Notas 01 Cónicas 2D - Axel Sánchez Nazario

Vista previa del material en texto

C U R V A S C Ó N I C A S 
1 
 
Antes de trabajar con cualquier ecuación, debemos tener muy claro el SISTEMA DE REFERENCIA en el que 
nos estamos desenvolviendo. En este capítulo trabajaremos en dos dimensiones. 
 
 
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 { 
𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜
𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 
 
 
 
Cada uno tiene sus ventajas y desventajas, por lo que se deben seleccionar de acuerdo con el tipo de trabajo que 
estemos realizando. 
 
 
Sin embargo, la geometría propia de un lugar geométrico es única, sin importar el sistema de referencia. 
 
 
Esto me indica que una recta por ejemplo, podrá tener una ecuación diferente en distintos sistemas de referencia 
pero su inclinación y los puntos por donde pasa no cambian. 
 
Sistema Cartesiano en dos dimensiones Sistema Polar en dos dimensiones 
𝑦 = 3𝑥 − 2 𝑟 =
−2
𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 3 cos 𝜃
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
2 
 
 
SISTEMA CARTESIANO EN DOS DIMENSIONES 
 
 
Es el sistema de referencia que más hemos utilizado en nuestra educación matemática desde los niveles básicos. 
Se apoya en un eje horizontal llamado Eje de las Abscisas y un eje vertical llamado Eje de las Ordenadas. 
 
 
 
El punto donde se intersectan ambos ejes se conoce 
como Origen de coordenadas. 
 
 
Del origen hacia la derecha se consideran 
distancias positivas, mientras que del origen hacia 
la izquierda se consideran negativas. 
 
 
Del origen hacia arriba se consideran distancias 
 
positivas, mientras que del origen hacia abajo se 
consideran negativas. 
 
 
Ahora debemos percatarnos que cada punto del plano cartesiano, se obtiene con la intersección de dos rectas: 
una recta paralela al eje X, que tiene por ecuación 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (en color rojo en la ilustración), y otra recta 
paralela al eje Y, cuya ecuación es 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (en color azul en la imagen). 
 
 
De esta forma, cualquier punto sobre el plano se podrá 
representar como una pareja ordenada de dos 
coordenadas 𝑃(𝑥 , 𝑦) escribiendo siempre primero el 
valor de las abscisas y después el valor de las 
ordenadas. 
 
En consecuencia, todos los puntos del plano cartesiano 
tienen una única pareja de coordenadas que los 
representa. 
 
 
El sistema cartesiano es un sistema uno a uno 
 
 
 
También decimos que es un sistema ortogonal, porque las rectas siempre se intersectan en un ángulo recto para 
todo punto en el plano. 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
3 
 
 
SISTEMA POLAR EN DOS DIMENSIONES 
 
 
Está construido sobre un eje horizontal llamado Eje Polar, y sobre él se ubica el origen del sistema al cual se le 
llama Polo. 
 
 
A partir del Polo se mide la distancia en línea recta 
hacia el punto P, a la cual se le llama radio (𝑟). 
 
 
El á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃 se forma girando desde el eje polar hasta 
alcanzar la dirección donde mediremos el radio r. 
 
 
 
 
Lo que debemos observar es que los valores constantes de cada referencia (el radio 𝑟 y el ángulo 𝜃) generan por 
separado una curva, cuya intersección define un punto del plano. 
 
 
Cuando escribimos la ecuación 𝑟 = 𝑘 , estamos estableciendo que 
todos los puntos de dicha curva tienen el mismo valor de radio sin 
importar que ángulo θ se elija. 
 
 
El resultado es una circunferencia de radio 𝑟 = 𝑘 
 
 
Al cambiar la constante, se trazan diferentes circunferencias 
concéntricas. 
 
 
De manera análoga, cuando escribimos la ecuación 𝜃 = 𝑐, estamos 
estableciendo que todos los puntos de dicha curva estarán trazados 
sobre la misma inclinación con relación al Eje Polar, sin importar que 
valor de radio 𝑟 seleccionemos. 
 
 
El resultado es una recta de inclinación 𝜃 = 𝑐 
 
 
Al cambiar la constante, se trazan diferentes rectas que tienen en 
común pasar por el Polo. 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
4 
 
 
La intersección de una recta y una circunferencia en estas 
circunstancias, dará por resultado un punto en coordenadas polares. 
 
 
𝑃( 𝑟 , 𝜃 ) 
 
 
Pero más importante aún es el percatarnos que todos los puntos del 
plano se forman con una intersección a 90° de las rectas y las 
circunferencias, por lo que el sistema polar es un sistema ortogonal. 
 
 
Es evidente que hay más de un punto de intersección entre cada recta 𝜃 = 𝑐 con cada circunferencia 𝑟 = 𝑘, por 
lo que se deben establecer convenciones para las referencias. 
 
 
Si el radio se mide avanzando hacia donde mira un 
observador, el radio será positivo. Si retrocede desde esa 
perspectiva, el radio será negativo. 
 
 
Si el giro se hace contra el sentido de giro de las manecillas 
del reloj, el ángulo se considera positivo. 
 
 
Si el giro se hace a favor del sentido de giro de las manecillas 
del reloj, el ángulo se considera negativo. 
 
 
 
La combinación en orden de estas dos mediciones, nos dará las coordenadas polares del punto: 𝑃(𝑟 , 𝜃) 
 
 
Aún con estas convenciones, podemos observar en las siguientes ilustraciones como el mismo punto 𝑃 tiene 
diferentes combinaciones de coordenadas, dependiendo de cómo se haga la medición. 
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
5 
 
 
Inclusive podemos dar múltiples giros de vuelta completa (un ángulo de 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 
 
 
 
 
 
 
Concluimos que en las referencias polares un mismo punto puede representarse con diferentes combinaciones de 
coordenadas polares. 
 
