2- Cónicas, cuádricas y curvas parametrizadas

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Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 
 
 
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Secciones cónicas 
Estudiaremos un tipo de curvas llamadas curvas cónicas. Su nombre se debe a que son 
generadas por la intersección de un cono con un plano. 
En la figura vemos las distintas curvas que se obtienen según la posición del plano respecto 
del cono. 
 
 
 
 
Para poder estudiar sus ecuaciones cartesianas, las definiremos a partir de la noción de lugar 
geométrico. ¿Qué significa esto? Que a cada una de las curvas la vamos a describir usando la 
propiedad geométrica que cumplen todos sus puntos. En el caso de la circunferencia, esta 
propiedad es bastante evidente: todos los puntos de una circunferencia están a la misma 
distancia del centro de esta. Pues bien, diremos que una circunferencia es el conjunto de puntos 
del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. 
Para la elipse, la parábola y la hipérbola, la descripción es un poco menos intuitiva, por lo que 
deberemos definirlas con cuidado. 
 
Parábola 
Una parábola es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo (llamado foco) es siempre 
igual a la distancia hasta una recta fija (llamada directriz). 
En el gráfico tenemos el foco y la directriz, y están señalados tres puntos de la parábola en los 
que se nota que se cumple la propiedad. 
Puede verse también que la curva tiene como eje de simetría a una recta perpendicular a la 
directriz, que pasa por el vértice de la parábola. 
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Para poder deducir la ecuación tomaremos un caso 
bastante particular. El foco estará sobre el eje y, mientras 
que la directriz será una recta horizontal. Además el 
vértice estará en el origen de coordenadas. 
Las coordenadas del foco son : (0; )F p , la ecuación de la 
directriz es y p  . 
Tomamos un punto genérico : ( , )P x y en la parábola. 
Elegimos el punto A en la directriz tal que AP es perpendicular a la directriz. Sus 
coordenadas son : ( , )A x p . 
Debido a que P está en la parábola, se cumple FP AP . Igualando estas dos longitudes, 
obtenemos: 2 2 2 2( 0) ( ) ( ) ( ( ))FP AP x y p x x y p          
Desarrollando y operando en esta expresión, tenemos: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
( ) ( )
( ) ( )
2 2
4
x y p y p
x y p y p
x y py p y py p
x py
   
   
     

 
Finalmente, la ecuación canónica de esta parábola es 
2 4x py (donde p representa la 
distancia entre el foco y el vértice). 
Pero habíamos considerado sólo el caso en el que el vértice está en el origen. Si eso no fuera 
así, por ejemplo si el vértice es el punto : ( ; )V   ; en la ecuación debemos efectuar una 
traslación. Nos quedaría la ecuación 
2( ) 4 ( )x p y     . 
Además consideramos a la directriz como una recta horizontal. ¿Qué pasa si es vertical? Pues 
los papeles de x, y se intercambiarían. La canónica sería 
2( ) 4 ( )y p x     . 
En resumen, la ecuación de una parábola de vértice : ( ; )V   con distancia entre el vértice y 
el foco igual a p
 
(el signo de p indica si el vértice está arriba/a la derecha, o abajo/a la 
izquierda de la directriz), es una de estas dos: 
2
2
( ) 4 ( )
( ) 4 ( )
x p y
y p x
 
 
   
   
 
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Ejemplo 
Dados el punto : (3;1)Q , y la recta : 5L x  : 
 Escribir la ecuación de la parábola de vértice Q, y directriz L. Graficarla. 
 Escribir la ecuación de la parábola de foco Q, y directriz L. Graficarla. 
Empecemos por graficar el punto y la recta. 
Dado que la directriz es una recta vertical, el eje de simetría de 
las dos parábolas pedidas será horizontal, entonces la ecuación 
canónica es de la forma 
2( ) 4 ( )y p x     . 
Los datos necesarios para completar la ecuación son las 
coordenadas del vértice, y el valor de p. 
 
En el primer caso, el vértice es el punto : (3;1)Q ; y como la distancia 
entre el vértice y la directriz es de 2 unidades, pero el vértice está a la 
izquierda de la directriz, resulta 2p   . Entonces la ecuación es 
2( 1) 4 ( 2) ( 3)y x      , o equivalentemente, 
2( 1) 8 ( 3)y x     . 
Además el foco de esta parábola está dos unidades a la izquierda del 
vértice, es decir en el punto (1;1) . 
 
