Calculo Integral

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Escuela Preparatoria Uno 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
 
DESCRIPCIÓN DE 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
Asignatura optativa propedéutica: 
Cálculo Integral 
CURSO REGULAR 
6º SEMESTRE 
ENE – JUN 2023 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
1 
CSEMS 
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES 
P
ER
ÍO
D
O
 1
  ADAS  PUNTOS  INICIO  FIN  
UNIDAD 1. LA FUNCIÓN ANTIDERIVADA. 
Actividad 1. La diferencial. 3 26 ENE 2023 07 FEB 2023 
P
ER
ÍO
D
O
 2
  
Actividad 2. La integral indefinida. 7 08 FEB 2023 07 MAR 2023 
Actividad 3. Técnicas de integración. 5 08 MAR 2023 22 MAR 2023 
Actividad Integradora de la Unidad 1. 
Prueba de desempeño. 
20 27 MAR – 31 MAR 2023 
Total   35   
UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN ANTIDERIVADA. 
Actividad 4. Área bajo una curva. 5 23 MAR 2023 31 MAR 2023 
Actividad 5. Área entre dos curvas. 5 17 ABR 2023 26 ABR 2023 
P
ER
ÍO
D
O
 3
  
Actividad 6. Volumen de sólido de 
revolución. 
15 27 ABR 2023 19 MAY 2023 
Actividad 7. Longitud de arco. 5 22 MAY 2023 26 MAY 2023 
Total 30 
PRODUCTOS  
Problemario 5 29 MAY 2023 31 MAY 2023 
Actividad integradora de la Unidad 2. 
Prueba de desempeño. 
30 29 MAY – 02 JUN 2023 
Total  35   
Total del curso  100    
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
2 
CSEMS 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
Escuela Preparatoria Uno 
 
 
 
CÁLCULO 
INTEGRAL 
Asignatura optativa propedéutica 
 
Competencia del curso: Resolver problemas reales o 
hipotéticos de diversas ciencias utilizando la función 
antiderivada, con ayuda de las TIC. 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
3 
CSEMS 
 
 
 
UNIDAD 1 
LA FUNCIÓN ANTIDERIVADA 
 
 
Competencia de la unidad: Resolver problemas 
reales o hipotéticos de diversas ciencias utilizando el 
cálculo de integrales indefinidas, con ayuda de las TIC. 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
4 
CSEMS 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1 
La diferencial 
 
Valor: 3 puntos 
 
Resultados de aprendizaje: 
• Comprender el significado de las diferenciales. 
• Resolver problemas aplicando las diferenciales. 
• Reconocer la utilidad de las diferenciales. 
 
Descripción de la secuencia de actividad: 
 
INICIO 
 
1. En equipos, resolver el problema siguiente. 
 
Calcular el valor de √51 usando un método de aproximaciones. 
 
La función que permitiría determinar dicho 
valor sería 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥, la cual se 
presenta bosquejada en la figura de la 
derecha. 
 
¿Qué punto A, con coordenadas enteras, 
sobre la gráfica de, tiene la abscisa más 
cercana a 51? 
 
A continuación, marcar las coordenadas del 
punto A en los espacios en blanco de la figura 
de la derecha. Observa que se ha trazado una 
recta tangente por el punto A. Así, Un valor 
aproximado de √51 utilizando a la recta 
tangente sería yA + BC. Entonces, encuentra 
el valor de BC. 
 
¿Cuál es la derivada de la función f? 
 
 
 
A(xA, yA) = A( , ) 
 
 
 f ’ (x) = 
 
x 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 
? 
51 0 
• 
y 
• 
x 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 
? 
51 0 
• 
C 
B 
A α 
Tangente 
• 
• 
y 
aprox 
• 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
5 
CSEMS 
Utilizar la derivada de la función f para determinar 
el valor de la pendiente de la recta tangente a la 
gráfica de la función f en el punto A. 
 
Considerar el ángulo de inclinación α de la recta 
tangente a la gráfica de la función f en el punto A 
para determinar el valor de su pendiente. 
 
Aplicar la propiedad transitiva con las dos 
relaciones anteriores que determinan la m tan (A) 
para determinar el valor de BC. 
 
 
 
Así, finalmente, un valor aproximado de √51 
sería: 
 
Ahora, utilizar tu calculadora para determinar el 
valor exacto de √51 y compáralo con el anterior. 
 
 
 
m tan (A) = 
 
 
m tan (A) = 
 
 
BC = 
 
 
 √51 ≈ 𝑦𝐴 + 𝐵𝐶 = 
(respuesta con 4 decimales) 
 
 √51 = 
(respuesta con 4 decimales) 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
6 
CSEMS 
2. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
LA DIFERENCIAL 
 
Sea f una función derivable en c. Al cambiar c, Δx, cambia f(c), Δy. Si utilizamos la recta tangente 
que pasa por (c, f(c)) para aproximar el cambio Δy, puede hacerse como se muestra: 
 
Parece que conforme el cambio en x, x, se hace más pequeño, el cambio en y, y, medido en la 
función f o en la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) son más parecidos. 
Cuando x es pequeño, se puede usar la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) para 
calcular el cambio en y, y, de f en forma aproximada: ∆y ≈ f ’(c)∆x. Para una aproximación de 
este tipo, al cambio en x, x, se denota por dx y se llama diferencial de x y al cambio en y, y, se 
denota por dy y se llama diferencial de y. 
 
Definición 
Sea y = f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x, 
dx, es cualquier número real no nulo. La diferencial de y, dy, es: dy = f ’(x) dx. 
 
y 
(c, f(c)) 
• f(c) 
c 
• 
c+Δx 
Cambio en x, dx = Δx 
(c+Δx, f(c+Δx)) 
f(c+Δx) 
y = f(x) 
• 
Cambio en y 
en la función, 
Δy = f(c+Δx) – f(c) 
 
dy = f ’(c)dx 
Cambio en y 
en la tangente 
 
x 
α 
mtan(c, f(c)) = f ’(c) 
mtan(c, f(c)) = Tan α = dy/Δx 
f ‘(c)=dy/ Δx 
dy = f ’(c)dx 
y 
(c, f(c)) 
• f(c) 
c 
• 
c+Δx 
Cambio en x, Δx 
(c+Δx, f(c+Δx)) 
f(c+Δx) 
y = f(x) 
• 
Cambio en y 
en la función, 
Δy = f(c+Δx) – f(c) 
 
Cambio en y 
en la tangente 
 
x 
α 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
7 
CSEMS 
DESARROLLO 
 
3. Con ayuda del facilitador, resolver los problemas siguientes. 
 
1. Usando diferenciales calcula el volumen aproximado de la capa esférica mostrada en la 
figura. Respuesta: 8000π cm3 
 
Volumen de una esfera 
 
 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
 
Volumen de una capa esférica (aproximado, usando diferenciales) 
 
 𝑑𝑉 = 𝑉′𝑑𝑟 
 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 
 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟(100)2(0.2) 
 𝒅𝑽 = 𝟖𝟎𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑 
 
 
 
 
 
2. Usa diferenciales para estimar el volumen de la capa cilíndrica de 1/16 cm de espesor, 
mostrada en la figura. Respuesta: 25π cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
dr 
r = 100 cm 
dr = 0.2 cm 
r dr 
h 
r = 5 cm 
dr = 1/16 cm. 
h = 40 cm 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
8 
CSEMS 
3. Una caja metálica en forma de cubo tendrá un volumen interior de 1000 cm3. Las seis 
caras serán de ½ cm de espesor. Si el costo del metal que se empleará es de $2.00 por 
cm3, utiliza diferenciales para determinar el costo aproximado del metal empleado para 
la construcción de la caja. Respuesta: $600.00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Un contratista acuerda pintar ambas caras de 1000 señales circulares, cuyo radio es de 
30 cm. Al recibir las señales, se encontró con que el radio de éstas era 1 cm más grande. 
Usa diferenciales para determinar el incremento porcentual aproximado del área 
adicional a pintar. Respuesta: 6.67% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
dx/2 dx/2 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
9 
CSEMS 
CIERRE 
 
4. De manera individual, resolver los problemas siguientes. 
 
1. El tallo de un hongo es de forma cilíndrica, y un tallo de 2 cm de altura y r cm de radio 
tiene un volumen de V cm3, donde 𝑉 = 2𝜋𝑟2. Usa diferenciales para calcular el 
incremento aproximado del volumen del tallo cuando el radio aumenta de 0.4 a 0.5 cm. 
Respuesta: 𝑑𝑉 =
4
25
𝜋 𝑐𝑚3 
 
2. Un tumor en el cuerpo de una persona tiene forma esférica de modo que si r cm es la 
medida del radio y V cm3 es el volumen del tumor, entonces 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3. Utiliza 
diferenciales para determinar el incremento aproximado del volumen del tumor cuando 
el radio aumenta de 1.5 a 1.6 cm. Respuesta: 𝑑𝑉 =
9
10
𝜋 𝑐𝑚3 
 
3. Calcula el incremento del área de un cuadradode lado 5 m al aumentar el lado 5 mm. 
Respuesta: 𝑑𝐴 =
1
20
 𝑚2 
 
4. Utiliza diferenciales para aproximar el volumen del material necesario para elaborar una 
pelota de caucho si el radio del núcleo hueco debe ser de 5 cm y el espesor del caucho 
es de 1/3 cm. Respuesta: 𝑑𝑉 =
100
3
𝜋 𝑐𝑚3 
 
5. Un tanque cilíndrico abierto tendrá un revestimiento de 2 cm de espesor. Si el radio 
interior es de 6 m y la altura es de 10 m, obtén mediante diferenciales la cantidad 
aproximada de material de revestimiento que se empleará. Respuesta: 𝑑𝑉 =
12
5
𝜋 𝑚3 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
10 
CSEMS 
Recursos y materiales: 
Material didáctico elaborado por la Academia de la asignatura Cálculo Integral. 
 
Evidencia de aprendizaje: 
Problemas reales o hipotéticos de diversas ciencias resueltos por el estudiante, aplicando las 
diferenciales. 
 
Instrumento de evaluación: 
CRITERIOS INDICADORES % 
P
re
se
n
ta
ci
ó
n
 y
 
en
tr
eg
a 
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada, ordenada, 
limpia y clara. 
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el profesor. 
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del profesor. 
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de los criterios 
establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación o no del trabajo y la 
valoración total o parcial de dicha actividad. 
10% 
P
ar
ti
ci
p
ac
ió
n
 e
n
 
cl
as
e
 
• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de 
clase y con su profesor. 
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el 
aula. 
• El alumno realiza de manera individual las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
20% 
R
e
so
lu
ci
ó
n
 d
e 
e
je
rc
ic
io
s 
y/
o
 
p
ro
b
le
m
as
 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el 
procedimiento de resolución mostrada por el profesor durante las 
sesiones de clase. 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta. 
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la 
retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. 
70% 
 
Referencias bibliográficas: 
• Mario Quijano, Carlos Navarrete. (2002). Cálculo 2. México: Ediciones UADY. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press. 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
11 
CSEMS 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2 
La integral indefinida 
 
Valor: 7 puntos 
 
Resultados de aprendizaje: 
• Calcular de forma aproximada el área bajo una curva con el Método de Agotamiento, 
Exhaución o Exhaustividad, de Eudoxio de Cnido 
• Calcular de forma exacta el área bajo una curva utilizando el Concepto de Sumatoria. 
• Comprender el significado de La Integral Indefinida. 
• Aplicar de las Reglas de Antiderivación para resolver integrales indefinidas simples. 
• Comprender el funcionamiento de la Regal de la Cadena de la Antiderivación. 
• Aplicar las Reglas de Antiderivación para resolver integrales indefinidas de funciones 
compuestas. 
• Resolver problemas de Física y de Tasas de Variación en general aplicando la integral 
indefinida. 
• Reconocer la utilidad de La Integral Indefinida. 
 
