Lógica Proposicional

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2 parciales Prácticos 
2 parciales Teóricos 
1 recuperatorio 
Para regularizar se deben aprobar los dos 
parciales prácticos 
Para promocionar aprobar los dos parciales 
prácticos y teóricos 
Matemática I 
Clases 
• Lunes de 14 a 17hs práctica 
profesores J. Manzur y E. Zamudio 
 
• Martes 18hs consulta prof. E. Zamudio 
 
• Miércoles 8hs Teoría Prof. Marta Rivero 
 
LOGICA PROPOSICIONAL 
La lógica es la disciplina que estudia los métodos de 
formalización del conocimiento humano. En lógica se 
estudian, por tanto, métodos de formalización de frases 
declarativas. Para ello existen dos niveles de abstracción 
según el grado de detalle que se quiera formalizar: Lógica 
proposicional y Lógica de predicados. 
La lógica proposicional o lógica de enunciados toma 
como elemento básico las frases declarativas simples o 
proposiciones que son aquellos elementos de una frase 
que constituyen por si solos unidad de comunicación de 
conocimientos y pueden ser considerados verdaderos o 
falsos. 
La lógica de predicados estudia las frases declarativas 
con mayor grado de detalle, considerando la estructura 
interna de las proposiciones . Se tomarán como elemento 
básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos. 
Proposición 
• Es un enunciado al 
cual se le puede 
asociar el concepto de 
verdadero o falso, 
pero no ambos. Es una 
oración declarativa 
Ejemplos: 
• La luna es cuadrada 
• 7 es un número primo 
• Las arañas son 
mamíferos 
¿Son proposiciones? 
• ¿Qué hora es? 
• Por favor, cierre la 
puerta 
• El 6 de abril de 1876 
fue sábado 
Lógica Proposicional 
• Conocido el valor de verdad de ciertas 
proposiciones, la lógica establece el valor de 
verdad de otras relacionadas con éstas. 
 
• A éstas últimas se les conoce como proposiciones 
compuestas 
Los enunciados se denotaran por letras p ,q, r 
La regla fundamental de la Lógica es: La ley del Medio 
excluido ¨Toda proposición debe ser verdadera o 
Falsa, pero no puede ser ambas cosas, ni puede ser 
ninguna de las dos cosas 
Lógica Proposicional 
Lógica Proposicional 
• Si las proposiciones p, q, r se combinan para 
formar la proposición z, diremos que z es una 
proposición compuesta 
• En un enunciado compuesto su valor de 
verdad depende del valor de verdad de los 
enunciados 
¨Él es inteligente o estudia todos los días¨ es una 
proposición compuesta por dos proposiciones : ¨Él 
es inteligente ¨y ¨él estudia todos los días¨ 
Tabla de Verdad 
La tabla de verdad de una 
proposición compuesta P 
enumera todas las posibles 
combinaciones de los valores de 
verdad para las proposiciones p,q 
r….t 
Ejemplo : si Q es una proposición 
compuesta por las proposiciones 
simples p, q y r entonces la tabla 
de verdad de P deberá recoger los 
siguientes valores de verdad 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
822 3n
Conexión entre proposiciones: Conjunción 
• Para construir la tabla de 
p  q, debemos 
considerar las diferentes 
alternativas de valores de 
verdad para p y para q: 
• ¿Cuáles son ? 
Ambas verdaderas 
 
 una V y la otra F 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
ambas falsas 
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción 
de ambas a la proposición compuesta ¨p¨ y ¨q¨. Esta proposición será 
verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. 
La notación 
qp 
Conjunción 
• Ejemplos: 
p: Hoy es Lunes 
q: La luna es cuadrada 
r: mañana es martes 
 
p  q :Hoy es lunes y la 
luna es cuadrada 
p  r :Hoy es lunes y 
mañana es martes 
 
• Si p y q son 
proposiciones, se 
llama conjunción 
de p y q a la 
proposición 
compuesta “p y q 
“ y se denota por: 
p  q 
 
Conjunción 
Se toman como “sinónimos” de la conjunción: 
• Además 
• Pero 
• Sin embargo 
• Aunque 
• También 
• Aún 
• A la vez 
• No obstante 
Conjunción: p ^ q 
 
• Luís estudia ,además de trabajar 
• Luís estudió pero no aprobó 
• Luís canta, sin embargo no baila 
• Luís jugó al futbol aunque estaba lesionado 
• Luís juega al futbol , también José 
• Luís salió, aún no llega 
• Luís cocina a la vez que canta 
• Luís viajará no obstante esté sin visa 
• Luís canta , no baila. 
 
