfa dan cuenta de sus concepciones y conocimientos previos. Oc
esta manera, por experiencia observamos que en la solución de la actividad de apren-
dizaje 1.2 aparecen dos constantes:
• La figura l.2aevoca en el estudiante la necesidad de un marco referencial, ya que
en general se tiende a dividir la superficie en figuras ya conocidas, tales como los
cuadrados. Para ello, se usa, como punto de partida, la hoja de papel sobre la cual
se dibuja la imagen, es decir, el alumno empica medios ffsicos para abstraer el
concepto intangible que le ocupa.
La figura l. 2b, cuyos bordes son a prop6siro líneas recias, induce constantemente
en el estudiante la práctica de dividirla en la figura geomécóca por excelencia: el
triángulo. A partir de él, calcula el área aproximada deseada.
Eilta actividad permite al estudiante la heurística, que lo induce a usar sus cono-
cimientos intuitivos del cálculo de áreas y superficies, lo que a la postre lo estimula a
reOexionar sobre los siguientes puntos: www.freelibros.org
8 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Preguntas
de reflexión
• ¿ Coaozco el concepto de .irca y sus unidades de medida?
¿Recuerdo las fórmulas básícas de cálculo de .ircas, como cuadrados. trián·
gulos, rectángulos y circunfercocias7
• ¿Reconozco los elementos geom6trlcos que caracterizan una figura geomé-
trica, como son perímetro, apotema, bases, alturas, vénices. aristas y caras?
• ¿Reconozco las relaciones algebraicas entre los diferentes elementos geomé-
tricos?
ｾ ｯｴ｡｣ ｬ ｮ＠ sumatoria
Act i vidad de aprendizaje 1.3
Calcule, por el método que estime conveniente, el llrea de la siguiente figura
limitada por el plano canesiaoo.
y y
R ... 1.3o Fl!Pn 1.3b
Deba111 con sus compailcros cuál fue el método más adecuado para calcular el
valor de las áreas indicadas. Expliquen por qué fue el más adecuado.
Si intentamos definir el área de regiones especiales, tales como las que se repre-
sentan en las figuras l.3a y l.3b necesitaríamos establecer algunas consideraciones
de forma. Así, dibujando nuevamente la 6gura l.3a, obtenemos la figura 1.4.
J(x)
(a,O) (b,0)
• Observarnos que está limitada por
el eje x horizontal; las verticales
por (a, O) y (b, 0) y por la gráfica
de una fuociónf(x) tal que:
f(x) ｾ ｏ＠ \lx E ¡a, b)
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1.2 Notación sumatoria 9
Conviene denotar esta región como R(f, a, b ).
Observemos también que esta región contiene dentro de s( diferentes figuras
geomélricas (como lriángulos, rectángulos y otras figuras amorfas) o puede dividirse
en esas figuras; sin embargo, por simplicidad dividiremos el intervalo [a, b] en algu-
nos subintervalos.
l'Qr ejemplo, si dividimos [a, b] en cuatro subintervalos, tendríamos que definir-
los (l'éase figura 1.5)
"
Jtr)
Si quisiéramos calcular IBs áreas de estos cuatro rectángulos formados por la divi-
sión, también tendrlamos necesariamente que obsen'llr que, sobre los subintervalos,
Ja función presenta un valor máximo M y un valor mínimo m.
M f',;x)
m
ｾ Ｑ ＮＸ＠
Si m1 es el valor mínimo del primer subintervalo y M1 el valor máximo del
mismo (en consecuencia, m2 será el valor mínimo del segundo subintcrvalo y M2
el máxin10, etcétera) y si S1, s,. S:i y S4 representan las áreas de los cuatro subinter-
valos respectivos, existirán dos maneras de calcular el área aproximada de R(f, a, b)
mediante la fórmula de área ya conocida: usando el valor mínimo m o el valor
máximo M. Así,
SM = m1(x1-x0)+ 111z(x2 -x1) +m3(x3 -x,)+ m.(x, -x3) www.freelibros.org
10 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Definición 1.
Definición 2.
represeora el área de los rectángulos que están dcnlJO de R(¡, a ,b), en ranto que:
Reprcscnra el llrca de los rectángulos que quedan fuera de R(f, a, b) Observemos
que:
S.,< RyR <S,,
Esta conclusión se cumplirá independientemente del número de subintervalos que se
hayan elegido y, además, si /(x) está definida en [a, b], aboca podemos establecer
la siguiente:
Toda colección finita de puntos que se encuentran contenidos den1ro del inter-
valo [a, b). donde a < b, recibe el nombre de partición del intervalo.
Podemos fácilmente numerar o nombrar los elementos de la partición como lo hici-
mos en el desarrollo anterior; así
a=x., <x, < x2 .. . < x_ , <x, =b,
donde los elementos serán X<>, x, , ... x,_, , x, y donde
m1 =Valor inferior de la función
M1 = Valor superior de la función
si
si
Usando esto podemos reescribir Sm y S¡,¡.
Xr-1 $ x $ X;
X t-1 $ X $ X;.
La suma inferior de /para una partición cualquiera p = [:to. x1 .... x. I del inter-
valo [a, bJ es
S,,. = 'tm1(x1 -x;_1) ,_, E.cuación (2)
La suma superior de la/para una partición cualquiera p (x0, x1, ••• x,) del ín·
tervalo [a, b] es
S,, = tM,(;c1 - x1_ 1) ,_, Ecuación (3)
A la forma de cscn1>ir una expresión que contiene sumas se le denomina notación
sumatoria, y esa es la razón de usar la letra griega sigma.
Lecra griega sigma www.freelibros.org
U Notac.ión sumatoria U
Por tafo lio de ev i de nci as 1
Discuta con sus compalleros y concluya por escrito sobre los siguientes
aspectos:
a) ¿Qué significado tiene para el cálculo del valor del área de la región
R(J, a, b) el hecho de quefesté acotada en [a, b]?
b) ¿Si P1 y P, son dos particiones cualesquiera de [a, b] es posible que:
ｓＢｾｓＬＮ＿＠
Estime ｓｾ＠y S., para el área de la región R(f, O, 5) con:
a) cinco rectángulos de aproxímacióo, si f(x) = 25- x2
b) diez. rectángulos de aproxímación
y
Según la definición 2:
M1 = /(0)=25
M2 = /(1) =24
M, =/(2)=21
M, = /(3)= 16
M, = /(4) = 9
rn1 = /(1) = 24
"'2 = /(2) = 21
m3 = /(3)= 16
m, = /(4) = 9
m, = /(5)= o
s
•
a) /(0) = 25
f(I)= 25 - 1=24
f(2) = 25-4 = 21
/(3) = 25-9 = 16
!(4)=25- 16=9
f(5) =0
Partición de f para cinco subintcrvalos
P = ( I, 2,3,4, 5)
[O, I] [1, 2] [2, 3] ('3, 4) [4, 5]
V(x; - x1_1) = 1
s., = 25 + 24 + 21 + 16 + 9 = 95
V(x1 - x1_1) = 1
s .. =24 +21+ 16 +9 = 70
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12 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
b) Para IOsubintervalos R(f, 0,S)con /(x) = 25-x1
1
/(¡<)
X
10
p = {Xo,··· X10 }
los subintervalos
ｬ Ｐ ﾷ ｾ ｬ ﾷｈﾷ＠ 1 l· l1·%l·I% ·2l·f 2·il·
1%· 3J.l3• ｩｬﾷｉｾﾷ＠ Ｔ ｊＮｬ Ｔ ﾷｾ ｬ ﾷ ｬ ｩﾷ＠ 51
Así
'
M1 = /(0) M• = 1(%)
Mi =1H) M1 = /(3)
M, = /{I) M, ］ＯＨ ｾＩ＠
M. =/(%) M9 = f(4)
M, = /(2) Mlo = Ａ ｛ｾＩ＠
Su = Í:M1(x;- X;- l), coox,=x1 . • . x 10
i • l
s., = Mf(O) + Ｑ｛ｾＩＫ＠ /(1) + 1(%)+ /(2)+ 1[%)+ /(3)+ Ｑ｛ｾＩＫ＠ /(4)+ 1(i)J
= ｾ｛ＱＷＸＮＷＵ｝＠ = 89.375
10
Ahora s"' = Lm;(x¡ - X¡- 1) con.t;=Xl•"'l, ... .t,o
i • I
""' = /(3)
,,,,, = /(1) m, = 1ff l ,.
m, = 1(%) m, = f(4)
m, = / (2) ,,., = 1rnJ
'"• = 1(f) ln10 = /(5)
como \l(x1 - x1_1) Cl esta partición = 112
1
Sm = 2(153.75] = 76.875
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1.3 Somas de Rlemann 13
Obserwcióo: P.n el ejacido para d caso a), oonsidcramos S., < S"' lo mismo que para
clcasob);sioanb:ugo,paraelcasoa),S" - s.= 2.'iypu:aelcasob) s,, -s. = 12.5.