La segunda parábola tiene la misma directriz, pero no el mismo 
vértice, pues Q es el foco. El vértice debe ser un punto con la 
misma ordenada que Q, que equidiste de la directriz y de Q. Ese 
punto es : (4;1)R . 
Por otro lado, la distancia entre el vértice y la directriz (o entre el 
vértice entre el vértice y el foco) es de una unidad; como el vértice 
está a la izquierda de L, resulta 1p   . 
Luego, la ecuación de la parábola es 
2( 1) 4 ( 1) ( 4)y x      , equivalente a 
2( 1) 4 ( 4)y x     . 
 
 
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Elipse 
Una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de sus distancias a dos puntos 
fijos llamados focos es constante. 
En este gráfico no es tan evidente la propiedad, pero podemos, para cada 
uno de los puntos señalados en la curva, medir sus distancias hasta los 
focos y sumarlas. En los tres casos el resultado debería ser el mismo. 
Esta vez elegiremos al origen como el centro de la elipse. 
Los focos van a estar en dos puntos sobre el eje x, 
simétricos con respecto al eje y. Sus coordenadas serán 
1 2: ( ;0), : ( ;0)F c F c . 
Los puntos de la elipse que están sobre el eje x son 
( ;0), ( ;0)a a , y los que están sobre el eje y son 
(0; ), (0; )b b . Estos puntos se llaman vértices de la elipse. 
Todos los puntos de la elipse cumplen que la suma de sus distancias a los dos focos es 
constante. Esa es la condición de la que partiremos para deducir la ecuación de la elipse. 
Ahora bien, ¿cuál es el valor de esa constante? 
La respuesta es sencilla. Tomemos un punto en particular de la elipse, y escribamos una 
expresión que represente la suma de las distancias a los dos focos. Para que resulte sencillo, 
tomamos un punto que está alineado con los dos focos, el punto ( ;0)a . Si a este punto lo 
llamamos A, entonces 
1F A c a  , mientras que 2F A a c  . La suma de las dos distancias 
es igual a 
1 2 2F A F A c a a c a      . Luego, esa constante es lo que suman las distancias 
a los focos, desde cualquier punto de la elipse. 
Para todo punto P en la elipse, se cumple: 
1 2 2F P F P a  . 
Partiendo de: 
1 2
2 2 2 2
2
( ) ( ) 2
F P F P a
x c y x c y a
 
     
 
Restamos la segunda raíz. 2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y      
Elevamos al cuadrado. 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y         
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 2 2 2a a c
Desarrollar los cuadrados. 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x cx c y a a x c y x cx c y           
Simplificamos. 2 2 24 4 4 ( )cx a a x c y     
Dividir por (-4). 2 2 2( )a cx a x c y    
Elevar al cuadrado.  4 2 2 2 2 2 2 22 2a a cx c x a x cx c y      
Distribuir y simplificar. 
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2a a cx c x a x a cx a c a y
a a c a x c x a y
     
   
 
Factor común.    2 2 2 2 2 2 2 2a a c a c x a y    
Se divide por el término 
2 2
2 2 2
1
x y
a a c
 

 
Como el punto : (0; )B b pertenece a la elipse, también satisface 1 2 2F B F B a  . En el 
gráfico se ve que estas dos distancias a los focos son iguales, por lo tanto cada distancia es 
igual a 
1 2F B F B a  . Pero entonces los puntos (0;0), ( ;0), (0; )c b son vértices de un 
triángulo rectángulo de catetos b, c, e hipotenusa a. Aplicando Pitágoras, obtenemos 
2 2 2a c b  . Reemplazamos esto en la ecuación de la elipse, y tenemos: 
2 2
2 2
1
x y
a b
  
Esta es la ecuación canónica de unaelipse con centro en (0;0), con semieje horizontal a, y 
semieje vertical b. 
Si los focos hubiesen estado sobre el eje y, la deducción es casi idéntica, y se llega a la misma 
ecuación (pero en este caso sería 2 2 2b c a  ). 
Si el centro de la elipse es el punto ( ; )  , y los semiejes son a y b, la ecuación de la elipse es: 
2 2
2 2
( ) ( )
1
x y
a b
  
 
 
Notar que, si a>b, la elipse está más “estirada” en sentido horizontal; si a<b, en sentido vertical. 
¿Y si a=b? ¿Qué nombre recibe este tipo de elipses? ¿Tienen también dos focos? 
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Ejemplo 
Hallar los vértices, los focos y el centro de la elipse de ecuación 
2 24 6 16 21 0x y x y     . 
Notamos que la ecuación no está dada en la forma canónica, entonces vamos a llevarla a esa 
forma. 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
4 6 16 21 0 6 4 ( 4 ) 21 0
6 9 9 4 ( 4 4 4) 21 0
( 6 9) 9 4 ( 4 4) 16 21 0
( 3) 4 ( 2) 9 16 21 4
( 3) ( 2) ( 3) ( 2)
1 1
4 1 2 1
x y x y x x y y
x x y y
x x y y
x y
x y x y
            
