2 - EcuacionesParametricasTransp

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Curvas planas, ecuaciones
paramétricas y coordenadas polares
Calculus. Early trascedentals (7th
Edition) James Stewart
Presentación con diapositivas Beamer
preparadas por
Luis Angel Zaldívar Cruz
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Tecnológico de Tehuacán
23 de enero de 2020
Competencias del tema
En este tema el estudiante. . .
I Aprenderá a representar curvas planas mediante ecuaciones en
coordenadas polares o en forma paramétrica, con el propósito de
poseer las herramientas necesarias para el estudio de curvas más
sofisticadas.
I Aplicará los métodos del cálculo a problemas relacionados con
curvas paramétricas.
I Aplicará los métodos del cálculo a problemas relacionados con curvas
en coordenadas polares.
I Utilizará TIC’s para la representación geométrica de curvas
planas. I Utilizará TIC’s para aplicar las propiedades de las
operaciones con ecuaciones paramétricas.
I Utilizará TIC’s para aplicar las propiedades de las operaciones
con ecuaciones polares.
Ecuaciones paramétricas
Suponga que una partícula se mueve a lo largo de la curva C que se
muestra en la Figura 1. Esta curva no puede describirse mediante una
ecuación de la forma y = f(x) porque no pasa la prueba de la recta vertical.
Sin embargo, como las coordenadas x y y que denotan la posición de la
partícula sobre la curva C son
funciones del tiempo t, éstas se pueden describir mediante las ecuaciones x
= f(t) y y = g(t). Estas ecuaciones denominadas ecuaciones paramétricas de
la curva C, proporcionan una forma apropiada para describir esta clase de
curvas.
Figura 1: Trayectoria de una partícula.
Ecuaciones paramétricas
Definición 1
Si x y y son funciones de una tercera variable t,
denominada parámetro, tal que
x = f(t), y = g(t),
decimos que estas ecuaciones forman un conjunto de
ecuaciones paramétricas.
Ejemplo 1
Dibuje e identifique la curva definida por las
ecuaciones paramétricas
x = t2 − t, y = t + 2.
Ecuaciones paramétricas
Solución. Cada valor de t determina un punto sobre la curva, como se
muestra en el Cuadro 1. Por ejemplo, si t = 0, entonces x = 0 y y = 2
obteniéndose el punto (0, 2).
t x y
−3 12 −1
−2 6 0
−1 2 1
0 0 2
1 0 3
2 2 4
3 6 5
4 12 6
Cuadro 1: Algunos puntos determinados por t.
Ecuaciones paramétricas
En la Figura 2 se grafican los puntos (x, y) determinados por los valores
asignados al parámetro t de acuerdo al Cuadro 1 y la curva que une
dichos puntos.
Figura 2: Gráfica de la curva paramétrica x = t2 − t y y = t + 2.
Ecuaciones paramétricas
Como se observa en la Figura 2, la curva paramétrica es una parábola, lo
que se puede confirmar analíticamente eliminando el parámetro t. Esto se
logra despejando t de la ecuación y = t + 2 , obteniéndose t = y − 2 y
entonces sustituyendo en la ecuación x = t2 − t:
x = t2 − t = (y − 2)2 − (y − 2) = y2 − 5y + 6.
Por tanto, la curva determinada por las ecuaciones paramétricas es la
parábola x = y2 − 5y + 6. 2
En el Ejemplo 1 el parámetro t puede tomar cualquier número real, pero en
algunas situaciones se puede restringir el parámetro t para que tome
valores en un intervalo acotado. Por ejemplo, la curva paramétrica
x = t2 − t, y = t + 2, 0 ≤ t ≤ 4
que se muestra en la Figura 3 es la parte de la parábola del Ejemplo 1 cuyo
punto inicial es (0, 2) y su punto terminal es el punto con coordenadas (12,
6).
Ecuaciones paramétricas
Figura 3: Gráfica de la curva paramétrica x = t2 − t, y = t + 2, 0 ≤ t ≤ 4.
Generalizando, la curva con ecuaciones paramétricas
x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b
tiene un punto inicial (f(a), g(a)) y un punto terminal (f(b), g(b)).
Ecuaciones paramétricas
Ejemplo 2
Dibuje e identifique la curva definida por las ecuaciones
paramétricas x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π.
Solución. Graficando los puntos correspondientes a algunos valores de t
en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π, se observará que la gráfica corresponde a una
circunferencia, lo que se puede confirmar analíticamente eliminando el
parámetro t como sigue:
x2 + y2 = cos2t + sen2t = 1.
Así, el punto con coordenadas (x, y) está en la circunferencia x2 + y2 = 1. En
este ejemplo, el parámetro t representa el ángulo en radianes que se
muestra en la Figura 4. Cuando el parámetro t toma valores en el intervalo 0
≤ t ≤ 2π, el punto (x, y) = (cos t, sen t) se mueve a lo largo de la
circunferencia comenzando desde el punto (1, 0) correspondiente al valor
del parámetro t = 0. El movimiento se realiza en el sentido contrario al giro
de las manecillas del reloj y la circunferencia termina de dibujarse cuando t
= 2π. 2
Ecuaciones paramétricas
Figura 4: Curva paramétrica de x = cost, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π.
Ecuaciones paramétricas
Ejemplo 3
Dibuje e identifique la curva definida por las ecuaciones
paramétricas x = sen 2t, y = cos 2t, 0 ≤ t ≤ 2π.
Solución. Graficando los puntos correspondientes a algunos valores de t
en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π, se observará que la gráfica corresponde a una
circunferencia, lo que se puede confirmar analíticamente eliminando el
parámetro t como sigue:
x2 + y2 = sen22t + cos22t = 1.
Sin embargo, cuando el parámetro t toma valores en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π,
el punto (x, y) = (sen 2t, cos 2t) se mueve a lo largo de la circunferencia
trazándola dos veces, en el sentido de giro de las manecillas del reloj, como
se indica en la Figura 5. 2
Ecuaciones paramétricas
Figura 5: Curva paramétrica de x = sen 2t, y = cos 2t, 0 ≤ t ≤ 2π.
Ecuaciones paramétricas
Ejemplo 4
Dibuje e identifique la curva definida por las ecuaciones
paramétricas x = t2 + 2t − 1, y = t2 + t − 2.
