docsity-calculo-vectorial-curvas-planas-ecuaciones-parametricas-y-coordenadas-polares

Vista previa del material en texto

CALCULO VECTORIAL Curvas
planas, ecuaciones
parametricas y coordenadas
polares
Cálculo Avanzado
Instituto Tecnológico de Morelia
11 pag.
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
Cálculo Vectorial
Instituto Tecnológico de Morelia.
Enero-Junio 2020.
Tarea 2 : Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.
Relación entre coordenadas polares y cartesianas.
Conversión de coordenadas polares en cartesianas. Nota de la figura que
x = r cosθ y y = r sinθ. (1)
Estas ecuaciones nos permiten encontrar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen las
coordenadas polares.
Ejemplo. (Ejercicio 11) Determina las coordenadas cartesianas del punto (2,−
2π
3
).
Solución. En este caso r = 2 y θ = −
2π
3
y debemos sustituir en (1) para encontrar las coordenadas
cartesianas x y y.
Para la coordenada x
x = 2cos
(
−
2π
3
)
x = 2
(
−
1
2
)
←− ćırculo unitario
x =−1
1
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
Para la coordenada y
y = 2sin
(
−
2π
3
)
y = 2
(
−
√
3
2
)
←− ćırculo unitario
y =−
√
3
Entonces (−1,−
√
3) son las coordenadas cartesianas de (2,−
2π
3
). �
Conversión de coordenadas rectangulares en polares. Similarmente, de la figura se tiene
r2 = x2 +y2 y tanθ =
y
x
. (2)
Estas ecuaciones permiten encontrar las coordenadas polares de un punto conociendo las coordenadas
cartesianas.
Ejemplo. (Ejercicio 12) Encontrar dos coordenadas polares del punto (2,−2) una con r > 0, 0≤ θ < 2π
y otra con r < 0, 0≤ θ < 2π
Solución. Caso r > 0. Sustituyendo x = 2 y y =−2 en las ecuaciones (2) se tiene para r
r2 = 22 +(−22)
r2 = 8
r = 2
√
2 ←− escogemos la solución positiva de
√
8 (r > 0)
Para θ,
tanθ =
−2
2
=−1
θ =−
π
4
sumamos 2π (caemos en el mismo lugar) para que se cumpla la condición 0≤ θ < 2π
θ =−
π
4
+2π =
7π
4
Por lo tanto las coordenadas polares son
(
2
√
2,
7π
4
)
.
Caso r < 0. Escogemos r =−2
√
2 (la solución negativa de
√
8) y el ángulo es entonces θ = π−
π
4
=
3π
4
y
las coordenadas son (−2
√
2,
3π
4
) (observa la figura).
2
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
�
Ecuaciones polares y ecuaciones cartesianas con la misma gráfica.
Ejemplo. (Ejercicio 14) Encuentre una ecuación polar para la curva representada por las ecuaciones
cartesianas x2 +y2 +x =
√
x2 +y2.
Solución. Debemos encontrar una ecuación polar r = f(θ) cuya gráfica sea la misma que la ecuación
cartesiana dada. Usando las ecuaciones (1) y (2) tenemos
x2 +y2
︸ ︷︷ ︸
r2
+ x
︸︷︷︸
r cosθ
=
√
x2 +y2
︸ ︷︷ ︸
r
r2 + r cosθ = r
r +cosθ = 1 ←− dividiendo por r
r = 1− cosθ. ←− r = 1− cosθ
Grafica para comprobar que las ecuaciones x2 +y2 +x =
√
x2 +y2 y r = 1−cosθ tienen la misma gráfica. �
Ejemplo. (Ejercicio 15) Encontrar una ecuación cartesiana que tenga la misma gráfica que la curva
r =
5
3cosθ +8sinθ
Solución. Ahora nos piden una ecuación cartesiana (es decir en términos de x y y) con la misma gráfica
que la curva polar r. Usando las ecuaciones (1) tenemos
r =
5
3cosθ +8sinθ
r(3cosθ +8sinθ) = 5
r(3
x
r
+8
y
r
) = 5
3x+8y = 5
y =
5
8
−
3
8
x ←− ecuación de una recta
3
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
Grafica para comprobar que las ecuaciones r =
5
3cosθ +8sinθ
y 3x+8y = 5 tienen la misma gráfica. �
Cálculo en coordenadas polares.
