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1 INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL CALCULO INTEGRAL ALUMNO: CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 UNIDAD: 2 Métodos de integración e integral indefinida. DOCENTE: ING. RODOLFO ABDIEL CERON DELGADO CARRERA: INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES CERRO AZUL, VER .2022 2 Métodos de integración e integral indefinida. 2.1 Definición de integral indefinida. La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. • Se representa por . • Se lee: integral de de diferencial de . • es el signo de integración. • es el integrando o función a integrar. • es diferencial de , e indica cuál es la variable de la función que se integra. • es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. • Si es una primitiva de entonces: • Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Propiedades de la integral indefinida (Marta, s.f.) 1 la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. 2 la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 3 2.2 Propiedades de integrales indefinidas Propiedades de la integral indefinida 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx Linealidad de la integral indefinida La primitiva es lineal, es decir: 1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF. 2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G. La linealidad se puede expresar como sigue: La primitiva de una función impar es siempre par En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(- a) = F(a): F es par. 4 La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0 En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales: Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Integral_de_funci%C3%B3n_impar.png http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Integral_de_funci%C3%B3n_par.png http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Primitiva_de_una_funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica.png 5 Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color). En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal. Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación: El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x. http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica_area_constante.png http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Integral_de_la_rec%C3%ADproca.png 6 El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca. 2.3 Cálculo de integrales indefinidas. El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración. Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. Ejemplo Integral Definida: Ejemplo Integral Indefinida: 2.3.1 Directas. Las Integrales indefinidas Directas son probablemente las integrales con menor rango de dificultad que existen en la actualidad y esto se debe principalmente a que tal y como su nombre lo expresa, estas integrales se resuelven de manera directa gracias a fórmulas que encajan a la perfección. ¿Que son las integrales indefinidas directas? El teorema fundamental del cálculo puede aplicarse a diversas funciones, sin embargo, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. https://sites.google.com/site/ittcalculointegrallogisticas2/home/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/DEFINIDA.JPG?attredirects=0 https://sites.google.com/site/ittcalculointegrallogisticas2/home/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/INDEFINIDA.JPG?attredirects=0 7 Si la integral a resolver cumple el razonamiento anterior, entonces se puede llegar a la conclusión de que es una integral indefinida directa. De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración, la integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata, esto es cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrado a partir de la función primitiva. Integrales indefinidas Directas: formula ∫x^n Ejemplos de Integrales indefinidas Directas Como ya se mencionó al principio, estas integrales se aprovechan de las fórmulas de derivación para encontrar un resultado ya definido con ayuda inversa de las derivadas, un ejemplo de esto se puede apreciar en la figura 1 que te presentamos a continuación: Figura 1: Integrales indefinidas Directas (Ejemplo 1) https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Integrales-indefinidas-Directas.png https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Integrales-indefinidas-Directas.jpg 8 Tal y como se puede apreciar en el primer ejemplo, la integral que debemos resolver es ∫sec^2(x)dx, como primer paso, debemos analizar que clase de integral es, al revisar el formulario de derivadas de funciones trigonométricas, encontramos que la derivada de Tang (x) = Sec^(x). Con lo anterior cumplimos la regla que vimos al principio del artículo (si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.) Al encajar perfectamente podemos invertir el resultado de la antiderivada y obtener que ∫sec^2(x)dx = Tang (x) +C. Lo anterior solo refleja el mejor escenario de la integración, sin embargo, en integrales indefinidas directas, existen propiedades que resuelven casos que no están ayudados por formulas de derivación, esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, el cual nos muestra la descomposición de la integral para su resolución final en base a la formula ∫x^n dx = x^n+1 / n+1. La integral indefinida directa que resolveremos se puedeapreciar en la figura 2 que se aprecia a continuación: Figura 2 En la integral podemos observar que los términos se están sumando, con lo cual podemos descomponer la función en integrales individuales tal y como se puede ver a continuación, únicamente se separaran los terminos que estan divididos por signo de suma o resta y se descompuso en integrales individuales. https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/barra-separadora-1-e1475115507872.png https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/1-1.png 