Si es posible, elimine el parámetro.
Solución. Construimos la tabla que se muestra en el Cuadro 2. Graficando
estos puntos, obtenemos la curva mostrada en la Figura 6, que es una
parábola. Para eliminar el parámetro, restamos las ecuaciones, obteniendo
x − y = t + 1 =⇒ t = x − y − 1.
Sustituyendo en t en la segunda ecuación, encontramos que
y = (x − y − 1)2 + (x − y − 1) − 2,
y, simplificando,
x2 − 2xy + y2 − x − 2 = 0.
Esto, analíticamente muestra que la curva es una parábola. 2
Ecuaciones paramétricas
t x y
−4 7 10
−3 2 4
−2 −1 0
−1 −2 −2
0 −1 −2
1 2 0
2 7 4
3 14 10
Cuadro 2: Algunos puntos determinados por t.
Ecuaciones paramétricas
Figura 6: Curva paramétrica de x = t2 + 2t − 1, y = t2 + t − 2.
Ecuaciones paramétricas
Ejemplo 5
Dibuje e identifique la curva definida por las ecuaciones
paramétricas x = 4 cos θ, y = 3 sen θ.
Si es posible, elimine el parámetro.
Solución. En este problema el parámetro es θ. Aunque el dominio θ consiste
de todos los números reales, sólo se necesitan los valores entre 0 y 2π ya
que ambas funciones son periódicas con periodo 2π. En lugar de construir
una tabla de valores para θ, x y y, encontramos más simple primero escribir
cos θ =
x
4, sen θ =
y
3.
Entonces, elevando al cuadrado y sumando, obtenemos
16+y
2
9,
1 = cos2θ + sen2θ =x
2
curva que reconocemos como una elipse con su eje mayor sobre el eje x,
como se muestra en la Figura 7.
Ecuaciones paramétricas
Figura 7: Curva paramétrica de x = 4 cos θ, y = 3
sen θ.
Sistemas algebraicos de cómputo
Existen ecuaciones paramétricas que requieren los recursos de un
sistema algebraico de cómputo—como Mathematica, Maple o
SageMath—para la graficación de las curvas dadas por dichas
ecuaciones paramétricas. En esta sección estudiaremos como utilizar
SageMath para esta tarea.
Ejemplo 6
Utilice SageMath para graficar la curva x = y4 − 3y2.
Solución. Sea t = y el parámetro. Entonces definimos las
ecuaciones x = t4 − 3t2, y = t.
Las instrucciones en SageMath para graficar la curva
paramétrica correspondiente son:
t = var(’t’)
P = parametric_plot((t^4-3*t^2, t),(t,-2,2),rgbcolor=hue(0.9)) show(P)
Sistemas algebraicos de cómputo
Usando estas intrucciones en SageMath, obtenemos la curva paramétrica
que se muestra en la Figura 8.
Figura 8: Gráfica en Sage de x = t4 − 3t2, y = t.
En este ejemplo, se observa que podríamos haber resuelto la ecuación
dada x = y4 − 3y2para y como cuatro funciones de x y entonces graficarlas,
pero las ecuacionesparamétricas proporcionan un método mucho más
sencillo.
Sistemas algebraicos de cómputo
En general, cuando se quiera graficar una ecuación de la forma x = g(y),
se utilizan las ecuaciones paramétricas
x = g(t), y = t.
También, si se quiere graficar una ecuación de la foma y = f(x), utilice
las ecuaciones paramétricas
x = t, y = f(t).
La utilidad de los sistemas algebraicos de cómputo se hace evidente
cuando se desea dibujar curvas complicadas que son difíciles de hacer a
mano. A continuación, mostramos tres ejemplos.
Ejemplo 7
Utilizando SageMath grafique las ecuaciones paramétricas
x = sen t +
1
2cos 5t +
1
4sen 13t, y = cos t +
1
2sen 5t +
1
4cos 13t.
Sistemas algebraicos de cómputo
Solución. Las instrucciones en SageMath para graficar la curva
paramétrica correspondiente son:
t = var(’t’)
P = parametric_plot((sin(t)+(1/2)*cos(5*t)+(1/4)*sin(13*t),
cos(t)+(1/2)*sin(5*t)+(1/4)*cos(13*t),(t,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.9)) show(P)
Usando estas intrucciones en SageMath, obtenemos la curva paramétrica que
se muestra en la Figura 9.
Figura 9: Gráfica en Sage de x = sen t + 12cos 5t + 14sen 13t, y = cos t + 12sen 5t + 14cos 13t.
Sistemas algebraicos de cómputo
Ejemplo 8
Utilizando SageMath grafique las ecuaciones paramétricas
x = sen t − sen 2.3 t, y = cos t.
Solución. Las instrucciones en Sage para graficar la curva
paramétrica correspondiente son:
t = var(’t’)
P = parametric_plot((sin(t)-sin(2.3*t),cos(t)),(t,0,20*pi),
rgbcolor=hue(0.9))
show(P)
Usando estas intrucciones en SageMath, obtenemos la curva paramétrica
que se muestra en la Figura 10.
Sistemas algebraicos de cómputo
Figura 10: Gráfica en Sage de x = sen t − sen 2.3t, y = cost.
Sistemas algebraicos de cómputo
Ejemplo 9
Utilizando SageMath grafique las ecuaciones paramétricas
x = sen t +
1
2sen 5t +
1
4cos 2.3t, y = cos t +
1
2cos 5t +
1
4sen 2.3t.
Solución. Las instrucciones en SageMath para graficar la curva
paramétrica correspondiente son:
t = var(’t’)
P = parametric_plot((sin(t)+(1/2)*sin(5*t)+(1/4)*cos(2.3*t),
cos(t)+(1/2)*cos(5*t)+(1/4)*sin(2.3*t)),(t,0,20*pi),
rgbcolor=hue(0.7))
show(P). 2
Usando estas intrucciones en SageMath, obtenemos la curva paramétrica
que se muestra en la Figura 11.
Sistemas algebraicos de cómputo
Figura 11: Gráfica en SageMath de
x = sen t + 12sen 5t +
1
4cos 2.3t, y = cos t +
1
2cos 5t +
1
4sen 2.3t.