Portafolio de evidencias 2
Debata con sus compa5eros la siguiente pregunta: ¿qué sucederá con la dife-
rencia (S., -s. ) si se aumenta el mlmero de subintervalos?
ｾ＠ Sumas de Rlemann
a) Entreguen su argumentación y conclusión por escrito.
b) Busquen y propongan una función y calculen s" -s,. para cinco y
diez subintervalos.
De las actividades anteriores observamos que tenernos una partición cualquiera P de
n elementos p = {xo ... x. ) del intervalo (a , bJ y que para cada i elegimos un punto
localizado entre [x,_, , x, J.
• s. 5 Lf(x, Xx, - x,_,) 5 S,v
l • I
Ecuación { 4)
La suma
• L:1<..,>«· - x,_,) Ecuación (5) ,_,
recibe el nombre de suma de Riemman de una función/por una partición P. La re-
presentación geométrica de la ecuación (4) puede verse en la figura 1.9.
y
ｾ Ｉ＠
.., ... 1.9
La suma de Riernman (ecuación 4} representaría el ID-ca tO!al de los n rectángulos
correspondientes a la partición P, que se encuentran contenidos por encima y por
debajo de f (x). Otra conclusión que se deriva de la ecuación (4) consiste en que,
cuantos más sean los elementos de la P, las bases de los rectángulos serán lo sufi-
cientemente estrechas para que s. :::: S" y, a su vez, el valortotal de la ecuación (4)
arrojará el valor del área de la región R. www.freelibros.org
14 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
La figura l.10 muestra la gráfica de una funciónf, cuyos valores pueden ser dados a
partir de la imagen. Utilice cinco rectángulos para encontrar un valor aproximado del
área debajo de f(.x) en el intervalo [0, 15].
SOLUCIÓN
Los subintervalos serán: [O, 3], (3, 6], [6, 9], (9, 12], (12. 15].
' x, = 1.5
Si se elige: x2 = 4.5
X)= 7.5
x, = 10.5
x, = 13.5
Área de la región = L:J(x1 )(x1 - x,_,) ...
\f(x, - x,_,) = 3
A= 3(J(l.5) + !(4.5) + J(7.S)+ f(IO.S) + !(13.5))
A = 3(47.S] = 142.5
CONCLUSIÓN
X¡, x,_, E (0, 15]
Suponiendo que una función f sea continua o esté definida en todo punto de un inter-
valo [a. b) dividido en n subi.ntervalos de la forma (x, - x1_,)
F.cuación (6)
será el área de la región limitada por dicha función J, sus correspondientes verticales
co [a, b) y el eje horizontal. www.freelibros.org
ｾ･ｭｰｬｯ＠ 3
1.3 Somas de Rlemann 15
Derennine la suma de Riemann definida en el intervalo [-2, 2] para.f(x) =x'- - 4 para
11 muy grande (n - oo} •
SOLUCIÓN
•
Se sabe que: lím l:JC<1}Ax1
•-OO i-1
donde tu1 ］ｾｹ＠ x1 = -2+i!u1 = ＭＲＫｾｩ＠
n n
Recuérdese también que
't,; = n(n+ l} _ 112 +!!..
,_, 2 2 2
t¡> = n(n + IX2n + I} _ n3 + n1 + !!.
l•l 6 326
y
• 4 • ([ 4 )
2 l 4( • ( 16 16 ) • l ¿¡cx,}lu,= - E -2+-i - 4 =- L:4--i+ 2 ;1 - E4 ;.1 n ,_, n n 1• 1 n 11 ;.1
= ｾｴＴ Ｍ ｾｴ ｬ Ｖ＠ ｩ Ｋ ｾｴｬｾ＠ ｪＲ Ｍ ｾｴＴ＠ ］ Ｍ ｾｴｾｩ Ｋｾ ｴｬｾｩＧ＠
n ;.1 n ;-1 n n i•I n n ,_, n i• l n n r-1 "
64 • 64 • 64("2 "} 64(113 112 "} =-,L:;+,¿;2=-2 -+- +, - + -+-11 1.., n ,_, n 2 2 n 3 2 6
Uevando el límite cuando n - oo; se obtiene
t ( 32 64 32 64 ) 64 2 lún f(x1}Ax1 = llm - 32 - -+-+-+- = - 32+-= - 10.6u •-oo i•I !f-<iO n 3 n 6n2 3
Portafolio de evidencias 3
Debatan, comcntco y propongan una nomenclatura o simbología que permi-
ta definir a partir de la ecuación (4), cuando n tienda a un valor muy grande
(n -+ oo} .
Debatan grupalmente para responder lo siguiente:
a) ｾ￩＠ tipode funciones ticncla propiedad deque todas,. es igual a s,,1
b} ¿Qué tipo de funciones tiene la propiedad de que rodas las sumas infe-
riores sean iguales1
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18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Preguntas
de reflexión
Act iv i dad de trabajo 1 . 1
1. Evalúe la suma de Ricmann paraf(x) = 3 - x2cn (0, 2] con cinco intervalos
tomando los puntos de la derecha como puntos muestro y explique geomé-
tricamente su resultado.
2. En la siguiente tabla se proporcionan los valores de una función obtenida
por medíos experimentales; utilícelos para estimar el valor del área de la
función f en [O, 6] tomando los puntos medios y teniendo como dato que
la función es decreciente.
X fl.x)
o 9.3
l 9.0
2 8,3
3 6.5
4 2.3
5 -7.6
6 - I0.5
3. Utilice un software para graficar la función f (x) = e,>, y:
a) Estime el valor del área debajo de esta gráfica en [-2, 2] con cuatro
rectángulos de aproximación, y
b) oon ocho rectángulos y romando los puntos medios.
c) Esquematice la curva usando el software y los rectángulos de aproxi-
macíón.
• ¿Comprendo el concepto de partición de un intervalo?
• ¿Soy capaz de calcular a partir de partlciones de un subintcrvalo el área bajo
la curva de alguna función?
• ¿Entiendo el significado geométrico de que P. -+ oo?
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1.4 Definici6n de integral definida 17
Definición de Integral _de_fl_n_ld_a _____________ _
Si definimos llx1 = (x1 - x,_1}, la ecuación (4) puede cxpn:sarsc como:
cuya interpretación geométrica será Ja de la suma de las medidas de las áreas de Jos
rectángulos que están sobre el eje x y contenidas en la curva/(x).
Notemos, en este caso, que dicha definición no se restringe a UD valor necesaria-
mente positivo de/(x). Asl,/(x) podría tener llllllbién valores negativos en la función.
En este caso. la región total debajo de la curva/(x) será:
11-t R = s,+ s,+ s,
Observamos, sin embargo, que f(x) toma valores positivos en S2• Es decir, se conside·
ra queS1 y S3 son regiones negativas que deben sustraerse debido a que no están bajo
la curva, sino sobre la curva de la función f(x}.
En general si existe UD número infinito de particiones para UD intervalo cualquicr:a
[a, b] y si/está definida en dicho intervalo, podemos definir a la ecuación (6) como:
Ecuación (7)
A la ecuación (7) se le conoce como integral definida de la función en el intervalo
[a, b ], donde el límite del lado derecho existe y /es continúa en el intervalo definido.
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18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Ejemplo 4
E.o la ecuación (7) a f (x)dx se le conoce como integrando o argumento de la in-
tegral, mientras que a y b son el límite superior y el límite inferior, respectivamente,
y al símbolo "f" se le conoce como el símbolo de integración, el cual es scmcjanl.e
a una "s" muy alargada que mantiene presente el origen del concepto observado en
las ecuaciones (1) y (2).