Descripción de la secuencia de actividad: 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
12 
CSEMS 
INICIO 
 
1. En equipos, resolver el problema siguiente. 
 
El museo de arte de cierta ciudad ha recibido el presupuesto de cinco empresas para realizar el 
suministro e instalación de un vitral que se requiere en la fachada principal de su nuevo edificio. 
Se ha observado que en las propuestas recibidas existen marcadas diferencias del área 
considerada por cada una de estas. El comité de construcción ha establecido como criterio para 
elegir a la empresa a contratar, aquella que presente el área más próxima al valor exacto. Para lo 
anterior, se te solicita que determines cual es esa empresa. 
Empresa Vidriarte Art Glass Vitrificante Vitroluz Vintage Glass 
Área (m2) 5.42 5.35 5.10 5.53 5.28 
 
La parte superior del vitral tiene forma de dos arcos de parábolas verticales hacia arriba con las 
mismas características, cuyos vértices se localizan en los puntos A y B separados 8 metros entre sí. 
El punto más alto del vitral está en la intersección de las parábolas a 2 m sobre sus vértices, como 
se muestra en la figura siguiente. 
 
Calculemos el área exacta del vitral por un método de aproximaciones. 
 
¿Conoces la fórmula de alguna figura geométrica que te permita determinar de manera exacta el 
área del vitral? Escríbela. 
 
 
 
Si tu respuesta anterior fue negativa, describir el procedimiento que utilizarías para determinar el 
área exacta del vitral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 m 
2 m 
A B 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
13 
CSEMS 
Aprovechando la simetría de la figura, considera sólo la mitad de esta, para calcular el área de la 
región R, AR, y después duplicarla obteniendo así el área total del vitral. Y, ubicar el vértice de la 
parábola en el origen del sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en la figura 
siguiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar la ecuación de la parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora, utilizar el Método de Agotamiento, Exhaución o Exhaustividad, de Eudoxio de Cnido que 
se presenta a continuación para calcular el área de la región R, AR, usando aproximaciones. 
Primero, considerar 4 rectángulos circunscritos de base 1, como se aprecia en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
R 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
14 
CSEMS 
Observar que la altura de cada rectángulo está dada por la imagen de la abscisa del extremo 
derecho de su base. Determina una aproximación de AR como la suma de las áreas de los 4 
rectángulos circunscritos. 
 
AR  1.0 f(1.0) + 1.0 f(2.0) + 1.0 f(3.0) + 1.0 f(4.0) 
AR  1.0  f(1.0) + f(2.0) + f(3.0) + f(4.0)  
AR  1.0 (__________) 
 
 
 
Ahora, considerar 8 rectángulos circunscritos de base 0.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar una mejor aproximación de AR como la suma de las áreas de los 8 rectángulos 
circunscritos. 
 
AR  0.5 f(0.5) + 0.5 f(1.0) + 0.5 f(1.5) + . . . + 0.5 f(4.0) 
AR  0.5  f(0.5) + f(1.0) + f(1.5) + . . . + f(4.0)  
AR  0.5 (__________) 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
𝑓(1.0) 
𝑓(2.0) 
𝑓(3.0) 
𝑓(4.0) 
Suma 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
𝑓(0.5) 
𝑓(1.0) 
𝑓(1.5) 
𝑓(2.0) 
𝑓(2.5) 
𝑓(3.0) 
𝑓(3.5) 
𝑓(4.0) 
Suma 
AR  
AR  
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
R 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
15 
CSEMS 
Por último, realizar este mismo proceso para 16 rectángulos circunscritos de base 0.25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es fácil notar que conforme el número de rectángulos aumenta, la base de los rectángulos se hace 
cada vez más pequeña y al mismo tiempo el error en la estimación de AR se hace más pequeño, es 
decir, nos aproximamos más, al valor exacto de AR. 
 
AR  0.25 f(0.25) + 0.25 f(0.50) + 0.25 f(0.75) + . . . + 0.25 f(4.00) 
AR  0.25  f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + . . . + f(4.00)  
AR  0.25 (__________) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
𝑓(0.25) 
𝑓(0.50) 
𝑓(0.75) 
𝑓(1.00) 
𝑓(1.25) 
𝑓(1.50) 
𝑓(1.75) 
𝑓(2.00) 
𝑓(2.25) 
𝑓(2.50) 
𝑓(2.75) 
𝑓(3.00) 
𝑓(3.25) 
𝑓(3.50) 
𝑓(3.75) 
𝑓(4.00) 
Suma 
AR  
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
R 
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Modalidad Presencial 
16 
CSEMS 
Ahora, completar la tabla siguiente con los resultados que obtuviste anteriormente. 
 
Rectángulos utilizados (n) base (b) suma de sus áreas (S) 
redondea tu resultado a dos decimales 
4 1 
8 0.5 
16 0.25 
Con ayuda de un Simulador de Geogebra determinarlos siguientes casos: 
32 0.125 
64 0.0625 
128 0.03125 
256 0.015625 
512 0.0078125 
1024 0.00390625 
 
Observando la tabla anterior, responde: 
 
¿Cómo se comportan y a qué valor se aproximan las sumas de las áreas de los rectángulos 
circunscritos (S), conforme el número de rectángulos n crece infinitamente? 
 
 
 
 
 
 
En notación de límites se puede escribir… 
 
 
 
 
O bien, ¿a qué valor se aproximan las sumas de las áreas de los rectángulos circunscritos (S), 
conforme el ancho de sus bases b se aproxima a cero? 
 
 
 
 
 
 
En notación de límites se puede escribir… 
 
 
 
NOTA: Este mismo procedimiento se puede llevar a cabo si se consideran rectángulos inscritos, 
obteniendo el mismo resultado. 
 
 
 lim
𝑛→∞
𝑆 = 𝐴𝑅 = 
 
 
 Lim
𝑏→0
𝑆 = 𝐴𝑅 = 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
17 
CSEMS 
Así, el área del vitral es: 
 
Área del vitral = 2AR = 
 
 
La empresa que se deberá contratar es: 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
18 
CSEMS 
DESARROLLO 
 
2. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
SUMATORIAS 
Notación Sigma 
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
donde: 
𝛴 : suma 
𝑖 : índice de la suma 
𝑎𝑖 : i-ésimo término de la suma 
𝑖 𝑦 𝑛 : límites inferior y superior de la suma 
Propiedades 
∑ 𝑘
𝑛
𝑖=1
= 𝑘𝑛 
k es constante) 
∑ 𝑘𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑘 ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 (k es constante) 
∑(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖)
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
± ∑ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Fórmulas 
 
∑ 𝑖
𝑛
𝑖=1
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
 
 
∑ 𝑖2
𝑛
𝑖=1
= 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
19 
CSEMS 
3. Con ayuda del facilitador, resolver los ejercicios siguientes. 
 
1. Expresa con notación sigma la siguiente suma de términos. 
 
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 = 
 
2. Calcula cada una de las siguientes sumatorias utilizando sus propiedades y/o fórmulas. 
 
∑ 5
4
𝑖=1
= 
 
 
∑
4
𝑖2
5
𝑖=1
= 
 
 
∑(2 − 5𝑖)
3
𝑖=1
= 
 
 
∑ 𝑖(3𝑖 + 1)
𝑛
𝑖=1
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Con ayuda del facilitador, calcular nuevamente el área del vitral utilizando el Concepto de 
sumatoria. 
 
Para esto, considera el problema de manera general, encuentra una función que determine AR 
para el intervalo de abscisas [0, x]. Utiliza n rectángulos circunscritos de igual base ∆𝑥 =
𝑥
𝑛
 como se 
aprecia en la figura. 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
20 
CSEMS 
 
 
Expresa AR de manera aproximada, como la 
suma de las áreas Ai de los n rectángulos 
circunscritos, utilizando la notación de 
sumatoria. 
 
Expresa AR de manera exacta, como el límite de 
la suma de las áreas Ai de los n rectángulos 
circunscritos, cuando n crece infinitamente. 
 
NOTA: Una expresión equivalente a la anterior sería la que calcula el límite cuando ∆x se aproxima 
a cero, de la suma de las áreas Ai de los n rectángulos circunscritos. 
 
 
AR ≈ 
 
 
AR = 
 
1 2 
3 
… 
n-1 
n 
… 
i 
R 
x 
𝑥2 = 2∆𝑥 
𝑥1 = 1∆𝑥 
𝑥3 = 3∆𝑥 
𝑥𝑖−1 = (𝑖 − 1)∆𝑥 
𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑥 
𝑥𝑛−1 = (𝑛 − 1)∆𝑥 
𝑥𝑛−2 = (𝑛 − 2)∆𝑥 
𝑥𝑛 = 𝑛∆𝑥 
… 
… 
0 
f(wi) 
x0 x1 x2 x3 … xi-1 xi … xn-2 xn-1 xn 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
21 
CSEMS 
Ahora, determina AR. Para esto, utiliza el rectángulo i. Primero, establece una expresión que 
determine el área del rectángulo i, Ai. 
 
𝐴𝑖 = 
 
 
 
 
 
expresión en términos de i, n y x 
 
Después, determina la sumatoria de Ai, desde i=1 hasta n, aplicando las reglas correspondientes 
(observa que el único valor considerado variable en la sumatoria es el índice i, ya que este va 
cambiando). 
 
∑ 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1
= 
 
 
 
 
 
 
 
expresión en términos de n y x 
 
Por último, determina el límite de la sumatoria de Ai, desde i=1 hasta n, cuando n crece 
infinitamente, aplicando las reglas correspondientes (observa que el único valor considerado 
variable en el límite es el número de rectángulos n, ya que este va cambiando). 
 
lim
𝑛→∞
∑ 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1
= 
 
 
 
 
 
 
 
expresión en términos de x 
 
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22 
CSEMS 
Así, la función F que determinaste y que calcula 
el área de la región R, AR, para el intervalo de 
abscisas [0, x] es: 
 
 
Entonces, ¿cuál es el valor de AR para el intervalo 
de abscisas [0, 4]? 
 
 
¿Qué relación observas entre las funciones f y F? 
 
 
 
 
Así, el área del vitral es: 
 
Área del vitral = 2AR = 
 
 
NOTA: Este mismo procedimiento se puede llevar a cabo si se consideran rectángulos inscritos 
obteniendo el mismo resultado. 
 
 
 
AR = F(x) = 
 
 
AR = F(x=4) = 
 
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23 
CSEMS 
5. De manera individual, resolver el ejercicio siguiente. 
 
Determina el área de la región acotada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2, el eje x y las 
rectas 𝑥 = 0 y 𝑥 = 5; como el límite de la suma de las áreas de n rectángulos de base igual, 
utilizando el concepto de sumatoria. 
 
a) Inscritos. Respuesta: 
125
3
 unidades cuadradas 
b) Circunscritos. Respuesta: 
125
3
 unidades cuadradas 
c) ¿En cuál de los incisos anteriores te resultó más sencillo determinar el área? 
¿Por qué? 
d) Determina el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓(𝑥) = 4 −
𝑥2
16
, el eje x 
y entre la recta 𝑥 = 2 y la recta 𝑥 = 5. Respuesta: 
153
16
 unidades cuadradas 
 
 
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24 
CSEMS 
CIERRE 
 
6. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
LA FUNCIÓN ANTIDERIVADA 
 
Definición. Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de otra función f, en un 
intervalo I sí 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) para toda x en I. 
 