El sistema polar es un sistema de muchos a uno. 
 
 
 
En algunas aplicaciones, esto será una desventaja del sistema polar. Pero habrá otras en las cuales nos conviene 
utilizar referencias polares para simplificar procedimientos. 
 
 
En cualquiera de los dos sistemas, cartesiano o polar, el punto P es el mismo pero los valores que lo identifican 
serán diferentes. 
 
 
Cuando construyamos relaciones entre puntos, curvas y sus ecuaciones, lucirán diferentes de acuerdo con el 
sistema empleado. 
 
 
El sistema cartesiano es muy útil trabajando en el escritorio, con ecuaciones y operaciones, pero se complica su 
aplicación en la vida cotidiana por la construcción de los ejes perpendiculares. 
 
 
En cambio, el sistema polar es muy útil en la vida cotidiana, puesto que es muy sencillo elegir un objeto como 
polo, alinearnos con otro objeto fijo para tener el eje polar, y entonces medir un ángulo y avanzar una distancia o 
radio. 
 
 
Sin embargo, su construcción circular aumenta con frecuencia los trabajos de operaciones en gabinete. 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
6 
 
 
Entonces, al estar trabajando en un sistema de referencia, en ocasiones necesitamos movernos al otro sistema para 
simplificar los cálculos, y después volver al sistema original. Esto dio origen a las ecuaciones de transformación. 
 
 
Hacerlo es muy sencillo. Basta con superponer un sistema en el otro y aplicar un poco de trigonometría apoyados 
con el triángulo rectángulo que se forma entre las referencias. 
 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 
 
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑟
 
 
 
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
 
 
𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
 
 
 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝑦
𝑥
 ) 
 
Es importante remarcar que el sistema de referencia no cambia al objeto referido, pero si modifica la ecuación 
con la cual se le identifica. 
 
 
Por ejemplo, la recta que se muestra en las siguientes figuras es la misma, pero tiene ecuación diferente de acuerdo 
con el sistema seleccionado. 
 
Sistema cartesiano 
 
 
 
 
√2 𝑥 + √2 𝑦 − 6 = 0 
Sistema polar 
 
 
 
𝑟 =
3
cos ( 𝜃 −
𝜋
4 )
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
7 
 
 
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
 
 
Una vez que ubicamos dos puntos en el plano cartesiano, usualmente nos interesa saber la distancia a la que se 
encuentran entre ellos. 
 
 
 
Con la ayuda del teorema de Pitágoras, se define 
 
 
𝑑 = √ (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
 
 
Que puede escribirse así 
 
 
𝑑= √ (∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 
 
En donde 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 se conoce como el incremento de la variable x entre dos puntos 
 
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 se conoce como el incremento de la variable y entre dos puntos 
 
 
La proporción 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
 se conoce como pendiente entre dos puntos, y nos indica la inclinación que existe para 
llegar de un punto al otro. 
 
 
EJERCICIOS. 
 
1) Determina la distancia entre los puntos 𝐴( −4 , 2 ) y 𝐵( 6 , 4 ) así como la pendiente entre ellos. Dibuja 
los puntos en un plano cartesiano. 
 
 
2) Determina el valor de la abscisa del punto 𝑃( 𝑥 , 0 ) si su distancia al punto 𝐵( 2 , 5 ) es de 5√2 unidades. 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
8 
 
 
LA RECTA EN DOS DIMENSIONES 
 
 
Existen dos formas muy simples de construir una línea recta: 
 
 
1) Con un punto por donde pasa y su inclinación 2) Con dos puntos de la recta 
 
 
 
La inclinación de la recta se conoce como pendiente, y se asocia con la letra m. Su valor nos ayuda a determinar 
el ángulo θ que forma la recta con cualquier línea horizontal. 
 
 
Observa que esto es independiente del sistema de referencia que usemos para trabajar. 
 
Si esta información la llevamos a un sistema cartesiano de dos dimensiones, tendremos las siguientes relaciones 
y ecuaciones para trabajar. 
 
 
Ecuación ordinaria de la recta 
 
 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
 
 
Donde b es el punto donde la recta intersecta al eje 
de las ordenadas, y recibe el nombre de ordenada 
al origen. 
 
En el trabajo cotidiano, la ecuación cartesiana de una recta se reconoce porque ambas variables se presentan 
elevadas a la potencia 1, es decir, son lineales. 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
9 
 
 
Cuando en una ecuación cartesiana se escriben todos sus términos simplificados e igualados con cero, decimos 
que se encuentra en su forma general. 
 
 
Ecuación general de una recta: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
 
 
Una tercera forma de escribir una recta es usando ecuaciones paramétricas: 
 
 
Para ello, basta con conocer la pendiente ( 𝑚 ) de la recta y un punto 𝑃0( 𝑥0 , 𝑦0 ) que pertenezca a la recta. 
 
 
𝑚 =
 ∆𝑦 
∆𝑥
 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑅 ∶ { 
𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + ∆𝑦 𝑡
 
 
 
La variable auxiliar 𝑡 se conoce como parámetro, y dependiendo del valor que le asignemos, tendremos un punto 
𝑃( 𝑥 , 𝑦 ) que es parte de la recta. 
 
 
Cuando se conoce la ecuación de una recta, podemos identificar sus elementos geométricos principales, y 
mostrarlos con una gráfica en un plano cartesiano. 
 