Si / (x) es integrable, 11• scgán la definición de la ecuación (6)
Sm :$ f.• f(¡c)dx :$ s,, V P E (a.,b]
y entonces J.• f (x)dx será una propiedad y tendrá unvalor único.
Suponga que f(x) = C V x E' (a,b) ,.
Si P = {x0 ,x1, ... x. ) es una partición cualquiera de [a,b]
de manera que:
m1 = M 1 = C
•
ｳ ｾ＠ = E C(x, - .. ,_,) = C(b - a) ,...
s,. = tc"°, - x,_,)= C(b - a) ,_,
F.cuación (8)
Para este caso particular, !odas las sumas inferiores y superiores son iguales
s,. = s., = C(b - a)
Usando la ecuación (7) podemos decir que:
si f(x) = C 11111t /es integrable sobre [a, b)
y que J.• f = C(b - a)
Observación: Esta integral asigna al rectángulo el valor del área ya conocida tal y
como se observa en la figura 1.12. www.freelibros.org
Criterio
y
o =xo .. , .,
1.4 Definici6n de integral definida 19
,._,
Jlx) s e
i
:
b=
X
X.
Esta observación nos permite Cllpresar el siguiente criterio de integrabilidad.
Si f esro aeotada sobre [a, b ], entonces f es integrable sobre (a, b] - 'h >O
otisteuna partición Pde [a,b]tal que s,.. - Sm <c.
Scaj(x) = xcncl intervalo [0,b]eon b >0. Si P = lx.,x,, ... x. lcn la prutición do [0,b]
1• m1 =x1. , y M1 =x1
•
Sm = ¿x,_,(x; - .t;.1)
·-·
•
S,, = 2:x1(x1 - x1• 1)
¡,.¡
= x1(r1-xo)+x2(Xi-X1)+ +x.(x. -x-1)
.f.x)
o
•1-1 JC¡ b
Para particiones P. = fx0 ,x1, ... x.J en n subintervalos iguales, la longitud de cada
intervalo (x, - x1• 1) será siempre É-, de manera que: n www.freelibros.org
20 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Xo = 0
b
x1= -
n
2b ib
x2 = - ... en general,x1 = -
n n
•
$"" = L:xi-1 (X¡ - X;-1) ,_,
• (i - l)b b b2 • = I:--·- =2I:(i - l)
;.1 n n n ;.1
Sabemos que ta sumatoria tj = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n: I) se puede rccsctlbir
J•I
como S,. si hacemos (i - 1) = j
S,. = b2 (n - IXn) _ b2 • n - 1
n2 2 2 n
Tambi6n
• • ib b n(fl + 1) b2 n + J b2
s., = I:x1G>-1 -x1_ 1)= I:- ·- = ·-;= - ·-
1. 1 '-' n n 2 n n 2
b2 2 b2
Observación: Sin es muy grande (n -+ oo), S,. = Su -- y S,,-S,. - · -
b' 2 n 2
= - , lo cual significa que cuanio mayor sea n, más pequeña será In diferencia; o
" bien, S,, = S,. puede ser tan pequeña como se quiera, pero siempre existirá soto un
,aJor por cada propiedad.
Asl, 'In:
bl s_ < - <s ..
- - 2 - m
111• Usando la ecuación (7) tenemos que:
J: JG<)dx en estos casos: J.• b' ! =-• 2
Observamos también que esta forma asigna el valor b
2
al ttiángulo rectángulo cuya
base es by nltura b. 2
Si a =Oyb = b i• se cumple que:
f • f = b2 - ª 2 • 2 2 www.freelibros.org
y
o b ¡;
A=-
2
Rgon1.1A
1.4 Definici6n de integral definida 2j.
Por tatollo de evidencias 4
Debatan en equipos la comprobación de la expresión anterior J: f =
li' a' --- para a,. O.
2 2
Ejemplo 6
Analicemos un tercer caso aumentando el grado de la variable. Sea /(,r) = x2 y sea
P = {x0 ,x1 ... x,)unapa11icióndel intervalo [O,b).
Ｂｾ＠ = f(x, _,) = C>-1-1)2
y
y M1 = /(r1) = x'f
Eligiendo una partición P (n pa11es igua-
les), de forma tal que:
j ·b
X;= -
n
CalculandoSm = :t(x,_,)2(x, -x,_,)
l•I
"" b' b b
3
..... = ¿_,(i-1)2 2·- = 3 ¿_,(i-I)'
1_. nnn ;,..1
Haciendo (i - IJ' = j2 y recordando que 12 + · · · + k2 = .!. k(k + IX2k + 1)
6
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22 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Calculamos:
• • t>2b IJ'• b3 1 s.,= ¿;x,2 (x1 - .r,_1)= ¿;;2 2 . - =-, ¿;;• =··- n(n + 1)(2n+ 1)
i•I l'-.t tJ n n ,·. 1 n 6
Observemos que sin tiende a un valor muy grande (n -+ oo) 1•
b3
s'" =-
3
Usando nuevamente la ecuación (7) tenemos que:
J.
• b3
0
1 = 3.donde [0, b]esel intervalo [a,b]cona = O.
J.• b' .1=3.
I!ll>I!! .. 1. ............ ....... .... ................. .... ........... ............... ...... .... ........... ......... .. ...•
Rxlemos resumir los resultados de los tres ejemplos anteriores como sigue:
J.•1 = C(b-a) sí 1(x)=C'Vx
f •1 -- b' - a' si' • 2 2 1(x) = x'lx
f •1 -- b' - a' si· • 3 3 1(x) = x' 'Vx
Notamos o concluimos a partir de la tabla resullante que
Así,
Es decir, tiene el mismo significado de esta forma también:
Además, sí 1 = 1(x), puede utili;mrsc cual·
quier letra para denotar a la variable x, ya
que el símbolodxcarece de significado por
sí solo.
J.• 1(x)dx = J: 1(y)dy =J.• 1(w) dw P.cuación (9) www.freelibros.org
Preguntas
de reflex ión
1.4 Definici6n de integral definida 23
Lo anterior señala que la manera de simbolizar la variable dentro de la función es
simplemente una ooiación o una manera de decir quef(x) tomará ese valor Vx.
1 Ejemplo de apllcac lón
U11a empresa a111omotriz. después de observar 400 unidades tk prod11cció11, de1em1i·
ro que el tiempo de mano de obro req11erido después de ensamblar la unidad (x + 1)
es de:
f(x) = 500x- •1'2
Con base en esa información, calcule las horas requeridas para producir 500 unidades
adicionales.
SOLUCIÓN
Como la ecuación fl,r) = 5oox-"1 determina el tiempo de mano de obra de ensam-
ble de la unidad (x + 1), se tcndrá que resolver Ja integral de f(x) y definirla de 400
hasta 900 unidades, ya que se solicitan las horas para producir 500 unidades adicio-
nales. Por ello:
J:: 5oox-"2dx = 500 J:: 500 ... -•ndx
Aplicamos la antiderivada y tenemos
·HJ+•
500 T = ＵＰＰＨＲｻￍｸＩｉｾ＠
2
= 1000(;/900)- ;/400 = 10000 horas
Portafolio de evidencias 5
a) Ilscutan grupalmente para encolllrar una expresión equivalente a:
J.., f(x -c)dx •+<
b) Por equipos de trabajo, demuestren que J.• x' dx = b' 14 consideran·
don particiones del intervalo [O, b) 0
c) De la misma manera demuestren que J
0
• x• dx = b5 15
• ¿Soy ca¡>ll de generalizar un resuliado a partir de las observaciones?
• ¿Soy ca¡>ll de inducir un resultado una vez que he entendido el comporta·
miento y las características del mismo?
• ¿Soy ca¡>ll de concluir matemáticamente a panir de la observación y el
registro de datos alfanuméricos y de definiciones y teoremas? www.freelibros.org
24 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
mll.!_eorema de existencia
Teorema
En la exposición previa a esta sección pudimos observar que para el cálculo de las
áreas correspondientes bajo la curva necesitamos conocer, primero, la función que
genera dicha curva, esto es, un determinado intervalo [a, b] que se trabaja sobre una
partición P = (4 ... x.}. y que cuanto mayor sea la partidón (n .... oo) podemos
aproximamos más a un número común. Dicho número recibe el nombre de integral
de la función f. EstaS condiciones permiten establecer el siguiente:
Si fes acotada sobre [a, b]-> fes integrable sobre [a<-+ b] Ve> O 3 una par-
tición P de [a, b] tal que: S.,(f,P)-S.(f, P) <E
Más aün, nos podemos preguntar entonces: si una función continua en [a,!>],
¿será también integrable en el intervalo?