Una antiderivada o primitiva de 𝑓(𝑥) = 
𝑥2
8
 es 𝐹1(𝑥) = 
𝑥3
24
, ó 
𝐹2(𝑥) = 
𝑥3
24
– 5, ó 
𝐹3(𝑥) =
𝑥3
24
 + 97, ó …, 
entonces f tiene infinitas antiderivadas. 
 
Teorema. Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en 
el intervalo I si y solo si G es de la forma 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, para toda x en I, donde C es una 
constante. G representa la familia de antiderivadas o primitivas de f. 
 
Si 𝐹(𝑥) =
𝑥3
24
− 5 es una antiderivada de 𝑓(𝑥) = 
𝑥2
8
, entonces 
𝐺(𝑥) = (
𝑥3
24
 − 5) + 𝐶 
 𝐺(𝑥) = 
𝑥3
24
 + 𝐶 
es la familia de antiderivadas de f. 
 
Una ecuación diferencial en x e y es una ecuación que incluye a x, y, y a la derivada de y, G’(x). 
 
Dadas 𝑓(𝑥) = 
𝑥2
8
 y 𝐺(𝑥) = 
𝑥3
24
 + 𝐶, entonces 
𝐺’(𝑥) = 
𝑥2
8
, 
𝑑𝑦 
𝑑𝑥
= 
𝑥2
8
, ó 
𝑑𝑦 =
𝑥2
8
𝑑𝑥 
es una ecuación diferencial. 
 
La operación de hallar todas las soluciones de una ecuación diferencial se llama antiderivación o 
integración indefinida y se denota por el signo ∫ . La solución general una ecuación diferencial 
es la familia de funciones representada por G y se llama la antiderivada o primitiva general de f. 
 
Dada la ecuación diferencial 𝑑𝑦 =
𝑥2
8
𝑑𝑥, al resolverla 
∫ 𝑑𝑦 = ∫
𝑥2
8
𝑑𝑥 
𝑦 = ∫
𝑥2
8
𝑑𝑥 
la solución es 𝑦 =
𝑥3
24
 + 𝐶, donde 
𝑥2
8
 es el integrando, dx la variable de integración y C la constante 
de integración. 
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25 
CSEMS 
 
Reglas básicas de antiderivación 
 
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 
∫ 𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
a es una constante 
 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1 
 
 
7. Con ayuda del instructor, resolver las integrales indefinidas siguientes. 
 
 
1. ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 
 
 
2. ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 
 
 
3. ∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥 
 
 
4. ∫ √𝑥
3
 𝑑𝑥 
 
 
5. ∫(3𝑥 + 5) 𝑑𝑥 
 
 
6. ∫(5𝑥4 − 8𝑥3 + 9𝑥2 − 2𝑥 + 7) 𝑑𝑥 
 
 
7. ∫ √𝑥 (𝑥 +
1
𝑥
) 𝑑𝑥8. ∫
5𝑡2+7
𝑡4/3
 𝑑𝑡 
 
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26 
CSEMS 
8. De manera individual, resolver las integrales indefinidas siguientes. 
 
 
Ejercicios 1-22 (impares), pág. 307, El Cálculo, 7ª Ed., Leithold 
 
1. ∫ 3𝑥4𝑑𝑥. Respuesta: 
3
5
𝑥5 + 𝐶 
2. ∫
1
𝑥3
𝑑𝑥. Respuesta: −
1
2𝑥2
+ 𝐶 
3. ∫ 5𝑢3/2𝑑𝑢. Respuesta: 2𝑢5/2 + 𝐶 
4. ∫
2
√𝑥
3 𝑑𝑥. Respuesta: 3𝑥
2/3 + 𝐶 
5. ∫ 6𝑡2 √𝑡
3
𝑑𝑡. Respuesta: 
9
5
𝑡10/3 + 𝐶 
6. ∫ 𝑦3(2𝑦2 − 3)𝑑𝑦. Respuesta: 
1
3
𝑦6 − 
3
4
𝑦4 + 𝐶 
7. ∫(8𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 4𝑥 + 5)𝑑𝑥. Respuesta: 
8
5
𝑥5 + 𝑥4 − 2𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 + 𝐶 
8. ∫ √𝑥 (𝑥 + 1)𝑑𝑥. Respuesta: 
2
5
𝑥5/2 + 
2
3
𝑥3/2 + 𝐶 
9. ∫ (
2
𝑥3
+
3
𝑥2
+ 5) 𝑑𝑥. Respuesta: −
1
𝑥2
− 
3
𝑥
+ 5𝑥 + 𝐶 
10. ∫
𝑥2+4𝑥−4
√𝑥
𝑑𝑥. Respuesta: 
2
5
𝑥5/2 + 
8
3
𝑥3/2 − 8𝑥1/2 + 𝐶 
11. ∫ (√𝑥
3
+
1
√𝑥
3 ) 𝑑𝑥. Respuesta: 
3
4
𝑥4/3 + 
3
2
𝑥2/3 + 𝐶 
 
 
 
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27 
CSEMS 
9. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
LA FUNCIÓN ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA 
 
Regla de la Cadena 
 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐻(𝑢) + 𝐶 
 
Cambio de variable 
𝑢 = 𝑔(𝑥) 
𝑑𝑢 = 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 
 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐻(𝑔(𝑥)) + 𝐶 
∫ 𝒇(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪 
 
 
10. Con ayuda del facilitador, resolver lo siguiente: 
 
Determinar la función derivada de la función compuesta: 
 
𝐷𝑥 [
1
10
(1 + 𝑥2)10] 
Utilizando 
Regla de la Cadena: 𝑫𝒙[𝒇(𝒈(𝒙))] = 𝒇
′(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙) 
 
𝑫𝒙[𝒇(𝒈(𝒙))] 
Identifica: 
• 𝑓(𝑥) = 
• 𝑔(𝑥) = 
 
Derivación y composición 
• 𝒇′(𝒙) 
• 𝒇′(𝒈(𝒙)) 
• 𝒈′(𝒙) 
 
Deriva y compone: 
• 𝑓′(𝑥) = 
• 𝑓′(𝑔(𝑥)) = 
• 𝑔′(𝑥) = 
Sustitución 
• 𝑫𝒙[𝒇(𝒈(𝒙))] = 𝒇
′(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙) 
 
Sustituye: 
• 𝐷𝑥 [
1
10
(1 + 𝑥2)10] = 
 
 
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CSEMS 
Y también, determinar la función antiderivada de la función derivada que obtuviste: 
 
∫ 𝑑𝑥 
Utilizando 
Regla de la Cadena: ∫ 𝒇(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪 
 
∫ 𝒇(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙)𝒅𝒙 
 Identifica: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 
𝑓(𝑥) = 
𝑔(𝑥) = 
𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 
 
Cambio de variable 
• 𝒖 = 𝒈(𝒙) 
• 𝒅𝒖 = 𝒈′(𝒙)𝒅𝒙 
• ∫ 𝒉(𝒖)𝒅𝒖 
 
Cambia de variable: 
• 𝑢 = 
• 𝑑𝑢 = 
• ∫ ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 
 
Integración 
• ∫ 𝒉(𝒖)𝒅𝒖 = 𝑯(𝒖) + 𝑪 
 
Integra: 
• ∫ ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 
 
Regreso a la variable inicial 
• ∫ 𝒇(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑯(𝒈(𝒙)) + 𝑪 
Regresa a la variable inicial: 
• ∫ 𝑑𝑥 = 
 
11. Con ayuda del facilitador, resolver las integrales indefinidas siguientes. 
 
1. ∫ √3𝑥 + 4 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CSEMS 
2. ∫ 𝑥2(5 + 2𝑥3)8 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. ∫
4𝑥2
(1−8𝑥3)4
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. ∫ 𝑥2√1 + 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CSEMS 
12. De manera individual, resolver las integrales indefinidas siguientes. 
 
 
Ejercicios 1-16 (impares), 27-28 (impares) y 35-42 (impares), pág. 318, El Cálculo, 7ª Ed., Leithold 
 
1. ∫ √1 − 4𝑦𝑑𝑦. Respuesta: −
1
6
(1 − 4𝑦)3/2 + 𝐶 
2. ∫ 𝑥 √𝑥2 − 9
3
𝑑𝑥. Respuesta: 
3
8
(𝑥2 − 9)4/3 + 𝐶 
3. ∫ 𝑥2(𝑥3 − 1)10𝑑𝑥. Respuesta: 
1
33
(𝑥3 − 1)11 + 𝐶 
4. ∫
𝑦3
(1−2𝑦4)5
𝑑𝑦. Respuesta: 
1
32(1−2𝑦4)4
+ 𝐶 
5. ∫(𝑥2 − 4𝑥 + 4)4/3𝑑𝑥. Respuesta: 
3
11
(𝑥 − 2)11/3 + 𝐶 
6. ∫ 𝑥√𝑥 + 2𝑑𝑥. Respuesta: 
2
5
(𝑥 + 2)5/2 −
4
3
(𝑥 + 2)3/2 + 𝐶 
7. ∫
2𝑟
(1−𝑟)7
𝑑𝑟. Respuesta: −
2
5
(1 − 𝑟)−5 +
1
3
(1 − 𝑟)−6 + 𝐶 
8. ∫ √3 − 2𝑥𝑥2𝑑𝑥. Respuesta: −
3
4
(3 − 2𝑥)
3
2 +
3
10
(3 − 2𝑥)
5
2 −
1
28
(3 − 2𝑥)7/2 + 𝐶 
9. ∫ √1 +
1
3𝑥
𝑑𝑥
𝑥2
. Respuesta: −2 (1 +
1
3𝑥
)
3/2
+ 𝐶 
10. ∫
𝑥2+2𝑥
√𝑥3+3𝑥2+1
𝑑𝑥. Respuesta: 
2
3
√𝑥3 + 3𝑥2 + 1 + 𝐶 
11. ∫
𝑦+3
(3−𝑦)2/3
𝑑𝑦. Respuesta: 
3
4
(3 − 𝑦)4/3 − 18(3 − 𝑦)1/3 + 𝐶 
12. ∫
(𝑟1/3+2)
4
√𝑟2
3 𝑑𝑟. Respuesta: 
3
5
(𝑟1/3 + 2)
5
+ 𝐶 
13. ∫
𝑥3
(𝑥2+4)3/2
𝑑𝑥. Respuesta: √𝑥2 + 4 +
4
√𝑥2+4
+ 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
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13. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
EL CÁLCULO EN LA FÍSICA Y EN LAS TASAS DE VARIACIÓN 
 
Recordemos de Física la velocidad promedio y la aceleración promedio 
 
�̅� =
𝑠𝑓 − 𝑠𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
=
∆𝑠
∆𝑡
 
 
�̅� =
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
=
∆𝑣
∆𝑡
 
 
y de Cálculo Diferencial la velocidad instantánea y la aceleración instantánea 
 
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
 
Y también que 
𝑑[𝑠(𝑡)]
𝑑𝑡
= 𝑣(𝑡) 
 
𝑑[𝑣(𝑡)]
𝑑𝑡
= 𝑎(𝑡) 
 
Ahora, en Cálculo Integral 
 
∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑣(𝑡) 
 
∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑠(𝑡) 
 
donde: 
s desplazamiento 
�̅� velocidad promedio 
v velocidad instantánea 
�̅� aceleración promedio 
a aceleración instantánea 
t tiempo 
 
 
 
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32 
CSEMS 
14. Con ayuda del facilitador, resolver los problemas siguientes. 
 
1. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s desde 
una altura de 24 m. 
a) Determina la función de posición que exprese la altura h en función del tiempo 
𝑡. Respuesta: ℎ(𝑡) = −4.9𝑡2 + 20𝑡 + 24 
b) ¿Cuándo llega el objeto al suelo? Respuesta: 5 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. El ritmo de crecimiento de una población P de bacterias es proporcional a la raíz 
cuadrada del tiempo t en días, donde 0 ≤ t ≤ 10. El tamaño inicial de la población es de 
500. Después de un día la población crece hasta 600. Estima la población a los 7 días. 
Respuesta: 2 352 bacterias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CSEMS 
3. Un automóvil viaja en línea recta a 72 km/h y se detiene en un alto con desaceleración 
constante, 40 m después de haber accionado el freno. ¿Cuánto había recorrido en el 
momento en que su velocidad se había reducido a 54 km/h y a 18 km/h? Respuesta: 
17.5 m y 37.5 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Transcurridos t días una infección viral se propaga en una población a razón de (6t + 15) 
personas contagiadas diariamente. Si a los 7 días 285 personas han contraído la 
enfermedad. ¿Cuántas la habrán contraído pasados 15 días? Respuesta: 933 personas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CSEMS 
5. Si después de t años de nacer la tasa de crecimiento de cierto animal es (15 – t/3) kg 
anualmente y si su peso es de 5 kg al nacer, ¿cuál es su peso W como una función de su 
edad en años? Respuesta: 𝑊(𝑡) = −
1
6
𝑡2 + 15𝑡 + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Para conocer la profundidad de un pozo un ingeniero deja caer una piedra por la boca 
del pozo y mide el tiempo en que ésta tarda en chocar con el agua. Si el ingeniero oye el 
ruido a los 2.5 s de haber soltado la piedra, ¿qué profundidad determinó? (considera el 
tiempo de retorno del sonido despreciable) Respuesta: 30.625 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
CSEMS 
Función compuesta 
 
7. Una herida está sanando de manera que t días a partir del lunes el área de la herida ha 
disminuido a una tasa de −3(𝑡 + 2)−2 centímetros cuadrados por día. Si el martes el 
área de la herida fue de 2 cm2, 
a) ¿cuál era el área de la herida el lunes? Respuesta: 2.5 cm2 
b) ¿cuál será el área prevista de la herida el viernes si continúa sanado a esa 
misma tasa? Respuesta: 1.5 cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CSEMS 
15. De manera individual, resolver los problemas siguientes. 
 
1. Losfabricantes de un automóvil anuncian que acelera de 35 a 100 km/h en 13 s. 
Suponiendo la aceleración constante, calcula: 
a) La aceleración en m/s2. Respuesta: 1.38 m/s2 
b) La distancia recorrida en esos 13 s. Respuesta: 243 m 
 
2. En el momento en que el semáforo cambia a luz verde, un automóvil inicia su marcha 
con aceleración constante de 2 m/s2, En ese mismo instante un camión que tiene 
velocidad constante de 20 m/s le adelanta. 
a) ¿A qué distancia alcanzará, más adelante, el automóvil al camión? Respuesta: 
400 m 
b) ¿A qué velocidad se moverá el automóvil en ese instante? Respuesta: 40 m/s 
 
3. Un rumor se propaga con una rapidez de (26t + 100) personas por día transcurrido. Si 2 
500 personas se han enterado al final de 10 días, hallar el número de personas que 
habrán escuchado del rumor después de 20 días. Respuesta: 7,400 personas 
 
4. Un animal exhibe una tasa de crecimiento de (5 – 0.4t) lb al año al cabo t años. Si pesa 8 
lb al nacer, determina su peso a los dos años. Respuesta: 17.2 lb 
 
5. Una colonia de moscas crece a razón de 5 000t3 moscas por día en t días. Si la población 
inicial era de 10 000 moscas, ¿cuánto tardará en duplicarse? Respuesta: 1.68 días 
 
Función compuesta 
 
Ejercicios 45-48 (impares), 51-58 (impares), pág. 318, El Cálculo, 7ª Ed., Leithold 
 
NOTA: Las funciones costo marginal e ingreso marginal son empleadas en economía, ellas son 
las primeras derivadas C’ y R’ de la función costo total C y de la función ingreso total R, 
respectivamente. Por lo que C y R pueden obtenerse de C’ y R’ mediante antiderivación. Cuando 
se determina la función C partir de C’, la constante arbitraria puede determinarse si se conocen el 
costo general (es decir, el costo cuando no se produce ninguna unidad) o el costo de producción 
de un número específico de unidades de la mercancía. Como por lo general la función de ingreso 
total es cero cuando el número de unidades producidas es cero, puede utilizarse este hecho para 
determinar la constante arbitraria cuando se obtiene la función R a partir de R’. 
 
6. La función de costo marginal para un artículo particular está dada por 𝐶′(𝑥) =
3(5𝑥 + 4)−1/2. Si el costo general es de $10, determina la función de costo total. 
Respuesta: 𝐶(𝑥) =
6
5
√5𝑥 + 4 +
38
5
 
 
7. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p dólares, obtén una 
ecuación que contenga a p y x (la ecuación de demanda) de una mercancía para la cual 
la función de ingreso marginal está dada por 𝑅´(𝑥) = 4 + 10(𝑥 + 5)−2. Respuesta: 𝑝 =
4𝑥+22
𝑥+5
 
 
8. El costo de cierta pieza de maquinaria es de $700, y su valor disminuye con el tiempo de 
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37 
CSEMS 
acuerdo con la fórmula 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −500(𝑡 + 1)−2, donde V dólares es su valor t años 
después de su compra. ¿Cuál será su valor 3 años después de su compra? Respuesta: 
$325 
 
9. Para los primeros días de diciembre una célula vegetal creció de forma que t días 
después del 1 de diciembre el volumen de la célula estuvo creciendo a una tasa de 
(12 − 𝑡)−2 micras cúbicas por día. Si el 3 de diciembre el volumen de la célula fue de 3 
μm3, ¿cuál fue el volumen el 8 de diciembre? Respuesta: 3.1 μm3 
 
10. Evalúa ∫(2𝑥 + 1)3𝑑𝑥 mediante dos métodos: 
 
a) Desarrolla (2𝑥 + 1)3. Respuesta: 2𝑥4 + 4𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 + 𝐶 
b) Considera 𝑢 = 2𝑥 + 1. Respuesta: 
1
8
(2𝑥 + 1)4 + 𝐶 
c) Explica la diferencia aparente de las respuestas obtenidas en los incisos a y b. 
 
11. Evalúa ∫
(√𝑥−1)
2
√𝑥
𝑑𝑥 mediante dos métodos: 
 
a) Desarrolla (√𝑥 − 1)
2
 y multiplique el resultado por 𝑥−1/2. Respuesta: 
2
3
𝑥3/2 −
2𝑥 + 2𝑥
1
2 + 𝐶 
b) Considera 𝑢 = √𝑥 − 1. Respuesta: 
2
3
(√𝑥 − 1)
3
+ 𝐶 
c) Explica la diferencia aparente de las respuestas obtenidas en los incisos a y b. 
 
 
 
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38 
CSEMS 
Recursos y materiales: 
Material didáctico elaborado por la Academia de la asignatura Cálculo Integral. 
 
Evidencia de aprendizaje: 
Problemas reales o hipotéticos de diversas ciencias resueltos por el estudiante, aplicando 
integrales indefinidas. 
 
Instrumento de evaluación: 
CRITERIOS INDICADORES % 
P
re
se
n
ta
ci
ó
n
 y
 
en
tr
eg
a 
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada, ordenada, 
limpia y clara. 
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el profesor. 
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del profesor. 
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de los criterios 
establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación o no del trabajo y la 
valoración total o parcial de dicha actividad. 
10% 
P
ar
ti
ci
p
ac
ió
n
 e
n
 
cl
as
e
 
• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de 
clase y con su profesor. 
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el 
aula. 
• El alumno realiza de manera individual las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
20% 
R
e
so
lu
ci
ó
n
 d
e 
e
je
rc
ic
io
s 
y/
o
 
p
ro
b
le
m
as
 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el 
procedimiento de resolución mostrada por el profesor durante las 
sesiones de clase. 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta. 
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la 
retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. 
70% 
 
Referencias bibliográficas: 
• Mario Quijano, Carlos Navarrete. (2002). Cálculo 2. México: Ediciones UADY. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press. 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
39 
CSEMS 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3 
Técnicas de integración 
 
Valor: 5 puntos 
 
Resultados de aprendizaje: 
• Comprender el funcionamiento de la Técnica de Integración por Partes. 
• Resolver integrales indefinidas aplicando la Técnica de Integración por Partes. 
• Comprender el funcionamiento de la Técnica de Integración de Funciones Racionales por 
Fracciones Parciales. 
• Resolver integrales indefinidas aplicando la Técnica de Integración de Funciones 
Racionales por Fracciones Parciales. 
• Reconocer la utilidad de las Técnicas de Integración. 
 
Descripción de la secuencia de actividad: 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
40 
CSEMS 
INICIO 
 
1. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 
Integración por Partes 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 
 
por conveniencia, hacemos 
 
𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑣 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 𝑣 = 𝑔(𝑥) 
 
NOTA: Cuando se eligen las sustituciones para u y dv, por lo general se considera que dv es el 
factor más complejo del integrando y puede integrarse directamente, y que u es una función cuya 
derivada es una función más simple. 
 
Integración de Funciones Racionales por Fracciones Parciales 
 
Función racional. Una función racional H es aquella que se puede expresar como el cociente de 
dos funciones polinomiales P y Q, esto es: 𝐻(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
. En general, nos interesa la integración de 
expresiones de la forma ∫
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥, donde el grado de 𝑃(𝑥) es menor que el de 𝑄(𝑥). 
 
CASO 1. Los factores de 𝑄(𝑥) son todos lineales y ninguno se repite. Sean 𝑎1𝑥 + 𝑏1, 𝑎2𝑥 + 𝑏2, …, 
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛, n factores lineales de Q(x), distintos. Por estos factores se tendrá la suma de n 
fracciones parciales 
𝐴1
𝑎1𝑥 + 𝑏1
+
𝐴2
𝑎2𝑥 + 𝑏2
+ ⋯ +
𝐴𝑛
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛
 
 
donde 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 son constantes que se determinan. 
 
CASO 2. Los factores de 𝑄(𝑥) son todos lineales y algunos se repiten. Sea 𝑎𝑥 + 𝑏 un factor lineal 
de Q(x) que se repite p veces. Por este factor se tendrá la suma de p fracciones parciales 
 
𝐴1
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑝
+
𝐴2
(𝑎𝑥+ 𝑏)𝑝−1
+ ⋯ +
𝐴𝑝−1
(𝑎𝑥 + 𝑏)2
+
𝐴𝑝
𝑎𝑥 + 𝑏
 
 
donde 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑝 son constantes que se determinan. 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
41 
CSEMS 
CASO 3. Los factores de 𝑄(𝑥) son lineales y cuadráticos, y ninguno de los factores cuadráticos se 
repite. Sean 𝑎1𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1, 𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2, …, 𝑎𝑛𝑥
2 + 𝑏𝑛𝑥 + 𝑐𝑛, n factores cuadráticos de 
Q(x), distintos. Por estos factores se tendrá la suma de n fracciones parciales 
 
𝐴1𝑥 + 𝐵1
𝑎1𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1
+
𝐴2𝑥 + 𝐵2
𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2
+ ⋯ +
𝐴𝑛𝑥 + 𝐵𝑛
𝑎𝑛𝑥
2 + 𝑏𝑛𝑥 + 𝑐𝑛
 
 
donde 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 y 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 son constantes que se determinan. 
 
