Teorema fundamental del cálculo

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 INSTITUTO TECNOLOGICO DE 
CERRO AZUL 
 
 
 
CALCULO INTEGRAL 
ALUMNO: 
 CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 
 
UNIDAD: 1 
Teorema fundamental del cálculo. 
 
 DOCENTE: 
ING. RODOLFO ABDIEL CERON DELGADO 
 
CARRERA: 
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 
 
CERRO AZUL, VER .2022 
 
 
 
 
 
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. 
 
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 
 
Las figuras amorfas "son aquellas figuras que no tiene forma”. Es una curva o una 
figura de muchos lados distintos. Su principal finalidad es encontrar en una gráfica 
dada su área de la parte de adentro de una figura donde se encuentra el punto dado 
de la figura amorfa. 
 
 
Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la 
sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el 
resultado. 
 
Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla 
ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta área. 
 
La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante. 
 
Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada. 
 
Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las 
ordenadas x = a y x = b 
https://sites.google.com/site/calculoesme/1-1-medicion-aproximada-de-figuras-amorfas/Figuras%20Amorfas.png?attredirects=0
 
3 
 
 
 
1.2 Notación sumatoria. 
Existen un sin fin de definiciones para tratar de explicar lo que es la notación 
sumatoria, inclusive también se le conoce como sumatorio o notación sigma, sin 
embargo, en este artículo intentaremos dejar un poco de lado la historia del 
procedimiento y nos adentraremos de lleno en su definición, características y 
ejemplos. 
¿Que es una notación sumatoria? 
La notación (Reyes, s.f.)sumaria fue ideada con el fin de darle una respuesta a esos 
problemas que poseían una metodología extensa o que directamente tendían hacia 
infinito, la notación sigma, como también se le conoce, se emplea para calcular la 
suma de muchos o infinitos sumandos. 
En matemáticas se utiliza la letra griega sigma (Σ), para representar una notación 
sumatoria, esto se debe a que la traducción de Σ resulta en una S (misma que 
representa la palabra Suma). 
Características de la notación sumatoria 
En la Figura 1 podemos apreciar un ejemplo de una notación sumatoria (notación 
sigma) y las partes que la componen: 
Notación sumatoria 
Tal y como se aprecia en la figura 1, la notación está compuesta de 4 elementos 
importantes, el primero es la función (fórmula para los términos), esta nos permitirá 
resolver el problema al fungir como una formular en donde el valor de la variable 
independiente (indice de la sumatoria) cambiara según lo indicado, en la parte 
superior de la notación nos encontramos con el indice superior, este nos indicara 
cual será el último valor de n, y por último nos encontramos en la parte inferior con 
el límite (primer valor de n). 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Notaci%C3%B3n-sumatoria.gif
 
4 
 
Para dar una explicación más técnica se puede utilizar la Figura 2 como ejemplo, 
en esta figura se muestra la notación sumatoria descompuesta por factores 
matemáticos (algunos nombres pueden cambiar dependiendo del país de origen) 
Figura 2: Notación sumatoria 
Ejemplos de notación sumatoria o notación sigma 
Ejemplo 1: 
Para este ejemplo utilizaremos notación sigma que se puede apreciar en la figura 
3: 
Figura 3: Notación sigma ejemplo 1 
Esta notación se lee de la siguiente manera: Sumatoria de i (la función), en donde 
i toma los valores desde 1 hasta 5. Como podemos apreciar, en la lectura de la 
notación se toman en cuenta todos los términos que vimos en la Figura 1. 
Ahora para resolver el primer ejemplo debemos saber que la variable sera 
remplazada por 1 y posteriormente sera cambiada hasta llegar a 5, esto quedaría 
de la siguiente forma: 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Notaci%C3%B3n-sigma-ejemplo-1.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Notaci%C3%B3n-sumatoria.png
 
5 
 
 1 +2+3+4+5, y esto nos daría como resultado 
que 15 
 
Como pudimos apreciar en este primer ejemplo únicamente se realizó una 
sumatoria que no parece muy compleja, sin embargo, hace un tiempo un pequeño 
niño de 10 años llamado Carl Friedrich Gauss, nos demostró que la notación sigma 
podía ahorrarnos mucho tiempo en la sumatoria de varios términos. 
Un día el profesor de Gauss les dejo un problema (teóricamente simple) a sus 
estudiantes, el problema consistía en sumar: 1+2+3+4+5+6+7 y así hasta llegar a 
100, los alumnos comenzaron a sumar número por número y el resultado se lo 
sumaban al siguiente número, sin embargo Gauss llego a la conclusión de que ese 
procedimiento era tedioso e ineficiente, de esta manera idealizó una fórmula que lo 
ayudaría a resolver el problema en un tiempo muy reducido, la formula se puede 
apreciar en la figura 4. 
Figura 4: Formula de gauss 
Gauss se dio cuenta que si sumaba 1 + 100 daba como resultado 101, si sumaba 
2 + 99 entonces también daba 101, este procedimiento podía hacerse 50 veces y 
se obtendría el resultado de la sumatoria, de esta manera: 
= (100 (100+1))/2 y esto daría como resultado 5050 
 