 
𝑦 =
1
2
𝑥 + 1 
 
 
 
𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 
 
 
 
{ 
𝑥 = 2𝑡 
𝑦 = 1 + 𝑡
 
 
 
 
 
En este ejemplo, reconocemos al punto pivote 𝑃0( 0 , 1 ) y la pendiente 𝑚 =
1
2⁄ 
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
10 
 
 
La segunda situación de trabajo en geometría analítica consiste en determinar la ecuación de una figura en base a 
algunos datos de la misma. 
 
En el sistema cartesiano, las ecuaciones de una recta pueden construirse de las siguientes maneras: 
 
Nombre Datos Ecuación 
Forma punto-pendiente 𝑃1(𝑥1 , 𝑦1) 𝑚 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
Forma pendiente-ordenada al origen 𝑚 𝑏 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
Forma dos puntos 𝑃1(𝑥1 , 𝑦1) 𝑃2(𝑥2 , 𝑦2) 𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1) 
Forma simétrica 𝑃1(𝑥1 , 𝑦1) 𝑃2(𝑥2 , 𝑦2) 
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
 
Forma general Cualquiera de los vistos 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
Forma paramétrica 𝑃0( 𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑚 =
 ∆𝑦 
∆𝑥
 { 
𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + ∆𝑦 𝑡
 
 
 
RELACIONES ENTRE DOS RECTAS 
 
 
Rectas paralelas 
 
 
En este caso, tienen la misma inclinación, por lo tanto 
comparten el valor de la pendiente. 
 
 
𝑚𝑅 = 𝑚𝐿 
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
11 
 
 
 
Rectas perpendiculares 
 
 
En este caso, las pendientes son inversas y de signo 
contrario. 
 
𝑚𝑅 = −
1
𝑚𝐿
 
 
 
Cuando una recta asciende la otra desciende. 
 
 
 
 
 
Ángulo entre dos rectas 
 
Con la identidad trigonométrica 
 
tan 𝜃 =
𝑚𝑅 − 𝑚𝐿
1 + 𝑚𝑅 𝑚𝐿
 
 
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑚𝑅 − 𝑚𝐿
1 + 𝑚𝑅 𝑚𝐿
) 
 
 
 
También se puede calcular restando los ángulos de 
inclinación de cada recta, el mayor menos el menor. 
 
 
𝜃 = 𝛼𝑅 − 𝛼𝐿 
 
 
𝛼𝑅 = 𝑡𝑎𝑛
−1(𝑚𝑅) 
 
 
𝛼𝐿 = 𝑡𝑎𝑛
−1(𝑚𝐿) 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
12 
 
 
EJERCICIOS. Determina la ecuación de la recta y dibuja su gráfica en un plano cartesiano. 
 
 
1) La recta que pasa por los puntos 𝐴(−2 , 3) y 𝐵(5 , 4) 
 
 
2) La recta contiene al punto 𝑃(−3 , 3) y es perpendicular al segmento que une los puntos 𝐶(0 , 8) 
y 𝐷(8 , 0) 
 
 
3) La recta contiene al punto 𝐹(−3 , 5) y es paralela a la recta 𝑅: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 
 
 
EJERCICIOS. Determina el valor de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b) para cada una de las siguientes 
rectas. Dibuja su gráfica en un plano cartesiano. 
 
 
{ 
𝑥 = −2 + 𝑡
𝑦 = 3 + 3𝑡
 2𝑥 − 𝑦 = 6 
 
 
 
CIRCUNFERENCIA EN DOS DIMENSIONES 
 
 
Construir una circunferencia es muy simple. 
 
 
Sólo se debe elegir un punto fijo llamado centro, y 
desde ahí trazar todos los puntos a su alrededor que se 
encuentren a la misma distancia de él, distancia 
conocida como radio. 
 
 
Ahora sólo hay que seleccionar el sistema de 
referencia. 
 
 
 
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
13 
 
 
Si el sistema cartesiano lo colocamos coincidiendo el 
origen con el centro de la circunferencia, cualquier 
punto de ella tendrá coordenadas 𝑃(𝑥 , 𝑦) 
 
 
Con ayuda del Teorema de Pitágoras, fácilmente se 
deduce la ecuación ordinaria de la circunferencia 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 
 
 
Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del 
origen, en las coordenadas 𝐶(ℎ, 𝑘) , la ecuación 
ordinaria luce así 
 
 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 
 
 
La circunferencia es la misma, pero ha cambiado su 
relación con respecto del sistema de referencia. 
 
 
 
En forma paramétrica, existen muchas posibles combinaciones de parámetros que resultan en una circunferencia. 
Sin embargo, la siguiente es tal vez la más utilizada por su practicidad. 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + ℎ
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑘
 
 
 
En estas ecuaciones paramétricas, la variable 𝜃 funciona como parámetro, en compañía del efecto que la función 
trigonométrica provoca al evaluarlo. 
 
 
El radio 𝑟 es un factor para cada una de las funciones trigonométricas, mientras que los valores ℎ , 𝑘 sirven de 
traslación directa de los puntos de la circunferencia. 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
14 
 
Si cualquiera de las ecuaciones anteriores se desarrolla, se simplifica y se iguala todo a cero, tendremos la 
ecuación general de la circunferencia 
 
 
𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 
 
 
De inmediato se observa que tiene dos variables cuadráticas, y que dichos cuadrados se están sumando y tienen 
el mismo coeficiente. Estas son las características que distinguen a una circunferencia expresada en forma general. 
 
 
Una situación muy común es tener que identificar las características de una circunferencia a partir de su ecuación 
cartesiana. Por ejemplo 
 
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0 
 
 
Para llevarla a su forma ordinaria, primero debemos agrupar las mismas variables juntas y los términos 
independientes trasladarlos al segundo término de la igualdad 
 
 
(𝑥2 − 4𝑥) + (𝑦2 + 6𝑦) = 3 
 
 
Ahora debemos completar los trinomios cuadrados perfectos dentro de cada paréntesis. Hacerlo es muy simple, 
basta con obtener la mitad del término lineal y sumar el cuadrado de este resultado al binomio, sin olvidar sumar 
la misma cantidad en el segundo término de la igualdad para que la ecuación no se altere. 
 