La cicloide
Un aro circular comienza a rodar sobre el suelo a lo largo de una línea
recta. El aro tiene un punto P marcado sobre la llanta. Deseamos encontrar
la trayectoria trazada por el punto P. La Figura 12 muestra el aro en
diferentes posiciones a medida en que éste rueda sobre el piso.
Figura 12: Trayectoria trazada por un punto marcado sobre la llanta de una
aro.
La cicloide
La curva trazada por el punto P puede expresarse en términos de
ecuaciones paramétricas. Sea r el radio del aro, y suponga que cuando el
aro comienza a rodar el punto P se localiza en el suelo en el punto
etiquetado O como se muestra en la Figura 13. La Figura 13 también
muestra la posición del punto P después de que el aro ha girado un ángulo θ
en radianes.
Figura 13: Diagrama del aro.
La cicloide
Puesto que se supone que el aro rueda sin deslizamiento, del diagrama
de la Figura 13, tenemos
|OT| = arc P T = rθ.
El centro del círculo es C (rθ, r). Del triángulo 4CP Q leemos
|P Q| = r sen θ, 0 ≤ θ ≤ π/2,
|QC| = r cos θ, 0 ≤ θ ≤ π/2.
Denotando las coordenadas de P por (x, y) vemos que
x = |OT| − |P Q| = rθ − r sen θ = r (θ − sen θ),
y = |T C| − |QC| = r − r cos θ = r (1 − cos θ).
Aunque estas ecuaciones fueron obtenidas para valores de θ entre 0 y π/2,
puede demostrarse que para todos los valores de θ las ecuaciones
paramétricas
x = r (θ − sen θ), y = r (1 − cos θ)
representan la trayectoria del punto marcado sobre la llanta del aro. Esta
curva se llama cicloide.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Derivadas y tangentes
Supongamos que tenemos las ecuaciones paramétricas
x = f(t), y = g(t),
que representan una relación entre x y y.
En general, x y y estarán relacionadas por una ecuación en la que ninguna de las variables es una función de la
otra. Como en el caso de las funciones implícitas, todavía es posible encontrar la derivada dy/dx e identificarla con
la pendiente de la tangente a la curva en un punto con coordenadas (x, y). Se puede encontrar la derivada dy/dx
utilizando la regla de la cadena. Tenemos
dx=dy
dt·dt
dx=dy/dt
dy
dx/dt. (1)
Esta derivada estará dada en términos de t. Si t no puede expresarse en términos de x o de y—como
frecuentemente es el caso—el proceso de obtener la segunda derivada requiere alguna explicación. La idea es
utilizar la regla de la cadena otra vez. Escribimos
dx
2
=
d
dx dy
d2y
dx
=
d
dt dy dx
dt
dx=
d
dt dy dx
÷dx dt. (2)
Puesto que dy/dx está dada en términos de t,
encontrar la derivada
d
dt dy dx
es una cuestión de
rutina. Además, previamente se ha calculado dx/dt, cuando se obtuvo dy/dx.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Ejemplo 10
Determine dy/dx y d2y/dx2, dado que x = t2 + 3t − 2, y = 2 − t − t2. Solución.
Tenemos,dx
dt= 2t + 3,dy
dt= −1 − 2t.
Por consiguiente,
dx=dy/dt
dy
dx/dt=− (2t + 1)
2t + 3.
La segunda derivada
está dada por
d
d2y
dt
dx
2
=
y puesto que
dy
dx
dx
dt
,
d
dt
dy dx
=
d
dt −2t + 1 2t +
3 = −
(2t + 3) (2) −
(2t + 1) (2)
(2t + 3)
2
=−4
(2t + 3)
2
,
obtenemos
dx
2
= −4/ (2t + 3)
2
d2y
2t + 3=−4 (2t + 3)
3
. 2
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Ejemplo 11
Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas x = t2, y = t3 − 3t. 1.
Demuestre que C tiene dos rectas tangentes en el punto (3, 0) y determine sus
ecuaciones.
2. Determine el punto sobre C donde la recta tangente es horizontal o vertical.
3. Determine los intervalos para t donde la curva es cóncava hacia arriba o hacia
abajo.
4. Trace la curva.
Solución.
1. Observe que y = t3 − 3t = tt2 − 3 = 0 cuando t = 0 o t = ±
√3. Por tanto, el punto
(3, 0) en la curva C se origina de dos valores del parámetro, t =
√3 y t = −
√3. Esto
indica que C cruza el punto (3, 0) dos veces. Puesto que 2t=
3
2 t −
1
t
dy
dx/dt =3t
2 − 3
dx=dy/dt
la pendiente de la recta tangente cuando t = ±
√3 es
dy/dx = ±6/ en (3, 0) son
2
√
3 = ±
√3, por lo que las ecuaciones
de las rectas tangentes y =
√
3 (x − 3) y
y = −
√3 (x − 3) .
Cálculo con ecuaciones paramétricas
2. De acuerdo a la Ecuación 1 la curva C tiene una tangente horizontal cuando
dy/dx = 0, esto es, cuando dy/dt = 0 y dx/dt 6= 0. Puesto que
dy/dt = 3t2 − 3, esto sucede cuando t2 = 1, es decir, cuando t = ±1. Los puntos
correspondientes en C son (1, −2) y (1, 2). De acuerdo a la Ecuación 1, C
tiene una tangente vertical cuando dx/dt = 2t = 0 y dy/dt 6= 0, es decir, cuando
t = 0. El punto correspondiente en C es (0, 0).
3. Para estudiar la concavidad calculamos la segunda derivada
d2y
dx
2
=
d
dt
dy dx
dx
dt =
3 2 1 +
1t
2
2t=3t
2
+ 1
4t
3
.
Así, la curva es cóncava hacia arriba cuando t > 0 y cóncava hacia abajo
cuando t < 0.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
4. Utilizando la información de los incisos 2) y 3), dibujamos la curva C, la cual se
muestra en la Figura 14.
Figura 14: Curva de x = t2, y = t3 − 3t.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Areas
Sabemos que el área de la región que está debajo de una curva y = F(x) en
el Z b
intervalo [a, b], donde F(x) ≥ 0 para
todo x ∈ [a, b], es A = a
F(x) dx.