9 Figura 3 Ahora ya podemos aplicar nuestra formula ∫x^n dx = x^n+1 / n+1. La formula nos dice que para resolver una integral en donde x se encuentre elevada a una potencia, se debe sumar un 1 a dicha potencia y para que la formula se cumpla, también se debe agregar el valor n+1 al denominador, convirtiéndola así en una fracción. Anuncio Figura 4 En la figura 4 se puede apreciar que la formula se cumple el primer termino, dándonos como resultado x^4/4, lo mismo sucede en el tercer termino, el cual nos da como resultado x^2/2. Para resolver el segundo y el cuarto termino, primero debemos quitar los numeros que nos estorban y esto se puede conseguir al sacarlos de la integral, tal y como se apreciar en la figura 4. En la figura 5 podemos observar que tras sacar el 3 de la integral y resolver la ∫x^2 dx, nos queda un 3 que multiplica y un 3 que divide, por lo cual, estos se eliminan. Figura 5 https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/2-2.png https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/3.png https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/4.png 10 Finalmente obtenemos el resultado de nuestra integral indefinida directa, recordemos que en las integrales indefinidas siempre se agrega al resultado un signo de suma y una constante que puede ser plasmada como C. 2.3.2 Cambio de variable. Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente. Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas. Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena. FORMULAS DE INTEGRALES https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/5.png 11 Ejemplo: 1. 2. https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/formulas.jpg?attredirects=0 https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/5.jpg?attredirects=0 https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/2.jpg?attredirects=0 12 3. 4. 5. https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/6.jpg?attredirects=0 https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/4.jpg?attredirects=0 13 6. 2.3.3 Por partes. El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como . Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como . Caso 1 https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/3.jpg?attredirects=0 https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/1.jpg?attredirects=0 14 En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la como . 2.3.4 Trigonométricas. Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes casos. Ejemplo 2.3.5 Sustitución trigonométrica. http://1.bp.blogspot.com/_nQGELevo12U/S7FKkMzV4yI/AAAAAAAAAwo/p660AEiZjHQ/s1600/inttrig7.jpg 15 La sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica se conoce como sustitución trigonométrica. Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que podrían transformar toda la expresión en una forma aún más críptica. Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonométricas a lugar. Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustitución trigonométrica esla mejor opción. Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un triángulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser sustituidas por una función trigonométrica. También es importante estar al tanto de las identidades y fórmulas trigonométricas para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una funcion tal que, Un error común que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposición errónea. También podemos ver que existe una expresión de raíz cuadrada en el integrando la cual podría resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminación sería una buena elección. Como podemos ver en la figura anterior la expresión de la base del triángulo es representada por y x representa la altura del triángulo. Por tantouna sustitución trigonométricasería una mejor opción. Supongamos ahora sin = x/ 3 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura19.PNG?attredirects=0 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura20.PNG?attredirects=0 16 utilizando lafórmula sin = longitud del triángulo dividido por la hipotenusa del triángulo x = 3 sin … (1) El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3) Ahora diferenciando la ecuación número (1) obtenemos • dx = 3 cos d • • = 3 cos • • Ahora el nuevo integrando se convierte • • Simplificando esta obtenemos • • Finalmente nos da + c como respuesta. Es esencial que antes de uno proceder con la solución, sea dibujado un bosquejo aproximado de los lados del triángulo para que en ningún paso ocurra una sustitución incorrecta. Además, si el valor de x es igual a cero o el valor de es igual a cero entonces tal triángulo no puede existir. Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones trigonométricas son las siguientes, es sustituido asumiendo que x = p sin es sustituido asumiendo que x = p tan es sustituido asumiendo que x = p sec Estas son sustituciones estándares que pueden ser tomadas como normas para la sustitución trigonométrica. En el caso que la variable sea precedida por un término coeficiente, entonces ese coeficiente pasa a ser el denominador del términoconstante que precede a la función trigonométrica en el lado derecho. Si tenemos algún tipo de expresión cuadrática bajo la raíz cuadrada entonces convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la solución del problema. 