Tema III Coordenadas polares

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        








x
y
2011 
Gil Sandro Gómez Santos 
 
 
Tema III.Coordenadas Polares 
Tema III. Coordenadas Polares 
 
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1 
 
Índice 
 
3.1 Concepto de coordenadas polares 
3.2 Gráfica de una ecuación polar 
3.2.1 Discusión y trazado de curvas en coordenadas polares 
3.3 Pendiente y rectas tangentes 
3.4 Intersección entre curvas en coordenadas polares 
3.5 Área de una curva en coordenadas polares 
Bibliografía 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema III. Coordenadas Polares 
 
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Tema III. Coordenadas Polares 
3.1 Concepto de Coordenadas Polares 
Definición. Las coordenadas polares es un sistema de coordenadas 
que define la posición de un punto en un espacio bidimensional en 
función de los ángulos directores y de la distancia al origen de 
referencia. 
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un 
punto “O” llamado polo u origen, se traza un rayo inicial llamado eje 
polar. 
 
 
Sea P un punto cualquiera en el plano coordenado, la posición del 
punto P con relación al eje polar y al polo es determinado cuando se 
conocen r y θ. Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares 
del punto P; donde r se denomina radio vector y θ ángulo polar o 
argumento de P. Un punto P se escribe (r, θ). La línea recta que pasa 
por el polo y es perpendicular al eje polar se llama eje normal o eje a 
90. 
En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una 
representación única. Esto no sucede en coordenadas polares. Las 
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coordenadas (r, θ) y (r, θ+2n) representan el mismo punto, donde n 
es cualquier entero positivo. 
 
Teorema 1. Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas 
polares coinciden, respectivamente, con el origen y la parte positiva 
del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de uno 
a otro puede efectuarse por medio de las siguientes fórmulas de 
transformación: 
 
 
 
 
 
3.2 Gráfica de una ecuación polar 
Definición. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al 
menos, un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuación. 
3.2.1 Discusión y Trazado de curvas en coordenadas 
polares 
La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seis 
pasos siguientes: 
1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje 
normal. 
2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje 
normal y el polo. 
3. Determinación de la extensión del lugar geométrico. 
4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos 
para obtener una gráfica adecuada. 
5. Trazado de la gráfica. 
6. Transformación de la ecuación polar a rectangular. 
Ahora desarrollaremos los pasos 1, 2 y 3, los 4, 5 y 6 no es 
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necesario desarrollarlos. 
1. Intersecciones. Las intersecciones con el eje polar, cuando 
existen, pueden obtenerse resolviendo la ecuación polar dada 
para r, cuando a θ se le asignan sucesivamente los valores 0, 
y en general ndonde n es un entero cualquiera. 
Análogamente, si existen algunas intersecciones con el eje 
normal, pueden obtenerse asignado a θ los valores de n/2, 
donde n es un número impar cualquiera. Si existe un valor de θ 
para el cual r=0, la gráfica pasa por el polo. 
2. Simetría. 
Las simetrías de una curva se analizan mediante las siguientes 
transformaciones. 
Simetría con respecto al La ecuación polar no se altera o se 
transforma en una ecuación equivalente 
Eje polar a) se sustituye a θ por – θ o 
b) se sustituye a θ por  θ y r por -r 
Eje normal a) se sustituye a θ por  θ o 
b) se sustituye a θ por  θ y r por -r 
Polo a) se sustituye a θ por  θ 
b) se sustituye a r por -r 
 
3. Extensión del lugar geométrico. Para determinar la extensión de 
la gráfica de un lugar geométrico dado en coordenadas polares, 
primero se despeja a r en función de θ, de modo que tenemos 
 
si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. 
Si r es infinita para ciertos valores de θ la gráfica no es una curva 
cerrada. Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva; tales 
valores constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la 
gráfica es una curva cerrada, es útil, determinar los valores máximo y 
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mínimo de r. 
 