           
           
         
   
     
 
A partir de esta expresión, podemos leer: el centro de la elipse es el punto : (3; 2)C  , los 
semiejes miden 2, 1a b  . 
La graficamos con esta información, y del gráfico leemos que 
los vértices están en los puntos (1; 2), (3; 3), (5; 2), (3; 1)    . 
Para dar los focos, usamos la fórmula 2 2 2a c b  . 
Luego, 
2 2 2 22 1 4 1 3 3c c c        . Esta es la 
distancia desde el centro de la elipse, hasta los focos, medida de 
forma horizontal. 
Así que los focos están en los puntos    3 3; 2 , 3 3; 2    . 
 
Hipérbola 
Una hipérbola es el conjunto de puntos tal que la diferencia entre sus 
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 
La definición es bastante parecida a la de la elipse, sólo que en vez 
de sumar las dos distancias, hay que restarlas. Se puede medir en el 
gráfico, hacer las restas y ver si todas dan el mismo resultado. 
 
Nota: Para poder mejorar 
esta expresión, es necesario 
utilizar la técnica conocida 
como “completar los 
cuadrados”. 
Sugerimos repasarla si no 
la recuerdan. 
 
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Para deducir la ecuación elegimos como focos a los puntos 
( ;0), ( ;0)c c , mientras que los puntos de la hipérbola sobre el 
eje x son ( ;0), ( ;0)a a . 
Todos los puntos de la hipérbola satisfacen que la diferencia 
entre sus distancias a cada uno de los focos es constante. 
Para hallar esa constante, tomamos como en la deducción con la 
elipse, un punto en particular, diremos : ( ;0)A a . Se puede ver 
que 
1F A c a  , 2F A c a  , con lo cual la diferencia resulta 
1 2 ( ) ( ) 2F A F A c a c a a      . 
Luego, todos los puntos : ( , )P x y de la hipérbola cumplen 1 2 2F P F P a  , o 
2 1 2F P F P a  (en un caso se genera una rama y en el otro la otra rama de la hipérbola. 
Partiendo de la igualdad 
1 2 2F P F P a   , que es equivalente a 
2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a       , se puede operar de una manera similar a lo hecho en 
la deducción de la ecuación de la elipse (lo dejamos como ejercicio), para llegar a la ecuación: 
2 2
2 2 2
1
x y
a c a
 

. 
Luego reemplazamos el segundo denominador usando 2 2 2c a b  , obteniendo: 
2 2
2 2
1
x y
a b
  
 
La otra opción que se puede considerar es ubicar a los focos 
sobre el eje y, en los puntos (0; ), (0; )c c , en ese caso los cortes 
se dan con el eje y, en los puntos (0; ), (0; )b b . 
La ecuación a la que se llega no es igual a la anterior, sino que 
resulta: 
2 2
2 2
1
x y
a b
   
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30 
 
En ambos casos, la hipérbola tiene dos asíntotas, de ecuaciones 0, 0
x y x y
a b a b
    . 
Si el centro está en el punto ( ; )  , y los semiejes son a, b, la ecuación de la hipérbola es una 
de estas: 
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
1
( ) ( )
1
x y
a b
x y
a b
 
 
 
 
 
  
. 
En los dos casos, sus asíntotas son las rectas 0, 0
x y x y
a b a b
      
    . 
Ejemplo 
Escribir la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto : (4;5)A , y sus asíntotas son las 
rectas 2 3, 2 1x y x y    . 
Lo primero que hacemos es graficar. Viendo el gráfico notamos 
que, como la hipérbola pasa por A, y este punto está a la derecha 
de las asíntotas, entonces el eje focal es horizontal. Por lo tanto la 
ecuación correspondiente es la primera: 
2 2
2 2
( ) ( )
1
x y
a b
  
  . 
No tenemos ni el centro ni las medidas de los semiejes de la 
hipérbola. Pero conociendo las dos asíntotas, podemos hallar el 
punto donde se cortan, y este será el centro de la hipérbola. 
Resolvemos el sistema: 
2 3 3 2 3 2 2 1 1
2 1 2 1 4 4 1
x y y x x x x
x y y x x y
        
   
      