Para que esto sucediera, necesitaría existir una partición P de [a, b] V E > O tal
que s.,(/, P)-Sm(f, P) < e; también como suponemos que/es continua en [a,b],
existe un mímero 6 > O tal que
Vx ,yE [a, b], si lx- y1<6 ｾ＠ 1 f(,x)-J(y) I< e
2(b - a)
En cuyo caso tendríamos que elegir una partición P = (x0 , .•• x,}, donde se cumplirá
que el valor absoluto de la partición! X¡ - x,_, 1 < 6 para cualquier i de la partición.
E's decir, 1 f(x) - f(y) 1 < E
2(b - a)
VxE [x,_1, x1)
M--m1 < e < - E- Vi ' - 2(b-a) b-a
ｾ ｲ＠ tanto, S,,(f, P)-S.(f, P) = t (Mr - ｮｾ ＩＨＺ｣Ｌ＠ -x,_,) ...
E • =- ¿:c., - x,_,)
b-a l • I
e
= --·b - a =E
(b-a)
La demostración anterior garantiza la interpretación necesaria para saber que:
Si fes continua en [a, b ], y si fes integrable sobre [a, b] entonces existe una
funciónFdefinídasobre [a. b]dela fonna F(,x) = J: f.
A la conclusión anterior se le conoce como teorema de existencia. www.freelibros.org
1.6 Propiedades de la integral definida 25
Portafolio de evidencias 6
IXsarrolle adecuadamente las siguientes actividades e intégrelas a su portafo-
lio de evidencias.
l. ReaHce un mapa cognitivo que muestre los elementos geométricos y alge-
braicos que permitieron establecer la definición de integral definida como:
J
. .
t<x>dx = lím L:tcx,.>a•,
a 11-co;.1
2. Bo la definición anterior se usa J.' f(x) en lugar de Ｎ ｾＧＡｴＮｦＨｸ Ｑ Ｉ＠ y se usa
dxen lugar de t.x1• Organice en un mapa comparativo las caroctedsticas e
implicaciones de esta nueva notación.
3. Por dltimo, organice y relacione en una matriz de i.nducción los siguientes
elementos:
Método de cálculo de una figura sin forma definída
• Cálculo de áreas con forma definida
• Cálculo del área bajo la curva de una función cualquiera
• Swna de áreas rectangulares
• SwnasdcRicmann
• Definición de integral
Propiedades de la Integral definida
Considerando la notación usada en el teorema de existencia y el resumen de nuestros
hallazgos concentrados en la tabla 1, podemos concluir algunos aspectos o propieda-
des de la integral, como son los siguienres:
a) J.' f = C(b - o) si IV:>= e V x E [a, bJ, es decir,
J.' e dx = C(b-a)
Esto nos dice que la integral de una función constante f(x) = e es igual a la cons-
tante multiplicada por la longitud del intervalo, esta interpretación geométrica se
puede ver en la figura 1.12. Con C > O y a< b obtenemos Ja fórmula para el cálcu-
lo del área de un rectángulo.
b) La integral de/está definida como límtf(x,Xx,-x,_,) , J'¡+g se
escriblrá como: .. -oo t•t 0
J.'t +g
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28 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
=J.. [f(x) + g(,r)]dx
" 11 b b
= lím [Lf(x, )(.K, -x,_,)+ LK<x1Xxi -x1.1ll = J f(x)dx+ J g(x)dx
11-00 ;.a ;.i a o
Esta propiedad indica que la integral de una suma es la suma de las integrales si la
observamos en términos de área donde/y gson positivos.
La interpretación geométrica sería el área debajo de/más el área bajo la función
g (véase figura l.16).
y
ｾＯＫｧ＠
g
Fflpra1i6
e) Usando a) y b), tenemos que J• Cf(x')dx = lím [tct(,r1)(,r1 -x1• 1) ]
a 11-00 /•I
=e J: t(x')dx
La integral de una función multiplicada por una constante es la constante
multiplicada por la integral de la función.
d) De la misma manera J f - g se escnl>e como:
J :lf<.xl-g(x)]dx = J.•[/(xl]dx+[-g(x)]dx
Usando b) y e)
J.• f(x)dx-J: g(K)d:c
Esto también puede interpretarse como una suma de áreas en cuyo caso -J: g(x)d:c rt-O debe interpretarSecomo un área negativa sino como una que
debe restarse al área debajo de f (x) • www.freelibros.org
1.6 Propiedades de la integral definida 21
e) Sea b E [a,c] de la forma a < b <e, y sea f imegrable sobre [a, b] y
[b,c];fes int-:grable en [a, el deaquf se siguequesifes integrable sobre [a,c]
J.' f(x)dx =J.• f(x)dx+ J.' f(x')dx
Geométricamente:
y
Q b e
Flgloft1.17
f) Finalmente también podemos observar que si f(x) es una función positi-
ｶ｡Ｈｾ＠ 0) en [a, b] ｾｊＮ ＠ f(x)dx ;<: O. Sif(x) ｾ＠ g(x), para una x E [a, b]
ｾ＠ J: f(x)dx :<: J.• g(x)dx.
Si f(x) se encuentra contenido entre dos valores tal que
m s; f(x) :5 M Vx E [a, b]
"* m(b-a) :5 J.' Jf.x)dx :5 M(b - a)
Tabla resumen de tas prop iedades de la Integral defin ida
J: f(x)dx = - J." f(x)dx
Si a= b f.' J(x')dx =O
J: Cdx = C(b - a) "* con e cualquier constante
J: ff(x)+ g(x)ldx = J: f{.x)dx +J.• g(x)dx
f.' e Jl;c)dx =e f.' J(x)dx ve constante
f."IJ(x)-g(.r)]dx= J: f(x)dx-J." g(x)dx
Además:
J.' f{.x)dx= J.• f(x)dx+ J.' f(x)dx sibE[a,c) www.freelibros.org
28 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
También:
Si ｦＨｸＩｾ＠ Oen [a,b) *J.• f(x')dx ｾｏ＠
Si J(;r) ｾｧＨｸＩ＠ en [a,b] * J.' J(;<)dx ｾｊＮＧ＠ g(x')dx
Si m5f(x)5M lfxE[a,b] * m(b-a)5 J.' f(x')dx 5M(b-a)
Ejemplo llust.rallvo 1
Si f(x ) = x es una función continua e integrable en el intervalo !e, d] y g(x) = k es
una función constante continua e integrable en k, obtenga la composición
SOLUCIÓN
J)J' (f(x)+ g(x)')dx)dx
J.'[k(d-c)+(d; _ ｾｬｬ､ｸ＠
kJ.'cd-c)dx+ ｊＮ Ｇ Ｈ､ＺＭｾｊ､ｸ＠
[
di -e'} R = k(d - cXc - a) +
2
(e- o)
Portafo l io de evidencias 7
Debatan primero en equipos y después de manera grupal la solución de la si-
g1.1iente expresión y su posible interpretación geométrica. Deben entregar por
escrito su argumentación.
J: <J: f(x)g(y)dy)dx
Actividad de trabajo 1.2
1. Uúlicc la definición y las propiedades de la Integral definida para evaluar:
a) J.' (1 + 2x)dx d) J.'o + 3x+ 5x')dx
b) J.2(3-x2)dx e) J:' (5 + 2x2 )dx
c) J,' :c'dx t) J:, (1 + (9 - x')')dx www.freelibros.org
Preguntas
de reflexión
1.7 fUnclón prlmltlva 29
2. Pruebe que J.• xdx = (bl - a l)/2.
3. Pruebe que J: x 2dx = (b3 - a3)/3.
4. SJ sabemos que J.' x'312>dx = 843., ¿cuánto vale r• y 312dy? • 5 J.
5, Si J
2
8
f(x)dx = 1.7 y ,l• f(x)dx = 2.5, encuentre J.' f(x)dx.
6. Verifique las siguientes desigualdades sin evaluar las incegrales (explique y
justifique su respuesta):
J.•" J.'" a) 0 sen' x dx 5 0 sen2 x dx
• ¿Entiendo las propiedades de la integral definida de una función, corno
aquellas que me permitirán las manipulaciones algebraicas de la integral?