CASO 4. Los factores de 𝑄(𝑥) son lineales y cuadráticos, y algunos de los factores cuadráticos se 
repiten. Sea 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 un factor cuadrático de Q(x) que se repite p veces. Por este factor se 
tendrá la suma de p fracciones parciales 
 
𝐴1𝑥 + 𝐵1
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑝
+
𝐴2𝑥 + 𝐵2
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑝−1
+ ⋯ +
𝐴𝑝−1𝑥 + 𝐵𝑝−1
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2
+
𝐴𝑝𝑥 + 𝐵𝑝
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
 
 
donde 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑝 y 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑝 son constantes que se determinan. 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
42 
CSEMS 
DESARROLLO 
 
2. Con ayuda del facilitador, resolver las integrales indefinidas siguientes. 
 
1. ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ∫ 𝑥3𝑒𝑥
2
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
43 
CSEMS 
4. ∫ 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. ∫(𝑙𝑛𝑥)2 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
44 
CSEMS 
7. ∫
𝑥−1
𝑥3−𝑥2−2𝑥
 𝑑𝑥. Respuesta: 
1
2
ln|𝑥| +
1
6
ln|𝑥 − 2| −
2
3
ln|𝑥 + 1| + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
45 
CSEMS 
8. ∫
𝑥3−1
𝑥2(𝑥−2)3
𝑑𝑥. Respuesta: −
1
8𝑥
+
3
16
ln|𝑥| −
7
8(𝑥−2)2
−
5
4(𝑥−2)
−
3
16
ln|𝑥 − 2| + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
46 
CSEMS 
9. ∫
𝑥2−2𝑥−3
(𝑥−1)(𝑥2+2𝑥+2) 
𝑑𝑥. Respuesta: 
9
10
ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| −
2
5
tan−1(𝑥 + 1) −
4
5
ln|𝑥 − 1| + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
47 
CSEMS 
10. ∫
𝑥−2
𝑥(𝑥2−4𝑥+5)2
 𝑑𝑥. Respuesta: −
2
25
ln|𝑥| −
1
5(𝑥2−4𝑥+5)
+
1
10
tan−1(𝑥 − 2) +
𝑥−2
10(𝑥2−4𝑥+5)
+
1
25
ln|𝑥2 − 4𝑥 + 5| −
4
25
tan−1(𝑥 − 2) + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
48 
CSEMS 
CIERRE 
 
3. De manera individual, resolver las integrales indefinidas siguientes. 
 
 
Ejercicios 1-24 (impares), pág. 553 El Cálculo, 7ª Ed., Leithold 
 
1. ∫ 𝑥 ℯ3𝑥𝑑𝑥. Respuesta: 
1
3
𝑥ℯ3𝑥 −
1
9
ℯ3𝑥 + 𝐶 
2. ∫ 𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥. Respuesta: 𝑥 sec 𝑥 − ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶 
3. ∫ ln 5𝑥 𝑑𝑥. Respuesta: 𝑥 ln 5𝑥 − 𝑥 + 𝐶 
4. ∫
(ln 𝑡)2
𝑡
𝑑𝑡. Respuesta: 
1
3
(ln 𝑡)3 + 𝐶 
5. ∫ 𝑥 tan−1 𝑥 𝑑𝑥. Respuesta: 
1
2
(𝑥2 + 1) tan−1 𝑥 −
1
2
𝑥 + 𝐶 
6. ∫
𝑥ℯ𝑥
(𝑥+1)2
𝑑𝑥. Respuesta: 
ℯ𝑥
𝑥+1
+ 𝐶 
7. ∫ sen(ln 𝑦) 𝑑𝑦. Respuesta: 
1
2
𝑦 sen(ln 𝑦) −
1
2
𝑦 cos(ln 𝑦) + 𝐶 
8. ∫ ℯ𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥. Respuesta: 
1
2
ℯ𝑥(cos 𝑥 + sen 𝑥) + 𝐶 
9. ∫
𝑥3𝑑𝑥
√1−𝑥2
. Respuesta: −𝑥2√1 − 𝑥2 −
2
3
(1 − 𝑥2)3/2 + 𝐶 
10. ∫
cot−1 √𝑧
√𝑧
𝑑𝑧. Respuesta: 2√𝑧 cot−1 √𝑧 + ln(1 + 𝑧) + 𝐶 
11. ∫ cos √𝑥 𝑑𝑥. Respuesta: 2√𝑥 sin √𝑥 + 2 cos √𝑥 + 𝐶 
 
Ejercicios 1-20 (impares), pág. 655 El Cálculo, 4ª Ed., Leithold 
 
12. ∫
𝑑𝑥
𝑥2−4
. Respuesta: 
1
4
ln |
𝑥−2
𝑥+2
| + 𝐶 
13. ∫
5𝑥−2
𝑥2−4
𝑑𝑥. Respuesta: ln|𝐶(𝑥 − 2)2(𝑥 + 2)3| 
14. ∫
4𝑤−11
2𝑤2+7𝑤−4
𝑑𝑤. Respuesta: ln |
𝐶(𝑤+4)3
2𝑤−1
| 
15. ∫
6𝑥2−2𝑥−1
4𝑥3−𝑥
𝑑𝑥. Respuesta: 
1
4
ln |
𝐶𝑥4(2𝑥+1)3
2𝑥−1
| 
16. ∫
𝑑𝑥
𝑥3+3𝑥2
. Respuesta: 
1
9
ln |
𝑥+3
𝑥
| −
1
3𝑥
+ 𝐶 
17. ∫
𝑑𝑥
𝑥2(𝑥+1)2
. Respuesta: 2ln |
𝑥+1
𝑥
| −
1
𝑥
−
1
𝑥+1
+ 𝐶 
18. ∫
𝑥2−3𝑥−7
(2𝑥+3)(𝑥+1)2
𝑑𝑥. Respuesta: 
3
𝑥+1
+ ln|𝑥 + 1| −
1
2
ln|2𝑥 + 3| + 𝐶 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
49 
CSEMS 
19. ∫
3𝑧+1
(𝑧2−4)2
𝑑𝑧. Respuesta: 
5
16(𝑧+2)
−
7
16(𝑧−2)
+
1
32
ln |
𝑧+2
𝑧−2
| + 𝐶 
20. ∫
𝑥4+3𝑥3−5𝑥2−4𝑥+17
𝑥3+𝑥2−5𝑥+3
𝑑𝑥. Respuesta: 
1
2
𝑥2 + 2𝑥 −
3
𝑥−1
− ln|𝑥2 + 2𝑥 − 3| + 𝐶 
21. ∫
−24𝑥3+30𝑥2+52𝑥+17
9𝑥4−6𝑥3−11𝑥2+4𝑥+4
𝑑𝑥. Respuesta: −ln |(3𝑥 + 2)
2
3(𝑥 − 1)2| −
1
3(3𝑥+2)
−
3
𝑥−1
+ 𝐶 
 
Ejercicios 1-20 (impares), pág. 661 El Cálculo, 4ª Ed., Leithold 
 
22. ∫
𝑑𝑥
2𝑥3+𝑥
. Respuesta: 
1
2
ln |
𝐶𝑥2
2𝑥2+1
| 
23. ∫
𝑑𝑥
16𝑥4−1
. Respuesta: 
1
8
ln |
2𝑥−1
2𝑥+1
| −
1
4
tan−1 2𝑥 + 𝐶 
24. ∫
(𝑡2+𝑡+1)𝑑𝑡
(2𝑡+1)(𝑡2+1)
. Respuesta: 
1
10
ln|(𝑡2 + 1)(2𝑡 + 1)3| +
2
5
tan−1 𝑡 + 𝐶 
25. ∫
(𝑥2+𝑥)𝑑𝑥
𝑥3−𝑥2+𝑥−1
. Respuesta: ln|𝑥 − 1| + tan−1 𝑥 + 𝐶 
26. ∫
𝑑𝑥
𝑥3+𝑥2+𝑥
. Respuesta: 
1
2
ln |
𝐶𝑥2
𝑥2+𝑥+1
| −
1
√3
tan−1 (
2𝑥+1
√3
) 
27. ∫
(2𝑥2−𝑥+2)𝑑𝑥
𝑥5+2𝑥3+𝑥
. Respuesta: ln |
𝐶𝑥2
𝑥2+1
| −
1
2
tan−1 𝑥 −
𝑥
2(𝑥2+1)
 
28. ∫
(5𝑧3−𝑧2+15𝑧−10)𝑑𝑧
(𝑧2−2𝑧+5)2
. Respuesta: 
5
2
ln|𝑧2 − 2𝑧 + 5| −
65
16
tan−1 (
𝑧−1
2
) −
79(𝑧−1)
8(𝑧2−2𝑧+5)
+ 𝐶 
29. ∫
(𝑥2+2𝑥−1)𝑑𝑥
27𝑥3−1
. Respuesta: 
5
162
ln|9𝑥2 + 3𝑥 + 1| −
2
81
 ln|3𝑥 − 1| +
5
9√35
tan−1 (
6𝑥+1
√35
) +
𝐶 
30. ∫
18𝑑𝑥
(4𝑥2+9)2
. Respuesta: 
1
6
tan−1
2
3
+
𝑥
4𝑥2+9
+ 𝐶 
31. ∫
(𝑠𝑒𝑐2𝑥+1)𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥
1+𝑡𝑎𝑛3𝑥
. Respuesta: ln|1 + tan 𝑥| +
2
√3
tan−1 (
2 tan 𝑥−1
√3
) + 𝐶 
 
Ejercicios 1-20 (impares), pág. 582 El Cálculo, 7ª Ed., Leithold 
 
32. ∫
𝑑𝑥
𝑥2−4
. Respuesta: 
1
4
𝑙𝑛 |
𝑥−2
𝑥+2
| + 𝐶 
33. ∫
4𝑤−11
2𝑤2+7𝑤−4
𝑑𝑤. Respuesta: 𝑙𝑛 |
𝐶(𝑤+4)3
2𝑤−1
| 
34. ∫
𝑥2
𝑥2+𝑥−6
𝑑𝑥. Respuesta: 𝑥 +
1
5
𝑙𝑛 |
𝐶(𝑥−2)4
(𝑥+3)9
| 
35. ∫
𝑑𝑡
(𝑡+2)2(𝑡+1)
. Respuesta: 
1
𝑡+2
+ 𝑙𝑛 |
𝐶(𝑡+1)
𝑡+2
| 
36. ∫
𝑑𝑥
𝑥3+3𝑥2
. Respuesta: 
1
9
𝑙𝑛 |
𝑥+3
𝑥
| −
1
3𝑥
+ 𝐶 
37. ∫
6𝑥2−2𝑥−1
4𝑥3−𝑥
𝑑𝑥. Respuesta: 
1
4
𝑙𝑛 |
𝐶𝑥4(2𝑥+1)3
2𝑥−1
| 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
50 
CSEMS 
38. ∫
𝑥+4
𝑥3+4𝑥
𝑑𝑥. Respuesta: 
1
2
tan−1
𝑥
2
+
1
2
𝑙𝑛
𝑥2
𝑥2+4
+ 𝐶 
39. ∫
𝑑𝑥
16𝑥4−1
. Respuesta: 
1
8
𝑙𝑛 |
2𝑥−1
2𝑥+1
| −
1
4
tan−1 2𝑥 + 𝐶 
40. ∫
𝑥2+𝑥
𝑥3−𝑥2+𝑥−1
𝑑𝑥. Respuesta: 𝑙𝑛|𝑥 − 1| + tan−1 𝑥 + 𝐶 
41. ∫
sec2 𝑡(sec2 𝑡+1)
tan3 𝑡+1
𝑑𝑡. Respuesta: 𝑙𝑛|tan 𝑥 + 1| +
2
√3
tan−1 (
2tan 𝑥−1
√3
) + 𝐶 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
51 
CSEMS 
Recursos y materiales: 
Material didáctico elaborado por la Academia de la asignatura Cálculo Integral. 
 