 
(𝑥2 − 4𝑥 + 22) + (𝑦2 + 6𝑦 + 32) = 3 + 4 + 9 
 
 
(𝑥2 − 4𝑥 + 4) + (𝑦2 + 6𝑦 + 9) = 16 
 
 
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 16 
 
 
Podemos identificarfácilmente que se trata de una 
circunferencia con centro 𝐶(2, −3) y radio 4 
 
 
{ 
𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 2
𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 3
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
15 
 
 
EJERCICIOS. Determina el centro y el radio para cada una de las siguientes circunferencias. Dibuja su gráfica 
en un plano cartesiano. 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0 { 
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 3
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 1
 
 
 
 
 
LA PARÁBOLA 
 
 
“Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado Foco, y de una recta fija 
llamada Directriz” 
 
 
El eje focal es la línea perpendicular a la directriz, y que contiene al foco de la parábola. 
 
 
 
La excentricidad de la parábola siempre es 𝑒 = 1 
 
 
El vértice es el punto donde la curva corta al eje focal, y 
siempre es el punto medio entre el foco y la directriz. 
 
 
La flexión que presenta la parábola se conoce con el nombre 
de concavidad. 
 
 
La distancia del foco a la directriz se identifica como 2𝑝 
 
 
La cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal, 
recibe el nombre de lado recto y su valor siempre es 4𝑝 
 
 
La parábola es simétrica con respecto del eje focal. 
 
 
Todos los elementos anteriores son propios de una parábola, sin importar el sistema de referencia utilizado. 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
16 
 
 
Ahora, coloquemos un sistema cartesiano de dos dimensiones sobre la parábola, haciendo coincidir el origen 
cartesiano con el vértice, y al Eje X con el eje focal de la parábola. 
 
 
 
El vértice tiene coordenadas 𝑉( 0 , 0 ), el foco 𝐹( 𝑝 , 0 ), el 
punto 𝑃( 𝑥 , 𝑦 ) y el punto 𝐷( −𝑝 , 𝑦 ) 
 
 
Con un poco de álgebra y la distancia de los segmentos 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ y 
𝑃𝐷̅̅ ̅̅ , que son iguales puesto que la excentricidad de una 
parábola es siempre 1, llegamos a 
 
 
ecuación ordinaria de la parábola 
 
 
𝑦2 = 4𝑝 𝑥 
 
 
Esta ecuación presenta una variable cuadrática y otra variable lineal. En ella reconocemos que la parábola tiene 
su vértice en el origen 𝑉( 0 , 0 ), que abre hacia la variable lineal 𝑥, en su sentido positivo, y que el eje focal es 
paralelo al eje X. 
 
 
El coeficiente que acompaña a la variable lineal, es el valor del lado recto 4𝑝, con el cual podemos identificar la 
ubicación de todos los elementos importantes de la parábola. 
 
 
Si el vértice se localiza en un punto 𝑉( ℎ , 𝑘 ) fuera del origen, 
la ecuación adquiere esa traslación con signos cambiados: 
(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝 (𝑥 − ℎ) 
 
 
Para construir unas ecuaciones paramétricas simples, vamos a igualar el lado recto a un cociente conveniente, con 
el cual llegamos a 
 
 
4𝑝 =
 𝑏2 
𝑎
 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 { 
𝑥 = ℎ + 𝑎 𝑡2
𝑦 = 𝑘 + 𝑏 𝑡 
 
 
 
Nota Importante: En la forma paramétrica, el parámetro cuadrático indica la variable hacia donde abre la parábola. 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
17 
 
 
Si cualquiera de las ecuaciones anteriores se simplifica con sólo variables cartesianas igualadas con cero, 
tendremos 
 
 
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 
 
 
 
Revisemos por ejemplo a la parábola 𝑦2 = 8𝑥 
 
 
Se trata de una parábola con vértice 𝑉( 0 , 0 ) cóncava 
hacia las 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠, y lado recto 4𝑝 = 8 
 
 
Por lo tanto: 2𝑝 = 4 ; 𝑝 = 2 
 
 
Desde el vértice, y dos unidades hacia la derecha, se 
encuentra el foco 𝐹( 2 , 0 ) 
 
 
Desde el vértice, y dos unidades hacia la izquierda, se 
encuentra la directriz vertical con ecuación 𝑥 = −2 
 
 
 
Para construir unas ecuaciones paramétricas simples 
 
4𝑝 =
 𝑏2 
𝑎
=
 8 
1
=
 16 
2
 → 𝑏 = √16 = 4
𝑎 = 2 
 → { 
𝑥 = 2 𝑡2
𝑦 = 4 𝑡 
 
 
 
 
La ecuación general es 𝑦2 − 8𝑥 = 0 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
18 
 
 
Si se requiere que la parábola abra hacia la izquierda, sólo debemos ajustar un poco los signos en las diferentes 
ecuaciones 
 
𝑦2 = −8𝑥 
 
 
 
{ 
𝑥 = −2 𝑡2
𝑦 = 4 𝑡 
 
 
 
 
𝑦2 + 8𝑥 = 0 
 
 
 
 
Si el vértice se lleva a cualquier otro punto diferente al origen, aparecen las traslaciones correspondientes en cada 
una de las ecuaciones 
 
 
( 𝑦 − 3 )2 = 8 ( 𝑥 + 1 ) 
 
 
 
Vértice 𝑉( −1 , 3 ) cóncava hacia 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 
 
 
 
{ 
𝑥 = −1 + 2 𝑡2
𝑦 = 3 + 4 𝑡 
 
 
 
 
𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0 
 
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
19 
 
 
Cuando se intercambian las variables 𝑥 , 𝑦, la parábola gira 90° sobre su vértice, resultando en una parábola 
cóncava hacia las "𝑦", con su eje focal paralelo al eje Y, teniendo por directriz a una recta horizontal. 
 
