Lógica Proposicional 3

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Lógica Proposicional 3: LOGICA FUNCIONAL 
1. Cuantificadores 
Consideremos la siguiente frase: “x es un número par”. Claramente esta frase no es 
proposición; es una fórmula proposicional y la denotamos por p(x):“x es un número 
par”. ¿Cómo transformar una fórmula proposicional (FP) a proposición?. 
1. Reemplazando “x” por un elemento determinado de un conjunto especifico D, 
llamado Dominio de la variable x. Así, si para esta FP, D es el conjunto cuyos 
elementos son 1,2,3,4, entonces: p(1) : 1 es un número par, es una proposición, ya 
que p(1) es falso. p(2) : 2 es un número par, es una proposición, ya que p(2) es 
verdadero. 
2. Anteponiendo a la FP un símbolo que responde a la pregunta ¿cuántos elementos 
de D verifican p(x)?. Estos símbolos, llamados Cuantificadores, son: 
∀ : significa “todos”. 
∃ : significa “algunos”. adicionalmente tenemos 
 ∃! : significa “un único”. 
Ejemplo 1. 
1. ∀x de D : p(x) se lee:“ todos los elementos de D son números pares” y, claramente 
es una proposición, ya que es falsa. 
2. ∃x de D : p(x) se lee: “algún elemento de D es un número par”, es una proposición, 
ya que es verdadera. 
3. ∃!x de D : p(x) se lee: “un único elemento de D es un número par”, claramente es 
una proposición, ya que es falsa 
Observación. Adelantándonos, escribiremos: ∀x ∈ D : p(x) en lugar de ∀x de D : p(x). 
2. 
Las definiciones, tanto en Matemática como en otras Ciencias que usan la 
Matemática, definen sus conceptos y declaran sus proposiciones usando, en 
particular, los cuantificadores. Necesitamos conocer las leyes que regulan la 
cuantificación. 
Leyes de la Cuantificación 
Se cumple 
 1. ∼ [∀x ∈ D : p(x)] ⇔∃x ∈ D :∼ p(x). 
2. ∼ [∃x ∈ D : p(x)] ⇔∀x ∈ D :∼ p(x). 
Demostración. 
1. Si ∼ [∀x ∈ D : P(x)] es V entonces ∀x ∈ D : p(x) es F, luego ∃x ∈ D :∼ p(x) es V . 
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 Si ∼ [∀x ∈ D : P(x)] es F entonces ∀x ∈ D : p(x) es V de donde ∃x ∈ D :∼ p(x) 
es F. Por lo anterior concluimos que ∼ [∀x ∈ D : p(x)] ⇔∃x ∈ D :∼ p(x) es 
tautología. 
2. Si ∼ [∃x ∈ D : P(x)] es V ⇒∃x ∈ D : p(x) es F ⇒∀x ∈ D :∼ p(x) es V . Si ∼ [∃x ∈ D : 
P(x)] es F ⇒∃x ∈ D : p(x) es V ⇒∀x ∈ D :∼ p(x) es F. Así entonces: ∼ [∃x ∈ D : 
p(x)] ⇔∀x ∈ D :∼ p(x) es una tautología. 
¿Qué es un circuito lógico? 
Los circuitos lógicos por lo general sirven únicamente como una ayuda auxiliar 
necesaria para lograr un mejor entendimiento de los caracteres simbólicos no gráficos. 
Este tipo de representaciones gráficas son usados en informática y son llamados 
generalmente como circuitos digitales, este nombre radica del concepto de dígito, en 
especial con dos dígitos, esto son, los valores de “0” y “1”. Estos dos únicos valores se 
les conoce como forma binaria y significan: 
 “0” voltaje bajo “low”, que significa falso con símbolo F 
 “1” voltaje alto “high”, que significa verdadero V 
Los valores de únicos 0 y 1 son los únicos dígitos binarios conocidos como bit, un bit 
es como una moneda con una cara y una cruz, verdadero o falso, arriba o abajo, etc. 
Pero para nuestro caso, su representación gráfica de los valores de verdad de una 
proposición p, sería: 
 
Definición 
En definitiva los circuitos lógicos con interruptores no son más que un arreglo de un 
conjunto de interruptores de compuertas abiertas y cerradas que tiene como finalidad 
transmitir información de manera conveniente, es decir, también se pueden negar el 
paso de la información restringiendo ciertas rutas dirigiendo la información bajo 
nuestro juicio. 
Para el caso del circuito 1, le indica que la proposición es verdadera V(p)=V, en 
electrónica, significa que la corriente pasa con total normalidad y para el circuito 2, la 
proposición es falsa V(p)=F , en este caso, significa que la corriente no pasa 
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En los gráficos de los circuitos 1 y 2 representan los dos únicos valores de verdad de 
la proposición p: 
 
Con estas representaciones logramos una correspondencia entre circuito y 
proposiciones, para ser más exactos, con los interruptores del circuito. 
Gracias a estas representaciones, podemos diseñar una representación gráfica de las 
proposiciones moleculares con todos los conectivos lógicos que estudiamos en 
secciones anteriores. Para lograrlo, debemos de establecer dos tipos de conexiones, 
esto son, los circuitos en serie y en paralelo. 
Circuitos en serie (la conjunción) 
Un circuito en serie de dos proposiciones p y q se puede representar así: 
Esto es, un circuito en serie donde las proposiciones representan los interruptores, 
para ser más exactos, representan tan solo a los valores de verdad de las 
proposiciones p y q. 
Este este circuito significa que la información pasa por el circuito a través de los 
interruptores, en este caso, se dice que él los valores de verdad de p y q son 
verdaderas cuando la información pasa entre las dos. 
 
