Aplicaciones de la integral

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 INSTITUTO TECNOLOGICO DE 
CERRO AZUL 
 
 
 
CALCULO INTEGRAL 
ALUMNO: 
 CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 
 
UNIDAD: 3 
Aplicaciones de la integral. 
 DOCENTE: 
ING. RODOLFO ABDIEL CERON DELGADO 
 
CARRERA: 
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 
 
CERRO AZUL, VER .2022 
 
 
 
 
 
 
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Aplicaciones de la integral. 
 
3.1 Áreas. 
Para el cálculo de áreas de regiones planas consideraremos en primer lugar el caso 
en que la región está determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox, 
y después el caso en que la región la determinan los gráficos de dos funciones 
en [a,b], distinguiendo entre si estas funciones se cortan o no. 
 
Área de una región determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox 
La función toma valores positivos en todo [a,b].Sea una función f (x) definida en el 
intervalo [a,b]. Si la función es no negativa en [a,b], es decir, si f (x) ≥ 0 para todo 
x∈[a,b] , entonces el valor de la integral definida de f (x) entre a y b. 
Sea a∫ f x dx , es igual al área delimitada por la gráfica de la función f (x) con el eje 
Ox entre las líneas verticales determinadas por x = a y x = b , tal como se muestra 
en la figura. Observamos que cuando f (x) es no negativa, su gráfica se sitúa por 
encima del eje Ox , en la parte positiva del eje de ordenadas. 
 
La función toma valores negativos en todo [a,b] 
Si la función f (x) es negativa (su gráfica se sitúa en la parte del plano 
que corresponde al eje de ordenadas negativo) entonces el valor de la integral a∫ f 
x dx es negativo e igual en valor absoluto al del área delimitada por la gráfica de 
la integral con el eje Ox entre les líneas x = a y x = b . Con lo cual el área de la 
zona delimitada por la función con el eje Ox es a−∫ f x dx Caso generalEn general, 
si el área que se quiere calcular la delimita, con el eje Ox y x = a y x = b , 
la gráfica de una función f (x) cuyo signo a lo largo del intervalo [a, b] pasa de 
positivo a negativo, o al contrario, habrá que tenerlo en cuenta y hacer el cálculo del 
área total sumando las áreas parciales calculadas en los intervalos de signo 
constante. 
 
Área determinada por los gráficos de dos funciones en [a,b]. 
Las gráficas de las funciones no se cortan en [a, b].Dadas dos funciones f (x) y g(x) 
, para calcular el área determinada por sus gráficas entre las líneas verticales x = a 
y x = b bastará calcular las áreas determinadas por cada gráfica con el eje Ox, entre 
x = a y x = b , y después restar o sumar dichasáreas según sea la 
situación.Consideremos en primer lugar el caso en que una de las funciones es 
mayor o igual que la otra en todo el intervalo considerado. Es el caso en que la 
gráfica de una de las funciones se sitúa por encima de la gráfica de la otra. 
Supongamos, por ejemplo que f (x) ≥ g(x) en todo [a, b] . Entonces el área buscada 
es la integral de la diferencia entre las funciones 
 f (x) y g(x) , o sea ∫ f x dx − ∫ g x dx =∫ f x − g x dx 
A continuación se explicaran los 2 tipos de áreas a estudiar en esta unidad: 
 
Área bajo la gráfica de una función: 
 
 
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Así como también; Área entre las gráficas de funciones: 
 
 
 
 
 
 
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de 
medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más 
intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede 
calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se 
usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre 
el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al 
concepto geométrico (área). 
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir 
métodos de geometría diferencial. 
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un 
concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie 
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Triangulaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9trico
http://2.bp.blogspot.com/-i9hRIh1pKPY/Tf_aGsClfsI/AAAAAAAAAHA/-S3Sn-adO6c/s1600/graf1.gif
http://3.bp.blogspot.com/-3mAKrtk-q3k/Tf_apDBv4VI/AAAAAAAAAHE/ZQbPK1hvdUA/s1600/graf2.gif
 
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en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie 
hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea 
 
Historia 
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región 
encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo 
Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de 
calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar 
eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.[1] 
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los 
triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego 
Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más 
dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos 
en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar 
el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de 
exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de 
un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para 
resolver otros problemas similares,[2] así como el cálculo aproximado del número π 
 
Área de superficies curvas 
El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún 
tipo de idealización o límite para medirlo. 
• Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral 
de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir 
del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición 
matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que 
su curvatura gaussiana sea nula. 
• Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o 
la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo 
de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana 
coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin 
embargo la esfera es una superficie de revolución 
Superficie de revolución 
 
Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana 
o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie 
de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la 
curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que 
define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una 
superficie de revolución cuya área lateral vale 
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo
http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto
http://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto
http://es.wikipedia.org/wiki/Nilo
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3doto
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea#cite_note-0
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_agotamiento
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_exhausci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_exhausci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Eudoxo_de_Cnidos
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea#cite_note-1
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro
http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_%28geometr%C3%ADa%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_necesaria_y_suficiente
http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_necesaria_y_suficientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies#Curvatura_gaussiana
http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera
http://es.wikipedia.org/wiki/Generatriz
http://es.wikipedia.org/wiki/Directriz
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n
http://3.bp.blogspot.com/-337nn8k6dwE/TgoXIRsEAOI/AAAAAAAAABY/AsYgnC9rp_0/s1600/Captura.JPG
 
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Cálculo general de áreas 
Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría 
riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la 
superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región 
Ω contenida en una superficie su área resultar ser: 
 
 
 
De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la 
superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área 
anterior puede escribirse como: 
 
 
 
 
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 
En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, 
puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de 
Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración 
a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles 
dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se 
sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como 
una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida 
como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través 
de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se necesitaba considerar 
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_riemanniana
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_riemanniana
http://1.bp.blogspot.com/-z5lvbLRjGZ4/TgoXWdLQ7JI/AAAAAAAAABc/ZRd2-XsA-Ck/s1600/Capturaa.JPG
http://1.bp.blogspot.com/-6Zoiu6YbPP8/TgoYA06LyxI/AAAAAAAAABg/2DqjxvBE3Dg/s1600/Captura.JPG
http://2.bp.blogspot.com/-sF3gkgEBydA/TgoYYIQ0yJI/AAAAAAAAABk/HB9y9l8ZxEo/s1600/Captura.JPG
 
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funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los limitados procesos 
del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una 
aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara 
a dichos problemas. 
La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas 
otras ramas de la Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue 
(1875–1941). 
La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser 
interpretados como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para 
funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, 
pero… ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con 
comportamiento errático? En general, ¿cuál es la clase de funciones para las cuales 
el concepto de “área bajo la curva” tiene sentido? La respuesta a esta interrogante 
tiene importancia teórica y práctica fundamental. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-iii-aplicaciones-de-la-integral/3-1-1-area-bajo-la-gafica-de-una-funcion/area.jpg?attredirects=0
 
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3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. 
 
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo 
integral: 
 
 
 
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: 
 f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] . 
Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 
en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces 
evaluando la integral, se obtiene: 
 
 
Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre 
dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral. 
Ejemplo de Aplicación 1: 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-iii-aplicaciones-de-la-integral/3-1-1-area-bajo-la-gafica-de-una-funcion/grt.jpg?attredirects=0
http://2.bp.blogspot.com/-q-SNVDQ0X1I/Te2QwFvNvRI/AAAAAAAAADw/54nCYh-7cRI/s1600/imga.png
http://3.bp.blogspot.com/-XlxB8T-vd_g/Te2RIl3_DYI/AAAAAAAAAD0/fhzbsJFha-4/s1600/imgb.png
 
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La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente: 
 
Ejemplo De Aplicacion 2: 
 
La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente: 
http://1.bp.blogspot.com/-yizUIi1ieGA/Te2RUZM9wRI/AAAAAAAAAD4/bAAahXuuEEQ/s1600/imgc.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-S8UDITOncWw/Te2RbiqcICI/AAAAAAAAAD8/X2xJVlFOG4s/s1600/imge.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-XkUgnr74NLw/Te2RiO9xgTI/AAAAAAAAAEA/cZwpV1RBMh8/s1600/imgd.jpg
 
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3.2 Longitud de curvas. 
 
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la 
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. 
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; 
aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada 
del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para 
algunos casos. 
Formula General 
 
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos 
de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más 
segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia 
finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal 
que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el 
valor obtenido como aproximación de la longitud de C. 
(VER IMAGEN 1.0) 
http://2.bp.blogspot.com/-1i2EoQG1sp8/Te2RoPOEcwI/AAAAAAAAAEE/maMQgLCYrZ0/s1600/imgf.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-j5nnq4A2XbY/Te2ZBShcAsI/AAAAAAAAAGE/HrV62z9R1gA/s1600/Img1.png
 
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Imagen 1.0 
 
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y 
su gráfica es una curva suave. 
(VER IMAGEN 2.0) 
Imagen 2.0 
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmento de recta se puede 
calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2. 
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es: 
 
 
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. 
 