Para obtener la derivada de una curva polar r = f(θ) primero debemos obtener las ecuaciones paramétricas
de dicha curva.
Como x = r cosθ (ver la ecuación (1)) sustituimos r = f(θ) en x = r cosθ para obtener x = f(θ)cosθ y si
hacemos lo mismo para y obtenemos las ecuaciones paramétricas de la curva
{
x = f(θ)cosθ
y = f(θ)sinθ
(3)
La derivada de r = f(θ) será entonces la derivada de las ecuaciones paramétricas (3).
Teorema 1. [Pendiente de una curva polar] Sea r = f(θ) una curva polar. La pendiente de la curva,
o equivalentemente, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (r,θ) está dada por
dy
dx
=
dy/dθ
dx/dθ
=
f(θ)cosθ +f
′
(θ)sinθ
−f(θ)sinθ +f ′(θ)cosθ
Ejemplo. (Ejercicio 16) Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva r = 1− cosθ cuando
θ =
3
4
π.
Solución. La pendiente de la tangente se obtiene con la derivada de la curva.
Obtenemos primero las ecuaciones paramétricas de la curva, recuerda que x = r cosθ, y = r sinθ y en este
caso particular r = 1− cosθ. Por lo tanto
{
x = (1− cosθ)cosθ
y = (1− cosθ)sinθ
(4)
Ahora derivamos a la curva paramétrica (como lo vimos en clase)
m =
dy
dx
=
dy/dθ
dx/dθ
=
(1− cosθ)cosθ +sin2 θ
−(1− cosθ)sinθ +sinθ cosθ
=
cosθ− cos2 θ +sin2 θ
−1+2sinθ cosθ
.
Finalemente sustituimos θ =
3
4
π,
m(
3
4
π) =
cos
3
4
π− cos2
3
4
π +sin2
3
4
π
−1+2sin
3
4
π cos
3
4
π
=
√
2
4
�
Ejemplo. (Ejercicio 17) Determine los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) a la curva
polar r = 2+2cosθ.
Solución. Primero encontramos las ecuaciones paramétricas de la curva
{
x = (2+2cosθ)cosθ
y = (2+2cosθ)sinθ
(5)
4
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
La derivada de la curva es
m =
dy
dx
=
dy/dθ
dx/dθ
=
(2+2cosθ)cosθ−2sin2 θ
−2sinθ−4sinθ cosθ
Tangentes horizontales. Las tangentes horizontales ocurren cuando m = 0, es decir cuando el numerador
es igual a cero:
(2+2cosθ)cosθ−2sin2 θ = 0 ←− Iguala a 0 el numerador
2cosθ +2cos2 θ−2(1− cos2 θ) = 0 ←− sustituye sin2 θ = 1− cos2 θ
2cosθ +2cos2 θ−2+2cos2 θ = 0
2cosθ +4cos2 θ−2 = 0 ←− se divide por 2
2cos2 θ +cosθ−1 = 0 ←− factorizar
(2cosθ−1)(cosθ +1) = 0 ←−cosθ =
1
2
y cosθ =−1
La curva se traza de 0 a 2π aśı que
cosθ =
1
2
−→ θ =
π
3
,
5π
3
y cosθ =−1−→ θ =✚❩π
Tangentes verticales. Las tangentes verticales ocurren cuando m =∞, es decir cuando el denominador es
igual a cero:
−2sinθ−4sinθ cosθ = 0
−2sinθ(1+2cosθ) = 0 ←− sinθ = 0 y cosθ =−
1
2
sinθ = 0−→ θ = 0,✚❩π y cosθ =−
1
2
−→ θ =
2π
3
,
4π
3
Tangencia horizontal
θ =
π
3
−→ (
3
2
,
3
√
3
2
)
θ =
5π
3
−→ (
3
2
,−
3
√
3
2
)
Tangencia vertical
θ = 0−→ (4,0)
θ =
2π
3
−→ (−
1
2
,
√
3
2
)
θ =
4π
3
−→ (−
1
2
,−
√
3
2
)
Observa θ = π se repite, por lo que lo cancelamos, no se debe considerar.