• ¿Reconozco la integral definida como un operador lineal?
• ¿Conozco el significado de operador lineal?
- Función prfmltlva
Teorema'
Por las conclusiones dadas en los apartados anteriores y el debate de la práctica, sa-
bemos que si f(x)dx es integrable, entonces la función continua F(x) =J.• f (x)dx
representa el valor de dicha integral en el intervalo [a. b] y aderM.s F (x) será deriva-
ble. Dicho de otra forma:
Si/es continua en [a, b1 la función F(x) definida como:
F(x) = J.' f(x)dx V x E (a, b]
es continua y derivable en (a, b) y además F'(x) = f(x).
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30 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Definición 3 .
Este rcsulmdo se conoce como el primer teorema fundamcnUll del cálculo. o
bien, como Ja primer parte del teorema fundamenUll del cálculo.2
En general, no es sencillo expresar cuándo una función es derivada de otra expre-
sión; sin embargo, cuando fes continua.fes la derivada de alguna función.
F(x) =J.' f
Como corolario a este problema, y atendiendo a la tabla 1 de resulmdos, si fes
continua en [a ,b]yf = g1,para alguna función g :!> J.• f = g(b)-g(a).
De la primera parte del teorema fundamental del cálculo, tenemos que:
F(x) = J: f F' = f = g' sobre [a, b]
En general, cuando una función/satisface que F' =¡,recibe el nombre de pri-
mitiva dc/; cn estc caso F(x) =J.' f.
mD_ Teorema fundamental del cálculo
Actividad de aprend i zaje 1 . 4
Grafique las funciones y = x 2 , y' = 2x alineadas y siguiendo el patrón que se
muestra.
2
A partir del análisis de la gráfica
propuesta, complete las siguientes
mblas:
' este lccren:'ll se IXlnoce como turd:lm.:iul debido• qui:<=O!Vene una oon.cxi.ón din:x::Ui ere:rc d cilculo dm::rcmc:iiil y
d i.nt.l, vúco como poeuos ＱｾＱＧＤＨＱＤＮ＠ F.$to pennkl6 al dleu&o COlt\-ettlt$0 eo 111'1 in61odo IÍ$lcm.i1lco.. www.freelibros.org
1.8 Teorema fundamenral del cálculo 31
y
6 --------- -------- ---
4 -------------
2
2 3
X Área debajo de y' = 2.r,
donde ....... o
y(x)
o
1
2
3
4
5
a) Escriba lo que se concluye a partir de las observaciones de los resulta-
dos obtenidos.
Repita el ejercicio considerando ahora las funciones y = 2x, y' = 2.
b} Intercambie puntos de vista con su compallero aocrca de las semejan-
zas o diferencias en las conclusiones de ambos ejercicios.
c) En caso de que la respuesta sea afirmativa, aplique la conclusión u otro
par de funciones.
d} !!$criba un enunciado general usando f(x); f'(x).
Analizando el corolario de la se<;eión anterior F(x) = J: f ｾ＠ F' = f = g'
sobre [a,b] , 3 un número Ctal que F = g + C
1u• F(a} = g(a) + C si F(a} =O 111• g(a) =-C. www.freelibros.org
32 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
ｅ ｪ ｾ ｭｰｬｯ＠ 7
Así, F(x) = g(x)-g(a)
lo cual se cumple para x = b m•
f.• J = F(b) = g(b) - g(a)
F.ste resuhado se conoce como segundo teorema fundamental del cálculo o segunda
pane del teorema fundamental.
Turnando nuevamente como referencia la tabla (1) de concentrado de algunas
áreas, vemos lo que ya antes habíamos obtenido:
o
J: xdx como= b; -a;
bl a'
como =---
3 3
Si n es un nómero N, análogamente podríamos decir que si
x-+•
g(x) = (n + I) g'(x) = x• de forma que:
f
b b"+I a"'+l
x"dx=-----
• n+I n+I
con n "'-1 y a, b positivos
Finalmente podemos resumiro unir las dos panes del teorema fundamental del
cálculo como:
Seafcontinua en [a, b]
l. Si F(x) = J: f(t)dt • F '(x) = f(x)
2. J.' f(x)dx = F(b) - F(a), con Fcualquicrantidcrivada de f:es decir,
F' =J
Reescribiendo la pane 1, tenemos que:
d d f ' -F(x) = - f(t)dt = f(x)
dx dx • www.freelibros.org
Ejemplo 8
1.8 Teorema fundamenral del cálculo 33
Esto es, si integramos fy luego derivamos el resultado, obtenemos nuevamente la
función original f.
Como F'(x) = f(x) I'* podemos reescribir la parte 2 como:
f.• F 1(x')dx = F(b)- F(a)
lo cual afirma que si tomamos una función P, la derivamos y luego integramos el
resultado, regresamos a la función original F, pero F(b)- F (a), la cual ya habíamos
comprobado con la tabla 1.
Obsernción: Lo anterior afirma que la derivación y la integración son procesos
fundamentales inversos entre sf.
Encuentre una funciónfy un nómero a tales que:
6+ f ' ｦｾＩ＠ dJ = 2,/X
• r
usando la derivada y la integral como operadores inversos.
SOLUCIÓN
Derivamos:
J, f(t) -dt = 2JX-6 • ,2
!!....[J ' f(t) dr] = !!....¡2.JX - 6]
dx • 12 dx
Usando la primera parte del teorema fundamental y derivando el lado derecho:
f(x) 1
7 = .JX 11• f(x) = x31'
Como J.• F(x)dx = F(b)-F(a), segón la partc2 del teorema,
3
J
, ,2
6+ -,dr = 2./X
• 1
o
J: ,-1n d1 = 2-[X -6, la cual podemos expresar como:
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34 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Preguntas
de reflexlón
1
:. ª' = 3
P.lra que la expresión dada sea una igualdad, debemos escribirla como:
6 + J: ,-112d, = 2.JX
Activ idad de t r abajo 1.3
a = 9
l . Realice un esquema del área que representan las siguientes funciones y en-
cuentre g' aplicando la primera parte del teorema fundamental del cálculo.
a) g(y) =J.' 11 dt
e)
b) g(x) = J: (! +cos 2J)d1
d) J, 1 g(x) = --dy - 1y+ y'
2. Evalóe las siguientes integrales usando la primera parte del teorema funda-
mental del cálculo.
a) J,• 1 - dx
1 2x
b) f 3 ｾ､ｸ＠-•x
f' 5
e) Jo x> dx
3. Encuentre un intervalo en el cual la curva sea cóncava hacia arriba en:
F(x) = J: sen t dt
4. Una empresa que vende tecnología compra un software cuyo valor es V.
El sistema se depreciará a razón de f(t) y acumulará costos en un tiempo t
medido en meses. La empresa desea dctcaninar el tiempo óptimo de vida
del sistema.
Obtenga una función c(t) que represente los costos al tiempo 1.
• ¿Reconozco que la derivada y la integral son procesos inversos uno del otro?
• ¿Reconozco de qut manera el teorema fundamental del cáleulo diferencial
se relaciona con el cálculo integral?
• ¿Puedo hacer el ejercicio de abstracción necesario para pasar de una pane
del teorema fundamental a la otra?
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L9 Cilculo de integrales definidas 35
ｾ ｃ￡ ｬ ｣ ｵｬ ｯ＠ de Integrales definidas
El teorema fundameotal del cálculo muestra todo un potencial, en especial cuando
aplica a modelos físicos; sin embargo, se hace necesaria una notación más conve·
nientc para la segunda parte del teorema si deseamos aplicarlo a modelos flsicos o
de ingeniería.
Tradicionalmente una J fdx denota una antiderivada de/; esto es:
J f (x)dx = F(x) significa que F'(x) = f(x) .
Asf, por ejemplo, si F'(x) = x 2 , escribimos
Sin embargo, observamos que:
Con base en este patrón, podemos considerar
que una integral es una familia completa de
funciones \fe e R; es decir. habrá una antideri·
vada para cada constante.
Observación: Así, habrá que distinguir entre la notación
J: f(x)dx, que denota una integral definida entre dos valores o definida en un
intcn•alo (a, b], y cuyo resultado será un valor único o especifico y ...