Ahora, si esta curva puede representarse mediante las ecuaciones
paramétricas x = f(t) y y = g(t) donde α ≤ t ≤ β, entonces es posible definir
una fórmula para calcular el área utilizando la regla de cambio de variable
como sigue:
g(t)f0(t) dt
o
A =
Z b a
y dx =
Z β α
A =
Z b a
y dx =
Z α β g(t)f0(t) dt si
(f(β), g(β)) es
el extremo
izquierdo.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Ejemplo 12
Determine el área de la región que está debajo de uno de los arcos de la
cicloide x = r (θ − sen θ) , y = r (1 − cos θ) .
Solución. Como se muestra en la Figura 15, un arco de la cicloide está determinado
por0 ≤ θ ≤ 2π. Utilizando la regla del cambio de variable con
x = r (θ − sen θ) , y = r (1 − cos θ) , se tiene que cuando x = 0, sustituyendo en x = r (θ
− sen θ), obtenemos sen θ = θ que se cumple sólo cuando θ = 0. También, si x = 2πr,
sustituyendo en x = r (θ − sen θ), obtenemos 2πr = r (θ − sen θ) que simplificando da
(θ − sen θ) = 2π y que se cumple sólo cuando θ = 2π. Por tanto,
Z 2πr
A =
Z 2π
y dx =
r (1 − cos θ) r (1
− cos θ) dθ
0
= r2
Z 2π 0
0
(1 − cos
θ)2dθ = r2
Z 2π
0
1 − 2 cos θ
+ cos2θ dθ
= r2
Z 2π 0
1 − 2 cos θ
+
1
2(1 + cos
2θ) dθ
= r2
2θ − 2 sen θ
+
1
4sen 2θ 2π
3
0
= r232· 2π
= 3πr2. 2
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Figura 15: Un arco de la cicloide.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Longitud de arco
Frecuentemente dibujamos la gráfica de una función y = f(x) y nos referimos a ella
como el lugar geométrico o curva que representa la función. Cuando dibujamos tal
gráfica, automáticamente asociamos una longitud con cualquier parte de ella (por
ejemplo, la parte que va de P1 a P2 en la curva mostrada en la Figura 16).
Formulamos ahora tres preguntas: (1) ¿Cuál es la clase de curvas (o lugares
geométricos) con la que asociaremos una longitud? (2) ¿Cómo definiremos dicha
longitud? (3) Ya definida la longitud de una curva, ¿cómo la medimos?
Figura 16: Longitud de arco.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Estas preguntas se contestan fácilmente para líneas rectas. Todo segmento de línea recta tiene una longitud
dada por la fórmula de la distancia
q
d =
(x1 − x2)
2 + (y1 −
y2)
2,
donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de los extremos del segmento. También estamos familiarizados
con la fórmula para calcular la longitud de un arco circular, ya que la estudiamos en los cursos de geometría o
trigonometría en el bachillerato. Un primer paso en una discusión precisa de la longitud de una curva, de la cual
un arco circular es un caso especial, es la definición de lo que llamaremos un arco.
Definición 2
Si un lugar geométrico está dado en la forma de una función tal que y = f(x), a ≤ x ≤ b, y si f es continua en este
intervalo, entonces el lugar geométrico de f se denomina un arco. Cuando el lugar geométrico está dado por
las ecuaciones paramétricas
x = F (t), y = G(t), c ≤ t ≤ d,
se dice que es un arco si F y G son continuas en el intervalo [c, d] y si para dos valores diferentes del parámetro
t, t1 y t2, jamás puede suceder que F (t1) = F (t2) y G(t1) = G(t2).
Observación
Esta última condición, que garantiza que el lugar geométrico no se intersecta a sí mismo, puede ser escrita
de manera más compacta como
[F (t1) − F (t2)]
2 + [G(t1) − G(t2)]
2 > 0 si t1 6= t2.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Así, la primera de las tres preguntas puede ser contestada estableciendo que solamente estudiaremos las
longitudes de aquellas curvas que son arcos. En cuanto a la segunda pregunta, sabemos que la longitud de un
arco de curva sólo se define para curvas que son rectificables. Sabemos, por los estudios de cálculo
integral, que si una curva es lisa o suave, entonces es rectificable y por tanto tiene longitud. Esto implica, que
cuando una curva está dada en términos de sus ecuaciones paramétricas, si f0(t) y g0(t) son continuas en el
intervalo [c, d], entonces la curva es lisa y por tanto rectificable y su longitud está definida.
Ahora pasamos a la tercera pregunta. Si C es una curva dada en la forma y = f(x), donde f tiene una derivada
continua en [a, b], sabemos que su longitud está dada por la fórmula
L =
Z b a
s
1 + dy dx 2dx. (3)
Suponiendo que C también se puede describir mediante las ecuaciones paramétricas x = F (t) y y = G(t), c ≤ t ≤ d,
donde dx/dt = F0(t) > 0, lo que significa que la curva C es recorrida una sola vez, de izquierda a derecha cuando t
se incrementa de c hasta d y F (c) = a, F (d) = b. Al sustituir la Ecuación 1 en la Ecuación 3, se obtiene
L =
Como dx/dt >
0, tenemos
Z b a
s
1 +
dy dx
2
dx =
s dx
Z d c
vuut
1 +
"dy/dt dx/dt
#
2
dx
dtdt.
L =
Z d c
dt
2
+
dy dt
2
dt. (4)
Se puede demostrar que aunque C no pueda expresarse en la forma y = f(x), la Fómula 4 aún es válida.
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Ejemplo 13
Suponga que x = t3 + 1, y = 2t9/2. Determine la longitud del arco desde el punto
correspondiente a t = 1 hasta el punto correspondiente a t = 3.
Solución. Tenemos que x0(t) = 3t2, y0(t) = 9t7/2. Por consiguiente,
p9t4 + 81t7dt = −
4
27
5
√
10 − 244
√
61 . 2
Ejemplo 14
L =
Z 3 1
Encuentre la longitud de un arco de una cicloide,
x = r (θ − sen θ) , y = r (1 − cos θ) , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Solución. Tenemos que dx/dθ = r (1 − cos θ), dy/dθ = r sen θ, y por consiguiente
L =
Z 2π 0
q
r2 (1 − cos
θ)2 + r2 sen2
θdθ = r
Z 2π 0
√2 − 2 cos
θdθ.