 
Entonces, las ecuaciones de la parábola lucen así 
 
𝑥2 = 4𝑝 𝑦 (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑘) 
 
 
{ 
𝑥 = ℎ + 𝑏 𝑡 
𝑦 = 𝑘 + 𝑎 𝑡2
 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 
 
 
Como se ha explicado antes, la forma que adopta una ecuación depende del acomodo de la curva con relación al 
sistema de referencial empleado. 
 
 
EJERCICIOS. Con los datos proporcionados, determina la ecuación cartesiana y las ecuaciones paramétricas de 
cada una de las siguientes parábolas. Dibuja cada gráfica en un plano cartesiano. 
 
 
1) Vértice en el origen y foco en 𝐹(4 , 0) 
 
 
2) Foco en 𝐹(0 , 2 ) y directriz la recta 𝑥 + 3 = 0 
 
 
3) Foco en 𝐹(0 , 2) y directriz la recta 𝑦 + 2 = 0 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
20 
 
 
LA ELIPSE 
 
“Es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancia a dos puntos fijos llamados Focos es una 
cantidad constante llamada 2a” 
 
 
 
 
En medio de los dos focos 𝐹1 y 𝐹2 se encuentra el Centro 𝐶 de la elipse. Desde el centro y hacia cualquier punto 
de la elipse podemos medir radios de diferentes tamaños. Sin embargo, nos interesan de manera sobresaliente el 
radio mayor, conocido con la letra a, y el radio menor, conocido con la letra b. 
 
 
El Eje Focal es la línea recta perpendicular a las directrices, y siempre contiene a los focos. El eje focal funciona 
como eje de simetría de la elipse. 
 
 
Los Vértices 𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 𝑦 𝑉4 son los puntos de la elipse medidos desde el centro y tomando como distancia tanto 
al radio mayor ( 𝑎 ) como al radio menor ( 𝑏 ). 
 
 
La distancia que hay entre el centro y cualquiera de sus focos se conoce como semi-distancia focal, y se nombra 
con la letra c. 
 
 
Perpendiculares al eje focal y hacia ambos lados de la elipse, se encuentran las Directrices, y siempre se localizan 
a una distancia equivalente al cociente del radio mayor entre la excentricidad. 
 
𝑑 =
𝑎
𝑒
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
21 
 
 
La excentricidad, siempre es menor que 1, y se puede obtener con el cociente 
 
𝑒 =
𝑐
𝑎
 
 
 
El Lado Recto es la cuerda perpendicular al eje focal y que pasa por un foco, y mide el valor del cociente 
 
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
 
 
 
Finalmente, con alguno de los vértices del radio 
menor, el centro y alguno de los focos, podemos 
formar un triángulo rectángulo muy útil, en el cual 
 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
 
 
Que se acostumbra escribir despejando a c 
 
 
𝑐 = √ 𝑎2 − 𝑏2 
 
 
Observa que todas estas características son propias de cualquier elipse, sin importar el sistema de referencia que 
empleamos para un trabajo en particular. 
 
 
Incluso, trazar una elipse es muy sencillo cuando conocemos los focos y el diámetro mayor (distancia 2a), pues 
basta con fijar dos clavos en la posición de los focos, y después tensar con un tercer clavo a un cable de longitud 
2a amarrado a ellos. 
 
 
Cuando movemos el tercer clavo a diferentes posiciones, estaremos trazando el recorrido de la elipse, puesto que 
sigue la definición descrita anteriormente. 
 
 
Este procedimiento se conoce como Método del Jardinero, en honor a todas las personas que ejerceneste oficio, 
y que nos brindan su trabajo haciendo excepcionales elipses en parques y jardines. 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
22 
 
 
Para determinar la ecuación cartesiana de la elipse, vamos a colocar el sistema de referencia coincidiendo el origen 
con el centro de la elipse y al eje X coincidiendo con el eje focal 
 
 
Todos los elementos de la elipse tienen 
valores específicos acorde con el sistema de 
referencia. 
 
 
Al obligar la suma de distancias de la 
definición, se llega a la ecuación ordinaria 
de la elipse 
 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
Lo cual nos ayuda a recordar que si tenemos una ecuación con una suma de cuadrados de dos variables igual a 1, 
estamos ante una elipse. 
 
 
Si colocamos el centro de la elipse en cualquier otro punto que no sea el origen cartesiano, tendrá coordenadas 
𝐶(ℎ , 𝑘) y la ecuación ordinaria luce así 
 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
 
Para trabajar de forma paramétrica, procedemos como hicimos con la circunferencia, empleando las funciones 
trigonométricas seno y coseno. 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + ℎ
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑘
 
 
 
En estas ecuaciones paramétricas, la variable 𝜃 funciona como parámetro, en compañía del efecto que la función 
trigonométrica provoca al evaluarlo. 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
23 
 
 
Los radios 𝑎 , 𝑏 sirven de factor para cada una de las funciones trigonométricas, mientras que los valores ℎ , 𝑘 
sirven de traslación directa de los puntos de la elipse. 
 
