Cálculo Integral: Taller de Series e Integrales

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Actividad Evaluativa Eje 4 
CALCULO INTEGRAL 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
 
En la presente actividad del curso Calculo Integral, Taller Cálculo de Series y sucesiones 
e integrales múltiples, se describe el desarrollo de conceptos para identificar con cual 
método se desarrolla cada una de las actividades, aplicando los conceptos adquiridos en 
los ejes anteriores y los materiales de apoyo entregados por el profesor. 
 
 
Objetivos 
● Afianzar los conceptos de integrales 
● Entender los conceptos básicos y saber utilizar las técnicas fundamentales de la 
integración. 
● Dominar los métodos para la integración 
● Practicar y reconocer con cuales integrales se usan los diferentes métodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descripción del taller: 
 
 
 
 
La resolución de problemas en cálculo integral comprende tres etapas básicas que son: 
 
1. Reconocimiento del problema a tratar y planteamiento de la integral adecuada. 
2. Resolución de la integral. 
3. Interpretación del resultado. 
En el caso del presente taller se hará énfasis en dichas etapas, esperando que el estudiante 
adquiera las habilidades necesarias para la resolución de esta clase de ejercicios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instrucciones: 
 
Realice la lectura del eje y las lecturas complementarias del referente de pensamiento sobre 
las técnicas de integración. 
• Organicen grupos de tres o cuatro estudiantes. Seleccionen la mejor técnica de integración 
que permita realizar el ejercicio, para ello pueden utilizar documentos colaborativos. 
• Resuelvan los siguientes puntos: 
1. Proponga cinco ejemplos de series matemáticas convergentes y cinco ejemplos de 
series 
divergentes. 
2. Encuentre la serie de Maclaurin de la función cosx. 
3. Consulte cinco problemas físicos o de geometría que puedan resolverse utilizando 
integrales dobles y triples en diferentes coordenadas, escriba los ejemplos entrados 
argumentado cada paso que se realiza en su solución. 
• Presenten los resultados en un documento utilizando para la consignación de sus cálculos 
y 
desarrollo el editor de ecuaciones de Word. Así como, evidencia del trabajo en equipo. 
• Envíen un documento de Word o formato PDF al espacio de tareas del módulo
 
 
 
 
1.Proponga cinco ejemplos de series matemáticas convergentes y cinco ejemplos de series 
Divergentes. 
 
Series convergentes 
 
1. ∑!"#$ 1	(−1)𝑛 + 1𝑏𝑛 
2. ∑!"#$ (−1)𝑛	𝑏𝑛 
3. ∑!"#$ (−1)𝑛	1	(−1)𝑛 + 1	1	𝑏𝑛 
4. ∑!"#$ (−1)𝑛	𝑏(−1)𝑛 + 1	𝑛	 + 	2	𝑛	 + 	1𝑛 
5. ∑!"#$ (−1)𝑛(−1)𝑛 + 1	𝑛	𝑏𝑛 
 
Series divergentes 
 
 
1. +%&
!'	&"
$)*+&
, 
2. {8 +	(−5)"} 
3. {−5"} 
4. + "!
,*+"
, 
5. +-*."*	/"
!
0*+"*	"!
, 
 
Definición de convergencia y divergencia para 
series: 
Para una serie infinita, la n-ésima suma parcial 
viene dada por S(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n). 
Si la sucesión de sumas parciales {S(n)} 
converge a un número S, diremos que la serie 
converge. Llamaremos a S suma de la serie, y 
escribiremos a(1)+a(2)+a(3)+...=S. 
Si {S(n)} diverge, diremos que la serie es 
divergente. 
De acuerdo a esta definición, ¿que puedes 
decir de la convergencia o divergencia de las 
series de los ejemplos 1, 2 y 3 anteriores? Al 
estudiar este tema veremos que hay dos 
cuestiones básicas relativas a las series 
infinitas. 
1) ¿Es convergente o divergente la serie? 
2) Si la serie converge, ¿cuál es su suma?
 No siempre es fácil contestar estas 
preguntas, sobre todo la segunda.
 En la próxima sección veremos dos tipos 
especiales de series para las cuales sí es posible 
contestar las preguntas anteriores. 
 