Ejemplo 1. Discuta y grafique la curva: 
( ) 4 4f sen  
1. Intersecciones. 
a) Para hallar las intersecciones con el eje polar, evaluamos la 
función en los siguientes ángulos: 
 
(0) 4 0 0
( ) 4 4 0
(2 ) 4 8 0
f sen
f sen
f sen
 
 
 
 
 
 
Las intersecciones son: 
b) Con el eje normal: 
2
4 4 4 2 0
2 2
3
2
3 3
4 4 4 6 0
2 2
f sen sen
f sen sen

 


 



   
     
   
   
     
   


 
Las intersecciones son: 0,
2
 
 
 
 y 
3
0,
2
 
 
 
 
2. Simetría. 
a) Con el eje polar 
Sustituimos a θ por –θ 
( ) 4 4( ) 4 4f sen sen       
Como se puede observar, la ecuación se altera, por tanto no existe 
simetría con el eje polar. 
b) Con el eje normal 
Sustituimos a  por   
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( ) 4 4( ) 4 (4 4 ) 4 4 cos 4 4 4 cos 4
( ) 4 4
f sen sen sen sen
f sen
        
 


      
  
 
La ecuación cambia, no existe simetría con el eje normal. 
c) Simetría con el polo 
Se sustituye a  por   
( ) 4( ) 4 cos4 4 cos4 4f sen sen sen sen              
Comparando la ecuación resultando se llega a la conclusión de que 
ésta no varía, por tal motivo la curva es simétrica con el polo. 
 
 
 
 
 
3. Extensión del lugar geométrico. 
 4 4r sen  
Dado que los valores del radio son finitos, podemos decir que la curva 
es cerrada. 
4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos 
para obtener una gráfica adecuada. 
4 4r sen  
 
θ 0 π/6 π/3 π/2 4π/6 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π 
r 0 3.46 -3.46 0 3.46 -3.46 0 3.46 -3.46 0 3.46 -3.46 0 
 
 
 
 
 
 
Nota: Al analizar una curva en coordenadas polares y ésta no es simétrica 
a ninguno de los ejes, entonces lo es al polo. También es simétrica al 
polo, si lo es a ambos ejes. 
 
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5. Trazado de la curva 
 
6. Transformar la ecuación de polar a rectangular 
 
 
Ahora podemos auxiliarnos del teorema 1 para hacer la transformación 
de polar a rectangular. 
 
 
√ 
 
 
√ 
 √ 
 
 
        








x
y
Fig. 1 
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√ 
 
√ 
(
 
√ 
)
 
 (
 
√ 
)
 
 
√ 
 
Desarrollando la expresión (a): 
√ 
 
 
 
 
 
 
Agrupando términos en (b) nos queda la expresión: 
√ 
 
 
 
Si observamos la ecuación ©, nos daremos cuenta lo complicado que 
sería analizar, esta ecuación si no fuera en coordenadas polares. 
 
3.3 Pendiente y rectas tangentes 
Teorema 2. Pendiente en forma polar 
Si f es una función derivable o diferenciable en θ, entonces la 
pendiente de la recta de la gráfica ( )r f  en el punto (r, θ) es 
( ) cos '( )
( ) '( ) cos )
 0 ( , )
dy
d
dx
d
dy f f sen
dx f sen f
dx
siempre que en r
d


   
   





 

 
Del teorema anterior se pueden sacar las siguientes conclusiones: 
1. Las soluciones 0
dy
d
 dan una tangente horizontal, siempreque 
0
dx
d
 
2. Las soluciones 0
dx
d
 dan una tangente vertical, siempre que 
0 
dy
d
 
 
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Ejemplo 2. Encuentre la pendiente y las tangentes horizontales y 
verticales de la función: 
 
Aplicando el teorema anterior, tenemos que: 
 
Sustituyendo (2) en (3): 
 
 
Derivamos las ecuaciones (4) y (5) respecto de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividimos (7) entre (6): 
 
 
 
 
 
Hemos encontrado la derivada de la función, ahora buscaremos las 
tangentes horizontales y verticales. 
Para determinar las tangentes horizontales, igualamos a cero la 
ecuación (7). 
 
 
Corresponde ahora que busquemos los valores de los ángulos que 
satisfacen a (9). 
 
 
 
 
 
 
 
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Evaluamos a (6) en (10) para saber si existe o no una tangente 
horizontal. 
 