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor 
de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor 
de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. 
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El 
volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: 
Volumen del disco = wR2π 
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de 
http://4.bp.blogspot.com/-cDdPeMcpQG0/Te2ZA7TkpvI/AAAAAAAAAGA/VvGQSzje3qw/s1600/imag2.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-ek-L3P5nDD8/Te2ZBtJsw8I/AAAAAAAAAGI/AhTMmzzytz0/s1600/img3.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-BrLWtFm7Taw/Te2ZBzz6B7I/AAAAAAAAAGM/vCfL4WDL2mg/s1600/img4.jpg
 
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revolución general, se hacen n particiones en la grafica. 
 
 
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del 
mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es wR2π , la suma de Riemann 
asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: 
 
 
 
Ejemplo 
 
La región entre y el eje x se gira alrededor del eje x para 
generar un sólido. Hallar su volumen. 
 
Región que rota alrededor del eje x 
 
 
2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL:Es claro que el método a utilizar es el método 
de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir: 
 
 
3. LIMITES DE INTEGRACIÓN:Estos límites nos lo fueron 
Región que rota alrededordel eje x 
dados en el enunciado del ejemplo: 
 
 
 
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4. FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para 
volúmenes usando el método del disco tenemos: 
 
 
 
 
Por tanto, el volumen del sólido es u3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4 Integrales impropias. 
 
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales 
definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función 
en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. 
 
 
 
si los límites existen. 
 
 
 
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Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral 
es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente. 
 
 Ejercicios resueltos 
 
En los ejercicios 1 a 5, si la integral es convergente, evalúela. 
 
 
 
 
 
 
S o l u c i o n e s 
 
 
 
 
 
https://www.calculo.jcbmat.com/id485_m.htm#1
https://www.calculo.jcbmat.com/id485_m.htm#2
https://www.calculo.jcbmat.com/id485_m.htm#3
https://www.calculo.jcbmat.com/id485_m.htm#4
https://www.calculo.jcbmat.com/id485_m.htm#5
 
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3.5 Aplicaciones. 
 
Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa 
mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva” 
se tienen: 
· Área entre curvas. 
· Sólidos de revolución. 
· Longitud de curvas. 
· Centroides de figuras planas. 
· Momentos de Inercia de cuerpos planos. 
 
 
El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes aplicaciones 
y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez motivó los conceptos 
básicos de la integral: el área bajo la curva. 
 
 
Área entre la curva y el eje x 
En efecto, ya lo hemos señalado, integral no es lo mismo que área, ya que el 
concepto de integral es realmente un concepto mucho más amplio y que se puede 
aplicar a infinidad de situaciones novedosas. Por otro lado, realizando las 
correcciones necesarias respecto de los valores negativos que pueda tomar una 
 
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función en un intervalo la integral calcula perfectamente el área entre el eje x y una 
curva dada. 
Pero el concepto de área se puede ampliar a espacios delimitados entre diversas 
curvas en el plano, estudiemos ahora esa generalización. 
Área entre curvas 
La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una situación 
dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva ¿Cuánto 
mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese caso? 
Longitud de una curva 
La integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que muchas 
de las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera son 
planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el contrario! 
El potencial analítico de la integral se logra ante la simplicidad del concepto ¡no deja 
de ser una suma!!!!! 
Pero ahora con las computadoras, esas sumas las podemos hacer de manera muy 
eficiente. 
Integración numérica 
Es verdad que la motivación de la integración (serrano, blog spot, s.f.)lo fue el 
concepto geométrico de área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos 
emplear en cualquier situación que se pueda representar por el producto de dos 
cantidades y el volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuerpos 
geométricos y como la integral nos auxilia a calcular volúmenes. 
Superficies y sólidos de Revolución 
En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro 
de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los 
efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos 
necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas. 
Momentos de Inercia 
Las aplicaciones de la integral son muy amplias y en este apartado se han 
presentado algunas de las más comunes, y con este estudio se amplía el panorama 
para que, en nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos rodean todos los 
días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano. 
 
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Bibliografía 
aldana, p. (s.f.). blog spot. Obtenido de 
http://poncealdana.blogspot.com/2011/07/33-calculo-de-volumenes-de-
solidos-de.html 
amezquita, r. (s.f.). blogspot. Obtenido de 
http://ricardoamezquita.blogspot.com/2011/06/31-areas.html 
chavez, f. s. (s.f.). blog spot. Obtenido de 
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graficas-de.html 
Desconocido. (s.f.). calculo. Obtenido de 
https://www.calculo.jcbmat.com/id485.htm 
H.Elvira, M. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-iii-aplicaciones-de-la-
integral/3-1-1-area-bajo-la-gafica-de-una-funcion 
serrano, a. (s.f.). blog spot. Obtenido de 
http://aguilarserrano.blogspot.com/2011/06/32-longitud-de-curvas.html 
serrano, a. (s.f.). blog spot. Obtenido de 
http://aguilarserrano.blogspot.com/2011/06/35-otras-aplicaciones.html