 
Si cualquiera de las ecuaciones se desarrolla, se simplifica y se iguala a cero, tendremos: 
 
 
 
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐹 = 0 
 
 
 
Podemos notar que en esta ecuación hay dos términos cuadráticos de igual signo, no necesariamente del mismo 
tamaño, que es lo que empleamos para identificar a una elipse. 
 
 
De hecho, es la misma ecuación que una circunferencia pero con radios de diferente tamaño. 
 
 
Por ejemplo 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 
 
Es una elipse con centro 𝐶(0 , 0), su radio mayor es de 
3 unidades medidos hacia X, y su radio menor es de 2 
unidades medidos hacia Y. 
 
 
Sus vértices son 
 
𝑉1(3 , 0) 𝑉2(−3 , 0) 𝑉3(0 , 2) 𝑉4(0 , −2) 
 
En forma paramétrica, se escribe así 
{ 
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
Si se desarrolla la ecuación igualando todos los valores con cero, llegamos a la forma general de esta elipse: 
 
 
4𝑥2 + 9𝑦2 − 36 = 0 
 
 
Estos son los datos más usuales que empleamos en el trabajo cotidiano. 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
24 
 
 
Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen, por ejemplo en el punto 𝐶( −1 , 3 ), las ecuaciones son 
 
 
(𝑥 + 1)2
9
+
(𝑦 − 3)2
4
= 1 
 
 
{ 
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 3
 
 
 
4𝑥2 + 9𝑦2 + 8𝑥 − 54𝑦 + 49 = 0 
 
 
Y sus vértices ahora están en 
 
𝑉1(2 , 3) 𝑉2(−4 , 3) 𝑉3(−1 , 5) 𝑉4(−1 , 1) 
 
 
 
La elipse no ha cambiado, sólo se encuentra en otra posición de acuerdo con el sistema de referencia. 
 
 
Es importante mencionar que el radio de mayor tamaño nos indica la orientación que presenta la elipse, siendo el 
mayor divisor el cuadrado del radio mayor. Así 
 
(𝑥 + 1)2
4
+
(𝑦 − 3)2
9
= 1 
 
Representa una elipse con centro 𝐶(−1 , 3) , radio 
mayor de 3 unidades hacia Y, radio menor de 2 
unidades hacia X. 
 
{ 
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 3
 
 
Sus vértices son 
 
𝑉1(−1 , 6) 𝑉2(−1 , 0) 𝑉3(1 , 3) 𝑉4(−3 , 3) 
 
 
Y su ecuación general es 
 
9𝑥2 + 4𝑦2 + 18𝑥 − 24𝑦 + 9 = 0 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
25 
 
 
¿Qué hacemos para identificar una elipse partiendo de su ecuación cartesiana en forma general? 
 
 
9𝑥2 + 4𝑦2 + 18𝑥 − 24𝑦 + 9 = 0 
 
 
Empezamos por agrupar variables y separar los términos independientes 
 
 
9𝑥2 + 18𝑥 + 4𝑦2 − 24𝑦 = −9 
 
 
Después se factoriza el coeficiente de los términos cuadráticos, que también factoriza a su término lineal 
 
 
9(𝑥2 + 2𝑥) + 4(𝑦2 − 6𝑦) = −9 
 
 
Continuamos completando el trinomio cuadrado perfecto en cada agrupación, es decir, al término lineal lo 
dividimos entre dos, y el resultado se eleva al cuadrado y se suma al trinomio. 
 
Este valor esta multiplicado también por el factor fuera de la agrupación, por lo que deberemos multiplicarlo por 
el para saber cuánto debemos sumar en el segundo miembro de la ecuación, y que ésta no se altere. 
 
 
9(𝑥2 + 2𝑥 + 12) + 4(𝑦2 − 6𝑦 + 32) = −9 + (9 ⋅ 1) + (4 ⋅ 9) 
 
Entonces, los trinomios cuadrados perfectos se agrupan en los binomios al cuadrado que les dieron origen 
 
 
9(𝑥 + 1)2 + 4(𝑦 − 3)2 = 36 
 
 
Para que la ecuación tome la forma ordinaria, todo debe estar igualado a 1, por lo que dividimos toda la ecuación 
entre 36 
 
9(𝑥 + 1)2
36
+
4(𝑦 − 3)2
36
= 1 
 
Que se puede escribir así 
 
(𝑥 + 1)2
36
9
+
(𝑦 − 3)2
36
4
= 1 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
26 
 
 
Con lo que llegamos a 
 
 
(𝑥 + 1)2
4
+
(𝑦 − 3)2
9
= 1 
 
 
Una elipse con centro 𝐶(−1 , 3), radio mayor de 3 
unidades hacia Y, radio menor de 2 unidades hacia X 
 
 
{ 
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 3
 
 
 
 
EJERCICIOS: Dibuja en un plano cartesiano cada una de las siguientes elipses. 
 
𝑥2
10
+
𝑦2
9
= 1 { 
𝑥 = √8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑦 = √12 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
(𝑥 − 1)2
16
+
(𝑦 + 2)2
25
= 1 { 
𝑥 = 5 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 4
𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 1
 
9𝑥2 + 16𝑦2 − 54𝑥 + 64𝑦 + 1 = 0 9𝑥2 + 4𝑧2 + 54𝑥 − 32𝑧 + 109 = 0 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
27 
 
 
LA HIPÉRBOLA 
 
 “Es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos llamados focos es 
una cantidad constante llamada 2a” 
 
 
 
 
En medio de los dos focos 𝐹1 y 𝐹2 se encuentra el Centro 𝐶 de la hipérbola. 
 
 
El Eje Focal es la línea recta perpendicular a las directrices que contiene a ambos focos. El eje focal funciona 
como eje de simetría de la hipérbola. 
 