Conexión entre proposiciones: Disyunción 
Ejemplo: sea p ¨estudio inglés en la facultad¨ o el vivió en ËEUU 
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q , llamaremos 
disyunción de ambas a la proposición compuesta ¨p o q¨ y 
la denotaremos p v q. Esta proposición es verdadera si al 
menos una de las dos p ó q lo es 
La palabra ó¨ se usa en el lenguaje ordinario de dos formas 
distintas . A veces se utiliza en el sentido de ̈ p o q¨, o ambos¨, es 
decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y , a veces es 
usada en el sentido de ¨p o q, pero no ambos¨ es decir, ocurre 
exactamente una de las dos alternativas. 
Conexión entre proposiciones: Disyunción exclusiva o 
Diferencia simétrica 
Ejemplo: Juan fue a estudiar o a jugar al futbol 
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos 
disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta ̈ p ó 
q pero no ambas¨. Esta proposición será verdadero si uno u 
otro, pero no ambas son verdaderas. La notaremos 
qp
Conexión entre proposiciones: Negación 
• Dado un enunciado p se puede formar otro enunciado, que se 
llama negación de p, escribiendo es ¨es falso que..¨ antes de 
p, o cuando es posible, insertando la palabra ̈ no¨. 
• Dada una proposición cualquiera ,p; llamaremos ̈ negación de 
p¨ a la proposición ¨no p¨. Será verdadera cuando p sea falsa 
y falsa cuando p sea verdadera. La notación es 
p
p1: Octave es un software libre 
p2: es falso que Octave es un 
software libre 
P3 . Octave no es un software 
libre 
 
Negación 
• Esto lo podemos 
escribir de una 
manera “compacta”, 
utilizando una tabla 
• A esta tabla se le 
llama “tabla de 
certeza de la 
negación” 
 
p ~ p 
 
V F 
F V 
Posibilidades para la proposición p 
Negación 
Como sinónimos de no, se utilizan 
las siguientes expresiones: 
 
• No es cierto que …….. 
• No es el caso que……… 
• Es falso que………… 
• No sucede que……………. 
Conexión entre proposiciones: condicional 
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición 
compuesta ¨si p, entonces q¨ se llama 
¨proposicional condicional¨ 
A la proposición ¨p¨ se llama hipótesis, 
antecedente, premisa o condición suficiente y a la 
¨q¨ tesis, consecuente, conclusión o condición 
necesaria del condicional. Una proposición 
condicional es falsa únicamente cuando siendo 
verdad la hipótesis, la conclusión es falsa. 
Se notara 
qp 
Condicional 
• Ejemplos: 
• Si no llueve (entonces) iremos a la 
playa 
• Si me gano la lotería (entonces) 
me voy de viaje 
• Si no estudio (entonces) no 
aprobaré Lógica 
 
 
Formas derivadas del condicional 
• Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ q 
 ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ 
si no q, entonces no p” 
 
Algunas expresiones del lenguaje que indican la 
presencia de un condicional (p → q), son las 
siguientes: 
p es condición suficiente para ¨q 
Si p, q 
Q si p 
Que p supone que q 
Cuando p, q 
q es condición necesaria para p 
En caso de que p entonces q 
q sólo si p 
El condicional es muy 
importante en matemáticas, 
porque los Teoremas se 
expresan en forma condicional. 
Un Teorema será un condicional 
verdadero con hipótesis 
verdadera 
p q p  q 
V V V 
Condicional 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
• Veamos la tabla del condicional: p  q 
• El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es 
verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la 
“promesa” no se cumple