 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Notaci%C3%B3n-sigma-ejemplo-1.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Notaci%C3%B3n-sigma-ejemplo-1.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Formula-de-gauss.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Formula-de-gauss-1.png
 
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 De esta manera Gauss resolvió un problema sencillo pero muy tedioso en solo 5 
minutos (lo que le tomo tiempo es idealizar la formula), mientras que sus 
compañeros no terminaron de resolverlo hasta dentro de una hora y con errores 
comprensibles para niños de 10 años. 
1.3 Sumas de Riemann. 
 
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que 
nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una 
curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema 
Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del 
matemático alemán Bernhard Riemann. 
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de 
rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los 
rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es 
que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. 
 
 
 
 
*Ejemplo: 
Encuentre el área bajo el área de f(x)=x+2 en el intervalo de [0,4] 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/Dibujo.jpg?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%287%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2823%29.gif?attredirects=0
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2810%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2810%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2810%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2810%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/12152.jpg?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2810%29.gif?attredirects=0https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2812%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2811%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2813%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%289%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2814%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2815%29.gif?attredirects=0
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Definición de integral definida. 
Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los 
métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La 
técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente 
a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo 
diferencial. 
Concepto de integral definida 
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas 
limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de 
sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se 
llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del 
plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de 
ecuaciones x = a y x = b. 
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota 
como: 
 (hiru, s.f.) 
Propiedades de la integral definida 
La integral definida cumple las siguientes propiedades: 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2816%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2817%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2818%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2819%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2820%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2821%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%288%29.gif?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-i-teorema-fundamental-del-calculo/1-3-sumatoria-de-riemann/CodeCogsEqn%2822%29.gif?attredirects=0
 
9 
 
• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a 
cero. 
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la 
función es menor que cero, su integral es negativa. 
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales 
tomadas por separado. 
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la 
constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la 
constante de la integral). 
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. 
• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que 
(integración a trozos): 
 
• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) 
y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que: 
 
 
Ilustración gráfica del concepto de integral definida. 
Función integral 
Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir 
una función matemática de la forma: 
 
donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable 
independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el 
nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o 
igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área. 
 
10 
 
 
Interpretación geométrica de la función integral o función área. 
Teorema fundamental del cálculo integral 
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por 
medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece 
que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple 
necesariamente que: 
 
A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método 
para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], 
denominado regla de Barrow: 
• Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x). 
• Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F 
(b). 
• El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces 
dado por: 
 
 
1.5 Teorema de existencia. 
En muchas circunstancias fallamos en obtener la salida para una ecuación 
diferencial dada, entonces recurrimos a otros métodos tales como los métodos 
geométricos, etc., pero es esencial que en tal situación antes de recurrir a otro 
método averigüemos si existe alguna solución para la ecuación dada. 
El Teorema de Existencia es uno de esos métodos que cumple tal objetivo. El 
Teorema de existencia afirma la existencia de una única salida para una ecuación 
diferencial dada. 
Este teorema es aplicable únicamente a las ecuaciones diferenciales de primer 
orden. También es esencial que la ecuación satisfaga las cláusulas iniciales 
establecidas con ella. 
 
11 
 
Matemáticamente, el teorema puede ser establecido como, para una función dada 
f: X→ Y, la cual es continua en el área limitada (generalmente un rectángulo) del 
plano x-y, 
 
 
 
Sea un punto (x0, y0) en esta área limitada entonces >0 es real y existe una función 
en la que tenemos x0 - < x < x0 + para la cual tenemos una solución del valor inicial 
de la expresión. 
 
 
 
 
Aquí hemos mencionado un punto de “Exista un > 0”. Esto significa que la variable 
dada puede tener algún valor positivo para que la declaración dada sea verdadera. 
Sin embargo, no existe un límite superior para esta variable. 
 