Este es un circuito en serie donde la información está cruzando con normalidad 
cuando los interruptores están cerrados. Para el resto de las combinaciones, tenemos: 
Si tenemos circuitos donde tanto uno o dos interruptores se encuentran abiertas, 
indica que la información no cruza de extremo a extremo, decimos entonces que es 
falso que la información pasa por cualquiera de la combinación de estos circuitos. 
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Todas estas posibles combinaciones circuitos cerrados y abiertos en serie representan 
a la tabla de verdad de la conjunción, aquí un recuadro donde vemos todas sus 
combinaciones: 
 
Por tanto, un circuito lógico en serie de dos interruptores es la representación gráfica 
de una conjunción de dos proposiciones, cada proposición le corresponde un 
interruptor. 
Circuitos en Paralelo (la disyunción) 
Un circuito en paralelo de dos proposiciones p y q se puede representar así: 
Esto es un circuito en paralelo donde las proposiciones p y q se encuentran e paralelo, 
en este caso, la información puede pasar por el interruptor p o por el interruptor q. 
Esto indica que es suficiente que uno de estos interruptores esté cerrado para 
confirmar que la información pase de extremo a extremo. 
 
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Estos circuitos con interruptores en paralelo indica significa que estamos tratando con 
una proposición disyuntiva inclusiva para las proposiciones p y q. Para el resto de las 
combinaciones posibles de la disyunción inclusiva, tenemos: 
Por tanto, un circuito en paralelo de dos interruptores representa gráficamente a dos 
proposiciones donde cada proposición le corresponde un interruptor. 
La tabla de verdad de todas estas posibilidades de la disyunción inclusiva es la 
siguiente. 
 
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Tenga en cuenta que un circuito lógico con interruptores solo muestra una de las 
posibles combinaciones de la tabla de verdad de un esquema molecular. 
Para el caso de la negación, donde suponemos que la proposición p es verdadera, 
sería: 
 
Si la proposición p es falsa, su negación sería. 
 
 
 
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Representación general de las proposiciones con circuitos lógicos 
Pero existe una forma de representar un esquema molecular por circuitos eléctricos 
omitiendo los valores de verdad de estas. En esta tabla mostramos la representación 
gráfica de la proposición p. 
 
Un circuito lógico sin interruptores representa a una proposición cualquiera, en este 
caso, la proposición p , estos circuitos puede representar cualquier esquema molecular 
donde podemos reducirlo en una combinación de esquemas moleculares de 
proposiciones disyuntivas y/o conjuntivas. 
Para el caso de una proposición conjuntiva p∧q: 
 
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Para el caso de una proposición disyuntiva p∨q: 
 
Para el caso de la negación, simplemente lo representamos así: 
 
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Los circuitos lógicos de la conjunción, disyunción y negación son suficiente para 
representar a la condicional materialy bicondicional material y cualquier esquema 
molecular que intentemos desarrollar. 
Circuito lógico de la condicional 
Para representar el circuito lógico de la condicional, basta con usar una ley lógica: 
p→q≡∼p∨q 
Este sería un circuito en paralelo con la proposición p negada: 
 
Esto nos ayudará a representar el siguiente conectivo lógico. 
Circuito lógico de la bicondicional 
El circuito lógico de la bicondicional con ayuda del la siguiente ley lógica: 
p↔q≡(p→q)∧(q→p) 
Este circuito es igual a la conjunción y se puede representar así: 
 
Pero como (p→q) y q→p se pueden representar de la siguiente manera: 
 
 
 
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Por tanto, nuestro circuito lógico de la bicondicional sería: 
 
Circuito lógico de la disyunción exclusiva 
En la sección de leyes lógicas no hemos mencionado ninguna ley específica para la 
disyunción exclusiva porque usualmente es la que menos se toma en cuenta y la que 
menos se usa tanto en la teoría como en los ejercicios de lógica. 
Pero también se puede representar con circuitos lógicos, para lograrlo, tenemos que 
reducirlo bajo la posibles combinaciones de la disyunción inclusiva, la conjunción y la 
negación. 
Comencemos haciendo la siguiente comparación: 
Tabla de verdad de la disyunción exclusiva. 
 
Tabla de verdad de la bicondicional lógica. 
 
Como se habrán dado cuenta, la disyunción exclusiva y la bicondicional son 
proposiciones opuestas, por tanto, podemos escribir esta disyunción así: 
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p△q≡∼(p↔q) 
Donde p↔q≡(p→q)∧(q→p) 
, tenemos: 
p△q≡∼[(p→q)∧(q→p)]≡∼(p→q)∨∼(q→p) 
Pero: p→q≡∼p∨q 
 y q→p≡∼q∨p 
, reemplazando: 
p△q≡∼(∼p∨q)∨∼(∼q∨p) 
p△q≡(p∧∼q)∨(q) 
Con esta identidad lógica podemos realizar nuestro circuito lógico, como podemos ver, 
la disyunción exclusiva se puede expresar como una disyunción inclusiva. Nuestro 
circuito sería: 
 
Pero los esquemas p∧∼q y q∧∼p representan a circuitos en serie, por tanto, la forma 
final del circuito de la disyunción exclusiva es: 
 
Y este sería la representación final del circuito lógico de la disyunción exclusiva. 
Pero quiero aclarar un punto interesante cuando expresamos los esquemas 
moleculares en esta forma gráfica, existen otras maneras de representar a las 
proposiciones, hemos visto dos de ellas, una es la habitual, con variables 
proposicionales y con los diferentes símbolos de los conectivos lógicos, la otra forma 
sería por medio de las llamados circuitos lógicos.