Evidencia de aprendizaje: 
Ejercicios resueltos por el estudiante de integrales indefinidas aplicando Técnicas de Integración. 
 
Instrumento de evaluación: 
CRITERIOS INDICADORES % 
P
re
se
n
ta
ci
ó
n
 y
 
en
tr
eg
a 
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada, ordenada, 
limpia y clara. 
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el profesor. 
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del profesor. 
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de los criterios 
establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación o no del trabajo y la 
valoración total o parcial de dicha actividad. 
10% 
P
ar
ti
ci
p
ac
ió
n
 e
n
 
cl
as
e
 
• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañerosde 
clase y con su profesor. 
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el 
aula. 
• El alumno realiza de manera individual las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
20% 
R
e
so
lu
ci
ó
n
 d
e 
e
je
rc
ic
io
s 
y/
o
 
p
ro
b
le
m
as
 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el 
procedimiento de resolución mostrada por el profesor durante las 
sesiones de clase. 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta. 
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la 
retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. 
70% 
 
Referencias bibliográficas: 
• Mario Quijano, Carlos Navarrete. (2002). Cálculo 2. México: Ediciones UADY. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press. 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
52 
CSEMS 
 
 
 
UNIDAD 2 
Aplicaciones de 
la función antiderivada 
 
 
Competencia de la unidad: Resolver problemas 
reales o hipotéticos de diversas ciencias utilizando el 
cálculo de integrales definidas, con ayuda de las TIC. 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
53 
CSEMS 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4 
La integral definida 
 
Valor: 5 puntos 
 
Resultados de aprendizaje: 
• Comprender el significado de La Integral Definida. 
• Comprender el funcionamiento del Teorema Fundamental del Cálculo. 
• Resolver integrales definidas aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo. 
• Calcular áreas bajo curvas aplicando la Integral Definida. 
• Reconocer la utilidad de la Integral Definida. 
 
Descripción de la secuencia de actividad: 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
54 
CSEMS 
INICIO 
 
1. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
Anteriormente aprendiste a calcular el área de una región R utilizando n rectángulos circunscritos 
de igual base ∆𝑥 =
𝑥
𝑛
 por medio de la fórmula: 
 
𝐴𝑅 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= 𝐹(𝑥) 
 
como se aprecia en la figura siguiente. 
 
donde: 
 
La región R se consideró en un intervalo [0, x] y sólo se emplearon valores positivos de f. 
 
El intervalo [0, x] se dividió en n partes iguales (partición regular), cada una de longitud Δx, 
mismas que se usaron como bases para la construcción de los rectángulos. 
 
Se tomó wi como el extremo izquierdo o derecho de los subintervalos en los que quedó dividido el 
intervalo [0, x] para determinar la altura f(wi) de los rectángulos, utilizándose así, sólo rectángulos 
inscritos o circunscritos a la región R. 
 
1 2 
3 
… 
n-1 
n 
… 
i 
R 
x 0 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
f(w
i
) 
x
0
 x
1
 x
2
 x
3
 … x
i-1
 x
i
 … x
n-2
 x
n-1
 x
n
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
55 
CSEMS 
LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
Sea f una función continua en [a, b]. Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos no 
necesariamente iguales (partición irregular) y denotemos por ∆𝑖𝑥 la longitud de cada 
subintervalo. Al conjunto de subintervalos de [a, b] se le denomina partición de [a, b] y se 
denota Δ. A la longitud del subintervalo (o subintervalos) más largo de la partición Δ se llama 
norma de la partición y se le denota ‖∆‖. Elijamos un punto wi en cada subintervalo de la 
partición Δ tal que xi-1 ≤ wi ≤ xi y tracemos rectángulos que tengan como base a cada 
subintervalo de la partición Δ y altura f(wi). 
 
 
A la suma de las áreas de estos rectángulos se le conoce como Suma de Riemann que está dada 
por: 
𝑓(𝑤1)∆1𝑥 + 𝑓(𝑤2)∆2𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑖𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑤𝑛−1)∆𝑛−1𝑥 + 𝑓(𝑤𝑛)∆𝑛𝑥 = ∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
 
 
Ahora, si hacemos que la norma de la partición Δ, ‖∆‖, se aproxime a cero, la Suma de Riemann 
se aproximará a un valor L que corresponde a la suma aritmética de las áreas comprendidas 
entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b. 
 
lim
‖∆‖→0
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
= 𝐿 
 
 
 
 
 
b=xn a=x0 x1 x2 xn-1 xi xi-1 
∆1x … … 
0 
y 
x 
y = f(x) 
w1 w2 wi wn-1 wn 
1 
2 
… 
i 
… 
∆2x ∆ix 
n-1 
n 
∆n-1x ∆nx 
f(wi) 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
56 
CSEMS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El concepto anterior se conoce como integración definida y se denota por 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
donde: 
f(x) es el integrando 
a es el límite inferior 
b es el límite inferior 
ʃ es el signo de integración 
 
Integral definida. La integral definida de una función f continua en [a, b], está dada por 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
‖∆‖→0
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
 
 
si el límite existe. 
 
Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función continua en [a, b] y F una función tal que 
F’(x) = f (x) para toda x en [a, b], entonces: 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
 
 
a 
y 
0 b 
x 
y = f(x) 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
57 
CSEMS 
2. Con ayuda del facilitador, calcular nuevamente el área de la región R, AR, que habías 
determinado anteriormente, utilizando ahora, el Teorema Fundamental del Cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dibujar en la figura un elemento rectangular de área (el rectángulo i). 
 
Expresar el área de la región R como el límite de una suma de Riemann. 
 
 
 
 
Calcular el límite anterior mediante el teorema fundamental del cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
58 
CSEMS 
DESARROLLO 
 
3. Con ayuda del facilitador, resolver las integrales definidas siguientes. 
 
1. ∫ 𝑥4𝑑𝑥
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ∫ (𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1)𝑑𝑥
4
1/2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. ∫ (𝑥4/3 + 4𝑥1/3)𝑑𝑥
1
−1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
59 
CSEMS 
4. ∫ 2𝑥2√𝑥3 + 1𝑑𝑥
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥
3
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
60 
CSEMS 
4. De manera individual, resolver las integrales definidas siguientes. 
 
 
Ejercicios 1-12 (impares), 15-20 (impares) y 25-28 (impares), pág. 370, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
1. ∫ (3𝑥2 − 4𝑥 + 1)𝑑𝑥
3
0
. Respuesta: 12 
2. ∫ (𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥
6
3
. Respuesta: 36 
3. ∫
𝑥2+1
𝑥2
2
1
𝑑𝑥. Respuesta: 
3
2
 
4. ∫
𝑧
(𝑧2+1)3
1
0
𝑑𝑧. Respuesta: 
3
16
 
5. ∫ √5𝑥 − 1𝑑𝑥
10
1
. Respuesta: 
134
3
 
6. ∫ 3𝑤√4 − 𝑤2𝑑𝑤
0
−2
. Respuesta: -8 
7. ∫ 𝑡2√𝑡3 + 1𝑑𝑡
2
1
. Respuesta: 
2
9
(27 − 2√2) 
8. ∫
𝑦2+2𝑦
√𝑦3+3𝑦2+4
3
1
0
𝑑𝑦. Respuesta: 2 − √2
3
 
9. ∫
𝑤
(1+𝑤)3/4
15
0
𝑑𝑤. Respuesta: 
104
5
 
10. ∫ (𝑥 + 2)√𝑥 + 1𝑑𝑥
3
0
. Respuesta: 
256
15
 
11. ∫
𝑥3+1
𝑥+1
1
0
𝑑𝑥. Respuesta: 
5
6
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
61 
CSEMS 
CIERRE 
 
5. Con ayuda del facilitador, calcular el área bajo las curvas siguientes. En cada ejercicio 
realiza lo siguiente: 
 
a) Dibujar una figura que muestre la región acotada y un elemento rectangular de 
área. 
b) Expresar el área de la región como el límite de una Suma de Riemann. 
c) Calcular el límite del inciso anterior mediante el Teorema Fundamental del 
Cálculo. 
 
1. Calcula el área de la región del primer cuadrante limitada por la curva 𝑦 = 𝑥√𝑥2 + 5, el 
eje x y la recta 𝑥 = 2. Respuesta: 
1
3
(27 − 5√5) unidades cuadradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcula el área de la región limitada por la curva 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥, el eje x y las rectas 𝑥 = 1 
y 𝑥 = 3. Respuesta: 
22
3
 unidades cuadradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
62 
CSEMS 
3. Determina el área de la región limitada por la curva 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6,el eje x y 
las rectas 𝑥 = −1 y 𝑥 = 2. Respuesta: 
157
12
 unidades cuadradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
63 
CSEMS 
6. De manera individual, calcular el área bajo las curvas siguientes. En cada ejercicio realiza lo 
siguiente: 
 
a) Dibujar una figura que muestre la región acotada y un elemento rectangular de 
área. 
b) Expresar el área de la región como el límite de una Suma de Riemann. 
c) Calcular el límite del inciso anterior mediante el Teorema Fundamental del 
Cálculo. 
 
 
Ejercicios 1-8 (impares), pág. 379, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
1. 𝑦 = 4 − 𝑥2; eje x. Respuesta: 
32
3
 unidades cuadradas 
2. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2; eje x; 𝑥 = 1; 𝑥 = 3. Respuesta: 
22
3
 unidades cuadradas 
3. 𝑦 = √𝑥 + 1; eje x; eje y; 𝑥 = 8. Respuesta: 
52
3
 unidades cuadradas 
4. 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 12; eje x. Respuesta: 
343
6
 unidades cuadradas 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
64 
CSEMS 
Recursos y materiales: 
Material didáctico elaborado por la Academia de la asignatura Cálculo Integral. 
 
Evidencia de aprendizaje: 
Ejercicios resueltos por el estudiante de área bajo una curva aplicando la integral definida. 
 
Instrumento de evaluación: 
CRITERIOS INDICADORES % 
P
re
se
n
ta
ci
ó
n
 y
 
en
tr
eg
a 
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada, ordenada, 
limpia y clara. 
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el profesor. 
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del profesor. 
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de los criterios 
establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación o no del trabajo y la 
valoración total o parcial de dicha actividad. 
10% 
P
ar
ti
ci
p
ac
ió
n
 e
n
 
cl
as
e
 
• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de 
clase y con su profesor. 
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el 
aula. 
• El alumno realiza de manera individual las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
20% 
R
e
so
lu
ci
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n
 d
e 
e
je
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io
s 
y/
o
 
p
ro
b
le
m
as
 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el 
procedimiento de resolución mostrada por el profesor durante las 
sesiones de clase. 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta. 
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la 
retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. 
70% 
 
Referencias bibliográficas: 
• Mario Quijano, Carlos Navarrete. (2002). Cálculo 2. México: Ediciones UADY. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press. 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
65 
CSEMS 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5 
Área entre dos curvas 
 
Valor: 5 puntos 
 
Resultados de aprendizaje: 
• Comprender el método para calcular el área entre dos curvas. 
• Calcular el área entre dos curvas. 
• Reconocer la utilidad de calcular el área entre dos curvas. 
 