1.6 Propiedades de la integral definida. 
 
1 El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de 
integración. 
 
 
 
2 Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. 
 
 
 
3 Si es un punto interior del intervalo , la integral definida se descompone 
como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos y . 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/-EDJfG1J6fmw/T_zvHOaf5jI/AAAAAAAAAkg/R2m6fF327NU/s1600/Imagen2.png
http://4.bp.blogspot.com/-_wPUjPIeOr0/T_zvMo_ugcI/AAAAAAAAAko/qdaTRk-2CVs/s1600/Imagen3.png
 
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4 La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales· 
 
 
 
5 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante 
por la integral de la función. 
 
 
 
Regla de Barrow 
 
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua en 
un intervalo cerrado es igual a la diferencia entre los valores que toma una 
función primitiva de , en los extremos de dicho intervalo. 
 
 
 
Teorema fundamental del cálculo 
 
 
 
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración 
son operaciones inversas. 
 
Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.Teorema de la media o del valor medio para integrales 
Si una función es continua en un intervalo cerrado , existe un punto en el 
interior del intervalo tal que: 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
Función integral 
 
Sea una función continua en el intervalo . 
A partir de esta función se define la función integral: 
 
 
 
que depende del límite superior de integración. 
 
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de , se la llama 
, pero si la referencia es a la variable de , se la llama . 
 
Geométricamente la función integral, , representa el área del recinto 
limitado por la 
curva , el eje de abscisas y las rectas y . 
 
 
14 
 
 
 
A la función integral, , también se le llama función de áreas de en el 
intervalo . 
 
1.7 Función primitiva. 
 
Función 
Primitiva 
Hace unos meses cuando analizamos los temas de la materia calculo diferencial, 
pudimos observar que uso se le da a las derivadas y como la resolución de estas 
nos brindan información sobre la forma en que la función se comporta, otra forma 
de analizarlo sería que la función nos informa sobre cómo va cambiando con 
https://ingenieriaelectronica.org/investigaciones-y-temas-de-interes/calculo-diferencial/
https://ingenieriaelectronica.org/propiedades-de-la-derivada-calculo-diferencial/
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Funci%C3%B3n-Primitiva.png
 
15 
 
respecto a la variable independiente, podríamos decir que la derivada representa la 
idea de cambio. 
Ahora en Calculo integral nos encontramos con las funciones primitivas, en este 
caso nuestro análisis se invierte y la pregunta que debemos hacernos es ¿si 
podremos encontrar la función que representa dicho comportamiento? 
Nota: La diferencia radica en que las derivadas nos presentan la función para poder 
analizar el problema y encontrar una solución, las integrales por su parte nos 
presentan un problema y debemos resolverlo para encontrar la función que describa 
su comportamiento. 
Figura 1: 
Diferencia entre función primitiva y derivación 
La respuesta a la pregunta anterior es positiva puesto que es la función dada de 
una variable f(x), la función F(x) que buscamos resulta ser la función primitiva o 
también llamada integral. 
Para localizar la función primitiva deberemos recurrir a un método matemático 
llamado integración. En la figura 2 se puede apreciar un ejemplo: 
Figura 2: Función primitiva 
Dada, entonces, la función f(x) podemos afirmar que F(x) es su primitiva si se 
verifica: 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Diferencia-entre-funcion-primitiva-y-derivaci%C3%B3n.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Finci%C3%B3n-primitiva.png
 
16 
 
Figura 3: Función primitiva 2 
A la función encontrada en la figura 3 se le conoce como primitiva o integral 
indefinida, esto se debe a la presencia de la constante de integración «c«. 
Podemos encontrar esta constante debido a que, como vimos al estudiar las 
derivadas, cualquier familia de funciones que difieren solo en una constante tienen 
la misma función derivada. Definida en esta forma, la integración no es función, ya 
que no cumple con la condición de unicidad, de allí que la función encontrada se 
denomina integral indefinida. 
El problema encontrado en la figura 2 podemos resolverlo al calcular el valor de la 
constante de integración c, lo que se puede hacer a partir del valor de la función 
F(x) en un punto. 
Relacionada con esta función está la integral definida, cuyo resultado es un número: 
Figura 4: Integral definida 
La expresión de la figura 4 nos dice que a y b son los denominados extremos de 
integración, los problemas integrales se resuelven con diversas fórmulas que 
estudiaremos en futuros temas. 
 