 
Ya tenemos los datos 1, 1   . Hasta ahora es 
2 2
2 2
( 1) ( 1)
1
x y
a b
 
  . 
Por otro lado, se puede mostrar que las asíntotas 0, 0
x y x y
a b a b
      
    son 
rectas de pendientes ;
b b
a a
 . En este ejemplo las pendientes son 2 y -2, por lo tanto: 2
b
a
 . 
Despejamos, y tenemos 2b a . Reemplazando esto en la ecuación de la hipérbola: 
2 2
2 2
( 1) ( 1)
1
(2 )
x y
a a
 
  . 
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31 
 
Además sabemos que el punto : (4;5)A está en la curva, entonces satisface la ecuación: 
2 2
2 2 2 2 2 2 2
(4 1) (5 1) 9 16 9 4 5
1 1 1 1 5
(2 ) 4
a
a a a a a a a
 
            
Entonces 5, 2 5, 1, 1a b      . La hipérbola tiene ecuación 
2 2( 1) ( 1)
1
5 20
x y 
  . 
La graficamos, y corroboramos que cumple con todas las condiciones pedidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios 
23. Identificar a cada cónica, dar sus elementos (focos, vértices, centro, directriz, semiejes, 
asíntotas, según corresponda), y graficar. 
 
a. 2 24 9 32 18 37 0x y x y     
b. 29 24 72 16 0x x y    
c. 2 24 2 5 0x y x    
d. 2 22 5 5 0x x y y     
 
24. Escribir la ecuación de: 
 
a. La parábola con vértice en (-4;3) y foco en (-1;3). 
b. La elipse cuyos focos son los puntos (1;-2), (1;4), que pasa por el punto (5;1). 
c. La hipérbola de vértices (2;0), (-2;0), asíntotas y x  . 
d. La circunferencia de centro (-3;4), que es tangente a la recta x=1. 
 
25. Una parábola pasa por los puntos (4;2), (-2;2), y su foco está en (1;-2). Hallar su 
vértice, su directriz y su ecuación. 
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32 
 
Superficies 
Hasta el momento sólo hemos estudiado a las superficies planas, cuya ecuación en x, y, z es de 
primer grado. Las superficies que les siguen en simplicidad tienen ecuaciones de segundo 
grado, y las clasificamos en cilindros y cuádricas. 
Superficies cilíndricas 
Un cilindro es una superficie que se genera a partir de una curva que se mueve en el espacio, 
siguiendo una dirección determinada. 
Veremos los casos en los que la curva que genera el cilindro es una de las cónicas. Aparecen 
entonces los cilindros circulares, parabólicos, elípticos e hiperbólicos. 
Por ejemplo, la superficie de ecuación 24z x  . A esta ecuación le falta la variable y, si la 
consideramos en el plano xz, representa una parábola de vértice 0, 4x z  . Como en la 
ecuación la variable y no está, no hay ninguna restricción para los valores que esta puede 
tomar. Entonces la curva que genera a la superficie es una parábola, y la dirección en la que se 
mueve es una paralela al eje y. 
 
Esta superficie se llama cilindro parabólico. 
 
 
 
Analicemos ahora las superficies de ecuaciones: 2 2 9y z  ; 2 2 1y x  ; 
2 21
4 9
x z
  
En el primer caso, sobre el plano yz se ve una circunferencia de radio 3, y el cilindro tiene 
como eje de simetría al eje x. 
La segunda ecuación representa (en el espacio) a un cilindro generado por una hipérbola del 
plano xy, que se mueve de forma paralela al eje z. 
Finalmente, el tercer caso es el de un cilindro que se genera por la elipse de semiejes 2 y 3 del 
plano xz, que se mueve en la dirección del eje y. 
Cilindro circular Cilindro hiperbólico Cilindro elíptico 
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33 
 
 
Superficies cuádricas 
La ecuación que genera a estas superficies es una ecuación en x, y, z de grado 2, cuya forma 
general es 
2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz K          
Esta ecuación puede ser reducida por medio de traslaciones y rotaciones, a una de las seis 
ecuaciones canónicas que aparecen en el cuadro de la página 35. 
La clasificación y la construcción del gráfico de cada superficie pueden hacerse por medio de 
un estudio de sus trazas. Esto significa, a partir de analizar cuáles son las curvas que se 
obtienen al intersecar a la superficie con un plano en particular. 
Veámoslo en un ejemplo. Queremos graficar a la superficie de ecuación 2 2 1y x z   . 
Notamos que no le falta ninguna variable, entonces no parece ser un cilindro. Lo que haremos 
será cortar a la superficie con planos paralelos a los planos coordenados, y decidir qué curvas 
se obtienen con estos cortes. 
 Cortando con planos paralelos al plano yz (de ecuación x k ): 
2 2 2 21 1y x z y k z
x k x k
      