 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Como 11 es diferente de cero, entonces existe una tangente horizontal 
en 
 
 
. 
Hagamos el análisis para 
 
 
 
 
 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Dado que (12) es diferente de cero, hay una tangente horizontal en 
 
 
 
 . 
Ahora evaluamos a (2) en (10), para calcular las tangentes 
horizontales: 
 (
 
 
) 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: El cálculo de las tangentes verticales se deja como ejercicio a 
los estudiantes. 
( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 
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Teorema 3. Rectas tangentes en el polo 
Si y , entonces la recta es la tangente a la 
gráfica en el polo. 
 
3.4 Intersección entre Curvas en Coordenadas Polares 
Como fue planteado en la introducción del tema de coordenadas 
polares de que un punto en este sistema tiene más de una 
representación, es importante tener presente que cuando se va a 
determinar los puntos de intersección entre dos curvas; es 
conveniente realizar las gráficas. No todos los puntos de 
intersección pueden hallarse resolviendo la ecuación que resulta de 
la igualar las dos funciones. 
 
Ejemplo 3. Busque los puntos de intersección de las siguientes dos 
curvas dadas en coordenadas polares. 
 
Lo primero que tenemos que hacer es igualar las dos ecuaciones: 
 
Transponiendo términos: 
 
Para poder encontrar los valores de los ángulos que satisfacen a (5) 
es necesario auxiliarnos de la identidad del seno doble. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La solución analítica de (6) nos lleva a la conclusión que los puntos 
de intersección entre las dos curvas se producen en los ángulos 
antes determinados. Para saber si existen otros puntos de 
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intersección, es necesario hacer las gráficas. 
 
De acuerdo a lo observado en el dibujo, las curvas se cortan en los 
siguientes ángulos: 
 
 
 
3.5 Área de una Curva en Coordenadas Polares 
Teorema 4. Área en coordenadas polares 
Si es continua y no negativa en [ ], 
entonces el área de la región limitada por la gráfica de 
entre las rectas radiales está dada por 
 
 
        








x
y
Fig. 2 
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Nota: esta fórmula puede ser utilizada para calcular el área de una 
región acotada por la gráfica de una función continua no positiva. La 
misma no es necesariamente válida si toma valores negativos y 
positivos en el intervalo [ ]. 
 
Ejemplo 4. Calcule el área acotada por la curva 
 
Primer paso. Dibujamos la curva para obtener los límites de 
integración. Recordamos que es necesario hacer la gráfica, porque 
esto nos ayuda en la obtención de los límites de integración. 
 
θ 0 π/6 π/3 π/2 4π/6 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π 
r -2 0.73 2.73 2 -0.73 -2.73 2 0.73 2.73 2 -0.73 -2.73 -2 
 
 
        








x
y
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Fig.3 
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Segundo paso. Igualamos a cero a (4), para hallar los valores de los 
ángulos que satisfacen la ecuación de la curva dada. 
 
 
Usando el concepto de función inversa en (6), obtenemos que: 
 
 
 
 
 
 
De (7) nos queda que: 
 
El intervalo de integración es:*
 
 
 
 
 
+ 
 
Este análisis, es solamente para un pétalo, por lo que el resultado que 
se obtenga, es imprescindible multiplicarlo por cuatro para tener el 
área total. 
 
Tercer paso. Cálculo del área 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
) (
 
 
) ( 
√ 
 
 
√ 
 
) 
 
 ( √ ) 
El área total es cuatro veces la calculada: 
 
 ( √ ) 
 
 ⁄ , 
 ⁄ 
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Bibliografía 
 
1. Larson, Hostetler y Edwards. Cálculo de varias variables, 
volumen II (Cálculo II), octava edición, McGraw-Hill, México, 
2006. 
2. Edwards & Penney. Cálculo con trascendentes tempranas, 
séptima edición, Pearson, México, 2008. 
3. James Stewart. Cálculo de varias variables, sexta edición, 
CENGAGE, México, 2008. 
4. Erwin J. Purcell,Varberg y Rigdon. Cálculo, novena edición, 
Pearson, México, 2008.