Haciendo uso de la identidad sen (θ/2) =
p(1 − cos θ) /2, obtenemos
L = 2r
Z 2π 0 sen
θ
2dθ =
−4r cos
θ
2
2π 0
= 8r. 2
Cálculo con ecuaciones paramétricas
Area de una superficie
En la misma manera en la que se adaptó la fórmula para la longitud de un arco, se pueden adaptar las fórmulas
para calcular el área de una superficie de revolución. Si la curva dada por las ecuaciones paramétricas x = f(t) y y =
g(t), α ≤ t ≤ β, se hace girar alrededor del eje x, donde f0(t) y g0(t) son continuas y g(t) ≥ 0 para todo t ∈ [α, β] ,
entonces el área de la superficie generada está dada por
S =
Esta fórmula se
obtuvo al
sustituir
Z β α
2πy
s dx dt
2
+
dy dt
2
dt. (5)
ds =
s dx dt
2
+
dy dt
2
dt
en la fórmula S =
R2πy ds, estudiada en el curso de cálculo integral para calcular la superficie de revolución
cuando la curva se gira alrededor del eje x.
Ejemplo 15
Encuentre el área de la superficie obtenida al girar la curva x = t3, y = t2, 0 ≤ t ≤ 1, alrededor del eje x.
Solución. Como dx/dt = 3t2 y dy/dt = 2t, sustituyendo en la Fórmula 5, obtenemos
S =
Z 1 0 2πt
2q3t2 2 +
(2t)2dt = 2πZ 1 0
t
2p9t4 + 4t2dt
=2π 1215 247
√
13 + 64
. 2
Coordenadas polares
Coordenadas polares
Primero comenzamos seleccionando un punto en el plano que llamaremos
el polo u origen y etiquetémoslo O. Desde este punto dibujamos una
semirrecta o rayo comenzando en el polo y extendiéndose indefinidamente
en una dirección. Esta línea usualmente se dibuja horizontalmente y a la
derecha del polo, como se muestra en la Figura 17. Esta linea se denomina
línea inicial o eje polar.
Figura 17: Coordenadas polares del punto P.
Coordenadas polares
Sea P cualquier punto en el plano. Su posición estará determinada por su distancia
desde el polo y por el ángulo que la recta OP forma con el eje polar. Como en
trigonometría, medimos el ángulo θ desde la recta inicial—convencionalmente este
ángulo θ será positivo si su dirección de giro es contrario al giro de las manecillas del
reloj y será negativo si su dirección de giro es el mismo que el de las manecillas del
reloj. Por lo regular θ se mide en radianes. La distancia r desde el origen al punto P se
considerará positiva. Las coordenadas de P (Figura 17) en el sistema de coordenadas
polares son (r, θ). Si P = O, entonces r = 0 y estaremos de acuerdo en que (0, θ)
representa el polo para cualquier valor de θ. Hay una diferencia aguda entre las
coordenadas rectangulares y las coordenadas polares, en el sentido de que un punto
P puede ser representado en una sola manera por un par de coordenadas
rectangulares, pero puede ser representado de muchas maneras en coordenadas
polares. Por ejemplo, el punto Q con coordenadas polares (2, π/6) también tiene las
coordenadas polares 2, 2π + π6 ,2, 4π +
π
6 ,2, 6π +
π
6 ,2, −2π +
π
6 ,
2, −4π + π6 , etc. En otras palabras, hay infinitas maneras de representar el mismo
punto. Además, es conveniente permitir que r, la distancia desde el origen, tome
valores negativos. Establecemos la convención de que un par de coordenadas tal
como (−r, θ) sea simplemente otra representación del punto con coordenadas (r, θ +
π). La Figura 18 muestra la relación entre los puntos (r, θ) y (−r, θ).
Coordenadas polares
Figura 18: Relación entre (r, θ) y (−r, θ).
Coordenadas polares
La relaciónentre las coordenadas rectangulares (x, y) y las coordenadas polares (r,
θ) de un punto P está dada por las ecuaciones (Figura 19)
x = r cos θ, y = r sen θ.
Figura 19: Relación entre los sistemas de coordenadas.
Cuando se conocen r y θ, estas ecuaciones nos dicen cómo encontrar x y y. También
tenemos las fórmulas
r = ±
px2 + y2, tan θ =
y
x,
que nos darán r y θ cuando las coordenadas rectangulares sean conocidas.
Coordenadas polares
Ejemplo 16
Grafique los puntos cuyas coordenadas polares están dadas por (a) (1, 5π/4),
(b) (2, 3π), (c) (2, −2π/3), (d) (−3, 3π/4).
Solución. Los puntos están graficados en la Figura 20.
(a) (b) (c) (d)
Figura 20: Gráficas de los puntos.
Coordenadas polares
Ejemplo 17
Las coordenadas rectangulares de un punto son
√
3, −1 . Encuentre
un conjunto de coordenadas polares para este punto.
Solución. Tenemos r =
√
3 + 1 = 2 y tan θ = −1/
√3. Puesto que el punto
está en el cuarto cuadrante, elegimos para θ el valor −π/6 (o 11π/6). La
respuesta es (2, −π/6). 2
Ejemplo 18
Convierta el punto (2, π/3) de coordenadas polares a
cartesianas. Solución. Como r = 2 y θ = π/3, obtenemos
x = r cos θ = 2 cos
π
3= 2
1
2 = 1
y = r sen θ = 2 sen
π
3= 2
√3
2 =
√3.
Por tanto, el punto en coordenadas cartesianas es 1,
√
3 . 2
Coordenadas polares
Gráficas en coordenadas polares
Supongamos que r y θ están relacionadas por alguna ecuación tal
como r = 3 cos 2θ o r2 = 4 sen 3θ.
Definición 3
Definimos el lugar geométrico de una ecuación en coordenadas polares (r,
θ) como el conjunto de todos los puntos P donde cada uno de los cuales
tiene al menos un par de coordenadas polares (r, θ) que satisface la
ecuación dada. Para graficar el lugar geométrico de una ecuación polar
debemos encontrar todos los pares ordenados (r, θ) que satisfacen la
ecuación dada y entonces graficar los puntos obtenidos. Podemos obtener
una buena aproximación del lugar geométrico en coordenadas polares,
como lo hacemos en el caso de coordenadas cartesianas, haciendo una
tabla suficientemente completa de valores, graficando estos puntos, y
conectándolos con una curva suave.
Ejemplo 19
¿Qué curva se genera con la ecuación polar r = 3?