Ejemplos de Funciones Primitivas 
A continuación, te presentamos 2 ejemplos resueltos de funciones primitivas para 
que puedas utilizarlos como guía para la resolución de otros problemas o material 
de apoyo en tus trabajos escolares. 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Finci%C3%B3n-primitiva-2.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Integral-definida.png
 
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Figura 5: Función primitiva Ejemplo 1 
 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Funci%C3%B3n-primitiva-Ejemplo-1.png
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Funci%C3%B3n-primitiva-Ejemplo-2.png
 
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1.8 Teorema del valor intermedio. 
 
El teorema de los valores intermedios, a veces llamado de Darboux, afirma que 
una función continua en un intervalo [a,b] toma todos los valores comprendidos 
entre f(a) y f(b). Se trata de una consecuencia directa del teorema de Bolzano. 
 
Gráficas del teorema de los valores intermedios 
https://www.fisicalab.com/apartado/continuidad-funciones
https://www.fisicalab.com/apartado/teorema_bolzano
 
20 
 
Cuando una función es continua en un intervalo, siempre alcanza todos los valores 
entre f(a) y f(b), al menos en un punto. En la gráfica tenemos 2 casos diferentes de 
funciones continuas para ejemplificar el teorema, y una función no continua para 
ejemplificar que no se cumple. Considerando un valor y=k arbitrario entre f(a) y f(b), 
vemos que es alcanzado en 1 y 2, pero no en 3. 
Formalmente... 
Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces el teorema de 
los valores intermedios establece que para cualquier k∈ℝ cuyo valor esté 
entre f(a) y f(b) existe al menos un valor c∈[a,b] tal que f(c)=k. 
En ocasiones el teorema es enunciado de manera análoga pero tomando el máximo 
y el mínimo absolutos en lugar de f(a) y f(b). 
Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces el teorema de 
los valores intermedios establece que la función alcanza en dicho intervalo todos 
los valores comprendidos entre su máximo absoluto y su mínimo absluto. 
Ten presente que toda función continua en [a,b] alcanza su máximo y su mínimo 
absolutos en dicho intervalo, según el teorema de Weierstrass. 
Por otro lado existe una consecuencia muy útil de este teorema. 
 
Consecuencia del teorema de los valores intermedios 
https://www.fisicalab.com/apartado/extremos-funcion
https://www.fisicalab.com/apartado/extremos-funcion
https://www.fisicalab.com/apartado/teorema-weierstrass
 
21 
 
Considerando dos funciones continuas f y g en el intervalo, si en un extremo una 
está por encima, y en el otro queda por debajo, quiere decir que, en algún punto se 
cortan. 
Formalmente... 
Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(a)>g(a) y f(b)<g(b), 
entonces existe un c∈[a,b] tal que f(c)=g(c). 
 
1.9 Teorema fundamental del cálculo. 
 
El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral de la 
función continua es la propia . 
 
 
 
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son 
operaciones inversas. 
 
Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original. 
 
Ejemplo: 
Hallar la derivada de 
 
 
1Notamos que , por lo que su diferencial 
 
2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos 
 
 
 
Ejemplo: 
Hallar la derivada de 
 
 
1Primero cambiamos los límites de integración, ello produce que la integral cambie 
de signo 
 
22 
 
 
 
 
2Notamos que , por lo que su diferencial 
 
3Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos 
 
 
 
Ejemplo: 
Hallar la derivada de 
 
 
1Notamos que , por lo que su diferencial 
 
2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos 
 
 
 
 
 
1.10 Cálculo de integrales definidas básicas. 
 
Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gráfica de 
la función con ecuacion y = f(x). 
Se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva con ecuación y = 
f(x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal 
efecto, dividimos el intervalo [a; b]en n partes, no necesariamente iguales como se 
muestra a continuación: 
 
23 
 
 
Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2 
y así sucesivamente hasta la última xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; …rn, 
de tal forma que f(r1).x1 nos da el área del primer rectángulo, (x1, es la base y f(r1) 
la altura), f(r2) x2 da el área del segundo rectángulo y por lo tanto f(rn) .xn da 
el área del enésimo rectángulo. Luego se tiene que: 
Sn = f(r1) .x1 + f(r2) .x2 + … + f(rn) .xn 
es la suma de las áreas de los rectángulos de la figura anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Bibliografía 
Desconocido. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/calculoesme/1-1-medicion-aproximada-de-
figuras-amorfas 
Desconocido. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/calculointegral2do/1-3-sumas-de-riemann 
Desconocido. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/calculointegralaguilarlaura/1-5-teorema-de-
existencia 
Desconocido. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/calculointegralaguilarlaura/1-9-calculo-de-
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