J f(x)dx = F(x), que denota la antiderivada de f. la que comfuuneme se
conoce como inugral indefinida para remarcar su generalidad.
Una convención importante que debe subrayarse en la notación de integral es
que la letra que aparece después de la d (diferencial) debe ser la misma con la que se
expresa la variable.
Por ejemplo:
las dos partes del teorema fundamental del cálculo y la propiedad de la integral
y la derivada de ser operadores invcl$-Os nos permiten comprobar algunas fórmulas
derivando simplemente las funciones indicadas en el argumento, como las que se
muestran en la siguiente tabla. www.freelibros.org
38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
!!-ll!!1' .. ｾ＠ .... ..... .......... ................ ..... ...... .... ........... .......... ........... ........................ .
Ejemplo 9
J adx = ax
J x "'+' x"dx = --,n ;é 1 n +I
ｊ ｾ､ｸ］ｬｮｸ＠
J sen xdx = - cosx
J e'dx =e'
J e-0sxdx =-senx
J seclxdx=tgx
J secx tgx dx = secx
! __!!!.___ = arctgx l +x2
J ｾ､ｸ＠ = arcser 1- x2
1. Utilice la parte dos del teorema fundamental del cálculo para ene-0ntrar la deriva-
da de la función g(¡•) = J."-1- 2 dx 1 l+x
SOLUCIÓN
g'(µ,) = .!!..[J.•- 1- dxl
dx 1 1 +x2
I 1
, .. g(µ,)= l +µl V I' "" - 1
Ejemplo 10
Evalúe las siguientes integrales usando el teorema fundamental del cálculo y las pro·
piedades de la integral descritas en el inciso 1.6 y la tabla 2.
a) J' x•dx _,
I s x' 3' (- 1)' 243 1 SOLUCIÓN x'dx= - 1:, =----=- +-_, 5 5 5 5 5
244 4
=-= 48-
5 5
b) J.'o +3y-y2 )dy.
Usando propiedades,
= ¡;dy+ J;3ydy-J.'1dy
= J.'dy+3J.'ydy-J.'y2dy www.freelibros.org
L9 Cilculo de integrales definidas 37
=[4 - 0J +i [42 - 0J - t[4'-0]
= 2jl = 6,66667
Ejemplo 11
Calcule la integral de f(x) = x' -4 sobre [-2, 2], utilizando el teorema fundamco-
lal de cálculo.
SOLUCIÓN
Una antiderivada de f(x) = x2 - 4 es F(x) = ; - 4x; luego, pore.I segundo teore-
ma fundamental del cálculo, tenemos
f 2 (<2)' l ¡(-2)' l (ª ) (-8 ) _2c.2-4)dx= F(2) - F(- 2)= 3 - 4(2) - - 3--4(- 2) = 3- 8 - 3+8
= (•:r)-(-•+'24) = Ｍ ｾ Ｍｩ［＠ = Ｍ ｾ＠ = -10.6
Ejemplo 12
Calcule J_: cosx dx
2
SOLUCIÓN
J_: eosx dx = [sen xJL:, =(seo ＲＱＱＧＩＭＨｳ･ｮ＼ Ｍｾ＾Ｉ＠ = (0)-(-1) = 1
' 1 •2
Ejemplo 13
Encuentre J."'• JI + cos 4x dx
SOLUCIÓN
Usando la l'denu'dad 2
1
+ cos 2• '· lli 1 2 cos v =
2
, m.. espec camente + cos v =
2cos1 v •• tenemos:
J." J I+ cos4x dx = J:;. J2cos2 2x dx = J:' J2Jcos2 2x dx = J2 J
0
"lcos 2xfdx
= J2 J..,cos2xdx = J2 [seº
2
2x ]I: · = v'2 H-o]= ｾ＠www.freelibros.org
38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Observación: En el ejercicio anterior se consideró leos 2xl = cos 2x porque x E
[O,:¡.¡. y en este dominio Ja función cos 2x es positiva, pero eso no sería posible si
los lúnites de integración fueran O y"•:. Ja función cos 2x tomada valores positivos
y negativos.
Po rtafol io de ev idencias 8
Demuestre que: J: f(x)dx =J.• f(a+b-x)dx argumentando algebraica-
mente y haciendo una interpretación goomérrica. Discutan por equipos el pro-
cedímicnto de comprobación.
Activ idad de trabajo 1.4
l. Utilizando la tabla 2 de esta sección y el teorema fundamental del cálculo,
evalúe las siguientes integrales:
a) J: cos4x dx b) J.'x«4 + x')' )dx e) J.' 2x((x2 + 3)2)cú
d) J' (2 - x)'dt -3 e) J,:t sen I di f) J.' COS 1f X CÚ'
g) J.3 CÚ'
o 2x + 3
h) J.• J3 + 2x dx
2. Fncuentre el área de la superficie acotada por las siguientes curvas y rectas:
a) y = tg IJ en [ O, ,Y.; 1f]
l,
b) y= e 2 en ｛ ｾＱｦ Ｌ＠ ,Vi"']
e) y =scclJ+ tglJen [o. ,Y.; "J
d) y = C, sen O+ C1cos IJen [o, ,Vi "]
3. Utilice un software de graficación que le permita evaluar geométricamente
el área total lintltada por las curvas; justifique y expLique sus resultados.
a) y = a [sen 20+cos 20)
b) y = 3+cos30
c) y = cos30-2 coso www.freelibros.org
Preguntas
de reflexión
1.10 Integrales impropias 39
• ¿Entiendo el papel que juega la geometría en la evolución del cálcul.o inte-
gral como una herramienta?
• ¿Razono respecto a la infonnacióo que la gráfica de una función me puede
proporcionar?
Portafolio de ev idencias 9
Realice e integre adecuadamente las siguientes actividades a su portafolio de
evidencias:
J. Organice en un mapa cognitivo las propiedades y caractedsticas de la inte-
gral definida de acuerdo con sus implicaciones geométricas.2 Relacione en un mapa conceptual los orígenes históricos del cálculo inte-
gral, así como los elementos que subsisten en la matemática y que llevaron
al establecimiento del teorema fundamental del cálculo.
Observación: Puede incluir en este mapa conceptual aquellos elementos que
crea evidentes, pero también trate de incluir los elementos o las conclusiones
que considcce implícitos. Para ello puede ayudarse de algunas de las siguientes
lecturas sugeridas o elaborar previamente un ejercicio de indagación histórica
que le pcnnita argumentar los elementos del mapa conceptual.
Lecturas sugeridas
Smith, O.E. ( 1959). A Sourr:< of Book in Mothematics (vol. 2). New York: D. Smith
Do\ler.
Boyer, Carl ( 1959). Th< Hist0ry of The Calculus and its Cone<ptual D<l'<lopmem,
New York, Cap. V.
Kline. M. (1972). M(JJhemtnicat Thought from Anci<nt to Modem Times. New
York: Oxford Univeruty PrdS, Cap. 17.
ｾ ｴ ･ ｧｲ｡ｬ ･ｳ＠ Impropias
Hasta esta sección hemos revisado y establecido todas las caraeterlsticas y propie-
dades de la integral definida. Podemos destacar como conclusión que una integro/
definida es una función de sus limites. Estos últimos los hemos supuesto como fini-
tos; sin cmbasgo, existen algunos casos donde no se cumple esta caraetcristica, pues
los límites de integración son in.finitos. Es conveniente para su manejo eliminar la
restricción usando las siguientes definiciones.
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40 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Definición 4.
Definición 5.
Una integral que tiene la forma:
f .. . <p(x)dx será igual a 1lm J <p(x)dx si el limite 3. Se denomina integral 41 t.--<:i0 a
impropia con lími1e superior infinito.
Una integral que tiene la forma:
J: rp(x)dx se designa como .!!!:' .. J.' tp(x)dx si el lúnite 3. Se le denomina
integral impropia con límite inferior infinito.