 
  
 
Obtenemos parábolas sobre el plano x k , con vértice en el punto 
2( ; 1;0)k k  . 
Aparecen graficadas las trazas con 2, 1, 0, 1, 2k k k k k       . 
 Las trazas con planos y k : 
2 2 2 2 2 21 1 1y x z k x z x z k
y k y k y k
          
   
    
 
Si 1k  , son circunferencias de radio 1k  , con centro en (0; ;0)k 
Si 1k  , sólo aparece el punto (0;1;0) . 
Si 1k  , no tenemos traza. Esto significa que los planos y k que están a la izquierda de 
1y  , no tienen intersección con la superficie. 
Las del gráfico son con 1, 2, 3, 4, 5k k k k k     . 
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34 
 
 Las trazas con planos z k 
2 2 2 21 1y x k y x k
z k z k
      
 
  
 
Son parábolas sobre el plano z k , de vértice en 
2(0; 1; )k k . 
Están graficadas las trazas 2, 1, 0, 1, 2k k k k k       . 
 
Veamos qué pasa si graficamos todas las curvas obtenidas en el mismo sistema de ejes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lo que se aprecia es un entramado de curvas que van dando forma a una superficie. 
Esta superficie, que tiene como trazas parábolas y circunferencias, se llama paraboloide 
elíptico. Su eje de simetría es el eje y, su vértice está en el punto (0;1;0). 
Ya sin las trazas, se ve así: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Haciendo un análisis similar, podemos descubrir la forma de cada una de las superficies 
cuádricas. 
 
En el siguiente cuadro hay un resumen del estudio de las trazas de cada superficie a partir de 
su forma canónica, y a continuación los gráficos de todas. 
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35 
 
 
Ecuación canónica Traza plano x k Traza plano y k Traza plano z k Superficie 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
k y z
a b c
y z k
b c a
  
  
 
Elipses si k a 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
x k z
a b c
x z k
a c b
  
  
 
Elipses si k b 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
x y k
a b c
x y k
a b c
  
  
 
Elipses si k c 
E
L
IP
SO
ID
E
 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
k y z
a b c
y z k
b c a
  
  
 
Hipérbolas 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
x k z
a b c
x z k
a c b
  
  
 
Hipérbolas 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
x y k
a b c
x y k
a b c
  
  
 
Elipses para todo 
valor de k 
H
IP
E
R
B
O
L
O
ID
E
 
 
D
E
 U
N
A
 H
O
JA
 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
    
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
k y z
a b c
y z k
b c a
   
   
 
Hipérbolas 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
x k z
a b c
x z k
a c b
   
   
 
Hipérbolas 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
x y k
a b c
k x y
c a b
   
  
Elipses si k c , 
punto si k c  H
IP
E
R
B
O
L
O
ID
E
 D
E
 
D
O
S 
H
O
JA
S 
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
   
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
k y z
a b c
k y z
a b c
  
  
 
Hipérbolas 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
x k z
a b c
k x z
b a c
  
  
 
Hipérbolas 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
x y k
a b c
x y k
a b c
  
 
 
Elipses si 0k  , 
punto si 0k  
C
O
N
O
 E
L
ÍP
T
IC
O
 
2 2
2 2
z x y
c a b
  
2 2
2 2
z k y
c a b
  
Parábolas 
2 2
2 2
z x k
c a b
  
Parábolas 
2 2
2 2
k x y
c a b
  
Elipses 
P
A
R
A
B
O
L
O
ID
E
 
E
L
ÍP
T
IC
O
 
2 2
2 2
z x y
c a b
  
2 2
2 2
z k y
c a b
  
Parábolas 
2 2
2 2
z x k
c a b
  
Parábolas 
2 2
2 2
k x y
c a b
  
Hipérbolas 
P
A
R
A
B
O
L
O
ID
E
 
H
IP
E
R
B
Ó
L
IC
O
 
Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 
 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elipsoide Hiperboloide de una hoja 
Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico 
Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico 
Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 
 
 
37 
 
 
Ejercicios 
26. Identificar a cada una de las superficies y graficarlas. 
Indicar, si corresponde, centro, vértice, eje de simetría, radio, etc. 
 
a. 2 2 24 4x y z   
b. 2z y 
c. 2 22x y z  
d. 2 2 26 5x y y z    
e. 2 2 2x y y  
f. 2 2 24 2 4x x y z z     
g. 2 2 22 1x y y z    
h. 2 2 1z x  
i. 2 2z y x  
 