17 Vale la pena saber que sólo en los casos donde el denominador no produce una raíz real, podemos usar una función tangente como sustitución. Sin embargo, hacer que una funcióntrigonométrica sustituya una función algebraica no es la única solución, el problema también puede resolverse utilizando las reglas simples de integración, ya que existen muchas maneras de resolver un integrando específico. Ejercicios https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura49.PNG?attredirects=0 18 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura50.PNG?attredirects=0 19 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura51.PNG?attredirects=0 20 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura52.PNG?attredirects=0 21 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura53.PNG?attredirects=0 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura54.PNG?attredirects=0 22 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura55.PNG?attredirects=0 23 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura56.PNG?attredirects=0 24 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura57.PNG?attredirects=0 https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura58.PNG?attredirects=0 25 2.3.6 Fracciones parciales. El método de las fracciones parciales o fracciones simples se utiliza en álgebra y cálculo matemático para descomponer una expresión racional, quedando una suma algebraica de fracciones más sencillas. Siendo los sumandos fracciones simples, se facilita el cálculo de operaciones tales (Zapata, s.f.)como derivadas e integrales, entre otras. Considérese la siguiente expresión algebraica racional, la cual consta de los polinomios P(x) y Q(x) en el numerador y denominador, respectivamente: Se desea escribir esta expresión como la suma de fracciones más pequeñas. Para ello hay que notar que el polinomio Q(x) en el denominador es un trinomio cuadrado, el cual se puede factorizar rápidamente, como producto de dos factores: x2+x−12= (x+4)(x−3) Por tanto, la expresión anterior queda así: Conociendo la suma de fracciones, esta manera de escribir la expresión conduce fácilmente a esta otra: Resta hallar los valores de A y B, para que la expresión original quede expresada como la suma de estas dos fracciones más pequeñas. Para el ejemplo mostrado, los valores son: A = 3 y B = 2, y el lector puede confirmar que, en efecto, la suma: Equivale a la expresión original: Ya que: 26 ¿Cómo se calculan las fracciones parciales? Hay métodos para el cálculo de los coeficientes que deben ir en los numeradores de las fracciones simples, que dependen de la forma de la expresión racional original, es decir, de la forma de P(x)/Q(x). En primer lugar, hay que recordar que, cuando el grado de P(x) es menor que el de Q(x), se trata de una expresión racional propia, y si ocurre lo contrario, es una expresión racional impropia. Los métodos para descomponer en fracciones simples se refieren a expresiones algebraicas propias, si no lo son, primero deben reducirse, llevando a cabo la operación de división P(x)/Q(x). Seguidamente, la meta es encontrar los numeradores de cada una de las fracciones, para lo cual se distinguen cuatro casos, que depende de la factorización del denominador Q(x). Caso 1: los factores de Q(x) son lineales y no repetidos Si los factores de Q(x) son lineales y no repetidos, es decir, son de la forma (x-ai): Q(x) = (x -a1)(x-a2)…(x-an) Con a1 ≠ a2 ≠ a3 … ≠ an, es decir, todos los factores de Q(x) son diferentes, la expresión racional se escribe como: Los valores de A1, A2, A3… An, deben determinarse. La expresión racional mostrada al comienzo es un ejemplo de este caso. Caso 2: Q(x) tiene factores lineales repetidos Si Q(x) consiste en un factor repetido de la forma (x−a)n, con n ≥ 2, la descomposición en fracciones parciales se lleva a cabo así: Tal como en el caso anterior, los coeficientes deben ser determinados mediante procedimientos algebraicos. 27 Caso 3: Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido Si al factorizar Q(x) aparece un factor cuadrático irreducible, de la forma ax2+bx+c, para dicho factor hay que incluir, en la descomposición, un sumando con esta forma: Deberán hallarse los valores de A y B. Caso 4: Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible y repetido Suponiendo que la factorización de Q(x) contenga un factor cuadrático irreducible y repetido, de la forma (ax2+bx+c)n, se deben incluir los siguientes sumandos: Como siempre, deben calcularse los coeficientes necesarios. Los ejemplos a continuación muestran los procedimientos algebraicos que se requieren. Ejemplos de fracciones parciales Ejemplo 1 La siguiente expresión racional propia: ya viene con el denominador factorizado, consistente en dos factores lineales no repetidos, por lo que Q(x) es: Q(x)= (x+2)(x−1) Entonces, la descomposición en fracciones parciales buscada corresponde al caso 1, pudiendo escribirse: Para hallar los valores respectivos de A y B, se procede efectuando la suma a la derecha de la igualdad: Igualando numeradores: A(x−1) + B(x+2) = 3x Aplicando propiedad distributiva y agrupando términos semejantes: 28 Ax – A + Bx + 2B = 3x (A + B)x +(−A+2B) = 3x El coeficiente (A+B) se iguala a 3, puesto que ambos acompañan, a uno y otro lado de la igualdad, al término que contiene “x”. Por su parte, el coeficiente (−A+2B) se iguala a 0, ya que a la derecha de la igualdad no hay otro término semejante. Se forma entonces el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: A+B=3 −A+2B = 0 Cuya solución es: A=2 B = 1 Por lo tanto: El lector puede comprobar la igualdad, llevando a cabo la suma de fracciones de la derecha. 29 Bibliografía Ap, R. (s.f.). Sites Google. Obtenido de https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral- indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2- 3-5-por-sustitucion-trigonometrica Desconocido. (s.f.). Sites Google. Obtenido de https://sites.google.com/site/ittcalculointegrallogisticas2/home/2-3-calculo- de-integrales-indefinidas Elizabeth, P. P. (s.f.). Sites Google. Obtenido de https://sites.google.com/site/cicpadillapgabrielaelizabeth/unidad-2-integral- indefinida-y-metodos-de-integracion/2-2-propiedades-de-integrales- definidas Laura, A. (s.f.). Sites Google. Obtenido de https://sites.google.com/site/calculointegralaguilarlaura/2-3-4- trigonometricas Marta. (s.f.). superprof. 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