Solución. La curva consiste de todos los puntos (r, θ), con r = 3 y θ es
cualquier número real. Puesto que r representa la distancia del punto al
polo, la curva r = 3 representa la circunferencia de radio 3 y centro en O. En
general, la ecuación r = a representa una circunferencia de radio a y centro
en O.
Coordenadas polares
Ejemplo 20
Trace la curva con ecuación polar r = 3 cos θ y determine una ecuación cartesiana para esta curva. Solución.
Construimos la tabla que se muestra en el Cuadro 3.
r θ r θ
3 0 −3 π
3
2
√3 π/6 − 32
√3 7π/6
32 π/3 − 32 4π/3
0 π/2 0 3π/2
− 32 2π/3 32 5π/3
− 32
√3 5π/6 32
√3 11π/6
Cuadro 3: Tabla de r = 3 cos θ.
La gráfica se muestra en la Figura 21. Es un
círculo con centro en
3
2, 0 y radio r =
3
2.
Coordenadas
polares
Figura 21: Gráfica de r = 3 cos θ
Es valioso notar que aunque la tabla contiene 12 entradas, solamente se grafican 6 puntos. La curva es simétrica
con respecto al eje polar, y podríamos haber ahorrado esfuerzos si hubiéramos aprovechado este hecho. Puesto
que cos (−θ) = cos θ para todos los valores de θ, podríamos haber obtenido los puntos en la gráfica para valores
de θ entre 0 y −π sin esfuerzo de cálculo extra.
Coordenadas polares
Para convertir la ecuación dada en una ecuación cartesiana usamos las
ecuaciones x = r cos θ y r2 = x2 + y2. De x = r cos θ tenemos cos θ = x/r, de modo
que la ecuación r = 3 cos θ se convierte en r = 3x/r, lo cual da
3x = r2 = x2 + y2
o bien
x2 − 3x + y2 = 0.
Completando el cuadrado
x2 − 3x +
9
4+ y
2
=
94
o bien
x −
3
2
2
+ y2 =
9
4,
que es la ecuación de una circunferencia con centro en 32, 0 y radio r =
3
2. 2
Coordenadas polares
Reglas de simetría
Cuando se dibujan curvas polares son útiles las siguientes reglas de
simetría. Estas reglas se describen en términos de simetrías con respecto al
eje x y al eje y en coordenadas rectangulares. Esto es, suponiendo que la
parte positiva del eje x coincida con la línea inicial del sistema de
coordenadas polares. Ver Figura 22.
Regla 1 Si la sustitución de (r, −θ) por (r, θ) produce la misma
ecuación, el lugar geométrico es simétrico con respecto al
eje x.
Regla 2 Si la sustitución de (r, π − θ) por (r, θ) produce la misma
ecuación, el lugar geométrico es simétrico con respecto al
eje y.
Regla 3 Si la sustitución de (−r, θ) por (r, θ) produce la misma
ecuación, el lugar geométrico es simétrico con respecto al
eje
polo.
Es fácil ver que si se cumplen dos reglas, cualesquiera que éstas
sean, la restante también se cumplirá.
Ejemplo 21
Estudie la simetría y grafique el lugar geométrico de la
ecuación r = 3 + 2 cos θ.
Coordenadas polares
Figura 22: Reglas de simetría.
Coordenadas polares
Solución. El lugar geométrico es simétrico con respecto al eje x puesto que cos (−θ)
= cos θ por lo que se aplica la Regla 1. Construimos la tabla que se muestra en el
Cuadro 4.
r θ
5 0
3 +
√3 ±π/6
4 ±π/3
3 ±π/2
2 ±2π/3
3 −
√3 ±5π/6
1 ±π
Cuadro 4: Tabla de valores de r = 3 + 2 cos θ.
Usamos solamente los valores de −π a +π, ya que cos (θ + 2π) = cos θ y no se
obtendrían nuevos puntos diferentes con valores más grandes para θ. La
gráfica, llamada limaçon de Pascal, se muestra en la Figura 23. 2
Coordenadas polares
Figura 23: Gráfica de r = 3 + 2 cos θ.
Ejemplo 22
Estudie la simetría y grafique el lugar geométrico de la
ecuación r2 = sen θ.
Coordenadas polares
Solución. Cuando reemplazamos r por −r obtenemos la misma ecuación y, por
consiguiente, por la Regla 3, el lugar geométrico es simétrico con respecto al polo. Si
reemplazamos θ por π − θ vemos que sen (π − θ) = sen θ y por la Regla 2, el lugar
geométrico es simétrico respecto al eje y. Puesto que las reglas 2 y 3 se cumplen,
también se cumple la Regla 1, por lo que la curva es simétrica con respecto al eje x.
Si sen θ es negativo no se tiene un lugar geométrico, por lo que debemos restringir θ
al intervalo 0 ≤ θ ≤ π. Construimos la tabla que se muestra en el Cuadro 5.
r θ
0 0
±
√2/2 π/6
q√3/2
±
π/3
±1 π/2
q√3/2
±
2π/3
±
√2/2 5π/6
0 π
Cuadro 5: Tabla de valores de r2 = sen θ.
Coordenadas polares
La gráfica, que se muestra en la Figura 24, se denomina lemniscata y tiene
la apariencia de un ocho. 2
Figura 24: Gráfica de r2 = sen θ.
Ejemplo 23
Estudie la simetría y grafique el lugar geométrico de la ecuación
r = 2 cos 2θ.
Coordenadas polares
Solución. Cuando reemplazamos θ por −θ obtenemos la misma ecuación y, por consiguiente, por la Regla 1,
tenemos que el lugar geométrico tiene simetría respecto al eje x. Cuando reemplazamos θ por π − θ obtenemos
cos 2 (π − θ) = cos 2π cos 2θ + sen 2π sen 2θ = cos 2θ
y por la Regla 2, el lugar geométrico es simétrico respecto al eje y. Consecuentemente, el lugar
geométrico es simétrico respecto al polo. Construimos la tabla que se muestra en el Cuadro 6.
r θ
2 0
√3 π/12
3 π/6
0 π/4
−1 π/3
−
√3 5π/12
−2 π/2
Cuadro 6: Tabla de valores de r = 2 cos 2θ.
Coordenadas polares
Graficamos los puntos como se muestra en la Figura
25.