 
27. La torre de enfriamiento utilizada por YPF en la 
planta de Ensenada tiene la forma de un 
hiperboloide de una hoja. 
El diámetro en la base es de 70 metros, la 
circunferencia menor tiene diámetro 42 metros y se 
encuentra a 55 metros de altura. 
Si la altura total de la torre es de 85 metros, calcular 
el diámetro de la circunferencia a esa altura. 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
38 
 
Funciones vectoriales 
 
En la sección anterior, estudiamos las ecuaciones paramétricas de la recta. En estas, 
describíamos un conjunto de puntos del espacio cuyas coordenadas dependían de un único 
parámetro. Más precisamente, a cada valor del parámetro t le correspondía un punto ( , , )x y z , 
por medio de tres funciones (que en el caso de la recta eran funciones lineales). 
 
El de la recta es un ejemplo de curva parametrizada, esto es, una función que le asigna a cada 
valor de t∊ℝ, un punto en el espacio (o en el plano). Su imagen es la recta. 
 
En general, una curva parametrizada es una función cuyo dominio es algún intervalo de ℝ, y 
sus valores son puntos de ℝ2 o de ℝ3. La imagen de esta función es una curva del plano o del 
espacio. 
 
 
Ejemplo 
Se tienen las ecuaciones 
2 2 1
1
x t t
y t
   

 
 , que describen una curva parametrizada, cuya 
imagen es una curva del plano. Como las coordenadas x, y dependen de t, podemos armar una 
tabla de valores para ver cuáles puntos forman esa curva. 
 
Tomando los datos de esta 
tabla, graficamos los puntos 
generados en un sistema de ejes 
coordenados. Obtenemos: 
 
 
Si agregamos más filas en la tabla, generamos más puntos y se puede “adivinar” la forma de la 
curva. Pero esto no alcanza para decidir qué curva describe esa parametrización. 
Una forma de ver cuál es la curva en el planoes “eliminar el parámetro” de las ecuaciones, y 
llegar a la ecuación cartesiana. En este ejemplo, es fácil despejar t de la segunda ecuación, y 
reemplazarlo en la primera: 
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1 ( 1) 2( 1) 1 2 1 2 2 1
1 1 4 4 ( 2)
x t t x t t x y y y y y
y t t y x y y y
                 
  
         
 
t x y 
-4 9 -5 
-3 4 -4 
-2 1 -3 
-1 0 -2 
0 1 -1 
1 4 0 
2 9 1 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
39 
 
Esta última ecuación es la de una parábola, cuyo vértice es el punto (0; 2) , y su eje de 
simetría es horizontal. 
Además, a medida que aumenta el valor de t, también aumenta el valor de y. Por eso el sentido 
de recorrido de la curva es “hacia arriba”, y lo indicamos con las flechas. 
 
 
 
 
 
 
 
Movimiento en el espacio 
Supongamos que una partícula se mueve en el espacio, y su posición viene dada por las 
ecuaciones 
( )
( )
( )
x x t
y y t
z z t



 
. 
Ya vimos que los puntos generados por estas ecuaciones forman una curva en el espacio. 
Definamos ahora un vector cuyas componentes son las coordenadas ( ), ( ), ( )x t y t z t : 
( ) ( ); ( ); ( )r t x t y t z t 
Como las componentes son funciones de t, se dice que el vector ( )r t es una función vectorial. 
Es decir, ( ) ( ); ( ); ( )r t x t y t z t es una función cuyo dominio es un intervalo de ℝ, y sus 
valores son vectores. La imagen de esta función está formada por vectores que empiezan en el 
origen y terminan en un punto de la curva definida por las ecuaciones 
( )
( )
( )
x x t
y y t
z z t



 
. 
La razón por la cual definimos estas funciones es la utilidad que tienen en el estudio del 
movimiento. 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
40 
 
Ejemplo 
Una partícula se mueve en el espacio, y su función de posición es 2( ) 2 1; 1r t t t t    , para 
0t  . Calcular su desplazamiento y su velocidad media en el intervalo 1 3t  , y su velocidad 
en el instante 1t  . Interpretar gráficamente. 
Notemos que esta función vectorial tiene como componentes a las mismas funciones de la 
curva parametrizada del ejemplo anterior. Por lo tanto, sabemos que la partícula se está 
mueve sobre la parábola de ecuación 2( 2)x y  . 
El desplazamiento para un intervalo es la diferencia entre la posición final y la posición inicial 
de la partícula. El que se pide es para 1 3t  , luego es 
 1;3Desp (3) (1) 16;2 4;0 12;2r r     . 
La velocidad media en un intervalo  ;a b es  ;
( ) ( )
a b
r b r a
VM
b a



