Lógica Proposicional e Cuantificadores

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Lógica Proposicional 2 
2022 
Implicaciones Lógicas más comunes 
Modus tollens 
Modus ponens 
Esquemas proposicionales en una 
indeterminada 
• En Álgebra y Aritmética suele decirse que la 
siguiente expresión: x + 2 = 5 es una ecuación. 
Tal expresión no es una proposición, pues no 
tiene sentido afirmar que sea verdadera o 
falsa, pero existe algún reemplazo de x por un 
número de modo tal que se transforma en una 
proposición. Por ejemplo, si x= 7 + 2 = 5, la 
cual en este caso es Falsa 
Esquema Proposicional 
• Definición: Se llama esquema proposicional en la 
indeterminada x a toda expresión que contiene a x, y 
posee la siguiente propiedad: “Existe por lo menos un 
nombre tal que la expresión obtenida sustituyendo la 
indeterminada por dicho nombre, es una proposición“. 
Ejemplos 1. “x es blanca” es esquema pues existe una 
constante “esta flor” que en lugar de la variable x produce la 
siguiente proposición: Esta flor es blanca. 
Convención: Llamaremos simplemente esquema en lugar de 
“esquema proposicional”. Las indeterminadas suelen 
llamarse variables o incógnitas. 
Que esta proposición sea Verdadera o Falsa dependerá de 
cual sea la flor particular que se está señalando. 
Vamos a utilizar símbolos tales como P(x), Q (x), 
para designar esquemas de incógnita x 
DEFINICIÓN Si P(x) es un esquema en x y a es una constante, se 
llama valor de P(x) en la constante a a la expresión obtenida de 
P(x) sustituyendo x por a. El valor de P(x) para a se designa P(a). 
Ejemplo 
P(x): x no es un objeto y a es “esta casa” 
P(a): “Esta casa no es un objeto” 
Vamos a definir al conjunto de valores de verdad de P, lo 
simbolizamos con V(P), al conjunto formado por todas las 
constantes a que hacen verdadera la proposición P(a). 
Proposición Abierta 
Una proposición abierta P(x) es un enunciado sobre una 
variable x que se convierte en una proposición cada vez que a 
la variable x se sustituye por un valor particular x0 
Ejemplo1: 032:)( xxP
Es una proposición abierta. Se convierte 
en proposición para cada número 
definido x0. En particular P(0) es cierta 
mientras que P(2) es falsa 
Ejemplo 2 0:)( 2 xxA Si suponemos que x toma valores 
reales, claramente A(x0) es falsa para 
todo x distinto de cero, mientras que 
A(0) es verdadera 
Cuantificadores Lógicos 
Frecuentemente las proposiciones abiertas se utilizan con ciertas 
expresiones llamadas Cuantificadores, con los cuales se determina 
el valor de verdad de la proposición resultante. Los siguientes 
serán los cuantificadores que usaremos. 
1. Cuantificador Universal, para todo x, representado 
simbólicamente por 
 x
“Para todo x se verifica p(x)” 
 “Para cualquier x tal que se cumple p(x)” 
“Para cada x se satisface p(x)” 
son proposiciones que se escriben como “(∀x)(p(x)) ” 
Cuantificadores 
2. Cuantificador existencial, para algún x, representado 
simbólicamente por 
“Para algún x se verifica p(x)” 
 “Existe x tal que se cumple p(x)” 
 “Para al menos un x se satisface p(x)” 
son proposiciones que se escriben como “(∃x)(p(x)) ” 
 
3. Cuantificador de existencia y unicidad, existe un único 
x, representado simbólicamente por 
• Observación 1: la frase ¨para cada x¨ se usa en el 
mismo sentido que la frase ¨para todo x¨ 
• Observación 2: Si una propiedad es compartida por 
todos los elementos de un conjunto C, escribimos: 
¨Todo x en C tiene la propiedad P¨, simbólicamente 
x
 x! 