 
 
Los primeros términos de esta suma son (1-
1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) +...Observa que se 
van cancelando los términos intermedios y 
quedan unicamente el primero y el último 
término de las sumas parciales. En la suma 
mostrada arriba queda 1-1/4. En la n-ésima 
suma parcial quedaría S(n)=1 - 1/(n+1). 
1 
S(1)= = 0.5 
 2 
 
 2 
S(2)= = 0.6667 
 3 
 
 3 
S(3)= = 0.75 
 4 
 
 4 
S(4)= = 0.8 
 5 
 
 5 
S(5)= = 0.8333 
 6 
 
 6 
S(6)= = 0.8571 
 7 
 
 7 
S(7)= = 0.875 
 8 
 
 8 
S(8)= = 0.8889 
 9 
¿Qué observas acerca de la sucesión de sumas 
parciales? 
 
 n 1 
La n-ésima suma parcial es S(n) = = 1 - 
 n + 1 n + 1 
El límite de la sucesión de sumas parciales es S 
= 1 
 
 
	2. Encuentre la serie de Maclaurin de la función cosx. 
 
Desarrollo en serie de Maclaurin de las funciones coseno 
 
Demostramos que la función coseno es igual a la suma de su serie de Maclaurin. 
Demostrar que 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠	𝑥	 = 1 −	
𝑥+
2! +	
𝑥%
4! − ⋯+	
(−1)"𝑥+"
(2𝑛)! + ⋯ =	9
*	!
1#	)
(−1)1𝑥+1
(2𝑘)! 		(∀𝑥	 ∈ 	𝑅)	 
 
Solución 
La fórmula de Maclaurin de orden aplicada a la función proporciona la acotación 
 
 >𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠	𝑥	 −	?1 −	&
!
+!
+	&
#
%!
+⋯+	(−1)" &
!$
"!
@> 	≤ 	 |&|
!$%&
(+"*$)!
 
 
 
Ahora bien, |&|
!$%&
(+"*$)!
 
 
 cuando pues sabemos que la exponencial tiene un grado de infinitud menor que la factorial. 
En consecuencia, 
 
 1 −	&
!
+!
+	&
#
%!
−⋯+	 ('$)
$&!$
(+")!
	→	𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠	𝑥	 
 
para todo 𝑥	 ∈ 	𝑅 con lo cual 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠	𝑥	 = 1 −	
𝑥+
2! +	
𝑥%
4! − ⋯+	
(−1)"𝑥+"
(2𝑛)! + ⋯ =	9
*	!
1#	)
(−1)1𝑥+1
(2𝑘)! 		(∀𝑥	 ∈ 	𝑅)	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Consulte cinco problemas físicos o de geometría que puedan resolverse utilizando 
integrales dobles y triples en diferentes coordenadas, escriba los ejemplos entrados 
argumentado cada paso que se realiza en su solución. 
 
 
 
1. 
 
 
2. 
 
 
3. 
 
4. 
5. 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía 
● http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/ser
ies/ser_tg.html 
● http://fernandorevilla.es/blog/2014/10/01/desarrollo-en-serie-de-maclaurin-de-
las-funciones-seno-y-coseno/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/series/ser_tg.html
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/series/ser_tg.html
http://fernandorevilla.es/blog/2014/10/01/desarrollo-en-serie-de-maclaurin-de-las-funciones-seno-y-coseno/
http://fernandorevilla.es/blog/2014/10/01/desarrollo-en-serie-de-maclaurin-de-las-funciones-seno-y-coseno/
 
 
 
Concluciones 
El proceso de integración de los diferentes ejercicios ha sido interesante al haber sido 
posible aprovechar algunos de los conocimientos obtenidos durante la clase de Calculo 
integral. Aun así, fue necesario el proceso de aprender muchas cosas nuevas 
específicas, conocimientos que no se adquieren durante la carrera. Parte de los nuevos 
conocimientos se adquirían durante las prácticas en la vida y acontecer diario de los 
participantes, para poder empezar a entrar en este tema que es uno de los más 
importantes para la carrera además para nuestros futuros como profesionales.