. 
Si tomamos un intervalo  ;a a h , cuando el valor de h sea muy pequeño, esta velocidad 
media se irá pareciendo a la velocidad instantánea en el instante t a . 
Entonces definimos a la velocidad en t a como el vector: 
0
( ) ( )
( ) lim
h
r a h r a
v a
h
 
 . 
Más en general, 
0 0
0 0 0
( ); ( ); ( ) ( ); ( ); ( )( ) ( )
( ) lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim ;lim ;lim
h h
h h h
x t h y t h z t h x t y t z tr t h r t
v t
h h
x t h x t y t h y t z t h z t
h h h
 
  
    
  
     

. 
Las componentes de este vector son las derivadas por definición de las funciones 
( ), ( ), ( )x t y t z t . Entonces, si todas estas son funciones derivables, tendremos: 
( ) '( ) '( ); '( ); '( )v t r t x t y t z t  . 
En el caso de que ( )r t sea de dos componentes, será ( ) '( ) '( ); '( )v t r t x t y t  . 
Es decir, que las componentes del vector velocidad son las derivadas de las funciones 
componentes del vector de posición. De la misma manera, las componentes del vector 
aceleración son las derivadas de las componentes del vector velocidad. 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
41 
 
Calculemos lo que se pedía. 
La velocidad media en 1 3t  es 
16;2 4;0(3) (1)
6;1
3 1 2
r r 
 

. 
La velocidad instantánea en 1t  será (1) '(1)v r . Pero primero debemos calcular '( )r t . 
Tendremos '( ) '( ); '( ) 2 2;1r t x t y t t   . Entonces '(1) 2 1 2;1 4;1r     . 
 
Interpretemos gráficamente. La partícula se mueve sobre la parábola 2( 2)x y  , pero lo 
hace sólo a partir del punto (1; 1) , dado que 0t  . 
Al vector '(1) 4;1r  lo graficamos a partir del punto 
(4;0) , que es la posición del móvil en el instante 1t  . 
Se puede observar que ese vector es tangente a la 
curva en ese punto, pues representa la velocidad en 
ese instante. 
 
Ejemplo 
Un móvil tiene función de posición ( ) sen( );1 cos( )r t t t  para 0 2t   . ¿Sobre qué 
curva se está moviendo? En el instante t  , ¿cuál es su posición y su velocidad? 
La curva sobre la que se desplaza el móvil es la definida por las ecuaciones 
sen( )
1 cos( )
x t
y t


 
, 
con 0 2t   . Si queremos obtener su ecuación cartesiana debemos eliminar el parámetro. 
La opción de despejarlo de una de las ecuaciones y remplazarlo en la otra nos haría llegar a, 
por ejemplo, 1 cos(arcsen( ))y x  . Pero esta ecuación no deja ver cuál es la curva. 
Hay otra manera de eliminar el parámetro. Teniendo en cuenta la identidad fundamental 
trigonométrica 2 2sen ( ) cos ( ) 1t t  , y que de la curva parametrizada se puede despejar a 
cos( )t y a sen( )t ; tenemos: 
2 2
2 2
sen ( ) cos ( ) 1sen( ) sen( )
1 cos( ) 1 cos( ) ( 1) 1
t tx t x t
y t y t x y
   
  
       
 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
42 
 
La última ecuación representa una circunferencia con centro en (0;1), y radio 1. Sobre esta 
curva se está desplazando el móvil. 
La posición inicial del móvil es (0) sen(0);1 cos(0) 0;2r    , la posición final es 
(2 ) sen(2 );1 cos(2 ) 0;2r      , es decir que se recorre la circunferencia completa. 
La posición del móvil en el instante t  es ( ) sen( );1 cos( ) 0;0r      , su velocidad 
en ese instante será '( )r  . Primero calculamos (t)=〈cos(t);-sen(t)〉. 
Luego, la velocidad al pasar por el punto (0;0) es (π)=〈cos(π);-sen(π)〉=〈-1;0〉. 
Gráficamente: 
Conocer la velocidad al pasar por un punto nos permite indicar el 
sentido del recorrido del móvil. En este caso, la curva es recorrida 
en sentido horario, empezando y terminando en el punto (0;2). 
Observación: Si la función de posición hubiera sido 
( ) cos( );1+sen( )r t t t , la curva resultaría la misma 
circunferencia, pero recorrida en sentido antihorario (verificarlo). 
 