)(, xPCx
¨Algún x en C tiene la propiedad P¨, simbólicamente, 
Ejemplo 1: )0( 2  xx Es una proposición verdadera 
Ejemplo 2: Para todo x existe algún y tal que x+y =0, simbólicamente 
)0)()((  yxyx
Esta proposición es verdadera, ya que dado x es arbitrario y=-x 
Observación 1: la negación de la proposición ¨Todo x en C tiene la propiedad P¨, 
simbólicamente 
))(,( xPCx
Es ´existe algún x en C que no tiene propiedad P¨, simbólicamente 
)(, xPCx 
Observación 2: la negación de la proposición ¨existe x en C tiene la propiedad P¨, 
simbólicamente 
))(,( xPCx
Es ¨para todo x en C, x que no tiene la propiedad P¨, simbólicamente 
)(, xPCx 
Todos los hombres son mortales . Su negación es Algún hombre es inmortal 
)(, xPCx
Analiza cuidadosamente el siguiente ejercicio: Escribe en forma 
simbólica las siguientes proposiciones y decide el valor de 
verdad de las mismas. 
r : “Cualquier número satisface x2 - x ≥ 0 o no es 
mayor que 2” 
Observa que en “r” hace falta el conjunto universal … 
¿Qué ocurre si U está formado por los números reales? 
¿Y si a U lo forman los enteros? 
Ejemplo 
p: “Todo número real mayor que 2 tiene un cuadrado mayor 
que él mismo.” 
𝑝: ∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 2 → 𝑥2 > 𝑥 
q: “Algunos números reales con cuadrado mayor que 4 son 
menores que 2.” 𝑞: ∃𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥2 > 4 → 𝑥 < 2 
𝑟: ∀𝑥, 𝑥2 − 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 ≤ 2 
 Ejemplo Cuantificadores 
Alcance de un operador 
Sea el siguiente ejemplo: (∃x) x es verde ∧ x es rojo (*) 
Vemos que el operador existencial se refiere únicamente al 
esquema x es verde y NO a x es rojo, o sea que el alcance del 
operador llega únicamente al primer esquema, si quisiéramos 
que alcance a los dos esquemas, tendríamos que poner 
(∃𝑥) : (∃x es verde ∧ x es rojo ) o sea usaríamos paréntesis. 
Del ejemplo precedente podemos deducir que: La expresión “x es verde “es el 
esquema más simple que aparece en (*) inmediatamente después del operador. 
La expresión “x es verde ∧ x es rojo“, también es un esquema pero no es el más simple. 
La expresión x es rojo es un esquema también simple pero no aparece después del 
operador 
Definición: Se llama alcance de un operador en x al esquema 
más simple que aparece inmediatamente después del operador, 
salvo que se presenten paréntesis, en cuyo caso deben aplicarse 
las reglas habituales referentes al uso de paréntesis 
Ejemplo cuantificadores 
Negación de operadores 
Sea la siguiente proposición: 
• (∀n)(n es un número primo), la cuál sabemos 
es Falsa. 
• Vamos ahora a negarla ¬(∀n)(n es un número 
primo) 
En lenguaje corriente esto nos dice que no todos 
los números son primos con lo cual su sinónima 
será algunos números no son primos, y 
simbólicamente 
• (∃n)(n no es un número primo) 
cuantificadores 
• De lo anterior se puede deducir que son 
expresiones sinónimas 
De igual manera se obtiene: 
Por lo tanto, en palabras decimos que: 
La negación de un cuantificador universal (existencial, 
respectivamente) es equivalente a la afirmación de un 
cuantificador existencial (universal) cuyo alcance es la 
negación del alcance del primero. 
Equivalencia lógica para proposiciones cuantificadas de 
una variable 
Circuitos Lógicos 
circuitos 
Ejemplo 
circuitos 
simplificación 
Simplificamos aplicando las equivalencias lógicas 
De Morgan y absorción 
Tercero excluido 
Con esta identidad lógica podemos realizar nuestro circuito lógico, como 
podemos ver, la disyunción exclusiva se puede expresar como una disyunción 
inclusiva. Nuestro circuito sería: 
equivalente 
¿Cuál es el circuito equivalente? 
De Morgan y idem potencia 
Regla de la implicación 
𝑝∆𝑞 ≡ (𝑝 ∧∼ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧∼ 𝑝) 
 Simplificaciones 
Formule y Simplifique el siguiente circuito 
Simplificaciones 
↔ 𝑝 ∨ 𝐶 ∨ ∼ (∼ 𝑡 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ∼ 𝑝 ∧ 𝑝 ↔ 𝐶 
C es neutro para V 
Simplificaciones