Ejemplo 14
1. Determine si existe J:00 x' dx con r < - l
SOLUCIÓN
= J,"" x' dx ］ｾ｛ｊＮＧ＠ x'dxl
］ｾ｛ＺＺﾷｩｲ＠
= lím----. lb•+• , ..... 1 ._ r+ 1 1
Consideraciones sobre el limite:
a) Cuando r < -1, e.I segundo ténnino de la expresión siempre es igual a 1.
b) Cuando r < - 1, el exponente del primer término es siempre <0; por lo tanto,
cuando b ｾ＠ oo, cst·c ｾ＠ O
Asl: lím --- 1 = - 1 [
b-+' 1
•-oo r+I J,""x'dx3 yes=-1
2 De • • J,"° 1 dx . . termtnc si - cJUSte.
1 X
SOLUCIÓN
J,002.dx= lím lJ.'2.dxj= lím[ln xJI: 1 X b-o:i 1 X b-oo
= lún[lnb-lnl] = llm[lnb] ._... ._...
:. 'jÍ Cuando I> - oo el limite incrementa inconmesurablemente. www.freelibros.org
1.10 Integrales impropias 41
ｾ･ｭｰｬｯ＠ 15
Detel1lline si J."' ｾ＠ existe y en su caso obtenga el valor.
SOLUCIÓN
J,., dx J.. -· -· e ,-; = lím e 2 dx = IJm [- :U ')
O "é tr-c:o Q e-oo
... b -o -· = lfm[- 2e > - (-:U >)]= lím(- 2e >-(- 2)]=0+2=2
ｾ＠ b-oo
Ejemplo 16
Evable la siguiente integral: J."' ｾ＠
1 X 2x2 - I
SOLUCIÓN
J,00 dx J.. dx
1 x·Jzx2 - 1 - ｾｾ＠ • xJ2x2 -1 lím J.• J'fi {2dx = lím [are sec( .J2x )JI: ._., 1 2xJ2x1 -I .....,
= lfm arc9'c..J2 b-srcsec(..J2}= ..,Í2 lím ｡ｲ｣ｳ･｣ＨｯｯＩＭｾ＠ = ｾＭＮＺＧＮＺ＠ = .:'.:
..... ....., 4 2 4 4
Ejemplo 17
De . . Jº 1 . b al tenrune s1 -;r.:- dx CJUSte y o tenga su v or.
Ｍｾ Ｕ･Ｇ＠
SOLUCIÓN
Jo 1 Jº 1 1 Jº -· 1 - · e --dx = llm --dx= - lfm e • dx =- lfm (- 4e •) -oo ilse> ·--00 • iJs.,x ｾ＠ .__,., • ｾ＠ .__,.,
- 4 Ｍｾ＠ - 4 =- Um (1 - e • ] =-(1 - oo)=oo
ｾＭＭ Ｍ ｾ＠
Ejemplo 18
Evahle la siguiente integral: J'
2
x
2
dx - <x +9)
SOLUCIÓN
J' __ x __ dx = lím J'<x' +9)"2x dx = lrm[ 1 I' -oo(x2 +9)2 •-<» • o-oo 2(x2 +9) •
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42 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Ejemplo 19
Detennine la convergencia o divergencia de la siguiente integral: J.2 - 1- dx
•x-2
SOLUCIÓN
J.' 1 J.' 1 --dx = Um --dx o x-2 .._, o x-2
= 11m[tnlx- 21t = llm[lnlb - 2j - lnl0 - 2j) = - oo - ln 2= - oo
b-2 0-2
La integral diverge.
Ejemplo 20
Considere J.' dx , ., y determine la convergencia en el intervalo correspondiente.
o (x - 1)-
SOLUCIÓN
J.3_tJx _ _ J.' dx + J.3 dx - UmJ,. dx + UmJ,' dx o (x - 1)23 ﾺＨｸ Ｍ ＱＩ ｾＳ＠ 1 (x - 1)"1 ....,, o (x - 1)2> •-• • (x - 1)'>
La integral converge en 3(1 + Vi.) .
Po r tafolio de ev idencias 10
Debamn grupalmenle el significado geoméltico (véase figura 1.18) de que
J. .. 1 - dx ;! (no existe). 1 X
Escriba su conclusión y ejemplifique con otra función de comportamiento
similar. www.freelibros.org
Oefl nlclón 6.
Definición 7 .
1.10 Integrales impropias 43
Existe otro tipo de integrales impropias que abarcan los casos donde la función
por integrar es discontinua en valores específicos de la ''3riable dentro de los llmites
de integración.
Consideramos en esta secdón dos casos por definir.
Si a < b ye> O, cuando la función está definida o es continua \/los valores de
x excepto x = a, entonces,
J.• <¡i.,x)dx = lím J.• <P,.x)dx " -o o+«
Si a< b ye > O, cuando la función está definida o es continua\/ los valores de
x excepto x = b, entonces,
J..• tp(x)dx = lím ｊＮＧ ｾ＠ <p(x)dx c-oo a
Ejemplo 2 1
Calcule -J;•dx o x'
SOLUCIÓN
Se observa primero quex no está definida enx = O; es decir, está en el Umite inferior,
por tanto
J;•dx l'dx ¡-1¡• -;: = lím -;: = lím -Ox 1-0e x ･ Ｍｵ ｸ ｾ＠
1 = lfm(- 1 + -}. , ....., e
.! no puede definirse en cero, no hay límite y:. la imegral J.' tti; ;5 (no existe).
e • x
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44 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
Ejemplo Ilustrativo 2
J.
,. dx
Calcule ( )' o x-a
SOLUCIÓN
Se observa que ( )' es una función continua, 'r/x excepto x = a. Expresamos: x-a
r'· dx
Jo (x - a)'
lím r•-< dx +um r'" dx
ｾｯ ｊ ｯ＠ (x - a)' ｾ ｊ ｡ＫｲＨｸ Ｍ ｡ＩＧ＠
[ -1 1•-< [ -1 J'ª = lím - - +lím--
1--0 x-a o r-0 x - a o..-,
= lím( -1 .!.)+1fm( -1 1 )
,_. (a-e-a) a ｾ＠ (2a -a) a+ r-a
= lím(.!._.!.J+ lím(.=!._.!_)
1--0 e a r-Oa r
Nuevamente se observa que cuando e _, O y r _, O los IJmites no existen y, por
mnto, la integral no existe.
Ejemplo 22
Con la ayuda del software obtenga la gráfica de la función y= sen(x) I oos(x) y
mencione todas sus características geométricas.
SOLUCIÓN
Con la ayuda de un software para graficar, se obtiene lo siguiente:
!I!!'--------
. . . . . . .. "
F .... 1.18
CONCLUSIÓN
Se observa una función de tipo espejo con eje asimétrico en el origen, con peciodos
de indeterminación de dos en dos que van en el dominio del lado negativo de la fun-
ción hasta el origen de -oo a oo y de manera contraria al lado dcrcclio de la función
a partir del origen y cuyos periodos van de -oo a oo. www.freelibros.org
1.10 Integrales impropias 45
Porta f olio de evidencias 11
1
1. Elija un software que le permita graficar la función f(x) = (x _ a)2 •
Interprete cl resultado del ejemplo anterior geométricamente; discutan gru-
palmente su argumento.
Es importante que el estudiante renga experiencia en la utilización de soft-
ware para construir gráficas y poder hacer un análi.sis más específico sobre
ellas. Para esto se recomiendan los siguientes paquetes de software: Win-
plot, Derive, Padowan Grap, Origin, Maple, etcétera.
2. Se tiene una plataforma para saltos acrobáticos de estructura de acero,
como se muestra en la figura 1.19a. Si se sabe que las curvas son del tipo
y = x2 y que en la parte superior tiene un metro de calle y cuatro metros de
alto, realice lo que se indica en cada situación:
a) Intercambie puntos de vista con sus compalleros sobre cómo debería
ser la curva en la plataforma si se desea que los acróbatas adquieran
mayor aceleración en el descenso.
b) Con la curva sugerida calcule el área de los muros que soportarán la
plataforma si se quieren construir de concreto bidráulico (véase figura
l. 19b).
e) ¿Cuál será el área de los muros si se desea construir una réplica exacta
de la de estructura de acero en concreto hidráulico (con y = x2)7 (Véase
figura l.l 9c ).
d) Analice sus resultados y reflexione acerca de lo observado y discutido
en ambos incisos.
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46 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
- tm
4m
A
8 11
Activ idad de trabajo 1.51. Verifique cada uoa de las siguientes integrales usando al mismo tiempo
alguna herramienta geométrica:
J... dx ?r a) o a2 + t>2x2 - 2ab
b) f .... -... ､ｸ ］ ｾ＠
J.
