Análisis Matemático II - COLECCIÓN: EL NÚMERO DE ORO - Act. Alberto Landro - Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof - Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof - Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof - Alejandro E. García Venturini - Heriberto Urbisaia – Juana Brufman - Emma Fernández Loureiro de Pérez - Emma Fernández Loureiro de Pérez - Emma Fernández Loureiro de Pérez - Gabriela Kurincic - Gabriela Kurincic - Alejandro E. García Venturini – Federico Castelli - Blanca R. Vitale - Juan Carlos Abril - Alejandro E. García Venturini – Mónica Scardigli - Juan R. Garnica Hervás - Esteban O. Thomasz - Romina P. Garófalo - Alberto H. Landro – Mirta L. González - Alberto H. Landro - Análisis Matemático II - García Venturini, Alejandro Ezequiel - Análisis Matemático II: para estudiantes de ingeniería / 1a ed. - Buenos Aires: Ediciones Cooperativas, 2012. 500 p.; 21x14 cm. ISBN 978-987-652-100-0 1. Análisis Matemático. 2. Enseñanza Universitaria. I. Título. CDD 510.711 © 2012 Ediciones Cooperativas Tucumán 3227 (1189) Buenos Aires – Argentina (54 011) 3528-0466 / (15) 4937 6915 http://www.edicionescoop.org.ar info@edicionescoop.org.ar © 2012 García Venturini, Alejandro Derechos exclusivos Impreso y encuadernado por: Imprenta Dorrego. Dorrego 1102, C.A.B.A. 1ª. ed. Tirada: 100 ejemplares. Se terminó de imprimir en Marzo 2012. Hecho el depósito que establece la ley 11.723 1º edición, Marzo 2012 IMPRESO EN ARGENTINA – PRINTED IN ARGENTINA Ediciones Cooperativas es un emprendimiento cooperativo de docentes de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires para difundir sus trabajos e investigaciones Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de cubierta puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico de grabación o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su infracción está penada por las leyes 11723 y 25446. EEddii ttoorr iiaa ll aassoocciiaaddaa aa:: Capítulo 1 Introducción- El espacio métrico Espacio métrico. Distancia. Espacio euclídeo n- dimensional. Conjuntos puntuales. Entorno. Puntos interiores, exteriores y frontera. Punto de acumulación. Revisión de las curvas en el plano. La función lineal. Las cónicas. Sistema de coordenadas polares. Introducción 7 INTRODUCCIÓN - EL ESPACIO MÉTRICO Comenzamos este trabajo haciendo un repaso de algunos conceptos de geometría analítica estudiados en Análisis I y los generalizaremos al plano, al espacio y al espacio n-dimensional. Conceptos básicos Espacio métrico: es todo conjunto no vacío de elementos llamados puntos entre los cuales se ha definido una función denominada distancia. Distancia: la distancia entre dos puntos P y Q es un número real no negativo que se denota como ⏐P – Q⏐ y que goza de las siguientes propiedades a) ⏐P – Q⏐ = 0 ⇔ P = Q b) ⏐P – Q⏐ + ⏐P – R⏐ ≥ ⏐Q – R⏐ c) ⏐P – Q⏐ = ⏐Q – P⏐ Esta última propiedad indica que la distancia entre dos puntos no depende del orden de los puntos sino de sus coordenadas. Espacio euclídeo n-dimensional Una n-upla es una sucesión de n números reales. Si tenemos dos números tenemos un par: (x1;x2), si tenemos tres números tenemos una terna: (x1;x2;x3), en general para n números: (x1;x2;....;xn), se tiene una n-upla. Indicamos como n al conjunto de todos los puntos de un espacio n-dimensional. Por ejemplo: con 2 indicamos los puntos del espacio bi-dimensional (el plano), con 3 el espacio tri-dimensional. Si P = (x1;x2;....;xn) y Q = (y1;y2;....;yn), se define como distancia euclídea entre los puntos P y Q al número real: ⏐P – Q⏐ = ( ) ( ) ( )22 22 2 11 ... nn xyxyxy −++−+−+ Alejandro E. García Venturini 8 Queda así definido un espacio que se denomina espacio euclideano n-dimensional. Este espacio es un espacio métrico. CONJUNTOS PUNTUALES. ENTORNOS. RECINTOS Recordemos ahora algunos conceptos ya vistos en Análisis I que generalizaremos a 3 dimensiones. Entorno de un punto E (P0;h) (entorno de centro P0 y radio h) es el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia de P0 ≥ 0 y < h. En dimensión 1 En el espacio uni-dimensional: P0 = x0. x∈ E (P0;h) ⇔ x∈ (x0–h ; x0+h) ⇔ 0 ≤ ⏐x–x0⏐< h En el espacio uni-dimensional, un punto pertenece al entorno de centro P0 y radio h si pertenece a un intervalo abierto de centro P0 y amplitud h. En dimensión 2 En el espacio bi-dimensional: P0 = (x0;y0). Entorno circular (x;y)∈ E (P0;h) ⇔ ( ) ( ) hyyxx <−+−+≤ 2 0 2 00 En el espacio bi-dimensional, un punto pertenece al entorno de centro P0 y radio h si es un punto interior a un círculo de centro P0 y radio h. Entorno cuadrado (de semiamplitud h) (x;y)∈ E (P0;h) ⇔ <−≤ <−≤ hyy hxx 0 0 0 0 Introducción 9 C B A S En dimensión 3 En el espacio tri-dimensional: P0 = (x0;y0;z0). (x;y;z) ∈ E (P0;h) ⇔ ( ) ( ) ( ) hzzyyxx <−+−+−+≤ 2 0 2 0 2 00 En el espacio tri-dimensional, un punto pertenece al entorno de centro P0 y radio h si es un punto interior a una esfera de centro P0 y radio h. Entorno reducido Es el que resulta de excluir en un entorno su centro: E*(P0;h) = E (P0;h) – {P0} Clasificación de los puntos Punto interior Un punto A es interior al conjunto S si y sólo si existe un entorno de A totalmente incluido en S. De la definición surge que A debe pertenecer a S. A es un punto interior a S ⇔ ( ) ( ) S/ ⊆∃ AEAE . Punto exterior Un punto es exterior a un conjunto S si y sólo si existe un entorno de A al cual no pertenece ningún punto de S. A es exterior a S ⇔ ( ) ( ) φ=∩∃ S/ AEAE . Punto frontera Un punto A es frontera del conjunto S si y sólo no es interior ni exterior al mismo. Es decir que en un entorno del punto A hay puntos que pertenecen al conjunto S y oros que no pertenecen al conjunto S. Punto de acumulación Un punto A, perteneciente o no a un conjunto S, es de acumulación de dicho conjunto cuando en todo entorno reducido suyo existe algún punto de S. A es un punto de acumulación de S ⇔ ( ) ( ) φ≠∩∀ S/ ** AEAE . Alejandro E. García Venturini 10 El punto A es interior al conjunto S y es de acumulación de S porque en todo entorno reducido de él siempre hay otros puntos del conjunto S. El punto B está sobre la frontera, también es de acumulación de S porque en todo entorno reducido de él se encuentra al menos otro punto del conjunto S. Pero el punto C no es de acumulación porque hay entornos del punto en el cual no se encuentran otros puntos del conjunto S, es exterior. Punto aislado Un punto A perteneciente a un conjunto S es aislado si no es de acumulación, sí y sólo si existe un entorno reducido de A al cual no pertenece ningún punto de S. A es aislado ⇔ ( ) ( ) φ=∩∃∧∈ S/S AEAEA ** . Conjunto derivado S´: es el conjunto formado por todos los puntos de acumulación de S. Conjunto denso en sí: un conjunto es denso en sí si todos sus puntos son de acumulación. Debe estar incluido en el conjunto derivado, S ⊆ S´. Frontera: la frontera de un conjunto S es el conjunto de todos sus puntos frontera. Conjunto abierto: un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores. Conjunto cerrado: un conjunto es cerrado cuando la frontera pertenece al conjunto. Conjunto perfecto: un conjunto es perfecto si S = S´, o e sea que es denso y cerrado