Figura 25: Gráfica de una parte de r = 2 cos 2θ.
Coordenadas polares
Ahora, haciendo uso de las simetrías, podemos fácilmente completar la gráfica (Figura 26). Esta curva se
denomina rosa de cuatro pétalos.
Figura 26: Gráfica de r = 2 cos 2θ.
Ecuaciones de la forma
r = a sen n θ, r = a cos n θ,
donde n es un entero positivo, tienen lugares geométricos llamados rosa. El número de pétalos es igual a n si n es
un entero impar y es igual a 2n si n es un entero par. Si n = 1, hay un solo pétalo y es circular.
Coordenadas polares
Sistemas algebraicos de cómputo
Aunque es muy útil saber graficar con lápiz y papel curvas polares simples,
necesitamos saber cómo hacerlo con un sistema algebraico de cómputo,
como SageMath, cuando tengamos la necesidad de graficar curvas polares
complejas.
Ejemplo 24
Utilizando SageMath grafique la ecuación polar
r =sen22.4θ + cos42.4θ.
Solución. Las instrucciones en SageMath para graficar la ecuación polar,
son theta=var(’theta’)
polar_plot(sin(2.4*theta)^2+cos(2.4*theta)^4, (theta, 0, 10*pi)) Usando
estas intrucciones de SageMath, obtenemos la curva polar que se muestra en la
Figura 27. 2
Coordenadas polares
Figura 27: Gráfica de r = sen2 2.4θ + cos4 2.4θ.
Coordenadas polares
Ejemplo 25
Utilizando SageMath grafique la ecuación polar
r = sen21.2θ + cos36θ.
Solución. Las instrucciones en SageMath para graficar la ecuación polar,
son theta=var(’theta’)
polar_plot(sin(1.2*theta)^2+cos(6*theta)^3, (theta, 0, 10*pi)) Usando estas
intrucciones de SageMath, obtenemos la curva polar que se muestra en la Figura
28. 2
Figura 28: Gráfica de r = sen2 1.2θ + cos3 6θ.
Coordenadas polares
Ejemplo 26
Utilizando SageMath grafique la ecuación polar
r = sen θ + sen3(5θ/2) .
Solución. Las instrucciones en SageMath para graficar la misma ecuación polar,
son theta=var(’theta’)
polar_plot(sin(theta)+sin(5*theta/2)^3, (theta, 0, 4*pi)) Usando estas
intrucciones de SageMath, obtenemos la curva polar que se muestra en la Figura
29. 2
Figura 29: Gráfica de r = sen θ + sen3(5θ/2).
Coordenadas polares
Ecuaciones en coordenadas rectangulares y polares
Supongamos que la ecuación de una curva en el sistema de coordenadas
rectangulares está dada por la ecuación y = f(x). Si, simplemente, hacemos
la substitución
x = r cos θ, y = r sen θ,
tenemos la misma ecuación en un sistema de coordenadas polares.
También podemos tener la otra forma, así que si la ecuación de una curva
está dada en coordenadas polares por la ecuación r = g(θ), la substitución
r2 = x2 + y2, θ = arctan
y
x,
transforma la relación en coordenadas rectangulares. En esta
relación es, frecuentemente, más útil hacer las substituciones
px2 + y
2
, cos θ =
x px2 + y
2
, tan θ =
x
y,
sen θ =y
que utilizar la fórmula para θ.
Coordenadas polares
Ejemplo 27
Encuentre la ecuación en coordenadas polares correspondiente al
lugar geométrico de la ecuación en coordenadas rectangulares
x2 + y2 − 3x = 0.
Solución. Substituyendo x = r cos θ, y = r sen θ, obtenemos
r2 − 3r cos θ = 0 o r (r − 3 cos θ) = 0.
Por consiguiente, el lugar geométrico es r = 0 o r = 3 cos θ. Debido a que
el polo es parte del lugar geométrico de r = 3 cos θ (ya que r = 0 cuando θ
= π/2), el resultado es
r = 3 cos θ.
Reconocemos este lugar geométrico como el círculo del Ejemplo 20.
Coordenadas polares
Ejemplo 28
Dada la ecuación en coordenadas polares
r =1
1 − cos θ,
encontrar la ecuación correspondiente en coordenadas rectangulares.
Solución. Escribimos
r − r cos θ = 1 o r = 1 + r cos θ.
Substituyendo r y cos θ, obtenemos
±
px2 + y2 = 1 + x.
Elevando ambos lados al cuadrado (una operación muy peligrosa, puesto que
puede introducir soluciones extrañas), obtenemos
x2 + y2 = 1 + 2x + x2o y2 = 2x + 1.
Cuando elevamos al cuadrado en ambos lados introducimos el lugar geométrico
extraño r = − (1 + r cos θ). Pero el lugar geométrico r = − (1 + r cos θ) es el mismo
que r = (1 + r cos θ), lo cual se puede probar si se grafica ambos lugares geométricos
(se obtiene la misma parábola). Por consiguiente, el resultado correcto es y2 = 2x + 1.
Coordenadas polares
Cálculo en coordenadas polares
Derivadas en coordenadas polares
Si r es una función de θ, r = f(θ), entonces las ecuaciones en
coordenadas rectangulares,
x = r cos θ, y = r sen θ,
pueden considerarse como las ecuaciones paramétricas de una curva con θ
como el parámetro cuando sustituimos por r su función de θ. Entonces
tenemos
x = f(θ) cos θ, y = f(θ) sen θ.
Derivando, encontramos
dθ = f
0
(θ) cos θ − f(θ) sen θ,
dy
dθ = f
0(θ) sen θ + f(θ) cos θ.
dx
La pendiente es
dx =dy/dθ
dy
dx/dθ .
Coordenadas polares
Tangentes a curvas polares
Suponga que la curva r = f(θ) tiene la apariencia que se muestra en la
Figura 30. En el punto P se observa la recta tangente, y reconocemos que
la pendiente de esta recta es tan φ. En coordenadas polares la pendiente
no es particularmente conveniente, pero el ángulo ψ entre la tangente y la
línea que pasa por P y el polo es más útil. Como se ve en la Figura 30, ψ y
φ tienen la relación simple
ψ = φ − θ,
y así
tan ψ = tan (φ − θ)
=tan φ − tan θ
1 + tan φ tan θ.