 
Los Vértices 𝑉1 , 𝑉2 son los puntos de la hipérbola que tocan el eje focal, y se encuentran a una distancia conocida 
con la letra 𝑎 que se mide desde el centro. En ocasiones se le llama distancia del eje real. 
 
 
La distancia que hay entre el centro y cualquiera de sus focos se conoce como semi-distancia focal, y se nombra 
con la letra 𝑐 
 
 
Perpendiculares al eje focal y hacia ambos lados de la hipérbola, se encuentran las Directrices, y siempre se 
localizan a una distancia equivalente al cociente 
 
𝑑 =
𝑎
𝑒
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
28 
 
 
La excentricidad, siempre es mayor que 1, y se puede obtener con el cociente 
 
 
𝑒 =
𝑐
𝑎
 
 
 
Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas que pasan por el centro y tiene una inclinación 
 
𝑚 = ±
𝑏
𝑎
 
 
 
En donde el valor de b se le conoce como distancia del eje imaginario 
 
 
El Lado Recto es la cuerda perpendicular al eje focal y que pasa por un foco, y mide 
 
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
 
 
Finalmente, en toda hipérbola, se forma un triángulo 
rectángulo muy útil, en el cual 
 
 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 
 
 
Que se acostumbra escribir despejando al valor c 
 
 
𝑐 = √ 𝑎2 + 𝑏2 
 
 
Observa que todas estas características son propias de cualquier hipérbola, sin importar el sistema de referencia 
que empleamos para un trabajo en particular. 
 
 
Ahora coloquemos un sistema cartesiano sobre la hipérbola, colocando el centro coincidiendo con el origen de 
coordenadas, y al eje focal con el eje X. 
 
 
Al hacerlo, todos los elementos de la hipérbola tienen valores específicos de acuerdo con el sistema de referencia. 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
29 
 
 
Al obligar la resta de distancias de la definición, se 
llega a la siguiente ecuación en forma ordinaria de la 
hipérbola 
 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
Este arreglo nos ayuda a recordar que se trata de una 
hipérbola puestoque se presenta una diferencia de 
cuadrados igual a 1. 
 
 
La hipérbola abre hacia la variable positiva en la resta. 
 
 
Si colocamos el centro de la hipérbola en cualquier otro punto que no sea el origen cartesiano, tendrá coordenadas 
𝐶(ℎ , 𝑘) y la ecuación ordinaria luce así 
 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
 
Para la forma paramétrica, nos conviene utilizar las funciones trigonométricas tangente y secante 
 
 
{ 
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜃 + ℎ
𝑦 = 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 𝑘
 
 
 
En las cuales, la función secante indica hacia que variable abre la hipérbola, mientras que ℎ , 𝑘 indican las 
traslaciones que presenta el centro desde el origen cartesiano. 
 
 
Si cualquiera de las dos ecuaciones se desarrolla, se simplifica y se iguala a cero, tendremos 
 
 
 
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐴𝑥2 − 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
30 
 
 
Podemos notar que en esta ecuación hay dos términos cuadráticos de signos contrarios, que es lo que empleamos 
para identificar a una hipérbola. 
 
 
Por ejemplo la ecuación 
 
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 1 
 
 
Se trata de una hipérbola con centro 𝐶(0 , 0) cóncava 
hacia las X, distancia a los vértices 𝑎 = 3, y distancia 
𝑏 = 2 que sirve para trazar la pendiente de las 
asíntotas desde el centro. 
 
 
Sus vértices son 𝑉1(3 , 0) 𝑉2(−3 , 0) 
 
 
 
En forma paramétrica se escribe así 
{ 
𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑦 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃
 
 
 
Si se desarrolla la ecuación igualando todos los valores con cero, llegamos a la forma general de esta hipérbola: 
 
 
4𝑥2 − 9𝑦2 − 36 = 0 
 
 
Si colocamos la hipérbola con centro fuera del origen, 
por ejemplo 𝐶( −1 , 3 ), las ecuaciones son 
 
 
(𝑥 + 1)2
9
−
(𝑦 − 3)2
4
= 1 
 
 
{ 
𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 1
𝑦 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 3
 
 
 
4𝑥2 − 9𝑦2 + 8𝑥 + 54𝑦 − 113 = 0 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
31 
 
 
Es importante mencionar que el sumando positivo nos indica la orientación que presenta la hipérbola, sin importar 
cual divisor sea más grande o más pequeño. 
 
 
(𝑦 + 1)2
4
−
(𝑥 − 3)2
9
= 1 
 
 
El centro es 𝐶(3 , −1) y es cóncava hacia las Y, con 
𝑎 = 2 y 𝑏 = 3 
 
 
En forma paramétrica 
 
{ 
𝑥 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 3
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 1
 
 
Con ecuación general 
 
9𝑦2 − 4𝑥2 + 24𝑥 + 18𝑦 − 63 = 0 
 
 
 
 
¿Qué hacemos para identificar una hipérbola de la cual conozco su ecuación cartesiana en forma general? 
 
 
4𝑥2 − 9𝑦2 + 8𝑥 + 54𝑦 − 113 = 0 
 
 
Empezamos por agrupar variables y separar los términos independientes 
 
 
4𝑥2 + 8𝑥 − 9𝑦2 + 54𝑦 = 113 
 
 
Después se factoriza el coeficiente de los términos cuadráticos incluyendo el signo negativo del segundo cuadrado, 
que también factoriza a su término lineal 
 
 
4(𝑥2 + 2𝑥) − 9(𝑦2 − 6𝑦) = 113 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
32 
 
 
Continuamos completando el trinomio cuadrado perfecto en cada agrupación, es decir, al término lineal lo 
dividimos entre dos, y el resultado se eleva al cuadrado y se suma al trinomio. 
 