Ejercicios 
 
28. Las siguientes ecuaciones definen curvas parametrizadas. Graficar su imagen 
eliminando el parámetro e indicando el sentido de recorrido. 
a. 
2 5
1 5
6
x t
t
y t
 
 
 
 
b. 
cos( )
0 3
sen( )
x t
y t t
z t



  
 
 
c. 
2
1
1 1
2
t
t
x e
t
y e
  
  
 
 
 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
43 
 
29. Una partícula se mueve con función de posición 2( ) cos( );sen ( ) , 0 2r t t t t    . 
a. ¿Sobre qué curva del plano se está desplazando? 
b. ¿Cuáles son los puntos inicial y final del movimiento? 
c. Calcular '( )r  . ¿Cómo se interpreta ese resultado? 
d. ¿Cuántas veces pasa por el punto (0;1)? ¿En qué instantes? ¿Con qué velocidad? 
 
30. Se tiene la porción de elipse de ecuación 
 
 
2
21
2 1
4
x
y

  
 
desde el punto (1;2) hasta el punto 
( 1;3) recorrida en sentido horario (ver la figura). 
Completar las parametrizaciones para que la curva 
graficada sea la imagen de todas ellas. 
a. 
1 2cos( )
... ...
2 sen( )
x t
t
y t
  
 
 
 b. 
1 2sen( )
... ...
...................
x t
t
y
  
 

 
c. 
2
.................
...
2 sen(2 )
x
t
y t


 
 
 d. 
................
0 3
................
x
t
y

 
 
 
31. La función de posición de un móvil en cada instante 0 4t  está dada por: 
3 2 2( ) 6 9 2;2 8 7r t t t t t t      . 
a. ¿En qué puntos empieza y termina su recorrido?b. ¿En algún instante la velocidad resulta un vector horizontal? ¿Y vertical? ¿Por 
cuáles puntos pasó el móvil en esos instantes? 
c. ¿El móvil pasó por el punto (0;5)? ¿En qué instante? ¿Cuál era su velocidad en ese 
momento? 
d. Graficar la curva sobre la cual se desplazó el móvil en GeoGebra, escribiendo en la 
entrada:  3 2 2Curva 6 9 2,2 8 7, ,0,4t t t t t t     , y verificar las respuestas 
anteriores. 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
44 
 
Longitud de arco 
Si una partícula se mueve con función de posición ( )r t en el intervalo a t b  , y las 
componentes de '( )r t son continuas en ese intervalo, entonces la longitud de la curva 
recorrida por la partícula se calcula por medio de la integral: 
'( )
b
a
L r t dt  
 
Por ejemplo, podemos calcular la longitud de la porción de hélice circular cuya función 
vectorial es ( ) 3cos( );3sen( );4r t t t t , entre los puntos (3;0;0), ( 3;0;4 ) . 
Para empezar, hay que encontrar los extremos del intervalo a t b  , pues los datos que 
tenemos son los puntos inicial y final de la curva. 
Es decir, buscamos un valor de a que cumpla: 
3 3cos( )
0 3sen( )
0 4
a
a
a



 
, y un valor de b que cumpla: 
3 3cos( )
0 3sen( )
4 4
b
b
b
 


 
. Estos valores son 0,a b   . 
Después calculamos '( )r t . Derivamos: '( ) 3sen( );3cos( );4r t t t  , y calculamos el módulo: 
   
2 2 2 2 2'( ) 3sen( ) 3cos( ) 4 9sen ( ) 9cos ( ) 16 25 5r t t t t t         
Entonces la longitud es: 
0
0
5 5 5 0 5L dt t


      
Ejercicios 
 
32. Entre dos postes de igual altura cuelga un cable. La función vectorial que describe la 
curva trazada por el cable es 10 10( ) ;5 5 , 10 10
t t
r t t e e t

     (esta curva se llama 
catenaria). Calcular: 
 
Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 
 
 
45 
 
a. La altura de los postes. 
b. La distancia a la que están los postes. 
c. La altura a la que está el punto más bajo del cable. 
d. La longitud del cable. 
 
 
 
 
33. Calcular la longitud de las siguientes curvas: 
a. 
2 3
1
0 1
1
t
x
t
t
t
y
t

 
 
 
 
 
b. 
2
3
2
2
5 1
3
2
x t
t
y t
z t
  


  

 

 entre los puntos    2;1;0 , 11; 5;18 
c. 
2
2 1 1
1 ln( )
x t
y t t e
z t
 

   
  