2.. x l
e) dx = 2.39 a2
o ..fx l -al
2. Supoaiendo que /(x) <! O para loda x <! O y que la J
0
00
f(x)dx exisre,
demuestre que si O $ g(x) $/(x) para toda x <! O, entonces la J
0
"' g(x)
también existe.
3, Detennine si existe la in1cgral J.oo_L_ dx.
o l+x'
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Actividad integradora unidad 1 47
Actividad integradora de la unidad 1
1. Oetermine la ecuación de la recta tangente a
f(X) = 2+ QOSX J: i 2dl
2. Determine si la función y es o no solución de la ecuación y' + 2xY = 1
3. Calcule los límites siguientes
a) Ｌｾ Ｎ Ｈｾ Ｍ ｳ｣ｾｏＩ＠
b) lfm
e' +x
.r-oo X+ Jnx
4. Encuentre g(x) si
t d J 3X g(0)= - 2 y g(x)= - --d.x
dx x 2 + 1
5. Encuentre f'(O) paraf(x) = J.' (1+scn(scn1)) dt
6. Calcule la integral siguiente
J. ... e'd.x o 1 + •"
l
7. Calcule e l límite siguiente: lím (1 + x); ........
8. Derive f(I) = J
0
'csenx)"""' ' +tan[ In;)
9. Calcule la integral
1 O. Calcule los límites
a) lím aretan x2
... -oo x sen x
b) lím ln(x +e')
,__, X
J..( J3i +x» r dx 1 X
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48 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo
11. Resuelva la ecuación: 2 ln 2 + ln(x2 -1) = ln(4x- l)
' 12. Calcule el límite siguiente: limx•- • ·-·
13. Calcule las siguientes integrales
a) J.' Ji+ 4.JX dx
' .JX
J.' 4x
2 -5
b) •(2x+J5)dx
14. Calcule J:'scn24xdx
15. Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de /{.;e) = x2, x = O, x = 2 y el eje x
mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.
16. Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de /(.;e) = (x - 1 )2 + 2, x = - 1, x = 2 y
d eje x mediante la b<lsqueda del límite de las sumas de Ricmann .
...:;::,..
Tf Contexto histórico
Isaac Newton
Se le considera el padre del cálculo infinitesimal y de la ffsica clásica. Sus dos
principales obras son Philosophiae N<1111ralis principia 111atlrema1ica (1687) y
Op1icks (1707).
Una de sus mayores contribuciones fue la introducción de un método:
las leyes se obtienen generalizando por medio de la inducción y el análisis
matemático, de los ･ｾｰ･ｲｩｭ･ｮｴｯｳ＠ o fenómenos sistemáticos, y todo ello da
forma a la base confiable del conocimiento. La mecánica de Newton y su de-
sarrollo matemático dio origen a lo que hoy conocemos de la flsica moderna.
Se destaca su definición del espacio y el tiempo como conceptos absolutos,
aspectos que formaron parte de sus discusiones con Leibniz. Los conceptos de
Newton prevalecieron en la flsica basta la llegada de la tcorla de la relatividad
de Einstein.
Gottfried Leibniz
También se considera el padre del cálculo infinitesimal, ya que contribuyó con
la resolución de los problemas para determinar los mhimos y los mínimos,
además de tas tangentes; esto dentro del cálculo diferencial. Respecto del cál-
culo integral resolvió el problema de la curva cuya subtangente es constante.
También scllaló los principios del cálculo infinitesimal, además de que resolvió
el problema de la isócrona y de algunos otros problemas en la mecánica, con la
utilización de ecuaciones diferenciales. A Leibniz se le debe el nombre de cál-
culo difcrencfal e integral, así como la invención de los símbolos matemáticos
para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual). Thni>ién aeó la
rotación de las derivadas dx/dy y la de las integrales J. www.freelibros.org
Autoevaluación de la unidad 1 49
• Autoevaluación de la unidad 1
l. Responda correctamente las siguientes preguntas:
a) ¡J!.n qué consiste y cómo se expresa el teorema fundamental del cálculo?
b) ¿Cuál es el significado de que el teorema fundamental del cálculo se exprese eo dos panes?
c) ¿Es correcto afumar que el teorema fundamental del cálculo determina la manera de encon-
trar antiderivadas de una función?
Il. Utilice la parte del teorema que considere pertinente para encontrar las derivadas de las siguien-
tes funciones:
a) P(x) = J."' sen3 1 dt
b) F(x) = sen(J
0
' scn(J
0
' scn3 t dt)dy)
e) F(x)= J.• x dt
(1 + 12 + sen2r)
DI. Para cada una de las siguiemes funciones f si F(x) = J.' f, se11ale en qué puntos x es
F(x) =f(x).
a) f(x) = 0 six 51,f(x) = 1, six= 1
b) f(x) =0 six • l ,f(x) = 1, six= 1
lV. Encuentre la func.ión continua f. tal que:
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Las dos partes del teorema fundamental del cálculo y la propiedad que presenta la integral y la derivada como operadores inversos son
las herramientas matemáticas más poderosas que se crearon en el slgJo
xv1. El estudio de las Integrales requiere, sin embargo, una larg¡i prepara·
ción que proveerá al estudiante de un instrumento de gran valor para
construir nuevas funciones.
El mayor mérito del cálculo de Integrales es el de ser un algoritmo
general aplicable a todas las expresiones analiticas, el cual se basa
en que los procesos del cálculo de tangentes (derivada) y cuadraturas
(integrales) son inversos uno del otro.
Contenido
2.1 Definición de Integrales Indefinidas
2.2 Propiedades de la integral indefinida
2.3 Cálculo de Integrales Indefinidas o
2.3.4 Integrales de funciones
trigonométricas
2.3.5 Integración por sustitución
trigonométrica técnicas de Integración
2.3.1 Directas (integrales directas)
2.3.2 Integrales con cambio de
variable
2.3.3 Integración indefinida por partes
2.3.6 Integración de funciones
racionales por el método de
tracciones parciales
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COMPETENCIAS POR DESARROLLAR
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
• Discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y emplearlo.
• Determinar una función primitiva.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
• Utilizar las propiedades de linealidad de la Integral indefinida para obtener la primitiva de
otras funciones.
• Resolver integrales que requieran modificación o interpretación para adecuarlas a una
fórmula .
• Ante un grupo de integrales por resolver, seleccionar el método más adecuado segtln la
función integrando y resolver la Integral aplicando el método.
HABILIDADES Y ACTITUDES
• Encontrar una función f(x) cuya diferencial se conoce.
• Reconocer y usar la diferencial y la integral como operadores inversos.
• Dada una función, encontrar una familia primitiva.
COMPETENCIAS PREVIAS
Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante
cuente con las siguientes competencias:
• Conocimiento y manejo de operaciones mutuamente Inversas como suma y resta,
multiplicación y división, o elevar a una potencia y extraer raíz.
• Dada una función encontrar su diferencial.
• Reconocimiento de que la integral y la diferencial son operadores Inversos.
• Conocimiento y manejo de relaciones elementales entre funciones trigonométricas.
• Conocimiento y manejo de las propiedades de logaritmos naturales y de base 10.
• Habilidad para integrar formas elementales y ordinarias de funciones.
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Cálculo algebraico
de integrales
Indefinidas
Directas
Con cambio
de variable
Trigonométricas 1
Por partes
ORGANIZADOR GRÁFICO DE LA UNIDAD 2
Definición
1ntecra1
definida
Cálculo numérico
de integrales
indefinidas
•
1
.
Propiedades
de la integral
indefinida
Aplicaciones de
las Integrales
indefinidas
Simpson J
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Antecedentes
Entre los trabajos más importantes de Newton, destacan los desarrollos en serie de potencias, en parti-
cular el desarrollo del binomio, los algoritmos para encontrar rafees de ecuaciones, la relación inversa
aitre diferaiciación e inl.egración, y d concepto de ftueorcs y fluxiones como variables que cambian en
el tiempo.
Por su parte, Leibniz se centró en el desarrollo de un lenguaje metódico para representar conceptos
fundamentales del pensamiento humano y la manera de cambiar estos símbolos para llegar a concep-
tos más elaborados. El trabajo de Leibniz se conoce principalmenteMateriales relacionados
24 pag.
360 pag.
95 pag.
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