 
Este valor esta multiplicado también por el factor fuera de la agrupación, por lo que deberemos multiplicarlo por 
el para saber cuánto debemos sumar en el segundo miembro de la ecuación, y que ésta no se altere. 
 
 
4(𝑥2 + 2𝑥 + 12) − 9(𝑦2 − 6𝑦 + 32) = 113 + (4 ⋅ 1) − (9 ⋅ 9) 
 
 
Entonces, los trinomios cuadrados perfectos se agrupan en los binomios al cuadrado que les dieron origen 
 
 
4(𝑥 + 1)2 − 9(𝑦 − 3)2 = 36 
 
 
Para que la ecuación tome la forma ordinaria, todo debe estar igualado a 1, por lo que dividimos toda la ecuación 
entre 36 
 
4(𝑥 + 1)2
36
−
9(𝑦 − 3)2
36
= 1 
 
 
Que se puede escribir así 
(𝑥 + 1)2
36
4
−
(𝑦 − 3)2
36
9
= 1 
 
 
Con lo que llegamos a una hipérbola con centro 
𝐶( −1 , 3 ), cóncava hacia las X, distancias 𝑎 = 3 y 
𝑏 = 2 
 
Sus vértices son 
 
𝑉1( 2 , 3 ) 𝑉2( −4 , 3 ) 
 
 
{ 
𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 1
𝑦 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 3
 
 
 
 
 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
33 
 
 
EJERCICIOS. Dibuja en un plano cartesiano las siguientes hipérbolas. 
 
{ 
𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑦 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝜃
 4𝑦2 − 9𝑥2 = 1 
𝑥2 − 𝑦2 = 25 
(𝑥 − 3)2
4
−
(𝑦 + 1)2
16
= 1 
16𝑥2 − 9𝑦2 + 128𝑥 − 72𝑦 + 256 = 0 
 
ROTACIÓN DE EJES 
 
 
Cuando estamos trabajando con ecuaciones cartesianas, en ocasiones se requiere hacer un giro en los ejes 
coordenados. Recordemos que las ecuaciones son un reflejo del sistema de referencia empleado. 
 
 
En consecuencia, los puntos y las curvas no cambian su geometría al cambiar el sistema de referencia, pero si 
cambia la ecuación cartesiana que las representa. 
 
 
 
Observamos como el punto P tiene dos formas de 
escribirse, de acuerdo con el sistema de referencia: 
 
 
𝑃(𝑥 , 𝑦) en el sistema XY 
 
 
𝑃(𝑥′ , 𝑦′) en el sistema X’Y’ 
 
 
Ambos sistemas comparten el mismo origen O 
 
Sin importar el sistema, la distancia del origen al punto 
es 𝑟 
 
El ángulo que forman el eje X y el eje X’ lo denominamos con la letra α, mientras que el ángulo que forma el eje 
X’ y el radio r lo denominamos con la letra β 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
34 
 
 
Del triángulo rectángulo OAP 𝑥 = 𝑟 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) 
 
 
Y al aplicar las identidades trigonométricas de la suma de ángulos 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 + 𝑟 cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 
 
 
Pero del triángulo rectángulo OBP 𝑥′ = 𝑟 cos 𝛽 𝑦′ = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝛽 
 
 
Y sustituyendo estas dos últimas identidades en las ecuaciones anteriores, llegamos a 
 
 
𝑥 = 𝑥′ cos 𝛼 − 𝑦′ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑦 = 𝑥′ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑦′ cos 𝛼 
 
 
Que me permiten ir de las coordenadas rotadas un ángulo α, a las coordenadas originales 
 
 
Si en este sistema de ecuaciones resolvemos simultáneamente para 𝑥′ , 𝑦′ llegamos a 
 
 
𝑥′ = 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
𝑦′ = 𝑦 cos 𝛼 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
 
Que nos permiten encontrar la coordenadas giradas un ángulo α, a partir de las coordenadas originales 
 
 
¿Por qué se necesitaría rotar un sistema de referencia? 
 
 
La respuesta proviene de la ecuación general cartesiana de segundo grado para dos dimensiones 
 
 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
 
 
El término mixto de segundo grado 𝐵𝑥𝑦 indica un giro en los ejes originales, y no resulta sencillo determinar el 
tipo de cónica con la cual estamos trabajando, como hicimos en todas las páginas anteriores. 
 
C U R V A S C Ó N I C A S 
35 
 
 
Entonces, nos interesa hacer una rotación de ejes para que en la nueva ecuación ya no aparezca el término mixto, 
y de esa manera poder analizar su geometría con los conceptos tratados en este tema. 
 
 
A este respecto, después de varios análisis y trabajo algebraico, se sabe que el ángulo α adecuado para que en la 
nueva ecuación cartesiana ya no aparezca el término mixto 𝐵𝑥𝑦 es 
 
 
𝛼 =
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝐵
𝐴 − 𝐶
 ) 
 
 
Si 𝐴 = 𝐶 entonces el ángulo es 𝛼 = 45° 
 
 
 
Por ejemplo en la ecuación cartesiana 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 4𝑦2 + 4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 
 
 
𝛼 =
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 ( 
2
3 − (−4)
 ) = 7.97° 
 
 
Lo cual me indica que si aplicamos una rotación de ejes con un ángulo 𝛼 = 7.97° con las ecuaciones de 
transformación descritas anteriormente, la nueva ecuación cartesiana ya no presentará término mixto. 
 
 
Por supuesto, en la práctica somos nosotros quien elige el sistema de referencia, por lo que es muy conveniente 
elegir los ejes orientados con la geometría y los ejes de la cónica, para no tener que trabajar con términos mixtos.