Grafica para comprobar los resultados.
5
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
Área en coordenadas polares.
Teorema 2. [Área de una región polar] Si r = f(θ) es una función continua y no negativa en el
intervalo [α,β], entonces el área acotada por la gráfica de r = f(θ) y los rayos θ = α y θ = β se calcula
con la integral
A =
1
2
∫ β
α
r2dθ =
1
2
∫ β
α
(f(θ))2dθ (6)
Si por ejemplo, la región está acotada por dos gráficas r0 = f(θ) y r1 = f(θ) con r0 ≥ r1 (la región verde
de la siguiente figura), entonces el área de la región se obtiene restando el área de la región acotada por
r1 y los rayos θ = α y θ = β del área de la región acotada por r0 y los rayos θ = α y θ = β, por lo cual
A =
1
2
∫ β
α
r20dθ−
1
2
∫ β
α
r21dθ =
1
2
∫ β
α
(
r20− r
2
1
)
dθ (7)
Ejemplo. (Ejercicio 18) Hallar el área del bucle interno de r = 2+4cosθ.
Solución. Primero graficamos la curva para identificar la región (el bucle interno es la región sombreada).
6
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres(rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
Podemos usar un graficador para determinar los ĺımites de integración, es decir los valores de θ que generan
el bucle interior. En esta animación de Geogebra puedes identificar los valores de θ que generan esa parte
de la curva.
Sin embargo podemos resolver esto de forma anaĺıtica notando que, sea cual sea la orientación de la curva,
cuando el bucle interno comienza a formarse se tiene r = 0 y cuando el bucle termina de formarse r = 0.
Usando esto
r = 0
2+4cosθ = 0
4cosθ =−2
cosθ =−
1
2
Según el circulo unitario cosθ =−
1
2
cuando θ =
2π
3
y θ =
4π
3
.
Entonces usando la fórmula (6)
7
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.geogebra.org/classic/nzqdwyub
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
A =
1
2
4π/3∫
2π/3
(2+4cosθ)2dθ
=
1
2
4π/3∫
2π/3
(4+16cosθ +16cos2 θ)dθ
=
1
2
4π/3∫
2π/3
(
4+16cosθ +16(
1
2
+
1
2
cos2θ)
)
dθ
=
1
2
4π/3∫
2π/3
(
12+16cosθ +8cos2θ
)
dθ
=
4π/3∫
2π/3
(
6+8cosθ +4cos2θ
)
dθ
=
[
6θ +8sinθ +2sin2θ
]∣
∣
∣
4π/3
2π/3
=
[
6(
4π
3
)+8sin(
4π
3
)+2sin2(
4π
3
)
]
−
[
6(
2π
3
)+8sin(
2π
3
)+2sin2(
2π
3
)
]
= 8π +8(
−
√
3
2
)+2(
√
3
2
)−4π−8(
√
3
2
)−2(−
√
3
2
)
= 4π−6
√
3.
�
Ejemplo. (Ejercicio 18) Hallar el área de la región dentro del ćırculo r = 5sinθ y fuera de la limacón
r = 3− sinθ.
Solución. Primero graficamos las curvas e identificamos la región.
8
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
Para determinar los ĺımites de integración debemos primero encontrar los puntos de intersección (puntos
azules) de las gráficas. Igualamos las funciones y se despeja θ
5sinθ = 3− sinθ
6sinθ = 3
sinθ =
3
6
sinθ =
1
2
Según el ćırculo unitario sinθ =
1
2
cuando θ =
π
6
y θ =
5π
6
.