Sabemos que
dx/dθ =f
0(θ) sen θ + f(θ) cos θ
dx =dy/dθ
tan φ =dy
f0(θ) cos θ − f(θ) sen θ.
Coordenadas polares
Figura 30: Derivada de y = f(θ).
Coordenadas polares
Es un buen ejercicio algebraico sustituir la expresión de tan φ en la fórmula para tan
ψ y obtener la relación simple
tan ψ =f(θ)
f0(θ).
También podemos escribir
cot ψ =f
0(θ)
f(θ)=
1
r
dr
dθ, r 6= 0.
La significancia de la derivada en coordenadas polares es ahora más clara. La
derivada en un punto P está relacionada con el ángulo que la línea tangente forma
con la línea que pasa por P y el polo, de acuerdo a la fórmula para cot ψ.
Ejemplo 29
Dada la curva r = 3e2θ, encontrar cot ψ en cualquier punto y dibuje la curva.
Solución. Tenemos
cot ψ =
1
r
dr
dθ=1
3e
2θ
· 3 · 2e2θ = 2.
En otras palabras, el ángulo que la tangente forma con la línea que va del polo al
punto de tangencia es siempre la misma. La curva, denominada espiral logarítmica,
se muestra en la Figura 31.
Coordenadas polares
Figura 31: Gráfica de r = 3e2θ.
Coordenadas polares
Longitud de arco
Para obtener una fórmula para la longitud de arco en coordenadas polares de la curva r = f(θ), a ≤ θ ≤ b,
consideramos θ como un parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas
x = r cos θ = f(θ) cos θ, y = r sen θ = f(θ) sen θ.
Derivando con respecto a θ obtenemos
dθ=dr
dθcos θ − r sen θ,dy
dx
Utilizando la identidad sen2 θ + cos2 θ = 1,
tenemos
dθ=dr
dθsen θ + r cos θ.
dx dθ
2
+
dy dθ
2
=
+
dr
dθ
dr dθ
2 2
cos2θ − 2rdr
dθsen θ cos
θ + r2sen2θ
sen2θ + 2rdr
dθsen θ cos
θ + r2cos2θ
o dx dθ
2
+
dy dθ
2
=
dr dθ
2
+ r2.
Suponiendo que f0(θ) es continua, podemos utilizar la expresión
2
dθ para definir
la longitud de
arco.
L = Z b a
s dx dθ
2
+
dy dθ
Así, la longitud de una curva con ecuación polar r = f(θ), a ≤ θ ≤ b, es
L =
Z b a s
r2 +
dr dθ 2dθ.
Coordenadas polares
Ejemplo 30
Encuentre la longitud de la curva r = 3e2θ desde θ = 0
hasta θ = π/6.
Solución. Tenemos dr/dθ = 6e2θ, y así
L =
Z π/6 0
p
9e4θ +
36e4θdθ =
3
√
5Z π/6 0
e2θdθ =h
3
2
√5e
2θ
i
π/6 0.
Por tanto,
L =32
√
5
heπ/3 − 1
i≈ 6.2
2
Coordenadas polares
Areas en coordenadas polares
Para el desarrollar la definición de áreas encerradas por curvas dadas en
coordenadas polares se necesitan dos conceptos. El primero, la idea de
límite de una suma y el segundo, la fórmula del área de un sector circular.
Recordamos que el área de un sector circular de radio r con ángulo θ
(medido en radianes) es, (Figura 32)
A =
1
2θr
2.
Figura 32: Area de un sector circular.
Coordenadas polares
Supóngase que r = f(θ) es una función continua y positiva definida para
todos los valores de θ entre θ = a y θ = b, con 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π. Construimos
los rayos θ = a y θ = b, y formulamos el problema de determinar el área de
la región R acotada por estos rayos y la curva con ecuación r = f(θ) (Figura
33).
Figura 33: Area de R.
Coordenadas polares
Dividimos el intervalo cerrado [a, b] en subintervalos con puntos extremos
θ0, θ1, θ2, . . . , θn e igual ancho ∆θ. Entonces los rayos θ = θi dividen la
región R en n pequeñas regiones con ángulo central ∆θ = θi − θi−1. Si
elegimos θ∗i en el i-ésimo subintervalo [θi−1, θi], entonces el área ∆Ai de la
i-ésima región se puede aproximar con el área del sector circular con ángulo
central ∆θ y radio f(θ∗i ) (Figura 34).
Figura 34: Subdivisión de R.
Coordenadas polares
Utilizando la fórmula de un sector circular, tenemos
∆Ai ≈
1
2 f(θ
∗
i)
2
∆θ
y por tanto una aproximación al área A de R es
A ≈X
n i=1
1
2 f(θ
∗
i)
2
∆θ.
Esta aproximación puede mejorarse cuando n → ∞. Como la sumatoria es una suma de Riemann,
tenemos
l´ım n→∞X
n i=1 1
2 f(θ
∗
i)
2
∆θ =Z b a
1
2[f(θ)]
2dθ.
Por tanto, parece plausible que el área dela región R es
A =
Usualmente, la fórmula para el área
se escribe
Z b a
1
2[f(θ)]
2dθ. (6)
Z b
1
2r
2dθ (7)
A =
a
donde r = f(θ).
Cuando apliquemos las Fórmulas 6 o 7 es de gran ayuda pensar que la región, cuya área se desea
determinar, es barrida por un rayo que pasa por O y que gira comenzando desde el ángulo θ = a y termina
en el ángulo θ = b.
Coordenadas polares
Ejemplo 31
Encuentre el área de la región encerrada por un pétalo de la rosa de
cuatro pétalos r = cos 2θ.
Solución. La gráfica de la curva r = cos 2θ se muestra en la Figura 35.
Observe en la Figura 35 que la región encerrada por el pétalo derecho es
barrida por un rayo que gira desde θ = −π/4 hasta θ = π/4. Por consiguiente,
la Fórmula 7 da
A =
Z π/4 −π/4
2r2dθ =12
1
Z π/4 −π/4
cos22θ
dθ
=
Z π/4 0
cos22θ
dθ =
Z π/4 0
1
2(1 + cos
4θ) dθ
=12 θ +14sen 4θ π/4
0=
π
8. 2
Coordenadas polares
Figura 35: Gráfica de r = cos 2θ.