Descripción de la secuencia de actividad: 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
66 
CSEMS 
INICIO 
 
1. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA LIMITADA POR DOS CURVAS 
 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas en [𝑎, 𝑏] tales que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en [𝑎, 𝑏]. Se desea 
calcular el área de la región 𝑨 limitada por las dos curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑔(𝑥) y las dos rectas 
𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. 
 
Dividamos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos no necesariamente iguales (partición irregular) 
de longitud ∆𝑖𝑥 y tracemos rectángulos que tengan de ancho a cada subintervalo y de altura la 
limitada por las imágenes de un punto 𝑤𝑖 de cada subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. 
 
 
Una aproximación del área de la región se puede obtener con la suma de las áreas de los 𝑛 
rectángulos. Cuando la norma de la partición ‖∆‖ decrece, la suma de las áreas de los 𝑛 
rectángulos se aproxima más al área de la región. 
 
0 
x 
y y=f(x) 
y=g(x) 
x=a x=b 
a b 1 
2 
… 
i n 
n-1 … 
xi-1 xi 
Δix 
wi 
0 
x 
y y=f(x) 
y=g(x) 
x=a x=b 
a b 
 
 𝑨 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
67 
CSEMS 
 
Área del rectángulo 𝑖, 𝐴𝑖 
 
𝐴𝑖 = [𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥 
 
Área de la región 𝐴 
 
𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑ 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑[𝑓(𝑤𝑖) − 𝑔(𝑤𝑖)]∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
 
 
𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
 
 
0 
x 
y y=f(x) 
y=g(x) 
x=a x=b 
a b 
f(wi) 
g(wi) xi-1 xi 
wi 
(wi,f(wi)) 
(wi,g(wi)) 
Δix 
Rectángulo i 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
68 
CSEMS 
DESARROLLO 
 
2. Con ayuda del facilitador, calcular las áreas de las regiones acotadas por las curvas. En 
cada ejercicio realiza lo siguiente: 
 
a) Dibujar una figura que muestre la región acotada y un elemento rectangular de 
área. 
b) Expresar el área de la región como el límite de una Suma de Riemann. 
c) Calcular el límite del inciso anterior mediante el Teorema Fundamental del 
Cálculo. 
 
1. Calcula el área de la región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑥2 y 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥. Respuesta: 
8
3
 unidades cuadradas 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcula el área de la región limitada por la parábola 𝑦2 = 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5. 
Respuesta: 18 unidades cuadradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcula el área de la región del ejemplo anterior considerando elementos rectangulares 
horizontales de área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
69 
CSEMS 
 
4. Calcula el área de la región limitada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 y 𝑦 = 𝑥2 −
4𝑥. Respuesta: 
71
6
 unidades cuadradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
70 
CSEMS 
CIERRE 
 
3. De manera individual, calcular las áreas de las regiones acotadas por las curvas. En cada 
ejercicio realiza lo siguiente: 
 
a) Dibujar una figura que muestre la región acotada y un elemento rectangular de 
área. 
b) Expresar el área de la región como el límite de una Suma de Riemann. 
c) Calcular el límite del inciso anterior mediante el Teorema Fundamental del 
Cálculo. 
 
 
Ejercicios 13-33 (impares), pág. 379, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
1. 𝑥2 = −𝑦; 𝑦 = −4. Respuesta: 
32
3
 unidades cuadradas 
2. 𝑥2 + 𝑦 + 4 = 0; 𝑦 = −8. Considera los elementos de área perpendiculares al eje y. 
Respuesta: 
32
3
 unidades cuadradas 
3. 𝑥2 − 𝑦 + 1 = 0; 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0. Considera los elementos de área perpendiculares al eje 
x. Respuesta: 
1
6
 unidades cuadradas 
4. 𝑥3 = 2𝑦2; 𝑥 = 0; 𝑦 = −2. Respuesta: 
12
5
 unidades cuadradas 
5. 𝑦 = 2 − 𝑥2; 𝑦 = −𝑥. Respuesta: 
9
2
 unidades cuadradas 
6. 𝑦2 = 𝑥 − 1; 𝑥 = 3. Respuesta: 
8
3
√2 unidades cuadradas 
7. 𝑦 = √𝑥; 𝑦 = 𝑥3. Respuesta: 
5
12
 unidades cuadradas 
8. 𝑦3 = 𝑥2; 𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0. Respuesta: 
27
10
 unidades cuadradas 
9. 𝑥 = 𝑦2 − 2; 𝑥 = 6 − 𝑦2. Respuesta: 
64
3
 unidades cuadradas 
10. 𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥; 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥. Respuesta: 
553
12
 unidades cuadradas 
11. 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥; 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥. Respuesta: 
37
12
 unidades cuadradas 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
71 
CSEMS 
Recursos y materiales: 
Material didáctico elaborado por la Academia de la asignatura Cálculo Integral. 
 
Evidencia de aprendizaje: 
Ejercicios de cálculo del área entre dos curvas aplicando la integral definida. 
 
Instrumento de evaluación: 
CRITERIOS INDICADORES % 
P
re
se
n
ta
ci
ó
n
 y
 
en
tr
eg
a 
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada, ordenada, 
limpia y clara. 
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el profesor. 
• Cumple con las indicaciones particularesestablecidas del profesor. 
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de los criterios 
establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación o no del trabajo y la 
valoración total o parcial de dicha actividad. 
10% 
P
ar
ti
ci
p
ac
ió
n
 e
n
 
cl
as
e
 
• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de 
clase y con su profesor. 
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el 
aula. 
• El alumno realiza de manera individual las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y 
no presenciales indicadas. 
20% 
R
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n
 d
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y/
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p
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b
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as
 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el 
procedimiento de resolución mostrada por el profesor durante las 
sesiones de clase. 
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta. 
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la 
retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. 
70% 
 
Referencias bibliográficas: 
• Mario Quijano, Carlos Navarrete. (2002). Cálculo 2. México: Ediciones UADY. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press. 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
72 
CSEMS 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6 
Volumen de un sólido de revolución 
 
Valor: 15 puntos 
 
Resultados de aprendizaje: 
• Comprender los métodos de Discos, Anillos y Capas Cilíndricas para calcular el volumen de 
un sólido de revolución. 
• Calcular el volumen de un sólido de revolución. 
• Reconocer la utilidad de calcular el volumen de un sólido de revolución. 
 
Descripción de la secuencia de actividad: 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
73 
CSEMS 
INICIO 
 
1. De manera individual, leer la información siguiente. 
 
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN 
 
Método de Discos 
 
Sólido de revolución. Es aquel cuerpo geométrico que se obtiene al girar una superficie plana 
alrededor de un eje de rotación. 
Sea 𝑓 una función continua en 
[𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑥) ≥ 0 para toda 𝑥 
en [𝑎, 𝑏]. Se desea calcular el 
volumen 𝑽 del sólido de 
revolución obtenido al girar 
alrededor del eje 𝑥 la región 
limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 𝑎 y 
𝑥 = 𝑏. 
 
Dividamos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 
𝑛 subintervalos no 
necesariamente iguales 
(partición irregular) de longitud 
∆𝑖𝑥 y tracemos rectángulos que 
tengan de ancho a cada 
subintervalo y de altura la 
limitada por la imagen de un 
punto 𝑤𝑖 de cada subintervalo 
[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Giremos los 
rectángulos alrededor del eje 𝑥 
formando discos. 
 
Una aproximación del volumen del sólido de revolución se puede obtener con la suma de los 
volúmenes de los 𝑛 discos. Cuando la norma de la partición ‖∆‖ decrece, la suma de los 
volúmenes de los 𝑛 discos se aproxima al volumen del sólido de revolución. 
 
 
 
 
 
 
y=f(x) 
0 
x 
y x=a x=b 
a b 
𝑽 
1 2 
… 
i 
… n 
y=f(x) 
0 
x 
y x=a x=b 
a b 
1 2 
… 
i 
… n 
Δix 
xi-1 xi 
wi 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
74 
CSEMS 
 
Volumen del disco i, 𝑉𝑖 
𝑉𝑖 = 𝜋[𝑓(𝑤𝑖)]
2∆𝑖𝑥 
Volumen 𝑉 del sólido de revolución 
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑ 𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑ 𝜋[𝑓(𝑤𝑖)]
2∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
 
𝑽 = 𝝅 ∫ [𝒇(𝒙)]𝟐𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Δix 
xi-1 xi 
(wi,f(wi)) 
Rectángulo i 
y=f(x) 
0 
x 
y x=a x=b 
a b 
Δix 
f(wi) 
Disco i 
wi 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
75 
CSEMS 
Método de Anillos 
 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas en [𝑎, 𝑏] tales que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en [𝑎, 𝑏]. Se desea 
calcular el volumen 𝑽 del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje 𝑥 la región 
limitada por las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑔(𝑥) y las rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. 
 
Dividamos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos no necesariamente iguales (partición irregular) 
de longitud ∆𝑖𝑥 y tracemos rectángulos que tengan de ancho a cada subintervalo y de altura la 
limitada por las imágenes de un punto 𝑤𝑖 de cada subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Giremos los 
rectángulos alrededor del eje 𝑥 formando anillos. 
Una aproximación del volumen del sólido de revolución se puede obtener con la suma de los 
volúmenes de los 𝑛 anillos. Cuando la norma de la partición ‖∆‖ decrece, la suma de los 
volúmenes de los 𝑛 anillos se aproxima al volumen del sólido de revolución. 
 
 
 
 
0 
x 
y 
y=f(x) 
x=b 
a b 
y=g(x) 
1 2 
… 
i n 
… 
xi-1 xi 
Δix 
wi 
1 
2 … 
i 
… n 
0 
x 
y 
y=f(x) 
x=a x=b 
a b 
y=g(x) 
 𝑽 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
76 
CSEMS 
 
Volumen del anillo i, 𝑉𝑖 
𝑉𝑖 = 𝜋[𝑓(𝑤𝑖)]
2∆𝑖𝑥 − 𝜋[𝑔(𝑤𝑖)]
2∆𝑖𝑥 
𝑉𝑖 = 𝜋{[𝑓(𝑤𝑖)]
2 − [𝑔(𝑤𝑖)]
2}∆𝑖𝑥 
Volumen 𝑉 del sólido de revolución 
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑ 𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑ 𝜋{[𝑓(𝑤𝑖)]
2 − [𝑔(𝑤𝑖)]
2}∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
 
𝑽 = 𝝅 ∫ {[𝒇(𝒙)]𝟐 − [𝒈(𝒙)]𝟐}𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
 
 
 
 
 
xi-1 xi 
Δix 
0 
x 
y 
y=f(x) 
x=a x=b 
a b 
y=g(x) 
wi 
(wi,f(wi)) 
(wi,g(wi)) 
Rectángulo i 
g(wi) 
f(wi) 
Δix 
Anillo i 
g(wi) 
f(wi) 
Δix 
Anillo i 
f(wi) 
Δix 
g(wi) 
Δix 
- = 
f(wi) 
g(wi) 
Δix 
Anillo i 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
77 
CSEMS 
Método de Capas Cilíndricas 
 
Sea 𝑓 una función continua en [𝑎, 𝑏], 
donde 𝑎 ≥ 0 y 𝑓(𝑥) ≥ 0 para toda 𝑥 en 
[𝑎, 𝑏]. Se desea calcular el volumen 𝑽 
del sólido de revolución obtenido al 
girar alrededor del eje 𝑦 la región 
limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), el eje 𝑥 
y las rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. 
 