Para obtener el área de la región sombreada restamos el área dentro de la limacón r = 3−sinθ entre θ =
π
6
y θ =
5π
6
del área dentro del ćırculo r = 5sinθ entre θ =
π
6
y θ =
5π
6
. Observa que en el intervalo
[
π
6
,
5π
6
]
9
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
se cumple r = 5sinθ > r = 3− sinθ (los puntos del ćırculo están más alejados del origen que los puntos de
la limacón).
Aplicando la ecuación (6) se tiene
A =
1
2
5π/6∫
π/6
(5sinθ)2dθ−
1
2
5π/6∫
π/6
(3− sinθ)2dθ
=
1
2
5π/6∫
π/6
(
25sin2 θ−9+6sinθ− sin2 θ
)
dθ
=
1
2
5π/6∫
π/6
(
24sin2 θ +6sinθ−9
)
dθ
=
1
2
5π/6∫
π/6
(
24(
1
2
−
1
2
cos2θ)+6sinθ−9
)
dθ
=
1
2
5π/6∫
π/6
(3−12cos2θ +6sinθ)dθ
=
1
2
[3θ−6sin2θ−6cosθ]
∣
∣
∣
∣
5π/6
π/6
=
1
2
[
3(
5π
6
)−6sin2(
5π
6
)−6cos(
5π
6
)
]
−
1
2
[
3(
π
6
)−6sin2(
π
6
)−6cos(
π
6
)
]
=
5π
4
−3(
−
√
3
2
)−3(
−
√
3
2
)−
π
4
+3(
√
3
2
)+3(
√
3
2
)
= π +6
√
3.
�
Longitud de arco de una curva polar.
Teorema 3. [Longitud de arco] Sea r = f(θ) una función polar tal que su derivada r′ = f ′(θ) es
continua en el intervalo [α,β]. Entonces la longitud de la gráfica de r = f(θ) en el intervalo [α,β] está
dada por
L =
∫ β
α
√
r2 +
(
dr
dθ
)2
dθ. (8)
Ejemplo. (Ejercicio 19) Calcular la longitud de la curva r = 3−3cosθ.
Solución. Primero graficamos la curva para identificar la región.
10
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark
En esta animación se puede verificar que la curva completa se traza cuando 0 ≤ θ ≤ 2π. Además
la curva es simétrica respecto del eje polar aśı que la longitud buscada es el doble de la longitud en el
intervalo 0≤ θ ≤ π. Nota también que
dr
dθ
= 3sinθ. Por lo tanto, aplicando la ecuación (8) tenemos
L = 2
∫ π
0
√
(3−3cosθ)2 +(3sinθ)2dθ
= 2
∫ π
0
√
9−18cosθ +9cos2 θ +9sin2 θdθ
= 2
∫ π
0
√
9−18cosθ +9(cos2 θ +sin2 θ)dθ
= 2
∫ π
0
√
9−18cosθ +9dθ ←− identidad pitagórica cos2 θ +sin2 = 1
= 2
∫ π
0
√
18−18cosθdθ
= 2
√
18
∫ π
0
√
1−1cosθdθ
= 2
√
18
∫ π
0
√
2cos2
θ
2
dθdθ ←− identidad trigonométrica cos2 α =
1
2
(1− cos2α)
= 2
√
36
∫ π
0
∣
∣
∣
∣
cos
θ
2
∣
∣
∣
∣
dθ ←− cuando 0≤ θ ≤ π se tiene 0≤
θ
2
≤
π
2
= 12
∫ π
0
cos
θ
2
dθ y cos
θ
2
es positiva en este intervalo aśı
∣
∣
∣
∣
cos
θ
2
∣
∣
∣
∣
= cos
θ
2
= 24 sin
θ
2
∣
∣
∣
∣
π
0
= 24sin
π
2
−24sin0 = 24
�
11
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: haydee-torres (rocio.haydee.18@gmail.com)
https://www.geogebra.org/classic/nhcbrsxk
https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&amp;utm_medium=document&amp;utm_campaign=watermark