 
 
 
Dividamos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 
subintervalos no necesariamente 
iguales (partición irregular) de longitud 
∆𝑖𝑥 y tracemos rectángulos que tengan 
de ancho a cada subintervalo y de 
altura la limitada por la imagen de un 
punto 𝑤𝑖 de cada subintervalo 
[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Giremos los rectángulos 
alrededor del eje 𝑦 formando capas 
cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
Una aproximación del volumen del sólido de revolución se puede obtener con la suma de los 
volúmenes de las 𝑛 capas cilíndricas. Cuando la norma de la partición ‖∆‖ decrece, la suma de 
los volúmenes de las 𝑛 capas cilíndricas se aproxima al volumen del sólido de revolución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
x 
y 
y=f(x) 
x=a x=b 
a b 
𝑽 
0 
x 
y 
y=f(x) 
x=a x=b 
a b xi-1 xi 
Δix 
w
i
 
1 2 
i 
… 
n 
i 
n 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
78 
CSEMS 
 
 
 
 
 
f(mi) 
xi 
f(mi) 
= 
Δix 
f(mi) 
xi-1 
xi 
Capa cilíndrica i 
- xi-1 
 
0 
x 
y 
y=f(x) 
x=a x=b 
a b xi-1 xi 
mi 
(mi,f(mi)) 
Rectángulo i 
Δix 
0 
 
Δix 
xi 
xi-1 
f(mi) 
Capa cilíndrica i 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
79 
CSEMS 
 
 
Volumen de la capa cilíndrica 𝑖, 𝑉𝑖 
𝑉𝑖 = 𝜋𝑥𝑖
2𝑓(𝑚𝑖) − 𝜋𝑥𝑖−1
2 𝑓(𝑚𝑖) 
𝑉𝑖 = 𝜋(𝑥𝑖
2 − 𝑥𝑖−1
2 )𝑓(𝑚𝑖) 
𝑉𝑖 = 𝜋(𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)𝑓(𝑚𝑖) 
𝑚𝑖 =
𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖
2
 
2𝑚𝑖 = 𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖 
𝑉𝑖 = 𝜋(2𝑚𝑖)∆𝑖𝑥𝑓(𝑚𝑖) 
𝑉𝑖 = 2𝜋𝑚𝑖𝑓(𝑚𝑖)∆𝑖𝑥 
Volumen 𝑉 del sólido de revolución 
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑ 𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
‖∆‖→0
∑ 2𝜋𝑚𝑖𝑓(𝑚𝑖)∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1
 
𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
 
 
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80 
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DESARROLLO 
 
2. Con ayuda del facilitador, calcular el volumen de los sólidos de revolución. En cada 
ejercicio realiza lo siguiente: 
 
a) Dibujar una figura que muestre la región acotada y un elemento rectangular de 
área. 
b) Dibujar otra figura que muestre el volumen generado al rotar la región acotada 
alrededor del eje indicado y un elemento cilíndrico de volumen: disco, anillo o 
capa cilíndrica. 
c) Expresar el volumen como el límite de una Sumade Riemann. 
d) Calcular el límite del inciso anterior mediante el Teorema Fundamental del 
Cálculo. 
 
MÉTODO DE DISCOS 
1. Calcula el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la 
curva 𝑦 = 𝑥2, el eje x y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2 se gira alrededor del eje x. Respuesta: 
31
5
π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta 𝑥 =
1 la región limitada por la curva (𝑥 − 1)2 = 20 − 4𝑦 y las rectas 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑦 = 3 y 
a la derecha de 𝑥 = 1. Respuesta: 24π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
81 
CSEMS 
MÉTODO DE ANILLOS 
3. Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región acotada por 
la parábola 𝑦 = 𝑥2 + 1 y la recta 𝑦 = 𝑥 + 3. Respuesta: 
117
5
π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta 𝑥 = −4 la región 
limitada por las dos parábolas 𝑥 = 𝑦 − 𝑦2 y 𝑥 = 𝑦2 − 3. Respuesta: 
875
32
π unidades 
cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS 
5. La región limitada por la curva 𝑦 = 𝑥2, el eje x y la recta 𝑥 = 2 se gira alrededor del eje 
y. Calcula el volumen del sólido generado. Considera los elementos de área paralelos al 
eje de revolución. Respuesta: 8π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje y la 
región limitada por la gráfica de 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥3, a la derecha del eje y y la recta 𝑦 = 2. 
Respuesta: 
2
5
π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Modalidad Presencial 
83 
CSEMS 
7. La región limitada por la curva 𝑦 = 𝑥2 y las rectas 𝑦 = 1 y 𝑥 = 2 se gira alrededor de la 
recta 𝑦 = −3. Obtén el volumen del sólido generado al considerar los elementos 
rectangulares de área paralelos el eje de revolución. Respuesta: 
66
5
π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bachillerato General UADY 
Modalidad Presencial 
84 
CSEMS 
CIERRE 
 
3. De manera individual, calcular el volumen de los sólidos de revolución. En cada ejercicio 
realiza lo siguiente: 
 
a) Dibujar una figura que muestre la región acotada y un elemento rectangular de 
área. 
b) Dibujar otra figura que muestre el volumen generado al rotar la región acotada 
alrededor del eje indicado y un elemento cilíndrico de volumen: disco, anillo o 
capa cilíndrica. 
c) Expresar el volumen como el límite de una Suma de Riemann. 
d) Calcular el límite del inciso anterior mediante el Teorema Fundamental del 
Cálculo. 
 
En los ejercicios siguientes, deduce la fórmula para el volumen del sólido de mediante el 
método de rebanado. 
Ejercicios 1-4 (impares), pág. 389, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
1. Una esfera de radio r unidades. Respuesta: 
4
3
𝜋𝑟3 unidades cúbicas 
 
2. Determina el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por 
la curva 𝑦 = 𝑥3, el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2, se gira alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
Respuesta: 
127
7
𝜋 unidades cúbicas 
 
En los ejercicios siguientes, calcula el volumen del sólido de revolución generado cuando la 
región de la figura se gira alrededor de la recta indicada. La ecuación de la curva indicada es 
𝑦2 = 𝑥3. 
Ejercicios 5-12 (impares), pág. 389, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
3. 𝑂𝐴𝐶 alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Respuesta:64𝜋 unidades cúbicas 
4. 𝑂𝐴𝐶 alrededor de la recta 𝐵𝐶. Respuesta: 
704
5
𝜋 unidades cúbicas 
5. 𝑂𝐵𝐶 alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑦. Respuesta: 
384
7
𝜋 unidades cúbicas 
6. 𝑂𝐵𝐶 alrededor de la recta 𝐴𝐶. Respuesta: 
3456
3.5
𝜋 unidades cúbicas 
 
 
En los ejercicios siguientes, calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar 
alrededor de la recta indicada la región acotada por la curva 𝑦 = √𝑥, el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y la recta 𝑥 = 4. 
 
Ejercicios 13-16 (impares), pág. 389, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
7. La recta 𝑥 = 4. Respuesta: 
256
15
𝜋 unidades cúbicas 
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8. El 𝑒𝑗𝑒 𝑦. Respuesta: 
128
5
𝜋 unidades cúbicas 
 
Resuelve los ejercicios siguientes. 
 
Ejercicios 17-20 (impares) y 29-33 (impares), pág. 389, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
9. Obtén la fórmula del volumen de una esfera al girar alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 la región 
limitada por la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 y el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Respuesta: 
4
3
𝜋𝑟3 unidades 
cúbicas 
 
10. Obtén la fórmula para el volumen de un cono circular recto truncado que se obtiene al 
girar el segmento rectilíneo que va de (0, 𝑏) a (ℎ, 𝑎) alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Respuesta: 
1
3
𝜋ℎ(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) unidades cúbicas 
 
11. Obtén el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta 𝑥 = −4 la región 
limitada por esa misma recta y la parábola 𝑥 = 4 + 6𝑦 − 2𝑦2. Respuesta: 
1250
3
𝜋 
unidades cúbicas 
 
12. Obtén el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta 𝑥 = 4 la región 
acotada por la parábola 𝑦2 = 4𝑥 y la recta 𝑦 = 𝑥. Respuesta: 
64
5
𝜋 unidades cúbicas 
 
13. Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta 𝑦 = −3 la región 
limitada por las dos parábolas 𝑦 = 𝑥2 y 𝑦 = 1 + 𝑥 − 𝑥2. Respuesta: 
261
32
𝜋 unidades 
cúbicas 
 
Resuelve los ejercicios 3 a 8 de la sección anterior mediante el método de capas cilíndricas. 
 
Ejercicios 1-12 (impares), pág. 396, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
En la figura adjunta, la región limitada por el 𝑒𝑗𝑒 𝑥, la recta 𝑥 = 1 y la curva 𝑦 = 𝑥2 se denota 
por 𝑅1; la región acotada por las curvas 𝑦 = 𝑥
2 y 𝑦2 = 𝑥 se representa mediante 𝑅2; y la región 
limitada por el 𝑒𝑗𝑒 𝑦, la recta 𝑦 = 1 y la curva 𝑦2 = 𝑥 se denota por 𝑅3. En los ejercicios 
siguientes, calcula el volumen del sólido generado cuando la región indicada se gira alrededor 
de la recta dada. 
 
Ejercicios 13-20 (impares), pág. 396, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
14. 𝑅1 se gira alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑦; los elementos rectangulares 
son paralelos al eje de revolución. Respuesta: 
1
2
𝜋 unidades 
cúbicas 
 
15. 𝑅2 se gira alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑥; los elementos rectangulares 
son paralelos al eje de revolución. Respuesta: 
3
10
𝜋 unidades 
cúbicas 
𝑅1 
𝑅2 
𝑅3 
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Modalidad Presencial 
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CSEMS 
 
16. 𝑅3 se gira alrededor de la recta 𝑦 = 2; los elementos rectangulares son paralelos al eje 
de revolución. Respuesta: 
5
6
𝜋 unidades cúbicas 
 
17. 𝑅2 se gira alrededor de la recta 𝑥 = −2; los elementos rectangulares son paralelos al 
eje de revolución. Respuesta: 
49
30
𝜋 unidades cúbicas 
 
En los ejercicios siguientes, la región acotada por las curvas 𝑥 = 𝑦2 − 2 y 𝑥 = 6 − 𝑦2 se gira 
alrededor del eje indicado. Determina el volumen del sólido generado. 
 
Ejercicios 21-24 (impares), pág. 396, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
18. El 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Respuesta:16𝜋 unidades cúbicas 
 
19. La recta 𝑥 = 2. Respuesta: 
512
15
𝜋 unidades cúbicas 
 
Resuelve los ejercicios siguientes. 
 
Ejercicios 25-36 (impares), pág. 396, El Cálculo 7ª Ed., Leithold 
 
20. Obtén el volumen del sólido generado si la región limitada por la parábola 𝑦2𝑝𝑥 (𝑝 >
0) y la recta 𝑥 = 𝑝, se gira alrededor de la recta 𝑥 = 𝑝. Respuesta: 
32
15
𝜋𝑝3 unidades 
cúbicas 
 
21. Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑦 la región limitada 
por la gráfica de 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥3, el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y la recta 𝑥 = 1. Respuesta: 
8
5
𝜋 unidades cúbicas 
 
22. Determina el volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta 𝑥 = 1 
la región limitada por la gráfica de 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥3, el 𝑒𝑗𝑒